Detta kapitel inleds med en diskussion kring metoden som används i studien. Sedan diskuteras studiens resultat i relation till den teoretiska analysen. Därefter sammanställs resultatet i relation till den tidigare forskningen som denna studie utgår ifrån. Sist diskuteras några utmaningar kring ett behov av en framtida forskning på området.
Den kvantitativa metoden, som grundas på en stor mängd insamlad data, ger breda och generella svar som sällan är djupa (Stukát, 2005:30). Kvalitativ forskning kan däremot resultera i djupare resultat. Syftet med denna studie är att visa hur pragmatiska didaktiska modeller, framförallt praktisk epistemologianalys (PEA) och organiserande syften, kan användas för att komplettera learning study i lärares arbete för att utveckla matematikundervisningen. Avsikten med studien är därmed inte att generalisera utifrån det empiriska resultatet jag fått fram utan jag vill gå på djupet och försöka visa hur jag gått tillväga för att uppfylla syftet. Följaktligen har den kvantitativa metoden valts bort. Det vill säga att denna studie genomförs med en kvalitativ metod, då jag anser att detta bäst stämmer överens med studiens syfte. För datainsamlingen har en learning study därmed genomförts i åk 1 på en gymnasieskola kring lösning av enkla linjära ekvationer med utgångspunkt i pragmatism.
Lärare och forskare tillsammans i en learning study planerar och analyserar lektionerna utifrån en gemensam teori om lärande (Holmqvist, 2006:48). Marton skriver i boken Lärande i skolan av Holmqvist (2006:8):
”Att skapa möjligheter för lärare att tillsammans och kontinuerligt lära från varandra, lära från eleverna och lära från sin egen undersökande verksamhet är en av nycklarna till en bättre skola och därigenom till ett bättre Sverige”.
Utifrån detta arbetade lärargruppen i denna studie med att utveckla undervisningen kring det valda lärandeobjektet (lösning av enkla ekvationer). Det som krävs för att förstå lärandeobjektet, beskrivs som de kritiska aspekterna (Holmqvist, 2006). Detta betyder att lärarna bör vara medvetna om lärandeobjektets kritiska aspekter. I och med det strävade vi efter att hitta kritiska aspekter av lärandeobjektet. Detta gjordes med hjälp av förtest och intervjuer på eleverna. Därefter försökte vi iscensätta dessa aspekter i undervisningen på ett sådant sätt som gör att eleverna lär sig det vi vill. Med tanke på att varje lektion video- och/eller ljudinspelades och därefter granskades av oss (lärargruppen) fick vi ett bra instrument för att utvärdera vår undervisning. Genom att göra ett eftertest på eleverna efter undervisningen och jämföra med förtestet blev det möjligt för oss att mäta de faktiska kunskaper som eleverna skaffade sig i undervisningen.
Denna studie gav oss (lärargruppen) möjlighet att systematiskt planera, följa upp och utvärdera vår undervisning. Det vill säga den gav oss möjlighet att lära ett nytt sätt att angripa en lektion, både i planering och i genomförande och i efteranalys. Studiens resultat visar att lärarnas gemensamma planering, analys och revidering av ett innehåll ledde (i denna studie) till en mycket positiv förändring av elevernas lärande. Att lärarna tillsammans angrep lektionerna resulterade i att de kom åt det som gjorde skillnad i undervisningen, vilket ökade möjligheten att skapa gynnsamma förutsättningar för elevernas lärande. Alltså, det var givande för lärarna i lärargruppen (enligt min uppfattning) att observera varandra när de undervisade om samma sak
och diskuterade erfarenheter och resultat. Genom att studera flera lärare som undervisar om samma sak i olika elevgrupper blev det möjligt att jämföra undervisning. Därigenom kunde vi analysera vad som kunde ha varit kritiskt för elevernas lärande under lektionerna. Studien gav lärarna också möjlighet att lära sig ett nytt sätt att tänka och prata om innehållet och dess behandling under arbetsgången. Genom att dra nytta av lärarnas kollektiva kunskap visade det sig att eleverna kunde utveckla sin förmåga att lösa enkla ekvationer. Således kan learning study användas som en modell för kompetensutveckling av lärare och utveckling av ämnesdidaktiska kunskaper.
