Motsvarande undersökningen våra förväntningar? Vår hypotes från början var att eleverna i en niondeklass kunde klara sambanden med hjälp av andra kunskaper i matematik. När vi så ”testkörde” våra enkätfrågor på ett par tonåringar i vår bekantskapskrets så blev vi varse att det kunde bli svårare än vi tänkt oss för eleverna. Hur klarar de detta när de inte har läst om begreppet funktioner? En slutsats man kan dra är att elever som inte läst om funktioner har mycket svårt att se sambanden som vi undersökt.
Hur tolkar elever i år 9 övergångarna mellan situation, funktion och graf?
När det gäller att tolka ett diagram bygger deras lösningar till stor del på deras kunskaper i statistik. Eleven ser inte någon skillnad mellan grafisk framställning i statistik och den som används som representationsform för funktioner. (Grønmo & Rosén, 1997). Ikonisk tolkning av diagram går ut på att diagrammet liknar den ”verkliga” händelsen, detta fenomen beskrivs av (Grønmo & Rosén, 1997) och (Åberg-Bengtsson, 2000). När det gäller att tolka en formel så bygger deras lösningar mycket på vad de har för kunskaper inom ekvationslösning. Detta har även uppmärksammats av (Persson, 2005). Eller också kan de tolka symbolerna (i detta fall x och y) som ”dolda, hemliga” tal som skall lösas ut), enligt elevsvar i vår undersökning.
Av vår undersökning så framgår det att även gymnasieeleverna har svårt att se sambanden vi undersökt. I vårt fall undersökte vi en klass på gymnasiets Samhällsprogram, Sp, som inte nödvändigtvis måste ha läst så mycket om funktioner. Sp klassens något svaga resultat kan bero på flera faktorer, en av dem kan vara att de kanske har läst ”grön kurs” i x – y – z-serien, i grundskolan. Grön bok innebär att eleverna endast läser det som författarna till läromedelsserien anser vara grundläggande till skillnad från den motsvarande röda som innehåller mer. I den litteratur som de elever vi har undersökt har erfarenhet av kommer avsnittet om funktioner på slutet i nionde klass och de som läser grön kurs har möjligen inte ens läst avsnittet om funktioner. Med utgångspunkt från de undersökta eleverna kan vi inte generalisera så att det gäller alla elever. Vi tror inte att det varit en tillfällighet att samtliga
elever som deltagit i vår undersökning har använt samma matematiklitteratur utan den är,
enligt vår uppfattning, dominerande i dagens matematikundervisning. Vi finner det som ett svaghetstecken i den litteratur som används på de undersökta skolorna som inte inbjuder till att arbeta med funktioner i sin helhet tidigare.
Att ingen elev kunde ge en något så när rimlig förklaring på vad en funktion är finner vi dock ganska anmärkningsvärt. Trots ibland ganska tydlig lotsning så kunde ändå ingen av de
intervjuade eleverna beskriva en funktion. Några intervjuade elever såg dock sambandet mellan vårt funktionsuttryck och uttrycken för mekanisk energi och för arbete i fysiken. Vår åsikt är att funktionsbegreppet har en så väsentlig betydelse, inte bara inom matematiken, utan även inom andra vetenskaper, att det vore önskvärt att alla elever fick möjlighet att bekanta sig med begreppet redan tidigare. Eftersom funktionsbegreppet är ett stelt och statiskt begrepp som kan göra det mycket svårt eller ta lång tid för många elever att greppa finner vi det märkligt att många lärare fortfarande följer böckernas upplägg med sen introduktion av funktionsbegreppet.Vår uppfattning vad gäller funktionsbegreppet är att det tillsammans med t.ex. omkrets och max-area kan införas redan i mellanstadiet, enligt modell i Nämnaren –
Algebra för alla (1997).
