En skarp version av Iliev-Sendovs hypotes

(1)

School of Mathematics and Systems Engineering

Reports from MSI - Rapporter från MSI

En skarp version av Iliev-Sendovs

hypotes

Elin Berggren

(2)

Abstract

The Iliev-Sendovs conjecture consists of the following statement: When p(z) = (z − z1)(z − z2) · · · (z − zn) is a polynomial of degree

n_{≥ 2, whose all zeros are in the unit disc, there is at least one zero} of the derivative p′_{(z) within unit length from each given zero of the}

polynomial p(z). The hypothesis is proven for polynomials of degrees n≤ 8.

The purpose of this essay is to investigate the Iliev-Sendovs con-jecture. Based on a given zero point a in the unit disc, I would like to identify a sufficient and possibly smaller region En(a) than the

circu-lar region within unit length from the zero at a, where each point of En(a) should correspond to a zero of the derivative p′(z). I also want

to search for parts of En(a) for polynomials of degree n ≥ 3.

Already for polynomials of degree two the case is that the ”ideal” area E2(a) is significantly smaller, in particular

E2(a) = z: z− a 2 ≤ 1 2

For polynomials of degree three I have shown that    z: z− a 2 ≤ q 12 − 3 |a|2 6    ⊆ E3(a)

Furthermore, I have shown that En(0) =

z_{: |z| ≤} 1

n−1√_n

When 0 ≤ a < 1, I find that the ellipse described by the equation x₋a 2 2 + 1 1 − a2y 2 = 1 4 and its interior, is a subset of En(a).

(3)

Sammanfattning

Iliev-Sendovs hypotes best˚ar av f¨oljande p˚ast˚aende: D˚a p(z) = (z − z1)(z − z2) · · · (z − zn) ¨ar ett polynom av grad n ≥ 2, vars

al-la nollställen ligger i enhetsskivan, ligger det ˚atminstone ett nollställe till derivatan p′_{(z) inom en längdenhet fr˚}_{an varje nollställe till}

poly-nomet p(z). Hypotesen är bevisad för polynom av gradtal n ≤ 8. Syftet med denna uppsats är att studera Iliev-Sendovs hypotes. Utifr˚an ett givet nollställe a i enhetsskivan vill jag identifiera ett tillräckl-igt och eventuellt mindre omr˚ade En(a) än det som begränsas inom en

längdenhet fr˚an nollstället a, där varje punkt motsvaras av ett nollställe till derivatan p′_{(z). Jag vill ocks˚}_{a söka efter delar av E}

n(a) f¨or polynom

av grad n ≥ 3.

Redan för polynom av grad tv˚a gäller det att det ”optimala” omr˚adet E2(a) är betydligt mindre än det som begränsas av cirkeln med radien

en l¨angdenhet, n¨amligen E2(a) =z :

z₋a 2 ≤ 1 2 .

F¨or polynom av grad tre har jag visat att z: z₋a 2 ≤ √ 12−3|a|2 6 ⊆ E3(a).

För alla polynom jag har studerat har jag börjat med att fixera ett nollställe i origo och har d˚a funnit att

En(0) =

z_{: |z| ≤} 1

n−1√_n

När jag fixerar ett nollställe till ett polynom av grad n i en punkt z = a, där 0 ≤ a < 1, finner jag att ellipsen som beskrivs av ekvationen

x₋a 2 2 + 1 1 − a2y 2 = 1 4 och dess innandöme är en delmängd av En(a).

(4)

Inneh˚

all

1 Inledning 4

1.1 Iliev-Sendovs hypotes . . . 9

2 Andragradspolynom 12 2.1 Tv˚a exempel . . . 12

2.2 Ett godtyckligt andragradspolynom med nollst¨allen i enhetsski-van . . . 13

2.3 Fallet: a = 0, b = reiθ _{(r ≤ 1) . . . 15}

2.4 Fallet: a godtyckligt i enhetsskivan, b = reiθ _{(r ≤ 1) . . . 18}

2.5 Sammanfattning av andragradspolynom . . . 19

2.6 Tv˚a exempel p˚a polynom av grad tre . . . 21

3 _{Inledande resultat kring polynom av grad n} 25 3.1 Str¨ackor som ing˚ar i En(a) . . . 27

4 Teoribakgrund 31 4.1 Konvexitet . . . 31

4.2 Fallet d˚a nollst¨allet a till ett polynom p(z) av grad n, ligger p˚a enhetscirkeln . . . 36

5 Tredjegradspolynom 41 5.1 Kraftk¨allor och j¨amviktspunkter . . . 41

5.2 E₃(0) . . . 43

5.3 E₃(1) . . . 46

(5)

6 _{Polynom av grad n} 54

6.1 E_n(0) . . . 54 6.2 En(a) . . . 56

(6)

1 Inledning

Ett komplext polynom ¨ar ett uttryck som kan skrivas p˚a formen p(z) = a0+ a1z+ a2z2+ . . . + anzn

där a0, a1. . . anär givna komplexa tal. Om z1 är ett nollställe till polynomet

p(z) s˚_{a s¨ager faktorsatsen att (z − z}1) ¨ar en delare till p(z) och enligt

alge-brans fundamentalsats s˚_{a har varje polynom av grad ≥ 1 minst ett nollst¨alle.} [5] Varje polynom p(z) av grad n, kan d¨armed alltid skrivas p˚a formen:

p(z) = an(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn)

där z1, z2. . . zn är nollställen till polynomet. Kan man skapa ett polynom

utifr˚an ett ändligt antal givna punkter i planet? Ja, om man l˚ater punkterna vara nollställen till n˚agot polynom s˚a finns det oändligt m˚anga polynom att välja p˚a. Kan man flytta punkter i planet för att studera dem i ett visst omr˚ade? Ja, man kan alltid förflytta ett system av punkter i planet genom translation, rotation och dilation. Jag kommer att illustrera detta med tre exempel. Jag kommer att förflytta tre punkter i planet varav jag l˚ater tv˚a av dem, z1 och z2, vara nollställen till ett andragradspolynom.

Re z Im z z₁ z₂ z₀ Re w Im w w₁ w₂ w₀ w_{= z − z}₀

Bilden visar hur punkterna z0, z1 och z2har translaterats genom funktionen

(7)

Om man förflyttar nollställena till ett polynom p(z), vad händer d˚a med polynomet och dess derivata p′_(z)?

L˚at oss börja med att studera polynomet med avseende p˚a translation. Exempel 1.1. _Sätt p_{(z) = (z − z}₁_{)(z − z}₂) och förflytta z₁ och z₂ som i bilden ovan. Jag m˚aste d˚a uttrycka z1 och z2 p˚a ett annat sätt d˚a de ej ligger

kvar p˚a sin plats. Kalla z1 och z2 f¨or w1 respektive w2 p˚a sin nya plats. Jag

f˚ar d˚a en ny variabel, kalla den w som beror av z, i ett nytt koordinatsystem.

w _{= (z − z}₀) w₁ = (z1− z0)

w2 = (z2− z0)

Kalla det nya polynomet med nollst¨allen i w1 och w2 , f¨or q(w).

q_{(w) = (w − w}1)(w − w2)

= ((z − z0) − (z1− z0))((z − z0) − (z2− z0))

= (z − z1)(z − z2)

= p(z)

Jag har här förvissat mig om att polynomet q(w) är det samma som poly-nomet p(z) i ett annat koordinatsystem.

I f¨oljande exempel studerar vi ett polynom med avseende p˚a rotation. Exempel 1.2. _S¨_{att z}₁ ₌ 1

4i−14, z0 = 0 och z2 = 14 −14i. Jag vill nu vrida

punkterna z₁ och z₂ kring origo med vinkeln π₄. Avst˚andet mellan punkterna z₁ och z0respektive z2och z0 ¨ar d˚a ₂√1₂ l¨angdenheter och kommer att bevaras

genom vridningen. L˚at z1 och z2 vara nollst¨allen till polynomet p(z) = (z −

z1)(z − z2). z1 och z2 kan nu vridas kring origo genom att jag flyttar dem

till ett nytt koordinatsystem med en ny variabel w. Detta g¨ors med hj¨alp av funktionen w= eiπ₄_z.

w = eiπ₄_z

w1 = ei

π 4_z₁

(8)

Kalla det nya polynomet med nollst¨allen i w1 och w2 f¨or q(w). q_{(w) = (w − w}₁_{)(w − w}₂) = (eiπ4_z− ei π 4_z₁)(ei π 4_z− ei π 4_z₂) = eiπ₂_{(z − z} 1)(z − z2) = eiπ2p(z) Rez Imz z₁ z₂ z₀ Rew Imw w₁ w₀ w₂ −1 1 w= eiπ₄_z

Polynomet q(w) har samma egenskaper som p(z) i ett annat koordinat-system, det vill säga att nollställena till polynomet q(w) förh˚aller sig till varandra p˚a samma sätt som nollställena till p(z) förh˚aller sig till varandra. w1 = −₂√1₂, w0 = 0 och w2 = ₂√1₂. Bilden visar hur funktionen w = ei

π 4_z

¨overf¨or punkterna z1, z0 och z2 fr˚an talplanet med z som variabel, till

punk-terna w₁, w₀ och w₂ i talplanet med w som variabel. Funktionen w= eiπ4z

vrider punkterna en vinkel π₄ s˚a att de hamnar p˚a den reella axeln.

