Re z Im z a E2(a)
Bilden till v¨anster visar den cirkel som omsluter m¨angden E2(a) med medelpunkt i a
2. Bilden till h¨oger illustrerar hur hela m¨angden E2(a) ser ut f¨or ett visst nollst¨alle z = a.
2.6 Tv˚a exempel p˚a polynom av grad tre
I f¨oljande exempel vill jag studera hur derivatans nollst¨allen till ett polynom av grad tre, f¨orh˚aller sig till polynomets nollst¨allen.
Exempel 2.4. Studera polynomet p(z) = (z − 1)(z + i)(z − i). p′(z) kan skrivas p˚a f¨oljande s¨att.
p(z) = (z − 1)(z + i) + (z − 1)(z − i) + (z + i)(z − i) = 3z2− 2z + 1
p′(z) = 0 ⇐⇒ z2−23z+1 3 = 0 z− 1 3 2 −1 9 + 1 3 = 0 z−13 2 = −29 z−13 = ± √ 2 3 i z= 1 3± √ 2 3 i
Derivatan har allts˚a tv˚a nollst¨allen, ett i z = 13+√32i och ett i z = 13−√32i. Kalla dessa nollst¨allen f¨or z1 respektive z2.
Bilden nedan visar geometriskt var derivatans nollst¨allen ligger i f¨orh˚allande till nollst¨allena till polynomet p(z).
z1
z2 i
−i
1
Vilket av nollst¨allena z1 och z2 ska vi d˚a l˚ata tillh¨ora E3(a)?
D˚a a = i (i exemplet ovan) ¨ar det sj¨alvklart att vi v¨aljer z1 d˚a det ligger n¨armast z = i och vi vill ha ett s˚a litet omr˚ade E3(a) som m¨ojligt.
P˚a samma s¨att d˚a a = −i v¨aljer vi att l˚ata z2 tillh¨ora omr˚adet E3(a). D˚a a = 1 f˚ar vi problem med urval om vi v¨aljer ett av nollst¨allena. Jag v¨aljer d¨arf¨or att l˚ata b˚ada tv˚a tillh¨ora E3(a).
L˚at n¨asta exempel visa vad som kan h¨anda med derivatans nollst¨allen n¨ar ett tredjegradspolynom har ett dubbelt nollst¨alle i en punkt.
Exempel 2.5. L˚at p(z) vara ett polynom med ett nollst¨alle i z= a och ett dubbelt nollst¨alle i z= −a.
p(z) = (z − a)(z + a)2 p′(z) = (z + a)2+ 2(z − a)(z + a) = (z + a)(3z − a) p′(z) = 0 ⇔ (z + a)(3z − a) = 0 ⇔ ( z+ a = 0 3z − a = 0 ⇔ ( z1 = −a z2 = a3 Rez Imz a −a
Ett nollst¨alle till derivatan hamnar lite n¨armare z = a ¨an z = −a. Det andra nollst¨allet till derivatan hamnar i dubbelnollst¨allet z = −a, vilket ¨ar markerat med en ring i figuren ovan, till polynomet p(z).
P˚a samma s¨att som i exempel 2.4 m˚aste jag nu v¨alja ett l¨ampligt nollst¨alle till derivatan som ska ing˚a i E3(a). Jag v¨aljer det nollst¨alle till derivatan som ligger n¨armast z= a och l˚ater det tillh¨ora E3(a). I detta fallet blir det
z= a
3. Om det ¨ar omr˚adet E3(−a) jag ¨ar intresserad av s˚a ¨ar det z = −a som ska ing˚a d˚a det ligger n¨armast.
Man kan nu fr˚aga sig hur det omr˚ade jag s¨oker skulle se ut f¨or ett nollst¨alle till ett polynom av grad tre d˚a detta kan ha flera nollst¨allen till derivatan. Omr˚adet skulle betecknas E3(a) f¨or ett nollst¨alle a till ett polynom tillh¨orande en klass som skulle kallas P3(a). Jag ¨ar intresserad av ett omr˚ade kring a d¨ar jag kan finna ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan. En observation jag kan g¨ora redan nu ¨ar att nollst¨allet a m˚aste tillh¨ora omr˚adet E3(a) d˚a det finns ett polynom p(z) = (z − a)3 d¨ar a ¨ar det enda nollst¨allet till derivatan p′(z). F¨or att detta omr˚ade ska bli s˚a litet som m¨ojligt r¨acker det att det inneh˚aller ˚atminstone ett av nollst¨allena till derivatan av varje polynom med ett nollst¨alle i z = a. Det ¨ar d˚a l¨ampligt att l˚ata det nollst¨alle som i n˚agon mening ligger s˚a ”n¨ara” a som m¨ojligt vara med. Jag ˚aterkommer till detta i n¨asta kapitel.
