4 Resultat
4.2 Dimensionering av bjälklagselement
Typiskt dimensioneras en KL-träplatta enligt balkteori. Då kan plattan ses som en balk med bredden 1 meter, fritt upplagd över två stöd (Gustafsson et al., 2017). De lasteffekter som skall kontrolleras beror på de aktuella last- och upplagsförhållanden samt byggnadsdelens utformning enligt SS-EN 1990 (2010). Bruksgränstillståndet är ofta dimensionerande (Gustafsson et al., 2017), och kontroll måste göras för nedböjning och vibrationer.
4.2.1
Kontroll av böjspänning i brottgränstillstånd
För moment kring y-axeln kontrolleras plattan likt avsnitt 6.1.6 i Eurokod 5 (SS-EN 1995-1-1:2004, 2009), enligt ekvation 4.8 (Gustafsson et al., 2017, s. 55). Enligt Eurokod 5 (SS-EN 1995-1-1:2004, 2009) skall även kombination av moment kring y- och z-axeln, men detta är normalt inte aktuellt för en bjälklagsplatta. Enligt Gustafsson et al. (2017) skall hänsyn tas till samverkan mellan de ingående brädorna med parametern 𝑘𝑠𝑦𝑠.
𝜎𝑚,𝑦,𝑑 = 𝑀𝑦,𝑑
𝑊𝑥,𝑛𝑒𝑡 ≤ 𝑓𝑚,𝑥,𝑑 = 𝑘𝑠𝑦𝑠⋅ 𝑘𝑚𝑜𝑑⋅ 𝑓𝑚,𝑥,𝑘
𝛾𝑀 [Ekv. 4.8]
𝜎𝑚,𝑦,𝑑 dimensionerande böjspänning kring y-axeln. 𝑀𝑦,𝑑 dimensionerande böjmoment kring y-axeln.
𝑊𝑥,𝑛𝑒𝑡 böjmotstånd parallellt med x-riktning enligt ekvation 4.9.
𝑓𝑚,𝑥,𝑑 dimensionerande böjhållfasthet för brädor parallellt med x-riktning. 𝑘𝑠𝑦𝑠 systemeffektsfaktor enligt ekvation 4.7.
𝑘𝑚𝑜𝑑 korrektionsfaktor enligt SS-EN 1995-1-1:2004 (2009) avsnitt 2.3.2.1. 𝑓𝑚,𝑥,𝑘 karakteristisk böjhållfasthet för brädor parallellt med x-riktning. 𝛾𝑀 partialkoefficient för materialegenskaper.
Böjmotståndet beräknas med nettotröghetsmomentet och det betyder att endast de lager med fibrerna orienterade i den undersökta bärriktingen tas hänsyn till, enligt ekvation 4.9 (Gustafsson et al., 2017, s. 41).
𝑊𝑥.𝑛𝑒𝑡 =2 𝐼𝑥.𝑛𝑒𝑡
ℎ𝑘𝑙𝑡 [Ekv. 4.9]
𝐼𝑥.𝑛𝑒𝑡 nettotröghetsmoment enligt ekvation 4.2. ℎ𝑘𝑙𝑡 total höjd av tvärsnitt.
4.2.2 Kontroll av tvärkraft i brottgränstillstånd
Vid kontroll av tvärkraft tillses att dimensionerande tvärkraft ej ger upphov till skjuvbrott. De skikt i bärande riktning närmast mitten av tvärsnittet är dimensionerande för längsskjuvningen. I KL-trähandbok presenterar Gustafsson et al. (2017, s. 57) en metod för kontroll av längsskjuvningen. Denna visas i ekvation 4.10.
𝜏𝑣,𝑥𝑧,𝑑 =𝑆𝑥,𝑛𝑒𝑡⋅ 𝑉𝑥𝑧,𝑑
𝐼𝑥,𝑛𝑒𝑡⋅ 𝑏𝑥 ≤ 𝑓𝑣,090,𝑦𝑙𝑎𝑦,𝑑= 𝑘𝑚𝑜𝑑⋅
𝑓𝑣,090,𝑦𝑙𝑎𝑦,𝑘
𝛾𝑀 [Ekv. 4.10]
𝜏𝑣,𝑥𝑧,𝑑 dimensionerande hållfasthet för längsskjuvning. 𝑆𝑥,𝑛𝑒𝑡 statiska moment, se ekvation 4.11.
𝑉𝑥𝑧,𝑑 dimensionerande tvärkraft.
𝐼𝑥,𝑛𝑒𝑡 nettotröghetsmoment enligt ekvation 4.2. 𝑏𝑥 skivans bredd.
𝑓𝑣,090,𝑦𝑙𝑎𝑦,𝑑 dimensionerande skjuvhållfasthet för brädor parallellt med y-axeln. 𝑘𝑚𝑜𝑑 korrektionsfaktor enligt SS-EN 1995-1-1:2004 (2009) avsnitt 2.3.2.1. 𝑓𝑣,090,𝑦𝑙𝑎𝑦,𝑘 karakteristisk skjuvhållfasthet för brädor parallellt med y-axeln. 𝛾𝑀 partialkoefficient för materialegenskaper.
