Det går, det blir fem och fem.

Elev 1 ger ett tydligt resonemang på hur eleven uppfattar uppdelning av tal. Eleven har inte uppfattat att talet kan delas i olika stora delar och uppfattar därför ojämna tal som odelbara.

Sammanfattningsvis använder eleverna i kategori 1 och 2 olika strategier för att dela upp talen. För kategori 1 använder eleverna en inre tankeprocess medan eleverna i kategori 2 konkretiserar talet för att komma fram till lösningen. Eleverna i kategori 3 har

uppfattningen om att talen inte går att dela om det inte är lika stora delar och har därmed inte utvecklat strategier för att dela upp tal i olika stora delar.

28

Diskussion

Diskussionsavsnittet innehåller metoddiskussion, tillförlitlighet och äkthet samt resultatdiskussion. I metoddiskussionen beskrivs resonemang om metodval och under rubriken tillförlitlighet och äkthet diskuteras studiens trovärdighet. I Resultatdiskussionen diskuteras studiens resultat i förhållande till yrkesrollen och tidigare forskning.

Metoddiskussion

Att låta en elevgrupp genomföra ett skriftligt test och där efter välja ut elever för intervju var ett passande sätt att organisera det målstyrda urvalet. Bryman (2018) menar att ett målstyrt urval innebär att deltagare väljs utifrån studiens syfte och att urvalsgruppen gärna ska representera en variation av erfarenheter (Bryman, 2018). Analysen av testet kunde indikera att eleverna hade olika uppfattningar vilket var positivt för studiens resultat. Urvalet kan dock ha påverkat studiens resultat då deltagarna valdes från samma klass. Kanske hade utfallet blivit annorlunda om deltagarna var från olika klasser eller skolor. Syftet var att elevernas enskilda uppfattningar skulle undersökas och inte

klassens. Så länge studiens syfte uppfylls spelade det alltså ingen roll att eleverna gick i samma klass. Antalet intervjupersoner var tillräckligt för att besvara studiens

frågeställning och tio deltagare gav därmed ett mättat resultat. Inga bortfall i urvalet förekom då alla elever som planerades delta i intervjun kunde närvara vid

intervjutillfället. Att använda kvalitativa semistrukturerade intervjuer för att samla in empirin var ett metodval som lämpade sig väl för att svara på studiens syfte och

frågeställning. Frågorna i intervjuguiden samt följdfrågor bidrog till att eleverna kunde utveckla sina resonemang. Innan jag gjorde intervjuerna tog jag del av information om hur semistrukturerade intervjuer fungerar samt vad som kan vara viktigt att tänka på vid intervjuer med barn. Med hjälp av den informationen så kände jag mig tryggare i min roll som intervjuare. Min upplevelse av intervjusituationen var att de flesta intervjuerna flöt på bra och eleverna kunde känna sig trygga och svara obehindrat. Det fanns dock vissa omständigheter med intervjuerna som kan ha gjort att resultatet har påverkats och vissa bortfall har uppstått. Bryman (2018) beskriver att bortfall är en felkälla som kan

uppkomma om intervjupersonen inte vill samarbeta, inte går att nå eller av någon anledning inte kan svara på frågorna (Bryman, 2018). Många av eleverna som intervjuades har ett annat modersmål än svenska och har enligt klassläraren svårt att uttrycka sig i svenska språket. Detta kan ha resulterat i att några elever kan ha haft svårt

29 att formulera sina tankar eller haft svårt att förstå intervjufrågorna. Några elever mindes inte hur de hade svarat eller visste inte hur de hade tänkt på testet vid intervjutillfället. Därför kunde inte deras uppfattningar tas med vilket kan ses som ett bortfall. Även att intervjuerna var korta så var det några elever som hade svårt att koncentrera sig mot slutet. Detta ledde till att det inte gick att få konkreta svar på de sista frågorna från dessa elever och kan därför ses som bortfall. Trots dessa omständigheter var övervägande antal intervjuer lyckade och de resulterade i varierade uppfattningar kring uppgifterna i testet. Eftersom intervjuerna behandlade olika aspekter av taluppfattning så var analysen och kategoriseringen av materialet svårt och tidskrävande. Det var svårt att strukturera upp resultatet på ett logiskt sätt till en början. Braun och Clarke (2016) tematiska

analysprocess samt mina tre frågeställningar hur beskriver eleven sina lösningar?, Vilket

fokus har de i sina beskrivningar?, Vilka resonemang använder eleven när den förklarar sin lösning? hjälpte mig att till slut kategorisera uppfattningarna samt att behålla fokus på

studiens syfte och frågeställning.

