Enligt Skemp (1976) finns det två olika sätt på vilka man kan förstå/uppfatta matematiken. Antingen har man en relationell eller en instrumentell förståelse. Den relationella förståelsen bygger på att eleven vet vad den gör och varför. Även Maltén (2003) påpekar att kunskap inte kan byggas på bara traditionella baskunskaper och färdigheter. Han menar att det krävs en mer fördjupad kunskap. Denna syn på kunskap menar vi återkom i författarnas svar i stor utsträckning. Författarnas kunskapssyn präglas av att matematik skall byggas på en mer djup förståelse, det vill säga en så kallad relationell förståelse. Vidare menade författarna att kunna omvandla sina kunskaper, kunna se samband, kunna tillämpa sina kunskaper är färdigheter vilka kännetecknar en elev som är duktig i matematik.
Dysthe (2003) beskriver Vygotskys tankar kring hur lärande och utveckling utgår från en social samverkan. Författarna påpekade interaktion som en viktig del i elevers
matematikinlärning. Interaktionen skall ske mellan både elever samt mellan lärare och elever och leda till en diskussion. När elever och lärare interagerar med varandra sker ett aktivt deltagande. Möllehed (2001) nämner Piagets beskrivning av eleven som själv bidrar till en konstruktion av kunskap genom sitt aktiva deltagande. Skolverket (2007) betonar också hur kommunikationen skall ge eleven möjligheter att förstå samt få nya insikter och lösningar på problem.
Författarna ansåg att läroboken är en viktig del i matematikundervisningen men den skall användas på ”rätt” sätt. Läroboken kan exempelvis användas som en exempelsamling samt kompletteras med konkreta och praktiska inslag. Vi uppfattade även att undervisningen inte skulle bedrivas endast genom läroboken. Löwing (2006) beskriver att de flesta lärare låter eleverna arbeta på egen hand i en lärobok eller arbetsmaterial vilket leder till att anpassning till elevernas förkunskaper, inte förekommer. Detta menar Löwing leder till
inlärningsproblem. Vidare beskriver Malmer (2002) att matematiken skall lämna fokus från en gemensam lärobok och istället ta större hänsyn till elevmedverkan. Isolerade uppgifter skall ersättas med temainriktade ämnen.
Författarna menade att det är viktigt att eleverna arbetar i sin egen takt och att uppgifterna är anpassade till deras kunskapsnivå. Malmer (2002) nämner att en viktig del av undervisningen
är att alla elever känner att de har möjlighet att bli uppmärksammade och att de duger. Ett sätt att nå dit är att eleverna får arbeta med lämpligt material på det nivå de befinner sig. Arbetet skall ske i den takt de har förutsättning för. Vi menar då att författarna står för en
individanpassad undervisning, där vikten av att känna till varje elevs kunskapsnivå är stor. Malmer och Adler (1996) skriver att det är svårt att individanpassa matematikundervisningen genom att en hel grupp följer en gemensam lärobok i samma takt. Av svaren i vår
undersökning kunde vi se att nästa alla författare poängterade vikten av att eleverna inte skulle följa läroboken gemensamt och i samma tempo. Det är i våra ögon ett ytterligare förtydligande av författarnas syn på vikten av att undervisningen skall präglas av individualisering.
6.3 Hur definierar författarna textuppgifter och vad menar de att syftet
med textuppgifter är?
6.3.1 Hur definierar författarna textuppgifter?
Författarna delar in textuppgifter i två kategorier, tillämpningsuppgifter och
problemlösningsuppgifter. De ansåg inte att man kunde likställa dessa. Enligt våra slutsatser av författarnas svar krävs det mer av en elev för att lösa ett problem än vad det gör då de ska lösa en tillämpningsuppgift. Anledningen till detta kan vara att enligt författarnas definitioner är räknesättet och tillvägagångssättet vid lösandet inte givet i en problemlösningsuppgift vilken det är i en tillämpningsuppgift antingen direkt eller indirekt. Möllehed (2001) beskriver ett problem som en situation som kräver lösning men att eleven från början saknar metoden vilken skall hjälpa denna att nå målet. Vidare menade författarna att sätten på vilket man arbetar med de två olika varianterna av textuppgifter skiljer sig åt. Att arbeta med
problemlösningsuppgifter ansåg de skulle ske i grupp eller parvis där den viktiga diskussionen kunde ske. Andra viktiga aspekter i arbetet var att öva på lösningsstrategier, om detta skriver George Polya (2004) i sin bok ”How to solve it” . Polya menar att problemlösningsprocessen går igenom de fyra stegen, att förstå problemet, göra upp en plan, verkställa planen och slutligen utvärdera lösningen. Med tillämpningsuppgifterna menade författarna att man i större utsträckning kunde arbeta enskilt.
