Christian Bennet och Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet
Inledning
Får man tro Herodotos (ca 424 – 485 f.v.t. – före vår tideräkning, alltså före år 1), den mest välkända av de antika grekiska historikerna, har geometrin sitt ursprung i behovet av att mäta landområden. Går vi, exempelvis, till det gamla Egypten, svämmade Nilen där varje år över sina bräddar och suddade ut gränserna mellan olika jordlotter. För att fördela odlings-jorden igen efter en regnperiod behövde man metoder för att mäta ut var gränserna skulle gå. Ordet geometri härrör också från grekiskans där , geo, betyder jord och
, metria, betyder mäta. Det är då inte svårt att förstå att den så kallade egyptiska tri-angeln, alltså den rätvinkliga triangeln med sidorna 3, 4 och 5, kunde spela en viktig roll rent praktiskt; exempelvis kan ett rep med längden 120 måttenheter1 som förses med knutar efter 30, 40 och 50 måttenheter, om det spänns upp i form av en triangel med knutarna i hörnen, användas för att åstadkomma en rät vinkel. Samma teknik kunde också användas exempelvis för att åstadkomma en öst–väst–linje utifrån en astronomiskt fastställd nord–
syd–linje.
Inget material finns bevarat från den här tiden, men termen för vad vi idag kallar lantmätare var just repsträckare, arpedomnapti på grekiska. Dokument som är från runt år 2000 f.v.t.
visar att man i Egypten kände till Pytagoras sats, i alla fall den ena riktningen av denna, nämligen att om summan av kvadraterna på två sidor i en triangel är lika med kvadraten på den tredje sidan, så är triangeln rätvinklig. Vid samma tid kunde man också räkna ut areor och volymer av olika geometriska figurer och troligen använda likformiga trianglar för att beräkna höjder.
Även babylonierna var vid den här tiden kunniga i geometri. Bland annat är det troligt att de kände till en formel för att konstruera vad vi idag kallar egyptiska trippler, det vill säga trippler av heltal (a, b, c) sådana att 𝑎2 + 𝑏2= 𝑐2. Exempel på sådana trippler är (3, 4, 5), (5, 12, 13) och (65, 72, 970).
1 I det forna Egypten användes måttenheten kubit. En kubit var lite drygt en halv meter.
Det är dock tveksamt om man vare sig i det forna Egypten, i Babylonien eller, för den de-len, i det gamla Kina eller Indien, ägnade geometrin ett mer systematiskt intresse. I vilket fall är det först i Grekland som geometrin uppstår som en del av matematiken så som vi känner den, och den förste vetenskapsman som med någon grad av säkerhet kan tillskrivas egna resultat inom området, är Thales. Om honom vet vi dels att han studerade både astro-nomi och matematik i Egypten, dels att han grundade den första matematiska akademin i Miletos runt år 500 f.v.t. Informationskällan här är Proclus (8 februari 412 – 17 april 485), föreståndare för Platons akademi i mitten av 400-talet. Enligt honom visade Thales exem-pelvis att en triangel bestäms av två vinklar och mellanliggande sida, något som kunde an-vändas för att bestämma avståndet till ett skepp med hjälp av två observationspunkter i land.
En av dem som nämns bland de tidiga grekiska geometrikerna är förstås Pytagoras (runt år 500 f.v.t.). Ibland påstås han ha varit den förste, inte att formulera, men att bevisa Pytagoras sats, men i själva verket vet vi i det närmaste ingenting om honom. Enligt tidiga källor, exempelvis Platon och Aristoteles, var han en välkänd filosof med stort intresse för själa-vandring, men det är inte alls klart att han verkligen var matematiker och det finns ingenting som tyder på att han författade några skrifter. Det tidigaste större verket om geometri som finns bevarat är författat av Euklides. Detta verk går under benämningen Euklides Ele-menta och vi återkommer till det längre fram.
När romarna kom i allt närmare kontakt med den grekiska kulturen påverkades också ro-marnas kulturella utbud och geometri blev en del av den romerska kulturen. Framför allt påverkades konst och arkitektur, men även inom filosofin hade geometrin en roll att spela.
Romerska författare översatte grekiska skrifter om geometri och via romarrikets expansion spreds dessa skrifter, också upp till det avlägsna Norden.
Vid denna tid och långt framöver, var geometri, men även matematik i stort, en integrerad del i den mänskliga civilisationen och kulturen. Att studera och lära geometri sågs som ett tecken på bildning och Euklides elementa var skolexemplet på vetenskaplig teori. Romarnas syn på matematik i allmänhet var i första hand praktisk, men både greker och romare ansåg att användandet av geometri utvecklade tänkandet och på så sätt utvecklade människans liv i stort.