Jag har i min litteraturläsning under arbetet med uppsatsen inte funnit några nackdelar med learning study. Det är emellertid viktigt att observera att learning study är tidskrävande och att skolan bör vara medveten om tidsåtgången. Jag anser dock att fördelarna med learning study överväger. Det är enligt min uppfattning också viktigt att notera att det kan finnas en fara med learning study om vi är för planerade och inte låter eleverna vara med i diskussionerna.
Learning study är bara en modell, en tankekonstruktion, det är inte målet i sig, utan målet är att åstadkomma lärande och se vad som krävs för att lära något specifikt i en specifik undervisning. Denna studie erbjuder ett sätt att finna och behandla kritiska aspekter i ett innehåll utifrån ett pragmatiskt perspektiv på lärande, det vill säga den erbjuder ett sätt där lärande och
undervisning vilar på en vetenskaplig grund. Därmed kan denna studie ha betydelse för dem som studerar undervisning framförallt lärare och forskare.
Den här studien genomförs i yrkesförberedande program. De elevgrupper som studeras tycks ha ungefär liknande kunskapsnivåer i matematik. Det vill säga de valda klasserna utgör ett lämpligt jämförelsematerial i cyklerna. Det blir då möjligt med det tydliga resultatet av eftertesterna att bestämma vad som kan ha varit kritiskt för elevernas lärande under de tre cyklerna. I andra elevgrupper med andra erfarenheter och förkunskaper kan resultaten se olika ut.
I vår learning study består cykel 1 av två lektioner, cykel 2 av tre lektioner och cykel 3 av tre lektioner. Det vill säga det finns en möjlighet till att eleverna kan ha ökat sin förståelse för ekvationslösning genom att ha talat med andra personer mellan lektionerna. Därmed kan resultatet på eftertestet ha påverkats av detta. Jag har inte fått några indikationer på att detta har hänt, men möjligheten till det har funnits. En brist är också att studien inte tagit hänsyn till ett fördröjt eftertest. I en learning study gör man i vissa fall ett fördröjt eftertest, en tid efter lektionernas genomförande, för att se om den utvecklade förmågan finns kvar (Wernberg, 2009:73), d.v.s. för att se om elevernas förståelse av innehållet har utvecklats och finns kvar en längre tid. Eftertestet som görs på eleverna mäter endast elevernas förståelse av innehållet på kort sikt. I studier där man använder sig av en kontrollgrupp som jämförelse ger säkrare resultat. Denna studie undersöker ingen kontrollgrupp att jämföra resultat med. Varje elevgrupp är sin egen kontrollgrupp, det vill säga när förtests resultat jämförs med eftertests resultat i samma elevgrupp blir det möjligt att studera en eventuell förbättring av elevernas resultat. Studien har även jämfört de olika elevgrupperna mot varandra och på så sätt kan de betraktas som varandras kontrollgrupper. Det är även viktigt att påpeka att bortfallet i denna studie hanteras så att elever som inte deltagit utesluts vid analyserna. De elever som redovisas i denna studie är bara de elever som deltagit i studiens tre cykler. Detta betyder att de elever som inte deltagit i undervisning och testen (för- och eftertest) har tagits bort.
