I detta kapitel problematiseras olika delar av studien ur olika aspekter. Inledningsvis diskuteras studiens resultat. Därefter diskuteras den implementeringsstruktur som presenteras i denna studie. Sedan diskuteras studiens metodologi. Slutligen presenteras en beskrivning av hur resultatet hade kunnat tillämpas i praktisk verksamhet och vilka nya forskningsidéer som resultatet har härlett till.
6.1 Resultatdiskussion
Intresset bakom denna studie var att vi ville finna ett sätt som möjliggjorde användning av Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem i undervisning. Att göra ett verklighetsförankrat utvecklingsarbete. Studien har resulterat i två delar som tillsammans skapar en helhet som bidrar till möjliggörandet av användning av fyrastegsprocessen. Dessa två delar är dels ett elevunderlag och dels en implementeringsstruktur.
Elevunderlaget utgör en konkretisering av fyrastegsprocessen genom att det inkluderar olika handlingsalternativ för varje steg. Handlingsalternativen är baserade på framgångsfaktorer för varje steg i processen. Dessa handlingsalternativ generar genom läsning av tidigare forskning. Behovet av konkretisering likt de som handlingsalternativen medför, uppenbarade sig för oss under vår verksamhetsförlagda utbildning. Vi fick då erfara hur matematiska strukturer, likt fyrastegsprocessen, kan upplevas avancerad och abstrakt för våra elever. Pólyas fyrastegsprocess är en användbar struktur för lösande av matematiska problem, trots det befarar vi att många elever kan uppleva den som för abstrakt. Elevunderlaget är utformat med syftet att det ska bidra med en konkretisering som förenklar och gör fyrastegsprocessen mer elevnära. Resultatet av denna studie kan bidra med att elever, genom vår undervisning, får en mer djupgående förståelse för vad varje steg i processen. Genom att eleverna blir introducerade för olika alternativ för varje steg, till exempel olika alternativ för att förstå ett problem, breddas deras perspektiv. Det skulle också kunna göra att de får en förståelse för hur processen kan vara användbar i relation till olika typer av problem. Med hjälp av de olika handlingsalternativen blir det mer konkret vad det kan innebära eller hur de kan göra för att exempelvis förstå ett problem. Det är denna konkretisering som ämnar att göra fyrastegsprocessen användbar. Elevunderlaget inkluderas i undervisningen med hjälp av lärares implementerande.
Den hypotetiska lärandevägen baserades på Smith och Steins fem undervisningspraktiker. De fem praktikerna har legat till grund för oss när vi har skapat designen för hur lärare kan presentera elevunderlaget i undervisning, så kallade design principer. Vid skapandet av designen hade vi i åtanke att den skulle kunna följas stegvis av lärare. Vi har också haft i åtanke
att implementeringsprocessen inte bör upplevas som hastig av eleverna. Vi har därför valt att varje steg i elevunderlaget ska implementeras var för sig, vilket tydliggörs i designen. Designen innebär en djupgående presentation, praktisk tillämning samt reflektion över varje enskilt steg i elevunderlaget. Likt vi nämnde i inledningen av denna studie beskriver Löfwall att elever vanligen inte grundligt introduceras för Pólyas fyra steg för bearbetning av matematiska problem (2010). Det härleder till att de inte förstår storheten i varje steg. Genom den stegvisa implementeringen av konkretiseringen av varje steg i fyrastegsprocessen som elevunderlaget erbjuder, är ambitionen att eleverna ska utveckla en djupgående förståelse för vad varje steg kan innebära.
Användningen av stegvisa designen kan ske på samma vis i olika elevgrupper, de omständigheter som implementeringen sker i kan dock skilja sig. Väsentligt är därför, vilket också tydliggörs i designen, att lärare behöver anpassa val av problem och syfte med undervisningstillfällena utefter sin elevgrupp och sina intentioner. Den stegvisa processen som designen innebär blir densamma
oavsett anpassningar men exempelvis val av problem vid
implementeringstillfället behöver utföras av lärare. Vad som utgör ett matematiskt problem är individuellt (Dahl, 2011). Vi kan därför inte föreslå ett problem som generellt är lämpligt vid implementeringen.
Studiens resultat innefattar alltså ett elevunderlag som hade kunnat möjliggöra elevers användning av en matematisk struktur samt en design för implementerande av elevunderlaget. Elevunderlaget hade möjligen kunnat tillse elevers fördjupade förståelse av fyrastegsprocessen. När eleverna förstår hur processen är användbar ur olika perspektiv och på olika sätt kan de möjligen genom processen bearbeta matematiska problem. Designen beskriver en möjlig metod för hur lärare kan ge elever förutsättningar att bekanta sig med och lära sig att använda elevunderlaget.