3 Inledande resultat kring polynom av grad n
D˚a vi har att g¨ora med polynom av grad tv˚a, med ett nollst¨alle p˚a randen till enhetscirkeln och det andra godtyckligt valt i enhetsskivan, s˚a f¨orvissar man sig l¨att om att omr˚adet E2(a) ¨ar lika med denna cirkelskiva som tangerar en-hetscirkeln i z = a. F¨or polynom tillh¨orande P2(a) g¨aller alltid att E2(a) = z :z−a2 ≤ 12 . F¨or polynom av h¨ogre grad ¨an tv˚a ¨ar omr˚adet som in-neh˚aller ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan lika med z :
z−a 2
≤ 12 om och endast om |a| = 1 dvs om nollst¨allet a ligger p˚a randen till en-hetscirkeln [7,s.648]. Medelpunkten i detta omr˚ade ¨ar z = a2. D˚a detta g¨aller f¨or polynom av alla gradtal v¨aljer jag h¨adanefter att ta med det eller de nollst¨allen till derivatan som ligger n¨armast punkten z = a
2, i det s¨okta omr˚adet.
Definition 3.1. De polynom av grad n≥ 2 med alla nollst¨allen i enhetsski-van, varav ett ¨ar a, bildar en klass av polynom som jag betecknar Pn(a).
Pn(a) = ( p(z) : p(z) = (z − a) n−1 Y k=1 (z − zk), |zk| ≤ 1, 1 ≤ k ≤ n − 1 )
Definition 3.2. L˚at En(a) beteckna det omr˚ade som utg¨ors av alla punkter z0, s˚adana att p′(z0) = 0 f¨or n˚agot p(z) i Pn(a) och z0 ¨ar det nollst¨alle eller ett av de nollst¨allen som ligger n¨armast punkten z= a2.
En(a) =nz0 : p′(z0) = 0, z0−a2 = minw n w−a2 :p′(w) = 0o, p∈ Pn(a)o S˚a h¨ar l˚angt har vi sett att omr˚adet kring ett nollst¨alle till ett polynom p(z) som inneh˚aller ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan inte beh¨over vara s˚a stort som en cirkelskiva med radien en l¨angdenhet. M˚alet med arbetet ¨
ar att geometriskt och matematiskt beskriva omr˚adena E2(a), E3(a) och En(a) s˚a exakt som m¨ojligt. F¨or n˚agra speciella nollst¨allen a kan omr˚adena identifieras fullst¨andigt. Jag kommer att utg˚a fr˚an exempel d¨ar jag tar fram nollst¨allena och derivatans nollst¨allen till n˚agra utvalda polynom. Jag kom-mer ¨aven att beh¨ova anv¨anda mig av kom-mer teori och generella egenskaper hos nollst¨allen till polynom och dess derivatas nollst¨allen i enhetsskivan.
Sats 3.3. F¨or varje n≥ 2 och varje a med |a| ≤ 1, g¨aller att
a∈ En(a)
Bevis. Vi kan skapa ett polynom p(z) = (z−a)ntillh¨orande Pn(a). Derivatan kan d˚a skrivas p′(z) = n(z − a)n−1
p′(z) = 0 ⇔ n(z − a)n−1= 0 ⇔ z = a
Allts˚a: z = a ¨ar det enda nollst¨allet till derivatan p′(z) och d¨armed a ∈ En(a)
Sats 3.4. F¨or varje n≥ 2 och varje a med |a| ≤ 1, g¨aller att
0 ∈ En(a)
Bevis. Vi kan skapa ett polynom p(z) = zn− an d¨ar varje nollst¨alle z till p(z) uppfyller
zn= an⇒ |zn| = |an| ⇒ |z| = |a| ≤ 1 Vilket visar att p(z) ∈ Pn(a).
Bilden nedan visar hur nollst¨allena till exempelvis polynomet p(z) = z8− a8 ligger j¨amnt f¨ordelade l¨angs en cirkel med medelpunkt i z = 0 och radien |a| l¨angdenheter.
Re z Im z
1 a
Derivatan p′(z) kan skrivas p˚a f¨oljande s¨att
p′(z) = nzn−1
p′(z) = 0 ⇔ nzn−1 = 0 ⇔ z = 0
Allts˚a: z = 0 ¨ar ett nollst¨alle till derivatan p′(z) och d¨armed vet jag att 0 ∈ En(a).