Det nettostatiska momentet för det längsgående skiktet närmast neutralaxeln visas i ekvation 4.11, enligt Gustafsson et al. (2017, s. 42). Den sista termen kan strykas om skiktet ej ligger i neutralaxeln. Enligt Wallner-Novak et al. (2014) blir 𝐸𝑥.𝑖
𝐸𝑟𝑒𝑓= 1 om E-modulerna är samma för alla skikt.
𝑆𝑥,𝑛𝑒𝑡 = ∑𝐸𝑥,𝑖 𝐸𝑟𝑒𝑓 𝑘𝐿 𝑖=1 𝑏𝑥𝑡𝑖𝑎𝑖+𝑏𝑥( 𝑡𝑖 2− 𝑎𝑖) 2 2 [Ekv. 4.11]
𝑘𝐿 term för det längsgående skiktet närmast tyngdpunkten (Gustafsson et al., 2017). 𝐸𝑥,𝑖 elasticitetsmodul för lager parallellt med x-axeln.
𝐸𝑟𝑒𝑓 valt referensvärde för elasticitetsmodul. 𝑏𝑥 skivans bredd.
𝑡𝑖 aktuellt brädskikts tjocklek.
𝑎𝑖 aktuellt brädskikts avstånd till neutrallager.
Enligt Gustafsson et al. (2017) är hållfastheten för rullskjuvningen betydligt lägre än för
längsskjuvning. Detta kontrolleras i de tvärgående skikten närmast neutralaxeln. Normalt behöver bredden ej reduceras med faktorn 𝑘𝑐𝑟, då risken för sprickor är liten (Gustafsson et al., 2017). Ekvation 4.12 (Gustafsson et al., 2017, s. 57) visar en metod för kontroll av rullskjuvningen.
𝜏𝑅𝑣,𝑦𝑧,𝑑 =𝑆𝑅,𝑦,𝑛𝑒𝑡⋅ 𝑉𝑦𝑧,𝑑
𝐼𝑦,𝑛𝑒𝑡⋅ 𝑏𝑦 ≤ 𝑓𝑣,9090,𝑥𝑙𝑎𝑦,𝑑= 𝑘𝑚𝑜𝑑⋅
𝑓𝑣,9090,𝑥𝑙𝑎𝑦,𝑘
𝛾𝑀 [Ekv. 4.12]
Det nettostatiska momentet för det längsgående skiktet närmast neutralaxeln visas i ekvation 4.13 (Gustafsson et al., 2017, s. 41). Enligt Wallner-Novak et al. (2014) blir 𝐸𝑥.𝑖
𝐸𝑟𝑒𝑓 = 1 om E-modulerna är samma för alla skikt.
𝑆𝑅,𝑦,𝑛𝑒𝑡= ∑𝐸𝑦,𝑖 𝐸𝑟𝑒𝑓 𝑚𝐿
𝑖=1
𝑏𝑦𝑡𝑖𝑎𝑖 [Ekv. 4.13]
4.2.3 Kontroll av nedböjning i bruksgränstillstånd
Den metod för beräkning av nedböjning av balkar baseras på Bernoulli-Eulers balkteori. Den tar inte hänsyn till skjuvdeformationer om inte en effektiv böjstyvhet beräknas. Den effektiva böjstyvheten finns beskriven i Eurokod 5 Bilaga B (SS-EN 1995-1-1:2004, 2009). Då beräknas nedböjningen enligt ekvation 4.14 (Gustafsson et al., 2017, s. 62), för en tvåsidigt upplagd bjälklagsstrimla med en linjelast.
𝑤𝑚𝑖𝑡𝑡 = 5 ⋅ 𝑞𝐿 4 384 ⋅ 𝐸𝐼𝑒𝑓 [Ekv. 4.14] 𝑞 linjelast. 𝐿 spännvidd. 𝐸 elasticitetsmodul.
𝐼𝑒𝑓 effektivt tröghetsmoment enligt ekvation 4.4.
Enligt Gustafsson et al. (2017) kan även Timoshenkos balkteori användas för beräkning av nedböjning. Modellen tar hänsyn till den deformation skjuvningen ger upphov till i den andra termen, enligt
ekvation 4.15 (Gustafsson et al., 2017, s. 61). 𝑤𝑚𝑖𝑡𝑡= 5 ⋅ 𝑞𝐿 4 384 ⋅ 𝐸𝐼𝑛𝑒𝑡+ 𝑞𝐿2 8 ⋅ 𝐺𝐴𝑠 [Ekv. 4.15] 𝑞 linjelast. 𝐿 spännvidd. 𝐸 elasticitetsmodul.
𝐸𝐼𝑛𝑒𝑡 nettoböjstyvhet enligt ekvation 4.16 (Gustafsson et al., 2017, s. 61). 𝐺𝐴𝑠 skjuvkapacitet enligt ekvation 4.17 (Gustafsson et al., 2017, s. 61). där
𝐸𝐼𝑛𝑒𝑡 = ∑𝐸𝑖𝐼𝑖+ 𝐸𝑖𝐴𝑖𝑎𝑖2 [Ekv. 4.16] 𝐸 elasticitetsmodul för aktuellt skikt.
