Funktion - Vad är det?

Formel Graf Situation

Malmö högskola

Examensarbete

Funktion – Vad är det?

Kan eleverna se de matematiska sambanden?

A function - What is that?

Are the students able to see the mathematical connections?

Kicki Hedlund & Stig Lindell

Lärarexamen 180 poäng Handledare: P-E Persson Matematik och lärande

Sammanfattning

Den här uppsatsen behandlar elevers kunskaper om begreppet funktioner. Det står i uppnåendemålen att eleverna skall – ”kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser.” (Utbildningsdepartementet, 1998). Undersökningen är gjord på tre skolor och omfattar två klasser i år 9 samt en klass i gymnasiet. Vi har genom enkäter och djupintervjuer försökt ta reda på vad eleverna kan inom området. Kan de se sambanden mellan situation, graf och formel? En av slutsatserna vi har dragit är att många elever inte läser om funktioner som ett helt begrepp förrän alldeles i slutet av år 9. Det är anledningen till att vi även har gjort vår undersökning på gymnasiet. En annan viktig slutsats är att eleverna tycks ha svårt att se samband mellan de olika uttryckssätten som vi har undersökt.

Nyckelord

Algebra, begreppsförståelse, elever, funktionsbegrepp, grafer, matematik, samband, situation, tolka, variabel.

1 INLEDNING ... 1

2 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING ... 2

2.1SYFTE... 2 2.2FRÅGESTÄLLNING... 2 3 BAKGRUND ... 3 3.1FUNKTIONSBEGREPPET I HISTORIEN... 3 3.2HISTORISKA NEDSLAG... 3 3.3VAD ÄR EN FUNKTION? ... 8

3.4VARFÖR SKA MAN KUNNA FUNKTIONER? ... 9

3.5JANVIER OCH HANS MATRISER... 12

3.6OLIKA MISSUPPFATTNINGAR... 15 4 METOD ... 16 4.1URVAL... 16 4.2DATAINSAMLINGSMETODER... 17 4.3PROCEDUR... 18 4.4TILLFÖRLITLIGHET... 19 5 RESULTAT ... 20 5.1RESULTAT: ATTITYDFRÅGOR... 20 5.2RESULTAT: MATEMATIKUPPGIFTER... 21 5.2.1 Uppgift: En Cykeltur ... 21 5.2.2 Uppgift: Diagram 1 ... 22 5.2.3 Uppgift: En funktion ... 23 6 ANALYS AV ELEVSVAR... 25 6.1EN CYKELTUR... 25 6.1.1 Diagram A ... 25 6.1.2 Diagram B ... 26 6.1.3 Diagram C ... 26 6.1.4 Diagram D... 27 6.2DIAGRAM 1 ... 28 6.3EN FUNKTION... 30

7 DISKUSSION OCH SLUTSATSER ... 33

7.1KONSEKVENSER FÖR VÅRT FRAMTIDA YRKESUTÖVANDE... 35

7.2FÖRSLAG PÅ FORTSATT FORSKNING... 35

7.3AVSLUTNING... 36

KÄLLFÖRTECKNING ... 37

1 Inledning

Att tyda en graf. Är det kunskap som hör till allmänbildning? Att se samband mellan en situation och en graf, hör det till allmänbildning? Att sen kunna se och tolka samband mellan, formel, graf och situation, är det något alla bör kunna? Ska alla dessutom kunna att ur en graf få fram en formel som gäller för den situation grafen visar? Ja, det här är frågor som vi intresserar oss för. I vår undersökning har vi tittat på vad styrdokumenten säger att eleverna ska kunna, sedan har vi genom enkätuppgifter till elever i år 9, som vi följt upp med intervjuer, försökt tolka hur elever tänker när det handlar om funktioner och kopplingar mellan < situation > < funktion > < graf >. En slutsats som vi blev varse tidigt är att många elever faktiskt inte läser begreppet funktioner förrän i slutet av år 9. Detta medförde att vi utökade vår undersökning till omfatta elever på gymnasiet.

Formel

Graf

Situation

2 Syfte och frågeställning

2.1 Syfte

Eftersom funktionsbegreppet har blivit ett av de mest använda begreppen inte bara inom matematiken, utan också framförallt inom teknik- och naturvetenskapen anser vi att det är viktigt att förstå begreppet som en helhet. Vi vill se hur eleverna tänker kring kopplingar mellan en situation, ett funktionsuttryck och en graf, se vår ”triangel” nedan. Detta vill vi göra för att det kan hjälpa oss i vårt framtida yrkesutövande. Avsikten är att se var eleverna brister och förhoppningsvis hitta någon tänkbar orsak. Annars blir vi kanske medvetna om var svårigheterna finns.

2.2 Frågeställning

Vi har bestämt oss för följande två frågeställningar, varav den översta är vår huvudfråga och den undre är en komplementfråga:

• Hur tolkar elever i år 9 övergångarna mellan situation, funktion och graf?

• Hur klarar eleverna dessa övergångar när de inte har läst om begreppet funktioner?

3 Bakgrund

Vi har valt att inleda bakgrunden med en historisk genomgång av funktionsbegreppets flertusenåriga utveckling. Eftersom begreppet är mycket svårt att förstå, inte bara för elever i grund- eller gymnasieskolan, utan för de allra flesta. Vi vill ge läsaren en inblick i den långa och krokiga vägen fram till den definition av funktionsbegreppet som vi har idag. Det kan således inte vara lätt för eleverna att på någon månad lära sig det som tog många betydande matematiker och naturvetare flera tusen år att utveckla. Vi pedagoger tror ofta, lite förhastat, att elever i grundskolan skall lära sig det på några månader.

3.1 Funktionsbegreppet i historien

Begreppet funktioner är en del av vad vi kallar för algebra. Funktionsbegreppet har blivit ett av de väsentligaste och mest använda begreppen, inte bara inom matematiken utan även inom i stort sett i alla vetenskaper. Funktionsbegreppet har under de senaste århundradena haft en avgörande betydelse för de väldiga framsteg som gjorts inom speciellt de naturvetenskapliga och de tekniska områdena. Många matematiska begrepp, inte minst begreppet funktioner har genomgått en lång och ofta krokig utvecklingsgång. Begreppet har inte alltid uppfattats och definierats som det gör i dag utan det har funnits en ganska stor variation av olika uppfattningar och definitioner i ett historiskt perspektiv. Det har funnits många olika människor som på olika sätt har bidragit till hur begreppet utvecklats genom historien.

3.2 Historiska nedslag

Fakta till den historiska bakgrunden har vi hämtat i huvudsak från två källor,

(http://susning.nu/Algebra) och (Häggström, 2005).

Vi gör här några nedslag i historien där vi skall beskriva med en ibland något förenklad och översiktlig bild några av de kulturer och människor som på olika sätt bidragit till att begreppet funktioner har utvecklats.

Mellan åren 5900 f.Kr. - 2000 f.Kr. fanns i sydöstra Mesopotamien den sumeriska kulturen som hade sitt centrum i staden Uruk. Från ungefär år 1600 f.Kr finns lertavlor i kil-skrift bevarade där sumererna lämnade efter sig vad som skulle kunna uppfattas som ett intuitivt sätt att beskriva funktioner i form av tabeller. De använde tabeller över inverterade

tal, kvadratrötter, pythagoreiska taltripplar mm. En sådan tabell kan uppfattas som en funktion där sambandet mellan tal i två mängder är entydigt skriven. Sumererna lämnade också efter sig astronomiska tabeller där bl.a. månens läge beskrivs som en funktion av tiden.

Även babylonierna använde sig av funktioner och redan 2000 år f.Kr. härledde de formeln för att lösa en generell andragradsekvation. Babylonierna grundade även positionssystemet där siffrornas olika betydelse inte bara är bunden till siffervärdet utan även till deras position i det tal de står i. De formulerade också Pythagoras sats långt innan Pythagoras själv gjorde det och babylonierna förde även de astronomiska tabeller över planeternas positioner.

Från den antika grekiska kulturen finns det också exempel på idéer om beroende storheter. Ett sådant exempel är Ptolemaios, en grekisk astronom som var verksam i Alexandria på 100-talet. Ptolemaios var författare till Almagest, ett verk som behandlar den tidens geocentriska värld. Han använde sig inte bara utav tabeller, han gav också beskrivningar av hur man kan räkna fram funktionsvärdet för ett givet värde på den oberoende variabeln.