Valet av att använda ljudinspelningar vid intervjuerna ansåg jag var lyckat. Trost (2014) menar att det finns både för- och nackdelar med att spela in en intervju. Fördelarna kan vara att det går att höra vilket tonfall och ordval intervjupersonen använder samt att det går att lyssna på intervjuerna flera gånger och att det går att transkribera. Nackdelarna med ljudupptagning kan vara att det kan ta tid att lyssna igenom och att det är svårt att spola fram och tillbaka för att hitta detaljer (Trost 2014). Jag upplevde att fördelarna vägde över nackdelarna då jag såg det som positivt att kunna lyssna flera gånger på intervjuerna. Anteckningarna som fördes under intervjun var en viktig komplettering till ljudinspelningarna och underlättade analysprocessen. Viktiga gester som eleverna gjorde kunde noteras vilket ledde till en mer detaljerad gestaltning av empirin. Det är svårt att säga om eleverna på något sätt påverkades av att anteckningar fördes vid intervjuerna. Det kan tänkas att de kände att de inte kunde uttrycka sig fullt ut när de märkte att det skrevs ner, om så är fallet kan detta ha påverkats studiens resultat. Något som hade kunnat göra analysprocessen lättare hade kunnat vara om intervjuerna videoinspelades. Mina egna erfarenheter och kunskaper kan ha påverkat tolkningen av empirin då det vid kvalitativa studier är nära omöjligt att inte låta det hända. Det finns risk att jag omedvetet har tolkat elevernas svar eller kroppsspråk på ett sätt som de egentligen inte menade. För att minimera mitt eget tolkningsutrymme så mycket som möjligt var jag noga med att

30 ställa följdfrågor som klargjorde elevernas resonemang. En positiv aspekt av att ha god erfarenhet och kunskap inom området är att jag har kunnat utforma uppgifter och intervjufrågor som har varit relevanta för studiens syfte. Då materialet blev massivt kan jag i efterhand fastställa att en aspekt av taluppfattning hade räckt att undersöka. Det hade kunnat ge en djupare bild av just det fenomenet. Arbetet resulterade i stället i en något ytligare analys av flera aspekter. Dock kan jag se det som positivt att få erfara elevernas tankar och uppfattningar inom flera områden inför min kommande yrkesroll. Tillförlitlighet och äkthet

Kvalitativa studier bör enligt Bryman (2018) bedömas och värderas utifrån kriterierna

tillförlitlighet och äkthet. Tillförlitlighet inbegriper i kvalitativa studier fyra delkriterier

vilka är trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet och objektivitet. Äkthet innefattar bland annat att ge en rättvis bild av undersökningen och de uppfattningar som finns bland personerna som har undersökts (Bryman, 2018).

För att säkerställa studiens tillförlitlighet och äkthet har ljudupptagningar tagits när intervjuerna genomfördes. Ljudupptagningarna kan stärka det resultat som har

presenterats för att visa att det stämmer överens med den verklighet som har skildrats. Filmupptagningar hade kunnat styrka trovärdigheten ytterligare vilket kan ses som en svaghet i studien då det medvetet valdes bort. Trost (2014) menar att videoinspelningar gör att gester och kroppsspråk lättare kan dokumenteras till skillnad från att bara göra ljudupptagningar (Trost, 2014). Nackdelen med videoinspelning kan dock vara att eleverna känner sig iakttagna och hindras därför att uttrycka sina tankar så som de hade velat. Intervjuerna och studiens genomförande följer Vetenskapsrådets etiska principer som visar på att studien har genomförts enligt de etiska reglerna. Studien visar endast ett fåtal elevers uppfattningar vilket gör att resultatet inte är generaliserbart så en liknande studie kan därför visa en annan bild av elevers uppfattningar. Studiens syfte var dock att ge en djupare bild av några elevers resonemang och inte en generell beskrivning.

Studiens pålitlighet och objektivitet säkerställs genom att studiens tillvägagångssätt har beskrivits i metodavsnittet där läsaren systematiskt kan följa val av metod, datainsamling, genomförande, analysprocess och etiska ställningstaganden.