6.3.2 Vad menar författarna att syftet med textuppgifterna är?
I strävansmålen står det att varje elev skall lära sig att använda sina kunskaper som redskap för att bland annat kunna lösa problem. Vidare står det i uppnåendemålen att eleven efter
avslutad grundskoleutbildning, ”behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Skolverket 2006, s.10). I författandet av textuppgifter stödde sig författarna på bland annat vad som stod formulerat i läroplanen och kursplanen för matematik. De menade att anledningen till att det finns textuppgifter i matematikboken är att skapa en verklighetsanknytning samt att belysa nyttan med matematiken genom att visa situationer i vilken matematiken kan användas. Ulin (1991) poängterar vikten av att textuppgifterna är realistiska samt att dessa anknyter till elevens vardag. Boaler (1993) menar att kontexten i undervisningen skall sträva mot att ge eleverna situationer där de kan se verkligheten, ”real life situation”. Vi menar att författarna genom sitt syfte men textuppgifterna bidrar till att öka chanserna för eleverna att uppnå vissa uppnåendemål och strävansmål. Vi kunde tydligt se i svaren från intervjuerna att läroplan och kursplanen i matematik samt de nationella proven i skolår fem, var viktiga för författarna i deras arbete. Läroplanen och kursplanen är ett stöd vid författandet, dessa avspeglas i textuppgifterna vilka, enligt författarna, har som sitt
huvudsakliga syfte att verklighetsanknyta matematiken för eleverna.
Författarna menade att textuppgifterna bidrog till att matematiken blev mer varierad och rolig. I problemlösning behöver eleven behärska en rad olika färdigheter, som exempelvis
analysförmåga, kreativitet (gissningsförmåga), tålamod, självförtroende, förmåga att tänka logiskt samt förmågan att tillämpa kunskaper (Ulin 1991). Enligt vår uppfattning innehåller arbete med textuppgifter en rad olika moment och färdigheter, som eleven både skall utföra och försöka behärska, vilket, vi menar, medför till att det då finns ett självklart utrymme för variation. Hur ”roliga” textuppgifterna är kan diskuteras. Sahlin (1997) beskriver hur många elever väldigt snabbt ger upp när det handlar om lösandet av textuppgifter. Även om vi tror att det finns elever som finner textuppgifter stimulerande, ifrågasätter vi alltså om textuppgifter verkligen bidrar till att göra matematiken roligare eftersom många elever har problem med dessa uppgifter. Skälet till detta är bland annat att de saknar förmågan att tolka texten eller de väsentliga ledtrådarna i uppgiften. Magne (1998) beskriver att om man har dålig läsfärdighet kan det hämma språkförståelsen i textuppgifterna. Han nämner också hur forskningen visar att läsfärdighet och ordförrådskunskap kan sättas i samband med problemlösning. Detta menar vi då kan ytterligare ifrågasätta, i hur stor utsträckning textuppgifter bidrar till, att för eleverna, göra matematiken roligare.
Textuppgifterna ansågs av författarna, kunna utmana eleverna. Vi håller med att det finns en utmanande karaktär i textuppgifter. Det visar inte minst Polyas (2004) redogörelse av sin
lösningsstrategi. Där ingår många moment som eleven skall behärska och det är i sig en utmaning för eleven. Vi anser emellertid att där kan vila en problematik kring dessa
textuppgifter som medför att eleven aldrig når fram till själva utmaningen. Riesbeck (2000) menar att människor har svårigheter att matematisera resonemang samt göra en matematisk tolkning av en språklig och naturlig beskrivning av en företeelse eller ett förlopp. Författarna menade också att textuppgifterbidrog till att kunna tillfredställa många elevers behov. Ulin (1991) påpekar vikten av att textuppgifter skall vara realistiska och anknyta till elevens vardag. Lyckas man ge textuppgifterna denna karaktär menar vi att uppgifterna tydligt kan tillfredställa ett stort antal elevers behov. Björkqvist (2001) nämner textuppgifter där lösaren i inledningsskedet inte kan se vilken lösningsmetod som skall användas. Vi menar att denna karaktär på en textuppgift möjligen kan bidra till att tillfredställa många elevers behov eftersom det kan finnas olika sätt att lösa en sådan uppgift.
