Diskussion och slutsatser

Avsikten med den här studien var att synliggöra och analysera gymnasieelevers uppfattningar avseende matematiska representationer av rätlinjig rörelse. Jag anser, att uppgifterna jag har valt att undersöka eleverna med, väl överensstämmer med vad gymnasielever inom det naturvetenskapliga programmet kan förväntas kunna tolka efter genomgång av matematik 3. Inom temat grafisk representation användes åtta uppgifter som problematiserade en s-t-graf. Uppgifterna som gavs till eleverna var mångfacetterade och visade sig ha potential att aktualisera och lyfta fram olika aspekter av elevers begreppsförståelse vilket har betydelse för hur studiens syfte har uppfyllts.

Gruppdiskussion som datainsamlingsmetod genererade värdefull analysdata med stor variation i svarskvalitet. Samtliga gymnasieelever i studien engagerade sig frivilligt vilket gjorde gruppsamtalen både livliga och innehållsrika.

Jag inkluderade flera lärandeperspektiv i det teoretiska ramverket vilket berodde på karaktären hos de matematiska representationer som studien behandlar. De enskilda teoretiska ramverken innesluter en gemensam kärna av uppfattningar om hur individen utvecklar begreppsförståelse och vilka mekanismer som påverkar och styr denna utveckling. Strukturen i detta kapitel kommer i stort sett att följa den ordning som forskningsfrågorna står i.

Frågan om hur gymnasieelever tolkar en s-t-graf som en matematisk representation besvaras genom identifiering och redovisning av fyra kvalitativa kategorier. Dessa kategorier visade på ett stort gap mellan elevers förståelse av grafisk representation vilket presenterades i resultatkapitlet från den mest utvecklade uppfattningen (kategori A) till den minst utvecklade uppfattningen (kategori D).

Gymnasieelever i denna studie presenterade olika typer av tolkningsmodeller gällande s-t-graf. Inom tolkningskategorierna A och B förekom uppfattningar som byggde på ett sammanhängande nätverk av matematiska begrepp som sedan utnyttjades av eleven som verktyg i det aktuella området. Dessa tolkningskategorier visade i stort sett på identiska kvalitativa aspekter.

87

Uppfattningar i dessa kategorier kunde på ett tydligt sätt skilja mellan begreppen läge och lutning. Eleverna kunde obehindrat tillämpa begreppet lutning och dra korrekta slutsatser om hastighetens storlek och riktning,

Lutningen är noll så hastigheten är noll. Elevtolkningar om negativ lutning och

negativ hastighet och hur den är relaterad till föremålets rörelsetillstånd kan ses som en indikation på en väl utvecklad begreppsbild hos elever i kategori A och B.

En annan viktig aspekt av tolkningskategorierna A och B inom temat grafisk representation är uppfattningar om kopplingen mellan det grafen presenterar och den process den beskriver. Det kan enligt Friel med flera, (2001) innebära att elever både kan läsa mellan data och läsa bortom data. Att läsa bortom data kan innebära länken mellan grafens utseende, beskrivningsmodell och hur tåget egentligen rör sig. Relationen mellan en graf och den process den beskriver är en av de centrala aspekterna av grafiska representationer och också en av de mest utvecklade uppfattningar som förekom i denna studie. Vardagsbegrepp och ikoniska uppfattningar förekom aldrig i elevernas uttalande under deras inspelade samtal. Istället valde eleverna att stödja sig på matematiska begrepp såsom lutning, medelhastighet, förändringshastighet, positiv och negativ hastighet. Att ikoniska tolkningar inte förekom inom tolkningskategorierna A och B kan bero på att eleven har kommit så långt i begreppsutvecklingsprocessen och att begreppsbilden Tall & Vinner (1981) är så utvecklad att han/hon inte känner behov av det.

Det förefaller som, då en elev tolkar en graf, exempelvis en s-t-graf, att ju längre i begreppsutvecklingen eleven kommer desto mindre blir förekomsten av vardagsbegrepp och ikoniska föreställningar. Ju mer eleven lär sig tillämpa vetenskapliga begrepp desto mindre blir behovet av intuitiva tolkningar. Det kan tolkas som en möjlig indikation på en relation mellan begreppsförståelse och intuitiv kunskap.

Inom tolkningskategorierna A och B förekom också uttalanden som visade på elevers uppfattning av relationer och proportioner. Att eleverna kunde tolka hur mycket grafen ändrade sig per lika långa tidsintervall underlättade bestämning och tolkning av grafens lutning.

