Att tänka på bråk som antal av en enhet var inget som någon av informanterna beskrev. Tanken kan ha varit helt ny för dem. Det denna studie visade på var att eleverna anammade tanken och kunde använda den vid bråkräkning. Att de, utan någon längre beskrivning av begreppsbilden kunde använda den skulle kunna bero på att den bygger på något som för eleverna är förhållandevis igenkänningsbart. Eleverna sade sig kunna skapa en inre bild av bråk som tårtbitar. Förmågan att se bråk som tårtbitar visade alla elever redan i inledningen av samtalen.
8 Diskussion
Att de tre informanterna efter avklarad matematikutbildning för grundskolan innehar både operationella och strukturella begreppsbild verkar det inte vara något tvivel om. Eleverna uppvisar tydliga bevis för att båda begreppsbilderna finns och används vid olika tillfällen. I bakgrundsdelen beskrivs både Sfards (1991) teorier om inlärning inom matematik och den realistiska matematikundervisningens tankar om hur inlärning bör byggas upp. Båda teorierna har en stark koppling mellan den operationella och den strukturella begreppsbilden. Utifrån de svar som informanterna givit under intervjuerna är det svårt att se kopplingen mellan begreppsbilderna hos eleverna. Det betyder inte att den inte kan finnas, men eleverna uppvisar få kopplingar mellan dem. Den strukturella begreppsbilden använder eleverna när de fritt tänker på bråk i största allmänhet. När de utsätts för skolnära matematikuppgifter byter de begreppsbild och tänker helt i matematiska processer.
Denna studie ger inga tecken på att eleverna som intervjuats har byggt upp sin kunskap rörande bråk i enlighet med den realistiska matematikundervisningen. Alla elever valde operationella resonemang vid alla uppgifter, förutom den öppna beskrivningen av bråk. Om det är Sfards (1991) teorier om hur kunskap byggs upp eller om det är av andra orsaker som eleverna uppvisar tydliga operationella lösningsformer, kan inte denna studie svara på. Rörande synsättet där bråk ses som ett antal av en enhet verkar det som att eleverna inte arbetat med detta tidigare. Att idén kan underlätta vid huvudräkning gav alla elever en fingervisning om. Eleverna kunde lösa addition, multiplikation och division med papper och penna, men genom bråk som ett antal av en enhet kunde de lösa vissa uppgifter direkt i huvudet.
Noterbart är att den elev som visade störst säkerhet för processerna rörande bråkräkning var den som snabbast anammade den strukturella begreppsbilden bråk som antal av en enhet. Sfard (1991) gör antagandet att strukturella begreppsbilders uppbyggnad sker med hjälp av kunskaper om ämnets processkunskaper. Starka operationella kunskaper underlättar skapandet av strukturella begreppsbilder. Det lilla urval av elever denna undersökning hade kan inte svara på om så är fallet, men resultatet överensstämmer med teorin.
Man kan argumentera för att skapandet av en inre bild av bråk som antal av en enhet är av en tillräckligt enkel karaktär för att de operationella kunskaperna inte ska vara avgörande. Att se sjundedelar som en enhet och omvandla 5/7 till fem separata sjundedelar underlättas av att det går att skapa en bild av detta på ett papper. Sfard (1991) antar att icke visualiserbara imaginära bilder av matematik kräver större procedurella kunskaper än de som kan ritas på ett papper. Detta antagande sätts inte på prov i denna studie.
Ur Skolverkets perspektiv är det till elevernas fördel att besitta denna strukturella begreppsbild. En del av bedömningsunderlaget för nationella prov i årskurs nio är gradering av elevernas förmåga att ta till sig andras beskrivningar och vidareutveckla dem. Alla elever visade förmåga att ta till sig ett nytt synsätt och att använda det.
Är begränsningen för användandet av matematik vid problemlösning ett tecken på automatiserade procedurella kunskaper? Möjligtvis är det så att användandet av minsta gemensamma nämnare är kopplat till uppgifter av formen ett bråk plus ett bråk. När uppgiften var en ekvation kom inte tanken på gemensam nämnare lika naturligt.
