6. Resultat och Analys 27!
7.4 Betydelse, konsekvenser och generaliserbarhet ! !39 !
Fallstudien har prövat Wood et al. (2006) antagande om att möjligheterna till högre tänkande kan bero på interaktionen, med Cobb och Yackels (1996) ramverk i två klassrum med samma undervisande lärare. Att undervisningen skapar fler möjligheter till utmaning genom högre tänkande om eleverna erbjuds resonera kring hur de tänker och varför kan tänkas ha goda förutsättningar för att generaliseras. Yin (2003) skriver att vid fallstudier kan resultatet generaliseras genom användningen av en redan utvecklad teori, det ske då en analytisk generalisering. Ger fallet stöd för teorin är en replikering påkallad, vilket då ger stärkt stöd för generalisering (ibid.). Detta gör vidare
att resultatet blir relevant i relation till ämnesdidaktiken och min framtida roll som lärare. Att eleverna ska resonera kring hur de tänker och varför är inte bara relevant i en undervisning genom problemlösning, eller i relation till elever med fallenhet, utan i sig relevant vid all matematikundervisning.
Studien har bidragit med att fördjupa förståelsen för hur lärare som undervisar i de lägre åldrarna kan utforma undervisningen utifrån vad Skolverkets stödmaterial för matematiskt begåvade elever (Eriksson & Petersson, 2015) rekommenderar. Materialet poängterar att läraren måste vara medveten om vilka normer som utvecklas i klassrummet (ibid.).
Det finns resultat vilka är svårare att generalisera. Till exempel att avsaknaden av matematisk diskussion utifrån EPA modellen skulle beror på att Erik redan hade löst problemet eller bero på EPA-modellen i sig. Om argumentationen i grupp/par påverkas av huruvida eleverna redan har löst problemet enskilt innan par/gruppdiskussionen och om det i sin tur beror på vilka sociala och sociomatematiska normer som återfinns i klassrummet är därmed även intressant för vidare forskning.
Referenser
Alvehus, Johan. (2013). Skriva uppsats med kvalitativ metod: en handbok. (1. uppl.) Stockholm: Liber.
Bauersdeld, Heinrich. (1993, mars). Teachers pre and in-service education for matematics teaching. Seminarie sur la Pepresentation, No. 78, CIRADE, Université du Québec à Montréal, Canada.
Bloom, Benjamin. (1956). Taxonomy of educational objectives: The classification of educational goals. Handbook 1: Cognitive domain. New york: McKay.
Boesen, Jesper., Helenius, Ola., Bergqvist, Ewa., Bergqvist, Tomas., Lithner, Johan., Palm, Torulf., & Palmberg, Björn. (2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curriculum. Journal Of Mathematical Behavior, 3372-87. doi:10.1016/j.jmathb.2013.10.001
Bryman, Alan. (2011). Samhällsvetenskapliga metoder. (2., [rev.] uppl.) Malmö: Liber. Cobb, Paul., & Bauersfeld, Heinrich. (Eds.). (1995). Emergence of mathematical
meaning: Interaction in classroom cultures. Hillsdale, NJ: Erlbaum. Cobb, Paul., & Yackel, Erna. (1996). Constructivist, emergent, and sociocultural
perspectives in the context of developmental research. Educational Psychologist, 31(3/4), 175-190.
Diezmann, Carmel M., & Watters, James J. (2000). Catering for Mathematically Gifted Elementary Students: Learning from Challenging Tasks. Gifted Child Today, 23(4), 14-19.
Diezmann, Carmel M., & Watters, James J. (2001). The collaboration of mathematically gifted students on challenging tasks. Journal For The Education Of The
Gifted, 25(1), 7-31. doi:10.1177/016235320102500102
Dimitriadis, Christos. (2012a). How are schools in England addressing the needs of mathematically gifted children in primary classrooms? A review of
practice. Gifted Child Quarterly, 56(2), 59-76. doi:10.1177/0016986211433200 Dimitriadis, Christos. (2012b). Provision for mathematically gifted children in primary
schools: an investigation of four different methods of organisational provision. Educational Review, 64(2), 241-260.
Dimitriadis, Cristos. (2016). Nurturing Mathematical Promise in a Regular Elementary Classroom: Exploring the Role of the Teacher and Classroom
Environment. Roeper Review, 38(2), 107-122. doi:10.1080/02783193.2016.1150375
Eriksson, Cecilia., & Petersson, Henrik. (2015). Särskilt begåvade elever. Ämnesdidaktiskt stöd i matematik. Stockholm: Skolverket.
