Vägen till förståelse En konkretisering av en matematisk problemlösningsprocess och dess implementering i undervisning

(1)

Vägen till förståelse

En konkretisering av en matematisk

problemlösningsprocess och dess implementering i undervisning

Examensarbete

Författare: Nellie Bäckström och Christina Bexell

Handledare: Andreas Ebbelind

(2)

Begrepp

Implementering

Med begreppet implementering menar vi, genomgående i arbetet, en process som ämnar att införa ett nytt arbetssätt. I vårt fall syftar detta nya arbetssätt att inarbetas i undervisningssammanhang i skolan.

Matematiska problem

Ett matematiskt problem är ett problem som saknar på förhand, för lösaren, givna lösningsstrategier. Det innebär att lösaren vid sin första kontakt med problemet inte får en omedelbar förståelse för hur hen kan gå tillväga för att lösa problemet. Ett matematiskt problem är istället krävande och omfattande i den mån att lösaren behöver lägga ner tid, tankekraft och testa olika tillvägagångssätt för att finna lösningsstrategier (Schoenfeld, 2013). Vad som utgör ett matematiskt problem kan variera från individ till individ eftersom olika individer har med sig olika förkunskaper och förförståelser när de kommer i kontakt med ett matematiskt problem (Dahl, 2011).

Problemlösningsförmågan i matematik

Problemlösningsförmågan innehar två dimensioner. Den kan vara ett mål med undervisningen, alltså något elever ska träna och utveckla. Den kan också vara ett medel för undervisningen. Problemlösningsförmågan som medel för undervisningen innebär en syn på problemlösningsförmågan som något elever ska lära sig något genom (Häggblom, 2013).

Problemlösningsstrategier

Problemlösningsstrategier är olika tillvägagångssätt för att lösa matematiska problem. Strategierna kan liknas vid verktyg som hjälper lösaren att sortera den information vilken problembeskrivningen återger samt upptäcka mönster och samband i problembeskrivningen. Med dessa verktyg som synliggör olika aspekter i problemet kan lösaren eventuellt finna lösningen på problemet (Schoenfeld, 2013).

(3)

Abstrakt

Intresset bakom denna studie är att skapa en konkretisering till elever av Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem. De fyra stegen som Pólya föreslår för bearbetning av matematiska problem är:

förståelseskapande för problemets innebörd, planerande av lösningsarbete, genomförande av lösningsarbete samt utvärdering av lösningsprocessen.

Fyrastegsprocessen konkretiseras genom framgångsfaktorer för varje steg i processen. En systematisk läsning och sortering av läsningen har genomförts för att undersöka vilka framgångsfaktorer som hade kunnat konkretisera de olika stegen i processen. Utifrån de framgångsfaktorer som har utstuderats inom varje steg av processen har ett elevunderlag skapats. Syftet är att elevunderlaget ska bidra med vägledning för elever när de ska bearbeta matematiska problem. För att lärare ska kunna introducera elevunderlaget för eleverna så att de förstår hur de ska använda underlaget har en design för implementering skapats. Designen har utformats utifrån Smith och Steins fem undervisningspraktiker. De fem praktikerna är ett förhållningssätt för lärare att använda under deras undervisning i problemlösning i matematik. De fem praktikerna är förutse, överblicka, välja ut, ordna och koppla ihop. Utifrån dessa praktiker har en stegvis implementeringsdesign av elevunderlaget utformats. Sammanfattningsvis har denna studie genererat ett elevunderlag som utgör en konkretisering av Pólyas fyrastegsprocess samt en implementeringsdesign för lärares implementering av elevunderlaget i undervisning.

Nyckelord

Matematik, problemlösning, problemlösningsprocess, elevunderlag, implementering

Tack

Vi vill tillägna ett stort tack till vår handledare Andreas Ebbelind som har stöttat och väglett oss genom hela den process som detta examensarbete har inneburit. Vi vill även tacka våra studiekamrater för deras läsning av vårt arbete och deras synpunkter på förbättringsmöjligheter, tack!

(4)

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 1

2 Syfte ... 3

2.1 Frågeställningar ... 3

3 Metodologi ... 4

3.1 Systematisk sökning av litteratur och övrig litteratur ... 4

3.2 Systematisk läsning genom det teoretiska perspektivet ... 5

3.3 Skapande av designen ... 6

3.4 Smith och Steins fem undervisningspraktiker ... 6

3.5 Etik ... 9

4 Bakgrund, teoretisk förankring och elevunderlag ... 10

4.1 Problemlösning och dess roll... 10

4.2 Elevunderlagets teoretiska utgångspunkt och framgångsfaktorer .... 11

4.2.1 Framgångsfaktorer vid förståelseskapande ... 11

4.2.2 Framgångsfaktorer vid planerande ... 12

4.2.3 Framgångsfaktorer vid genomförande ... 13

4.2.4 Framgångsfaktorer vid utvärdering... 14

4.3 Elevunderlag för implementering ... 15

5 Resultat - Design för implementering ... 19

5.1 Undervisningstillfälle 1: Förståelseskapande ... 19

5.2 Undervisningstillfälle 2: Skapande av en plan ... 20

5.3 Undervisningstillfälle 3: Genomförande ... 21

5.4 Undervisningstillfälle 4: Utvärdering ... 22

5.5 Centralt i modellen ... 23

5.5.1 Förutse... 23

5.5.2 Överblicka ... 23

5.5.3 Välja ut ... 23

5.5.4 Ordna... 24

5.5.5 Koppla ihop ... 24

6 Diskussion ... 25

6.1 Resultatdiskussion... 25

6.2 Diskussion om implementeringsstrukturen ... 26

6.3 Metoddiskussion ... 27

6.4 Praktisk tillämpning och fortsatt forskning ... 28

7 Referenslista ... 29

(5)

Bilagor

Bilaga A – sökschema Bilaga B – elevunderlag Bilaga C – checklista

Bilaga D – exempel på lösningsprocesser genom elevunderlaget

(6)

1 Inledning

Under vår pågående utbildning till lärare har vi många gånger funderat över hur matematikens ibland avancerade strukturer inte alltid har varit lätt att översätta till de elevgrupper som vi vid olika tillfällen har undervisat. De olika elevgrupperna vi mött har många gånger varit i behov av förtydligande och konkretisering av matematiska strukturer för att de ska vara användbara.

Frågan är om inte elever ibland går miste om olika matematiska strukturers användbarhet när de inte har introducerats för dem på ett sätt som är möjligt för dem att förstå.

I ett tidigare arbete (Bäckström & Bexell, 2020) baserade vi vårt teoretiska ramverk på matematikern Pólyas problemlösningsprocess. Han är en matematiker som har arbetat med hur elever motiveras av, löser och förstår matematiska problem (Shirali, 2014). Pólya bidrog med många idéer på flertalet av matematikens fält. Han intresserade sig dock framförallt i den pedagogiska aspekten och för hur lärare kan väcka elevers intresse genom problemlösning (Shirali, 2014). Pólyas problemlösningsprocess innehåller fyra steg: att förstå problemet, att göra en plan för hur det matematiska problemet kan lösas, genomföra planen och utvärdering av problemlösningsprocessen (Pólya, 2014). I arbetet (Bäckström & Bexell, 2020) undersöktes framgångsfaktorer i elevers lyckade problemlösningsprocesser. Intresset bakom den undersökningen grundade sig i upplevelser av att elever kan uppleva vägen till lösningen av ett matematiskt problem som oviss. Genom en systematisk läsning och kategorisering av den lästa litteraturen genom Pólyas fyrastegsprocess fann vi flertalet framgångsfaktorer för en lyckad bearbetning av matematiska problem.

Intresset för denna studie tar sin utgångspunkt i hur dessa framgångsfaktorer hade kunnat implementeras som ett arbetssätt i praktiken. Fokus i denna studie kommer att beröra planering och tankar om implementering.