I kommande avsnitt kommer jag att diskutera resultat och observationer utifr˚an det jag nu vet om omr˚adet En(a). D˚a jag ¨ar ute efter omr˚adet En(a) d¨ar varje punkt tillh¨orande En(a) motsvarar ett nollst¨alle till derivatan till n˚agot polynom med ett nollst¨alle i z = a, b¨orjar jag med att titta p˚a n˚agra punkter som m˚aste tillh¨ora omr˚adet.
3.1 Str¨ackor som ing˚ar i En(a)
Studera ˚aterigen polynomet
p(z) = zn− an
Detta polynom har ett nollst¨alle i z = a. p′(z) har ett enda nollst¨alle i z = 0. Polynomet p(z) har sina nollst¨allen j¨amnt f¨ordelade p˚a en cirkel med radien
Om vi krymper denna cirkel in mot z = a f˚ar vi en cirkel som tangerar den ursprungliga fr˚an insidan i z = a. Medelpunkten m i denna mindre cirkeln ¨ar d˚a nollst¨allet till derivatan till det ”krympta” polynomet. Detta illustreras i bilden nedan.
a
0 a
m
Bilderna nedan illustrerar hur jag genom skalning av cirklar kan f˚a vilken punkt som helst p˚a str¨ackan [0, a] att vara det enda nollst¨allet till derivatan till n˚agot polynom p(z), dvs en medelpunkt m, till vilken cirkel som helst i de tv˚a bilderna till h¨oger, ¨ar ett nollst¨alle till derivatan till n˚agot polynom p(z).
a a
m
a m
Detta ger att hela str¨ackan [0, a] m˚aste tillh¨ora omr˚adet En(a) d˚a 0 ≤ a ≤ 1.
Allts˚a
(
a∈ En(a)
0 ∈ En(a) =⇒ [0, a] ⊂ En(a), 0 ≤ a ≤ 1
Om jag l˚ater a ligga en bit in i enhetsskivan s˚a kan jag f˚a med lite till ut¨over str¨ackan [0, a] i En(a).
L˚at f¨or enkelhetens skull a ligga p˚a den reella axeln.
Jag kan bilda cirklar som g˚ar genom z = a och som tangerar enhetscirkeln i z = −1 och z = 1, se bild nedan. En s˚adan cirkel kommer att ha sin medelpunkt utanf¨or str¨ackan [0, a]. D˚a jag kan skapa ett polynom med nollst¨allen j¨amnt f¨ordelade p˚a en cirkel s˚a m˚aste denna cirkelns medelpunkt vara det enda nollst¨allet till derivatan till n˚agot polynom med ett nollst¨alle i z = a. Den v¨anstra figuren nedan visar cirklar som g˚ar genom punkten z= a och som tangerar enhetscirkeln i z = −1 och z = 1.
Re z Im z
a a
Dessa cirklars medelpunkter ligger d˚a i z = a−1
2 respektive z = a+12 . D˚a jag kan krympa dessa cirklar in mot z = a s˚a vet jag att varje punkt p˚a str¨ackan a−1
2 ,a+12 motsvaras av ett nollst¨alle till derivatan till n˚agot polynom med ett nollst¨alle i z = a. Den h¨ogra bilden ovan visar str¨ackan a−1
2 ,a+12 med ett gr¨ovre streck.
Jag kan nu formulera f¨oljande sats. Sats 3.5. F¨or 0 ≤ a ≤ 1 g¨aller att
a − 1,a+ 1
Notera att mittpunkten p˚a str¨ackan a−1
2 ,a+12 ¨ar just z = a 2.
N¨ar jag l˚ater a vara ett godtyckligt komplext tal i enhetsskivan kan str¨ackan som ing˚ar i En(a) se ut som i f¨oljande figur.
Re z Im z
4 Teoribakgrund
Vad kan man s¨aga om l¨aget av derivatans nollst¨allen d˚a polynomets nollst¨allen ¨
ar k¨anda?
4.1 Konvexitet
I detta avsnitt ska jag visa att om polynomets nollst¨allen ligger i enhetsski-van s˚a ligger ¨aven derivatans nollst¨allen i enhetsskivan. Jag kommer vidare att unders¨oka vilka geometriska egenskaper En(a) har.
Definition 4.1 (Konvexitet). [6,s.129]
En m¨angd M i ett line¨art rum, ¨ar konvex om det f¨or varje par av punkter i m¨angden g¨aller att str¨ackan som sammanbinder detta par ocks˚a tillh¨or m¨angden.