Den arabiske matematikern al-Khowarizmi publicerade år 830 en lärobok i matematik som bl.a. blev introduktionen till samlingsbegreppet och termen algebra. Han samlade all den kunskap som grekiska, babyloniska, kinesiska och andra matematiker samlat på sig i en bok som han kallade, ett kompendium i räkning med hjälp av al-jabr och al-musqabalah. Betydelsen av Al-jabr är i det här sammanhanget att addera lika termer till båda sidorna i en ekvation för att eliminera delar av ekvationen och betydelsen av al- musqabalah är att lika termer på motsatta sidor i ekvationen tar ut varandra .

Nicolas d`Oresme, fransk filosof, matematiker och fysiker (1323-1382) räknas som en av den moderna vetenskapens fundament. d`Oresme utvecklade en teknik där han med hjälp av en kurva kunde beskriva sambandet mellan hastighet och tid.

I slutet av 1500-talets Europa tar så utvecklingen mot ett mer tydligt funktionsbegrepp sin fart där algebran och symbolspråket tar ett kvalitativt viktigt steg framåt. Detta steg möjliggör användandet av bokstäver som symboler för variabler och därigenom till att kunna skriva allt mer kompakta formler. Tidigare hade algebra i stort sett handlat om ekvationslösning, och bokstäver användes före 1500-talet i stort sett endast som symboler för obekanta tal. Francois Viète, en fransk matematiker (1540-1603), brukar betraktas som den förste som använder bokstäver för att också representera givna eller kända tal. Bokstäver i uttryck kunde nu tolkas som variabler som samtidigt representerar ett stort antal både kända och okända tal. Det gavs nu möjligheter att uttrycka generella, icke-numeriska lösningar på olika problem. Den nya roll bokstäverna fick var oundviklig för att den matematiska formeln skulle bli möjlig.

René Descartes, fransk filosof och matematiker (1596-1650). Han gjorde flera ban-brytande upptäckter inom flera ämnesområden inte minst inom matematiken, han införde bl.a. det vanliga koordinatsystemet och var skapare av den analytiska geometrin. Descartes var den som först påvisade den konkreta betydelsen av andragradsekvationens negativa rötter. Han upptäckte en ny lösning av en 4:e gradens ekvation och införde beteckningssättet med expo-nenter skrivna med små symboler snett ovanför basen, och lade därigenom grunden till räkningen med potenser. Ifrån Descartes har vi också fått dagens skrivsätt av likhetstecken med underförstådd multiplikation mellan symboler xy=3 vilket läses som x gånger y är lika med tre.

Ungefär samtidigt som Descartes och Viète verkade Galileo Galilei, italiensk astronom och vetenskapsman (1564-1642). Han var en av de vetenskapsmän som hade studiet av rörelse i fokus, pendelrörelse, fallrörelse och planetrörelse studerades intensivt, där Galilei framförallt studerade pendlars rörelse och fallrörelsen. Vetenskapsmän innan Galilei hade uttryckt de samband och regelbundenheter som upptäcktes framför allt med det naturliga språket.

(Hägg-ström, 2005) refererar till (Kline, 1979) som menar att Galileo Galilei hade en mycket

väsentlig roll i utvecklingen av funktionsbegreppet. Galilei övergav den ända från antiken dominerande uppfattningen att: “Vetenskapen ska försöka avslöja syftet med olika natur-fenomen och ersätter det med att kvantitativt försöka beskriva natur-fenomenen” (Häggström 2005, s 85)

It was Galileo’s decision to seek the mathematical formulas that describe nature’s behaviour. This thought, like most thoughts of genius, may leave the reader unimpressed on first contact. There seems to be no real value in these bare mathematical formulas. They explain nothing. They simply describe in precise language. Yet such formulas have proved to be the most valuable knowledge man has ever acquired about nature. “Enligt Kline 1979 ( citerad i Häggström 2005, s. 85)”

I slutet av 1600-talet dyker d`Oresmes idéer om att kunna beskriva sambandet mellan hastighet och tid med hjälp av en kurva upp igen. Idéerna kopplas ihop med idén att beskriva rörelse som sambandet mellan varierande storheter med hjälp av formler. Både Descartes och Pierre de Fermat, en annan fransk matematiker (1601-1665) börjar använda ekvationer för att representera kurvor och parallellt utvecklar de nästan samtidigt koordinatsystemet. Vid den här tiden finns det således ett flertal olika sätt för att beskriva ett funktionssamband: naturligt språk, tabeller, grafer och formler. Dessa olika sätt gav nu upphov till möjligheten att göra översättningar mellan dem.

I den fortsatta utvecklingen mot ett modernt funktionsbegrepp kom insatser av Isac Newton (1643-1727) och Gottfrid Wilhelm Leibniz (1646-1716) att betyda väldigt mycket. De utvecklade metoder för att hantera kvoten mellan sträcka och tid när man studerar ett allt kortare tidsintervall speciellt när tidsintervallet blir oändligt litet, de s.k. infitesimalerna skapades. Infitesimalerna var mått på oändligt små tal som t.ex. mått på ett oändligt kort tidsintervall. Genom detta arbete utvecklade de infinitesimalkalkylen som blev början till analysen som en egen gren inom matematiken. De fick dock ta emot ganska mycket kritik för sina infinitesimaler beroende på om de var noll eller inte men de blev accepterade till slut. Benämningen funktion för ett samband mellan olika sträckor som beskriver punkter på en kurva, t.ex. sambandet mellan abskissa och ordinata introducerades av Leibniz.

I ett berömt gräl mellan Leonard Euler (1707-1783), Jean d´Alembert och Daniel Bernoulli (1700-1782) blev behovet av att utvidga och precisera funktionsbegreppet utöver vad som kunde beskrivas algebraiskt med en formel tydligt. I grälet som bröt ut om problemet med att beskriva svängningar hos vibrerande strängar, handlade det i grunden om funktionsbegreppet och kopplingen mellan funktionssamband och möjligheten att uttrycka dessa genom att använda formler. Två olika lösningar på problemet hade presenterats varav Bernoulli hade en lösning uttryckt i en enda formel medan d´Alemberts lösning innehöll flera formler. Oenigheten gällde alltså om funktion måste gå att formulera med en enda formel eller med ett uttryck eller inte. Daniel Bernoullis far Jean Bernoulli (1647- 1748) var sedan en av de första som mer explicit uttryckte innebörden i begreppet funktion “En funktion skulle kunna uttryckas i en formel med variabeln, konstanter och aritmetiska operationer så att funktionsvärdet kan beräknas för varje givet värde på variabeln” (Häggström 2005, s. 87).

Euler introducerar beteckningen f(x)år 1734, 15 år senare formulerar han sin första definition av en funktion när han i sin Introductio skriver: ”en funktion av en varierande stor-het är ett analytiskt uttryck som på något sätt är sammansatt av variabeln i fråga och tal eller konstanta storheter” (Häggström 2005, s. 87).

Så småningom generaliserar Euler funktionsbegreppet och lösgör det även från den symboliska tvångströjan, och 1755 har han förändrat sin ursprungliga definition till ”a quantity should be called a function only if it depends on another quantity in such way that if the latter is changed, the former undergoes change itself.” ”Enligt Sfard (citerad av Häggström 2005, s. 87)”.

I början av 1800-talet när den franske matematikern Joseph Fourier (1768-1830) visade att summan av trigonometriska funktioner kan uttryckas med olika formler över olika intervall innebar detta bl.a. att det till slut gav den definitiva upplösningen av det berömda grälet.

Fram till 1800-talet var de mest framstående fysikerna och matematikerna i de flesta fall samma personer och de använde funktioner till att beskriva den fysikaliska verkligheten kvantitativt. Nu började mer renodlade matematiker dyka upp och de började intressera sig för de matematiska objekten i sig. Tankar väcktes på att: ”varje matematiskt teori borde ha samma karaktär som den Euklidiska geometrin där preciserade definitioner och stringenta bevis säkerställer resultaten” (Häggström 2005, s. 88).

Matematikerna började ifrågasätta grunderna på vilken matematiken vilade och mer ingående studier visade på brister. De eventuella tvivel som fanns hölls dock tillbaka så länge de matematiska resultaten visade sig riktiga vid tillämpningar inom andra vetenskaper och verksamheter. Funktionsbegreppets genomgång mot ett alltmer generellt och abstrakt begrepp fortsätter och definitionerna blir allt mer inommatematiska. Skapare av det moderna funktionsbegreppet är Lejeune Dirichlet (1805-1859) då han 1837 formulerade sin allmänna definition av en funktion.

