Malgrange-Ehrenpreis sats och explicita formler
för fundamentallösningar
Matematiska institutionen, Linköpings universitet Anton Olsson
LiTH-MAT-EX–2021/07–SE
Högskolepoäng: 16 hp Nivå: G2
Handledare: Johan Thim, Linköpings universitet Examinator: Bengt-Ove Turesson,
Matematiska institutionen, Linköpings universitet Linköping: Juni 2021
Abstract
This report presents and discusses proofs of the Malgrange-Ehrenpreis theorem, which states that every non-zero linear partial differential operator with constant coefficients has a fundamental solution. The main topic is explicit formulae, and more specifically, how they can be used to prove the theorem. Two different formulas will be considered in detail and the aim is to provide a fundamental and elementary description of how to prove the Malgrange-Ehrenpreis theorem using those formulas. In addition to the proofs, an example of how to use one of the formulas for the Cauchy-Riemann operator is shown. Finally, the report also contains a chapter discussing a few different notable methods of proof and their historical signifance.
Keywords:
Malgrange-Ehrenpreis theorem, fundamental solutions, differential opera-tor, Vandermonde matrix, Cauchy-Riemann operator.
Innehåll
1 Inledning 1 2 Teori 3 2.1 Notation . . . 3 2.2 Flervariabelpolynom . . . 4 2.3 Ekvationer . . . 53 Explicita formler för fundamentallösningar 7 3.1 Introduktion . . . 7 3.2 Lemma 1 . . . 7 3.3 Lemma 2 . . . 11 3.4 Proposition 1 . . . 12 3.5 Proposition 2 . . . 15 3.6 Cauchy-Riemann-operatorn . . . 18
4 Bevistekniker för Malgrange-Ehrenpreis sats 23 4.1 Historik . . . 23
4.2 De första bevisen . . . 23
4.3 Andra metoder . . . 24
4.4 Diskussion . . . 25
Kapitel 1
Inledning
Den här rapporten behandlar bevis för existens av fundamentallösningar till linjära partiella differentialekvationer, i huvudsak Malgrange-Ehrenpreis sats. Satsen säger att det till varje linjär partiell differentialoperator med konstanta komplexa koefficienter existerar en fundamentallösning. Att en distribution E är en fundamentallösning till en differentialoperator P (∂), innebär att P (∂)E = δ. Bevis för existens av fundamentallösningar kan delas upp i olika kategorier. I Ortner och Wagner[2] ges ett exempel på en sådan uppdelning med tre grupper: Bevis med hjälp av Hahn-Banachs sats, genom att lösa ett divisionsproblem, eller genom att presentera en explicit formel[2]. Hahn-Banachs sats ingick i de första bevisen som genomfördes av Bernard Malgrange och Leon Ehrenpreis år 1953[3]. Den andra kategorin går ut på att visa existens av tempererade fundamentallösningar genom att lösa divisionsproblemet P (iξ)F E = 1 som är ekvivalent med P (∂)E = δ, då E ∈ S0(Rn)[2]. Den sistnämnda metoden, bevis
med hjälp av en explicit formel, är den här textens huvudfokus. I Wagner[1] ges ett bevis av denna typ och en stor del av denna rapport kommer gå ut på att granska och utreda detta bevis. Syftet är att förklara ekvationer, argument och hjälpsatser i Wagners artikel som inte redan beskrivs eller visas. Det finns dock många varianter på explicita formler som arbetats fram under åren. Till exem-pel en lösning framtagen med hjälp av en metod som använder Hörmander’s staircase, som också var den första explicita formeln någonsin[2][3].
Rapporten är strukturerad enligt följande. Inledningsvis ges ett teoriavsnitt där notation etableras och några hjälpsamma ekvationer tas upp och visas. Därefter följer ett längre avsnitt som granskar ett bevis av Malgrange-Ehrenpreis sats från Wagner[1]. Dessutom ges i slutet på samma avsnitt dels ett kortare bevis
2 Kapitel 1. Inledning
av en alternativ formel från Ortner och Wagner[2], som använder flera tekniker som återfinns i Wagner[1], och dels ett exempel där formlerna tillämpas för att ta fram en fundamentallösning till Cauchy-Riemann-operatorn. Slutligen ges ett avsnitt som mer ingående diskuterar några bevismetoder av Malgrange-Ehrenpreis sats, varav några redan kort nämnts i andra stycket ovan.
Kapitel 2
Teori
2.1
Notation
För de vektorrum som används anger n rummets dimension. För alla partiel-la linjära differentialoperatorer gäller att deras koefficienter är konstanta och tillhör Cn. För dessa operatorer används multi-indexnotation, det vill säga ∂α= ∂α1 1 ∂ α2 2 · · · ∂ αn n där |α| = α1+ α2+ · · · + αn, α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Nn och
∂i= ∂/∂xi. Dessutom definieras den inre produkten ξx = ξ1x1+ξ2x2+...+ξnxn.
För funktionsrum används följande notation. Rummet av oändligt deriverbara funktioner C∞(Rn) betecknas E (Rn). Funktioner som dessutom har kompakt stöd tillhör rummet D(Rn), som är ett linjärt underrum till E (Rn)[4]. Funktio-ner som tillhör D(Rn) kallas för testfunktioner. Slutligen har vi också S(Rn), rummet av schwartztestfunktioner. För en funktion som tillhör S(Rn) gäller att den, tillsammans med alla dess derivator, är snabbt avtagande. Även S(Rn) är ett linjärt underrum till E (Rn)[4]. Med hjälp av dessa funktionsrum kan
tillhö-rande rum av distributioner definieras. Rummet av distributioner E0(Rn) som
verkar på oändligt deriverbara funktioner, rummet av distributioner D0(Rn)
som verkar på testfunktioner med kompakt stöd och rummet av tempererade distributioner S0(Rn), som verkar på schwartztestfunktioner. Vi kan
samman-fatta ovanstående rumstruktur med inklusionerna: D(Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ E (Rn)
och D0(Rn) ⊃ S0(Rn) ⊃ E0(Rn).
Fouriertransformen definieras för funktioner och tempererade distributioner en-ligt F : S(Rn) −→ S(Rn) : φ 7−→ Z Rn e−iξxφ(ξ)dξ, Olsson, 2021. 3
4 Kapitel 2. Teori
som är inverterbar med den inversa fouriertransformen enligt Fξ−1−→x= (Fx−→ξ)−1.
Dessutom gäller även att F är isomorfisk på S0, det vill säga F : S0(Rn) −→ S0(Rn) : T 7−→ (φ 7−→ hF φ, T i)
är bijektiv.
