Vi har valt att dela upp detta avsnitt i tre delar:en diskussion om metod, en resultatdiskussion och en avslutande del där vi där vi bl a ger förslag till vidare forskning om elevers svårigheter med bråkbegreppet
.
6.1 Metoddiskussion
Vi valde ut åtta elever ur årskurs åtta och nio. Urvalet byggde på att vi ville ha en jämn könsfördelning och att eleverna skulle känna varandra, varför vi valde elever ur samma matematikgrupp. Några nackdelar med vår metod uppenbarade sig när vi skulle bearbeta materialet då en det var svårt att höra allt som sades på bandet. När eleverna talade om en figur i uppgiften var det ibland svårt att avgöra vilken uppgift de menade.
Vi har valt intervju och grupparbete som metod av flera skäl. Vi ville veta hur elever
resonerade när de löste problem med bråk och då var deras samtal värdefullt att få tillgång till. Vi tror också att när eleverna fick arbeta tillsammans så gynnade det deras kreativa tänkande.
6.2 Resultatdiskussion
Vår undersökning handlar om hur elever i resonerar när de löser uppgifter med tal i bråkform och vilka svårigheter de har med bråkräkning. Under våra praktikperioder har vi kunnat se att elever har svårigheter med att hantera bråkuppgifter på både grundskole- och gymnasienivå. När vi studerade forskningslitteratur om bråk kunde vi notera att problemet har funnits över tid. Artiklarna i Nämnaren från 70-talet (Thompson, 1979) visar att en diskussion om tal i
34
bråkform och elevernas svårigheter med dem var legio. Problemet är alltså inte nytt och vi har sett i Engström (1997) att de felmönster han har identifierat även finns hos elever i vår
undersökning.
De frågeställningar som var aktuella för vår undersökning var
• Hur resonerar elever när de löser uppgifter med bråk? • Hur uppfattar elever tal i bråkform?
• Vilka svårigheter har elever med bråkräkning?
Vi har tittat på olika aspekter av bråkräkning som bråk med olika nämnare, del av helhet, del av antal, bråk i blandad form, förkortning och förlängning eller ett tal på tallinjen, mått på förhållande. Uppgifterna innehåller dessa moment och elevernas lösningar har vi analyserat i förhållande till Engströms (1997) terminologi där han diskuterar elevernas felmönster utifrån begrepp som t ex N-distraktion och konstruktiva mekanismer.
Många av eleverna visade sig vilja använda decimalform och procentform när de jämförde tal i bråkform med varandra, det verkade som det var en strategi för att komma fram till en lösning och vi upptäckte också fall av N-distraktion i addition och subtraktion av bråk. Det förvånade oss att elever i årskurs nio tror att förkortning kan ske med hjälp av addition
respektive subtraktion. Vi observerade också att N-distraktion förekom då eleverna var osäkra på hur de skulle angripa ett problem. Relationen del-helhet visade sig vara begriplig för de flesta även om någon grupp föreslog att dela antalet svarta kulor med antalet vita istället för det totala antalet i lådan.
Elevernas uppfattning om tal i bråkform var skiftande. En del behandlade dem som naturliga tal, andra omvandlade enkla tal i bråkform till decimal-eller procentform. Vi har sett att elever kan hantera addition och subtraktion då bråken har samma nämnare men då bråken har olika nämnare uppstår felmönster som t ex N-distraktion. Svårigheter uppstår också då elever ska integrera delen i helheten. I vår undersökning kunde vi inte komma fram till om diskreta eller kontinuerliga mängder upplevs svårare. Hos forskare som Engström (1997) har vi däremot funnit att elever upplever uppgifter där bråket representerar en kontinuerlig mängd som t ex en limpa svårare än en diskret mängd som t.ex. kulor. En möjlig didaktisk konsekvens är att lärare bör välja uppgifter för eleverna där diskreta och kontinuerliga mängder representeras i olika former.
35
Faktorer som påverkar elevers hantering av bråkuppgifter är identifierade av bl a Engström (1997) och vi ville se om vi kunde upptäcka liknande mönster hos de elever som ingick i vår undersökning. Engströms undersökning har varit inspirerande för vårt arbete och de resultat han har kommit fram till har varit nyttiga för vår analys. Eleverna arbetade i grupper om två och två och vi tror att deras samarbete skulle kunna vara en faktor som ökade deras förmåga att lösa problem.
6.3 Avslutning
Vår studie har pekat på de svårigheter elever har när det gäller bråkräkning. De felmönster som vi har funnit finns identifierade inom matematikdidaktisk forskning nationellt och internationellt: Engström (1997) och Kieren (1993) m.fl. Vi anser att det behövs fortsatt forskning i ämnet eftersom bråkräkning är en del av kursplanerna för grundskolan och gymnasiet och många elever har svårigheter med att hantera matematikuppgifter med bråk. Bråkbegreppet tas upp i samtliga senare årskurserna i grundskolan men elevernas inställning till tal i bråkform verkar inte diskuteras. Om lärarna görs medvetna om mekanismerna bakom elevernas uppfattningar och svårigheter med bråk torde det innebära ett nytt perspektiv på det didaktiska arbetet med bråk i skolan. Att elever så ofta behandlar tal i bråkform som naturliga tal borde kunna väcka tankar hos matematiklärare som skulle kunna leda till en förändrad didaktisk syn på begreppet bråk. Vi anser att vår undersökning pekar på behovet av en diskussion om elevers uppfattningar om bråk och om matematiklärare blir medvetandegjorda om dem så kan undervisningen göras mer ändamålsenlig. I vår undersökning finns en
elevuppfattning om bråk som något man inte behöver komma ihåg. Eftersom vidare matematikkurser kräver en god förståelse av bråkbegreppet är det viktigt att elevernas
förhållningssätt till bråk analyseras från olika perspektiv. Affektiva och kontextuella faktorer spelar säkert en roll och det kan vara ett perspektiv för vidare forskning. Undervisning i matematik skulle i större utsträckning kunna integrera bråk i matematikuppgifterna om t ex ekvationer och procent. Vår undersökning är begränsad och vår förhoppning är att den kan bidra till att öka förståelsen om elevers förhållande till tal i bråkform.