With this argument is connected a reason of more practical nature, which is attested in both Cicero and Vitruvius: the study of the arts, to which geometry and mathematics are
reckoned, shapes the mind formally, that is to say, sharpens the wit, promotes readiness at learning […]2
Geometri betraktades som en intellektuell utmaning och ansågs hjälpa alla studerande till abstrakt och fördjupat tänkande och i romarnas översättningar av grekernas geometri skap-ades en nästan religiös ansats. Geometri utgjorde sedan en väsentlig del i den av kyrkan styrda utbildningen under mer än tusen år.
Geometrins två ansikten
I Grekland förändrades geometrin från att ha varit en praktisk verksamhet inom lantmäteri och arkitektur, till att bli en vetenskap i modern mening. Bäst syns detta i en samling böcker som går under benämningen Euklides Elementa. Detta är en samling bestående av tretton böcker i vilka Euklides (ca 325 – 265 f.v.t.) presenterar den samlade kunskapen inom ma-tematikens olika områden i Grekland runt år 300 f.v.t. De sex första böckerna behandlar geometriska figurer i planet, de sista behandlar rymdgeometri och de mellanliggande hand-lar om talteori i olika former.
Bakom framställningen i Elementa kan man tydligt urskilja idén att å ena sidan betrakta geometrin rent abstrakt, och att å andra sidan utnyttja figurer och konstruktioner i de ab-strakta resonemangen. Däremot förekommer inga tillämpningar utanför den rena matema-tiken, inga förslag på hur lantmätaren eller astronomen kan använda geometrin. Geometrin som matematik är i den meningen tydligt skild från geometrin som naturvetenskap. Fram-ställningen i Elementa är i själva verket det första exemplet på vad man brukar kalla en axiomatisk framställning: Utifrån enkla, grundläggande, axiom och definitioner, visar Eukli-des hur mer komplexa samband kan härledas. Sådana resonemang kallas deduktiva, vilket innebär att de slutsatser man drar följer logiskt ur de antaganden man utgår ifrån. Exempel-vis beExempel-visar han att det följer ur axiomen att vinkelsumman i vilken som helst triangel sum-merar till två räta vinklar, det vill säga, med dagens språkbruk, till 180. Även i talteorin är framställningen i viss mån deduktiv och här presenterar han det första kända beviset för att det finns oändligt många primtal.
David Hilbert (1862 – 1943), en av de mest framstående av alla matematiker i modern tid, skiljer i förordet till sin bok Anschauliche Geometrie3 mellan två tydliga allmänvetenskapliga
2 Bohlin, E. (2009). Geometry in Varro, Cicero, and Vitruvius: A Philological Study. Avhandling, Göteborgs universitet. Sid 230.
tendenser; målsättningen att abstrahera respektive målsättningen att uppnå intuitiv förstå-else. Genom abstraktion försöker forskaren utkristallisera de logiska förhållandena i det material han studerar, medan han i den intuitiva förståelsen försöker få en klar bild av dessa samband, av deras djupare betydelse och sammanhang.
I geometrin blir dessa två tendenser mycket tydliga. Med hjälp av bilder och konkreta kon-struktioner, försöker man skapa sig en förståelse för hur olika geometriska figurer eller tre-dimensionella kroppar förhåller sig till varandra. Man illustrerar samband mellan inskrivna och omskrivna figurer, areor, längder, volymer, proportioner, et cetera. I undervisningen tar sig detta uttryck i att man använder sig av laborativa material som olikformade klotsar, mönsterskapande pussel eller föremål som förekommer naturligt i vår vardag. Man använ-der passare och linjal och man viker, klipper och klistrar. Samtidigt vill geometrikern i möj-ligaste mån frigöra sig från de fallgropar som intuitionen lätt skapar om man tenderar att förlita sig alltför mycket på bilderna. Om vi, till exempel, ritar en triangel på tavlan och mäter vinklarna i denna med en gradskiva eller något annat mätinstrument, kommer vi helt säkert till att vinklarna tillsammans utgör ungefär 180, men sådana mätningar utgör ju inte argument för att vinklarna i varje triangel summerar till precis 180, inte ens för att de i de flesta trianglar summerar till ungefär 180. För att fastställa detta, krävs i stället ett bevis, det vill säga ett bindande argument.