Genom erfarenheter från verksamhetsförlagd utbildning, känns själva fyrastegsprocessen inte alltid som ett elevnära arbetssätt. Det vill säga att exempelvis innebörden av “att förstå ett problem” verkar vara ganska oviss för våra elever. Löfwall beskriver också hur Pólyas process på fyra steg för bearbetning av matematiska problem vanligen kan presenteras genom en liten notis i läromedel (2010). Tanken bakom att delge eleverna denna metod är att de på ett mer effektivt sätt ska kunna lösa matematiska problem. Vad som dock kan vara problematiskt är att de fyra stegen inte alltid presenteras genom en djupgående genomgång. Avsaknaden av en genomgång på djupet av de olika stegen medför att elever kan komma att få en mer ytlig förståelse över varje stegs innebörd. Löfwall beskriver att den ytliga presentationen av de fyra stegen kan orsaka att elever inte utvecklar en förståelse för storheten i varje

(7)

steg (2010). En fråga vi ställer oss i detta arbete är hur lärare kan bidra till att eleverna utvecklar en djupgående förståelse för Pólyas fyrastegsprocess så att de får användning av strategin vid lösandet av matematiska problem.

Frågan ovan väcker funderingar hos oss om implementering. Hur kan vi och andra lärare implementera Pólyas fyrastegsprocess på ett sätt som bidrar till fördjupad kunskap om problemlösning hos elever. Kingsdorf och Krawec beskriver och ger förslag på hur implementering av nya matematiska koncept kan se ut (2016). De menar att vid införandet av nya matematiska koncept bör lärare demonstrera dessa genom att ge eleverna flera exempel. När eleverna får flera exempel har de lättare för att lära sig att generalisera det nya konceptet (Kingsdorf & Krawec, 2016).

Detta arbete kan ses som ett verksamhetsförankrat utvecklingsarbete. Det innebär att arbetet utgår ifrån det behov vi har erfarit att elever är i, av en mer konkretiserad tillvägagångsprocess vid deras bearbetning av matematiska problem. Med arbetet ämnar vi bemöta detta behov genom att i denna studie finna ett sätt att möjliggöra användningen av Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem i undervisningen för eleverna i förskoleklass och årskurs ett till tre.

(8)

2 Syfte

Syftet med detta arbete är att skapa ett teoretiskt förankrat elevunderlag av Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem och en design för implementering av elevunderlaget för undervisningen i förskoleklass och årskurs ett till tre.

2.1 Frågeställningar

- Vilka framgångsfaktorer inom ramen för Pólyas fyrastegsprocess bör presenteras för elever för att fyrastegsprocessen ska bli användbar i deras problemlösningsprocess?

- Hur kan en konkretisering av Pólyas fyrastegsprocess implementeras i undervisning för att den ska vara möjlig för elever att följa i sitt angripande av matematiska problem?

(9)

3 Metodologi

Syftet med detta utvecklingsarbete var att skapa ett teoretiskt förankrat elevunderlag, vilket skulle utgå från Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem. Elevunderlaget skulle ge elever i förskoleklass och årskurs ett till tre ett stegvist tillvägagångssätt vid lösningar av matematiska problem. Syftet innefattade också att utforma en design för implementering av underlaget för lärare. I detta kapitel kommer vi att redogöra för hur detta syfte uppnåtts. Först genom att beskriva hur skapandet av elevunderlaget har utförts genom utstuderande av framgångsfaktorer för varje steg i Pólyas fyrastegsprocess. Utstuderandet har skett genom systematisk läsning och en specifik sortering av läsningen. Det innebär inledningsvis en presentation av litteratursökningen och hur den har utförts för att kunna finna relevanta vetenskapliga publikationer i relation till problemlösning. Det innebär också en efterföljande presentation av hur den systematiska läsningen gått till samt hur sortering av läsningen har lett fram till designandet av elevunderlaget.

Vi kommer också att beskriva hur syftet uppnås genom att redogöra för hur skapandet av en design för implementering har gått till. I avsnitt 3.3 beskrivs hur skapandet av designen för implementering har influerats av det som kallas designforskning. Vidare i avsnitt 3.4 redogörs för den teoretiskt grundade struktur som var utgångspunkten för skapandet av implementeringsstrukturen.

Denna teoretiskt grundade strukturen är Smith och Steins fem undervisningspraktiker (2014). Slutligen i detta kapitel presenteras studiens etiska aspekter.

3.1 Systematisk sökning av litteratur och övrig litteratur

De vetenskapliga publikationer som valdes ut i denna studie hämtades från databaserna Educational Resource Information Center (ERIC) och Springer Link. ERIC är en lämplig referensdatabas för litteratursökningar för denna studie eftersom dess publikationer är utbildningsvetenskapliga (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Springer Link är en artikeldatabas som publicerar publikationer i flertalet vetenskapliga fält, bland annat i matematik. Publikationer inom matematikfältet är användbara i denna studie vilket medför att databasen är ändamålsenlig. Vid sökningarna i databaserna gjordes avgränsningar för att finna aktuella och relevanta vetenskapliga publikationer. Avgränsningarna har utförts genom användningen av specifika sökord. Sökorden valdes ut med ambitionen att finna publikationer om problemlösningsprocessen inom matematikfältet. De utvalda sökorden inriktade sökningarna på matematik, problemlösning samt problemlösningsprocessen i kombinationer, för att se vilka specifika sökord som har använts vid varje sökning, se bilaga A. Samtliga av de utvalda vetenskapliga publikationerna är peer reviewed granskade (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Det är väsentligt att den litteratur som valdes

(10)

ut är granskad för att denna studie ska vara tillförlitlig och vetenskapligt baserad.

Litteratursökningarna har kompletterats med en del övrig litteratur i flera avseenden: för att definiera begrepp, för att beskriva Pólyas fyrastegsprocess samt för att definiera och beskriva studiens implementeringsteori.

3.2 Systematisk läsning genom det teoretiska perspektivet

Sökningarna har varit möjliga att genomföra eftersom problemlösningsområdet inom matematik är ett välbeforskat forskningsområde. När en större mängd forskning inom ett område konkluderas genom systematisk läsning generar läsningen i större mån tillförlitliga slutsatser än i de fall när forskningsområdet inte innehar en större mängd utförda undersökningar (Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström, 2013). Vid det tillfälle då den systematiska läsningen konkluderades, analyserades den också genom en analysmetod. Analysen har sedan förankrats till arbetets undersökningssyfte (Eriksson Barajas, Forsberg och Wengström, 2013). I vårt fall skedde analysen av läsningen med hjälp av en sortering av läsningen genom den teoretiska utgångspunkten, närmare beskrivning och exemplifiering presenteras nedan.

Framgångsfaktorerna vilka framkom genom den systematiska läsningen av de vetenskapliga publikationerna sorterades utefter vilket steg vi ansåg att de relaterar i Pólyas fyrastegsprocess. Det innebär att vi genom den systematiska läsningen har funnit olika framgångsfaktorer för de fyra olika stegen: att förstå ett problem, planering för lösningsprocessen, genomförande av lösningsarbetet samt utvärdering av processen. Exempelvis framkom det genom läsningen att en framgångsfaktor som platsade i det första steget: att förstå ett problem, var att kunna omformulera problembeskrivningen med egen valda ord (Özcan, İmamoğlu och Bayraklı, 2017). En framgångsfaktor vilken utlästes genom läsningen och platsade i Pólyas steg två: att göra en plan för lösningsarbetet, var att skriva ned en stegvis plan (Petersen, McAuliffe &

Vermuelen, 2017). Genom läsningen framkom det även framgångsfaktorer vilka vi har sorterat in i steg tre: genomförande, till exempel att genomföra lösningsarbetet med hjälp av olika och kombinerade representationer (Whitin

& Whitin, 2008). I steg fyra: att utvärdera lösningsprocessen, sorterade vi in flertalet framgångsfaktorer efter läsningen. En framgångsfaktor i det fjärde steget i processen var exempelvis, att reflektera utifrån olika frågor vilka läraren ställer (Zambo & Zambo, 2011).