2.2
Flervariabelpolynom
Ett polynom c0+ c1ξ + · · · + cmξm kan skrivas på summaform enligt P (ξ) =
Pm
k=0ckξk. Det går på samma sätt att skriva en differentialoperator c0+ c1∂ +
· · · + cm∂mpå summaform enligt P (∂) =P m
k=0ck∂k, vilket tolkas som P (∂)u =
Pm
k=0ck∂ku i distributionsmening, för u ∈ E0(R). Med hjälp av multi-indexnotation
kan ett polynom utvidgas till flera variabler, P (ξ) =Pm
|α|=0cαξα. För en i :te
grads term gäller då att summan av respektive variabels grad ska vara i. Till ex-empel för en term x2
1x2x23 från ett polynom i tre dimensioner gäller att termens
grad är 2 + 1 + 2 = 5. På samma sätt kan en differentialoperator utvidgas till flera variabler, P (∂) =Pm
|α|=0cα∂α. En term i det här fallet skulle kunna vara ∂3 ∂x3 1 ∂ ∂x2 ∂2 ∂x2 3
för en differentialoperator i tre dimensioner, där α = (3, 1, 2) och |α| = 6. Termens ordning ges då av summan av respektive partiella derivatas ordning, i det här fallet 3 + 1 + 2 = 6. Notera att flera termer kan ha samma ordning men vara olika på grund av olika partiella derivator. Till exempel har termen ∂x∂22 1 ∂2 ∂x2 2 ∂2 ∂x2 3
ordning 2 + 2 + 2 = 6, samma som för den ovan. En partiell differentialoperator som blivit förskjuten av ett ξ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) ∈ Rn, får
formen P (∂ + ξ) = P (∂x∂ 1 + ξ1, ∂ ∂x2 + ξ2, . . . , ∂ ∂xn+ ξn).
Ett polynom P (x) i två dimensioner med en beroende variabel x = (x1, x2) ∈ R2, där deg(P ) = m, ser ut som följande.
P (x) = m X l=0 m X k=0 ck,lxk1x l 2= c0,0+ c1,0x1+ · · · + cm,0x1m+ c0,1x2+ c1,1x1x2 + · · · + cm−1,1xm−11 x2+ · · · + c0,mxm2.
Notera att eftersom polynomets grad är m gäller det att ck,l = 0, k + l > m.
Syftet med detta exempel är att visa hur polynom snabbt växer i komplex-itet med ökande dimension samtidigt som metodiken för uttrycken ändå be-varas. Om polynomet ovan jämförs med ett polynom p(y) i en dimension, p(y) = Pm
k=0ckyk = c0 + c1y + c2y2+ ... + cmym, är det tydligt hur stor
2.3. Ekvationer 5
2.3
Ekvationer
För ζ ∈ Cn, T ∈ D0(Rn), ξ ∈ Rn och S ∈ S0(Rn) antas följande ekvationer givna
P (∂)(eζxT ) = eζx(P (∂ + ζ)T ) (2.1) och
P (∂)F−1S = Fξ−1(P (iξ)S). (2.2) Den första ekvationen kallas förskjutningsregeln. Eftersom ekvationen är linjär räcker det med att studera förskjutningen av en term i P (∂) och sedan notera att om sambandet är uppfyllt för en term, är det uppfyllt för en summa av sådana termer. Vi betraktar alltså en term från differentialoperatorn cα∂α där |α| = k,
och studerar uttrycket cα∂α(eζxT ). Nu kan ytterligare ett par förenklingar av
problemet göras. Eftersom förskjutningsregeln kan appliceras för en faktor i ta-get kan också en dimension hanteras i tata-get. Till exempel för en term ∂x∂
1
∂ ∂x2
kan eζxT först förskjutas med avseende på x2 och därefter med avseende på
x1. På samma sätt hanteras högre ordningens derivator. Det räcker alltså med
med att visa att ∂i(eζxT ) = eζx((∂i+ ζ)T och sedan applicera resultatet flera
gånger för att uppnå en allmän ordning. Produktregeln ger att uttrycket kan skrivas som ∂i(ζx)eζxT + eζx∂iT . Med konventionen att ∂i=∂x∂i är första
ter-men ζeζxT . Uttrycket kan nu förenklas till sin slutgiltiga form genom att bryta
ut eζx och T till varsin sida av uttrycket så att det får formen eζx((∂
i+ ζ)T ).
Eftersom sambandet ∂i(eζxT ) = eζx(∂i+ ζ)T gäller kan vi hänvisa till att
dif-ferentialoperatorn är linjär och dra slutsatsen att det gäller för en summa av cα∂α-termer, alltså är satsen visad.
Den andra ekvationen beskriver vad som händer om en differentialoperator verkar på en fouriertransform av en tempererad distribution. Differentialope-ratorn består av cα∂α-termer. Vi har deriveringsregeln för fouriertransformen
enligt F (∂αY ) = (iξ)αF Y . Men då måste det gälla att F−1((iξ)αF Y ) =
F−1F (∂αY ) = ∂αY . Om vi definierar S = F Y , så att F−1S = Y , har vi alltså
sambandet F−1((iξ)αS) = ∂αF−1S. Eftersom differentialoperatorn byggs upp
av linjärkombinationer av ∂α-termer som uppfyller ekvationen ger linjäriteten
Kapitel 3
Explicita formler för
fundamentallösningar
3.1
Introduktion
I det här kapitlet kommer ett par explicita formler för fundamentallösningar presenteras och bevisas. Den första är framtagen av Peter Wagner och den andra av samma författare tillsammans med Norbert Ortner. Båda har skrivit flertalet artiklar om ämnet fundamentallösningar och de formler som visas här är långt ifrån de enda möjligheterna, något som kommer diskuteras närmare i kapitel 4. Notationen som används i det här kapitlet är samma som i Wagner[1] och som definierats i kapitel 2. De två formlerna som ska visas, se proposition 1 och 2, är nära besläktade och deras bevis använder liknande tekniker. För att genomföra bevisen krävs ett par hjälpsatser som presenteras i de två påföljande avsnitten, hämtade från Wagner[1].