Den enda kvalitativa skillnaden mellan tolkningskategorierna A och B som nämndes i resultatet kunde identifieras i elevers arbete med uppgift 4. Se bilaga 1. Här förekommer alternativa tolkningar i kategori B som berör den

88

grafiska konstruktionen av negativ lutning och negativ hastighet. Detta kan bero på att eleverna har svårt att acceptera att grafen kan gå under tidsaxeln. Dessutom tenderar eleverna i kategori B att konstruera en v-t-graf som begränsas i första kvadranten vilket stämmer överens med placering av s-t- grafen i frågeställningen. Problemet har i denna uppgift främst bestått av att framställa en ny representation (v-t-graf) med utgångpunkt i den ursprungliga representationen. Här behöver eleven ha utvecklat en konceptuell förståelse av den grafiska representationen och kunna läsa av ett innehåll och dess struktur för att kunna utföra nödvändiga operationer.

Enligt Wittmann (2005) kan grafiska representationer ses som konkretiseringar av abstrakta matematiska begrepp. En s-t-graf kan betraktas som en konkret beskrivning av abstrakta begreppet rörelse. För att förstå det konkreta i grafiska representationer krävs ibland att eleven har utvecklat en förmåga att uppfatta det abstrakta i det konkreta. I konkreta s-t-grafen döljer sig en abstrakt egenskap i form av grafens lutning vilket förmodligen inte implicit framgår av grafen. För att få en djupare förståelse av matematiska begrepp behöver eleven tillgodogöra sig olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem (Duval, 2006 och Kirsh, 2010). Den som har tillgång till flera olika representationer för beskrivning av samma begrepp har troligtvis en rikare och mer användbar begreppskunskap. Att kunna vandra fritt mellan olika representationer är något som forskning menar starkt bidrar till begreppsförståelse (Friel, 2001; Lingefjärd, 2014).

Den mest utvecklade uppfattning som framkom i denna studie handlade om konstruktionen av en matematisk representation. Det framgår av v-t-grafen som eleverna i kategori A har framställt (se sid. 50). Förmågan att kunna härleda och framställa en v-t-graf baserad på en s-t-graf visade sig vara den mest utmanande uppgiften, åtminstone med tanke på studiens svarsfrekvens. Att konstruera en graf, och att obehindrat kunna växla mellan olika representationer, visade sig vara en större utmaning och en högre nivå av begreppsutveckling än att tolka en graf.

Tolkningskategori C visade på andra kvalitativa aspekter av gymnasieelevers tolkningar gällande en s-t-graf. Eleverna relaterar begreppet lutning till frågeställningen och lyckas föra ett resonemang som leder till slutsatsen att tågets största hastighet inträffar efter 1,2 timmar. Negativ lutning visade sig vara mer svårtolkad än positiv lutning. Följaktligen förlitar sig, exempelvis Linn och Pia, på sina ikoniska idéer och tolkade grafen som en kulle, backe eller

89

Harry Potter bussen. Dessa tolkningar uppfattar jag som uttalanden som delvis

synliggör elevers begreppsbilder i den aktuella situationen vilket besvarar den andra forskningsfrågan.

Här återfinns identifierbara uttryck från kategorin event i elevers tolkningar, se Figur 1 sidan 16, vilket möjligen kan innebära att eleven har utvecklat uppfattningen att s-t-graf är matematikens sätt att rekonstruera en händelse. Att det rör sig om en tågfärd förstärker förmodligen denna begreppsbild eftersom en tågfärd kan uppfattas som en händelse.

Även om frågeställningen inkluderar komponenter från kategorin event så finns det inga gemensamma attribut som förenar denna kategori med kategorin

process. Det kan försvåra förståelsen av grafiska representationer i allmänhet

och s-t-grafer i synnerhet. Det kan vara betydelsefullt för elevens begreppsutveckling att han/hon blir uppmärksam på att en tågfärd och de matematiska konstruktioner som beskriver tågets rörelse tillhör olika ontologiska kategorier. Detta kan i sin tur leda till en förändring som innebär ett begreppsskifte från kategorin event till kategorin process. För att möjliggöra en sådan förändring behöver eleven konfronteras på det ontologiska planet. Att tolka variationen av grafens lutning och vad den innebär beträffande hastighet och färdriktning visade sig vara en kvalitativ nivå av begreppsförståelse. Det mer utvecklingsbara begreppet lutning försvinner så småningom helt ur beskrivningsmodellen och ersätts av uppfattningarna ju

högre, ju större och ju lägre, desto mindre.

