I en ideal situation så hade en pilotundersökning med ett stort antal uppgifter gjorts på ett stort antal elever. Efter bedömning av svaren och intervjuer av eleverna hade de uppgifter som mätte det som förväntades valts ut. Detta har inte kunnat göras då tid till detta inte funnits. Dock tycker vi att uppgifterna vi valt att testa eleverna med väl överensstämmer med vad eleverna kan förväntas klara av efter att ha läst matematik C- och D-kurserna på gymnasiet. Vi anser också att frågorna är relevanta för att testa det som redovisas i kapitlet: Val av frågor, på sidorna 16-19. Vi är medvetna om att frågorna fyra och fem verkar överlag ha uppfattats som mycket svåra. Dock ser vi inte detta som ett skäl till att exkludera dessa då det för att kunna få en bild av elevernas kunskaper måste finnas uppgifter som testar alla nivåer på APOS samt som en följd av detta ligger på gränsen för vad eleverna klarar av.
I tabell 1 på sidan 20 redovisar vi hur vi bedömt elevernas lösningar enligt APOS-
modellen. Vi är medvetna om att vissa bedömningar kan tyckas konstiga. Ett exempel på detta är Hannas svar på uppgift fem, Novica bedömde hennes svar som för ofullständigt för att kunna bedömas. Robert gjorde bedömningen att eftersom hon försöker att derivera funktionen, se bilaga A, möjligen visar tendenser till att nå upp till process-nivån i
APOS-modellen. Denna skillnad i bedömningen anser vi beror på faktorer som kan härledas till författarnas oerfarenhet av APOS-modellen, författarnas generella oerfarenhet att bedöma prov samt att det i bedömningens natur alltid måste finnas utrymme för olika tolkningar.
Då en undersökning som vi har redovisat görs blir det i slutändan alltid en diskussion kring hur bedömningen av kunskaperna har gjorts. Även om vi vid intervjuerna har försökt att uppmuntra eleverna, så långt som möjligt, att dela med sig av sina mentala bilder av derivatabegreppet är det ändå svårt att veta vad och hur de tänker kring detta. Det blir vi som på något sätt ska väga och värdera det som eleverna skriftligt och
betyg. Här kan nämnas att den elev som befanns sig väldigt nära botten vad gäller korrekt lösta uppgifter, Bodil, har mvg i betyg i matematik C-kursen. Detta tyder på att vi som lärare kanske inte sätter betyg efter den kognitiva begreppsförståelsen utan snarare efter procedurell skicklighet.
I den svenska gymnasieskolan presenteras matematiken ofta som algoritmer som eleverna ska lära sig för att kunna lösa typexempel. Det finns ingen betoning på axiom eller bevis. Vi måste fråga oss vad matematikundervisningen i gymnasieskolan syftar till. Om dess primära mål är att skapa förutsättning för vidare matematiska studier, så tror vi att undervisning, som nästan uteslutande är fokuserad kring processförståelse, inte tillgodoser detta. Just derivatabegreppet kan vara svårt att koppla till företeelser i
vardagen, som eleverna tycker är intressanta. Det hade varit intressant att undersöka hur den nyligen föreslagna modellen med profilklasser för matematikintresserade elever kommer att påverka begreppsförståelsen för dessa elever, förutsatt att förslaget blir verklighet. En annan anledning till att elever har en större procedurell skicklighet än konceptuell kan också vara hur de flesta läroböcker är uppbyggda. I början av kapitlen brukar uppgifter av procedurell karaktär finnas och de mer konceptuella i slutet. Detta kan innebära att bara de verkligt intresserade studenterna får en chans att pröva sina färdigheter på konceptuella problemen.
Att eleverna inte når, i någon större utsträckning, upp till de högre nivåerna i APOS måste också betraktas med bakgrunden att grunden till den formella förståelsen av derivatans definition involverar förståelse och bevis av gränsvärden.
Uppgift 5 är som vi tidigare nämnt felaktig. Detta då uppgiften är given utan att det går att få fram vågens tidsberoende. Uppgiften kan liknas vid att man tar en bild på havet vid en viss tidpunkt där topparna, dalarna samt korken syns. På bilden syns det inte med vilken hastighet vågen utbreder sig. För att vi ska kunna bestämma denna krävs t.ex. att vi har en position till på korken och information om hur många perioder det passerat mellan de två positionerna, samt hur lång tid det är mellan bilderna.
Det faktum att uppgiften är felaktig anser vi inte påverkar de slutsatser som vi kommit fram till. Det underliggande materialet blir mindre men slutsatserna som dras i kapitlet Slutsats, blir de samma även om vi exkluderar uppgift 5 helt. Elevernas förståelse av begreppet derivata blir inte mindre fragmenterat och skillnaden mellan elever med höga och låga betyg blir inte större utan uppgift 5.
Referenser
Asiala, M., Brown, A., Devries, D., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). A
Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics Research in Collegiate Mathematics Education. vol. 2. American
Mathematical Society, s. 1-32.
Caprétz. D., Ericsson, A. (2007). Det lutar åt derivata. Hämtad: 2009-06-12 från http://dspace.mah.se/handle/2043/5897
Dubinsky, E. &, McDonald, M. (2001) APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research. I D. Holton (red.) The
teaching and learning of mathematics at university level: An ICMI study. Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers, s. 273-280.
Ejlersson, G. (1996). Enkäten i praktiken. Lund: Studentlitteratur.
Engelbrecht, J., Harding, A.& Potgieter, M. (2005). Undergraduate students' performance and confidence in procedural and conceptual mathematics. International Journal of
Mathematics Education in Science and Technology, vol. 36 n. 7. s. 701-712.
Forskningsetisk policy, (2003). Luleå Tekniska Universitet. Hämtad 2009-04-19 från http://www.luth.se/admin/ffn/policy/foetiskpolicy.pdf.
Glaserfeld, E. (1998). Kognition, kunskapskonstruktion och undervisning. I Engström, A. (red) Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur. s. 34-53 .
Juter, K. (2006). Limits of Functions: University Students’ Concept Development. Doktorsavhandling 2006:08, Luleå tekniska universitet, Luleå.
Meel, David E. (1998). Honors Students’ Calcukus Unserstandings: Comparing Calculus & Mathematica and Traditional Calculus Students. I A. Schoenefeld, J. Kaput &, E. Dubinsky, (red), Research in Collegiate Mathematics Education. 3. American Mathematical Society, 163-215.
Patel, R. Davidsson, B. (1998). Forskningsmetodikens grunder. Lund : Studentlitteratur . Tall, D. (1999). Reflections on APOS theory in Elementary and Advanced Mathematical Thinking. I O. Zaslavsky (red.), Proceedings of the 23rd Conference of PME, Haifa, Israel, 1, s. 111-118.
Tall, D. (2004). Thinking Through Three Worlds of Mathematics. Proceedings of the
28th Conference of PME, Bergen, Norway, 4, s. 281–288.
Tall, D. (2008). The Transition to Formal Thinking in Mathematics. Mathematics