Med en starkare strukturell begreppsbild hade eleven möjligtvis urskilt bråkadditionen vid undersökningen av ekvationen.
Kan det vara som Pettersson et al. (2013) beskriver behovet av begreppsbilder? Författarna ser ett behov av att öka precisionen i begreppsbilderna för att utvidga och förfina användandet av dem. De elever som utökade sina matematiska vokabulär lyckades bättre med att förbättra sina begreppsbilder av funktioner. Möjligtvis hade två av de tre informanterna i denna studie för vaga begreppsbilder för att de skulle vara behjälpliga vid till exempel ekvationslösning. Pettersson et al. (2013) beskriver behovet av multipla förmågor rörande begreppsbilder. Elever som skapar kopplingar mellan begreppsbilderna och ökar precisionen av dem förbättra sin förståelse för matematiken. Eleverna i denna studie skulle enligt denna teori förbättra sitt matematiska kunnande om de skapade starkare band mellan begreppsbilderna.
En förklaring till resultatet av denna studie skulle kunna vara att eleverna besitter strukturella begreppsbilder men väljer att använda de operationella. Det skulle kunna vara så att eleverna undermedvetet tänker på bråk i form av bilder av tårtor, utan att berätta om det vid samtalen. Att besitta starka processkunskaper är inget negativ, men utan förståelsen för varför processerna fungerar finns risken att de sammanblandas. Vid bråkdivisionen visade eleverna en osäkerhet kring vilket tal som skulle inverteras. Ingen kunde ge en klar ock tydlig förklaring till varför bråket skulle förlängas med inversen av nämnaren. Det är inte möjligt att i denna studie avgöra orsaken till elevernas brister inom bråkdivision. Både Karlsson (2019) och teorierna bakom RME betonar vikten av att undervisa på rätt abstraktionsnivå. Här möts igen Sfard och Freudenthals teorier. Att eleverna undervisats om bråkdivision genom invertering ligger i linje med Sfards tankar. Abstraktionsnivån ligger lite över elevernas förmåga, för tillfället.
Ingen av de tre informanterna visade tecken på att använda annat än operationella begreppsbilder vid bråkräkning. Om det beror på den undervisning de fått kan inte denna studie besvara. Möjligtvis har eleverna undervisats i både operationella och strukturella begreppsbilder men medvetet eller omedvetet valt att fokusera sin inlärning på de operationella delarna. Något som möjligtvis talar emot att eleverna arbetat med strukturella bilder är elevernas reaktion vid tanken på bråk som antal av en enhet. Eftersom alla tre förhållandevis snabbt anammade metoden och såg fördelarna med den hade de kanske valt att tänka mer strukturellt om de varit vana vid strukturella tankar.
Elevernas svar är inte ett bevis för att varken Sfards eller RME har rätt eller fel. Elev 2 som uppvisar mycket goda bråkräkningsfärdigheter och anser sig själv vara stark i bråkräkning anammar snabbt tanken om att se bråket som tårtbitar. Enligt Sfards teori byggs de strukturella begreppsbilderna upp genom övning i de matematiska processerna. Det stämmer bra med hur elev 2 reagerade vid introducerande av bråk som antal av en enhet. Att alla elever tog till sig den strukturella bilden bråk som antal av en enhet kan vara ett tecken på att inlärningen blir effektivare i en igenkänningsbar kontext. Det skulle vara helt i linje med RME:s bild av effektiv inlärning.
9 Avslutande summering
Resultatet av denna studie är av intresse för individer som arbetar med undervisning och för elever som själva ska försöka lära sig matematik. Denna studie antyder att elever väljer olika vägar fram till lösningen på matematiska problem beroende på vilken begreppsbild som används.
Men vad är det som skapar begreppsbilderna hos eleverna? En intressant fråga är vilken form av undervisning som leder fram till de olika begreppsbilderna. Finns det en korrelation mellan undervisningsform och begreppsbild eller anammar olika elever representationsmodeller med varierad lätthet. En studie där elever som undervisats enligt RME jämförs med elever som undervisats med utgångspunkt i operationer kan ge en fingervisning om korrelation mellan undervisning och begreppsbilder.