Det som möjligen också försvårar förståelsen för eleverna i kategori C är uppfattningen att negativ lutning uppfattas som lägre hastighet. Det är förmodligen inte ovanligt att elevers utsagor och argumentationer vid ett första påseenden förefaller helt riktiga men att det vid ett längre samtal visar sig vara uppbyggda utifrån icke adekvata definitioner.

Grafens utseende styr eleverna att inrikta sina tankar mot erfarenheter och upplevelser som inte är vetenskapligt relevanta för sammanhanget. Det är förmodligen inte slutmålet att eleven relaterar begrepp till situationen, som exempelvis i det här fallet, relaterar s-t-grafens lutning till tågets hastighet. För att ge en helhetsbeskrivning krävs även en uppfattning om innebörden av teckenväxlingen hos grafens lutning. Det som Linn och Pia, i kategori C, förmodligen har svårt att reflektera över är sambandet mellan variationen av

90

grafens lutning och tågets färdriktning och identifiering av de intervall där lutningen är som minst.

I utsagorna stöter vi bland annat på … och tåg behöver flera timmar t.o.m. att stanna

för att minska hastigheten. Det tyder på att intuitiva ikoniska tolkningar förefaller

väldigt övertygande och eleven därför kan gå långt i sitt resonemang och kommer med tolkningar som inte är trovärdiga. Kan eleven använda sig av relevanta matematiskt begrepp och framföra ikoniska tolkningar vid interaktion med samma grafiska material och vid samma tillfälle? Svaret är tydligen ja när det gäller uppfattningar i denna kategori. En möjlig förklaring är att de båda eleverna, åtminstone i början, var övertygade om att det är ”lutningen som avgör” hur snabbt tåget rör sig. Deras förståelse av lutning räckte dock inte till en helhetsbeskrivning av tågets färdriktning. När lutning som egenskap visar sig vara svårhanterlig och klumpig prövar Linn och Pia andra alternativa idéer.

Att alternativa idéer är resistenta mot förändringar är ett väl dokumenterat fenomen, (se till exempel McCloskey, 1983; Clement, 1985; diSessa, 1993; Hammer 1996; Andersson 2008). Det förekommer även i denna studie, exempelvis i fallet Linn och Pia. Ikoniska tolkningar fortsätter att finnas kvar i elevens tankestruktur även efter det att eleven har stött på grafiska representationer i bland annat matematik och naturämnen. Det anmärkningsvärda är att ikoniska tolkningar hos Linn och Pia gjorde en stark återkomst när de inte lyckades få grepp om hur negativ lutning ska tolkas. Detta stimulerade i sin tur andra kognitiva förmågor och kunskapsformer som kunde leda till snabbare och mer övertygande slutsatser.

För att förstå en grafisk representation, exempelvis en s-t-graf, behövs kunskaper om hur grafen ska tolkas i termer av det som grafen representerar. Här behöver eleven veta vilka aspekter av grafen som kan beskrivas med de begrepp som är relevanta för den aktuella representationen. Saknas dessa komponenter i begreppsbilden kan associationer och ikoniska tolkningar utgöra huvuddelen av elevens argumentation.

Den v-t-graf som Linn och Pia från kategori C har framställt är ganska identisk s-t-grafen i frågeställningen. Eleverna förefaller föredra det enklaste alternativet. Dessutom stämmer v-t-grafen väl överens med uppfattningen att tågets hastighet ökar i början för att minska i slutet. Att se och identifiera likheter är en betydelsefull och användbar kunskapsform som verkar

91

framgångsrik i många olika sammanhang, till exempel när vi tolkar kartor, ritningsskisser, med mera. Det är förmodligen denna kunskapsform som Linn och Pia utnyttjar.

Kategori D presenterades i föregående kapitel som den minst utvecklade uppfattningen i denna studie. Elevers tolkningar i denna kategori dominerades av vardagsbegrepp så som höger, vänster, uppåt, nedåt, etcetera. Vardagsbegrepp är väsentliga för att kommunicera eller förmedla erfarenheter och upplevelser men de är ineffektiva för att exempelvis beskriva riktning som en variabel. En liknande uppfattning kan identifieras hos Linn, Pia och Saeed i kategori C. Dessa elever samtalar vardagligt och förefaller inte kunna tränga djupare in i ämnet. Vardagliga uttrycksformer är olämpliga för att användas som förklarningsinstrument eftersom de brister i tydlighet, noggrannhet och allmängiltighet.