Inför studien introducerade jag (som forskare) kortfattat dess teoretiska perspektiv (pragmatism och learning study) för de lärare som deltog i studien. De fick då av mig material (om learning
study och pragmatism) som skulle läsas av dem. Vid planering av lektionerna i varje cykel diskuterade vi studiens teoretiska perspektiv på nytt. Lärarna fick ingen kompensation för sitt deltagande i studien. För en del av dem var det svårt att lägga mycket tid på denna studie då de var upptagna med det dagliga arbetet. Utöver det dagliga arbetet ägnade lärarna sig åt att planera och genomföra denna studie. Detta innebär att lärarna inte hade mycket tid till att fördjupa sig i den litteratur de fick av mig vilket i sin tur eventuellt kan ha påverkat lärarnas förståelse av studiens teoretiska perspektiv och deras möjlighet att göra detta perspektiv till sitt eget. I denna studie tolkas elevernas resultat utifrån pragmatism. Med utgångspunkt i ett annat teoretiskt perspektiv än det pragmatiska hade det varit möjligt att analysera elevernas resultat på ett annat sätt. Till exempel en analys ur ett variationsteoretiskt perspektiv på lärande skulle fokusera på vilka dimensioner av variation som öppnas upp för eleverna. För att förstå lärandeobjektet i en learning study som utgår från variationsteorin är det viktigt att erbjuda eleverna möjlighet att urskilja lärandeobjektets nödvändiga kritiska aspekter. Man försöker då medvetet skapa olika mönster av variation kring kritiska aspekter, samtidigt som man håller någon aspekt konstant (invariant) (Marton & Tsui, 2004). Jag tar upp ett exempel som illustrerar detta: Man kan till exempel låta eleverna lösa ekvationerna: x + 5 = 8, 5 + x = 8, 8 = 5 + x och 8 = x + 5. Här skapas ett mönster av variation genom att hålla siffrorna (5 och 8) och symbolen (x) konstanta. Det som varieras i detta exempel är placering av x. Sedan kan man till exempel variera siffertermen 5 i ekvationen x + 5 = 8 och låta eleverna jobba med ekvationen x + 6 = 8 (5 bytts mot 6). Därefter kan man bygga vidare på detta och jobba med till exempel ekvationen 2x + 6 = 8. Siffertermerna 6 och 8 i ekvationen x + 6 = 8 hålls konstanta och x-termen varieras (x bytts mot 2x). På så sätt kan man öppna upp olika mönster av variation. Det är då viktigt att läraren erbjuder eleverna möjlighet att själva upptäcka variationen i fråga.
I vår learning study hade vi även använt oss av variation. Ett exempel på en variation som användes i alla cykler var variation av exempel, genom att låta eleverna arbeta med olika uppgifter. Vi gjorde det eftersom variation har stor betydelse för elevernas intresse och resultat. Vi hade också i cykel 1 och 2 försökt variera metoden som användes för att lösa ekvationer, det vill säga vi synliggjorde för eleverna hur man kunde lösa ekvationer med hjälp av olika metoder såsom formella och informella. I cykel 3 fokuserades däremot den formella metoden Göra
samma sak på båda sidor ty man kan lösa alla linjära ekvationer med hjälp av denna metod.
Trots att vi använde oss av variation i denna studie hade vi inte strävat efter att öppna upp olika mönster av variation som jag visat i exemplet ovan (angående ekvationerna x + 5 = 8, x + 6 = 8 och 2x + 6 = 8). Däremot riktades vår fokus mot att använda pragmatiska didaktiska modeller för att uppfylla studiens syfte.
Med stöd i Dewey (1938/1997) säger Johansson (2012:25) att ”både interaktion och kontinuitet är två grundläggande principer som krävs för att erfarenheter ska kunna utvecklas”. I likhet med det framhäver Sund (2008:58) att: ”Det finns en kontinuitet mellan det nya och det gamla, där de tidigare erfarenheterna används och förändras för kommande situationer”. Alltså, att förstå kontinuitet och förändring (enligt min tolkning) som två samtidiga aspekter har stor betydelse för elevers lärande. Johansson menar vidare att undervisningen behöver utformas så att den möjliggör lärandeprogression (s. 26). Därmed visar hon, med hjälp av bland annat den
pragmatiska didaktiska modellen kontinuitet hos organiserande syften, betydelsen av att läraren planerar för hur närliggande syften görs kontinuerliga, både med varandra och med det
övergripande syftet (s. 27-28). I min studie använder jag mig av den pragmatiska didaktiska modellen PEA för att studera hur mening skapas i samtalen (möten/interaktionen). Dessutom
använder jag modellen kontinuitet hos organiserande syften för att utforma en undervisning som möjliggör lärandeprogression. Det vill säga med utgångspunkt i tidigare pragmatiska studier bygger denna studie på de båda principerna interaktion och kontinuitet. I denna studie prövades pragmatiska didaktiska modeller i avsikt att bidra till en bättre förståelse av sådana modeller då de användes i matematikundervisning. Dessa modeller användes också i planering och analys av lektionerna. Därmed bidrar studien till utveckling av dessa pragmatiska modeller.
Det övergripande resultatet från denna studie visar att didaktiska pragmatiska modeller såsom
PEA och kontinuitet hos organiserande syften kan fungera som effektiva verktyg för att planera,
analysera och utvärdera matematikundervisningen kring lösning av enkla ekvationer. När resultaten från cykel 1, 2 och 3 ställts mot varandra har det visat sig att eleverna lärt sig bättre efter ändringarna i de tre cyklerna. Dessa ändringar har gjorts med anledning av att göra närliggande syften å ena sidan fungerande som mål i sikte för eleverna, å andra sidan
kontinuerliga med det övergripande syftet tillsammans med eleverna i klassrummet. Studien har därmed visat att lärarnas analys med hjälp av learning study och pragmatiska perspektiv har varit ett stöd i att eleverna lär sig bättre. Resultaten gäller dock bara de elevgrupper som studerats.