If a variable y is so related to a variable x that whatever a numerical value is assigned to x there is a rule according to which a unique value of y is determined, then y is said to be a function of the independent variable x. “Enligt Sierpinska (citerad av Häggström 2005, s. 89)”

Funktionsbegreppet övergår med Dirichlets definition från att vara en beroenderelation till ett godtyckligt samband (korrespondens) mellan reella tal . Det behöver heller inte vara möjligt att beskriva sambandet med matematiska operationer. En mer formell framställning ger nu möjligheter att formulera funktioner som länge var otänkbara. En funktion behöver numera inte som tidigare ha någon motsvarighet i verkligheten utan kan betraktas som vilken funktion som helst förutsatt att kraven i definitionen är uppfyllda.

Med Dirichlets definition har funktionsbegreppet nu fått betydelsen av ett begrepp med en mer strukturell innebörd och möjligheten att betrakta en funktion som ett objekt i sig på vilket man kan operera uppstår.

En fransk grupp av matematiker tog 1939 under pseudonymen Nikolas Boubaki det sista steget mot en fullständigt stel och statisk struktur när de definierade en funktion som en relation mellan två element i två mängder.

Let E and F be two sets, which may or may not be distinct. A relation between a variable element x of E and a variable element y of F is called a functional relation in y if, for all x in E, there exist a unique y in F which is in the given relation with x.

We give the name of function to the operation which in this way associates with every element x in E the element y in F which is in the given relation x; y is said to be the value of the function at the element x, and the function is said to be determined by the given

functional relation. Two equivalent functional relations determine the same function.

“Enligt Kleiner (citerad av Häggström 2005, s. 89)”

Funktionsbegreppet har genomgått utvecklingen från en dynamisk operation eller räkningsföreskrift till en statisk struktur eller ett eget objekt. En funktion är nu framme vid definitionen av en mängd av ordnade par av element, en mängd som kan betraktas som ett objekt på vilket man kan utföra olikas slags operationer. Ett exempel på hur funktioner kan betraktas och behandlas som egna objekt i mer sammansatta sammanhang är funktional- och differentialekvationer, där den obekanta är en funktion i sig själv och inte ett tal. Begreppet funktion har nu blivit ett avkontextualiserat begrepp som är generellt och abstrakt. Det är inte längre bundet till den fysiska verkligheten utan det står helt fritt och har möjligheter till tillämpningar utan begränsningar.

3.3 Vad är en funktion?

Från latinet kan vi härleda ordet funktion med betydelsen ”fullgöra, uträtta”. En funktion beskriver sambandet mellan två (eller fler) variabler. Det kan handla om en vara som säljs med kilopris, ju fler kilo du köper desto mer blir det sammanlagda priset du får betala. Priset sägs bero av antal kilo. Allmänt skriver man en funktion under formen y = f(x), och det läses: y är en funktion av x. Man kallar x den oberoende variabeln och y den beroende variabeln Det finns flera olika sätt att formulera definitionen på vad en funktion är, men ett exempel på en strikt matematisk formulering av definitionen är enligt Nationalencyklopedin (2006):

funktion (lat. fu´nctio eg.: 'förrättning', av fu´ngor 'fullgöra', 'utöva'), grundläggande begrepp i matematiken, delvis synonymt med avbildning, operator och transformation. Om X och Y är två givna mängder och om till varje element x i X är ordnat ett bestämt element y i Y så säger man att en funktion är definierad från X till Y. Funktioner betecknas ofta med bokstaven o och det till

x ordnade elementet i Y skrivs då y=o(x). Man säger att den beroende variabeln y är en funktion

av den oberoende variabeln x. Exempelvis är arean av en rektangel en funktion av sidornas längder. (http://www.ne.se).

I grundskolans matematikböcker introduceras och definieras funktioner vanligtvis tillsammans med några exempel, där kan vi inte finna någon strikt matematisk formulering för definitionen av en funktion. Som ett exempel på introduktion använder vi oss av

Matematikboken Z röd (vilken används i grundskolans år 9).

Vad är en funktion?

Vid normalt lufttryck, 1013 hektopascal (hPa), kokar vatten vid temperaturen 100°C. Om lufttrycket är lägre, vilket till exempel är fallet uppe på ett högt berg, så kokar vattnet vid en

lägre temperatur än 100°C. Om trycket tvärtom är högre än 1013 hPa, stiger kokpunkten till över 100°C. Vattnets kokpunkt varierar alltså med lufttrycket på ett sätt som kan åskådliggöras med en kurva. En sådan kurva är ritad i koordinatsystemet. För att beskriva hur något är beroende av något annat använder man i matematiken begreppet funktion. Man kan därför i det här sammanhanget

säga att kokpunkten är en funktion av lufttrycket. Bilden av funktionen, det vill säga kurvan i det här fallet, kallas graf. Såväl lufttryck som kokpunkt varierar. De är variabler. Och eftersom kokpunkten är beroende av vilket lufttrycket är, säger man att kokpunkten är den beroende variabeln och lufttrycket den oberoende variabeln. För att du lättare ska förstå vad som menas med en funktion ska vi titta på några andra exempel från vardagslivet. Hur lång bromssträckan blir hos en bil beror på bilens hastighet. Bromssträckan är en funktion av hastigheten. Hastigheten är då den oberoende variabeln och bromssträckan den beroende. Hur mycket porto man ska betala för ett brev, beror av brevets vikt. Portot är en funktion av vikten. Vikten är den oberoende variabeln och portot den beroende variabeln. (Undvall m fl.1997 s. 185)

.

3.4 Varför ska man kunna funktioner?

Följande står i styrdokumenten för skolämnet matematik i grundskolan: Mål att sträva mot

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven

– utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer,

– utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt

tänkande,

– utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen,

– utvecklar sin förmåga att använda enkla matematiska modeller samt kritiskt granska modellernas förutsättningar, begränsningar och användning,

Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda

– grundläggande statistiska begrepp och metoder för att samla in och hantera data och för att beskriva och jämföra viktiga egenskaper hos statistisk information,

– grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter, – egenskaper hos några olika funktioner och motsvarande grafer

Eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning.

Inom denna ram skall eleven

– kunna tolka, sammanställa, analysera och värdera data i tabeller och diagram, – kunna tolka och använda enkla formler, lösa enkla ekvationer, samt kunna tolka och använda grafer till funktioner som beskriver verkliga förhållanden och händelser. Matematik har nära samband med andra skolämnen. Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden och får därmed underlag för att vidga sitt matematiska kunnande.

Skolverket (2000) samt Utbildningsdepartementet (1998)

Vi har sökt i litteratur efter faktorer som kan skapa svårigheter för elever när det handlar om att förstå och tolka olika sorters funktioner. Två forskare som infört termerna begreppsbild (concept image) och begreppsdefinition (concept definition) för att förklara brister i matematikinlärningen hos universitetsstudenter är (Tall & Vinner, 1981), refererade av (Bråting & Öberg, 2005). De beskriver begreppsbilden som ”den totala kognitiva struktur som en individ associerar till ett visst begrepp, till exempel mentala bilder, egenskaper, processer, etc.” Begreppsdefinitionen avgör ett visst begrepps innehåll. Man bör göra en åtskillnad mellan begreppsbilderna och de formella definitionerna av matematiska begrepp. Det är näm-ligen så att många studenter tillämpar matematiska begrepp utan att vara medvetna om den formella definitionen. De lär sig istället att känna igen ett begrepp genom enskilda exempel. När vi tittar närmare på den så kallade Janviermatrisen, (se 3.5 s. 11), och övergångarna mellan rutorna däri ser vi att eleverna behöver se på funktionsbegreppet utifrån olika aspekter. Allt för att undvika att eleverna bygger upp en felaktig/ofullständig begreppsförståelse. Om elever till exempel ställs inför ett formellt funktionsbegrepp och deras erfarenhet är liten är det inte så konstigt att de visar upp olika missuppfattningar. Eller som det uttrycks i Nämnaren –

Algebra för alla, (1997), ”För att eleven ska kunna utveckla en egen levande bild av begreppet

funktion är det nödvändigt att använda flera uttrycksformer” (Bergsten m fl., s, 105).

En forskning som gränsar till det vi i vår undersökning har fokuserat på är den serie av studier som Wennström och Persson gjort. De gjorde flera undersökningar som handlar om faktorer som påverkar gymnasieelevers algebralärande. Det här är några viktiga slutsatser i deras arbete:

• Viktiga faktorer för att lyckas med algebran är självförtroende och motivation

• Det är mycket viktigt att noga analysera elevernas fel. Om t.ex. felen vid insättning av ett X-värde i en formel beror på dålig förförståelse av variablers betydelse, blir det meningslöst att öva mer på insättningar – det kan till och med vara skadligt. Elevens problem med variabelbegreppet måste lösas innan man kan gå vidare, (vårt exempel).