3.2
Lemma 1
Lösningen till ett ekvationssystem på formen
m X j=0 ajλkj = ( 0 om k = 0, ..., m − 1 1 om k = m, (3.1) Olsson, 2021. 7
8 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
där λ0, ..., λmär parvis olika, ges av
aj = m
Y
k=0,k6=j
(λj− λk)−1. (3.2)
I beviset för lemmat argumenterar Wagner att lösningen är entydigt bestämd eftersom Vandermondes determinant är nollskild. För att se vad detta bety-der presenteras ekvation (3.1) på matrisform nedan. Ekvationssytemet har som bekant en entydig lösning om determinanten av matrisen med koefficienterna λ0, ..., λmär skild från noll. En determinant på denna form kallas just för
Van-dermondes determinant. Vi vill alltså lösa 1 1 . . . 1 λ0 λ1 . . . λm .. . ... . .. ... λm−10 λm−11 . . . λm−1 m λm 0 λm1 . . . λmm a0 a1 .. . am−1 am = 0 0 .. . 0 1 . (3.3)
En formel för att beräkna determinanten för koefficientmatrisen i ekvation (3.3) kan härledas genom att upprepade gånger radmultiplicera och sedan utveckla längs en kolumn med nollor:
1 1 . . . 1 λ0 λ1 . . . λm .. . ... . .. ... λm−10 λm−11 . . . λm−1m λm0 λm1 . . . λmm = 1 1 . . . 1 0 λ1− λ0 . . . λm− λ0 .. . ... . .. ... 0 λm−11 − λ0λm−21 . . . λm−1m − λ0λm−2m 0 λm1 − λ0λm−11 . . . λ m m− λ0λm−1m (3.4) = 1 (λ1− λ0)−1 . . . (λm− λ0)−1 0 1 . . . 1 .. . ... . .. ... 0 λm−21 . . . λm−2 m 0 λm−11 . . . λm−1 m m Y j=1 (λj− λ0) (3.5) = 1 1 . . . 1 λ1 λ2 . . . λm .. . ... . .. ... λm−21 λm−22 . . . λm−2 m λm−11 λm−12 . . . λm−1m m Y j=1 (λj− λ0). (3.6)
3.2. Lemma 1 9
I ekvation (3.4) subtraheras λ0rad(n) från rad(n+1). I (3.5) bryts λj−λ0ut från
kolumn j, där j = 1, . . . , m. I (3.6) utvecklas determinanten längs kolumn 1. Samma process genomförs sedan igen fast istället för λ0 används λ1. Detta
upprepas m − 1 gånger för att faktorisera hela determinanten. Resultatet blir en produkt på formen m Y j=1 (λj− λ0) m Y j=2 (λj− λ1) · · · m Y j=m (λj− λm−1) = m Y 0≤i<j (λj− λi),
där olikheten under sista produkttecknet är ett kompakt sätt att beskriva att för varje i = 0, . . . , m − 1, antar j alla heltal mellan i och m.
Eftersom λ0, ..., λm är parvis olika, och i 6= j nedan, gäller det att m
Y
0≤i<j
(λj− λi) 6= 0. (3.7)
Därav gäller det att ekvationssystemet i ekvation (3.3) har en entydig lösning. Det innebär att om en möjlig lösning är känd räcker det att testa om den upp-fyller ekvation (3.1) för att avgöra om det är den rätta och enda lösningen. För att se att aj från ekvation (3.2) uppfyller ekvationen visar vi följande samband:
1 2πiNlim−→∞ Z |z|=N zk p(z)dz = ( 0 om k = 0, . . . , m − 1, 1 om k = m, (3.8) där p(z) = m Y j=0
(z − λj). Vi ska visa att detta val av p(z) ger att gränsvärdet av
integralen är lika med högerledet ovan.
Polynomet p(z) är alltså ett faktoriserat polynom av grad m + 1. Kurvan |z| = N kan parametriseras med z = N eit, t : 0 −→ 2π. Parametriseringen
ger att dz = iN eitdt och integralen får formen
1 2πiNlim−→∞ Z |z|=N zk p(z)dz = 1 2πiNlim−→∞ Z 2π 0 iNk+1ei(k+1)t p(N, t) dt, där polynomet i nämnaren ges av
p(N, t) = (N eit− λ0)(N eit− λ1) · · · (N eit− λm). (3.9)
För att hantera gränsvärdet före integralen används Lebesgues dominerade kon-vergenssats. Detta låter oss flytta in gränsvärdet innanför integralen förutsatt
10 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
att integranden är begränsad oberoende av N. Vi betraktar därför integranden explicit iNk+1ei(k+1)t (N eit− λ 0)(N eit− λ1) · · · (N eit− λm) = iN kei(k+1)t Nm(eit−λ0 N)(eit− λ1 N) · · · (eit− λm N ) .
Om k < m är integranden av gradskäl begränsad för tillräckligt stora värden på N och vi kan i det fallet flytta in gränsvärdet innanför integraltecknet enligt Lebesgues dominerade konvergenssats, så att
1 2πiNlim−→∞ Z 2π 0 iNk+1ei(k+1)t p(N, t) dt = 1 2πi Z 2π 0 lim N−→∞ iNk+1ei(k+1)t p(N, t) dt = 0. (3.10) Vi har därmed visat första delen av (3.8), alltså att integralen är noll för k = 0, . . . , m − 1. I fallet att k = m förenklas integralen så att
1 2πiNlim−→∞ Z 2π 0 iNk+1ei(k+1)t Nm(eit−λ0 N)(eit− λ1 N) · · · (eit− λm N ) dt = 1 2πNlim−→∞ Z 2π 0 ei(k+1)t (eit−λ0 N)(eit− λ1 N) · · · (eit− λm N ) dt = 1 2πNlim−→∞ Z 2π 0 1 (1 − λ0 eitN)(1 − λ1 eitN) · · · (1 − λm eitN) dt. (3.11)
Nu kan vi återigen se att integranden är begränsad för tillräckligt stora vär-den på N , så enligt Lebesgues dominerade konvergenssats flyttar vi därmed in gränsvärdet innanför integralen så att
1 2πNlim−→∞ Z 2π 0 1 (1 − λ0 eitN)(1 − λ1 eitN) · · · (1 − λm eitN) dt = 1 2π Z 2π 0 lim N−→∞ 1 (1 − λ0 eitN)(1 − λ1 eitN) · · · (1 − λm eitN) dt = 1 2π Z 2π 0 dt = 2π − 0 2π = 1. (3.12)
Vi har därmed visat andra delen av (3.8), alltså att integralen är 1 för k = m.
Eftersom zk och p(z) är analytiska och p(z)zk har m + 1 stycken enkelpoler i punkterna λ0, ..., λmger residysatsen att integralen i ekvation (3.8) kan skrivas
3.3. Lemma 2 11 som 1 2πiNlim−→∞ Z z=|N | zk p(z)dz = m X j=0 p0(λj)−1λkj. (3.13)
Jämförelse mellan ekvation (3.1) och ekvation (3.13) visar att aj = p0(λj)−1.
Derivering av p(z) resulterar i att produktregeln används m + 1 gånger, det vill säga en gång för varje faktor. Eftersom derivatan av z − λj är 1 blir derivatan
av hela produkten en summa där term k innehåller alla faktorer utom z − λk.
p0(z) = m Y k=1 (z − λk) + m Y k=0,k6=1 (z − λk) + · · · + m Y k=0,k6=m−1 (z − λk) + m−1 Y k=0 (z − λk).
För ett godtyckligt λj, j = 0, . . . , m, kommer varje term i p0(z) ha en faktor
som blir noll utom för just den termen där den faktorn deriverats bort.
p0(λj) = m Y k=1 (λj− λk) + m Y k=0,k6=1 (λj− λk) + · · · + m Y k=0,k6=m−1 (λj− λk) + m−1 Y k=0 (λj− λk) = m Y k=0,k6=j (λj− λk) =⇒ p0(λj)−1= m Y k=0,k6=j (λj− λk)−1= aj. Eftersom aj =Q m
k=0,k6=j(λj− λk)−1därmed är en lösning ger entydigheten att
det är den rätta och enda lösningen till ekvationssystemet, vilket skulle visas.
