Borrhålets termiska motstånd

inte att applicera med hög säkerhet på borrhålsvärmeväxlare eftersom man hamnar utanför intervallet för dess giltighet. Det har helt enkelt inte gjorts några experiment på så långa geometrier som hanteras i detta examensarbete, varför osäkerheten gällande den naturliga konvektionens påverkan på värmeöverföringen är stor.

2.3.3 Borrhålets termiska motstånd

Problemet som diskuterats i tidigare avsnitt behandlar delvis bergets termiska motstånd Rq, det motstånd som begränsar värmeöverföringen från berget till borrhålet och dess periferi. Det totala termiska motståndet från berg till köldbärare, RT, består av bergets termiska motstånd, Rq, adderat med borrhålets termiska motstånd Rb [4].

:_D = :_? + :₄ (31)

Borrhålets termiska motstånd Rb är kopplat till värmeöverföringen mellan borrhålets periferi och köldbäraren. Köldbäraren som rör sig vertikalt längs borrhålet kommer att ha varierande temperatur nedströms och uppströms, vilket kommer innebära olika förutsättningar för värmeöverföring i höjdled [4]. Borrhålets termiska motstånd ges av:

J₄− J = /′:_{4 (32)}

där Tf är temperaturen på köldbäraren och Tb temperaturen vid borrhålsväggen. Borrhålets

termiska motstånd är av högsta vikt vid utveckling av borrhålsvärmeväxlare. Det är framförallt denna parameter som kan påverkas för att öka prestandan på växlaren. Målet är att designa växlaren så att Rb blir så litet som möjligt. Borrhålets termiska motstånd beror av borrhålets radie rb, fyllningens värmeledningsförmåga, köldbärarens egenskaper, rörens position i borrhålet och typen av strömning i kretsen. Motståndet beror dessutom av den naturliga konvektionen i borrhålet samt värmeöverföringen mellan uppgående och nedgående köldbärare, den så kallade termiska kortslutningen [11].

Figur 10. Förenklad beskrivning av delar som borrhålets termiska motstånd beror av [4]

I det verkliga fallet kommer värmeuttaget variera lokalt längs det vertikala borrhålet. Detta är viktigt att förstå då ekvation 32 framförallt definierar borrhålets termiska motstånd [4]. Analogt med elektricitetsläran kan de termiska motstånden till vardera köldbärarkanalen adderas på olika sätt beroende på hur de verkar med berget och varandra. En termisk krets kan ställas upp i syfte att beskriva värmeöverföringen mellan flödeskanaler och borrhålsväggen vid ett givet djup. I avhandlingen av Hellström [11] presenteras borrhålets termiska motstånd för olika konfigurationer; enkelt U-rör, dubbelt U-rör, ringformade koaxiala rör och så vidare. Nedan sammanfattas kortfattat de aktuella motstånden för detta examensarbete.

29 2.3.3.1 Borrhålsmotståndet i enkelt U-rör

Värmeflödena mellan skänklarna i borrhålet kan beskrivas med följande ekvationssystem [11]:

J − J4 = : / ′ + : / ′

J − J4 = : / ′ + : / ′ ⁽³³⁾

där q1’ respektive q2’ är värmeflödena från/till respektive rör. Värmeflödena kan då

uttryckas [11]: / ′ =_{: : − (: ) (J}^{: − :} − J4) +_{: : − (: ) (J}^: − J ) =^(J _:^{− J}_E ⁴⁾+^(J _:^{− J}_E ⁾ / ′ =_{: : − (: ) (J}^{: − :} − J₄₎+_{: : − (: ) (J}^: − J ) =^(J _:^{− J}_E ⁴⁾+^(J _:^{− J}_E ⁾ (34)

Motstånden :E, :E och :E _{bildar tillsammans} Δ-kretsen, där :E och :E _beskriver

motståndet mellan respektive flödesrör och borrhålsväggen och :^E motståndet mellan rören, se figur 11.

Figur 11. Värmeflöden och termisk krets för enkelt U-rör [11].