Definition 4.2 (Konvext h¨olje). [6,s.130]
L˚at M vara en m¨angd. Snittet av alla konvexa m¨angder som inneh˚aller M utg¨or det konvexa h¨oljet till M .
Det ¨ar sj¨alvklart att omr˚adet E2(a) b˚ade ¨ar stj¨arnkonvext med avseende p˚a aoch konvext d˚a det ¨ar en cirkelskiva.
Om jag har ett polynom av grad n, ligger d˚a nollst¨allena till dess derivata i det konvexa h¨oljet till polynomets nollst¨allen?
Jag vill nu formulera en sats och f¨or att kunna redog¨ora f¨or den beh¨over jag anv¨anda mig av f¨oljande lemma.
Lemma 4.3 (Den logaritmiska derivatan). Givet n stycken punkter i
planet betecknade a1, a2, . . . an. Till dessa punkter finns ett polynom
p(z) =
n
Y
k=1
(z − ak)
med punkterna som nollst¨allen. z 6= ak, k = 1, 2, ...n. D˚a g¨aller f¨oljande p˚ast˚aende. p′(z) p(z) = n X 1 z− a (1)
Bevis. n= 1 : p(z) = (z − a1) ⇒ p′(z) = 1 VL= pp(z)′(z) = z−a1
1 =HL Induktionsantagande: Antag att ekvation (1) ¨ar sann f¨or n = m dvs att D(Qm k=1(z − ak)) Qm k=1(z − ak) = m X k=1 1 z− ak
Jag vill nu visa att ekvation (1) d˚a ¨aven ¨ar sann f¨or n = m + 1 dvs att D(Qm+1 k=1 (z − ak)) Qm+1 k=1 (z − ak) = m+1 X k=1 1 z− ak D(Qm+1 k=1(z−ak)) Qm+1 k=1(z−ak) = D((z−am+1)Qm k=1(z−ak)) (z−am+1)Qm k=1(z−ak) = (z−am+1)D(Qm k=1(z−ak))+Qm k=1(z−ak)) (z−am+1)Qm k=1(z−ak) = Qm k=1(z−ak) (z−am+1)Qm k=1(z−ak) +(z−am+1)D(Qm k=1(z−ak)) (z−am+1)Qm k=1(z−ak) = z−a1m+1 +Pm k=1z−a1k =Pm+1 k=1 z−a1 k
Detta tillsammans med induktionsaxiomet bevisar lemmat.
Jag ska nu redog¨ora f¨or svaret p˚a fr˚agan om nollst¨allena till p′(z) ligger i det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till polynomet p(z). F¨or att g¨ora det beh¨over jag f¨oljande sats.
Sats 4.4. Det konvexa h¨oljet till en ¨andlig m¨angd punkter i planet, bildar en polygon.
Bilderna nedan illustrerar satsen. En ¨andlig m¨angd punkter i planet be-gr¨ansas av r¨ata linjer som bildar en polygon.
En konvex polygon kan ses som sk¨arningar mellan ¨andligt m˚anga halvplan, d¨ar varje halvplans rand ¨ar den linje som f˚as genom att f¨orl¨anga en sida i polygonen.
Fr˚an varje ¨andlig m¨angd punkter i planet kan man bilda en polygon. Detta g¨ors p˚a f¨oljande s¨att. B¨orja med att dra en r¨at linje s˚adan att alla punkter ligger p˚a samma sida om linjen. L˚at linjen n¨arma sig punkterna tills den g˚ar genom en punkt. Vrid sedan linjen i denna punkt s˚a att den g˚ar genom yt-terligare en punkt. Jag har nu tv˚a punkter p˚a linjen och resterande samlade p˚a samma sida om linjen. Man kan se det som att alla punkter ligger i det halvplan som har min linje som rand. Jag har nu bildat en sida i polygonen. Bilda n¨asta sida genom att vrida linjen ytterligare tills den g˚ar genom tv˚a punkter igen. Alla punkter ligger nu i det halvplan som har denna linje som rand och det ¨ar nu n¨asta sida i polygonen. Forts¨att p˚a samma s¨att att vrida linjen ˚at samma h˚all tills f¨orsta punkten n˚as igen. Bilden i mitten ovan visar hur det kan se ut n¨ar vi har vridit linjen runt hela m¨angden punkter. Bilden l¨angst till h¨oger visar den konvexa polygon vi f˚ar d˚a vi tar snittet av alla halvplan med den r¨ata linjen som rand.
Sats 4.5. [7]
Nollst¨allena till p′(z) ligger i det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till poly-nomet p(z).