Författarna påpekade vidare att syftet med att låta eleverna arbeta med lärobokens textuppgifter är att ge dem en bra grund till vidare matematisk förståelse samt att de inte missar några vitala delar. Om eleven arbetar med benämnda uppgifter, som är realistiska problemställningar hämtade från verkligheten runt omkring oss, tränas exempelvis det matematiska resonemanget och även användandet av algoritmer (Riesbeck 2000). Enligt vår uppfattning är syftet med lärobokens textuppgifter väl förankrat i vad som delar av den matematikdidaktiska forskningen står för. Författarna anser även att lärobokens uppgifter är väl utarbetade och där har lagts ner mycket arbete samt att det krävs stor matematisk kunskap för att skapa textuppgifter. Vi anser att detta påstående skall, till stor del, tas på allvar. Det visar inte minst Lester (2004) när han beskriver att problemlösning i matematik utvecklas under lång tid. Han nämner vidare att det inom detta moment ”tycks vara en funktion av fem kategorier av faktorer” (s. 85). Dessa faktorer är kunskap och användning, kontroll,
uppfattningar av matematik, affekter och socio-kulturella sammanhang. Han betonar också att faktorernas inbördes beroende är en viktig orsak till att problemlösning är ett svårt moment. Vi menar att det finns goda belägg för att betona vikten av att en pedagog skall förfoga över goda ämneskunskaper i matematik, för att kunna skapa bra och utvecklande textuppgifter.
6.4 Slutsats
Syftet med huvudfrågan i vår studie var att undersöka textuppgiftens varande i
skulle hjälpa oss att besvara huvudfrågan. Vi skulle kunna ställa författarnas kunskapssyn i matematik och syn på inlärning mot syftet med textuppgiften för att se eventuella samband. Resultatet visade att huvudsyftet med textuppgiften var att skapa en verklighetsanknytning i undervisningen samt att belysa nyttan med matematiken genom att visa situationer i vilken matematiken kan användas. Detta belyses i Lpo-94 där det står att undervisningen skall sträva efter att elever skall lära sig att använda sina kunskaper som redskap för att bland annat lösa problem samt att eleven ”behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet” (Skolverket 2006, s.10). Vi ser ett tydligt samband mellan författarnas syn på matematisk kunskap och syftet med matematikbokens textuppgifter. Författarna menar att en stor anledning till att man skall undervisas i matematik är att man skall klara sig i livet. För att klara sig krävs det att man kan tillämpa sina kunskaper i vardagen. Detta lär man sig enligt författarna genom att arbeta med textuppgifter. Vi ser en röd tråd vilken håller samman styrdokument, matematisk kunskap samt textuppgifterna.
En anledning till att man arbetar med och skriver ett examensarbete är att vi skall fördjupa vår egen kunskap i det kommande yrket som lärare. Både genom intervjuer och genom
litteraturläsning har vi tillgodosett oss ny kunskap. Vi gick in i arbetet med uppfattningen att textuppgifterna fanns för ”finnandets” skull och att dessa inte hade något direkt syfte. Under arbetets gång har vi blivit varse att det finns ett syfte och att detta är ett syfte med vilket man kan argumentera för textuppgifternas varande. Insikten kring hur författarna vill att
textuppgifterna skall användas menar vi också är av stor relevans. Det bör kanske läggas mer fokus kring hur man i matematikundervisningen skall arbeta med dessa uppgifter, istället för att kritisera innehållet i läroböckerna. Med bakgrund på, bland annat dessa synpunkter, menar vi att vår syn på textuppgifter har förbättrats och vi har förstått hur viktigt det är att arbeta med dessa.