På grund av betygens betydelse för antagning till vidare studier är frågan om vilken undervisningsform och begreppsbild som leder till största inhämtande av kunskap av intresse. Är det så att elevers varierade inlärningsförmågor leder till att olika undervisningsformer och begreppsbilder bör användas? Finns det en korrelation mellan elevers begreppsbilder och betyg. Genom en studie med till exempel 4 elever med betyg E, 4 med betyg D och så vidare kan eventuell korrelation mellan betyg och begreppsbild synliggöras.
En begränsning i denna studie var att endast tre elever valde att delta. Att studien genomfördes under elevernas sommarlov kan vara en bidragande orsak. Med en större grupp informanter hade resultatet kunnat blivit tydligare och svarsvariationen bredare.
10 Referenser
Berggren, P., Lindroth, M. (2004). Positiv matematik. Solna: Ekelunds förlag AB.
Braun, V., Clarke, V., (2008). Using thematic analysis in psychology, Qualitative Research
in Psychology. 3:2, 77 - 101. DOI: 10.1191/1478088706qp063oa
Breen, S., Larson, N., O’Shea, A., Pettersson, K. (2017). A study of students’ concept images
of inverse functions in Ireland and Sweden. Nordic Studies in Mathematics Education, 22
(4), 85 – 102.
Clarke, D., Roche, A. och Mitchell, A. (2010). Tio sätt att göra bråk levande. Nämnaren, (2), 37 – 44.
Curtis, F, (2017, 11). Commognitive analysis of a teacher’s mathematical discourse on the
derivative. British Society for Research into Learning Mathematics Conference, Volume: 37
(3)
Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken, För småskaliga forskningsprojekt inom
samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur AB.
Gustavsson, I.M., Jakobsson, M., Nilsson, I., Zippert, M. (2011). Matematiska uttrycksformer och representationer. Nämnaren, (3), 36 - 45
Holme, I., Solvang, B. (1996). Forskningsmetodik. Lund: Studentlitteratur AB.
Karlsson, I. (2019). Elever i matematiksvårigheter. (Doktorsavhandling, Lunds universitet, Institutionen för utbildningsvetenskap)
Lipovec, A., Podgorošek, M. (2017). Students’ visual representations of fractions and
exponentiation. International Symposium Elementary Maths Teaching, Prague.
Murdock- Stewart, V. (2005). Making Sense of Students' Understanding of Fractions: An
Exploratory Study of Sixth Graders' Construction of Fraction Concepts Through the Use of Physical Referents and Real World Representations. (Doktorsavhandling, The Florida State
University, Department of Middle and Secondary Education)
Park, J, (2015). Is the derivative a function? If so, how do we teach it? Educational Studies in Mathematics, Vol. 89 (2) , 233-250. DOI 1 0. 1 007/s 1 0649-0 1 5 -960 1 -7
Pettersson, K., Stadler, E., Tambour, T., (2013). Transformation of students discure on the
threshold concept of function, Proceedings of the Eight Congress of the European Society for
Research in Mathematics Education, 2013. 2406 - 2415,
Sfard, A, (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes
and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22 (1),
1-36. doi.org/10.1007/bf00302715
Skott, J., Jess, K., Hansen, HC., Lundin, S. (2010). Matematik för lärare. Malmö: Gleerups Utbildning AB.
Skolverket (2000). Att samla in och bearbeta data.
https://www.skolverket.se/publikationsserier/stodmaterial/2000/att-samla-in-och-bearbeta-data---verktyg-for-utvardering?id=717
https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-
grundskolan/laroplan-lgr11-for-grundskolan-samt-for-forskoleklassen-och-fritidshemmet?url=1530314731%2Fcompulsorycw%2Fjsp%2Fsubject.htm%3FsubjectCode %3DGRGRMAT01%26tos%3Dgr&sv.url=12.5dfee44715d35a5cdfa219f