Elever kan lösa ekvationer som innehåller x på bara en sida om likhetstecknet med rent aritmetiska metoder (informella metoder) (Persson, 2010). Däremot kräver ekvationer som innehåller x på båda sidor om likhetstecknet strukturella och algebraiska metoder (formella metoder), enligt Persson. Alltså, med formella metoder kan man lösa alla linjära ekvationer. Därför har strävan i denna studie varit att fokusera på formella metoder framförallt metoden
Göra samma sak på båda sidor. En skillnad mellan cyklerna är att eleverna i cykel 1 och 2
använder sig av formella och informella metoder för att lösa ekvationer. Eleverna i grundskolan använder ofta informella metoder för att lösa ekvationer. Därmed har ambitionen varit att utgå från elevernas tidigare erfarenheter när de löste ekvationer med informella metoder för att sedan övergå till formell lösning. Informella metoder i dessa cykler framförallt i cykel 1 har använts på bekostnad av formella metoder. Följaktligen har informella metoder inte använts i cykel 3, där fokus har riktats mot den formella metoden Göra samma sak på båda sidor.
Den största skillnaden hittar jag mellan cykel 3 å ena sidan och cykel 1 och 2 å andra sidan. I cykel 3 har läraren lyckats tematisera alla kritiska aspekter som behövs för att kunna lösa enkla ekvationer. Läraren har försökt synliggöra dessa aspekter genom att omsätta dem till mellanrum i klassrumspraktiken via pragmatisk teori där kunskap kan beskrivas som en form av
uppmärksammande. Vad som faktiskt uppmärksammas av eleverna, det vill säga vilka aspekter i situationen de urskiljer och fokuserar, har då stor betydelse för elevers lärande. Matematiken är uppbyggd på ett logiskt sätt och har en egen struktur. För att förstå logiken för hur man kan lösa en ekvation har läraren i cykel 3 strävat efter att hjälpa eleverna uppmärksamma alla mellanrum (angående lärandeobjektets kritiska aspekter) samtidigt, och därefter har dessa mellanrum fyllts av eleverna (med lärares hjälp) med relevanta relationer. Studiens resultat visar att metoden
Göra samma sak på båda sidor tydliggörs av läraren i cykel 3 på ett bättre sätt än andra cykler.
Dessutom beskrivs de regler som behövs för att kunna lösa enkla ekvationer på ett tydligare sätt. Till följd av detta har det blivit enklare för elevgrupp 3 att etablera relevanta relationer som behövs för att fylla mellanrummen angående lärandeobjektets kritiska aspekter, vilket i sin tur lett till att elevgrupp 3 förbättrat sitt resultat påtagligt. Däremot har eleverna i cykel 1 och 2 inte fyllt alla mellanrum angående lärandeobjektets kritiska aspekter. Det har varit svårt för
nämligen ”läraren ska synliggöra betydelsen av minustecknet och att den kommutativa lagen inte gäller vid subtraktion” och ”läraren ska fokusera på övergången från informell till formell lösning”. Undervisningen i cykel 1 och 2 har inte varit tillräcklig i den meningen att eleverna inte har tillägnat sig den formella metoden Göra samma sak på båda sidor för att kunna lösa ekvationer som innehåller x på båda sidor om likhetstecknet. Emellertid ger undervisningen i dessa cykler eleverna möjlighet att erfara hur man kan lösa ekvationer som innehåller x på bara en sida om likhetstecknet med hjälp av denna metod. Studiens resultat visar att en stor del av eleverna i cykel 1 och 2 (särskilt elevgrupp 2) har löst sådana ekvationer på eftertestet, men inte ekvationer som innehåller x på båda sidor om likhetstecknet (särskilt elevgrupp 1). Det innehåll som eleverna erbjuds att erfara har därmed stor betydelse för elevers lärande. Ju fler mellanrum som fylls med relevanta relationer desto bättre lär eleverna sig.