I f¨oljande exempel studerar vi ett polynom med avseende p˚a dilation. Exempel 1.3. _S¨att z₁ _{= −} 1

2√2, z0 = 0 och z2 = 1

2√2. Avst˚andet mellan z1

och z₀ respektive z₂ och z₀ ¨ar 1

2√2 l¨angdenheter. Jag vill nu str¨acka ut detta

avst˚and till en längdenhet genom en dilation. Jag använder mig av variabeln w och polynomet q(w). z1, z0 och z2 sträcks isär med hjälp av funktionen

(9)

Polynomet q(w) i det nya koordinatsystemet kommer att förh˚alla sig till p_{(z) = (z − z}₁_{)(z − z}₂) p˚a följande sätt q_{(w) = (w − w}₁_{)(w − w}₂) = (2√_{2z − 2}√2z1)(2√2z − 2√2z2) = 8(z − z1)(z − z2) = 8p(z) Rez Imz z₁ z₀ z₂ Rew Imw w₁ w₀ w₂ −1 1 w= 2√2z

Nollställena jag förflyttat i föreg˚aende tre exempel kan förflyttas med en enda funktion. Denna funktion ser i detta fall ut p˚a följande sätt

w= 2√2eiπ4(z − z₀)

Det slutliga polynomet q(w), i sista exemplet, förh˚aller sig till det ursprung-liga polynomet p(z), i det första exemplet, p˚a följande sätt

(10)

q_{(w) = (w − w}₁_{)(w − w}₂) = (2√2eiπ4(z − z₀) − 2√2ei π 4(z₁− z₀))((2√2ei π 4(z − z₀) − 2√2ei π 4(z₂− z₀)) = 8eiπ₂_{(z − z} 1)(z − z2) = 8eiπ2p(z)

Allm¨ant kan en sammans¨attning av rotation, translation och dilation skrivas w= reiθ_{(z − z}0)

F¨orh˚allandet mellan q(w) och p(z) kan f¨or andragradspolynom d˚a skrivas q(w) = r2ei2θp(z)

F¨or polynom av gradtal n skrivs detta samband q(w) = rneinθp(z)

Hur f¨orh˚aller sig d˚a q′(w) till p′(z) vid f¨orflyttningen med en funktion w = r_{(z − z}₀)eiθ_?

F¨or att se sambandet mellan derivatorna till andragradspolynomen p(z) = (z − z1)(z − z2) och q(w) = (w − w1)(w − w2), m˚aste jag derivera polynomet

q(w) med avseende p˚a w som i sin tur ¨ar en variabel som beror p˚a z. Jag vet att w = reiθ_{(z − z}

0). q′_{(w) = 2w − w}1− w2 = 2reiθ_{(z − z} 0) − reiθ(z1− z0) − reiθ(z2− z0) = reiθ_{(2z − z} 1− z2) = reiθ_p_′_(z)

(11)

q′(w) = d dwq(w) = d dwr n_einθ_p(z) = d dzr n_einθ_p(z)dz dw = _dzdrneinθp(z)_re1iθ = rn₋₁_ei_(n−1)θ_p_′_(z) D¨ar rn−1_ei(n−1)θ _¨_{ar en konstant.}

Jag är intresserad av att studera sambandet mellan nollställena till ett poly-nom och nollställena till dess derivata. I det här avsnittet har jag visat att funktionen w = reiθ_{(z − z}0) bevarar sambandet mellan polynomets

nollställen och derivatans nollställe. Vidare vet jag att denna funktion in-nebär en sammansättning av translation, rotation och dilation. Det spelar d˚a inte n˚agon roll var i planet jag studerar ett system av punkter eller nollställen d˚a jag alltid kan förflytta det.

1.1 Iliev-Sendovs hypotes

Om vi studerar enhetsskivan kan vi dra slutsatser om andra skivor ocks˚a. Vi kan alltid flytta en skiva till enhetsskivan genom translation och normer-ing av skivan. Vi f˚ar ett samband mellan polynomet i första skivan och polynomet i enhetsskivan. Motsvarande samband finns mellan polynomens derivator. I följande bild visas hur en cirkelskiva med radien r och medelpunkt i z0 överförs p˚a enhetscirkeln genom funktionen w = 1r(z − z0).

(12)

Re z Im z i 1 r z₀ Re w Im w i 1 w= 1_r_{(z − z}0)

Jag arbetar h¨adanefter enbart med polynom vars nollst¨allen ryms i en-hetsskivan.

Om p(z) = (z −z1)(z −z2) · · · (z −zn) ¨ar ett polynom av grad n ≥ 2, vars alla

nollställen ligger i enhetsskivan, gäller det d˚a att det inom en längdenhet till varje nollställe finns ˚atminstone ett nollställe till derivatan p′(z)? Denna hypotes kallas för Iliev-Sendovs hypotes och är bevisad för polynom av grad ≤ 8 [2]. Re z Im z i 1 1 zk

I bilden visas omr˚adet det talas om i hypotesen, som det streckade omr˚adet kring zk.

(13)

cirkel-skiva. Denna cirkelskiva är ett onödigt stort omr˚ade. Alla nollställen till derivatan ligger nämligen i enhetsskivan d˚a nollställena till polynomet lig-ger i enhetsskivan. [7] Jag ˚aterkommer till detta lite längre fram.

(14)

2 Andragradspolynom

2.1 Tv˚a exempel

Betrakta ett polynom av grad tv˚a som har sina nollställen i enhetsskivan. Ta till exempel polynomet p(z) = (z − 1)(z − i) med nollställen i 1 och i. En beskrivning av derivatans nollställe f˚ar jag p˚a följande sätt.

p′_{(z) = (z − i) + (z − 1)} = 2z − 1 − i p′_{(z) = 0 ⇐⇒ 2z − 1 − i = 0 ⇐⇒ z =} 1 2+ i 2

Derivatan har ett nollst¨alle i z = 1₂ +₂i som ¨ar mittpunkten mellan 1 och i.

Re z Im z i 1 z=1 2+12i

I bilden visas mittpunkten z = 1₂ +1₂i, mellan punkterna i och 1.

För att nu ge läsaren n˚agot att jämföra med, betrakta ett polynom av grad tre, till exempel polynomet

q_{(z) = (z − 1)}2(z + 1)

med ett nollställe i −1 och ett dubbelt nollställe i 1. En beskrivning av derivatans nollställen f˚ar jag p˚a samma sätt som tidigare.

q′_{(z) = 2(z − 1)(z + 1) + (z − 1)}2 = (z − 1)(2(z + 1) + (z − 1)) = (z − 1)(3z + 1)

(15)

q′_{(z) = 0 ⇐⇒ (z − 1)(3z + 1) = 0 ⇐⇒ z}₁= 1, z2= −

1 3

Derivatans nollställen ligger p˚a en linje mellan polynomets nollställen, det ena i polynomets dubbelnollställe 1 och det andra i −13.

Re z Im z i 1 −1 Polynomets nollst¨allen. Re z Im z −1 i 1 −1 3 Derivatans nollst¨allen.

2.2 Ett godtyckligt andragradspolynom med nollst¨allen i en-hetsskivan

Ett komplext polynom av grad tv˚a, med ledande koefficient 1, kan skrivas p_{(z) = (z − a)(z − b)}

där a och b är nollställen till polynomet p(z). Polynomets derivata kan beskrivas p˚a följande sätt

p′_{(z) = 2z − a − b} Nollst¨allet z0 till derivatan f˚as genom

p′(z0) = 0 ⇐⇒ z0 =

a+ b 2

Detta betyder att nollst¨allet till derivatan ligger precis p˚a mittpunkten mel-lan a och b. Bilderna nedan visar tre exempel p˚a hur detta kan se ut.

(16)

a b z₀ a b z₀ a b z₀

Samma resultat f˚as med en godtycklig ledande koefficient. Mitt m˚al är att kunna tala om exakt inom vilket omr˚ade, i det komplexa talplanet, det lönar sig att leta efter z0 i om a och b ligger i enhetsskivan och d˚a a eller b är

k¨ant.

Avst˚andet mellan ett nollst¨alle a, till ett polynom av grad tv˚a, och nollst¨allet z0 till derivatan kan beskrivas som

|a − z0| = a₋a+ b 2 = a_{− b} 2 = |a − b| 2 ≤ |a| + |b| 2 ≤ 1 + 1 2 = 1

Avst˚andet mellan a och b kan aldrig vara större än 2 l.e. d˚a a och b ligger i enhetsskivan. Detta medför att avst˚andet mellan a och z0 samt b och z0

aldrig kan vara större än 1 l.e. Man kan här se att Iliev-Sendovs hypotes stämmer för n = 2.

Bilderna nedan visar tre exempel p˚a avst˚anden mellan a, b och z0 d˚a a och

(17)

1 a b z₀ ≤1 a b z₀ ≤1 a b z₀

L˚at följande figur beskriva enhetscirkeln där z0 är mittpunkten p˚a sträckan

[a, b].

I figuren kan man geometriskt f¨orvissa sig om att avst˚andet mellan z0 och

arespektive z0 och b aldrig kan ¨overstiga 1 l.e.

a

b z₀

≤1

2.3 Fallet: a = 0, b = reiθ _{(r ≤ 1)}

L˚at ett nollst¨alle a vara fixt i origo och l˚at nollst¨allet b variera fritt i en-hetsskivan. Jag vill nu identifiera det omr˚ade som inneh˚aller alla z0. Jag vet

(18)

att z0 m˚aste ligga precis p˚a mittpunkten mellan a och b. z0 = a+ b 2 = 0 + reiθ 2 = r 2e iθ

N¨ar b vandrar runt p˚a enhetscirkeln, dvs d˚a r = 1, s˚a m˚aste ¨aven z0 vandra

runt p˚a en rand. Denna rand bildar en cirkel c1 med medelpunkt i origo och

radie 1₂. a b a b c₁

Bilden till vänster visar n˚agra möjliga nollställen till derivatan som är sam-manbundna till en cirkel. Bilden till höger visar cirkeln c1 med medelpunkt

i a och radien 1₂ l.e. Cirkeln c1 utg¨ors av alla nollst¨allen till derivatan d˚a a

ligger i origo och b ligger p˚a enhetscirkeln.

(19)

a b z₀

D˚a b vandrar in mot a längs en rät linje krymper avst˚andet mellan a och b, vilket resulterar i att även avst˚andet mellan a och z0 krymper längs den

räta linjen. Detta sker kontinuerligt och innebär d˚a att hela linjen mellan a och z0 i figuren längst till vänster kommer att tillhöra omr˚adet jag söker.