6.5 Förslag till vidare forskning
Författarna har genom sina svar på våra frågor gett en del tankar kring vidare forskning. Författarna har en viss syn på hur matematikboken skall användas samt hur man skall arbeta med textuppgifter. Vi är nyfikna på om detta återspeglas i undervisningen ute på skolorna och i vilken grad. Våra egna uppfattningar skiljer sig i detta avseende då en av oss fått erfara en typ av matematikundervisning under VFT:n vilken till stor del stämmer överens med författarnas uppfattningar. Detta har dock inte förekommit på den andras VFT-placering.
Vidare skulle man kunna undersöka elevernas inställning till textuppgiften. Finner de att dessa uppgifter är stimulerande att arbeta med, och i sådana fall i hur stor utsträckning, samt vad erbjuder uppgifterna rent kunskapsmässigt till eleverna? Dessutom hade det varit intressant att undersöka om textuppgifternas mål och syften kan tillfredställas genom alternativa metoder i matematikundervisningen eftersom vår uppfattning är att en stor del av eleverna anser det trist och ansträngande att arbeta med textuppgifter.
7. Referenser
Ahlberg, Ann (1995). Barn och matematik. Lund: Studentlitteratur
Ahlberg, Ann (1992). Att möta matematiska problem. En belysning av barns lärande. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis
Ahlberg, Ann (1991). Att lösa problem i grupp. I: Emanuelsson, G., Johansson, B., Ryding, R. Problemlösning. Lund: Studentlitteratur
Berggren, Per & Lindroth, Maria (1998). Kul matematik för alla. En idébok för 2000-talets
lärare. Solna: Ekelunds Förlag AB
Björkqvist, Ole (2001). Matematisk problemlösning. I: Grevholm, Barbro (red.).
Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv. Lund: Studentlitteratur
Boaler, Jo (1993). The role of contexts in mathematics classrooms. For the learning of
mathematics, 13(2), 12 – 17. I: Wedege, Tine (2007). Kompendium till kursen Didaktisk
forskning inom mateamtik. Research in mathematics education. Malmö: Lärarutbilningen,
NMS.
Dysthe, Olga (2003). Dialog, samspel och lärande. Lund: Studentlitteratur Emanuelsson, G., Johansson, B., Ryding, R., Wallby, K. (2004). Matematik- ett
kommunikationsämne. Göteborg: NCM
Johansson, Bo & Svedner, Per Olof (2006). Examensarbete i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget
Lantz, Annika (2007). Intervjumetodik. Studentlitteratur
Lester, Frank (2004). Problemlösningens natur. I: Emanuelsson, G., Johansson, B., Ryding, R., Wallby, K. Matematik- ett kommunikationsämne. Göteborg: NCM
Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare kan hantera
lärandets komplexitet. Lund: Studentlitteratur
Magne, Olof (1998). Att lyckas med matematik i grundskolan. Lund: Studentlitteratur
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och
samhälle. Lund: Studentlitteratur
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med
inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur
Malmer, Gudrun & Adler, Björn (1996). Matematiksvårigheter och dyslexi. Erfarenheter och
synpunkter i pedagogisk och psykologisk belysning. Lund: Studentlitteratur
, Arne (2003). Att undervisa – en mångfasetterad utmaning. Lund: Studentlitteratur
McIntosh, Alistair (2006). Nya vägar i räkneundervisningen. I: Boesen, J. et al. (red.), Lära
och undervisa – internationella perspektiv. Göteborg: Nationellt Centrum för
Matematikutbildning
Möllehed, Ebbe (2001). Problemlösning i matematik: en studie i påverkansfaktorer i
årskurserna 4 – 9. Malmö: Institutionen för pedagogik, Lärarhögskolan.
Polya, George (2004). How to solve it: a new aspect of mathematical method. With a new
foreword by John H. Conway. Princeton: Princeton University Press
Riesbeck, Eva (2000). Interaktion och problemlösning. Att kommunicera om och med
matematik. Linköping: Institutionen för pedagogik och psykologi.
Sahlin, Birgitta (1997). Matematiksvårigheter och svårigheter när det gäller koncentration i
grundskolan. En översikt av svensk forskning 1990-1995. Stockholm: Statens skolverk &
Liber distribution
Skemp, Richard R. (1976). Relational and Instrumental Understanding. Mathematics
(2007). Kompendium till kursen Didaktisk forskning inom matematik. Research in
mathematics education. Malmö: Lärarutbilningen, NMS.