Pólyas fyrastegsprocess kombinerat med dessa genom läsningen utstuderade framgångsfaktorerna, har elevunderlaget baserats på. Denna läsning och sortering har härlett till besvarandet av studiens första frågeställning: ”Vilka framgångsfaktorer inom ramen för Pólyas fyrastegsprocess bör presenteras för

(11)

elever för att fyrastegsprocessen ska bli användbar i deras problemlösningsprocess”, vilket presenteras i kapitel 4. Elevunderlaget utformades på så vis att eleverna delges en mall för varje steg i fyrastegsprocessen. I mallen för varje specifikt steg presenteras de för olika handlingsalternativ vilka de kan använda i bearbetningen av problem. De olika framgångsfaktorerna inom ramen för ett specifikt steg utgör handlingsalternativen för det steget. Exempelvis är användandet av olika representationer ett handlingsalternativ för eleverna när de är i genomförandefasen av deras process.

3.3 Skapande av designen

När designen för implementering skapades skedde detta i relation till några aspekter ur det som kallas för designforskning (Gravemeijer, 2015).

Designforskning kan ses som ett systematiskt forskningsbaserat utvecklingsarbete där undervisning står i fokus. Väl medvetna om att designforskning innefattar en hel lärprocess fokuserar vi i denna studie bara den inledande planerings- och implementeringsfasen. Vi ser vår design som en hypotetisk lärandeväg då ambitionen är att den ska utgöra ett verktyg för hur lärare ska kunna guida elever i deras konstruerande eller förståelse av ett visst matematiskt innehåll, i vårt fall är innehållet problemlösning. Det innebär att själva elevunderlaget ska användas för att elever ska kunna utveckla sin förmåga eller förståelse inom ramen för problemlösning. Skapandet av designen innebär framförallt att utgå från och inkludera en hypotetisk princip i utformningen. Det betyder att arbetet till stor del innebär att i förväg reflektera och sätta elevunderlaget i relation till en specifik elevgrupp och vilken kunskap eller förståelse som läraren önskar att elevgruppen ska konstruera genom arbetet med elevunderlaget. För att skapa en hypotetisk lärandeväg används strukturen av Smith och Steins fem undervisningspraktiker, vilka beskrivs i avsnitt 3.4. Praktikerna ses som principer som vägleder designen, så kallade design principer (Gravemeijer, 2015). Praktikerna utgör en vetenskapligt grundad struktur, genom vilken designen är utformad för att lärare ska kunna införa elevunderlaget som ett arbetssätt för eleverna att använda vid lösande av matematiska problem.

3.4 Smith och Steins fem undervisningspraktiker

För att skapa en design för implementering av elevunderlaget och för att besvara studiens andra frågeställning: ”Hur kan en konkretisering av Pólyas fyrastegsprocess implementeras i undervisning för att den ska vara möjlig för elever att följa i sitt angripande av matematiska problem”, har Smith och Steins (2014) fem undervisningspraktiker varit utgångspunkten. De fem undervisningspraktikerna benämns som: förutse, överblicka, välja ut, ordna, och koppla ihop. De är skapade och ämnade för att lärare, trots att de

(12)

undervisar genom en mer elevcentrerad undervisning i problemlösning i matematik, ska inneha kontroll (Stein, Engle, Smith & Hughes, 2008). Det innebär att de fem praktikerna är till för att kunna bedriva en elevcentrerad undervisning, en detaljerad presentation kommer längre ner i detta avsnitt.

Skribenterna poängterar att lärare som ämnar att undervisa genom en elevcentrerad undervisning inom ramen för problemlösning möter många utmaningar. Utmaningarna för lärare att bedriva detta arbetssätt är mer komplex än att de behöver skapa lämpliga problemlösningsuppgifter för eleverna att lösa. Elever tenderar att lösa problem på oväntade sätt eftersom dessa uppgifter inte innehar entydiga lösningsalternativ. Komplexiteten ligger i att lärare måste försöka tyda både hur eleverna kommer att förstå och lösa ett problem men också hur olika lösningar hade kunnat kopplas samman under matematiska samtal. Undervisningspraktikerna är ett pedagogiskt verktyg vars syfte är att möjliggöra för lärare att kunna hantera denna komplexitet (Stein, Engle, Smith & Hughes, 2008). Detta medför att detta pedagogiska verktyg belyser för studien viktiga aspekter att ta hänsyn till när undervisning designas.

Nedan presenteras ett exempel för hur varje praktik har varit en utgångspunkt vid vårt skapande av designen för implementering av elevunderlaget. För att se hela designens utformning, se kapitel 5.

3.4.1.1 Förutse

Den första undervisningspraktiken innebär att lärare bör förutse inför presenterande av en problemlösningsuppgift vilka lösningsstrategier eleverna kan tänkas välja. Denna förlustelse utgår ifrån lärarens kunskap om dennes elevers kunskaper om och förståelser av det matematiska innehåll som de kommer att behöva bearbeta vid lösandet av ett specifikt problem (Stein, Engle, Smith & Hughes, 2008). Vi har utformat designen utifrån praktiken förutse i den första delen av designen om undervisningstillfälle 1. Det läraren exempelvis behöver förutse som beskrivs i denna del av designen är vad som hade kunnat utgöra ett lämpligt matematiskt problem för lösande genom elevunderlaget för lärarens elevgrupp. Läraren avgör det utifrån elevgruppens erfarenheter, kunskaper, behov av utmaning samt de mål som gruppen strävar mot.

3.4.1.2 Överblicka

Undervisningspraktiken överblicka innebär att läraren kan gå runt i klassrummet och överblicka elevernas lösningsarbete. Vid denna observation kan läraren få en inblick i vilka lösningsstrategier eleverna använder (Stein, Engle, Smith & Hughes, 2008). Vi har utformat designen så att eleverna blir indelade i grupper. Designen medför att varje grupp blir tilldelat ett handlingsalternativ som de ska använda inom ett specifikt steg i elevunderlaget som de arbetar med. Tanken bakom detta är att läraren då blir medveten om vilka av de olika handlingsalternativen som grupperna arbetar med. Designen är utformad utifrån praktiken överblicka under det stadie då

(13)

eleverna praktiskt testar det handlingsalternativ som de blivit tilldelade. Lärare kan då med enkelhet överblicka och observera hur de olika grupperna går till väga vid sitt användande av deras olika tilldelade alternativ.

3.4.1.3 Välja ut

Den tredje undervisningspraktiken: att välja ut, innebär att läraren efter överblickandet av elevernas val av lösningsstrategier, väljer ut vissa elever till att redovisa deras lösningsarbete. Läraren bör då välja ut elever som har använt användbara strategier för lösning av det specifika problemet. De eleverna som väljs ut för genomgång ska dock gärna ha använt sig av olika lösningsstrategier för att möjliggöra påvisande av en variation av strategier (Stein, Engle, Smith

& Hughes, 2008). Vi har utformat designen så att minst en elevgrupp arbetar med varje handlingsalternativ inom ett steg i elevunderlaget. Designen innebär därför att lärare arbetar utifrån praktiken att välja ut genom att välja ut minst en grupp för varje handlingsalternativ för redovisning av sitt användande av alternativet. Designen är utformad på detta sätt för att lärare ska kunna välja ut minst en grupp för varje alternativ för redovisning. Om samtliga alternativ blir inkluderade vid ett redovisningstillfälle får eleverna uppleva hur olika handlingsalternativ kan vara användbara.

3.4.1.4 Ordna

Den fjärde undervisningspraktiken innebär att läraren inför en ordning för genomgången av de utvalda elevernas olika lösningsprocesser. Läraren ordnar turordningen utifrån ett syfte. Vad syftet är kan variera från problem till problem samt efter vad läraren önskar att eleverna ska exempelvis upptäcka eller utveckla en förståelse för under lektionen (Stein, Engle, Smith & Hughes, 2008). Vi har utformat designen utifrån praktiken ordna på så vis att lärare efter att de har valt vilka grupper som ska redovisa sitt användande av deras alternativ, ska bestämma i vilken ordning de olika grupperna ska redovisa.