N¨ar b ligger p˚a randen s˚a ¨ar det ett maximalt avst˚and till z0 fr˚an a eftersom

jag har begränsat mig till enhetsskivan. När b vandrar in i enhetsskivan längs en rät linje dvs när r < 1 s˚a kommer även z0 att vandra in längs samma

r¨ata linje i den skiva som har c1 som rand. L˚ater jag nu denna r¨ata linje

rotera ett helt varv, f˚ar jag med mig hela cirkelskivan med randen c1.

a b c₁

(20)

Detta omr˚ade kan beskrivas som m¨angden av alla z0 s˚adana att p′(z0) = 0, p_{(z) = z(z − b) och |b| ≤ 1.} z0 : p′(z0) = 0, p(z) = z(z − b), |b| ≤ 1 = z_{: |z| ≤} 1 2

2.4 Fallet: a godtyckligt i enhetsskivan, b = reiθ _{(r ≤ 1)}

L˚at nu nollstället a vara fixt i en godtycklig punkt i enhetsskivan. L˚at det andra nollstället b variera i enhetsskivan. Jag vet att om a och b är kända s˚a finner vi derivatans nollställe z0 mha ekvationen

z₀ = a+ b 2

Derivatans nollst¨alle ligger allts˚a mitt p˚a str¨ackan mellan a och b. Bildar alla s˚adana ”mittpunkter” ocks˚a en cirkelskiva?

a b

a

b

a

b

Bilderna ovan illustrerar f¨oljande resonemang.

L˚at z0 vara nollstället till p′(z). Nollstället z0 kan d˚a beskrivas p˚a följande

s¨att. z₀ = a 2 + b 2 = a 2 + reiθ 2 = a 2+ r 2e iθ

(21)

D˚a vi l˚ater b variera i enhetsskivan kommer radien r₂ l.e. att variera mellan 0 och 1₂ l.e. Vi f˚ar d˚a en hel cirkelskiva. Man kan ¨aven se det som att a

2 ¨ar

fixerad medan b

2 varierar i |z| ≤ 12. Dennna m¨angd kan skrivas p˚a f¨oljande

s¨att. z₀ : z0− a 2 ≤ 1 2

Mängden beskriver en cirkelskiva med radien 1₂ l.e. a₂ är en fixerad punkt som bestämmer var cirkelskivan ska ligga. a

2 ¨ar allts˚a medelpunkten i den

sökta cirkelskivan. Svaret p˚a min fr˚aga, om vilken form det sökta omr˚adet har, är allts˚a en cirkelskiva.

2.5 Sammanfattning av andragradspolynom

Ett polynom av grad tv˚a med ledande koefficient ett, kan skrivas p_{(z) = (z − a)(z − b)}

där a och b är nollställen till polynomet. Antag att a och b ligger i enhetsski-van. p(z) har en derivata vars nollställe z0 ligger inom en längdenhet fr˚an

b˚ade a och b vilket visas nedan.

z₀ = a+ b 2 |a − z0| = a_{− b} 2 ≤ |a| + |b| 2 ≤ 1 + 1 2 = 1

Avst˚andet mellan a och z0 ¨ar allts˚a mindre ¨an eller lika med 1 l.e.

Det minsta omr˚ade d¨ar jag kan finna ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan, beskrivs av en cirkelskiva med radie 1₂ l.e. och medelpunkt i z = a₂.

(22)

a

1 2

I figuren visas det minsta omr˚ade för andragradspolynom, där vi kan finna nollstället till derivatan, som den streckade cirkelskivan med medelpunkt i

a

2 och radien 1

2 l.e. vilket ¨aven beskrivs av uttrycket

z₋a₂≤ 1

2.

Jag vill kunna prata om detta omr˚ade som ett omr˚ade där varje punkt motsvaras av derivatans nollställe till n˚agot andragradspolynom med ett nollställe i z = a. Det skulle vara bra med ett samlingsnamn p˚a dessa poly-nom. Jag formulerar därför följande definitioner.

Definition 2.1. De polynom av grad tv˚a, med ledande koefficient 1, med b˚ada nollst¨allena i enhetsskivan varav ett ligger i z = a, bildar en klass av polynom som jag betecknar P2(a).

P₂_{(a) = {p(z)| p(z) = (z − a)(z − b), |b| ≤ 1}}

Definition 2.2. _L˚_{at E}₂_{(a) beteckna det omr˚}_{ade som utg¨}_{ors av alla nollst¨}_allen till derivator p′(z) s˚adana att p_{(z) ∈ P}2(a).

E₂(a) = z₀_{| p}′_(z

0) = 0, p(z) ∈ P2(a)

där tv˚aan st˚ar för polynomets gradtal och a är ett nollställe till p(z). Med hjälp av definitionerna ovan kan jag nu formulera följande sats. Sats 2.3. E₂(a) = z: z− a 2 ≤ 1 2

(23)

Re z Im z a a 2 Re z Im z a E₂(a)

Bilden till v¨anster visar den cirkel som omsluter m¨angden E2(a) med medelpunkt

i a

2. Bilden till höger illustrerar hur hela mängden E2(a) ser ut för ett visst

nollst¨alle z = a.

2.6 Tv˚a exempel p˚a polynom av grad tre

I följande exempel vill jag studera hur derivatans nollställen till ett polynom av grad tre, förh˚aller sig till polynomets nollställen.

Exempel 2.4. _{Studera polynomet p}_{(z) = (z − 1)(z + i)(z − i).} p′(z) kan skrivas p˚a f¨oljande s¨att.

p_{(z) = (z − 1)(z + i) + (z − 1)(z − i) + (z + i)(z − i)} = 3z2_{− 2z + 1}

(24)

p′_{(z) = 0 ⇐⇒ z}2₋2 3z+ 1 3 = 0 z₋ 1 3 2 −1 9 + 1 3 = 0 z₋1 3 2 = −2₉ z₋1 3 = ± √ 2 3 i z= 1 3± √ 2 3 i

Derivatan har allts˚a tv˚a nollställen, ett i z = 1₃+√₃2i och ett i z = 1₃₋√₃2i. Kalla dessa nollställen för z1 respektive z2.

Bilden nedan visar geometriskt var derivatans nollställen ligger i förh˚allande till nollställena till polynomet p(z).

z₁

z₂ i

−i

1

Vilket av nollst¨allena z1 och z2 ska vi d˚a l˚ata tillh¨ora E3(a)?

D˚a a = i (i exemplet ovan) är det självklart att vi väljer z1 d˚a det ligger

n¨armast z = i och vi vill ha ett s˚a litet omr˚ade E3(a) som m¨ojligt.

P˚a samma sätt d˚a a = −i väljer vi att l˚ata z2 tillhöra omr˚adet E3(a).

D˚a a = 1 f˚ar vi problem med urval om vi väljer ett av nollställena. Jag väljer därför att l˚ata b˚ada tv˚a tillhöra E3(a).

(25)

L˚at nästa exempel visa vad som kan hända med derivatans nollställen när ett tredjegradspolynom har ett dubbelt nollställe i en punkt.

Exempel 2.5. _L˚_{at p(z) vara ett polynom med ett nollst¨}_{alle i z}_{= a och ett} dubbelt nollst¨alle i z_{= −a.}

p_{(z) = (z − a)(z + a)}2 p′(z) = (z + a)2_{+ 2(z − a)(z + a)} = (z + a)(3z − a) p′_{(z) = 0 ⇔ (z + a)(3z − a) = 0} ⇔ ( z+ a = 0 3z − a = 0 ⇔ ( z1 = −a z₂ = a₃ Rez Imz a −a

(26)

Ett nollställe till derivatan hamnar lite närmare z = a än z _{= −a. Det} andra nollstället till derivatan hamnar i dubbelnollstället z _{= −a, vilket är} markerat med en ring i figuren ovan, till polynomet p(z).

P˚a samma sätt som i exempel 2.4 m˚aste jag nu välja ett lämpligt nollställe till derivatan som ska ing˚a i E3(a). Jag väljer det nollställe till derivatan

som ligger n¨armast z= a och l˚ater det tillh¨ora E₃(a). I detta fallet blir det

z= a

3. Om det är omr˚adet E3(−a) jag är intresserad av s˚a är det z = −a

som ska ing˚a d˚a det ligger n¨armast.

Man kan nu fr˚aga sig hur det omr˚ade jag söker skulle se ut för ett nollställe till ett polynom av grad tre d˚a detta kan ha flera nollställen till derivatan. Omr˚adet skulle betecknas E3(a) för ett nollställe a till ett polynom tillhörande

en klass som skulle kallas P3(a). Jag ¨ar intresserad av ett omr˚ade kring a

där jag kan finna ˚atminstone ett nollställe till derivatan. En observation jag kan göra redan nu är att nollstället a m˚aste tillhöra omr˚adet E3(a) d˚a det

finns ett polynom p(z) = (z − a)3 _{där a är det enda nollstället till derivatan}

p′(z). För att detta omr˚ade ska bli s˚a litet som möjligt räcker det att det inneh˚aller ˚atminstone ett av nollställena till derivatan av varje polynom med ett nollställe i z = a. Det är d˚a lämpligt att l˚ata det nollställe som i n˚agon mening ligger s˚a ”nära” a som möjligt vara med. Jag ˚aterkommer till detta i nästa kapitel.

(27)

3 Inledande resultat kring polynom av grad n

D˚a vi har att göra med polynom av grad tv˚a, med ett nollställe p˚a randen till enhetscirkeln och det andra godtyckligt valt i enhetsskivan, s˚a förvissar man sig lätt om att omr˚adet E2(a) är lika med denna cirkelskiva som tangerar

en-hetscirkeln i z = a. För polynom tillhörande P2(a) gäller alltid att E2(a) =

z :

z₋a₂≤ 1

2 . För polynom av högre grad än tv˚a är omr˚adet som

in-neh˚aller ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan lika med z :

z₋a₂≤ 1₂ om och endast om |a| = 1 dvs om nollstället a ligger p˚a randen till en-hetscirkeln [7,s.648]. Medelpunkten i detta omr˚ade är z = a₂. D˚a detta gäller för polynom av alla gradtal väljer jag hädanefter att ta med det eller de nollställen till derivatan som ligger närmast punkten z = a

2, i det s¨okta

omr˚adet.