31 Resultatdiskussion

Flertalet forskare är eniga om att en god taluppfattning är grundläggande för elevers fortsatta lärande inom matematik (Andrews et al., 2015; Lunde, 2011; Löwing, 2017; McIntosh, Reys & Reys, 1992; Shumway, 2011; Unenge, Sandahl, & Wyndhamn, 1994). Då matematiksvårigheter kan grunda sig i en bristande taluppfattning (Lunde, 2011; Shumway, 2011; Unenge et al., 1994) är det viktigt att vi som lärare är medvetna om hur elever uppfattar och erfar centrala aspekter av taluppfattning. Genom denna medvetenhet kan vi stötta elever i sitt lärande utifrån elevens perspektiv. Denna studie kan förhoppningsvis hjälpa blivande och yrkesverksamma lärare att få en inblick i hur olika elever i årskurs 1 kan uppfatta centrala aspekter av taluppfattning så som mönster i talföljder, siffrans platsvärde och uppdelning av tal och därigenom synliggöra dessa aspekter i undervisningen. I följande avsnitt ställs resultatet i relation till tidigare forskning och yrkesrollen.

Mönster i talföljder

Studiens resultat visar att elever uppfattar mönster i talföljder på skilda sätt. Utifrån de olika kategorierna av uppfattning kan det konstateras att eleverna använder olika strategier när de försöker urskilja struktur i talföljdens mönster. Andrews och Sayers (2015) menar att kunna se mönster i talföljder är en viktig förmåga kopplat till grundläggande taluppfattning. Om denna förmåga är väl utvecklad bidrar det till att elevers förmåga att räkna och utföra beräkningar också stärks (Andrews och Sayers, 2015).

Vid intervjuerna upptäcktes att mönster i talföljder var svårt för eleverna och de elever som hade svarat fel på testet hade också svårt att resonera kring sina tankar. I och med att deras resonemang var svåra att tolka kan det ha bidragit till att resultatet inte har beskrivit alla uppfattningar och strategier som eleverna hade. Även analysen av testet kan bekräfta att mönster i talföljder var svårt. Över 25 % av eleverna svarade fel uppgifterna som handlade om mönster i talföljder vilket kan vara viktigt att uppmärksamma. Elever som saknar förmågan att se mönster i talföljder skulle kunna löpa stor risk för att senare hamna i matematiksvårigheter (Clarke & Shinn, 2004, refererad i Andrews & Sayers, 2015).

32 Utifrån resultatet kan det konstateras att elever som beskrivs i kategori 1 gällande

aritmetisk talföljd verkar ha utvecklat en strategi för att identifiera mönstret i talföljden. Eleverna tittar på skillnaden mellan delarna och sedan på helheten för att urskilja ett mönster. Att se helheten är nödvändigt när eleverna senare möter talföljder som inte är konstanta. Dessa elever har upptäckt den kritiska aspekt som Ekdahl (2014) beskriver om att talföljder är ordnade efter en viss struktur och regelbundenhet. Elever som tillhör kategori 2 fokuserar endast på sista talet i talföljden och inte helheten vilket gör att de missar talföljdens struktur. Denna strategi är inte särskilt framgångsrik då eleverna bara fokuserar på att fortsätta talraden efter det sista kända talet utan att titta på vad som tidigare hänt i talföljden. Ekdahl (2014) menar att mönstret måste urskiljas utifrån dess helhet. Det räcker alltså inte att bara urskilja de sista talen för att förstå talföljdens uppbyggnad. Ekdahl (2014) nämner ytterligare en kritisk aspekt som handlar om att eleven måste kunna urskilja att alla talföljder inte är uppbyggda på samma sätt (Ekdahl, 2014). Då denna del av resultatet grundar sig på aritmetiska talföljder med en konstant skillnad är det svårt att dra slutsatsen om eleverna har urskilt denna aspekt. Det hade behövts flera typer av talföljder för att undersöka det. I och med att elever som tillhör kategori 2 redan vid enklare talföljder inte kan urskilja mönster kan det tänkas att de förmodligen kommer att få svårt att urskilja olika typer av talföljder i senare årskurser såvida de inte får chans att utveckla en mer hållbar strategi. Resultatet visar att eleverna inte har upptäckt vissa kritiska aspekter som Ekdahl (2014) beskriver. Detta kan indikera på att läraren behöver observera hur eleverna ser talföljder och erbjuda återkommande tillfällen att låta eleverna resonera kring olika talföljders uppbyggnad för att på så sätt ge dem chans att upptäcka de kritiska aspekterna.