𝐼𝑖 nettotröghetsmoment för aktuellt skikt enligt ekvation 4.2. 𝐴𝑖 arean av aktuellt skikt.
𝑎𝑖 aktuellt brädskikts avstånd till neutrallager. och
𝑆𝑥,𝐾𝐿𝑇 = 𝐺𝐴𝑠 = 𝜅∑𝐺𝑖𝑏𝑖𝑡𝑖 [Ekv. 4.17]
𝜅 skjuvkorrektionsfaktor. 𝐺𝑖 skjuvmodul för aktuellt skikt. 𝑏𝑖 tvärsnittsbredd av aktuellt skikt. 𝑡𝑖 tvärsnittetstjocklek av aktuellt skikt.
Skjuvkorrektionsfaktorn, 𝜅, är omständlig att beräkna men exempelvis KL-trähandbok tillhandahåller en tabell för några vanliga KL-träskivor (Gustafsson et al., 2017). Wallner-Novak et al. (2014, s. 186) presenterar en enklare sammanställning av vanliga värden för KL-träskivor med varierande
Tabell 4.2. Vanliga värden på skjuvkorrektionsfaktor (Wallner-Novak et al., 2014, s. 186)
3 skikt 0,15 ≤ 𝜅 ≤ 0,18 5 skikt 0,18 ≤ 𝜅 ≤ 0,20 7 skikt 0,25 ≤ 𝜅 ≤ 0,29 9 skikt 0,26 ≤ 𝜅 ≤ 0,19
4.2.4 Kontroll av vibrationer i bruksgränstillstånd
Enligt Eurokod 5 kapitel 7.3 (SS-EN 1995-1-1:2004, 2009) skall bjälklag kontrolleras så att vibrationer ej ger upphov till skada på konstruktionen eller till obehag för användaren. Vidare beskrivs att om ett bjälklag har en egenfrekvens mindre än eller lika med 8 Hz bör en särskild utredning göras. I
Martinsons handbok i KL-trä (Martinsons, 2016) anges 𝑓1≥ 10 𝐻𝑧 som rekommenderat värde för bjälklag i bostäder.
Beräkning av egenfrekvens görs enligt ekvation 7.5 i SS-EN 1995-1-1:2004 (2009). För ett bjälklag med egenfrekvensen större än 8 Hz kan den kontrolleras så att bjälklaget uppfyller två krav. Det första kravet är att nedböjningen per kN uppfyller krav enligt ekvation 4.18 (SS-EN 1995-1-1:2004, 2009, s. 57), där bjälklaget anses belastat med en kraft 𝐹 = 1 𝑘𝑁 där den ger störst verkan. Enligt Boverket (2016) kan kravet sättas till 𝑎 = 1,5 𝑚𝑚/𝑘𝑁.
𝑤
𝐹 ≤ 𝑎 [Ekv. 4.18]
Enligt Gustafsson et al. (2017) kan KL-träbjälklag till viss del ses som fyrsidigt upplagt då lasterna fördelas i sidled. Då kan ekvation 4.19 (Gustafsson et al., 2017, s. 100) användas för att beräkna nedböjningen med lastfördelningsfaktor 𝐵𝑒𝑓 enligt ekvation 4.20 (Gustafsson et al., 2017, s. 100).
𝑤 = 𝑃𝐿 3 48 ⋅ (𝐸𝐼)𝐿⋅ 𝐵𝑒𝑓 [Ekv. 4.19] där 𝐵𝑒𝑓 = 𝐿 1,1√ (𝐸𝐼)𝐵 (𝐸𝐼)𝐿 [Ekv. 4.20]
𝑃 punktlast som verkar i mitten. 𝐿 bjälklagets spännvidd. (𝐸𝐼)𝐿 böjstyvhet i bärande riktning.
(𝐸𝐼)𝐵 böjstyvhet vinkelrätt bärande riktning.
Det andra kravet enligt Boverket (2016) är att bjälklaget ska uppfylla att impulshastighetsresponsen 𝑏 = 100 𝑚/𝑁2. 𝑣 beräknas enligt ekvation 7.6 i SS-EN 1995-1-1:2004 (2009, s. 58). Se ekvation 4.21.
𝑣 ≤ 𝑏𝑓1𝜁−1 [Ekv. 4.21]
Den relativa dämpningen kan enligt SS-EN 1995-1-1:2004 (2009) sättas till 𝜁 = 0,01, men enligt Gustafsson et al. (2017) kan den ges högre värden för KL-träbjälklag. Det konstateras dock vidare att få undersökningar har gjorts. Förslag på dessa värden för olika uppbyggnad av bjälklaget ges i tabell 4.3 (Gustafsson et al., 2017, s. 98).
Tabell 4.3. Förslag på värden för relativ dämpning (Gustafsson et al., 2017, s98).