Glasersfeld, Ernst V. (1995). Radical constructivism: a way of knowing and learning. London: Falmer Press.
Hagland, Kerstin., Sundberg, Maria., & Hårrskog, Andreas. (2014). Problembanken: Grundskola åk 1-3, modul problemlösning. Stockholm: Skolverket. Tillgänglig: https://larportalen.skolverket.se/LarportalenAPI/apiv2/document/path/larportalen/m aterial/inriktningar/1matematik/Grundskola/415_problemlosning%20åk1-3/se- aven/Material/P1-3_problembank.pdf Hämtad 2018-03-05
Heinze, Astrid. (2005). Differences in Problem Solving Strategies of Mathematically Gifted and Non-Gifted Elementary Students. International Education Journal, 6(2), 175- 183.
Hershkovitz, Sara., Peled Irit., & Littler, Graham. (2009). Mathematical Creativity and Giftedness in Elementart School: Task and Teacher Promoting Creativity for All. In R. Leikin, A. Berman & B. Koichu (Eds.), Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Students (pp. 255-269). Rotterdam: Sense Publishers. Krutetskii, Vadim. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in
schoolchildren. Chicago: The University of Chicago Press.
Larsson, Maria. (2015a). Exploring a framework for classroom culture: A case study of the interaction patterns in mathematical whole-class discussions. In K. Krainer & N. Vondrová (Eds.), Proceedings of the Ninth Conference of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME9, 4-8 February 2015) (pp. 3065- 3071). Prague, Czech Republic: Charles University in Prague, Faculty of Education and ERME.
Larsson, Maria. (2015b). Incorporating the practice of arguing in Stein et al.’s model for helping teachers plan and conduct productive whole-class discussions. In O. He- lenius, A. Engström, T. Meaney, P. Nilsson, E. Norén, J. Sayers, & M. Österholm (Eds.), Development of Mathematics Teaching: Design, Scale, Effects.
Larsson, Maria. (2015c). Orchestrating mathematical whole-class discussions in the problem-solving classroom: Theorizing challenges and support for
teachers.(Doctoral thesis, Mälardalen University Press Dissertations, ISSN 1651- 4238, 193). Västerås: Mälardalen University Tillgänglig: http://mdh.diva-
portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A865533&dswid=_new
Leikin, Roza., Berman, Abraham., & Koichu, Boris. (2009) (Eds.), Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Students. Rotterdam: Sense Publishers. Mellroth, Elisabet., Arwidsson, Agneta., Holmberg, Katarina., Lindgren Persson,
Annila., Nätterdal, Charlotta., Perman, Lotta., ... Thyberg, Annika. (2016). En forskningscirkel för lärare om särskild begåvning i matematik. Karlstad: Karlstads universitet.
Merriam, Sharan B. (1993). Fallstudien som forskningsmetod. Enskede: TPB. Minten, Eva. (2013). Forskning för klassrummet: vetenskaplig grund och beprövad
erfarenhet i praktiken. Stockholm: Skolverket.
Nolte, Marianne. (2012). Challenging math problems for mathematically gifted
children. Paper presented at the The 7th Mathematical Creativity and Giftedness International Conference, Busan, Repulic of Korea.
Nolte, Marianne., & Pamperien, Kirsten. (2017). Challenging Problems in a Regular Classroom Setting and in a Special Foster Programme. ZDM: The International Journal On Mathematics Education, 49(1), 121-136.
Palmér, Hanna., & van Bommel, Jorryt. (2016). Problemlösning som utgångspunkt: matematikundervisning i förskoleklass. (1. uppl.) Stockholm: Liber.
Pettersson, Eva. (2011). Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor. (Linnaeus University Dissertations ; 48/2011). Doktorsavhandling, Växjö: Linnéuniversitetet. Tillgänglig: http://lnu.diva-
portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A414912&dswid=_new
Pettersson, Eva. & Wistedt, Inger. (2013). Barns matematiska förmågor - och hur de kan utvecklas. (1. uppl.) Lund: Studentlitteratur.
SFS 2010:800. Skollag. Stockholm: Utbildningsdepartementet.
Sheffield, Linda. (2009). Developing Mathematical Creativity-Questions May Be the Answer. In R. Leikin, A. Berman, & B. Koichu (Eds.), Creativity in Mathematics and the Education of Gifted Students (pp. 87-100). Rotterdam: Sense Publishers.