För att bredda resultatdelen kring mönster i talföljder undersöktes utöver aritmetisk talföljd även talföljd med flera okända tal. Att kunna identifiera tal som saknas i en talföljd är en viktig förmåga relaterat till taluppfattning (Andrews & Sayers, 2015) och genom att intervjua eleverna kring en sådan typ av talföljd kunde ytterligare

uppfattningar och strategier identifieras. De två kategorier av uppfattningar som upptäcktes visar på två skilda uppfattningar och strategier som elever använder för att lösa uppgiften. Eleverna i kategori 2 kan inte se att det finns ett logiskt mönster att följa för att identifiera de okända talen. De elever som däremot tillhör kategori 1 har utvecklat den förmåga att kunna se mönster i talföljder. Dessa elever har urskilt att raderna är ordnade i kolumner om tio vilket innebär att de snabbt kan urskilja till exempel att sista

33 raden börjar på 31 och behöver inte räkna sig till den slutsatsen. Denna strategi sparar mycket tid och tankeverksamhet jämfört med att behöva räkna systematiskt upp till det okända talet. Detta skulle kunna betyda att det är viktigt att lyfta fram och synliggöra olika slags mönster och samband i undervisningen och att eleverna får chans att utveckla effektiva strategier.

Siffrans platsvärde

Något som framkom i studiens resultat som också lyfts av McIntosh (2008) är elevers svårighet att skriva tresiffriga tal. Detta var utmärkande för kategori 2 där det framkom att eleverna skrev ut varje enhet av talet som det låter, i en slags utvecklad form. I testet som eleverna genomförde upptäcktes att mer än hälften av eleverna hade svårt att förstå siffrans platsvärde vid tal över hundra. Att förstå siffrans platsvärde är en viktig förmåga kopplat till taluppfattning och Lunde (2011) menar att elever måste behärska detta för att kunna utföra addition- och subtraktionsuppgifter. Med andra ord är denna kunskap betydelsefull för att kunna utvecklas i matematiken.

En annan kritisk aspekt som framkom under intervjuerna och som också lyfts av

McIntosh (2008) var att det fanns en svårighet i att förstå siffrans värde i ett tal. Eleverna hade till exempel uppfattningen om att siffran 1 i talet 15 stod för 1 istället för 10 eller att 2:an i 234 betyder bara 2 istället för 200. Enligt McIntosh (2008) är siffrans platsvärde kopplat till förståelsen för positionssystemet. Kunskaper om positionssystemet utgör enligt flera forskare en central del i begreppet taluppfattning (Löwing, 2017; McIntosh, et al., 1992). Att utveckla elevers kunskaper om siffrans platsvärde kan därför ses som en väsentlig del i matematikundervisningen då detta är kopplat till både beräkningar och förståelsen för positionssystemet.

En tänkbar anledning till att testet visade att eleverna hade svårt med siffrans platsvärde på tal över hundra kan vara att eleverna inte har fått möta ett så högt talområde i

undervisningen ännu. Löwing (2017) och Lunde (2011) poängterar att taluppfattning utvecklas med hjälp av god och genomarbetad undervisning och talrelaterade

erfarenheter. Detta är något som även kan bekräftas utifrån studiens resultat. Elever som tillhör kategori 1 visar sig förstå siffrans platsvärde genom att, som de själva beskriver, ha tränat. Det krävs med andra ord övning och erfarenhet genom väl planerad

undervisning för att eleverna ska erfara siffrans platsvärde på rätt sätt. Resultatet visar alltså på att det är viktigt att läraren låter eleverna möta talrelaterade uppgifter som gör

34 att de kan utveckla det McIntosh (2008) kallar för talfakta, alltså en känsla för tal och dess uppbyggnad.