3.3
Lemma 2
Låt λ ∈ R och η ∈ Rn vara fixerade samt P (ξ) =P
|α|≤mcαξα. Då gäller att
P (iξ + λη) P (iξ + λη) ∈ L
∞(Rn). (3.14)
Det vill säga, kvoten är väsentligen begränsad på Rn. Detta kan visas genom att
observera att mängden av nollställen till polynomet P (iξ+λη) har Lebesguemått noll. Därav har en kvot på denna form endast ett ändligt antal odefinierade punkter och kommer alltså vid integration ge upphov till ett väldefinierat E (se proposition 1).
12 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
3.4
Proposition 1
Wagner presenterar i en andra del av sin artikel [1] ett konstruktivt bevis för Malgrange-Ehrenpreis sats. Satsen kan formuleras som följande.
Låt P (ξ) =Pm
|α|=0cαξα vara ett nollskilt polynom av grad m på Rn, η ∈ Rn,
Pm(η) 6= 0, λ0, . . . , λm vara parvis olika och aj = Q m j=0,j6=k(λj − λk)−1. Då gäller att E = 1 Pm(2η) m X j=0 ajeλjηxF−1 P (iξ + λjη) P (iξ + λjη) ! (3.15) är en fundamentallösning till P (∂). Med S ∈ S0(Rn) och ζ ∈ Cn gäller att
P (∂)(eζxF−1S) = eζxP (∂ + ζ)F−1S enligt ekvation (2.1) (3.16) = eζxFξ−1(P (iξ + ζ)S) enligt ekvation (2.2). (3.17) Om vi nu väljer S =P (iξ + λη)/P (iξ + λη) med λ ∈ R, är S enligt lemma 2 väsentligen begränsad på Rn. Det vill säga S ∈ L∞(Rn), så S ∈ S0(Rn). Uttrycket innanför transformen i ekvation (3.17) kan skrivas som
P (iξ + ζ)S ζ=λη= P (iξ + λη)
P (iξ + λη)
P (iξ + λη) = P (iξ + λη), (3.18) eftersom ζ i ekvation (3.16) och (3.17) är allmänt och kan därav väljas till λη. Ekvation 3.18, med λ enligt ovan, ger då följande omskrivning
P (∂) eληxF−1 P (iξ + λη) P (iξ + λη)
!!
= eληxFξ−1(P (iξ + λη)). (3.19) För z ∈ Cn och ett polynom q(z) gäller det att q(z) = q(z). Därav gäller det för polynomet i ekvation (3.19) att
3.4. Proposition 1 13
eftersom λη + iξ = λη − iξ. Vidare har vi
Fξ−1(P (−iξ + λη)) = P (−∂ + λη)Fξ−1(1) enligt ekvation (2.2)
= P (−∂ + λη)δ. (3.21)
Omskrivningarna i ekvation (3.20) och (3.21) kan med hjälp av ekvation (3.19) förenklas ytterligare.
eληxFξ−1(P (iξ + λη)) = eληxP (−∂ + λη)δ enligt ekvation (3.21) = P (−∂ + 2λη)eληxδ enligt ekvation (2.1)
= P (−∂ + 2λη)δ ty f (x)δ = f (0)δ.
Nu kommer vi behöva splittra polynomet ovan för att utvinna en term med λ-faktorer av grad m och en term med λ-λ-faktorer av grad k, k < m. Detta kommer även behöva göras i nästa avsnitt så därför formulerar vi nu denna splittring som en hjälpsats. Låt z ∈ Cn. Då gäller för ett godtyckligt polynom P (z) att
P (z) = m X k=0 Pk(z) = Pm(z) + m−1 X k=0 Pk(z), Pk(z) = X |α|=k cαzα. (3.22)
Vi plockar alltså ut principaldelen av polynomet som en egen term. För ett förskjutet polynom gäller samma uppdelning så att för λ ∈ C, ξ ∈ Cn och η ∈ Rn har vi P (ξ + λη) = Pm(ξ + λη) + m−1 X k=0 Pk(ξ + λη), Pk(ξ + λη) = X |α|=k cα(ξ + λη)α. (3.23)
Vidare studerar vi principaldelen Pm(ξ + λη) i mer detalj. Vi observerar att den
kommer innehålla termer där alla ξ:s komponenter har index 0 och η:s kom-ponenters index summerar till m, alltså ett Pm(λη) = λmPm(η). Vi benämner
sedan resten av termerna i Pm(ξ + λη) som Qm(ξ + λη) så att
Pm(ξ + λη) = λmPm(η) + Qm(ξ + λη), (3.24)
där en väsentlig egenskap hos Qm(ξ + λη) är att den bara innehåller termer med
faktorer λk där k < m. Sammanfattningsvis gäller alltså uppdelningen P (ξ + λη) = λmPm(η) + Qm(ξ + λη) +
m−1
X
k=0
14 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
Nu vill vi tillämpa denna uppsplittring på differentialoperatorn P (−∂ + 2λη). Direkt insättning ger att
P (−∂ + 2λη) = λmPm(2η) + Qm(−∂ + 2λη) + m−1
X
k=0
Pk(−∂ + 2λη). (3.26)
Här är Qm(−∂ + 2λη) en linjärkombination av potenser av λ och
deriveringso-peratorer. En viktig egenskap hos denna linjärkombination är att den inte har någon term med någon potens av λ med grad större eller lika med m. Vi kan därför se denna som en summa av λk-termer, k = 0, . . . , m − 1, med koefficienter
som är deriveringsoperatorer. Samma sak gäller uppenbarligen för Pk(−∂ +2λη)
eftersom k < m. Därav har vi två summor med k från 0 till m − 1 som kan slås ihop. Den nya summan får då utseendet, om δ tas med,
Qm(−∂ + 2λη)δ + m−1 X k=0 Pk(−∂ + 2λη)δ = m−1 X k=0 λkTk, (3.27)
där Tk = de koefficienter från Pk(−∂ + 2λη)δ och Qm(−∂ + 2λη)δ som har en
faktor λk. Eftersom varje term i Tk innehåller termer δ(j), j = 0, . . . , m, gäller
det att Tk ∈ E0(Rn). Sammanfattningsvis får vi alltså att, med 2η = 2η,
P (−∂ + 2λη)δ = λmPm(2η)δ + m−1
X
k=0
λkTk, (3.28)
där Tk består linjärkombinationer av derivatorer av δ.
Med den sista likheten ovan finns nu tillräckligt för att sätta in i uttrycket för E i ekvation (3.15). Vi har genom ekvation (3.19) och från omskrivningarna ovan visat att
P (∂) eληxF−1 P (iξ + λη) P (iξ + λη) !! = λmPm(2η)δ + m−1 X k=0 λkTk. (3.29) Låt nu P (∂) verka på ekvation (3.15): P (∂)E = 1 Pm(2η) m X j=0 ajP (∂)eλjηxF−1 P (iξ + λjη P (iξ + λjη ! = 1 Pm(2η) m X j=0 aj λmj Pm(2η)δ + m−1 X k=0 λkjTk ! enligt ekvation (3.29).