6.2 Diskussion om implementeringsstrukturen
Implementeringsstrukturen av elevunderlaget utgår från Smith och Steins fem undervisningspraktiker. Dessa undervisningspraktiker används som ett implementeringsverktyg för att införa elevunderlaget i undervisning. Undervisningspraktikerna består av: förutse, överblicka, välja ut, ordna och koppla ihop. Vi är medvetna om att det finns andra strukturer som hade kunnat användas för implementering av elevunderlaget i undervisning. Smith och Steins fem undervisningspraktiker valdes ut för att de är utformade för att lärare ska kunna undervisa genom en elevcentrerad undervisning men samtidigt inneha kontroll över innehållet i de matematiska samtal som förs. De syftar också att användas vid specifikt lösandet av problemlösningsuppgifter i matematik. Eftersom elevunderlaget är till för användning vid lösande av
matematiska problem lämpar sig implementering genom dessa
Implementeringen genom designen som bygger på Smith och Steins fem undervisningspraktiker är en hjälp för lärare vid inarbetning av det nya arbetssättet som elevunderlaget utgör i undervisningen. Det krävs mycket planering från lärarens sida vid implementering av elevunderlaget genom designen som är skapad för att inkludera de fem undervisningspraktikerna. Förarbetet för läraren behöver utföras ur olika aspekter. Läraren behöver dels fundera över hur eleverna kommer erfara det matematiska problem de ska bearbeta samt hur de kommer erfara elevunderlaget och lösandet av problemet genom elevunderlaget. Detta utgör en tidskrävande och omfattande uppgift. Genom en strukturerad implementering med hjälp av designen kan möjligen elevunderlaget med tiden bli en del av den ordinarie undervisning och vara användbar i ett vidare perspektiv.
Vi är medvetna om att designen är en produkt av det faktum att de fem undervisningspraktikerna används som en struktur för implementering av elevunderlaget. Designen är också skapad utefter hur vi har tolkat att undervisningspraktikerna kan användas i implementeringssyfte av det specifika elevunderlaget.
6.3 Metoddiskussion
Elevunderlaget är baserat på framgångsfaktorer vid lösande av matematiska problem. Framgångsfaktorerna har framkommit genom systematisk läsning och sortering av läsning genom Pólyas fyrastegsprocess.
Databasen som till största del har använts vid sökningarna efter vetenskapliga publikationer är ERIC. Databasen Springer Link har resulterat i en publikation som finns med i studien. Sökningarna i dessa två databaser har tillsammans resulterat i en mängd relevanta publikationer för att finna framgångsfaktorer i problemlösningsprocessen. Därav har det inte varit aktuellt att använda fler databaser vid sökandet efter vetenskapliga publikationer. Om fler databaser hade inkluderats vid sökandet av publikationer hade möjligen andra publikationer blivit utvalda till denna studie. Om fler publikationer hade inkluderats i studien hade det kunnat resultera i att det hade framkommit andra, eller fler framgångsfaktorer. I databaserna ERIC och Springer Link hade även där andra publikationer kunnat bli aktuella om det inte vore för de avgränsningar som har utförts. Avgränsningarnas olika aspekter såsom tidsintervallen, sökord, och utbildningsnivå härledde till de publikationer som har inkluderats i studien. Hade avgränsningarna följt andra aspekter hade det kunnat resultera i att andra publikationer inkluderades i studien.
Framgångsfaktorerna som uppdagades genom den systematiska läsningen sorterades efter Pólyas problemlösningsprocess på fyra steg: att förstå ett problem, planering av lösningsarbetet, genomföra lösningsarbetet samt att
utvärdera lösningsarbetet. Framgångsfaktorerna vilka har framkommit för varje steg i fyrastegsprocessen har utgjort en konkretisering av processen och utgör elevunderlaget. För denna studie har en handlingsplan för lösningsarbete baserats på Pólyas fyrastegsprocess. Givetvis finns det alternativa lösningsprocesser vid genomförande av lösningar av matematiska problem. Valet av att utgå ifrån Pólyas fyrastegsprocess har utgjort att vissa framgångsfaktorer vid lösande av matematiska problem har inkluderats medan andra har exkluderats. De framgångsfaktorer som är inkluderade i elevunderlaget är samtliga förenliga med något steg i fyrastegsprocessen. Elevunderlaget är alltså begränsat av fyrastegsprocessen. Valet att utgå ifrån fyrastegsprocessen baseras på att processen utgör en stegvis handlingsplan för lösandet av problem.
6.4 Praktisk tillämpning och fortsatt forskning
Studien har genererat ett elevunderlag för användning av elever vid lösandet
av matematiska problem. Studien har också genererat en
implementeringsdesign för hur lärare kan införa elevunderlaget i undervisning. Elevunderlaget och implementeringsstrukturen är ämnade för att praktiskt kunna tillämpas i undervisningssammanhang. Specifikt är de båda delarna ämnade för att användas i matematikundervisning när elever ska lösa matematiska problem.
Vid fortsatt forskning hade elevers användande av elevunderlaget vid lösandet av matematiska problem kunnat undersökas. Undersökningens syfte hade dels kunnat vara att kontrollera elevers resultat vid lösande med hjälp av elevunderlaget. Syfte med undersökningen hade också kunnat vara att åhöra elevers upplevelser efter användning av underlaget. Implementeringsdesignen hade också kunnat undersökas vid ett fortsatt forskningstillfälle. Framförallt
hade lärare kunnat observeras under och åhöras efter ett
implementeringstillfälle. En sådan studie hade kunnat resultera i slutsatser om implementeringsdesignens användbarhet i undervisningssammanhang.