Designen är utformad på det här sättet för att lärare ska få möjlighet att synliggöra olika aspekter för eleverna. Vad läraren vill synliggöra baseras på vad denne har för syfte med elevernas arbete med problemet. Kanske vill läraren till exempel synliggöra olika aspekter av problemet eller hur olika handlingsalternativ kan vara användbara på olika sätt vid angripandet av problemet.

3.4.1.5 Koppla ihop

Den sista undervisningspraktiken koppla ihop är till för att ge eleverna möjlighet att efter genomgången reflektera över hur de olika lösningsprocesserna är förankrade i varandra och vilka samband som finns mellan dem (Stein, Engle, Smith & Hughes, 2008). Vid utformandet av

(14)

designen utgår vi ifrån praktiken koppla ihop genom att vi har valt att inkludera ett reflekterande samtal efter elevernas arbete med varje steg i elevunderlaget.

Det reflekterande samtalet utgår ifrån frågor som läraren ställer för att eleverna ska upptäcka samband, likheter och skillnader mellan det handlingsalternativ som de har blivit tilldelade att använda och de handlingsalternativ som andra grupper har blivit tilldelade att använda.

3.5 Etik

För att forskningsetiken i denna studie ska vara av god kvalitet är frågeställningarna utformade för att precisera studiens syfte på ett tydligt sätt.

Frågeställningarna är också formulerade med syftet att vara undersökningsbara (Vetenskapsrådet, 2017). Studiens första frågeställning besvaras i kapitel 4 och den andra frågeställningen besvaras i kapitel 5.

Litteraturbakgrunden i denna studie är tillkommen genom systematisk läsning och sortering av läsningen. Den systematiska läsningen har skett tillförlitligt genom att inga till synes opassande publikationer för bevarandet av frågeställningarna har uteslutits i denna studie. De publikationer som sökningarna har genererat i har alltså värderats och inkluderats likvärdigt.

(Vetenskapsrådet, 2017).

I studien resulterar den systematiska läsningen och sorteringen av läsningen i ett elevunderlag. I studien ämnar vi att beskriva hur detta elevunderlag skulle kunna implementeras i undervisning. Den utvalda teorin är därför en implementeringsteori. Med syftet att kunna beskriva hur elevunderlaget skulle kunna införas i undervisning blir valet av att utgå från en implementeringsteori relevant (Vetenskapsrådet, 2017).

För att arbetet inte ska förvilla läsaren är ambitionen att ha en tydlig disposition och referenshantering. Dispositionen i arbetet är enkel att följa och läsa eftersom arbetets struktur är kontinuerlig genom rubriker, inledning till varje kapitel, underrubriker och styckesindelningar. Arbetet består av flertalet andra studier som kontinuerligt refereras till i arbetet samt i ett bifogat sökschema, se bilaga A. Sökschemat tydliggör vilka upphovsmännen och upphovskvinnorna är till de olika publikationerna (Vetenskapsrådet, 2017).

(15)

4 Bakgrund, teoretisk förankring och elevunderlag

I detta kapitel kommer först begreppet problemlösning i matematikrelaterade sammanhang att problematiseras och definieras för studien. Därefter kommer framgångsfaktorer för elevers lyckade problemlösningsprocesser att presenteras. Dessa framgångsfaktorer har genererats genom en systematisk läsning av litteratur i relation till Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem: förstå, planera, genomföra och utvärdera. Dessa fyra steg är centrala i detta kapitel. Alltså grundas och tar arbetets första del sin teoretiska utgångspunkt i Pólyas beskrivning av problemlösning.

I detta avsnitt besvarar vi även frågeställning ett: ”Vilka framgångsfaktorer inom ramen för Pólyas fyrastegesprocess bör presenteras för elever för att fyrastegsprocessen ska bli användbar i deras problemlösningsprocess?”.

Frågeställningen besvaras genom att sortera de olika framgångsfaktorerna för lösande av matematiska problem in i Pólyas fyra steg i lösningsprocessen. Det innebär att olika framgångsfaktorer tillskrivs var och en av de fyra stegen.

Slutligen presenteras ett elevunderlag vilket svarar mot vilka framgångsfaktorer inom ramen för Pólyas fyrastegsprocess som bör presenteras för elever för att fyrastegsprocessen ska bli användbar i deras problemlösningsprocess. Detta elevunderlag blir sedan utgångspunkten vid skapande av en design för implementering av Pólyas fyrastegsprocess.

Elevunderlaget konkluderar den systematiska läsningen av framgångsfaktorer vid lösande av matematiska problem och är förankrade i utvecklingsarbetets teoretiska utgångspunkt.

4.1 Problemlösning och dess roll

Problemlösning i matematisk mening kan tillämpas i två avseende, som mål men också som ett medel (Smith & Stein, 2014). Det innebär att eleverna i matematikundervisningen ska få möta problem och lära sig att tolka och lösa dessa. Ytterligare en målsättning är att de ska kunna skapa egna matematiska problem. I de avseende där problemlösning används som ett medel i undervisningssammanhang finns det andra målsättningar. Det kan innebära att elever genom problemlösning förväntas utveckla en förståelse för olika matematiska begrepp, träna sin förmåga att resonera kring eller kommunicera om matematiskt innehåll (Smith & Stein, 2014). Vad som är ett matematiskt problem är individuellt (Dahl, 2011). De förutsättningar som gör ett matematiskt problem till ett problem är att det kräver ansträngning och tid för att lösas. Lösaren kan inte vid sin direkta kontakt med problemet förstå hur en lösningsprocess kan genomföras utan behöver lägga ner ansträngning och tid för att finna lösningsalternativ (Dahl, 2011). Problemlösningsförmågan är bunden till en viss kontext och tas in på olika sätt av elever, vilket ger lärare en viktig roll i arbetet med matematiska problem. Lärare behöver motivera, se

(16)

över elevernas tankesätt samt vägleda eleverna genom processen att lösa problem. Eftersom problemlösningsförmågan utvecklas olika hos elever är det väsentligt att ge eleverna olika verktyg och metoder för hur matematiska problem kan angripas (Häggblom, 2013).

4.2 Elevunderlagets teoretiska utgångspunkt och framgångsfaktorer Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem är utvalt som arbetets teoretiska utgångspunkt. Valet baseras på att Pólyas arbete främst var inriktat på hur elever kan förstå och angripa matematiska problem.

Han ville utveckla elevers förmåga att ta sig an och tålmodigt finna tillvägagångsätt som härleder till lösningar av problemen (Shirali, 2014).

Processen som utgörs av fyra steg är ett tydligt stegvist tillvägagångssätt vid lösande av matematiska problem. Genom en konkretisering av de fyra stegen kan möjligen det behov av en struktur vid lösande av matematiska problem som vi har erfarit att elever har tillgodoses.

Genom systematisk läsning av flertalet olika studier som alla beskrev en framgångsrik problemlösningsprocess har olika framgångsfaktorer vid lösandet av problemlösningsuppgifter identifierats. Dessa framgångsfaktorer har sorterats efter vilket eller vilka steg i Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem som de kan förankras i. Förstå: Att förstå problemet innebär att skapa sig en förståelse för vad det matematiska problemet innebär och vad det är som ska lösas (Pólya, 2014). Planera: Att planera innebär att skapa en plan för hur det matematiska problemets lösningsarbete ska gå tillväga. Det innefattar att tänka ut vilka strategier som ska användas i nästa steg av processen (Pólya, 2014). Genomföra: Det är nu som planen i föregående steg kommer till handling och lösningsarbetet av det matematiska problemet påbörjas (Pólya, 2014). Utvärdera: I detta steg utvärderas processen som lösningsarbetet innefattade för att eventuellt finna utvecklingspotential (Pólya, 2014). Vilka framgångsfaktorer som tillskrivs varje enskilt steg i processen presenteras nedan.

4.2.1 Framgångsfaktorer vid förståelseskapande

I den systematiska läsningen uppdagades fyra framgångsfaktorer inom ramen för det första steget i Pólyas fyrastegsprocess. De fyra framgångsfaktorerna när elever ska förstå ett problem är att kunna omformulera problemet med egen valda ord, att ställa frågor till problemet, att dela upp problemet i delproblem samt att visualisera problemet.