Definition 3.1. _{De polynom av grad n}_{≥ 2 med alla nollst¨allen i} enhetsski-van, varav ett ¨ar a, bildar en klass av polynom som jag betecknar Pn(a).

P_n(a) = ( p_{(z) : p(z) = (z − a)} n−1 Y k=1 (z − zk), |zk| ≤ 1, 1 ≤ k ≤ n − 1 )

Definition 3.2. _L˚_{at E}_n_{(a) beteckna det omr˚}_{ade som utg¨}_{ors av alla punkter} z₀, s˚adana att p′(z0) = 0 för n˚agot p(z) i Pn(a) och z0 är det nollställe eller

ett av de nollst¨allen som ligger n¨armast punkten z= a₂.

En(a) = n z₀ : p′(z0) = 0, z0− a 2 = min_w n w− a 2 :p ′_{(w) = 0}o_{, p}_{∈ P} n(a) o

S˚a här l˚angt har vi sett att omr˚adet kring ett nollställe till ett polynom p(z) som inneh˚aller ˚atminstone ett nollställe till derivatan inte behöver vara s˚a stort som en cirkelskiva med radien en längdenhet. M˚alet med arbetet ¨

ar att geometriskt och matematiskt beskriva omr˚adena E2(a), E3(a) och

En(a) s˚a exakt som möjligt. För n˚agra speciella nollställen a kan omr˚adena

identifieras fullständigt. Jag kommer att utg˚a fr˚an exempel där jag tar fram nollställena och derivatans nollställen till n˚agra utvalda polynom. Jag kom-mer även att behöva använda mig av kom-mer teori och generella egenskaper hos nollställen till polynom och dess derivatas nollställen i enhetsskivan.

(28)

Sats 3.3. _F¨_{or varje n}_{≥ 2 och varje a med |a| ≤ 1, g¨aller att}

a_{∈ E}n(a)

Bevis. _{Vi kan skapa ett polynom p(z) = (z−a)}ntillh¨orande Pn(a). Derivatan

kan d˚a skrivas p′_{(z) = n(z − a)}n−1 p′_{(z) = 0 ⇔ n(z − a)}n−1_{= 0 ⇔ z = a}

Allts˚a: z = a är det enda nollstället till derivatan p′(z) och därmed a ∈ En(a)

Sats 3.4. _F¨_{or varje n}_{≥ 2 och varje a med |a| ≤ 1, g¨aller att}

0 ∈ En(a)

Bevis. Vi kan skapa ett polynom p(z) = zn_{− a}n _{d¨ar varje nollst¨alle z till}

p(z) uppfyller

zn= an_{⇒ |z}n_{| = |a}n_{| ⇒ |z| = |a| ≤ 1} Vilket visar att p(z) ∈ Pn(a).

Bilden nedan visar hur nollställena till exempelvis polynomet p(z) = z8− a8 ligger jämnt fördelade längs en cirkel med medelpunkt i z = 0 och radien |a| längdenheter.

(29)

Re z Im z

1 a

Derivatan p′(z) kan skrivas p˚a f¨oljande s¨att

p′(z) = nzn−1

p′_{(z) = 0 ⇔ nz}n−1 _{= 0 ⇔ z = 0}

Allts˚a: z = 0 är ett nollställe till derivatan p′_{(z) och därmed vet jag att}

0 ∈ En(a).

I kommande avsnitt kommer jag att diskutera resultat och observationer utifr˚an det jag nu vet om omr˚adet En(a). D˚a jag ¨ar ute efter omr˚adet En(a)

där varje punkt tillhörande En(a) motsvarar ett nollställe till derivatan till

n˚agot polynom med ett nollställe i z = a, börjar jag med att titta p˚a n˚agra punkter som m˚aste tillhöra omr˚adet.

3.1 Str¨ackor som ing˚ar i En(a)

Studera ˚aterigen polynomet

p(z) = zn_{− a}n

Detta polynom har ett nollställe i z = a. p′(z) har ett enda nollställe i z = 0. Polynomet p(z) har sina nollställen jämnt fördelade p˚a en cirkel med radien

(30)

Om vi krymper denna cirkel in mot z = a f˚ar vi en cirkel som tangerar den ursprungliga fr˚an insidan i z = a. Medelpunkten m i denna mindre cirkeln ¨ar d˚a nollst¨allet till derivatan till det ”krympta” polynomet. Detta illustreras i bilden nedan.

a

0 a

m

Bilderna nedan illustrerar hur jag genom skalning av cirklar kan f˚a vilken punkt som helst p˚a sträckan [0, a] att vara det enda nollstället till derivatan till n˚agot polynom p(z), dvs en medelpunkt m, till vilken cirkel som helst i de tv˚a bilderna till höger, är ett nollställe till derivatan till n˚agot polynom p(z).

a a

m

a m

Detta ger att hela str¨ackan [0, a] m˚aste tillh¨ora omr˚adet En(a)

(31)

Allts˚a

(

a_{∈ E}n(a)

0 ∈ En(a) =⇒ [0, a] ⊂ E

n(a), 0 ≤ a ≤ 1

Om jag l˚ater a ligga en bit in i enhetsskivan s˚a kan jag f˚a med lite till ut¨over str¨ackan [0, a] i En(a).

L˚at f¨or enkelhetens skull a ligga p˚a den reella axeln.

Jag kan bilda cirklar som g˚ar genom z = a och som tangerar enhetscirkeln i z = −1 och z = 1, se bild nedan. En s˚adan cirkel kommer att ha sin medelpunkt utanför sträckan [0, a]. D˚a jag kan skapa ett polynom med nollställen jämnt fördelade p˚a en cirkel s˚a m˚aste denna cirkelns medelpunkt vara det enda nollstället till derivatan till n˚agot polynom med ett nollställe i z = a. Den vänstra figuren nedan visar cirklar som g˚ar genom punkten z_{= a och som tangerar enhetscirkeln i z = −1 och z = 1.}

Re z Im z

a a

Dessa cirklars medelpunkter ligger d˚a i z = a−1

2 respektive z = a+12 . D˚a jag

kan krympa dessa cirklar in mot z = a s˚a vet jag att varje punkt p˚a str¨ackan _a₋₁

2 ,a+12 motsvaras av ett nollst¨alle till derivatan till n˚agot polynom med

ett nollställe i z = a. Den högra bilden ovan visar sträckan _a₋₁

2 ,a+12 med

ett gr¨ovre streck.

Jag kan nu formulera f¨oljande sats. Sats 3.5. _F¨_or _{0 ≤ a ≤ 1 g¨aller att}

a − 1_,a+ 1

(32)

Notera att mittpunkten p˚a str¨ackan _a₋₁

2 ,a+12 ¨ar just z = a 2.

När jag l˚ater a vara ett godtyckligt komplext tal i enhetsskivan kan sträckan som ing˚ar i En(a) se ut som i följande figur.

Re z Im z

(33)

4 Teoribakgrund

Vad kan man säga om läget av derivatans nollställen d˚a polynomets nollställen ¨

ar k¨anda?

4.1 Konvexitet

I detta avsnitt ska jag visa att om polynomets nollställen ligger i enhetsski-van s˚a ligger även derivatans nollställen i enhetsskivan. Jag kommer vidare att undersöka vilka geometriska egenskaper En(a) har.

Definition 4.1 (Konvexitet). _[6,s.129]

En mängd M i ett lineärt rum, är konvex om det för varje par av punkter i mängden gäller att sträckan som sammanbinder detta par ocks˚a tillhör mängden.

Definition 4.2 (Konvext h¨olje). _[6,s.130]

L˚at M vara en mängd. Snittet av alla konvexa mängder som inneh˚aller M utgör det konvexa höljet till M .

Det är självklart att omr˚adet E2(a) b˚ade är stjärnkonvext med avseende p˚a

aoch konvext d˚a det ¨ar en cirkelskiva.

Om jag har ett polynom av grad n, ligger d˚a nollställena till dess derivata i det konvexa höljet till polynomets nollställen?

Jag vill nu formulera en sats och för att kunna redogöra för den behöver jag använda mig av följande lemma.

Lemma 4.3 (Den logaritmiska derivatan). _{Givet n stycken punkter i}

planet betecknade a1, a2, . . . an. Till dessa punkter finns ett polynom

p(z) =

n

Y

k=1

(z − ak)

med punkterna som nollställen. z _{6= a}k, k = 1, 2, ...n. D˚a gäller följande

p˚ast˚aende. p′(z) p(z) = n X 1 z_{− a} (1)

(34)

Bevis. n_{= 1 : p(z) = (z − a}₁_{) ⇒ p}′(z) = 1 VL= p_p(z)′(z) = _z_−a1

1 =HL

Induktionsantagande: Antag att ekvation (1) ¨ar sann f¨or n = m dvs att D(Qm k=1(z − ak)) Qm k=1(z − ak) = m X k=1 1 z_{− a}k

Jag vill nu visa att ekvation (1) d˚a även är sann för n = m + 1 dvs att D(Qm+1 k=1 (z − ak)) Qm+1 k=1 (z − ak) = m+1 X k=1 1 z_{− a}_k D(Qm+1 k=1(z−ak)) Qm+1 k=1(z−ak) = D((z−am+1)Qmk=1(z−ak)) (z−am+1)Qmk=1(z−ak) = (z−am+1)D(Qmk=1(z−ak))+ Qm k=1(z−ak)) (z−am+1)Qm_k=1(z−ak) = Qm k=1(z−ak) (z−am+1)Qmk=1(z−ak) + (z−am+1)D(Qmk=1(z−ak)) (z−am+1)Qmk=1(z−ak) = _z_−a1_m+1 +Pm k=1z_−a1k =Pm+1 k=1 z_−a1 k

Detta tillsammans med induktionsaxiomet bevisar lemmat.