I Elementa börjar Euklides med att införa definitioner av enkla geometriska begrepp: En punkt är det som inte har några delar, en rät linje ligger jämnt mellan sina ändpunkter, en cirkel består av alla punkter som ligger på samma avstånd från en given punkt, osv. Därefter formulerar han fem enkla axiom, också kallade postulat4, varefter han bevisar olika sam-band mellan de begrepp han infört, med utgångspunkt i de första enkla axiomen. Alltef-tersom arbetet fortskrider kan han successivt införa nya begrepp och använda sig av de resultat han redan har bevisat, utöver de första axiomen. På så sätt kan han bevisa mer och mer komplexa påståenden.
De fem postulat som Euklides utgår ifrån är:
1. Man kan dra en rät linje från en punkt till en annan.
2. Man kan godtyckligt förlänga en rät linje.
3 Publicerad 1932 är detta en introduktion till analytisk geometri. Den kom i engelsk översättning 1952 under titeln Geometry and Imagination.
4 Euklides skiljer axiom från postulat, något vi inte har anledning att göra här.
3. Man kan, med en given medelpunkt, konstruera en cirkel med given radie.
4. Alla räta vinklar är lika.
5. Om en linje skär två andra linjer så att de inre vinklar denna bildar med de två linjerna på ena sidan om linjen, tillsammans är mindre än två räta vinklar, så möts de två linjerna i förlängningen i en punkt på den sida om den skärande linjen för vilken vinklarna tillsammans är mindre än två räta.
De första fyra postulaten är lätta att förstå och tycks intuitivt sanna. Men för att förstå det femte postulatet är det nästan nödvändigt att ta fram papper och penna och rita upp en bild:
Figur 1: Illustration till Euklides femte postulat
Det är också tydligt att Euklides själv gav det femte postulatet en särställning. Han dröjer in i det längsta med att använda det och undviker det även i fall där argumenten hade kunnat förenklas med dess hjälp.
Under seklernas gång var det många som försökte härleda det femte postulatet från de öv-riga, men ingen lyckades med det. På 1700-talet försökte man, exempelvis, ersätta det femte postulatet med det så kallade parallellaxiomet5:
Givet en linje och en punkt som inte ligger på linjen, finns precis en linje genom punkten som är parallell med den givna linjen.
5 Detta axiom kallas ofta för Playfairs axiom efter den skotske matematikern John Playfair (1748 – 1819), trots att denne i sin tur hänvisar till, bland andra, William Ludlam (1718–
1788).
Att två linjer är parallella betyder helt enkelt att de inte har någon skärningspunkt, det vill säga att ingen punkt ligger på båda linjerna.
Parallellaxiomet följer ur Euklides femte postulat och man hittade ett antal påståenden som alla är ekvivalenta med parallellaxiomet, men ingen lyckades visa att något av dessa påståen-den följer ur Euklides övriga axiom. Några av dessa är följande:
• Vinkelsumman i alla trianglar är 180°.
• Det finns en triangel med vinkelsumma 180°.
• Vinkelsumman är densamma i alla trianglar.
• Det finns minst två likformiga, men inte kongruenta trianglar.
• Varje triangel kan omskrivas med en cirkel.
• Om tre av vinklarna i en fyrhörning är räta, så är den fjärde vinkeln också rät.
• Det finns en rektangel.
• Det finns två linjer mellan vilka avståndet är konstant.
• Två linjer som är parallella med en tredje, är sinsemellan parallella.
• Pytagoras sats
• Det finns trianglar med godtyckligt stor area.
• Om en linje skär den ena av två parallella linjer, så skär den också den andra.
Euklides presenterar geometrin som en abstrakt vetenskap om väldefinierade begrepp som punkt, linje, triangel, eller cirkel. Hans metod är uttalat deduktiv, alltså resonerande, men han förlitar sig på illustrerande bilder och konstruktioner. Nu är det förstås långt ifrån själv-klart att just Euklides axiom på ett uttömmande sätt beskriver dessa objekt. Varför skulle allt som är sant om abstrakta geometriska figurer följa ur just dessa axiom? Är det ens klart att Euklides femte postulat är sant i verkligheten?
Den förste som tänkte tanken att Euklides axiom kanske inte gav en korrekt beskrivning av världen, var Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), enligt egen utsago strax före år 1800. Men de första att publicera resultat i den riktningen var, oberoende av varandra, Nikolaj Ivano-vitj Lobatjevskij (1792 – 1856) och János Bolyai (1802 – 1860). Lobatjevskij publicerade sina rön 1829 och Bolyai 1832.