Tidsutrymmet vi fick för vår undersökning och för vår uppsatsskrivning har inte alls varit tillräcklig, vi hade behövt använda oss av betydligt längre tid för att nå ett djupare resultat. Vi upptäckte att vi skulle ha velat intervjua några av eleverna en gång till. Vid analysen av intervjusvaren upptäckte vi flera frågor vi skulle ha kunnat ställa t.ex. fler följdfrågor kring varför eleven valt just det diagrammet. Om eleven fått tillfälle att motivera varför denne inte ville välja de andra diagrammen hade det kunnat ge oss en tydligare bild av elevens tankar. De frågor vi ställde var kanske inte tillräckliga för att göra en riktigt djup analys av elevernas kunskaper kring dessa frågor. Vi upptäckte hur svårt det var att inte lägga svaren i munnen på den intervjuade eleven, eller att undvika ledande frågor. Efterhand som vi utförde intervjuerna blev vi dock bättre på att inte lotsa för mycket då vi vid något tillfälle vid de första intervjuerna nästan gav eleven svaret som en fråga. Det gavs även för många tillfällen för eleven att besvara frågan vi ställt med ja eller nej. Våra avsikter med attitydfrågorna i enkäten var att eventuellt kunna se några samband mellan attityd till ämnet och elevernas resultat. Tyvärr har vi inte kunnat se några samband mellan attityd och resultat. Elevernas svar har varierat både i attityd och i resultat på ett sådant sätt att inga mönster kunnat ses.
Syftet med vår undersökning var att se hur eleverna tänker kring kopplingar mellan situation, funktionsuttryck och graf. De svar vi fått genom våra frågor och intervjuer visar att de deltagande eleverna endast har svaga kopplingar mellan de olika uttryckssätten. Deras lösningar visar att de endast använder fragmentariska kunskaper inom andra matematiska områden än funktioner och dess uttrycksformer.
De övergångar som eleverna har haft svårast för i vår undersökning är de från formel till graf, från formel till en situation och från graf till formel. Den största anledningen till detta fenomen borde vara att eleverna inte har givits möjlighet att se sambanden tidigare. De
kunskaper de uppvisar bygger i stort sett på de kunskaper de har i att läsa och tolka diagram och statistik.
7.1 Konsekvenser för vårt framtida yrkesutövande
Det har gjorts undersökningar av bland annat (Persson 2005) som visar att gymnasieelevers kunskaper i algebra har brister. Dessa brister borde kunna minskas genom att introducera funktionsbegreppet tidigare. Inte bara tidigare, utan låt eleverna bekanta sig med sambanden mellan de olika uttrycksformerna på ett sådant sätt att just sambanden tydliggörs.
Vi anser att eleverna generellt borde konfronteras med de olika övergångarna mellan en situation, en graf och en formel betydligt tidigare än vad som vanligtvis sker idag. Uppnåendemålen kräver inte att eleverna i grundskolan till fullo ska behärska området, men vi kan inte se några nackdelar med att de får chansen att bekanta sig med begreppet. Vi har här ingen avsikt att skriva läromedel i ämnet men generellt kan man utgå från en enkel funktion som bygger på något som ligger eleverna nära till hands. Man kan till exempel utgå från funktionen av vad ett mobilabonnemang kostar, detta kan tas upp som grupparbete där olika grupper väljer olika mobiloperatörer. Be eleverna ta reda på vad ett abonnemang kostar, hjälp dem sedan att utifrån det teckna en formel som man sedan ritar upp som en graf. Varje grupp kan sedan presentera ett eget förslag och redovisa för klassen under diskussion om vilket abonnemang som blir billigast eller dyrast. Vad är det som utgör skillnader i grafen/formeln? Vi har i vår undersökning inte fokuserat på användandet av tabeller, men vi vill lyfta fram att det finns ett stort värde i att använda tabeller i sådana här uppgifter. En kunskap som också borde vara viktig i verkliga livet är att veta vad lutningen på en linje betyder. Här kan man bygga på timlön, kilopris eller dylikt för att sedan visa vad som händer om lönen, eller kilopriset förändras. Här passar det också att ta upp beroende och oberoende variabel.
7.2 Förslag på fortsatt forskning
• Det hade varit intressant att göra om samma undersökning med samma elever efter att de har läst om funktionsbegreppet.
• Att göra en undersökning för att se vilka förkunskaper som finns redan i grundskolans tidigare år.
• Att göra om samma undersökning med elever i år 9 som haft annan kurslitteratur som tar upp begreppet betydligt tidigare.
7.3 Avslutning
Avslutningsvis vill vi först och främst tacka de elever som tog sig tid till att svara på våra enkäter och som ställde upp på att bli intervjuade. Ett stort tack även till deras respektive lärare som med entusiasm inför vårt undersökningsområde avsatt tid och lånat ut elever. Utan deras medverkan hade det här arbetet inte kunnat bli av. Vi vill också tacka vår handledare Per-Eskil Persson för den positivism och entusiasm han visade oss i början av vårt arbete.