Motståndet mellan köldbäraren och den inre rörväggen beror av den konvektiva värme-överföringen och ges av [11]:

: =_{2{ ℎ =}¹ _{ ¹₍₎ (35)

där rp är rörets inre radie. Motståndet för en cirkulär rörvägg beror endast av rörmaterialets värmeledningsförmåga och dess tjocklek och ges av [11]:

: _>=^{ln r}

"v

30

där kp är rörmaterialets värmeledningsförmåga, rpo och rpi rörets yttre respektive inre radie. Dessa motstånd verkar i serie och bildar tillsammans [11]:

: = : + : _{> (37)}

Rp motsvarar det termiska motståndet mellan köldbäraren och den yttre rörytan. Motstånden R11, R22 och R12 kan härledas med hjälp av linjekällmetoden vilken approximerar varje rör som en linjekälla. Genom att lösa värmeledningsproblemet stationärt med hjälp av superposition kan motstånden härledas [11]:

: =_{2{ ˆln ‰}^{1 4} "‹ − ⁻₊ ln ‰ ^{4 − C} 4 ‹Œ + : (38) : =_{2{ ˆln r}¹ ₂⁴ Cv − ⁻₊ ln ‰ ^{4 − C} 4 ‹Œ (39)

där Ds är skänkelavståndet mellan rörens centrumaxlar. Vid fallet med samma köldbärar-temperatur i båda rören och då rören ligger symmetriskt i borrhålet blir borrhåls-motståndet [11]:

:₄ = ^:E:E

:E+ :E =^:_{2 =}^{E 1}_{2 ⋅ (: + : )} (40)

Vid det allmänna fallet, med olika köldbärartemperaturer i rören, blir uttrycket för det termiska motståndet mer komplext och beror av köldbärartemperaturerna.

2.3.3.2 Borrhålsmotståndet i koaxial geometri

I en koaxial borrhålsvärmeväxlare uppstår två motstånd; ett motstånd mellan centrum-kanalen och den ringformade centrum-kanalen och ett motstånd mellan den ringformade centrum-kanalen och borrhålsväggen. Motståndet mellan kanalerna ges av [11]:

:E = : + : _>+ : _& (41) där Rfai är det konvektiva motståndet mellan yttre rörväggen och den ringformade kanalen

som ges av [11]:

: _& =_{ ¹₍₎

"(1 − ∗) ₍₄₂₎ där r* = rpo/rb är förhållandet mellan centrumrörets och borrhålets radie. Nusselttalet för

värmeövergången från borrhålsväggen till den ringformade kanalen, Nuo,kan räknas ut med hjälp av formler ur Hellström [11]. Motståndet mellan köldbäraren i den ringformade kanalen och borrhålsväggen ges av:

:E= :₀+ : _>+ : _&" (43) där Rc är ett kontaktmotstånd mellan kapseln och borrhålsväggen:

31 :₀ =_2{¹

\ln ( ^{4+ δr}

4 ) ₍₄₄₎

Parametern kg är värmeledningsförmågan hos materialet som fyller gapet och δr är gapets tjocklek. Det konvektiva motståndet mellan kapseln och den ringformade kanalen, Rfao, ges

av [11]:

: _&" =_{ ¹_{() r}¹_∗− 1v ₍₄₅₎ Eftersom det inte finns någon direkt kontakt mellan den inre flödeskanalen och borrhåls-väggen blir :E = ∞.

Figur 12. Värmeflöden och termisk krets för en koaxial borrhålsvärmeväxlare [11].

Endast i fallet Tf1 = Tf2 = Tf är borrhålsmotståndet oberoende av köldbärartemperaturerna i rören och blir då:

:₄ = :E = :₀+ : _>+ : _&" (46) 2.3.3.3 Effektivt borrhålsmotstånd

Borrhålsmotstånden som presenterades i avsnitt 2.3.3.1–2.3.3.2 beskriver endast motståndet vid ett specifikt borrhålsdjup. Det effektiva borrhålsmotståndet (:₄∗) inkluderar effekten av varierande köldbärartemperaturer längs borrhålet och den termiska kortslutningen mellan flödeskanalerna och definieras enligt [11]:

J+ − J+₄ = /+′:₄∗ (47)

där J+₄är borrhålväggens medeltemperatur och J+ är medelfluidtemperaturen (medelvärdet av köldbärarens in- och utloppstemperatur):

J+ =¹_{2 ⋅ (J 3}+ J ₂₁) (48)

Medeleffekten /+′ per meter borrhål är den totalt uttagna effekten från borrhålet, 89 , dividerat med borrhålslängden L. Ofta antas borrhålsväggens medeltemperatur vid beräkningar av Rb^*, men i detta examensarbete kommer det riktiga medelvärdet att beräknas utifrån erhållna simuleringsresultat.

32