3.5. Proposition 2 15
Eftersom aj är vald enligt lösningen till ekvationssystemet i lemma 1 kan
ut-trycket ovan förenklas. Då T0 innehåller λ-termer med grad ≤ m − 1 och Tk,
k = 1, . . . , m − 1 inte innehåller några λ-termer, kommer ingen term från sum-man i andra termen ha högre grad än m − 1 för λ. Alltså gäller att
m X j=0 aj m−1 X k=0 λkjTk= m−1 X k=0 Tk m X j=0 ajλkj = 0, ty k ≤ m − 1. (3.30)
På samma sätt kan bidraget från den första termen förenklas. Det finns en-dast en term som har grad m vilket innebär att bidraget från denna del blir Pm(2η)δ eftersom summan med aj och λmblir 1. Efter att lemma 1 tillämpats
får högerledet följande form 1 Pm(2η)
Pm(2η)δ = δ.
Vi har alltså att P (∂)E = δ med E från ekvation (3.15) vilket skulle visas.
3.5
Proposition 2
En annan explicit formel som liknar den i förra avsnittet visas i Ortner och Wagner[2]. Genom att använda de ekvationer och lemmata som behövdes för att visa formeln i proposition 1 kan en stor del av denna sats även visas. Låt P (∂) vara en differentialoperator av grad m, η ∈ Rn, med Pm(η) 6= 0. Då
gäller att E = 1 Pm(η) Z T1 λmeληxFξ−1−→x P (iξ + λη) P (iξ + λη) ! dλ 2πiλ (3.31)
är en fundamentallösning till P (∂). Här är T1 en endimensionell torus, det vill
säga enhetscirkeln λ ∈ C, |λ| = 1. Observera att λ här alltså är ett komplext tal, till skillnad från i proposition 1 då det var reellt. Enligt lemma 2 är kvoten
P (iξ+λη)
P (iξ+λη) väsentligen begränsad på R
16 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
Låt differentialoperatorn P (∂) verka på ekvation (3.31):
P (∂)E = 1 Pm(η) Z T1 λmP (∂)eληxFξ−1−→x P (iξ + λη) P (iξ + λη) ! dλ 2πiλ (3.32) = 1 Pm(η) Z T1 λmeληxP (∂ + λη)Fξ−1−→x P (iξ + λη) P (iξ + λη) ! dλ 2πiλ (3.33) = 1 Pm(η) Z T1 λmeληxFξ−1−→x(P (iξ + λη)) dλ 2πiλ (3.34) = 1 Pm(η) Z T1 λmeληxFξ−1−→x(P (−iξ + λη)) dλ 2πiλ. (3.35)
I ekvation (3.32) flyttas P (∂) in innanför integraltecknet enligt Lebesgues domi-nerade konvergenssats eftersom integrandens partiella derivatorer med avseende på x ∈ Rn är begränsade funktioner på T1. I ekvation (3.33) används
förskjut-ningsregeln enligt (2.1) och i ekvation (3.35) flyttas differentialoperatorn innan-för transformen enligt (2.2). Genom att återigen använda ekvation (2.2) och flytta P (−iξ + λη) utanför transformen blir endast en etta kvar som transfor-meras till δ(x): 1 Pm(η) Z T1 λmeληxP (−∂ + λη)Fξ−1−→x(1) dλ 2πiλ = 1 Pm(η) Z T1 λmeληxP (−∂ + λη)δ(x) dλ 2πiλ. (3.36)
Genom att applicera polynomsplittringen från förra avsnittet (se ekvation (3.23)) på P (−∂ + λη) fås P (−∂ + λη)δ(x) = λmP m(η) + Qm(−∂ + λη) + m−1 X k=0 Pk(−∂ + λη), (3.37)
där detaljerna kring Pk och Qm finns under motsvarande uppdelning i förra
3.5. Proposition 2 17 tre delar: 1 Pm(η) Z T1 λmeληxP (−∂ + λη)δ(x) dλ 2πiλ (3.38) = 1 Pm(η) Z T1 λmeληxλmP m(η)δ(x) dλ 2πiλ+ + Z T1 λmeληx m−1 X k=0 Pk(−∂ + λη) + Qm(−∂ + λη)δ(x) dλ 2πiλ (3.39) = δ(x) Pm(η) Z T1 λmλmP m(η) dλ 2πiλ+ + Z T1 λm m−1 X k=0 Pk(−∂) + Qm(−∂)δ(x) dλ 2πiλ . (3.40)
I sista steget förenklas integralerna genom att förskjuta differentialoperatorerna med eληx-faktorn. Vi har visserligen λη i argumentet för differentialoperatorerna
men eftersom
eληxPk(−∂ + λη) = eληxPk(−∂ + λη) = eληxPk(−∂ + λη) = Pk(−∂), (3.41)
ser vi att det är den vanliga förskjutningsregeln som används. Sedan används även att eληxδ(x) = e0δ(x) = δ(x). Slutligen studerar vi nu dessa termer en i
taget, först för m > 0. Qm(−∂)δ(x) är linjärkombinationer av derivatorer av δ(x) som är oberoende av integrationsvariabeln så denna term ger ett bidrag
Qm(−∂)δ(x)
Z
T1
λm dλ
2πiλ. (3.42)
Nu kan T1 (enhetscirkeln λ ∈ C, |λ| = 1) parametriseras med λ = eit, t : 0 −→
2π. Dessutom ger bytet av integrationsvariabel att dλ = ieitdt. Integralen får
då formen Qm(−∂)δ(x) Z T1 λm dλ 2πiλ = Qm(−∂)δ(x) Z 2π 0 eimt(2π)−1dt = 0. Summan från (3.40) ger ett andra bidrag. Summan ger m − 1 olika integraler, vi studerar en av dessa för ett godtyckligt k = j. Integralen får uttrycket
Z
T1
λmPj(−∂)δ(x)
dλ 2πiλ.
På samma sätt som innan är Pj(−∂)δ(x) linjärkombinationer av derivatorer
18 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
enhetscirkeln som ovan ger sedan att integralen får formen Pj(−∂)δ(x)
Z 2π
0
eimt(2π)−1dt = 0. (3.43) Eftersom en godtycklig term från summan i den andra termen från (3.40) ger bidraget 0 är det totala bidraget från summan också 0. Det enda som återstår är att evaluera den första integraltermen. Parametriseringen ger att
δ(x) Pm(η) Z T1 λmλmP m(η) dλ 2πiλ = δ(x) Pm(η) Z 2π 0 Pm(η) dt 2π = δ(x) 2π Z 2π 0 dt = δ(x) 2π 2π = δ(x). (3.44)
För fallet m = 0 använder vi ekvation (3.41) i (3.38) vilket ger 1 Pm(η) Z T1 λmeληxP (−∂ + λη)δ(x) dλ 2πiλ = Z 2π 0 δ(x) dλ 2πiλ (3.45) = Z 2π 0 δ(x) 1 2π = δ(x), (3.46)
och satsen är visad.