Skolverket (2007). Grundskolans kursplaner och betygskriterier 2000. Västerås: Skolverket och Fritzes.
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Skolverkets rapport 221. Stockholm: Statens skolverk. Tillgänglig: http://www.skolverket.se/publikationer?id=1148 Skolverket (2006). Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och
fritidshemmet Lpo 94. Stockholm: Fritzes förlag.
Trost, Jan (2005). Kvalitativa intervjuer. Lund: Studentlitteratur
Ulin, Bengt (1991). Att upptäcka samband i matematik. I: Emanuelsson, G., Johansson, B., Ryding, R. Problemlösning. Lund: Studentlitteratur
Unenge, J., Sandahl, A., Wyndhamn, J. (1994). Lära matematik: om grundskolans
matematikundervisning. Lund: Studentlitteratur
Wyndhamn, Jan (1991). Problemmiljö och miljöproblem. I: I: Emanuelsson, G., Johansson, B., Ryding, R. Problemlösning. Lund: Studentlitteratur
Bilaga 1
Hej!
Vi var i kontakt med er per telefon/mail för ett par veckor sedan angående vårt examensarbete gällande matematikbokens problemlösningsuppgifter (med problemlösningsuppgifter menar vi textuppgifter). Ni anmälde ert intresse som informant. Nu är vi klara med ut- och
omarbetningen av våra intervjufrågor samt provintervjuer och skulle vilja boka tid med er för intervju. Intervjun kommer att ske per telefon. Beräknad tidsåtgång är ca. 45-60 minuter. Intervjuerna kommer att spelas in för att sedan analyseras.
Vi är tacksamma om ni anmäler vilka av följande tider som skulle passa er:
Datum Tid
Torsdagen den 22/11 10.00, 12.00, 14.00 Fredagen den 23/11 10.00, 12.00, 14.00 Måndagen den 26/11 10.00, 12.00, 14.00 Tisdagen den 27/11 10.00, 12.00, 14.00
Skulle ingen av dessa tider passa er har vi även möjlighet helg och kvällstid. Meddela eventuella egna önskemål.
Med vänlig hälsning Joakim Martin
Bilaga 2
Hej! Vi vill först tacka för att ni tog er tid att medverka i vår intervjustudie. Vi är mycket nöjda med intervjun och hoppas att även ni, i någon form, anser er nöjd och belåten. Vidare vill vi också informera er att den inspelade intervjun som ni medverkat i, nu är bortraderad.
Avslutningsvis vill vi bara nämna att vårt slutliga arbete kommer, via e-post, skickas till er. Ha det bra.
M v h
Bilaga 3
Intervjufrågor
Kunskap1. Vad är viktigt för en elev att kunna inom matematik? 2. I vilka situationer är det viktigt att kunna matematik? 3. Vad kännetecknar en elev som är duktig i matematik?
4. Vilken syn har du på den instrumentella kunskapen som en del barn besitter?
Problemlösningsuppgifter
5. Hur definierar du problemlösningsuppgift?
6. Ge ett exempel på en bra problemlösningsuppgift.
7. Hur anser du att eleverna skall arbeta med lärobokens problemlösningsuppgifter för att dessa skall tillföra så mycket som möjligt?
8. Vad stödjer du dig på när du författar problemlösningsuppgifter (styrdokument, didaktisk forskning)?
9. I hur stor utsträckning anser du att läroboken präglas av öppna respektive slutna problemlösningsuppgifter?
10. Varför finns det problemlösningsuppgifter i matematikboken (syftet)? 11. Varför skall elever undervisas i problemlösning?
12. Täcker läroboken in allt inom problemlösning eller behöver läraren komplettera undervisningen med alternativa metoder?
13. Vilka är fördelarna med att använda lärobokens uppgifter när läraren undervisar i problemlösning?
Lärande
14. Hur lär sig barn matematik?
15. Vilken roll spelar läraren i barns inlärning?
16. Varför tror du en del elever har svårt för matematik/problemlösning? 17. Hur lyckas en lärare lära ut matematik/problemlösning?
Allmänt
18. Finns det några begränsningar, ramar i ditt arbete (rekommendationer, tid, lagar, förlagens önskemål/krav)?