• Viktiga förkunskaper är att eleven förstår variabelbegreppet och bokstavsanvändandet samt att eleven har god talförståelse.

• Det finns ingen lägsta nivå på förkunskaper för att lyckas med algebra. De viktigaste faktorerna för att klara upp ett dåligt utgångsläge är att både elev och lärare tror på att det ska gå och att man får stöd på den nivå man är.

( Persson, 2005)

Vi anser att dessa faktorer som sådana inte bör vara annorlunda vare sig för elever på grundskolan eller för elever på gymnasiet. Inte heller borde det göra någon skillnad att det i vårt fall handlar om funktioner istället för algebra i allmänhet. Däremot har vi i vår uppsats inte inriktat oss på varför, så mycket som vilka svårigheterna är, vilka missuppfattningar eleverna uppvisar. Det är viktigt för förståelsen att prata matematik, att med ord formulera ett problem eller en lösning gör mycket för att utveckla en djupare förståelse. Eller som Grønmo & Rosén uttrycker det, ”Kommunikation är ett nyckelord när det gäller att utveckla begrepp.” (Grønmo & Rosén 1997, s. 42). Inte bara kommunikation mellan elev(er)– lärare utan också elever sinsemellan. Den traditionella matematikundervisningen har ju mest gått ut på färdighetsträning för eleverna. Men om man vill att eleverna ska utveckla/vidareutveckla begrepp, samt finna och undanröja elevers missuppfattningar bör man låta eleverna möta situationer där de sätter ord på egna tankar och reflekterar kring begreppen.

I en artikel i Nämnaren (2002), skriver Persson om resultaten efter en algebrakonferens i Melbourne dec. 2001. Där försökte de motivera varför algebra ska finnas i undervisningen för alla. De arbetade fram en lista på vad de anser vara basfärdigheter i algebra som alla bör ha. Vi tar här bara upp de delar som vi anser beröra vår undersökning.

• Att sätta in i formler – Eleverna ska kunna förstå och använda sig av formler för olika beräkningar.

• Att göra värdetabeller, plotta och tolka grafer av funktioner. – De ska ha förståelse för vad linjens lutning betyder, samt kunna plocka ut nollställen och maximi- samt minipunkter. De ska också ha en förståelse för vad de betyder i den situation grafen visar.

• Att tolka och skissa grafer av situationer och händelser. – Det är kopplingen mellan verkliga händelseförlopp och hur de representeras som graf som är det viktiga här. • Att översätta mellan olika representationsformer. – Ett problem kan representeras på

olika sätt.

3.5 Janvier och hans matriser

Eftersom vi anser att Janvier och hans matriser har särskilt stor betydelse vid undersökning av elevers förståelse för begreppet funktioner har vi valt att ge honom ett eget avsnitt.

Att symbolhantering inom det matematiska tänkandet är av fundamental karaktär har de flesta förstås uppfattningen av, en speciell användning av symboler verkar dock allmänt före-kommande till att bli förbisedd nämligen översättnings processen. Med en översättnings-process menar (Janvier, 1987) i boken Problems of representation in the teaching and

learning of mathematics. är den psykologiska process som är involverad när vi går från en

representationsform till en annan, till exempel från en formel till en graf.

Han inför en fyra gånger fyra matris där han presenterar ett sätt att hantera de olika varianterna av översättningsprocesser .I denna tabell begränsar han antalet representations-former till fyra, nämligen: situation, tabell, graf och formler – symboler.

Translation Processes To From Situations verbal Description

Tables Graphs Formulae Situations

verbal Description

Measuring Sketching Modelling

Tables _{Reading Plotting Fitting}

Graphs

Interpretation Reading off Curve fitting

Formulae

Parameter

recognition Computing Sketching

Översättningsmatris av Janvier 1980 Nr 1

För att göra en översättning från en representationsform till en annan innebär det två former av framställningar, till exempel för representationsformerna formel och graf har vi översättningarna graf- formel och formel- graf. Enligt Janvier (1980) behöver man för att direkt (och korrekt) kunna utföra en bestämd översättning, transformera källan till målet. Han konstaterar med andra ord att källan måste bli undersökt från målets sida för att på det sättet erhålla resultatet. Till exempel så behöver en graf bli studerad från en formels sida (med respekt för dess egenskaper som formel) för att korrekt kunna översättas till en formel. En slutsats Janvier (1980) drar av detta är att det behövs särskilda undervisningsstrategier som pekar på betydelsen av den omvända processen (som allmänt kallas komplementär) som är symmetriskt lokaliserad med hänsyn till diagonalen för att kunna göra korrekta översättningar.

Formel Graf Situation Translation Processes To From Situations verbal Description

Tables Graphs Formulae Situations

verbal Description

Measuring Sketching Modelling

Tables _Reading Plotting _Fitting

Graphs

Interpretation Reading off Curve fitting

Formulae Parameter recognition Computing Sketching Översättningsmatris av Janvier 1980 Nr 2

I matris nr 2 har det lagts till några pilar för att visa några alternativa vägar för att åstad-komma översättningar. (Janvier, 1980) menar att dessa pilar indikerar på att översättningen från tabell- formel ofta går via vägen tabell- graf- formel och översättning från formel- graf ofta går via formel- tabell- graf. Detta medför en omväg som egentligen är väsentligt olik den direkta vägen. Janvier har i studier av flera matematikinriktade program fått stöd för detta när det visat sig att de undersökta studenterna uteslutande utvecklar den indirekta vägen av många processer i matrisen. Undersökningarna pekade på att processerna var bäst utvecklade i symmetriska par, i deras fall graf- situation (tolkning) och situation - graf (grafritning). Dessa principer är redan tillämpade i de undervisningsmetoder som används vid inlärning av utländska språk som framhåller t.ex. det symmetriska paret att lyssna och prata.

Det vi gör i vår undersökning är att undersöka hur eleverna klarar av övergångarna mellan Situation – graf – formel. Inspirerade av Janvier har vi konstruerat en egen figur för att illustrera sambanden.

3.6 Olika missuppfattningar

Här följer en genomgång av olika missuppfattningar som elever kan ha om funktioner och mellan övergångarna: situation – graf – formel – situation. Informationen har vi hämtat i litteratur som handlar om funktioner och elevers tolkningar och tänkande kring dessa. De har vi sedan tagit hjälp av när vi kategoriserat och analyserat vårt undersökningsmaterial.

• Eleverna kan betrakta en graf som en bild av en situation, ett flygfoto. Inom forskningen uttrycks detta som att eleven gör en ikonisk tolkning. Det innebär att graferna tolkas utifrån något de i verkligheten liknar. Ett linjediagram där hastigheten visas som funktion av tiden kan lätt tolkas som en resa upp och ner för en backe. Detta fenomen beskrivs av (Grønmo & Rosén, 1997) och även (Åberg-Bengtsson, 2000).

• Eleven ser inte någon skillnad mellan grafisk framställning i statistik och den som används som representationsform för funktioner (Grønmo & Rosén, 1997). Eleven kan på ett relativt riktigt sätt förstå diagrammet som sådant, och kan argumentera på ett adekvat sätt för sitt val av diagram, men ändå dra felaktiga slutsatser av eller ge oriktiga

förklaringar till de fenomen som beskrivs. Detta fenomen finns också kommenterat i

Nämnaren, Matematik – ett kommunikationsämne ”När man övergår från att förmedla

data i tabellform till grafisk form vinner man i åskådlighet men förlorar oftast i numerisk precision” (Åberg-Bengtsson, 2000 s. 194). Ett linjediagram kan ju verka väldigt oprecist om man inte vet hur det är uppbyggt, det ritas ofta med hjälp av en formel eller utifrån en tabell. Ofta använder man sig av en verklig händelse för att illustrera vad en formel eller ett diagram visar. ”Det ligger givetvis något naturligt, som barn intuitivt uppfattar, i att en högre stapel, en bredare sektor eller en stigande kurva representerar en större kvantitet av något” (Åberg-Bengtsson, 2000, s 194).

• Elevernas kognitiva bilder ger dem svårigheter att använda funktionsbegreppet och att uppfatta ett funktionsuttryck som ett objekt med olika matematiska egenskaper. Elevernas tidigare brist på erfarenheter inom området visar att de är oförberedda för en mer systematisk behandling av funktionsuttryck, grafer och variabler (Blomhøj, 1997).