3.6
Cauchy-Riemann-operatorn
I Ortner och Wagner[2] ges ett exempel för hur formeln från proposition 2 kan tillämpas för att erhålla fundamentallösningen till Cauchy-Riemann-operatorn. Cauchy-Riemann-operatorn kommer från Cauchy-Riemanns ekvationer som an-vänds för att avgöra om en funktion f : Cn −→ Cn är analytisk. På
operator-form skrivs den P (∂) = ∂1+ i∂2 och målet med detta avsnitt är att finna ett
E ∈ D0(Rn) som uppfyller P (∂)E = δ genom att använda ekvation (3.31).
No-tera att här är alltså n = 2 och därmed x ∈ R2.
Låt η ∈ R2 vara fixerad och nollskild samt z = x
1+ ix2, γ = η1+ iη2 ∈ C.
Eftersom P (∂) = ∂1+ i∂2 gäller omskrivningen P (iξ + λη) = iξ1− ξ2+ λη1+
iλη2= iξ1− ξ2+ λγ. Transformen från (3.31) kan därmed skrivas
Fξ−1−→x P (iξ + λη) P (iξ + λη) ! = Fξ−1−→x iξ1− ξ2+ λγ iξ1− ξ2+ λγ . (3.47)
3.6. Cauchy-Riemann-operatorn 19
Med ekvation (2.2) kan täljaren brytas ut ur transformen enligt: Fξ−1−→x iξ1− ξ2+ λγ iξ1− ξ2+ λγ = (−∂1+ i∂2+ γλ)Fξ−1−→x 1 iξ1− ξ2+ λγ . (3.48) Nu kommer ett problem med denna metodik visas, nämligen att för att kunna använda dessa explicita formler krävs en viss förkunskap om operatorn som undersöks. Detta diskuteras också i kapitel 4. För att komma vidare behöver vi fundamentallösningen till ∂1+ i∂2 som är noll i oändligheten
Fξ−1−→x(iξ1− ξ2)−1=
1 2π(x1+ ix2)
= 1
2πz. (3.49)
På sida 49 och 260 i Schwartz[13] visas hur en transform av denna typ hante-ras. Med ekvationen ovan kan vi hitta transformen i ekvation (3.48) genom att förskjuta funktionsargumentet med en konstant u ∈ C så att
Fξ−1−→x 1 iξ1− ξ2+ u = e i Im(zu) 2πz [2]. (3.50)
För en distribution T ∈ D0(R2) och u ∈ C gäller följande variant av
förskjut-ningsregeln
(−∂1+ i∂2+ u)(ei Im(zu)T ) = ei Im(zu)(−∂1+ i∂2)T. (3.51)
För att se detta behöver vi skriva ut i Im(zu) i termer av x1och x2. För en
kom-plex variabel z kan komkom-plexkonjugat användas för att uttrycka imaginärdelen enligt Im(z) = z−z2i . Vi applicerar därmed detta på i Im(zu) så att
i Im(zu) = zu − zu
2 . (3.52)
Med u = u1+ iu2 och u = u1− iu2kan följande omskrivningar göras
zu − zu
2 =
u1(z − z) − iu2(z + z)
2 = iu1Im(z) − iu2Re(z) = iu1x2− iu2x1, eftersom z −z = 2i Im(z) och z + z = 2 Re(z). Därmed kan vi substituera detta uttryck in i ekvation (3.51) så att
(−∂1+ i∂2+ u)(ei Im(zu)T ) = (−∂1+ i∂2+ u1− iu2)(eiu1x2−iu2x1T ). (3.53)
Om vi nu och låter differentialoperatorerna verka på eiu1x2−iu2x1T , så fås enligt
produktregeln
(−∂1+ i∂2+ u1− iu2)(eiu1x2−iu2x1T )
= T (−∂1+ i∂2)eiu1x2−iu2x1+ eiu1x2−iu2x1(−∂1+ i∂2)T
20 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
Differentialoperatorerna som verkar på eiu1x2−iu2x1 i första termen, ger upphov
till termerna iu2eiu1x2−iu2x1+ i2u1eiu1x2−iu2x1, som tar ut de sista två termerna
i (3.54). Därmed återstår bara två termer och om vi återigen använder ekvation (3.52) får vi att
(−∂1+ i∂2+ u1− iu2)(eiu1x2−iu2x1T )
= eiu1x2−iu2x1(−∂
1+ i∂2)T = ei Im(zu)(−∂1+ i∂2)T, (3.55)
vilket är vad vi hade i ekvation (3.51).
Nu finns tillräckligt för att sätta in i uttrycket för fundamentallösningen, alltså ekvation (3.31). För Cauchy-Riemann-operatorn är m = 1 såPm(η) = P1(η) =
η1+ iη2= γ. Integranden har ett λm/λ = λm−1= λ0= 1 så vi har E enligt
E = 1 2πγ Z T1 eληxFξ−1−→x P (iξ + λη) P (iξ + λη) ! dλ i = 1 2πγ Z T1 eληx(−∂1+ i∂2+ λγ) ei Im(zλγ) 1 z dλ i = 1 2πγ Z T1 eληxei Im(zλγ)(−∂1+ i∂2) 1 2πz dλ i = 1 4π2γ Z T1
eληx+i Im(zλγ)(−∂1+ i∂2)
1 z
dλ
i . (3.56)
Vi studerar nu ληx + i Im(zλγ) för att förenkla exponenten. På liknande sätt som tidigare kan i Im(zλγ) skrivas om med hjälp av ekvation (3.52) enligt
i Im(zλγ) =1 2 (x1+ ix2)(η1− iη2)λ − (x1− ix2)(η1+ iη2)λ =1 2 (x1η1+ x2η2+ ix2η1− ix1η2)λ − (x1η1+ x2η2− ix2η1+ ix1η2)λ =1 2 (x1η1+ x2η2)(λ − λ) + (ix2η1− ix1η2)(λ + λ)
= −i Im(λ)(x1η1+ x2η2) + i Re(λ)(x2η1− x1η2). (3.57)
Vi kan även skriva om ληx som
3.6. Cauchy-Riemann-operatorn 21
Om vi nu summerar (3.58) och (3.57) får vi endast termer med Re(λ): ληx + i Im(zλγ) =
= (Re(λ) + i Im(λ))(x1η1+ x2η2) − i Im(λ)(x1η1+ x2η2) + i Re(λ)(x2η1− x1η2)
= Re(λ)(x1η1+ x2η2) + i Re(λ)(x2η1− x1η2)
= Re(λ) x1η1+ x2η2+ ix2η1− ix1η2 = Re(λ)γz, (3.59)
eftersom γz = (η1− iη2)(x1+ ix2) = x1η1+ x2η2− ix1η2+ ix2η1. Vi har därmed
att E i (3.56) kan skrivas som E = 1 4π2γ Z T1 eγz Re(λ)(−∂1+ i∂2) 1 z dλ i . (3.60)
Med ∂z= 12(∂1− i∂2) har vi att (−∂1+ i∂2) = −2∂z så att
(−∂1+ i∂2) 1 z = −2∂z 1 z = 2vp(z −2), (3.61)
där vp(z−2) ∈ S0(R2) är den distribution som definieras av sin verkan på en
Schwartztestfunktion φ ∈ S(R2) enligt hφ, vp1 z2i = lim−→0+ Z Z |x|> φ(x) (x1+ ix2)2 dx. (3.62)
Vi bryter ut denna ur integralen i (3.60) så att E = 2vp(z −2) 4π2γ Z T1 eγz Re(λ)dλ i = vp(z−2) 2π2γ Z T1 eγz Re(λ)dλ i . (3.63) Slutligen parametriserar vi integralen med λ = cos(ϕ) + isin(ϕ), ϕ : 0 −→ 2π. Med dλ = −sin(ϕ) + icos(ϕ) och Re(λ) = cos(ϕ) blir integralen
E = vp(z
−2)
2π2γ
Z 2π
0
eγzcos(ϕ)(−sin(ϕ) + icos(ϕ))dϕ
i . (3.64)
Vi undersöker sedan ena delen av integralen och antar först att γ och z är nollskilda så att −1 i Z 2π 0 eγzcos(ϕ)sin(ϕ)dϕ = 1 i 1 γze γzcos(ϕ) 2π 0 = 0, (3.65)
och sedan fallet att antingenγ eller z är 0 −1 i Z 2π 0 eγzcos(ϕ)sin(ϕ)dϕ = −1 i Z 2π 0 sin(ϕ)dϕ = 0. (3.66)
22 Kapitel 3. Explicita formler för fundamentallösningar