Omformulering av problemet innebär att eleven kan upprepa vad kärnan av problemet är med egen valda ord, sitt eget språkbruk, och samtidigt inte ändra det specifika problemets innebörd (Özcan, İmamoğlu och Bayraklı, 2017;

Vula, Avdyli, Berisha, Saqipi & Elezi, 2017; Krawec & Huang, 2016; Rader, 2009). Att kunna upprepa och omformulera problemets innebörd var en viktig

(17)

indikator på om elever förstår problemets innebörd. Om en elev inte har förmågan att kunna återge vad det är denne ska lösa, indikerar det istället på att eleven inte har förstått kärnan i problemet.

Elever kan också skapa förståelse för ett problem genom att ställa och besvara frågor om problemet (Rader, 2009; Zambo & Zambo, 2011, Pólya, 2014).

Lärare kan underlätta detta genom att ställa frågor till elever om problemet för att kunna vägleda dem i deras förståelse. När elever besvarar frågor om ett problem kan de kontrollera om de har förstått vilken information som ges i problembeskrivningen och om de har förstått själva kärnan i vad som utgör problemet, det vill säga vad det är som ska lösas.

Ytterligare ett sätt att förstå ett problem, är att dela upp problemet i delproblem. Genom att bryta ner ett problem i mindre delar kan möjliga mönster i problembeskrivningen bli mer synliga och det kan bli lättare att förstå helheten i ett problem (Stender, 2018).

En sista framgångsfaktor för att förstå ett problem visade sig vara att visualisera problemet. Visualisering av problemet kan ske på olika vis. De olika tillvägagångssätten har gemensamt att de är olika metoder för att kunna se problemet framför sig (Krawec & Huang, 2016; Rader, 2009). Det kan exempelvis innebära att måla upp en bild av problemet, göra ett diagram eller en tabell som blir en visuell bild av problemet.

4.2.2 Framgångsfaktorer vid planerande

Steg två innefattar att göra en plan för att finna en lösning av ett matematiskt problem (Pólya, 2014). I den systematiska läsningen identifieras det tre framgångsfaktorer inom detta steg: Dessa faktorer var skrivande, att utgå från en möjlig lösning och att välja en strategi.

Skrivande var en framgångsfaktor som innebär att skriva ner en plan för hur det matematiska problemet planeras att lösas. Det kan medföra att eleven ser om dennes plan kommer att vara relevant till det aktuella problemet eller inte (Petersen, McAuliffe & Vermuelen, 2017). Det går även att skriva en plan som ska följas stegvis under problemlösningsprocessen. Eleven kan då sedan kontrollera att samtliga steg finns med i lösningsarbetet (Krawec & Huang, 2016).

Ytterligare en framgångsfaktor är att utgå från en möjlig lösning (Krawec &

Huang, 2016; Rader, 2009). Eleven kan tänka ut vad den eventuella lösningen av det matematiska problemet möjligen skulle kunna vara. Utifrån den möjliga lösningen kan eleven välja en lämplig strategi för att finna en lösning.

(18)

Den sistnämnda framgångsfaktorn för detta steg är val av strategi (Vula, Avdyli, Berisha, Saqipi & Elezi, 2017; Rader, 2009). Eleven kan innan hen börjar bearbeta det matematiska problemet fundera över vilka strategier som går att använda för att finna en lösning. Strategierna ska vara noga utvalda.

Eleven ska reflektera över varför just dessa strategier är lämpliga i lösningen för det aktuella matematiska problemet.

4.2.3 Framgångsfaktorer vid genomförande

Föregående steg var att skapa en plan, detta steg i processen är att genomföra planen vilket kräver mycket tålamod (Pólya, 2014). Det har framkommit fyra olika tillvägagångssätt för hur detta steg kan bearbetas. De fyra tillvägagångssätten är att utgå från en nedskriven plan, använda olika representationer, arbeta i grupp och testa strategier.

Den första framgångsfaktorn är att utgå från den nedskrivna planen. För att komma fram till lösningen av det matematiska problemet ska planen som gjordes i steg två följas när lösningsarbetet påbörjas (Krawec & Huang, 2016;

Petersen, McAuliffe & Vermuelen, 2017).

Att använda olika representationer är även en framgångsfaktor. Det innebär att arbeta med den valda strategin på olika sätt i lösningsarbetet (Petersen, McAuliffe & Vermuelen, 2017; Haltiwanger & Simpson, 2013; Whitin &

Whitin, 2008; Burton, 2010; Bruun, 2013). Det kan innebära att använda sig av tabeller, rita bilder till problemet eller att skriva ned sina tankar i lösningsarbetet.

Arbete i grupp är en framgångsfaktor då det möjliggör samarbete elever emellan (Zambo & Zambo, 2011). Under samarbetet får elever möjlighet att dela med sig av olika erfarenheter samt diskutera och resonera med varandra.

Den sista framgångsfaktorn är att testa strategier (Bruun, 2013). För att komma fram till lösningen av ett matematiskt problem går det att testa olika strategier för att se vilka som är lämpliga. Det går att prova den strategi som är uttänkt.

Det går att påbörja lösningen av det matematiska problemet baklänges, leta efter mönster i problemet, arbeta fram en tabell, försöka att arbeta med enklare problem av liknande karaktär och hitta lösningar för dessa (Bruun, 2013). Det går också att testa att beräkna med en strategi för att se om den är användbar i lösningsarbetet (Vula, Avdyli, Berisha, Saqipi, 2017 och Elezi & Rader, 2009). Ett annat sätt för att testa olika strategier är att försöka lösa ett problem som baseras på ett matematiskt innehåll vilket eleven inte är bekant med (Kapur, 2015). Det kräver att eleven använder sina tidigare erfarenheter för att försöka komma fram till en lösning. Det är troligt att eleven inte kommer att komma fram till en lösning av det matematiska problemet men eventuellt kommer en bit på vägen i lösningsarbetet, detta kallas för productive failure.

(19)

4.2.4 Framgångsfaktorer vid utvärdering

Det sista steget i fyrastegsprocessen innebär att utvärdera lösningsarbetet (Shirali, 2014). Inom ramen för det sista steget framkom fyra framgångsfaktorer för utvärdering av problemlösningsprocessen: skriftlig reflektion, reflektion med hjälp av frågor, verbal diskussion och reflektion utifrån valda utgångspunkter.

Den skriftliga reflektionen över lösningsprocessen kan innebära en möjlighet att utvärdera de strategier som använts i lösningsarbetet (Martin, 2015;

Petersen, McAuliffe & Vermuelen, 2017). Skriftlig reflektion kan även vara användbart för att upptäcka eventuella brister i lösningsprocessen eller i lösningen. Skrivandet kan också bidra till en reflektion över om strategierna har varit användbara för det specifika problemet och om den lösning som lösningsprocessen har härlett till kan vara rimlig.

Ännu en framgångfaktor som uppdagades i studien är att den avlutande reflektionen över lösningsprocessen kan ske med hjälp av frågor (Zambo &

Zambo, 2011). Om en lärare ger elever frågor att reflektera utifrån får de en utgångspunkt att se tillbaka på de olika delarna av lösningsprocessen. Denna tillbakablick kan hjälpa dem att reflektera över och utvärdera sin lösningsprocess.

Ytterligare en framgångsfaktor i reflektionen av lösningsprocessen är att diskutera val av lösningsstrategier med andra (Zambo & Zambo, 2011;

Petersen, McAuliffe & Vermuelen, 2017). Genom att elever delger varandra hur de med hjälp av en strategi har löst ett problem kan elever genom andra elevers redogörelser komma till insikt med hur de hade kunnat utveckla sin egen lösningsstrategi. Genom att lyssna på andras beskrivningar av deras lösningsprocesser och vilka lösningar som de härlett till får elever också en möjlighet att reflektera över om lösningen kan vara rimlig. De får också tillfälle att reflektera över om det möjligen finns någon mer effektiv strategi som hade kunnat användas i den specifika kontexten.