Jag ska nu redogöra för svaret p˚a fr˚agan om nollställena till p′(z) ligger i det konvexa höljet till nollställena till polynomet p(z). För att göra det behöver jag följande sats.

Sats 4.4. _{Det konvexa h¨}_{oljet till en ¨}_{andlig m¨}_{angd punkter i planet, bildar} en polygon.

Bilderna nedan illustrerar satsen. En ändlig mängd punkter i planet be-gränsas av räta linjer som bildar en polygon.

(35)

En konvex polygon kan ses som skärningar mellan ändligt m˚anga halvplan, där varje halvplans rand är den linje som f˚as genom att förlänga en sida i polygonen.

Fr˚an varje ändlig mängd punkter i planet kan man bilda en polygon. Detta görs p˚a följande sätt. Börja med att dra en rät linje s˚adan att alla punkter ligger p˚a samma sida om linjen. L˚at linjen närma sig punkterna tills den g˚ar genom en punkt. Vrid sedan linjen i denna punkt s˚a att den g˚ar genom yt-terligare en punkt. Jag har nu tv˚a punkter p˚a linjen och resterande samlade p˚a samma sida om linjen. Man kan se det som att alla punkter ligger i det halvplan som har min linje som rand. Jag har nu bildat en sida i polygonen. Bilda nästa sida genom att vrida linjen ytterligare tills den g˚ar genom tv˚a punkter igen. Alla punkter ligger nu i det halvplan som har denna linje som rand och det är nu nästa sida i polygonen. Fortsätt p˚a samma sätt att vrida linjen ˚at samma h˚all tills första punkten n˚as igen. Bilden i mitten ovan visar hur det kan se ut när vi har vridit linjen runt hela mängden punkter. Bilden längst till höger visar den konvexa polygon vi f˚ar d˚a vi tar snittet av alla halvplan med den räta linjen som rand.

Sats 4.5. _[7]

Nollställena till p′(z) ligger i det konvexa höljet till nollställena till poly-nomet p(z).

Bevis. Sortera nollst¨allena till p(z). L˚at a1, a2, . . . amvara nollst¨allen till p(z)

och hörn i den polygon P som utgörs av det konvexa höljet till nollställena till p(z). Kalla de eventuellt resterande nollställena till p(z) för

(36)

strategi ¨ar nu att translatera polygonen s˚a att ak0 hamnar i origo f¨or att

sedan vrida polygonen en vinkel θ s˚a att alla hörn i polygonen f˚ar en icke negativ realdel och en sida i polygonen sammanfaller med den imaginära axeln. Sätt den nya variabeln till w. D˚a jag nu flyttat koordinatsystemet s˚a att origo ligger i nollstället ak0 och gjort en vridning en vinkel θ, kan

jag beskriva den nya variabeln som w = eiθ_{(z − a}k0). Varje nollst¨alle ak

till p(z) motsvaras nu av ett nollst¨alle bk till ett polynom q(w) i det nya

koordinatsystemet, dvs bk= eiθ(ak− ak0). ¨Aven derivatorna p′(z) och q′(w)

har motsvarande samband. Kalla den nya polygonen f¨or Q.

Bilderna nedan beskriver förloppet jag tänker mig när jag translaterar och vrider polygonen P och bildar polygonen Q.

Re z Im z P a k0 θ Re w Im w Q b k0

L˚at vidare w0 vara ett godtyckligt nollst¨alle till q′(w). Jag vill nu visa att

Re(w0) m˚aste vara ickenegativ. S¨att q(w) = (w − b1)(w − b2) · · · (w − bn) =

Qn

k=1(w − bk)

q(w) =Qn

k=1(w − bk) =Qn_k=1eiθ(z − ak)

= einθ_p(z)

Enligt Lemma 4.3 s˚a g¨aller att q′(w) q(w) = n X k=1 1 w_{− b}k

(37)

Antag att Re(w0) < 0. Jag skriver nu om h¨ogerledet i uttrycket ovan. n X k=1 1 w_{− b}k = n X k=1 w_{− b}k |w − bk|2

Jag tittar nu p˚a realdelen av detta uttryck Re(q′(w0) q(w0) ) = n X k=1 1 |w0− bk|2 · Re(w0− bk) | {z } =Re(w0−bk)(negativt)

Varje term i summan ¨ar negativ eftersom 1

|w0−bk|2 alltid ¨ar positivt och

Re(w0− bk) < 0 d˚a jag antagit att Re(w0) < 0. Allts˚a ¨ar Re(q

′_(w 0)

q(w0)) < 0, s˚a

q′_(w 0)

q(w0) 6= 0 och d¨armed ¨ar q

′_(w₀_{) 6= 0. Jag har nu visat att}

Re(w0) < 0 ⇒ q′(w0) 6= 0

och kan nu med hj¨alp av satslogikens kontraposition dra slutsatsen att q′(w0) = 0 ⇒ Re(w0) ≥ 0

w0 m˚aste d¨armed ha en icke negativ realdel. D˚a jag kan vrida och translatera

polygonen Q s˚a att varje sida kan sammanfalla med den imagin¨ara axeln och s˚a att hela polygonen hamnar i h¨ogra halvplanet, s˚a m˚aste w0 ligga inuti

polygonen eller p˚a dess rand. Dvs w0 som ¨ar ett godtyckligt nollst¨alle till

q′(w) ligger i det konvexa höljet till nollställena till polynomet q(w). Detta innebär att motsvarande nollställe z0 till p′(z) ligger i polygonen P , dvs i

det konvexa h¨oljet till nollst¨allena till polynomet p(z).

Jag kan nu formulera f¨oljande f¨oljdsatser.

Sats 4.6. _{Om p(z) har alla nollst¨}allen i enhetsskivan s˚a har p′(z) alla nollst¨allen i enhetsskivan.

Bevis. Antag att alla nollställen till p(z) ligger i enhetsskivan. Enligt sats 4.4 bildar det konvexa höljet till nollställena till p(z), en polygon. Enligt sats 4.5 ligger nollställena till p′(z) i det konvexa höljet till nollställena till p(z) och därmed i polygonen. Denna polygon är en delmängd av enhetsskivan.

(38)

Sats 4.7. En(a) ¨ar en delm¨angd av enhetsskivan.

Bevis. D˚a alla nollställen till p(z) ligger i enhetsskivan s˚a ligger, enligt föreg˚aende sats, även alla nollställen till p′(z) i enhetsskivan. D˚a En(a)

utgörs av nollställen till p′_{(z) är E}_n_{(a) en delmängd av enhetsskivan.}

4.2 Fallet d˚a nollst¨allet a till ett polynom p(z) av grad n, ligger p˚a enhetscirkeln

L˚at p(z) vara ett polynom med ett nollst¨alle a p˚a enhetscirkeln och med ¨

ovriga nollställen i enhetsskivan. Det har visat sig att d˚a nollstället a till polynomet p(z) ligger p˚a enhetscirkeln s˚a kan avst˚andet, en längdenhet fr˚an a, det talas om i Iliev-Sendovs hypotes, krympas. Omr˚adet kan beskrivas som den cirkelskiva med en radie p˚a 1₂ längdenhet som tangerar enhetscirkeln inifr˚an i nollstället a. [7]

Beviset som följer finns redogjort för i [4]. För att underlätta formuleringen vrider jag mitt koordinatsystem s˚a att nollstället a hamnar i z = 1.

Antag att p(z) ¨ar ett polynom av grad n + 1 med alla nollst¨allen i enhetsski-van varav ett i z = 1.

p_{(z) = (z − 1)}

n

Y

k=1

(z − zk)

Jag vill nu visa att det d˚a ligger ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan i cirkelskivan med medelpunkt i z = 1₂ och radien 1₂ l¨angdenhet. Dvs att det finns ett w s˚adant att p′_{(w) = 0 och}

(39)

Re z Im z i 1 z₀= 1 z₁ z₂ z₃ z₄ Re z Im z i 1 w

Den vänstra figuren visar ett slumpvis urval av nollställena till n˚agot poly-nom p(z) med ett nollställe i z = 1.

Den högra bilden beskriver det jag vill visa, dvs att det ligger ˚atminstone ett nollställe w till derivatan inom den fyllda cirkelskivan. (w ska tillhöra den fyllda cirkelskivan men behöver nödvändigtvis inte ligga p˚a angiven plats i figuren.)

Jag b¨orjar med att derivera polynomet p(z) tv˚a g˚anger och antar att p(z) inte har n˚agot dubbelnollst¨alle i z = 1, dvs antag att zk 6= 1.

p′(z) = n Y k=1 (z − zk) + (z − 1) n X k=1 Qn k=1(z − zk) z_{− z}k p′′(z) =Pn k=1 Qn k=1(z−zk) z−zk + 1 · Pn k=1 Qn k=1(z−zk) z−zk + (z − 1)r(z) = 2Pn k=1 Qn k=1(z−zk) z−zk + (z − 1)r(z)

där polynomet r(z) inte är av betydelse d˚a jag ska studera fallet z = 1 och termen (z − 1)r(z) d˚a försvinner.

Ett knep ¨ar nu att titta p˚a kvoten mellan andraderivatan och f¨orstaderivatan till polynomet p(z) i punkten z = 1.