4 Metod

Vår undersökning bygger på ett deduktivt arbetssätt eftersom vi åtminstone delvis använt oss av redan befintliga teorier när vi analyserat vårt material, (Patel & Davidsson, 1994). När vi har kategoriserat elevernas svar, har vi där vi hittat, använt oss av tidigare forskningars resultat, och i bakgrunden har vi Janviermatrisen som vår undersökning har nära koppling till. Vårt förhållningssätt i undersökningen är hermeneutiskt eftersom vi tolkar hur elever tänker när de löser olika problem som handlar om begreppet funktioner. När vi skrivit metodavsnittet har vi använt oss av råd och regler som finns i boken: Examensarbetet i lärarutbildningen, (Johansson & Svedner, 2001). Där står att metodavsnittet vanligtvis innehåller tre delar: urval, datainsamlingsmetoder och procedur. Boken beskriver också vilka fakta som ska in under respektive rubrik. När vi tillverkade våra uppgifter inspirerades vi av Morten Blomhøjs artikel: Funktionsbegrebet og 9. klasse elevers begrebsforstståelse (1997). Han har gjort en undersökning som till vissa delar påminner om vår undersökning. Vår uppgift: Ett samband påminner om en uppgift han använt sig av. Även följdfrågorna till den uppgiften är liknande de som Blomhøj ställt till sina elever. Övriga frågor i vår uppgiftssamling har vi själva komponerat.

4.1 Urval

Avsikten från början var att göra vår undersökning i två matematikgrupper på två olika skolor i år 9. Men, då vi redan efter att ha låtit två tonåringar i representativ ålder från vår bekantskapskrets testa vår enkät, (se bilaga 1) insåg vi att risken fanns att vi inte skulle få tillräckligt underlag eftersom elever vanligtvis inte läser om begreppet funktioner förrän i slutet av år 9. Därför valde vi att även låta två klasser i gymnasiet göra vår enkät. Eftersom tiden blev knapp att genomföra enkätundersökningen på gymnasiet innan höstlovet fick vi ingen möjlighet att själva närvara och informera eleverna om vårt arbete när de skrev dem. Möjligtvis har detta varit en avgörande faktor för de oväntat svaga resultaten i den ena klassen, en Hotell och Restaurant-klass år 1, eller så kan det faktum att de vid det tillfället hade besök från en grupp elever från Bornholm. Eftersom vi endast kan spekulera i orsaken till det svaga resultatet där, har vi valt att inte ta med dessa i vår fortsatta studie. Sammanlagt har vi då med en heterogen klass i år 9, ej nivågrupperade, (25 elever), samt en nivågrupperad

grupp som hör till den ”snabba gruppen” (25 elever). Vi valde den snabba gruppen här beroende på att vi trodde att vi skulle få mer underlag att arbeta med än om vi hade valt en ”svagare grupp”. Dessutom en Samhällsprogram-klass i första året i gymnasiet, (22 elever). Att vi valde en Sp-klass beror på att vi inte ville ha en Naturvetenskaps-klass eftersom de traditionellt kan mer matematik och inte på något sätt hade varit representativa i det här sammanhanget. Detta blir alltså 50 elever från år 9 och 22 elever från första året i gymnasiet, (Sp).

När vi gått igenom materialet valde vi tre elever från varje grupp som vi sedan intervjuade. Vi hade några kriterier att utgå ifrån när vi valde ut de elever vi ville intervjua: För det första skulle de ha skrivit namn på enkäten, för det andra skulle de ha lämnat in godkännande från föräldrar att delta i vår undersökning, för det tredje skulle de ha svarat på så många uppgifter som möjligt, till sist ville vi att de vi valt inte svarat allt för lika. Tyvärr blev det endast två elever som vi intervjuade i Sp-klassen, detta på grund av att den tredje eleven var sjuk vid intervjutillfället.

4.2 Datainsamlingsmetoder

Vi har använt oss av två metoder som vi anser kompletterar varandra: enkät och kvalitativ intervju. Enkäten består av en förstasida med fyra stycken attitydfrågor till matematik. Den första matematikuppgiften handlar om en cykeltur med olika grafer; eleverna ska välja ”rätt” diagram och motivera sitt val. Den andra uppgiften innehåller ett diagram som visar pris/kg, där finns sex st frågor som behandlar deras förståelse för vad diagrammet visar. Den tredje uppgiften visar först en funktion och sedan följer fem st frågor om vad den kan visa, och som avslutning finns ett diagram som vi graderat och skrivit vad X- respektive Y- axeln har för enhet. Vi valde att kalla en situation för en verklig händelse i frågeformuläret, (se bilaga 1), till eleverna. Detta gjorde vi för att meningen skulle bli så tydlig som möjligt för eleverna. Med en verklig händelse menar vi här en situation som eleverna kan relatera till. Avsikten med uppgiften var att se om eleverna kunde se sambandet mellan formel och graf. För vidare information (se bilaga 1). Innan eleverna gjorde enkäten delade vi ut godkännandeformulär, som eleverna skulle visa hemma, där vi förklarade vilka vi var och vad vi ville med vår undersökning. Observera att ordningen inte blev densamma för gymnasieklassen, där fick vi dela ut formulär om tillstånd vid samma tillfälle som enkäten fylldes i. Vi bad också om deras tillstånd att i ett senare skede eventuellt intervjua deras barn, (se bilaga 2). Efter att ha gått igenom elevernas svar på enkäterna valde vi ut vilka som skulle intervjuas och utformade

därefter frågor där vi utgått ifrån vad eleven svarat. Därför har vi alltså åtta intervjuer där frågorna skiljer sig en del, vi har bifogat ett exempel, (se bilaga 3).

4.3 Procedur

I ett första steg delade vi ut formulär i de två år 9-klasser som vi hade tänkt skulle vara med från början. Detta gjorde vi redan under vår Vft-period, under vecka 40. Däri informerades eleverna om vilka vi var och att vi ville genomföra en enkätstudie där eleven eventuellt behövde intervjuas vid ett senare tillfälle. Dessa formulär samlade sedan klassernas respektive lärare in och gav till oss när vi var där för att få enkäterna ifyllda. Detta skedde under vecka 43. Vi fick förlägga tillfällen när enkäterna skulle ifyllas till olika dagar eftersom skolorna där vi gjort vår undersökning på ligger långt ifrån varandra. Enkäterna lät vi två elever i representativ ålder som finns i vår bekantskapskrets fylla i för att prova, dels hur lång tid det skulle ta att fylla i och dels för att få en aning om vilka resultat vi skulle få. Eftersom resultaten då inte var vad vi hade förväntat oss ansåg vi att vi skulle behöva utvidga undersökningen till gymnasieelever också. Vi hade misstankar om att inte få tillräckligt underlag annars. Därför kontaktade vi en gymnasieskola och bad om att få göra vår undersökning i två klasser där. På grund av tidsbrist innan elevernas lov samt att de skulle ha ett stort prov kunde de inte ta emot oss personligen vid det tillfället. Därför lämnades enkäterna och informationslappar till den läraren vi varit i kontakt med. Denne närvarade sedan när enkäten fylldes i och lämnade även kort information åt eleverna. Efter elevernas lov kunde vi sedan komma och presentera oss och vårt syfte samt samla in de ifyllda enkäterna. Enkäten tog ca 20 minuter för eleverna att besvara.

Intervjufrågorna har vi sedan konstruerat genom att noga gå igenom vad eleverna har svarat på enkäterna. Det har därför inte alltid varit samma frågor vi ställt till de olika eleverna, även om vi har utgått från enkäten. Intervjuerna genomfördes sedan på respektive skola under tre dagar. Vi hade avtalat med eleverna och deras lärare om att få ta ca 30 minuter per elev i anspråk. På alla tre skolorna fick vi tilldelat ett avskilt rum att sitta i. Vid sju av intervjuerna var vi båda två och eleven närvarande. Eftersom en av eleverna var sjuk vid det först avtalade tillfället genomfördes den sista intervjun vid ett senare tillfälle och då var bara den ena av oss närvarande. Vi valde att spela in intervjuerna med hjälp av mobiltelefonen, detta visade sig vara ett bra samtalsämne att börja med. Vi frågade eleven om man kunde ställa in volymen på telefonen. Det kan man inte, men avsikten var att lätta upp stämningen. Samtidigt som vi

spelade in antecknade vi sådant som inte framkommer i inspelningen. Vi hade elevens enkät med vid intervjutillfället för att kunna visa vad eleven svarat och för att se om eleven ville göra några ändringar under intervjuns gång.