Den sista framgångsfaktorn i elevers utvärdering av lösningsprocessen visade sig vara att reflektera utifrån givna utgångspunkter. Det finns olika aspekter som elever kan reflektera över processen utifrån. En aspekt är rimlighetsaspekten, vilken innebär att elever reflekterar över om lösningen upplevs vara rimlig i relation till problembeskrivningen (Vula, Avdyli, Berisha, Saqipi & Elezi, 2017). En annan aspekt är val av strategi (Rader, 2009; Vula, Avdyli, Berisha, Saqipi & Elezi, 2017). Elever ska i det fallet reflektera över om den valda strategin var den mest lämpade i förhållande till problemets karaktär eller om de nu i efterhand inser att det möjligen finns en mer användbar strategi. Ytterligare en aspekt som det går att reflektera utifrån

(20)

i utvärderingen av processen, är i de fall där det i planeringsfasen inför lösningsarbetet har skrivits ner en plan (Krawec & Huang, 2016). Själva planen blir då en utgångspunkt för reflektion i förhållande till det lösningsarbete som utförts. Det innebär att elever kan kontrollera om deras plan genomfördes eller inte.

4.3 Elevunderlag för implementering

De framgångsfaktorer som beskrivits för varje steg ovan, ligger till grund för skapandet av det elevunderlag som ska implementeras. Framgångsfaktorerna kommer att bidra med konkretisering av Pólyas fyrastegsprocess.

Framgångsfaktorerna inkluderas i elevunderlaget för att ge en djupare inblick i vad vare steg kan innebära. Elevunderlaget är till för att användas av elever när de ska lösa matematiska problem. Underlaget blir som en vägledning, vilken ger eleverna olika handlingsalternativ att välja mellan i processen av att lösa problem. Underlaget består av dels en mall för varje steg i processen som ger eleven olika tillvägagångssätt för varje steg. Se bilder nedan. För full storlek på bilderna se bilaga B.

(21)

Bilden visar fyra olika

handlingsalternativ för steg ett: att skapa förståelse för ett problem.

Handlingsalternativen är baserade på de framgångsfaktorer som framkom för förståelseskapande i den systematiska läsningen.

Bilden visar tre olika

handlingsalternativ för steg två:

planering av lösningsarbetet.

Handlingsalternativen är baserade på framgångsfaktorer inom ramen för planerande av lösningsarbete. Dessa framgångsfaktorer utstuderades vid den systematiska läsningen.

(22)

Bilden visar fyra olika

handlingsalternativ för steg tre:

genomförande av lösningsarbetet.

Handlingsalternativen är baserade på framgångsfaktorerna för genomförande av lösningarbete. Dessa

framgångsfaktorer framkom vid den systematiska läsningen.

Bilden visar fyra olika handlingsalternativ för steg fyra: utvärdering av

lösningsprocessen. Handlingsalternativen är baserade på framgångsfaktorer för utvärderande av lösningsprocesser. Dessa framgångsfaktorer utstuderades under den systematiska läsningen.

(23)

Underlaget består också av en checklista som kan användas av elever när de löser problem. Tanken bakom checklistan är att eleverna ska få en tydlig bild av vilka handlingsalternativ de kan välja för varje steg i deras lösningsprocess.

Checklistan innehar också en ruta för varje alternativ i varje steg som eleven kan välja att använda vid lösningsarbetet. Eleven har då möjlighet att kryssa i de handlingsalternativ som denne väljer för att vid utvärderingen av sin process kunna se tillbaka på vilka val hen gjorde under processens gång. Se bild nedan. För full storlek på bilden, se bilaga C.

Underlaget innehar också ett exempelmaterial som tydliggör, i förankring till ett problem, hur handlingsalternativen i mallen hade kunnat användas av elever i deras lösningsprocess, se bilaga D. Detta exempelmaterial utgår från ett exempelproblem. Observera dock att detta problem nödvändigtvis inte är att problem för alla individer. Lärare behöver givetvis skapa problem utifrån dennes egen elevgrupps förutsättningar och kunskaper.

Bilden visar checklistan med samtliga handlingsalternativ för varje steg.

(24)

5 Resultat - Design för implementering

I detta kapitel presenteras en design för implementering av elevunderlaget.

Designen är skapad för att lärare vid implementerandet ska kunna utgå från Smith och Steins fem undervisningspraktiker. Inledningsvis presenteras designen som kan tillämpas av lärare vid införande av elevunderlaget i undervisningen. Därefter beskrivs hur designen är skapad utifrån de fem undervisningspraktikerna. I detta avsnitt besvarar vi frågeställning två: ”Hur kan en konkretisering av Pólyas fyrastegsprocess implementeras i undervisning för att den ska vara möjlig för elever att följa i sitt angripande av matematiska problem?”.

Nedan presenteras en design för hur elevunderlaget kan implementeras i undervisning. Designen innebär att implementeringsarbetet sker under fyra undervisningstillfällen. Vid varje undervisningstillfälle presenteras och implementeras ett av stegen i elevunderlaget. Stegen i elevunderlaget utgår från Pólyas fyra steg för lösning av matematiska problem: förståelseskapande, skapande av en plan, genomförande och utvärdering. Det är samma matematiska problem som ska bearbetas under samtliga undervisningstillfällen. Varje undervisningstillfälle har samma genomförandeföljd som består av fem moment: A. Genomgång, B. Ingående introduktion av det specifika steget, C. Praktiskt arbete med det specifika steget, D. Elevpresentationer av det specifika steget, och till sist, E.

Reflekterande samtal om de olika handlingsalternativen i det specifika steget.

5.1 Undervisningstillfälle 1: Förståelseskapande

A. Genomgång

• Klargör mål för eleverna: Innan introduktionen av mallen klargör du som lärare vilka mål eleverna strävar mot att uppnå under de fyra undervisningstillfällen. Målet eller målen varierar beroende på syftet med undervisningstillfällena.

• Presentera problemet för eleverna: Läs upp och introducera det matematiska problemet för eleverna som är noga utvalt efter anpassning för elevgruppens kunskaper, erfarenheter samt utefter ditt syfte.

• Övergripande beskrivning av de fyra stegen: Berätta för eleverna att arbetssättet som ni kommer arbeta med för att lösa problemet innehar fyra steg och att ni kommer gå igenom ett steg i taget.

B. Ingående introduktion av steg 1: förståelseskapande

Beskriv de fyra handlingsalternativen för att förstå ett problem som elevunderlaget erbjuder. De fyra alternativen är att upprepa problemet med

(25)

egna ord, dela upp problemet i delproblem, visualisera på problemet samt svara på frågor om problemet.

C. Praktiskt arbete med steg 1

Dela in eleverna i grupper på två till tre elever i varje grupp. Tilldela varje grupp ett handlingsalternativ för att förstå ett problem. Var uppmärksam på att varje alternativ blir tilldelat minst en grupp. Låt sedan grupperna utföra steg 1 med hjälp av det handlingsalternativ som de blivit tilldelade. Observera varje grupps arbete.

D. Elevpresentationer av steg 1

Läraren väljer ut elever som i sina tilldelade grupper får redovisa det handlingsalternativ för förståelseskapande som de blivit tilldelade. Minst en grupp för varje handlingsalternativ bör väljas ut för redovisning. Läraren väljer i vilken ordning grupperna redovisar i förhållande till vad som är mest lämpligt utifrån det problem som eleverna löst.

E. Reflekterande samtal om de olika handlingsalternativen i steg 1

När elevgrupperna har redovisat sina handlingsalternativ inleds ett reflekterande samtal om alternativen. Läraren kan då ställa följande frågor:

• Vilket/ vilka handlingsalternativ för steg 1 tyckte eleverna var mest användbart i relation till problemet?

• Vad finns det för likheter och skillnader i deras användning av de olika alternativen för steg 1?