Uppdelning av tal

I resultatet kunde det konstateras att elever som beskrivs i kategori 2 är beroende av fingerräkning eller ritade bilder som stöd för att dela upp talen. Eftersom Löwing (2017) menar att subitizeringsförmågan, alltså förmågan att se antal som grupper utan att behöva räkna en och en, beskrivs som en central aspekt inom grundläggande taluppfattning skulle detta kunna innebära att läraren behöver, förutom symboler, erbjuda konkret material som är grupperat så att eleven kan se hur en helhet kan delas upp på olika sätt. Tidigare forskning visar på att fingerräkning kan vara mer eller mindre framgångsrik beroende på hur eleverna går tillväga (Lundberg och Sterner, 2006; Ekdahl, 2020; Neuman, 2013). Lundberg och Sterner (2006) menar att denna strategi inte gynnar elevernas utveckling på lång sikt. Att behöva konkretisera vid beräkningar kan nämligen vara tidiga tecken på räknesvårigheter. Eleverna som måste använda fingrar kan ha svårt för talfakta och måste därför förlita sig på konkreta hjälpmedel vilket gör att de riskerar att hamna i matematiksvårigheter (Lundberg & Sterner, 2006). Svårigheter med att komma ihåg räknestrategier och talfakta kan också grunda sig i bristande långtidsminne (Malmer, 1996, refererad i Lunde, 2011) vilket kan leda till att eleverna tvingas använda konkret material för att lösa uppgifter. Ekdahl (2020) menar dock att fingerräkning kan användas på ett framgångsrikt sätt. Om eleverna ser fingrarna som ett slags mönster kan det gynna deras förmåga att se tals del-helhetsrelationer. Det är däremot viktigt att vara uppmärksam så att eleverna inte använder fingrarna för dubbelräkning vilket Neuman (2013) menar är en strategi som inte gynnar elevers abstrakta aritmetiska tänkande. Eleverna som beskrivs i kategori 2 använde fingrarna för att räkna ett- till- ett vilket innebär att de inte använder fingermönster som Ekdahl (2020) beskriver gynnar inlärningen. Detta indikerar på att undervisningen bör fokusera på att låta eleverna utveckla en strategi där de kan se fingrarna som ett mönster när de ska dela upp tal. Elever som beskrivs i kategori 1, där fokus är talfakta, har byggt upp sådan känsla för tal som gör att de klarar uträkningarna utan konkret material. McIntosh (2008) menar att elever som har utvecklat kunskap om talfakta har en känsla för tal och hur de är uppbyggda samt använder fungerande räknestrategier (McIntosh, 2008). Lunde (2011) menar dessutom att det är viktigt att förstå tals egenskaper för att utvecklas inom

35 matematiken (Lunde, 2011). Det McIntosh (2008) och Lunde (2011) beskriver är något som eleverna i kategori 1 visat sig ha utvecklat.

En aspekt som har upptäckts under studiens gång är eleverna som tillhör kategori 3 som har uppfattningen om att tal inte går att delas om det inte delas upp i lika stora delar. Dessa elever har med andra ord inte utvecklat en strategi för att dela upp tal i olika stora delar vilket enligt Löwing (2017) är en viktig aspekt kopplat till taluppfattning.

36

Referenslista

Andrews, P., & Sayers, S. (2015). Identifying Opportunities for Grade One Children to Acquire Foundational Number Sense: Developing a Framework for Cross Cultural Classroom Analyses. Early Childhood Education Journal, 43(4), 257–267.

doi:10.1007/s10643-

Andrews, P., Sayers, J., & Marschall, G. (2015). Developing foundational number sense: Number line examples from Poland and Russia. Cerme 9 (Congress of the European

Society for Research in Mathematics Education), 9, 1681-1686. doi: hal-01287990

Barrera-Moraa, F., & Reyes-Rodriguezb, A. (2019). Fostering Middle School Students’ Number Sense Through Contextualized Tasks. Iejee (International Electronic Journal of

Elementary Education), 12, 75-85. doi:10.26822/iejee.2019155339

Braun, V., & Clarke, V. (2006). Using thematic analysis in psychology. Qualitative

Research in Psychology, 3(2), 77–101. https://doi.org/10.1191/1478088706qp063oa

Bruce, C. D., Fluynn, T. C., & Bennett, S. (2016). A focus on exploratory tasks in lesson study: The Canadian ‘Math for Young Children’ project. ZDM Mathematics Education, 48, 541–554. doi:10.1007/s11858-015-0747-7

Bryman, A. (2018). Samhällsvetenskapliga metoder. Liber.

Clarke, B., & Shinn, M. (2004). A preliminary investigation into the identification and development of early mathematics curriculum-based measurement. School Psychology

Review, 33(2), 234-248. https://www-proquest-

com.proxy.library.ju.se/docview/219654703/fulltextPDF/E9DA75475DF147B2PQ/1?acc ountid=11754

Ekdahl, A-L. (2014). Talföljder. Skolverket.

https://larportalen.skolverket.se/LarportalenAPI/api- v2/document/path/larportalen/material/inriktningar/1- matematik/Grundskola/411_algebra%20%C3%A5k1-

3/3_bedomningforutvecklingavundervisningialgebra/material/flikmeny/tabA/Artiklar/A1 -3_03A_03_Talfoljder.docx

37 Ekdahl, A-L. (2020). Different Learning Possibilities from the Same Activity—Swedish Preschool Teachers’ Enactment of a Number Relation Activity. Scandinavian Journal of

Educational Research, 65 (4), 601-614.

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00313831.2020.1739131

Erixson, L., Frostfeldt Gustavsson, K., Kerekes, K., & Lundberg, B. (2013). Att se det