(40)

p′′(1) p′(1) = 2Pn k=1 Qn k=1(1−zk) 1−zk Qn k=1(1 − zk) = 2 n X k=1 1 1 − zk ˚

A andra sidan ¨ar p′(z) ett polynom av grad n och kan skrivas p˚a formen

p′(z) = c

n

Y

k=1

(z − wk)

Antag h¨ar att wk6= 1. Om wk= 1 s˚a ¨ar vi klara d˚a 1 ∈w :

w₋1₂≤ 1

2

Andraderivatan till polynomet p(z) kan d˚a skrivas p˚a f¨oljande s¨att p′′(z) = c n X k=1 Qn k=1(z − wk) z_{− w}k

och kvoten p_p′′′₍₁₎(1) kan d˚a ist¨allet skrivas som nedan.

p′′(1) p′(1) = n X k=1 1 1 − wk

Titta nu p˚a den avbildning d˚a z avbildas p˚a _1−z1 . Denna avbildar en cirkel som g˚ar genom punkten z = 1, p˚a en rät linje. Enhetscirkeln avbildas p˚a den lodräta linje som g˚ar genom z = 1₂. Cirkeln med medelpunkt i z = 1₂ och radie 1₂ längdenhet avbildas p˚a den lodräta linje som g˚ar genom z = 1.

Re z Im z 1 Re w Im w 1 w= _1−z1

(41)

Re z Im z 1 Re w Im w 1 w= _1−z1

Titta nu p˚a realdelen av kvoten p_p′′′₍₁₎(1) = 2

Pn

k=1_1−z1k.

Eftersom varje zk ligger i enhetsskivan s˚a g¨aller f¨oljande.

Re 1

1 − zk ≥

1 2 D¨arav f¨orljer att

Rep ′′₍₁₎ p′₍₁₎ = Re2 n X k=1 1 1 − zk ≥ 2 n 2 = n

Anv¨and nu att p_p′′′₍₁₎(1) ¨aven kan skrivas som

Pn

k=1 _1−w1 k och d¨arav f¨oljer att

Re n X k=1 1 1 − wk ≥ n Pn

k=1_1−w1 k har n st termer, vilket inneb¨ar att f¨or ˚atminstone en av dem

g¨aller att Re_1−w1

k ≥ 1, f¨or n˚agot k.

Detta innebär att wk (för n˚agot k) tillhör cirkelskivan med medelpunkt i

z= 1₂ och radien 1₂ l¨angdenhet som inneh˚aller ˚atminstone ett w s˚adant att p′(w) = 0. Vilket skulle bevisas.

(42)

Jag har nu redogjort f¨or beviset av att det inom en cirkelskiva med medelpunkt i z = a

2 och radien 12 finns ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan av

poly-nomet p(z) d˚a p(z) har ett nollställe z = a p˚a enhetscirkelns rand och övriga nollställen i enhetsskivan. Därmed kan jag formulera följande följdsats. Sats 4.8. En(1) ⊆z :

z₋1₂≤ 1

2 och f¨or alla a med |a| = 1 g¨aller

En(a) ⊆ z: z− a 2 ≤ 1 2

(43)

5 Tredjegradspolynom

Ett godtyckligt polynom p(z) av grad tre, med ledande koefficient ett, kan skrivas

p_{(z) = (z − z}₁_{)(z − z}₂_{)(z − z}₃)

där z1, z2 och z3 är nollställena till polynomet. Dess derivata kan d˚a skrivas

p˚a f¨oljande s¨att.

p′_{(z) = (z − z}₂_{)(z − z}₃_{) + (z − z}₁_{)(z − z}₃_{) + (z − z}₁_{)(z − z}₂)

Jag börjar detta avsnitt med att beskriva hur man kan se p˚a nollställena till p′(z) och p(z) som jämviktspunkter respektive kraftkällor i planet [7,s644]. Detta under förutsättning att nollstället till p′_{(z) inte är n˚}_{agot nollställe till}

p(z).

5.1 Kraftk¨allor och j¨amviktspunkter

Ta en titt p˚a konjugatet till den logaritmiska derivatan f¨or ett tredjegradspolynom med tre olika nollst¨allen.

p′(z) p(z) = 1 z_{− z}₁ + 1 z_{− z}₂ + 1 z_{− z}₃ = z_{− z}1 |z − z1| 1 |z − z1| + z− z2 |z − z2| 1 |z − z2| + z− z3 |z − z3| 1 |z − z3|

Jag har f¨orl¨angt varje term i summan med z−zkoch utnyttjat att z·z = |z|2.

I detta uttryck kan jag tolka z − zk och _|z−zz−zk

k| d¨ar k = 1, 2, 3, som en vektor

respektive normerad vektor. Faktorn _|z−z1

k| ¨ar positiv och kan tolkas som

storleken av vektorn _z_−z1

k. Jag v¨aljer att tolka denna vektor som en kraft.

Vi har allts˚a summan av tre olika krafter i planet. z_{− z}₁ |z − z1| 1 |z − z1| + z− z2 |z − z2| 1 |z − z2| + z− z3 |z − z3| 1 |z − z3|

(44)

Summan av de tre krafterna ovan utgör kraftresultanten i planet. Där kraftre-sultanten är noll har vi jämvikt.

I de fall av tredjegradspolynom som har tv˚a nollställen till derivatan, har vi tv˚a jämviktspunkter i ett system med tre kraftkällor. Vi har en kraftkälla i varje nollställe till tredjegradspolynomet.

I bilden nedan visar jag med kraftpilar hur tv˚a punkter ¨ar p˚averkade av nollst¨allena z = 1, z = i och z = −i till polynomet i exempel 2.4.

i

−i

1

Summan av dessa krafter blir noll d˚a punkterna de verkar i är nollställen till derivatan p′_{(z) och kraftkällorna z = 1, z = i och z = −i är nollställen till}

p(z). Dessa punkterna är allts˚a jämviktspunkterna till kraftkällorna z = 1, z_{= i och z = −i.}

Med hjälp av detta tankesätt kan man lättare först˚a att ett nollställe till ett polynoms derivata aldrig kan ligga utanför det konvexa höljet till poly-nomets nollställen. Krafterna fr˚an kraftkällorna kan aldrig ta ut varandra i en punkt utanför det konvexa höljet. Alla punkter utanför det konvexa höljet är p˚averkade av krafter bort fr˚an det konvexa höljet och skulle därför aldrig kunna vara jämviktspunkter till kraftkällorna.

I kommande avsnitt kommer jag att studera avst˚andet mellan ett fixer-at nollställe i origo, till ett tredjegradspolynom p(z), och ett nollställe till derivatan för att ta reda p˚a hur omr˚adet E3(0) ser ut.

(45)

5.2 E3(0)

Betrakta nu ett polynom p(z) av grad tre med tre olika nollst¨allen z = z0,

z = z1 och z = z2 i enhetsskivan. L˚at z = z0 ligga i origo och l˚at de

¨

ovriga nollst¨allena till polynomet vara z1 = ei

π

6 respektive z₂ = e−i π 6. L˚at

tredjegradspolynomets nollst¨allen vara kraftk¨allorna i planet. p_{(z) = (z − z}₀_{)(z − z}₁_{)(z − z}₂_{) = z(z − z}₁_{)(z − z}₂)

Nollställena till polynomet p(z) bildar hörn i en liksidig triangel med sidan 1 längdenhet. L˚at hörnen i triangeln vara kraftkällor i planet. Jämviktspunkten till kraftkällorna ligger i triangelns tyngdpunkt d˚a vi har en liksidig triangel. Tyngdpunkten i en liksidig triangel finner vi i medianernas skärningspunkt vilken delar varje median i förh˚allandet 2 : 1 räknat fr˚an motsvarande hörn [9,s.33-34]. I en liksidig triangel är medianerna lika med bisektriserna vilka ¨

ar √₂3 längdenheter l˚anga. P˚a följande sätt f˚ar jag d˚a fram hur l˚angt in fr˚an ett hörn i triangeln tyngdpunkten ligger.

2 3 √ 3 2 = 1 √ 3 Tyngdpunkten finner jag d˚a √1

3 l¨angdenheter fr˚an ett godtyckligt h¨orn i

triangeln. Utg˚ar jag nu fr˚an h¨ornet som ligger i origo s˚a ser jag att triangelns tyngdpunkt ligger i z = √1

3.

Re z Im z

(46)

L˚ater jag nu denna liksidiga triangel rotera kring origo s˚a kommer j¨amviktspunkten till triangelns h¨orn att ligga p˚a cirkeln |z| = √1

3. Varje punkt p˚a denna cirkel

tillh¨or d¨armed E3(0).

Om jag krymper trianglarna mot z = 0 inses att hela skivan tillh¨or E3(0).

z_{: |z| ≤} _√1 3

⊆ E3(0)

Figurerna nedan visar vad som händer med jämviktspunkterna om vi l˚ater polynomets nollställen ligga i origo, i en godtycklig punkt p˚a enhetscirkeln och dess konjugat p˚a enhetscirkeln.

Re z Im z −√1 3 −1 Re z Im z −√1 3 −1

Bilderna visar med pilar hur jämviktspunkterna förflyttar sig d˚a nollställena till polynomet flyttar sig längs enhetscirkeln.

När polynomets nollställen inte bildar en liksidig triangel längre s˚a kommer vi att ha tv˚a jämviktspunkter i systemet och vi kommer alltid att hitta ˚atminstone en inom avst˚andet √1

3 l¨angdenheter fr˚an origo. Detta formuleras

i f¨oljande sats.

Sats 5.1. _L˚_{at p(z) vara ett P}₃_{(0)-polynom. L˚}_{at vidare w}₁ _{och w}₂ _vara nollställen till p′(z). D˚a gäller att _|w1| ≤ √1₃ eller |w2| ≤ √1₃. Det vill säga

E3(0) ⊆

z_{: |z| ≤} _√1 3

(47)

Bevis. _{S¨att p(z) = z(z − z}1)(z − z2), |z1| ≤ 1, |z2| ≤ 1

p′_{(z) = (z − z}₁_{)(z − z}₂_{) + z(z − z}₂_{) + z(z − z}₁) = 3z2_{− 2z(z}1+ z2) + z1z2

Välj nu att skriva p′_{(z) p˚}_{a följande sätt:}

p′_{(z) = 3(z − w}₁_{)(z − w}₂) = 3z2_{− 3z(w}

1+ w2) + 3w1w2

Den konstanta termen 3w1w2 m˚aste vara lika med konstanten z1z2.