Avslutningsvis vill vi tacka vår handledare Eva Davidsson som har gett oss konstruktiv kritik under resans gång. Vi vill också rikta ett tack till de elever som har medverkat i vår
36
Litteraturförteckning
Engström, Arne (red.) (2004). Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Engström, Arne (1997). Reflektivt tänkande i matematik. Stockholm: Almqvist & Wiksell International
Kieren, Thomas E. (1993). Rational numbers. An integration of research. Hillsdale. NJ: Lawrence Erlbaum.
Kilborn, Viggo (1999). Didaktisk ämnesteori i matematik. Rationella och irrationella tal. Stockholm: Utbildningsförlaget.
Nationalencyklopedin (a) (2006). Hämtades 2006-12-17 från http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=291046
Nationalencyklopedin (b) (2006) Hämtades 2006-12-17 från
http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=154559&i_word=division
Nationalencyklopedin (c)(2006) Hämtades 2006-12-17 från
http://www.ne.se/jsp/search/article.jsp?i_art_id=267562&i_word=naturligt%20tal
Thompson, Jan (1996). Matematiken i historien. Lund: Studentlitteratur.
Thompson, Jan (1979). Bråkräkning i grundskolan – behövs det? Nämnaren Tema 5, 58-59
Streefland, Lee (1991). Fractions in realistic mathematics education. A paradigm of
developmental research. Dordrecht: Kluwer.
Thunberg m.fl.( 2006) Hämtades 2006-12-15 från http://www.math.kth.se/gmhf/gylararenkat.pdf
Utbildningsdepartementet (1998). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet,
förskoleklassen och fritidshemmet. Lpo 94 anpassad till att också omfatta förskoleklassen och fritidshemmet. Stockholm: Skolverket/Fritzes.
37
Bilaga 1
Uppgift 1- del av antal.
Skugga en tredjedel av kulorna.
○ ○ ○
○ ○ ○
Uppgift 2 – dela figur i lika stora delar
Skugga en åttondel av figuren
Uppgift 3 – dela figur i givna lika stora delar
38
Uppgift 4 – dela figur i givna lika stora delar
Hur stor del av kulorna är svarta?
○ ○ ● ●
● ● ● ●
Uppgift 5 – jämförelse av bråk
Vilket tal är markerat på tallinjen?
a) 4 4 b) 5 4 3 c) 5 15 d) 4 3 3 1 2 3 4 0
39
Uppgift 6 – förhållande, del av figur
Vilken av figurerna är mest skuggad?
Figur 1
Figur 2
40
Uppgift 7 – jämförelse, relation
Vilket eller vilka av talen är lika med ?
12 1 20 7 9 2 36 12 15 5
Uppgift 8 – formandet av enhet
Du ser en tredjedel av figuren. Rita hela figuren.
Uppgift 9 – formandet av enhet
Hur många svarta kulor måste du lägga i för att de svarta kulorna ska utgöra
5 3
av totala
antalet kulor?
41
Uppgift 10 – formande av helhet
John vill spara en fjärdedel av sina pengar. Hur mycket pengar måste han få för att kunna spara 2 dollar?
42
Bilaga 2
Malmö Högskola Lärarutbildningen
Jari Kinnunen och Roger Tunryd tfn 040 30 02 29 (Jari hem) 040 96 98 54 (Roger hem) E-post: ll020064@stud.mah.se
Malmö 4 november 2006
Examensarbetet på lärarutbildningen
Då vi är inne på den sista terminen på lärarutbildningen håller vi på med vårt examensarbete på 10 p. Det kommer att handla om elevers förståelse av begreppet bråk Vi kommer att närmare studera ämnet bl a genom intervjuer och ett antal testuppgifter som några elever ur årskurs 8 och 9 kommer att få genomgå, däribland just i Er sons/dotters klass.
Samtliga personuppgifter som samlas in är sekretessbelagda och är endast tillgängliga för oss och vår handledare Eva Davidsson. Intervjuerna kommer att behandla
matematikundervisning och skolfrågor. Inga känsliga personliga frågor ställs och eleverna avgör givetvis själva om de vill delta eller inte. Skolan, klasserna och intervjupersonerna kommer att avidentifieras. Inga enskilda elever kommer alltså att kunna identifieras. Då alla elever ännu inte fyllt 15 år vill vi på detta sätt informera Er målsmän om projektet. Har Ni frågor eller synpunkter går det bra att kontakta oss via telefon eller e-post. Är det någon som trots garantierna inte vill att Er son/dotter ingår i denna undersökning måste vi få veta detta senast den 2006-11-29
Med vänliga hälsningar