Shoenfeld, Alan H. (1992). Learning to think matematically: Problem solving,
metacognition and sense-making in mathematics. In D. Grouws, & National Council of Teachers of Matematics (Eds.)., Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Reston, (pp. 334-370). New York: Macmillan
Skolinspektionen (2014). Stöd och stimulans i klassrummet. Stockholm: Skolinspektionen.
Skolverket (2015). Redovisning av uppdrag om att främja grund- och gymnasieskolors arbete med särskilt begåvade elever. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2016). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2016. Stockholm: Skolverket.
Skott, Jeppe., Jess, Kristine., Hansen, Hans Christian., & Lundin, Sverker. (2010). Matematik för lärare. Delta, Didaktik. Malmö: Gleerups Utbildning. Szabo, Attila. (2017). Matematikundervisning för begåvade elever – en
forskningsöversikt. Nordic Studies in Mathematics Education, 22 (1), 21–44. Taflin, Eva. (2007). Matematikproblem i skolan: för att skapa tillfällen till lärande.
(Umeå University, Department of Mathematics, 1102-8300 ; 39).
Doktorsavhandling, Umeå: Umeå universitet. Tillgänglig: http://umu.diva- portal.org/smash/record.jsf?pid=diva2%3A140830&dswid=_new
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk- samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Wood, Terry. (2001). Teaching Differently: Creating Opportunities for Learning Mathematics. Theory Into Practice, 40(2), 110-17.
Wood, Terry., Williams, Gaye., & McNeal, Betsy. (2006). Children’s mathematical thinking in different classroom cultures. Journal for Research in Mathematics Education, 37(3), 222–255.
Yackel, Erna., & Cobb, Paul. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 458–477.
Yackel, Erna., Gravemeijer, Koeno., & Sfard, Anna. (2011). A journey in mathematics education research. [electronic resource] : insights from the work of Paul Cobb. Dordrecht ; London : Springer, 2011.
Bilaga 1
(Larsson 2015a s. 3067)
Interaktionsmönster Beskrivning Syfte Initiativtagare
Utforska metoder Eleverna presenterar sina lösningsförslag.
Att visa på fler olika sätt att lösa ett problem på.
Elever eller lärare
Undersöker Ställer frågor för att de inte förstår. Syftet är att förstå. Lärare eller elever. Argumentera Elever argumenterar för sina olika
sätt att tänka.
Att finna en lösning. Elever Läraren utvecklar Läraren lägger till information för
att elevens förklaring har brister.
För att komma fram till rätt svar eller till en viss matematisk idé.
Lärare Bevis via material Läraren använder material för att
förtydliga en korrekt lösning eller för att öka elevernas förståelse.
För att visa på rätt svar eller för att öka elevernas förståelse.
Lärare
Låter eleverna bevisa varför en lösning är korrekt
Läraren låter eleverna förklara sin korrekta lösning.
Försäkra sig om att eleverna hör en korrekt lösning.
Lärare
Fokuserar Läraren sammanfattar det eleverna sagt/gjort och ställer en fråga som fokuserar specifikt på något de behöver för att ta sig vidare.
För att vägleda eleverna till viktiga matematiska idéer.
Lärare
Bygger konsensus Läraren försöker få eleverna att hålla med om viktiga matematiska idéer.
Etablera gemensam grund i klassrummet.
Lärare
Kollar av konsensus Läraren kollar av om eleverna har några frågor eller kommentarer på en annan elevs lösningsförslag.
För att öppna upp för frågor och kommentarer innan det är dags att gå vidare.
Lärare
Bygger upp kunskap om begrepp
Läraren ställer en fråga som behandlar en viss matematisk idé.
För att främja elevernas matematiska förståelse.
Lärare Eleven fördjupar En elev kommer med matematisk
idé, ett problem eller reflektion som går bortom diskussionsämnet.
Att få eleverna att utvecklas mot en självständighet som
deltagare.
Bilaga 2
Intervjuguide 1
Tema 1: Bakgrund• Vilken befattning har du? • Vilken utbildning har du? • Hur gammal är du?
• Av vilken anledning valde ni att starta upp en spetsgrupp? • Hur har ni arbetat med problemlösning innan?
Tema 2: Planering
• Hur tänkte du kring valet att till andra lektionen använda dig av konkret material?
Tema 3: Introduktion
• När du introducerade problemet så gjorde du det genom att läsa upp problemet precis som det var. Vilka tankar har du kring detta?