4.4 Tillförlitlighet

Vi är medvetna om att det kan vara svårt att med så litet urval dra några generella slutsatser. Dessutom kan man diskutera vårt val av elevgrupper. De elever som deltagit i undersökningen kan inte ses som representativt för alla elevgrupper. Anledningen till att vi ändå gjort de val vi gjort är att underlaget annars hade blivit alltför litet för att kunna kategorisera elevernas kunskaper eller brist på kunskaper kring begreppet funktioner. Att vi sedan har tagit med en klass som läser första året i gymnasiet motiverar vi genom att vi ville se om det var någon skillnad, de eleverna har ju läst om funktioner i år 9.

Attityddiagram Negativ Negativ Positiv Positiv Oviktigt Svårt Viktigt Lätt 0 10 20 30 40 50 60 70 80 1 2 3 4 Fråga Antal

5 Resultat

I resultatdelen har vi valt att bara redovisa attityddelen med diagram utan att ta med några elevexempel på negativa svar. Anledningen till att vi valt att inte redovisa några negativa svar är att samtliga sådana svar innehåller namn. I övrigt redovisas resultaten uppgift för uppgift. Vi har i analysen skrivit en kort presentation inför varje uppgift där vi förklarar varför vi har gjort de val vi gjort när det handlar om kategorisering och val av uppgifter.

5.1 Resultat: attitydfrågor

1. Vad tycker du om matematik som ämne?

8 st anser det vara mycket tråkigt, 13 st anser det vara ganska tråkigt, 45 st anser det vara ganska roligt, 6 st anser det vara mycket roligt.

2. Vad anser du om matematikundervisningen i skolan?

1 anser den vara mycket dålig, 15 st anser den vara ganska dålig, 36 st anser den vara ganska bra, 20 st anser den vara mycket bra.

3. Vad är din uppfattning om matematik som ett viktigt ämne att kunna?

Ingen anser det vara oviktigt, 26 st anser det vara ganska viktigt och 46 st anser det vara mycket viktigt.

4. Tycker du att matematik är ett svårt ämne?

6 st anser det vara mycket svårt, 27 st anser det vara ganska svårt, 35 st anser det vara ganska lätt, 4 st anser det vara mycket lätt.

I diagrammet nedan har vi lagt ihop elevernas svar på varje fråga till två kategorier istället för de fyra alternativ eleverna fick. Det ena representerar ett positivt ställningstagande och det andra ett negativt ställningstagande.

I de kommentarer vi har fått framgår väldigt tydligt att elevernas attityd varierar i förhållande till hur läraren uppfattas. Lärarens betydelse betonas av eleverna. Av etiska skäl har vi valt inte återge några av elevernas negativa kommentarer. Några positiva kommentarer:

– Även om det går snabbt framåt för mig så får jag stöd och vet att jag kan få hjälp.

– Det beror på läraren som undervisar, men vår lärare tycker jag undervisar bäst. – Lärarna undervisar mycket noga så att man fattar.

5.2 Resultat: matematikuppgifter

Bokstäverna i tabellen motsvarar elevernas val av diagram Indelning av elevernas kategoriserade svar har gjorts där: Gs = De båda niondeklasserna redovisas tillsammans Gy = Gymnasieklassen redovisas separat

Total = Gs och Gy redovisade elever tillsammans

5.2.1 Uppgift: En Cykeltur

Eftersom några elever har garderat sig i sitt val av diagram och valt två alternativ finns även kategorierna AB och CD med i tabellen.

Tabellen visar klass Gs, Gy och total Tabell 1

Diagramval A B C D AB CD

klass Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy

Andel 8 8 20 13 54 63 16 8 0 4 2 4

Total 8 14 61 14 1,5 1,5

Visar andelen elever i procent från uppgift ”En Cykeltur”

Skillnader mellan grundskolans elever och gymnasiets elever Diagram A: Ingen skillnad mellan Gs och Gy, bara ett fåtal elever.

Diagram B: Nästan dubbelt så stor andel Gs elever som Gy har valt diagram B.

Diagram C: Större andel Gy elever än Gs har valt detta korrekta alternativ, men skillnaden inte så stor.

Diagram D: Dubbelt så stor andel Gs än Gy elever har valt detta alternativ Diagram AB: Endast en Gy elev har valt detta alternativ

5.2.2 Uppgift: Diagram 1

Indelning av kategorier har gjorts enligt följande: G = Fullt acceptabel lösning, kommentar eller svar. g = Nästan acceptabel lösning, kommentar eller svar.

Läst av = Eleven har försökt läsa av värdet i grafen, och gett ett ungefärligt värde som svar. Ganska nära det exakta.

Bristfälligt = Eleven har visat en eller flera brister i sin framställning. Fel = Fel

X = Eleven har inte lämnat något svar på uppgiften.

Tabellen visar Total Tabell 2

Kategori Uppgift G g läst av Bristf Fel X a 79 6 0 8 3 4 b 26 0 42 1,5 29 1,5 c 1,5 22 0 5,5 11 60 d 73,5 1,5 0 0 18 7 e 12,5 2,5 0 25 33,5 26,5 f 57 4 0 1,5 11 26,5

Visar andelen elever i procent från uppgift ”Diagram 1”

Tabellen visar klass Gs och Gy Tabell 3

Kategori G g Läst av Bristf Fel X

Klass Uppgift Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy a 80 77 4 9 2 0 10 0 4 0 0 14 b 32 14 0 0 38 50 2 0 28 32 0 4 c 0 4 26 14 0 0 6 4 12 9 56 69 d 76 69 0 4 0 0 0 0 22 9 2 18 e 12 14 4 0 0 0 32 9 32 36 20 41 f 58 55 4 4 0 0 2 0 12 9 24 32

Visar andelen elever i procent från uppgift ”Diagram 1”

Skillnader mellan grundskolans elever och gymnasiets elever vad gäller fullt acceptabel lösning G.

Uppgift a: Större andel Gs elever men hög andel i båda grupperna. Uppgift b: Större andel Gs elever, låg andel Gy elever.

Uppgift c: Endast ett fåtal elever har lyckats med uppgiften, ingen från Gs Uppgift d: Större andel Gs elever ,men skillnaden inte stor.

Uppgift e: Större andel Gy elever, men skillnaden inte stor. Uppgift f: Större andel Gs elever, men skillnaden inte stor.

5.2.3 Uppgift: Ett samband

Indelning av kategorier har gjorts enligt följande: G = Fullt acceptabel lösning, kommentar eller svar. g = Nästan acceptabel lösning, kommentar eller svar.

Ej förstått = Eleven har gjort försök där denne har skrivit av formeln utan att tolka/förstå. ( i uppgift d, kan det vara ett exempel där de endast kan handla en sak för 125 kr)

Bristfälligt = Eleven har visat en eller flera brister i sin framställning. Fel = Fel

X = Eleven har inte lämnat något svar på uppgiften.

Tabellen visar Total Tabell 4

Kategori Uppgift G g Ej förstått Bristf Fel X a 15,5 11 4 15,5 10 44 b 68 1,5 0 0 5,5 25 c 4 10 2,5 7 11 65,5 d 12,5 5,5 15,5 2,5 12,5 51,5 e 11 0 0 4 15 70 f 1,5 0 0 7 5,5 86

Visar andelen elever i procent från uppgift ”Ett samband”

Tabellen visar klass Gs och Gy Tabell 5

Kategori G g Ej förstått Bristf Fel X

Klass Uppgift Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy Gs Gy a 18 9 14 4 4 4 16 14 10 9 38 60 b 76 50 2 0 0 0 0 0 6 4 16 46 c 4 4 12 4 4 0 10 4 14 4 56 84 d 10 14 10 0 16 14 2 4 16 4 46 64 e 6 23 0 0 0 0 6 0 18 9 70 68 f 2 0 0 0 0 0 8 4 6 4 84 92

Visar andelen elever i procent från uppgift ”Ett samband”

Skillnader mellan grundskolans elever och gymnasiets elever vad gäller fullt acceptabel lösning G.

Uppgift a: Större andel Gs elever har klarat uppgiften.

Uppgift b: Tre av fyra Gs elever har och hälften av Gy har klarat uppgiften. Uppgift c: Ingen skillnad, endast ett fåtal elever som klarat uppgiften.

Uppgift d: Större andel Gy elever har klarat uppgiften, men ingen större skillnad.

Uppgift e: Nästan var fjärde Gy elev har klarat uppgiften, men endast ett fåtal Gs elever. Uppgift f: Endast en elev från Gy som klarat den här uppgiften.