De matematiska-naturvetenskapliga begreppen kännetecknas av att vara exakta med specifika definitioner (Holton 1952; Galili & Lehavi 2006). Det ligger i den matematiska naturvetenskapliga metodens idé att begrepp ges en avgränsad och entydig definition som beskriver dess innebörd.

Vardagsbegreppen handlar i stort sett om hur människor använder sig av språket för att konstituera verkligheten. De är fyllda med erfarenheter från iakttagelser, företeelser och upplevelser medan vetenskapliga begrepp i allmänhet är mer strukturerade, generaliserbara och lagbundna (Andersson, 2001). Vad eleven säger eller skriver avspeglar delvis elevens förståelse av de begrepp som eleven använder sig av för att förklara en specifik situation. Arman, Alexande och Gideon använder i stort sett inte matematiska eller naturvetenskapliga termer och begrepp under samtalet eller i sina anteckningar. Lärande av matematiska begrepp handlar delvis om att bli förtrogen med såväl tolkningsram som teoribildning.

Eleverna uttalar sig om att grafen föreställer bland annat en berg- och dalbana,

Lisebergsbanan, gatorna i San Fransisco eller andra exempel på ikoniska

föreställningar. De uppfattas som självklara lösningsalternativ av eleven. Dessa tolkningar är exempel på begreppsbilder eleverna ger uttryck för i den aktuella frågeställningen vilka besvarar den andra forskningsfrågan.

Dessa uppfattningar har sina fördelar; de är bekväma och lätta att komma ihåg och förefaller vara realistiska eftersom eleverna kan identifiera och utnyttja likheter. På så sätt erbjuder elevers alternativa tolkningar den kortaste vägen

92

till en möjlig förklaring och stämmer väl överens med sunt förnuft. Dessutom känner eleven sig trygg i sitt vardagsspråk när han/hon vill berätta om vardagshändelser.

I denna studie var alternativa uppfattningar mest förekommande hos elever som använde sig mest av vardagsbegrepp i formulering av sina utsagor. Vardagsbegreppens begränsningar och ineffektivitet gör dem olämpliga för att beskriva fenomen och processer. Begreppet riktning, i matematiska termer, är mer generell och användbar än höger, vänster eller upp och ner.

En möjlig förklaring till varför eleverna inte reflekterar över sambandet mellan sträcka och tid på ett matematiskt sätt, är att den mentala berg- och dalbanan saknar tidsdimension och snarare är en sträcka-sträcka graf, vilket liknar hur en berg- och dalbana rör sig både i sidled och höjdled.

S-t-grafen i frågeställningen beskriver en linjär rörelse för ett föremål (rörelse i en dimension), men grafen ser ut som att den rör sig i ett tvådimensionellt plan. Detta är en viktig aspekt av begreppsförståelse gällande grafisk representation som har förekommit i denna studie. Här är det viktigt att eleven utvecklar en förståelse för grafer som matematiska representationer som beskriver samband eller beroende och att en del grafer, exempelvis s-t-graf, är tidsberoende.

Tolkningskategori D förefaller sakna en förståelse för s-t-graf som ett tidsberoende förlopp. Detta kan ses som en barriär för lärande av grafiska representationer och en alternativ uppfattning som behöver konfronteras. Trots att eleverna i kategori D säkerligen har hört talas om exempelvis lutning och förmodligen utvecklat en förståelse för linjens eller grafens lutning, så aktiveras inte denna kunskapsstruktur av den grafiskt illustrerade frågan i detta fall.

Chi (1994 & 2013) hävdar att elevers alternativa tolkningar delvis beror på felkategorisering av begrepp på ontologiska planet. Elevernas utsagor präglades av händelsebeskrivningar som de fann relevanta för situationen och som de kunde stödja sig på. Uppfattningar i denna kategori, i likhet med kategori C, visar på idén att en s-t-graf är ett sätt att beskriva en händelse, ett

event. Se figur 1 sid. 15. Dessa elever har med andra ord kategoriserat en

s-t-graf som en matematisk rekonstruktion av en verklig händelse. Många av elevens alternativa resistenta uppfattningar kan förklaras genom

93

felkategorisering av begrepp på ontologisk nivå snarare än på en specifikt ämnesteoretisk nivå.