Tema 4: Lösningsfasen
• När du gick runt i klassrummet upplevde jag att du ville att eleverna skulle berätta hur de hade tänkt. Vilka tankar finns bakom valet att ställa denna typ av frågor till eleverna?
Tema 5: Diskussion
• Vad tänkte du när Sixten presenterar lösningen 6+9=15?
Tema 6: Helhetsupplevelse
• Hur tyckte du att de valda problemen passade att använda i spetsgruppen? • Vilka svårigheter/möjligheter tycker du det finns med att organisera
Bilaga 3
Intervjuguide 2
Tema 1 Lektionen Fiskar
• I slutet av lektionen så gav du en sista uppgift att ta reda på hur många fiskar Kim får för 50 kr. Du sa i förra intervjun att det var för att du tyckte att de behövde något mer eftersom de började snappa upp tänket. Vad var din förhoppning att denna sista uppgift skulle bidra med?
• Jag har lagt märke till att du egentligen aldrig säger om svaret är rätt eller inte. Hur tänker du kring det?
Lektionen Nallar
Tema 2 Planering
• Vilka tankar hade du innan lektionen? Val av upplägg osv. • Hur tänkte du när du valde problemet med nallarna?
• Hur tänkte kring valet att ge alla elever nallar, pennor och papper för att lösa problemet?
Tema 3 Lösningsfas
• Hur ser du på din roll som lärare under tiden eleverna löser problem enskilt eller i par/grupp?
• Vad tror du är anledningen till att alla elever verkade lösa problemet på ungefär samma sätt?
Tema 4 Helklassdiskussion
• Hur tänker du kring valet att byta fokus från att låta eleverna undersöka antalet sätt fritt till att istället visa på ett systematiskt sätt?
Tema 5 Helhetsupplevelse
• Hur tyckte du att det valda problemet passade att använda i ordinarie undervisning?
• Vilka möjligheter/ svårigheter ser du med att organisera en helklassundervisning genom problemlösning på detta sätt?
Bilaga 4
UTVÄRDERING AV LEKTION
Uppgiften var:
jättelätt ganska lätt ganska svår jättesvår
Jag tyckte lektionen var:
Bilaga 5
Till föräldrar och elever 2018-xx-xx Hej!
Mitt namn är Christina Svensson och jag är handledare för Frida Nensén som är F-3 student inom programmet för lärarutbildningen med fördjupningsämnet matematikens didaktik vid Malmö universitet. Under våren, 2018, kommer Frida att bedriva ett forskningsprojekt tillsammans med xxx xxx: klasslärare och jag som handledare; lektor i matematikens didaktik i Grundskoleförvaltningen i Malmö stad samt lärare i
lärarutbildningen vid Malmö universitet.
Syftet med projektet är att förbättra undervisningen för elever i F-3 att föra och följa fördjupade matematiska resonemang.
Den xx, xx och xx februari kommer Frida till klassen för att undersöka elevernas
resonemang i matematik. Elevens medverkan i studien innebär att de deltar med att göra en del uppgifter enskilt och sedan i grupp där de blir filmade och inspelade. Dessa filmer och skriftliga texter kommer sedan att användas som underlag för Fridas examensarbete i fördjupningsämnet matematik, som nämnts ovan, men även bidra till utveckling av matematikundervisningen på xxx och xxx. Detta underlag kommer sedan att användas av oss samtliga inblandade lärare som oerhört väsentligt material för att vi ska kunna utvärdera och förbättra vår matematikundervisning.
Deltagande är helt frivilligt och eleverna kan välja att avbryta deltagandet när som helst under studiens genomförande om så önskas.
Genom att skriva under det här dokumentet (se nästa sida) lämnar ni medgivande till att:
• Ni har givits full insyn i syftet med studien. Forskaren/lärarstudenten/lärare har
rätt till data till dess att den har använts i en akademisk publikation eller presentation.
• Ni förstår att data rapporteras anonymt, men att studiens data under sällsynta omständigheter genom svensk lagstiftning kan medföra att den presenteras till andra forskare som vill undersöka eventuella avvikelser.
• Ni förstår att Frida och xxx anonymt kommer att samla in skriftliga texter ifrån elever samt material utifrån inspelade gruppaktiviteter som kommer att användas både i forskningsprojektets syfte som i utbildningssyfte.
Datum:__________ Elevens namn:_____________________. Underskrift av målsmän: 1____________________________ 2______________________________ Namnförtydligande: 1____________________________ 2______________________________