6 Analys av elevsvar

För att skydda elevernas identitet har vi valt att numrera eleverna och kallar dem därför för elev 1, 2, osv. När det är någon av oss som har sagt något har vi valt att kalla oss intervjuare. Lösningarna som eleverna presterat är oftast kortfattade och innehåller i många fall endast några beräkningar och några korta svar. Dessa data har vi tolkat och ur dessa har vi konstruerat våra kategorier vilka därmed blivit personligt färgade av oss och våra ställnings-taganden. Andra personer skulle kanske ha kommit fram till en annan kategorisering. I analysen har vi inte med varje fråga för sig utan det är helheten i varje uppgift som bedöms av oss. Vi försöker här få fram var eleverna visar brister och redovisar detta med citat från elevernas svar.

6.1 En cykeltur

Med den här uppgiften ville vi undersöka om eleverna kan se ett diagram bakom en verklig händelse. Med en verklig händelse menar vi här en situation som eleverna kan relatera till. Här kunde eleverna välja mellan fyra olika diagram som skulle representera cykelns hastighet i backen. Diagram C är det alternativ som stämmer bäst med en verklig situation. Det alternativet har också valts av flest elever, 57 %.

6.1.1 Diagram A

Av 72 elever har 6 svarat diagram A. Samtliga av dem motiverar sitt val genom att säga att det går sakta att cykla uppför, men ner går det snabbt. En av dem har vi även intervjuat. Vi ställde frågorna:

Intervjuare - Du har svarat diagram A, vad fick dig att välja just det? Sätt ut ett

kryss i diagrammet där hastigheten är som störst.

ELEV 5 - För det var jobbigast här tog mest tid. Sen tog det ingen tid att komma

ner. För det var ju uppförsbacke i början. Sätter ut krysset där Y är som lägst.

6.1.2 Diagram B

Av 72 elever har 13 svarat diagram B. Två av dem har vi även intervjuat. När vi frågade eleven varför denne valt just det diagrammet svarar eleven så här:

ELEV 1 - Ja… Ehhmm om man säger a och cyklar i den backen så blir det ju inte att man går upp och sen rakt ner.

Intervjuare - Nänä.

ELEV 1 - Det var ju en backe och ingen håla (han pekar på diagram c). Intervjuare - Så att formen är lika dan som backen är det vad du utgick ifrån kanske?

ELEV 1 - Ja…

Det visar att eleven betraktar en graf som en bild av en situation, ett flygfoto. Inom forskningen uttrycks detta som att eleven gör en ikonisk tolkning. Det innebär att graferna tolkas utifrån något de i verkligheten liknar. Ett linjediagram där hastigheten visas som funktion av tiden kan lätt tolkas som en resa upp och ner för en backe. Detta fenomen beskrivs också i en artikel i Nämnaren av (Grønmo & Rosén, 1997) och även (Åberg-Bengtsson, 2000). På följdfrågan vad det betyder som står på Y- respektive x-axelns bekräftas elevens tolkning ytterligare:

Intervjuare - Om jag börjar där nere på y- axeln och går uppåt vad händer då med hastigheten?

ELEV 1 - Ja i det här fallet så sjunker den ju. Intervjuare - Den sjunker när man går uppåt?

ELEV 1 - Ja.

Intervjuare - Och på x- axeln om jag börjar på noll och går hitåt, vad betyder det då?

ELEV 1 - Ja det betyder ju att man cyklat längre ju längre ut på x- axeln man går.

6.1.3 Diagram C

Av 72 elever har 41 svarat diagram C. En av eleverna motiverar sitt val av diagram med orden:

ELEV 2 - På grund av hastigheten när du cyklar upp så måste den ju sjunka och sen stiga när du åker ner.

Eleven har även satt kryss I båda ändarna av grafen där hastigheten är som störst, vilket visar att eleven förstår grafen som representationsform för en funktion. Elevens svar på följdfrågan: Vad betyder det som står på Y- respektive X-axeln?

ELEV 2 - På y-axeln?

Intervjuare - Mmm, ja på y-axeln.

ELEV 2 - Ja de säger cykelns hastighet.

Intervjuare - Vad händer med hastigheten när man går uppåt här då?

ELEV 2 - Den ökar.

Intervjuare - Och om jag går på de hållet då?(visar längs med x-axeln).

ELEV 2 - Desto längre tid tar det.

Detta styrker vår tolkning av att eleven förstår grafen som en representationsform för en funktion.

6.1.4 Diagram D

Av 72 elever har 10 svarat diagram D. En elev motiverar sitt val av diagram:

- Det raka strecket är uppförsbackens resultat. Hastigheten ökar i nerförsbacken.

Precis i slutet av backen och så rullar man ner i samma fart.

När vi under intervjun frågade eleven varför denne valt diagram D fick vi följande svar: ELEV 3 - Ehh… vet inte jag skulle va finurlig… De va väl att jag tänkte här kommer uppförsbacken och så har man inte så hög hastighet i uppförsbacken ju för att de går ju lite trögt så o sen så ehh, här är ju nerförsbacken så svisch… här är de nog uppe på toppen tror jag.

Intervjuare - Okej.

ELEV 3 - O sen så ökar hastigheten mer o mer sen är den mest när man är typ här,

(eleven pekar i slutet av backen på bilden) sen blir den liksom vanlig igen, fast den

är fortfarande högre än i uppförsbacken fattar du?

Eleven visar här att denne inte ser någon skillnad mellan grafisk framställning i statistik och den som används som representationsform för funktioner (Grønmo & Rosén, 1997). Eleven kan på ett relativt riktigt sätt förstå diagrammet som sådant, och kan argumentera på ett adekvat sätt för sitt val av diagram, men ändå dra felaktiga slutsatser av eller ge oriktiga förklaringar till de fenomen som beskrivs.

6.2 Diagram 1

Med de här uppgifterna ville vi undersöka om eleven kunde tolka ett diagram och utifrån det producera ett funktionsuttryck, göra en enkel beräkning och förstå vad lutningen på en linje betyder. Vi ville också se om eleverna kunde se en situation bakom diagrammet.

Av 72 elever har 57 elever med ord kunnat formulera vad diagrammet visar, medan endast 1 elev har kunnat konstruera en helt korrekt formel. Dock har 16 elever visat uttryck för att de förstår hur en formel kan byggas upp, de har tidigare arbetat med diskreta variabler i tal och mönster. När eleverna ska hitta det n:te talet skriver de ju inte t.ex Y=4n -1, istället skriver de 4n-1. Därför har dessa 16 elever hamnat i en egen kategori som utelämnat Y i sin formel. Vi ställde följdfrågan till ett par av dessa elever om de kunde konstruera en formel så att man med hjälp av den kan räkna ut vad 37 kilo ska kosta.

Intervjuare - Du är på god väg att göra en formel…

ELEV 4 - (har i en ruta redan skrivit 2.50X). Vi frågar vad det betyder.

ELEV 4 - Alltså X är väl kilot och sen gångrar man med 2.50.

Intervjuare - Hur skulle det då se ut om jag skulle ha reda på vad 37 kilo kostar?

ELEV 4 - 37 gånger 2.50.

Samma fråga till en annan elev ur samma kategori gav följande svar:

ELEV 6 - Ja då får jag räkna om… Så då kan man väl försöka ta väl ett, ett kilo o så priset på de o sen gånger x o då skriver man på x då skriver man trettiosju ju.

ELEV 6 - Ja o sen gångar man ju de.

Intervjuare - Mmm, så priset på ett kilo gånger x.

ELEV 6 - Ja som då blir trettiosju.

Bland elever som svarat fel eller inte alls kan vi hitta följande tankar och förklaringar på följdfrågan om en formel kan konstrueras.

ELEV 5 - Jag vet inte. Jag kom inte ihåg det tror jag.

Intervjuare - Okej. Men hur har du räknat här? Visar på förra (där de skulle räkna

ut priset på 50 kilo)…

ELEV 5 - Jag tog 25 gånger 5 är lika med 125. Intervjuare - Varför gjorde du det?

ELEV 5 -För tio kilo kosta 25 kronor så femtio kilo blir det gånger fem.

Intervjuare - Kan man inte utnyttja det när man ska räkna ut vad 37 kilo kostar?

Samma fråga till en annan elev gav följande svar:

ELEV 7 - ja. Men jag klarade inte det då. Fast vi har gjort sånt innan att hitta formeln, jag tycker det är lite svårare. Eh Jag vet inte. Alltså kilopriset är typ 2.50. Intervjuare - Ja, hur skulle du då ta reda på hur mycket 37 kilo kostar?

ELEV 7 - 37 är X då, alltså 2.50 X gånger… Y är lika med X gånger 2.5.