3w1w2 = z1z2

w₁w₂ = 1₃z₁z₂ |w1w2| = 1₃|z1z2|

≤ 13· 1 = 13

Eftersom |w1w2| ≤ 1₃ s˚a ¨ar antingen |w1| ≤ √1₃ eller |w2| ≤ √1₃

Enligt Sats 5.1 g¨aller det att E3(0) ⊆

n

z_{: |z| ≤} √1 3

o

och eftersom vi tidigare visat attnz_{: |z| ≤} √1

3

o

⊆ E3(0) s˚a f¨oljer det att

E3(0) =

z_{: |z| ≤} _√1 3

Bilden nedan visar omr˚adet E3(0), dvs det minsta omr˚ade som inneh˚aller

˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan till ett P3(0)-polynom, som ett

(48)

Re z Im z 1 1 √ 3 5.3 E3(1)

Sedan tidigare vet jag att E3(1) ⊆z :

z₋1₂≤ 1₂ . Jag vill här visa hur nollställena till derivatan följer med längs den lilla cirkelns randz₋1₂= 1₂, som konjugat till varandra när de tv˚a rörliga nollställena till ett

tredjegradspolynom ligger p˚a enhetscirkelns rand som konjugat till varandra. Se bilden nedan.

Re z Im z

i

1

Betrakta nu ett tredjegradspolynom med ett nollst¨alle i z = 1 och l˚at de tv˚a ¨

ovriga ligga p˚a enhetscirkelns rand som konjugat till varandra. p_{(z) = (z − 1)(z − z}1)(z − z2)

(49)

p′_{(z) = (z − 1)(z − z}₁_{) + (z − 1)(z − z}₂_{) + (z − z}₁_{)(z − z}₂) = 3z2_{− (z}1+ 1 + z2+ 1 + z2+ z1)z + z1+ z2+ z1z2 = 3z2_{− (4x + 2)z + 2x + 1} p′_{(z) = 0 ⇔ z}2₋4x + 2 3 z+ 2x + 1 3 = 0 z₋2x + 1 3 2 − 2x + 1₃ 2 +2x + 1 3 = 0 z= 2x + 1 3 ± i s 2x + 1 3 − 2x + 1 3 2

Testa om ett av dessa nollst¨allen uppfyller ekvationen

z₋1₂= 1₂. z₋1 2 = 2x + 1 3 + i s 2x + 1 3 − 2x + 1 3 2 − 1₂ = 4x − 1 6 + i s 2x + 1 3 − 2x + 1 3 2 = s 4x − 1 6 2 +2x + 1 3 − 2x + 1 3 2 = r 16x2_{− 8x + 1} 36 + 12(2x + 1) 36 − 4(4x2_{+ 4x + 1)} 36 =r 9 36 = 1 2

Detta visar att ena nollst¨allet till derivatan p′(z) ligger p˚a randen till den cirkel som g˚ar genom z = 1 och z = 0 och har radien 1₂ l¨angdenheter. Av

(50)

Genom ”krympning” av polynomet och dess nollställen in mot z = 1 kommer nollställena till derivatan att följa med och krypa in mot z = 1. P˚a s˚a sätt kommer hela cirkelskivan z₋1₂ ≤ 1

2 att tillh¨ora omr˚adet E3(1). Fr˚an

teoribakgrunden vet vi ocks˚a att denna cirkelskiva inneh˚aller ˚atminstone ett nollställe till derivatan när polynomet har ett nollställe i z = 1. Detta innebär att omr˚adet E3(1) är just denna cirkelskiva.

Sats 5.2. E3(1) = z: z₋1 2 ≤ 1 2 Om_{|a| = 1 s˚}a ¨ar E3(a) =z : z₋a₂≤ 1₂ 5.4 E3(a)

Vi vet att om a = 0 s˚a finner vi ˚atminstone ett nollst¨alle till derivatan av ett tredjegradspolynom i cirkelskivan med radien √1

3 l¨angdenheter och

medelpunkt i origo.

D˚_{a |a| = 1 s˚}a gäller det även för tredjegradspolynom att vi kan finna ˚atminstone ett nollställe till derivatan inom den cirkelskiva som tangerar

enhetscirkeln i z = a och har radien 1₂ l¨angdenheter.

Jag är nu intresserad av vad som gäller d˚a vi l˚ater nollstället a till ett tredjegradspolynom, vandra in i enhetsskivan fr˚an dess rand.

Jag börjar med att bilda liksidiga trianglar med tv˚a hörn p˚a enhetscirkeln, z= x1± iy1, z = x2± iy2 och ett i z = a, där 0 < a < 1. Dessa trianglars

tyngdpunkter är d˚a nollställen till derivatorna av de polynom med nollställen i trianglarnas hörn.

(51)

Re z Im z

a _{Re z}

Im z

a

Jag har i föreg˚aende avsnitt visat med hjälp av n˚agra exempel, hur nollstället till derivatan kommer att dela upp sig d˚a triangeln inte är liksidig men likbent. Detta illustreras även här i figuren till höger där jag har l˚atit nollställena p˚a enhetscirkeln svepa som konjugat till varandra längs randen. Det ligger nu nära till hands att gissa att nollställena till derivatorna ovan bildar en cirkel. Jag börjar med att ta fram ett uttryck för derivatans nollställen som jag kan använda för att säkerställa formen p˚a det omr˚ade som derivatans nollställen bildar. Polynomet med ett nollställe i z = a, 0 ≤ a ≤ 1 och tv˚a nollställen som konjugat till varandra p˚a enhetscirkeln kan skrivas p(z) = (z − a)(z − z1)(z − z2) där z1 = x + iy, z2 = x − iy och

z₁z₂ = 1 d¨ar x1 ≤ x ≤ x2.

p_{(z) = (z − a)(z − z}₁_{)(z − z}₂)

= (z − a)(z − (x + iy))(z − (x − iy)) = (z − a)((z − x)2+ y2)

= (z − a)(z2− 2xz + 1)

p′(z) = (z2_{− 2xz + 1) + (z − a)(2z − 2x)} = z2_{− 2xz + 1 + 2z}2_{− 2xz − 2az + 2ax} = 3z2_{− (4x + 2a)z + 2ax + 1}

(52)

S¨att 3z2− (4x + 2a)z + 2ax + 1 = 0 z2₋4x + 2a 3 z+ 2ax + 1 3 = 0 z= 2x + a 3 ± s 2x + a 3 2 −2ax + 1 3 z= 2x + a 3 ± r 4x2_{+ 4xa + a}2 9 − 6ax + 3 9 z= 2x + a 3 ± √ 4x2_{− 2xa + a}2_{− 3} 3 z= 2x + a 3 ± √ 2ax − 4x2_{− a}2_{+ 3} 3 i

Jag har nu ett uttryck f¨or derivatans nollst¨allen z0.

z0 = a+ 2x 3 ± √ 2ax − 4x2_{− a}2_{+ 3} 3 i

Jag utnyttjar nu ovanst˚aende uttryck f¨or z0 f¨or att ta reda p˚a diametern p˚a

den eventuella cirkeln. Sätt imaginärdelen till noll för att ta fram det värde p˚a x som ger ett nollställe till derivatan p˚a den reella axeln s˚a l˚angt fr˚an z= a 2 som möjligt. Sätt 2ax − 4x2_{− a}2_{+ 3 = 0.} x2₋a 2x+ a2_{− 3} 4 = 0 x= a 4 ± r a2 16− a2_{− 3} 4 x= a 4 ± √ 12 − 3a2 4

(53)

z0 = a+ 2x 3 = a+ 2a₄ _±√12−3a₄ 2 3 = 3a 2 ± √ 12−3a2 2 3 = a 2 ± √ 12 − 3a2 6

Jag vill nu visa att alla z0 ligger p˚a randen till en cirkelskiva. Radien p˚a

cirkelskivan är i s˚a fall √12−3a₆ 2 längdenheter och medelpunkten är z = a 2.

Jag ska allts˚a visa att z0 = a+2x₃ + √

2ax−4x2_−a2₊₃

3 iuppfyller cirkelns ekvation:

z₋a₂=

√ 12−3a2

(54)

z− a 2 = a+ 2x 3 + √ 2ax − 4x2_{− a}2_{+ 3} 3 i− a 2 = 2a + 4x − 3a 6 + √ 2ax − 4x2_{− a}2_{+ 3} 3 i = s 4x − a 6 2 + 2ax − 4x2− a2+ 3 9 = r 16x2_{− 8ax + a}2 36 + 8ax − 16x2_{− 4a}2_{+ 12} 36 = √ 12 − 3a2 6

Detta visar att alla nollst¨allen z0 ligger p˚a cirkeln med radien √

12−3a2

6

l¨angdenheter och medelpunkt i z = a₂. I figuren nedan visas hur n˚agra nollst¨allen z0 binds ihop med en cirkel.

Re z Im z

a

D˚a vi kan ”krympa” varje polynom med tv˚a nollst¨allen p˚a enhetscirkelns rand och ett i z = a, mot z = a s˚a kommer nollst¨allena z0 till derivatan att

(55)

f¨olja med kontinuerligt in mot z = a och vi f˚ar med oss hela cirkelskivan

z₋a₂≤

√ 12−3a2

6 i omr˚adet E3(a).

Jag avslutar nu detta kapitel genom att formulera f¨oljande sats. Sats 5.3. _F¨_or _{0 ≤ a ≤ 1 ¨ar cirkelskivan} z₋a₂≤

√ 12−3a2

6 ¨ar en delm¨angd

av omr˚adet E3(a). Generellt g¨aller att

   z₀ : z− a 2 ≤ q 12 − 3 |a|2 6    ⊆ E3(a)

(56)

6 Polynom av grad n

I detta kapitel vill jag beskriva ett omr˚ade som m˚aste ing˚a i En(a). Jag

börjar även här med att lägga ett nollställe till polynomet i origo för att se hur omr˚adet En(0) ser ut.