…then many robust misconceptions can be interpreted as a mismatch between conception and reality at the ontological level, rather than (and in addition to) at the concept-specific and theory-specific level. In this view, robust misconceptions are mis-categorizations across ontological boundaries. (Chi 2005, sid.164)

Med detta perspektiv på begreppsutveckling, som en växling av begreppets tillhörighet över ontologisk laterala kategorier, så kan dessa elevers ikoniska uppfattningar identifieras som en samling händelsebeskrivningar. En möjlighet är att eleven tolkar grafen som en matematisk framställning av en händelse. Händelser som de själva varit med om, sett på film, läst om i en bok eller har hört talas om. Grafen däremot, kategoriseras som en sekventiell process, en process där ett föremåls hastighet varierar under fyra timmar. Elevers utsagor är rumsliga vilket är ett karakteristiskt inslag i beskrivning av en händelse. Det är i San Fransisco som man kan åka tåg uppför en backe eller det är på Liseberg man kan åka Balder. Matematiska beskrivningsmodeller däremot, till exempel en differential ekvation som beskriver en kropps avsvalning, är oberoende av när och var den används. Till skillnad från händelser är processer oberoende av tid och rum.

En process kan brytas ner till mindre förklarbara enheter. S-t-grafen i frågeställningen kan till exempel delas in i mindre intervall, vid tiden t=0 står tåget stilla, sedan accelererar tåget och hastigheten ökar till cirka 150 km/h och så vidare. I beskrivningen av en process är det väsentligt i vilken ordning delprocesser sker. Men det är ganska ointressant att dela in händelsen att åka

Lisebergsbana i mindre exakta delhändelser är och ännu mindre intressant i

vilken ordning den sker eller beskrivs.

Elevers utsagor i tolkningskategori D, och delvis kategori C, kan tolkas som felkategorisering av begrepp och att begreppsutveckling möjligen kan innebära en växling av begrepp mellan ontologiska kategorier, från underkategorin event till underkategorin process. Chi & Slotta (1994) argumenterar att svag begreppsutveckling kan innebära en växling av begrepp mellan två närliggande underkategorier i samma gren, exempelvis mellan underkategorierna djur,

animals och växter, plants. Stark begreppsförståelse sker då begreppens

94

laterala kategorier, exempelvis från kategorin materia till kategorin process. Men gäller dessa kriterier och övergångar alla kategorier?

Jag vill argumentera för processkategorins speciella särdrag och att omkategorisering av begrepp mellan närliggande underkategorier i processkategorin kan innebära en stark begreppsutveckling för eleven. Ett exempel kan belysa svag begreppsutveckling i kategorin materia. I denna kategori finns bland annat underkategorier djur och växter. Det kan hända att en person uppfattar att begreppet korall beskriver en växt och därmed kategoriserar koraller som växter. Men efter hand läser personen en artikel i en populärvetenskaplig tidsskrift där det står att korall är ett djur. Begreppet korall behöver nu hänföras till en ny kategori, från den ursprungliga underkategorin växter till underkategorin djur. Genom denna process etablerar individen ett nytt förhållningssätt till begreppet som kan ses som en växling av begrepp mellan två underkategorier i samma träd. Denna typ av begreppsutveckling kan ses som en förändring av begreppets ontologiska tillhörighet, en förändring som framförallt inte skapar större missnöje eller konflikt med nuvarande förklarningsmodellen.

Elevers utsagor i denna kategori tyder på uppfattningen att en s-t-graf är en matematisk konstruktion för beskrivning av en händelse. Skulle det räcka om Arman, Alexander, Gideon eller elever med liknande ikoniska uppfattningar läser i en tidskrift att en s-t-graf är ett matematiskt verktyg för att representera en process? Förmodligen räcker detta inte, för processer involverar en eller flera begrepp, och för att förstå processer krävs en djupare begreppsförståelse genom upprepad exponering. För att kunna förklara varför himlen är blå krävs att individen är förtrogen med ljusets brytning som en process. För att förstå denna process krävs det att man är förtrogen med bland annat geometrisk optik.

En möjlig beskrivning av en djupare begreppsförståelse som elever med ikoniska tolkningar behöver uppnå, kan innebära en växling av begrepp mellan två närliggande underkategorier i processkategorin; från händelse till process. Carey (1985) beskriver svag omstrukturering som en ny ordning eller en ny relation mellan redan existerande begrepp. Denna typ av begreppsutveckling kräver inte en förändring av den befintliga begreppsstrukturen utan är ett sätt att berika den. Personen blir inte missnöjd med sin uppfattning att korall är en växt utan han/hon lär sig att förhålla sig till koraller på ett annat sätt eller etablerar en ny relation till begreppet korall.

95

Stark omstrukturering innebär enligt Carey (1985) däremot en mer radikal förändring som kan jämföras med Chis & Slottas (1994) perspektiv på stark