Vi frågade även efter priset på 2,5 kilo av den varan som eleven själv föreslagit att diagrammet kunde visa. Avsikten var att se om eleverna mäter i diagrammet eller om de räknar ut exakt genom att konstruera en formel, eller att ta reda på kilopriset. Därför valde vi ett värde som inte skulle vara alltför lätt att läsa av.19 elever har utnyttjat kilopriset och räknat ut det exakt. Men så många som 30 elever har mätt i diagrammet och har fått fram ett ungefärligt värde. Detta fenomen finns också kommenterat i Nämnaren, Matematik – ett

kommunikationsämne ”När man övergår från att förmedla data i tabellform till grafisk form

vinner man i åskådlighet men förlorar oftast i numerisk precision.” (Åberg-Bengtsson 2000 s. 194) Ett linjediagram kan ju verka väldigt oprecist om man inte vet hur det är uppbyggt, det ritas ofta med hjälp av en formel eller utifrån en tabell. Ofta använder man sig av en tänkt situation för att illustrera vad en formel eller ett diagram visar. ”Det ligger givetvis något naturligt, som barn intuitivt uppfattar, i att en högre stapel, en bredare sektor eller en stigande kurva representerar en större kvantitet av något.” (Åberg-Bengtsson, 2000, s. 194).

En av eleverna som läst av i diagrammet utan att utnyttja kilopriset lämnade sedan en godkänd förklaring vid intervjutillfället.

Intervjuare - Hur gjorde du när du räknade ut det till 6 kr?

ELEV 4 - Jag delade mellan två och fyra. (i diagrammet) och läste av. Två kilo är

fem kr. Fyra är 10. (eleven läser av och visar). Men man kan ju räkna så ett halvt kilo. Förklarar: 5 kr = 2 kilo 5/2 = 1 kilo. Och sen delar igen så blir det ett halvt kilo. Sen lägger man ihop det… Eleven utför beräkningen och får det till 6,25… Sen avrundar man det till 6 kronor. Nej, 6.50 blir det.

En annan elev gav följande svar på frågan om man kan räkna ut det exakt?

ELEV 2 - Jamen då får man ju kolla vad två och ett halvt kilo ligger på och det är väl här någonstans, kolla vart det ligger i priset jämt emot linjen i diagrammet och det ligger ju ungefär på en sex, sju kronor.

Intervjuare - Jaha, kan man räkna ut det exakt?

ELEV 2 - Ehhmm, ja du får väl mäta med en linjal eller någonting i sådana fall tror jag. Intervjuare - Mäta?

ELEV 2 - Ja mäta exakt var sex ligger i den här och sju kronor, var den ligger, så sen drar du ett streck ut (eleven visar i diagrammet).

Intervjuare - Okej, så att du mäter alltså axlarna och sen tar du ett förhållande på vilket mått du tar och på hur mycket det visar? ( Ett tydligt bevis på hur svårt det kan

vara att inte lägga orden i munnen på eleven, plötsligt är intervjuaren lärare istället.) ELEV 2 - Ja, det var det jag kanske skulle gjort.

41 av eleverna ger en godkänd beskrivning av en situation som diagrammet skulle kunna visa, men endast 9 klarar av att ge en tillfredställande förklaring på vad lutningen på en linje betyder. 19 elever har inte skrivit något alls.

Två godkända förklaringar av linjens lutning:

– Lutningen betyder och visar hur det som beskrivs i diagrammet ändras, i detta fallet ökningen av priset efterhand som vikten ökar.

– Hade det haft mer rak lutning hade det blivit dyrare och tvärtom billigare.

Ett par som vi inte har godkänt: – Att priset ökar.

– Prisökningen per kilo.

Svarsexempel på godkända händelser:

– Det skulle kunna visat priset för äpplen i lösvikt.

– Jag ska köpa druvor i affären, hur mycket kostar ett kilo?

– Hur mycket en köttklump kostar beroende på hur mycket den väger. – Tja det skulle kunna vara bananer eller vad som helst med kilopris.

6.3 Ett Samband

Med de här uppgifterna ville vi undersöka vad ett funktionsuttryck betyder för eleverna och vad de kan få ut av det. Vi ville också undersöka om eleverna ser sambandet mellan funktionsuttrycket och diagram 2 på enkäten.

Eleverna har genomgående haft svaga resultat på de här uppgifterna. Exempel på acceptabla svar på vad formeln y= 125 + 1,50x kan betyda:

– Y = summan av 125 + 1,50x, x bestämmer Y:s värde, Y = det samma som 125 + 1,50x.

– Telefonräkning: fast avgift + 1,50 /minut = månadsräkning.

En som fått plus för ordval:

– Ett pris (Y) som påverkas av en rörlig avgift (x).

39 elever har fel eller har inte svarat alls på uppgiften. Exempel på felaktiga svar:

– Y är fasta siffror och X är rörliga siffror. – Man vet inte talen på någon av bokstäverna. – 125 + 1,50 * nått = nått.

– man har en sak och ska sedan ha något mer. Och beroende på hur många saker av det andra slaget man tar förändras totalsumman.

– En ekvation, man vill att man ska räkna ut uppgiften.

49 elever klarade av att göra beräkningen X = 1, hur mycket är då Y värt, men endast 3 elever kunde på ett tillfredställande sätt redogöra för förhållandet mellan X och Y. Exempel på felaktiga svar:

– Att X och Y är något man inte vet. – Tal och svar, kr/min.

Vi tolkar elevernas svar eller bristfälliga svar som att eleverna inte har en korrekt matematisk definition av funktionsbegreppet. Deras kognitiva bilder ger dem svårigheter att använda funktionsbegreppet och att uppfatta ett funktionsuttryck som ett objekt med olika matematiska egenskaper. Elevernas tidigare brist på erfarenheter inom området visar att de är oförberedda för en mer systematisk behandling av funktionsuttryck, grafer och variabler. På uppmaningen: Beskriv en verklig händelse som funktionen ovan skulle kunna visa! 9 elever har lämnat ett godkänt svar, men endast 4 elever har lyckats med kopplingen mellan formeln och diagram 2.

– Om man ska på museum så kostar bussresan kanske 125 sen kostar inträdet 1,50 per elev och Y är summan för hela utflykten.

– Om man har en skuld och räntan är 1,50 kr/år så är X antalet år och man har lånat 125 kr (från början)

– Att hyra en bil och 125 kr är fast kostnad och 1,50 är hyran per minut.

Många elever har gett exempel där man köper en sak för 125 kronor och X antal av en sak som kostar1,50 kronor. Eleverna beaktar inte det faktum att man i verkligheten kan köpa mer än en sak med priset 125 kr. Exempel på felaktiga svar:

– X – 125 + Y = 500.

– Man kan ha handlat för 125 kronor och 1,5 kilo godis, men man vet inte vad det kostar.

– Du har 125 kronor och hittar 1,50 på gatan.

8 av eleverna har lyckats dra en linje som har samband med funktionsuttrycket. Under intervjuerna fick vi fram följande förklaringar.

ELEV 5 - Eh, jag satte 125 här.

Intervjuare - vad fick dig att börja på 125?

ELEV 5 - För att 125 är svaret, det är där man börjar. Det man får veta i början. Och sen hur många minuter man snackar. Så tar man det gånger 1.50. Jag valde ut en punkt där X var 20 minuter och drog linjen sen.

En elev som ritat en felaktig linje, men som under intervjun hittar rätt:

Intervjuare - förklarar om elevens eget exemplet med datacafét gäller, hur skulle då linjen sett ut?

ELEV 4 - Den skulle börja där på 125 och sen så uppåt så. Inte så mycket då alltså, utan nästan rak, (menar vågrät)

Intervjuare - för att?

ELEV 4 - För att minutpriset bara är 1.50. Så den är helt fel, (menar sin första

linje, och ritar under tiden upp en riktig linje.)

Vår sista fråga lyder: Försök med ord beskriva vad en funktion är. Endast en av de intervjuade eleverna kunde ge en någorlunda god förklaring på vår fråga före intervjun.

– Ett system för något där Y är den totala summan och X är antalet gånger något

utförs.

Eftersom vi endast fick ett godkänt svar ändrade vi frågan något till våra intervjuer, där vi snarare försöker få dem att förklara vad vår funktion skulle kunna visa.

Under intervjuerna var det två elever som kunde formulera ett samband mellan formeln och diagrammet. En av eleverna svarar så här:

ELEV 1 - Ja.. y kan ju vara kostnaden för att sola solarium i stan på det eller det stället är, ja är inräknat en fast avgift på hundratjugofem kronor och plus en och femtio per minut.