6.1 En(0)

Jag tittar nu p˚a polynom av gradtal n med ett nollställe i origo. Jag är intresserad av hur omr˚adet En(0) ser ut för ett godtyckligt gradtal n och

hur det kan förändras d˚a jag l˚ater polynomets gradtal stiga. Sätt p(z) = z(z − z1)(z − z2) · · · (z − zn−1), |zi| ≤ 1, i = 1, 2...n − 1.

Polynomet p(z) kan även skrivas p˚a följande sätt. p(z) _{= z(z − z}1)(z − z2) · · · (z − zn₋₁)

= zn_{+ . . . + (−1)}n₋₁_z

1z2· · · zn−1z

p′(z) = nzn−1_{+ . . . + (−1)}n−1_z

1z2· · · zn₋₁

Välj nu att skriva p′_{(z) p˚}_{a följande sätt:}

p′_{(z) = n(z − w}₁_{)(z − w}₂_{) · · · (z − w}n₋₁)

= nzn₋₁_{+ . . . + n(−1)}n₋₁_w

1w2· · · wn−1

Den konstanta termen n(−1)n−1_w

1w2· · · wn₋₁m˚aste vara lika med

konstan-ten (−1)n₋₁_z 1z2· · · zn−1. nw₁w₂_{· · · w}_n₋₁ = z1z2· · · zn−1 w₁w₂_{· · · w}n₋₁ = 1_nz1z2· · · zn₋₁ |w1w2· · · wn−1| = n1 |z1z2· · · zn−1| |w1w2· · · wn−1| ≤ 1n

(57)

Sista steget kan bevisas p˚a f¨oljande s¨att.

Antag att |wi| > n−11√_n, f¨or alla i = 1, 2, . . . , n − 1.

D˚_{a ¨ar |w}1w2· · · wn−1| > 1 n−1√_n n−1 . Men n−11√_n n−1

= 1_n _{och jag vet att |w}1w2· · · wn₋₁| ≤ 1_n, allts˚a m˚aste

an-tagandet |wi| > n−11√_n vara falskt.

Allts˚_{a vet vi att |w}i| ≤ n−11√_n, f¨or n˚agot i = 1, 2...n − 1.

Sats 6.1. En(0) ¨ar en delm¨angd av cirkelskivan med medelpunkt i origo och

radien n−11√_n l¨angdenheter. E_n_{(0) ⊆} z_{: |z| ≤} 1 n−1√_n

Jag vill nu visa att ¨avennz_{: |z| ≤} n−11√_n

o

⊆ En(0) g¨aller. Polynomet p(z) =

zn_{−z har sina nollställen jämnt fördelade p˚}a enhetscirkeln. Derivatan p′_{(z) =}

nzn−1_{− 1 har sina nollställen jämnt fördelade p˚}a cirkeln med medelpunkt i origo och radien n−11√_n längdenheter. Detta ger oss att hela cirkelskivan

|z| ≤ n−11√_n m˚aste tillh¨ora En(0). Sats 6.2. En(0) = z_{: |z| ≤} _n−11_√ n

Vad h¨ander d˚a med |wi| om vi l˚ater n g˚a mot o¨andligheten?

|wi| ≤ 1 n−1√_n = n − 1 n−1 _{= e}ln n −_n−11 = e−n−11 ln n _{= e}−n−1ln n −−→_n →∞e−0= 1

Detta betyder att den cirkelskiva, som rymmer n˚agot nollställe till derivatan, ”sväller” och närmar sig enhetsskivan d˚a vi l˚ater polynomets gradtal g˚a mot oändligheten.

(58)

en-(0, 0) 1

1 n−1√n

Jag ska nu g˚a vidare med att beskriva en delm¨angd av omr˚adet En(a).

6.2 En(a)

Jag vill nu visa hur man genom cirklar kan skapa polynom av gradtal n med endast ett nollställe till derivatan. Jag kommer sedan att samla ihop dessa nollställen till derivatan för att beskriva en delmängd av omr˚adet En(a).

Lägg en cirkel i enhetsskivan som g˚ar genom punkten z = a och l˚at n˚agot polynom p(z) ha alla sina nollställen jämnt fördelade längs denna cirkel, med utg˚angspunkt i z = a. Vi vet d˚a att cirkelns medelpunkt är det enda nollstället till derivatan p′_{(z). Denna medelpunkt m˚}_{aste d˚}_{a tillhöra omr˚}_adet

En(a).

I bilden nedan visas n˚agra exempel p˚a cirklar som g˚ar genom punkten z = a vilkas medelpunkter tillh¨or En(a).

(59)

Re z Im z

a

Bilda nu cirklar som g˚ar genom punkten z = a och l˚at dem ”svälla” s˚a att de tangerar enhetscirkeln inifr˚an. Detta för att f˚a största möjliga avst˚and till cirklarnas medelpunkter fr˚an z = a. Det omr˚ade som avgränsas av alla s˚adana cirklars medelpunkter m˚aste tillhöra omr˚adet En(a).

I bilden nedan visas n˚agra cirklar som g˚ar genom z = a och som tangerar enhetscirkeln inifr˚an. I denna bild har jag även vridit ner punkten z = a s˚a att den ligger p˚a den reella axeln, för att underlätta räkningarna lite framöver.

Re z Im z

a

Jag undrar nu vad det ¨ar f¨or typ av omr˚ade som alla medelpunkter, till dessa cirklar, bildar.

(60)

Jag vill komma ˚at alla de tangerande cirklarnas medelpunkter för att kunna beskriva omr˚adet de bildar. Det är d˚a lämpligt att börja med beskrivningen av tangeringspunkten med enhetscirkeln.

Vrid koordinatsystemet s˚a att a hamnar p˚a den reella axeln. Tangeringspunk-ten kan beskrivas med hj¨alp av en vinkel θ och har d˚a koordinaterna (cos θ, sin θ).

Re z Im z

a m

D˚a vi har en cirkel som tangerar enhetscirkeln, kommer den r¨ata linjen mel-lan origo och tangeringspunkten att g˚a genom den mindre cirkelns medelpunkt. Kalla denna medelpunkt m. Antag nu att punkten m ligger p˚a ett avst˚and sl¨angdenheter fr˚an origo. m skulle d˚a kunna beskrivas p˚a ortsvektorform.

m= s(cos θ, sin θ)

(61)

Re z Im z a m s Re z Im z a m 1 − s θ

Den lilla cirkelns radie är 1 − s längdenheter. Med b˚ade medelpunkt och radie kan jag teckna den lilla cirkelns ekvation som följer.

(x − s cos θ)2+ (y − s sin θ)2 = (1 − s)2

D˚a jag vet att denna cirkel ska g˚a genom punkten (x, y) = (a, 0) kan jag l¨osa ut s ur cirkelns ekvation.

(a − s cos θ)2_{+ (s sin θ)}2 _{= (1 − s)}2

⇔

a2_{− 2as cos θ + s}2cos2θ+ s2sin2θ _{= 1 − 2s + s}2 ⇔

2s − 2as cos θ = 1 − a2

⇔ s_{(2 − 2a cos θ) = 1 − a}2

⇔

s = _{2−2a cos θ}1−a2

Jag har nu ¨aven ett uttryck f¨or medelpunkten m p˚a vektorform.

m= 1 − a

2

2 − 2a cos θ(cos θ, sin θ)

(62)

cirklarna bildar, kan vara en ellips. S˚a jag fr˚agar mig nu om m ligger p˚a en ellips? Re z Im z a _{Re z} Im z a

En godtycklig ellips med medelpunkt i (a1, b1) kan beskrivas p˚a f¨oljande

s¨att.

(x − a1)2

r2₁ +

(y − b1)2

r2₂ = 1

d¨ar r1 och r2 ¨ar halva storaxeln respektive halva lillaxeln i ellipsen.

I sidled ¨ar ellipsens extrempunkter a−1₂ och a+1₂ . D˚a m˚aste a1 = a₂ och

r1 = 1₂. Ellipsens mittpunkt m˚aste allts˚a vara a₂,0.

(63)

Re z Im z

a

2 1

Detta ger ellipsens ekvation f¨oljande utseende. x₋a₂2 1 4 +y 2 r2₂ = 1 ⇔ x₋a 2 2 + y 2 4r2 2 = 1 4 S¨att konstanten _4r12 2 = k

2 _{vilket ger ekvationen utseendet}

x₋a 2 2 + k2y2= 1 4

Sätt nu in en godtycklig medelpunkt m p˚a ellipsen för att f˚a ut konstanten k2. m= 1 − a2 2 − 2a cos θcos θ, 1 − a2 2 − 2a cos θsin θ 1 − a2 2 − 2a cos θcos θ − a 2 2 + k2 (1 − a 2₎2 (2 − 2a cos θ)2 sin 2_θ₌ 1 4 Sätt θ = π₂ för att lösa ut konstanten k2 ur ekvationen.

(64)

1−a2 2−2a cosπ 2 cos π 2 −a2 2 + k2 (1−a2)2 (2−2a cosπ2)2 sin2 π₂ = 1₄ ⇔ a2 4 + k2 (1−a 2₎2 4 = 14 ⇔ a2+ k2_{(1 − a}2)2 = 1 ⇔ k2 = _1−a12

Ellipsens ekvation kan nu skrivas: x −a2

2

+_1−a12y2 = 1₄.

Bilden nedan visar ellipsens form f¨or ett visst v¨arde p˚a a.

Re z Im z

a

(65)

Re z Im z

Ellipsens lillaxel g˚ar mot noll d˚a a g˚ar mot punkten z = 1. Allts˚_{a n¨ar a → 1} s˚a kommer ellipsen g˚a mot str¨ackan [0, 1].

F¨or att kunna konstatera att alla punkter m ligger p˚a denna ellips, ˚aterst˚ar det nu att visa att ekvationen

x₋a 2 2 + 1 1 − a2y 2₌ 1 4