5.2 Undervisningstillfälle 2: Skapande av en plan

A. Genomgång

• Repetition: Repetera det matematiska problemet, vilket alltså ska vara detsamma som vid det tidigare undervisningstillfället. För sedan ett samtal om vad som gjordes vid det tidigare undervisningstillfället när elevunderlaget för förståelseskapande introducerades (kort repetition av de olika handlingsalternativen som fanns för steg 1).

B. Ingående introduktion av steg 2

Beskriv de tre handlingsalternativen eleverna kan använda när de ska planera för sitt lösningsarbete av problemet. De tre handlingsalternativ är att skriva en stegvis plan, utgå från en möjlig lösning och välja en strategi.

C. Praktiskt arbete med steg 2

Dela in eleverna i grupper på två till tre elever i varje grupp. Tilldela varje grupp ett handlingsalternativ för planerande av lösningsarbetet av problemet.

Var uppmärksam på att varje alternativ blir tilldelat minst en grupp. Låt sedan

(26)

grupperna utföra steg 2 med hjälp av det handlingsalternativ som de blivit tilldelade. Observera varje grupps arbete.

D. Elevpresentation av steg 2

Läraren väljer ut elever som i sina tilldelade grupper får redovisa det handlingsalternativ för planerande av lösningsarbete som de blivit tilldelade.

Minst en grupp för varje handlingsalternativ bör väljas ut för redovisning.

Läraren väljer i vilken ordning grupperna redovisar i förhållande till vad som är mest lämpligt utifrån det problem som eleverna löst.

E. Reflekterande samtal om de olika handlingsalternativen i steg 2

5.3 Undervisningstillfälle 3: Genomförande

A. Genomgång

• Repetition: Repetera det matematiska problemet, vilket alltså ska vara detsamma som vid tidigare undervisningstillfällen. För sedan ett samtal om vad som gjordes vid det tidigare undervisningstillfället när elevunderlaget för att skapa en plan introducerades (kort repetition av de olika handlingsalternativen som fanns för steg 2).

B. Ingående introduktion av steg 3

Beskriv de fyra handlingsalternativen eleverna kan använda när de ska genomföra sin plan. De fyra handlingsalternativ är att följa den nedskrivna planen, använda olika representationer (exempel rita, konkret material, matematiskt språk), arbeta i grupp och testa olika strategier (exempel arbeta med ett enklare problem eller laborativt material).

C. Praktiskt arbete med steg 3

Dela in eleverna i grupper på två till tre elever i varje grupp. Tilldela varje grupp ett handlingsalternativ för genomförande av lösningsarbetet av problemet. Var uppmärksam på att varje alternativ blir tilldelat minst en grupp.

Låt sedan grupperna utföra steg 3 med hjälp av det handlingsalternativ som de blivit tilldelade. Observera varje grupps arbete.

(27)

D. Elevpresentation av steg 3

Läraren väljer ut elever som i sina tilldelade grupper får redovisa det handlingsalternativ för genomförandet av lösningsarbete som de blivit tilldelade. Minst en grupp för varje handlingsalternativ bör väljas ut för redovisning. Läraren väljer i vilken ordning grupperna redovisar i förhållande till vad som är mest lämpligt utifrån det problem som eleverna löst.

E. Reflekterande samtal om de olika handlingsalternativen i steg 3

5.4 Undervisningstillfälle 4: Utvärdering

A. Genomgång

• Repetition: Repetera det matematiska problemet, vilket alltså ska vara detsamma som tidigare undervisningstillfällen. För sedan ett samtal om vad som gjordes undervisningstillfället innan, när elevunderlaget för genomförande av lösningsarbete introducerades (kort repetition av de olika handlingsalternativen som fanns för steg 3).

B. Ingående introduktion av steg 4: utvärdering

Beskriv de fyra handlingsalternativen för utvärdering av lösningsarbetet som elevunderlaget erbjuder. De fyra alternativen är skriftlig utvärdering, utvärdering utifrån givna frågor, utvärdering utifrån givna utgångspunkter samt utvärdering genom samtal och presentation.

C. Praktiskt arbete med steg 4

Dela in eleverna i grupper på två till tre elever i varje grupp. Tilldela varje grupp ett handlingsalternativ för utvärdering av lösningsarbetet av problemet.

Var uppmärksam på att varje alternativ blir tilldelat minst en grupp. Låt sedan grupperna utföra steg 4 med hjälp av det handlingsalternativ som de blivit tilldelade. Observera varje grupps arbete.

D. Elevpresentationer av steg 4

Läraren väljer ut elever som i sina tilldelade grupper får redovisa det handlingsalternativ för utvärdering av lösningsarbete som de blivit tilldelade.

Minst en grupp för varje handlingsalternativ bör väljas ut för redovisning.

Läraren väljer i vilken ordning grupperna redovisar i förhållande till vad som är mest lämpligt utifrån det problem som eleverna löst.

(28)

E. Reflekterande samtal om de olika handlingsalternativen i steg 4

5.5 Centralt i modellen

Designen är genomgående i dess olika delar baserade på Smith och Steins undervisningspraktiker. I detta avsnitt beskriver vi hur vår tolkning av varje praktik har påverkat utformningen av designen.

5.5.1 Förutse

I undervisningsdesignen för undervisningstillfälle 1 använder sig lärare av vår tolkning av praktiken förutse när de presenterar målen med undervisningstillfället, introducerar problemet samt introducerar elevunderlaget. Lärare behöver ha valt målområde och problem med anpassning utefter gruppens nuvarande kunskaper, erfarenheter och behov av utmaning. Därför ger inte designen ett specifikt problem för implementeringen. Lärare måste istället förutse dels vad som utgör ett matematiskt problem för elevgruppen och dels vad som utgör ett lämpligt problem att lösa med hjälp av elevunderlaget för elevgruppen.

5.5.2 Överblicka

Designen som ska användas vid implementerandet av underlaget är utformat så att lärare med enkelhet ska kunna nyttja vår tolkning av praktiken överblicka. Eftersom eleverna gruppvis blir tilldelade handlingsalternativ är läraren medveten om vilken metod som eleverna kommer att arbeta med.

Läraren kan därför överblicka och observera hur eleverna tar sig an och hanterar deras tilldelade handlingsalternativ under elevernas praktiska arbete.

5.5.3 Välja ut

Vid implementerandet av elevunderlaget använder sig lärare av vår tolkning av praktiken välja ut när hen väljer ut vilka elevgrupper som ska få redovisa sitt användande av handlingsalternativen vid samtliga undervisningstillfällen.

Läraren bör välja minst en grupp för varje handlingsalternativ vid varje undervisningstillfälle. Det ger eleverna en möjlighet att upptäcka hur samtliga alternativ kan vara användbara.

(29)

5.5.4 Ordna

Vid implementerandet av elevunderlaget använder sig läraren av vår tolkning av praktiken ordna när hen väljer i vilken ordning elevgrupperna ska redovisa sina handlingsalternativ vid samtliga undervisningstillfällen. Läraren kan avgöra i vilken ordning presentationerna lämpar sig utefter vad som är lämpligt för just det problem som eleverna har arbetat med. Genom att välja en given ordning för presentationerna kan läraren synliggöra och poängtera olika samband, likheter och skillnader mellan elevernas olika användande av alternativen.

5.5.5 Koppla ihop

Vår tolkning av undervisningspraktiken koppla ihop används i implementerandet under det reflekterande samtalet om de olika handlingsalternativen, vid varje undervisningstillfälle. Läraren kan då ställa frågor till eleverna som hjälper dem att reflektera över handlingsalternativen.

Eleverna kan reflektera över vilka likheter och skillnader som finns i de olika handlingsalternativen och eventuellt se samband och om alternativen bygger på varandra. Eleverna kan även samtala om vilket handlingsalternativ som de anser mest lämpade för att lösa det aktuella matematiska problemet.

(30)

6 Diskussion

I detta kapitel problematiseras olika delar av studien ur olika aspekter.

Inledningsvis diskuteras studiens resultat. Därefter diskuteras den implementeringsstruktur som presenteras i denna studie. Sedan diskuteras studiens metodologi. Slutligen presenteras en beskrivning av hur resultatet hade kunnat tillämpas i praktisk verksamhet och vilka nya forskningsidéer som resultatet har härlett till.