Denna studie visar, i likhet med Persson (2010) och Wernberg (2009), att elever brukar lösa ekvationer som innehåller x på bara en sida om likhetstecknet med informella metoder (till exempel metoden baklängesräkning). Däremot löses ekvationer som innehåller x på båda sidor om likhetstecknet av elever som behärskar formella metoder (till exempel metoden Göra
samma sak på båda sidor) eftersom informella metoder tycks vara olämpliga att använda i
sådana fall. Såväl Persson (2010) som denna studie visar att lärarens roll i klassrummet har en stor betydelse för elevernas kunskaper. Resultaten av denna studie indikerar att elevernas resultat är beroende av vad som fokuseras i klassrummet och hur den undervisande läraren behandlar innehållet. I likhet med Wernberg (2009) genomförs i denna studie en learning study för att utveckla elevernas förståelse kring det valda lärandeobjektet (i min studie: lösning av enkla ekvationer). Både Wernberg och denna studie har tittat på hur innehållet i lektionerna formas och hur elevernas lärande förändras under resans gång. Men detta görs utifrån två olika perspektiv på lärande, det vill säga Wernberg (2009) utgår från ett variationsteoretiskt
perspektiv, däremot utgår denna studie från ett pragmatiskt perspektiv på lärande. Liksom Wernberg (2009) visar denna studie att learning study är en effektiv modell för utveckling av undervisningen och förbättring av elevernas resultat.
Liksom Lidar (2010) utgår denna studie från ett pragmatiskt perspektiv på lärande för att studera hur och vad elever lär sig i de aktiviteter de är inblandade i. I denna studie görs detta genom att analysera hur mening skapas i klassrumssamtalen. Både Lidar (2010) och denna studie visar att läraren fungerar som riktningsgivande i elevers lärandeprocesser. Det som är intressant är de val som lärare gör i klassrummet och vilka konsekvenser det får för elevernas lärande. En del elever brukar inte veta vad de behöver uppmärksamma för att kunna lösa ekvationer. Då fyller läraren en viktig funktion genom att ge eleverna riktningsgivare som pekar på vad som är relevant att uppmärksamma. För att studera vad och hur elever lär sig används i denna studie som i Lidars avhandling metoden praktisk epistemologianalys (PEA). Lidars studie och denna studie har visat att med hjälp av PEA kan man beskriva de två centrala aspekter av lärande, nämligen kontinuitet och förändring i meningsskapandet. I likhet med Johansson (2012) visar denna studie att närliggande syften bör fungera som mål i sikte för eleverna. Såväl Johansson som denna studie visar också att närliggande syften bör göras kontinuerliga både med det
övergripande syftet och med eleverna i undervisningen. Följaktligen konstaterar Johansson och denna studie att didaktiska pragmatiska modeller såsom kontinuitet hos organiserande syften kan fungera som effektiva verktyg för att planera, analysera och utvärdera
Med hänsyn till att denna studie visar på vilket sätt det kan vara möjligt att utveckla undervisning i matematik, bör den ha stor betydelse för alla som arbetar med frågor kring undervisning. I denna avslutande diskussion vill jag lyfta fram att min förhoppning är att denna studie ska kunna bidra till ökad kunskap om vad det är den undervisande läraren behöver fokusera på för att utveckla elevernas förmåga att förstå ett ämnesinnehåll. Min önskan är också att denna studie ska kunna bidra till vidareutvecklandet av pragmatiska didaktiska verktyg för att hantera frågor om lärande och undervisning i matematik. Med tanke på att jag inte har funnit en learning study med utgångspunkt i pragmatism har det varit riktigt spännande och utmanande för mig att visa hur pragmatiska didaktiska modeller kan användas för att komplettera learning study i lärares arbete för att utveckla matematikundervisningen. Mitt sätt att angripa studiens frågeställning utifrån ett pragmatiskt perspektiv kan inspirera andra. Eftersom det inte finns många studier (enligt min uppfattning) som studerar matematikundervisning med utgångspunkt i pragmatism, så visar denna studie på behovet av fortsatt forskning om undervisning och lärande i matematik utifrån ett pragmatiskt perspektiv på lärande. Det kan vara en intressant utmaning för framtida forskning att följa upp denna studie genom att genomföra flera studier med avstamp i ett pragmatiskt perspektiv på lärande för att prova dessa modeller i andra kunskapsområden inom matematiken.