Bevis. Sortera nollst¨allena till p(z). L˚at a1, a2, . . . amvara nollst¨allen till p(z) och h¨orn i den polygon P som utg¨ors av det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till p(z). Kalla de eventuellt resterande nollst¨allena till p(z) f¨or
strategi ¨ar nu att translatera polygonen s˚a att ak0 hamnar i origo f¨or att sedan vrida polygonen en vinkel θ s˚a att alla h¨orn i polygonen f˚ar en icke negativ realdel och en sida i polygonen sammanfaller med den imagin¨ara axeln. S¨att den nya variabeln till w. D˚a jag nu flyttat koordinatsystemet s˚a att origo ligger i nollst¨allet ak0 och gjort en vridning en vinkel θ, kan jag beskriva den nya variabeln som w = eiθ(z − ak0). Varje nollst¨alle ak
till p(z) motsvaras nu av ett nollst¨alle bk till ett polynom q(w) i det nya koordinatsystemet, dvs bk= eiθ(ak− ak0). ¨Aven derivatorna p′(z) och q′(w) har motsvarande samband. Kalla den nya polygonen f¨or Q.
Bilderna nedan beskriver f¨orloppet jag t¨anker mig n¨ar jag translaterar och vrider polygonen P och bildar polygonen Q.
Re z Im z P a k0 θ Re w Im w Q b k0
L˚at vidare w0 vara ett godtyckligt nollst¨alle till q′(w). Jag vill nu visa att Re(w0) m˚aste vara ickenegativ. S¨att q(w) = (w − b1)(w − b2) · · · (w − bn) = Qn k=1(w − bk) q(w) =Qn k=1(w − bk) =Qn k=1eiθ(z − ak) = einθp(z)
Enligt Lemma 4.3 s˚a g¨aller att q′(w) q(w) = n X k=1 1 w− bk
Antag att Re(w0) < 0. Jag skriver nu om h¨ogerledet i uttrycket ovan. n X k=1 1 w− bk = n X k=1 w− bk |w − bk|2 Jag tittar nu p˚a realdelen av detta uttryck
Re(q′(w0) q(w0)) = n X k=1 1 |w0− bk|2 · Re(w| {z0− bk}) =Re(w0−bk)(negativt)
Varje term i summan ¨ar negativ eftersom 1
|w0−bk|2 alltid ¨ar positivt och Re(w0− bk) < 0 d˚a jag antagit att Re(w0) < 0. Allts˚a ¨ar Re(q′(w0)
q(w0)) < 0, s˚a
q′(w0)
q(w0) 6= 0 och d¨armed ¨ar q′(w0) 6= 0. Jag har nu visat att Re(w0) < 0 ⇒ q′(w0) 6= 0
och kan nu med hj¨alp av satslogikens kontraposition dra slutsatsen att q′(w0) = 0 ⇒ Re(w0) ≥ 0
w0 m˚aste d¨armed ha en icke negativ realdel. D˚a jag kan vrida och translatera polygonen Q s˚a att varje sida kan sammanfalla med den imagin¨ara axeln och s˚a att hela polygonen hamnar i h¨ogra halvplanet, s˚a m˚aste w0 ligga inuti polygonen eller p˚a dess rand. Dvs w0 som ¨ar ett godtyckligt nollst¨alle till q′(w) ligger i det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till polynomet q(w). Detta inneb¨ar att motsvarande nollst¨alle z0 till p′(z) ligger i polygonen P , dvs i det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till polynomet p(z).
Jag kan nu formulera f¨oljande f¨oljdsatser.
Sats 4.6. Om p(z) har alla nollst¨allen i enhetsskivan s˚a har p′(z) alla nollst¨allen i enhetsskivan.
Bevis. Antag att alla nollst¨allen till p(z) ligger i enhetsskivan. Enligt sats 4.4 bildar det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till p(z), en polygon. Enligt sats 4.5 ligger nollst¨allena till p′(z) i det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till p(z) och d¨armed i polygonen. Denna polygon ¨ar en delm¨angd av enhetsskivan.
Sats 4.7. En(a) ¨ar en delm¨angd av enhetsskivan.
Bevis. D˚a alla nollst¨allen till p(z) ligger i enhetsskivan s˚a ligger, enligt f¨oreg˚aende sats, ¨aven alla nollst¨allen till p′(z) i enhetsskivan. D˚a En(a) utg¨ors av nollst¨allen till p′(z) ¨ar En(a) en delm¨angd av enhetsskivan.
4.2 Fallet d˚a nollst¨allet a till ett polynom p(z) av grad n,