E = 1 (2π)nS(P )εm X |α|≤N N ! (N − |α|)!α!∂ 2αK α, (4.2)
där Kαär kontinuerliga funktioner på Rn[12] som ges av
Kα(x) = Z Rn×Tn [(it + εs)αP (it + εs)] (1 + |it + εs|2)N Pm(s)e (it+εs)xd(λn × Tn)(t, s), x ∈ Rn. Det skulle krävas ett eget kapitel för att förklara och visa alla nyanser av denna sats, men det är ändå intressant att skriva ned formeln här i syfte att sedan jämföra med de andra uttrycken för fundamentallösningar som undersökts. De- taljerna kring notationen i uttrycket för Kαfinns i [12].
4.4
Diskussion
Sammanfattningsvis har det här avsnittet visat att det finns många olika me- toder för att visa Malgrange-Ehrenpreis sats. Bevisen skulle kunna delas upp i två grupper, de som bevisar satsen med hjälp av en explicit formel och öv- riga metoder. Fördelen med de som använder en explicit formel är att de är praktiska och kan tillämpas för att lösa problem, till exempel för att ta fram en fundamentallösning till Cauchy-Riemann-operatorn som vi såg i kapitel 3. Även bland de explicita formlerna finns det dock stora skillnader. En stor an- ledning till varför ekvation (4.2) togs upp var för att lyfta enkelheten i Wagners två formler från kapitel 3, och hur kompakta de är jämfört med många andra uttryck. En nackdel med dessa formler är att det i många fall krävs någon sorts förkunskap om fundamentallösningar till liknande differentialoperatorer för att kunna applicera formlerna[2]. Dessutom finns det i en del fall enklare metoder för att plocka fram fundamentallösningar än att använda dessa generella formler. I Wagner[6] ges exempel på användbarheten av fundamentallösningar. Där vi- sas bland annat hur teorin kan appliceras på system för kristalloptik. Vad som är särskilt intressant med den tillämpningen är att teorin bakom fundamental- lösningen till differentialoperatorn som beskriver systemet inte är fullkomligt utredd, vilket innebär att det fortfarande finns mer att göra inom området. Dessutom ges några fler exempel på hur fundamentallösningar tagits fram och använts, ibland omedvetet, av fysiker och matematiker genom åren. Till exem- pel använde Jean le Rond d’Alembert en fundamentallösning för att utvinna en funktion som beskriver vibrationen av en sträng, redan år 1747. Avslutningsvis ska det sägas att fundamentallösningar varit ett viktigt och användbart verktyg
26 Kapitel 4. Bevistekniker för Malgrange-Ehrenpreis sats
för både matematiker och fysiker genom åren, även fast teorin inte växte fram och etablerades ordentligt förens under andra halvan av 1900-talet.
Litteraturförteckning
[1] Wagner, P. A New Constructive Proof of the Malgrange-Ehrenpreis Theorem. The American Mathematical Monthly Vol. 116, Nr. 5 (Maj, 2009), 457-462 [2] Ortner, N., Wagner, P. A Short Proof of the Malgrange-Ehrenpreis Theorem.
Functional analysis (Trier, 1994), 343–352, de Gruyter, Berlin, 1996. [3] Ortner, N., Wagner, P. A Survey on Explicit Representation Formulae for
Fundamental Solutions of Linear Partial Differential Operators. Acta Appli- candae Mathematicae 47, 101–124 (1997).
[4] Aigner, Mats. Fourieranalys. Linköpings Universitet, 2018.
[5] Sjödin, Tomas. Envariabelanalys, del 2. Linköpings Universitet, 2020. [6] Wagner, Peter. On the explicit calculation of fundamental solutions. J. Math.
Anal. Appl. 297 (2004) 404–418.
[7] Ehrenpreis, Leon. Solution of Some Problems of Division: Part I. Division by a Polynomial of Derivation. American Journal of Mathematics , Okt., 1954, Vol. 76, Nr. 4 (Okt., 1954), 883-903.
[8] Ehrenpreis, Leon. Solution of Some Problems of Division: Part II. Division by a Punctual Distribution. American Journal of Mathematics , Apr., 1955, Vol. 77, Nr. 2 (Apr., 1955), 286-292
[9] Malgrange, Bernard. Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution. Annales de l’institut Fourier, tome 6 (1956), 271-355.
[10] Rosay, Jean-Pierre. A Very Elementary Proof of the Malgrange-Ehrenpreis Theorem. The American Mathematical Monthly , Jun. - Jul., 1991, Vol. 98, Nr. 6 (Jun. - Jul., 1991), 518-523
28 Litteraturförteckning
[11] Hörmander, Lars. On the theory of general partial differential operator. Acta Math., 94 (1955) 161-248.
[12] König, Heinz. An Explicit Formula for Fundamental Solutions of Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients. Proceedings of the American Mathematical Society , Apr., 1994, Vol. 120, Nr. 4 (Apr., 1994), 1315-1318.
[13] Schwartz, Laurent. Théorie des Distributions Nouv. éd., Hermann, Paris, 1966.
Linköping University Electronic Press
Upphovsrätt
Detta dokument hålls tillgängligt på Internet – eller dess framtida ersättare – från publiceringsdatum under förutsättning att inga extraordinära omständig- heter uppstår.
Tillgång till dokumentet innebär tillstånd för var och en att läsa, ladda ner, skriva ut enstaka kopior för enskilt bruk och att använda det oförändrat för ickekommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsrätten vid en senare tidpunkt kan inte upphäva detta tillstånd. All annan användning av dokumentet kräver upphovsmannens medgivande. För att garantera äktheten, säkerheten och tillgängligheten finns lösningar av teknisk och administrativ art. Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att bli nämnd som upphovsman i den omfattning som god sed kräver vid användning av dokumentet på ovan beskrivna sätt samt skydd mot att dokumentet ändras eller presenteras i sådan form eller i sådant sammanhang som är kränkande för upphovsmannens litterära eller konstnärliga anseende eller egenart.
För ytterligare information om Linköping University Electronic Press se för- lagets hemsida http://www.ep.liu.se/.
Copyright
The publishers will keep this document online on the Internet – or its possible replacement – from the date of publication barring exceptional circumstances.
The online availability of the document implies permanent permission for anyone to read, to download, or to print out single copies for his/her own use and to use it unchanged for non-commercial research and educational purpose. Subsequent transfers of copyright cannot revoke this permission. All other uses of the document are conditional upon the consent of the copyright owner. The publisher has taken technical and administrative measures to assure authentic- ity, security and accessibility.
According to intellectual property law the author has the right to be men- tioned when his/her work is accessed as described above and to be protected against infringement.
For additional information about the Linköping University Electronic Press and its procedures for publication and for assurance of document integrity, please refer to its www home page: http://www.ep.liu.se/.
c