Vi ser alltså att bidraget från den del med termen sin(ϕ) i ekvation (3.63) är 0. Därmed har vi slutligen ett explicit uttryck för fundamentallösningen till Cauchy-Riemann-operatorn enligt E =vp(z −2) 2π2γ Z 2π 0 eγzcos(ϕ)cos(ϕ))dϕ. (3.67) Denna formel kan förenklas ytterligare om vi introducerar Besselfunktioner. Vi undersöker den modifierade Besselfunktionen för heltal j:
Ij(w) = 1 π Z π 0 ewcos(θ)cos(jθ)dθ. (3.68) Vi ser att med j = 1 och w = γz får vi en modifierad Besselfunktion på formen
I1(γz) = 1 π Z π 0 eγzcos(θ)cos(θ)dθ. (3.69) På grund av periodiciteten hos cos(θ) kan vi dubbla integrationsintervallet om vi korrigerar genom att dividera med en faktor 2 så att
I1(γz) = 1 π Z π 0 eγzcos(θ)cos(θ)dθ = 1 2π Z 2π 0 eγzcos(θ)cos(θ)dθ. (3.70) Därmed kan vi identifiera en faktor från uttrycket för E i (3.67), om vi byter ut θ mot ϕ, så att
Z 2π
0
eγzcos(ϕ)cos(ϕ)dϕ = 2πI1(γz). (3.71)
Därmed har vi ett sista uttryck för E enligt E = vp(z
−2)
2π2γ 2πI1(γz) =
vp(z−2)I1(γz)
πγ , (3.72)
Kapitel 4
Bevistekniker för
Malgrange-Ehrenpreis sats
4.1
Historik
Bevis för existens av fundamentallösningar är inte speciellt gamla, de första be-visen dök upp så sent som på 1950-talet. En anledning till varför bevis inte togs fram tidigare är att det inte fanns någon vedertagen definition kring exakt vad en fundamentallösning var för något[2][6]. Det var inte förens 1951 när Laurent Schwartz släppte sin Théorie des distributions och utvecklade distributionsteo-rin som bevisen för det som senare skulle kallas för Malgrange-Ehrenpreis sats började dyka upp. De första bevisen togs fram på 50-talet av Leon Ehrenpreis och Bernard Malgrange, oberoende av varandra. Även fast de inte arbetade till-sammans använde de samma bevismetod, bevis som byggde på Hahn-Banachs sats[2][6]. Därefter dröjde det inte länge tills frågan om det fanns explicita form-ler som genererade fundamentallösningar uppstod. Den första formeln av denna typ togs fram av Lars Hörmander som använde en metod som senare kom att kallas Hörmander’s staircase[2]. Efter att den första explicita formeln utvecklats har sedan flertalet olika varianter av explicita formler konstruerats genom åren, bland annat de två som granskades i förra avsnittet.
4.2
De första bevisen
De ursprungliga bevisen finns i Ehrenpreis[7][8] och Malgrange[9]. I Ehrenpreis[7] är målet att visa att ekvationen P (∂)T = S har lösning för T, S ∈ D0(Rn) då
24 Kapitel 4. Bevistekniker för Malgrange-Ehrenpreis sats
P (∂) är en differentialoperator med konstanta koefficienter. Det innebär allt-så att med S = δ har Ehrenpreis beskrivit det som senare blev Malgrange-Ehrenpreis sats. Intressant att notera här är att ekvationen P (∂)T = δ beskrivs som ett specialfall från en mer allmän sats. Skillnaden på bevisen som finns i dessa artiklar och på bevisen som undersöktes i kapitel 3 i den här rapporten, är att Ehrenpreis och Malgrange inte ger en explicit formel för en fundamental-lösning, utan endast visar att ekvationen ovan är sann då T och S uppfyller de krav som funktionsrummet D0(Rn) medför. I Ehrenpreis[7] ges ett par metoder
med en del skillnader för att åstadkomma detta. Dock har samtliga av dessa tidiga tekniker en central del gemensamt. De använder alla Hahn-Banachs sats som utgör själva kärnan i dessa bevis. Med hjälp av Hahn-Banachs sats kan en funktion utvidgas från ett underrum som uppfyller ekvationen ovan, till en funktion T ∈ D0(Rn) så att satsens villkor uppfylls.
4.3
Andra metoder
Ett alternativt bevis ges av Jean-Pierre Rosay i [10], som på många sätt är annorlunda mot andra bevis eftersom författarens mål är att ge en så pass elementär beskrivning som möjligt. Till exempel etableras tidigt att inga fouri-ertransformer används och att knappt någon förkunskap om distributioner krävs för att förstå beviset. Istället för de rum av distributioner som vi är vana vid från andra bevis, används bland annat funktionsrummet L2(Rn) (rummet av
kvadratiskt integrerbara funktioner). Rosay påpekar att det är Hörmanders olik-het som utgör en kärna i beviset. I Rosay[10] uttrycks olikolik-heten enligt följande
||P (D)φ|| ≥ C||φ||, (4.1)
där C är en positiv konstant, φ ∈ L∞0 (Ω) och || · || är normen i L2(Ω). I
Ro-says notation är L∞0 alla L∞-funktioner med kompakt stöd och Ω är en öppen mängd i Rn. I Hörmander[11] visas denna olikhet och dessutom finns där ett
annat bevis för Malgrange-Ehrenpreis sats. Eftersom Hörmander var en av de första att arbeta med bevis för existens av fundamentallösningar har flera av de andra författarna vars artiklar granskats i den här rapporten använt sig av hans material. Utöver beviset i [11] har Hörmander bidragit med en stor mängd satser och lemmata som återfinns i många bevis av Malgrange-Ehrenpreis sats. Avslutningsvis ges ett till bevis för Malgrange-Ehrenpreis sats med en explicit formel, likt de som diskuterades i kapitel 3. En sådan formel ges av Heinz Kö-nig i [12]. Med S(P ) = P
4.4. Diskussion 25 kapitel 3 att E = 1 (2π)nS(P )εm X |α|≤N N ! (N − |α|)!α!∂ 2αK α, (4.2)
där Kαär kontinuerliga funktioner på Rn[12] som ges av
Kα(x) = Z Rn×Tn [(it + εs)αP (it + εs)] (1 + |it + εs|2)N Pm(s)e (it+εs)xd(λn × Tn)(t, s), x ∈ Rn. Det skulle krävas ett eget kapitel för att förklara och visa alla nyanser av denna sats, men det är ändå intressant att skriva ned formeln här i syfte att sedan jämföra med de andra uttrycken för fundamentallösningar som undersökts. De-taljerna kring notationen i uttrycket för Kαfinns i [12].