6.1 Resultatdiskussion

Intresset bakom denna studie var att vi ville finna ett sätt som möjliggjorde användning av Pólyas fyrastegsprocess för bearbetning av matematiska problem i undervisning. Att göra ett verklighetsförankrat utvecklingsarbete.

Studien har resulterat i två delar som tillsammans skapar en helhet som bidrar till möjliggörandet av användning av fyrastegsprocessen. Dessa två delar är dels ett elevunderlag och dels en implementeringsstruktur.

Elevunderlaget utgör en konkretisering av fyrastegsprocessen genom att det inkluderar olika handlingsalternativ för varje steg. Handlingsalternativen är baserade på framgångsfaktorer för varje steg i processen. Dessa handlingsalternativ generar genom läsning av tidigare forskning. Behovet av konkretisering likt de som handlingsalternativen medför, uppenbarade sig för oss under vår verksamhetsförlagda utbildning. Vi fick då erfara hur matematiska strukturer, likt fyrastegsprocessen, kan upplevas avancerad och abstrakt för våra elever. Pólyas fyrastegsprocess är en användbar struktur för lösande av matematiska problem, trots det befarar vi att många elever kan uppleva den som för abstrakt. Elevunderlaget är utformat med syftet att det ska bidra med en konkretisering som förenklar och gör fyrastegsprocessen mer elevnära. Resultatet av denna studie kan bidra med att elever, genom vår undervisning, får en mer djupgående förståelse för vad varje steg i processen.

Genom att eleverna blir introducerade för olika alternativ för varje steg, till exempel olika alternativ för att förstå ett problem, breddas deras perspektiv.

Det skulle också kunna göra att de får en förståelse för hur processen kan vara användbar i relation till olika typer av problem. Med hjälp av de olika handlingsalternativen blir det mer konkret vad det kan innebära eller hur de kan göra för att exempelvis förstå ett problem. Det är denna konkretisering som ämnar att göra fyrastegsprocessen användbar. Elevunderlaget inkluderas i undervisningen med hjälp av lärares implementerande.

Den hypotetiska lärandevägen baserades på Smith och Steins fem undervisningspraktiker. De fem praktikerna har legat till grund för oss när vi har skapat designen för hur lärare kan presentera elevunderlaget i undervisning, så kallade design principer. Vid skapandet av designen hade vi i åtanke att den skulle kunna följas stegvis av lärare. Vi har också haft i åtanke

(31)

att implementeringsprocessen inte bör upplevas som hastig av eleverna. Vi har därför valt att varje steg i elevunderlaget ska implementeras var för sig, vilket tydliggörs i designen. Designen innebär en djupgående presentation, praktisk tillämning samt reflektion över varje enskilt steg i elevunderlaget. Likt vi nämnde i inledningen av denna studie beskriver Löfwall att elever vanligen inte grundligt introduceras för Pólyas fyra steg för bearbetning av matematiska problem (2010). Det härleder till att de inte förstår storheten i varje steg.

Genom den stegvisa implementeringen av konkretiseringen av varje steg i fyrastegsprocessen som elevunderlaget erbjuder, är ambitionen att eleverna ska utveckla en djupgående förståelse för vad varje steg kan innebära.

Användningen av stegvisa designen kan ske på samma vis i olika elevgrupper, de omständigheter som implementeringen sker i kan dock skilja sig. Väsentligt är därför, vilket också tydliggörs i designen, att lärare behöver anpassa val av problem och syfte med undervisningstillfällena utefter sin elevgrupp och sina intentioner. Den stegvisa processen som designen innebär blir densamma oavsett anpassningar men exempelvis val av problem vid implementeringstillfället behöver utföras av lärare. Vad som utgör ett matematiskt problem är individuellt (Dahl, 2011). Vi kan därför inte föreslå ett problem som generellt är lämpligt vid implementeringen.

Studiens resultat innefattar alltså ett elevunderlag som hade kunnat möjliggöra elevers användning av en matematisk struktur samt en design för implementerande av elevunderlaget. Elevunderlaget hade möjligen kunnat tillse elevers fördjupade förståelse av fyrastegsprocessen. När eleverna förstår hur processen är användbar ur olika perspektiv och på olika sätt kan de möjligen genom processen bearbeta matematiska problem. Designen beskriver en möjlig metod för hur lärare kan ge elever förutsättningar att bekanta sig med och lära sig att använda elevunderlaget.

6.2 Diskussion om implementeringsstrukturen

Implementeringsstrukturen av elevunderlaget utgår från Smith och Steins fem undervisningspraktiker. Dessa undervisningspraktiker används som ett implementeringsverktyg för att införa elevunderlaget i undervisning.

Undervisningspraktikerna består av: förutse, överblicka, välja ut, ordna och koppla ihop. Vi är medvetna om att det finns andra strukturer som hade kunnat användas för implementering av elevunderlaget i undervisning. Smith och Steins fem undervisningspraktiker valdes ut för att de är utformade för att lärare ska kunna undervisa genom en elevcentrerad undervisning men samtidigt inneha kontroll över innehållet i de matematiska samtal som förs. De syftar också att användas vid specifikt lösandet av problemlösningsuppgifter i matematik. Eftersom elevunderlaget är till för användning vid lösande av matematiska problem lämpar sig implementering genom dessa undervisningspraktiker.

(32)

Implementeringen genom designen som bygger på Smith och Steins fem undervisningspraktiker är en hjälp för lärare vid inarbetning av det nya arbetssättet som elevunderlaget utgör i undervisningen. Det krävs mycket planering från lärarens sida vid implementering av elevunderlaget genom designen som är skapad för att inkludera de fem undervisningspraktikerna.

Förarbetet för läraren behöver utföras ur olika aspekter. Läraren behöver dels fundera över hur eleverna kommer erfara det matematiska problem de ska bearbeta samt hur de kommer erfara elevunderlaget och lösandet av problemet genom elevunderlaget. Detta utgör en tidskrävande och omfattande uppgift.

Genom en strukturerad implementering med hjälp av designen kan möjligen elevunderlaget med tiden bli en del av den ordinarie undervisning och vara användbar i ett vidare perspektiv.

Vi är medvetna om att designen är en produkt av det faktum att de fem undervisningspraktikerna används som en struktur för implementering av elevunderlaget. Designen är också skapad utefter hur vi har tolkat att undervisningspraktikerna kan användas i implementeringssyfte av det specifika elevunderlaget.

6.3 Metoddiskussion

Elevunderlaget är baserat på framgångsfaktorer vid lösande av matematiska problem. Framgångsfaktorerna har framkommit genom systematisk läsning och sortering av läsning genom Pólyas fyrastegsprocess.

Databasen som till största del har använts vid sökningarna efter vetenskapliga publikationer är ERIC. Databasen Springer Link har resulterat i en publikation som finns med i studien. Sökningarna i dessa två databaser har tillsammans resulterat i en mängd relevanta publikationer för att finna framgångsfaktorer i problemlösningsprocessen. Därav har det inte varit aktuellt att använda fler databaser vid sökandet efter vetenskapliga publikationer. Om fler databaser hade inkluderats vid sökandet av publikationer hade möjligen andra publikationer blivit utvalda till denna studie. Om fler publikationer hade inkluderats i studien hade det kunnat resultera i att det hade framkommit andra, eller fler framgångsfaktorer. I databaserna ERIC och Springer Link hade även där andra publikationer kunnat bli aktuella om det inte vore för de avgränsningar som har utförts. Avgränsningarnas olika aspekter såsom tidsintervallen, sökord, och utbildningsnivå härledde till de publikationer som har inkluderats i studien. Hade avgränsningarna följt andra aspekter hade det kunnat resultera i att andra publikationer inkluderades i studien.

Framgångsfaktorerna som uppdagades genom den systematiska läsningen sorterades efter Pólyas problemlösningsprocess på fyra steg: att förstå ett problem, planering av lösningsarbetet, genomföra lösningsarbetet samt att