4.4
Diskussion
Sammanfattningsvis har det här avsnittet visat att det finns många olika me-toder för att visa Malgrange-Ehrenpreis sats. Bevisen skulle kunna delas upp i två grupper, de som bevisar satsen med hjälp av en explicit formel och öv-riga metoder. Fördelen med de som använder en explicit formel är att de är praktiska och kan tillämpas för att lösa problem, till exempel för att ta fram en fundamentallösning till Cauchy-Riemann-operatorn som vi såg i kapitel 3. Även bland de explicita formlerna finns det dock stora skillnader. En stor an-ledning till varför ekvation (4.2) togs upp var för att lyfta enkelheten i Wagners två formler från kapitel 3, och hur kompakta de är jämfört med många andra uttryck. En nackdel med dessa formler är att det i många fall krävs någon sorts förkunskap om fundamentallösningar till liknande differentialoperatorer för att kunna applicera formlerna[2]. Dessutom finns det i en del fall enklare metoder för att plocka fram fundamentallösningar än att använda dessa generella formler. I Wagner[6] ges exempel på användbarheten av fundamentallösningar. Där vi-sas bland annat hur teorin kan appliceras på system för kristalloptik. Vad som är särskilt intressant med den tillämpningen är att teorin bakom fundamental-lösningen till differentialoperatorn som beskriver systemet inte är fullkomligt utredd, vilket innebär att det fortfarande finns mer att göra inom området. Dessutom ges några fler exempel på hur fundamentallösningar tagits fram och använts, ibland omedvetet, av fysiker och matematiker genom åren. Till exem-pel använde Jean le Rond d’Alembert en fundamentallösning för att utvinna en funktion som beskriver vibrationen av en sträng, redan år 1747. Avslutningsvis ska det sägas att fundamentallösningar varit ett viktigt och användbart verktyg
26 Kapitel 4. Bevistekniker för Malgrange-Ehrenpreis sats
för både matematiker och fysiker genom åren, även fast teorin inte växte fram och etablerades ordentligt förens under andra halvan av 1900-talet.
Litteraturförteckning
[1] Wagner, P. A New Constructive Proof of the Malgrange-Ehrenpreis Theorem. The American Mathematical Monthly Vol. 116, Nr. 5 (Maj, 2009), 457-462 [2] Ortner, N., Wagner, P. A Short Proof of the Malgrange-Ehrenpreis Theorem.
Functional analysis (Trier, 1994), 343–352, de Gruyter, Berlin, 1996. [3] Ortner, N., Wagner, P. A Survey on Explicit Representation Formulae for
Fundamental Solutions of Linear Partial Differential Operators. Acta Appli-candae Mathematicae 47, 101–124 (1997).
[4] Aigner, Mats. Fourieranalys. Linköpings Universitet, 2018.
[5] Sjödin, Tomas. Envariabelanalys, del 2. Linköpings Universitet, 2020. [6] Wagner, Peter. On the explicit calculation of fundamental solutions. J. Math.
Anal. Appl. 297 (2004) 404–418.
[7] Ehrenpreis, Leon. Solution of Some Problems of Division: Part I. Division by a Polynomial of Derivation. American Journal of Mathematics , Okt., 1954, Vol. 76, Nr. 4 (Okt., 1954), 883-903.
[8] Ehrenpreis, Leon. Solution of Some Problems of Division: Part II. Division by a Punctual Distribution. American Journal of Mathematics , Apr., 1955, Vol. 77, Nr. 2 (Apr., 1955), 286-292
[9] Malgrange, Bernard. Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution. Annales de l’institut Fourier, tome 6 (1956), 271-355.
[10] Rosay, Jean-Pierre. A Very Elementary Proof of the Malgrange-Ehrenpreis Theorem. The American Mathematical Monthly , Jun. - Jul., 1991, Vol. 98, Nr. 6 (Jun. - Jul., 1991), 518-523
28 Litteraturförteckning
[11] Hörmander, Lars. On the theory of general partial differential operator. Acta Math., 94 (1955) 161-248.
[12] König, Heinz. An Explicit Formula for Fundamental Solutions of Linear Partial Differential Equations with Constant Coefficients. Proceedings of the American Mathematical Society , Apr., 1994, Vol. 120, Nr. 4 (Apr., 1994), 1315-1318.
[13] Schwartz, Laurent. Théorie des Distributions Nouv. éd., Hermann, Paris, 1966.
Linköping University Electronic Press
Upphovsrätt
Detta dokument hålls tillgängligt på Internet – eller dess framtida ersättare – från publiceringsdatum under förutsättning att inga extraordinära omständig-heter uppstår.
Tillgång till dokumentet innebär tillstånd för var och en att läsa, ladda ner, skriva ut enstaka kopior för enskilt bruk och att använda det oförändrat för ickekommersiell forskning och för undervisning. Överföring av upphovsrätten vid en senare tidpunkt kan inte upphäva detta tillstånd. All annan användning av dokumentet kräver upphovsmannens medgivande. För att garantera äktheten, säkerheten och tillgängligheten finns lösningar av teknisk och administrativ art. Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att bli nämnd som upphovsman i den omfattning som god sed kräver vid användning av dokumentet på ovan beskrivna sätt samt skydd mot att dokumentet ändras eller presenteras i sådan form eller i sådant sammanhang som är kränkande för upphovsmannens litterära eller konstnärliga anseende eller egenart.
För ytterligare information om Linköping University Electronic Press se för-lagets hemsida http://www.ep.liu.se/.
Copyright
The publishers will keep this document online on the Internet – or its possible replacement – from the date of publication barring exceptional circumstances.
The online availability of the document implies permanent permission for anyone to read, to download, or to print out single copies for his/her own use and to use it unchanged for non-commercial research and educational purpose. Subsequent transfers of copyright cannot revoke this permission. All other uses of the document are conditional upon the consent of the copyright owner. The publisher has taken technical and administrative measures to assure authentic-ity, security and accessibility.
According to intellectual property law the author has the right to be men-tioned when his/her work is accessed as described above and to be protected against infringement.
For additional information about the Linköping University Electronic Press and its procedures for publication and for assurance of document integrity, please refer to its www home page: http://www.ep.liu.se/.
c