Det dröjde dock ända till slutet av artonhundratalet innan man kunde åstadkomma en mer uttömmande och i modern mening korrekt axiomatisering av geometrin. Bland annat be-rodde detta på att man inte förrän mot slutet av 1800-talet hade tillgång till den formella logik som krävdes, det vill säga till en djupare förståelse av vad en deduktiv metod egentlig-en innebär. 6
Men är parallellaxiomet sant i verkligheten? Eftersom parallellaxiomet, tillsammans med de övriga axiomen i Euklides, eller än hellre Hilberts, axiomatisering, implicerar att vinkel-summan i alla trianglar är precis 180°, kan vi empiriskt undersöka frågan genom att mäta vinklarna i trianglar som bestäms av ljusstrålar. Vi tänker oss då att ljuset färdas längs räta linjer, något som vi har anledning att tro av fysikaliska skäl. Med dagens mätteknik, kan vi då de facto konstatera att parallellaxiomet är falskt! Vinkelsumman i mycket stora trianglar, där hörnen placeras i avlägsna stjärnor, är inte 180°!
I själva verket är alltså Euklides geometri inte en korrekt beskrivning av geometrin för vårt fysiska universum, även om man här måste uttrycka sig med viss försiktighet. Sambandet mellan fysikaliska begrepp som gravitation och matematiska begrepp som rät linje är långt ifrån enkelt.
Tänker vi oss, däremot, att våra intuitioner om relativt små geometriska figurer i planet så att säga utsträcks till att gälla rummet som helhet, så är den euklidiska geometrin sann.
Ickeeuklidisk geometri
Genom att ersätta parallellaxiomet i Hilberts axiomatisering med följande axiom Givet en linje och en punkt som inte ligger på linjen, finns minst två linjer genom punkten som är parallella med den givna linjen 7
får vi en teori som brukar kallas för hyperbolisk geometri. Det var denna geometri som stude-rades av Gauss, Bolyai och Lobatjevskij. Ett annat alternativ vore förstås att ersätta parallel-laxiomet med påståendet att det genom punkten i fråga inte finns någon linje parallell med den givna linjen, men då måste man ändra även i de övriga axiomen, för ur dessa följer att
6 År 1899 presenterade David Hilbert en uttömmande axiomatisering av geometrin i sin bok Grundlagen der Geometrie.
7 Fortfarande är två linjer parallella om de inte har någon skärningspunkt.
det finns minst en parallell linje genom den givna punkten. Gör man sådana ändringar får man vad som brukar kallas för elliptisk geometri, en teori som bland annat beskriver geome-trin på ytan av en sfär, där räta linjer utgörs av storcirklar.
Vi har alltså tre olika geometrier, den euklidiska, den hyperboliska och den elliptiska. Var och an av dem beskriver sina egna matematiska strukturer och var och en av dem har sitt eget matematiska intresse och sina egna kopplingar till andra områden inom matematiken.
Alla tre kan också, men i olika sammanhang, utgöra effektiva hjälpmedel för till exempel fysikern eller astronomen. Man kan säga att matematiken bestämmer vilka strukturer, i det här fallet geometrier, som är möjliga. Sedan är det fysikerns uppgift att bestämma vilken av dessa som bäst beskriver verkligheten.
I en naturlig mening är det alltså snarast en ickeeuklidisk geometri som bäst beskriver vårt universum, i alla fall om vi vill beskriva universum ur en global synvinkel. En av de mest grundläggande idéerna bakom Einsteins generella relativitetsteori, är att identifiera ion med en krökning av rummet. Det innebär att ljusstrålar som böjs av i ett starkt gravitat-ionsfält, exempelvis om de passerar nära en stjärna, påverkas av gravitationen som därmed, eftersom ljusstrålarna följer räta linjer, påverkar rum-tidens geometri.
Globalt kan universums geometri kopplas ihop med dess kosmologiska utveckling. Ett globalt sett elliptiskt universum är ett universum där den sammanlagda massan är tillräckligt stor för att bromsa universums expansion och på sikt tvinga universum att i stället kontra-heras. I ett hyperboliskt universum räcker inte massan till för att helt bromsa expansionen, utan där fortsätter universum att expandera i all evighet. Ett euklidiskt universum balanserar precis på gränsen mellan dessa alternativ. Nobelpriset 2011 tilldelades upptäckten att uni-versum i själva verket är globalt hyperboliskt.
Det är inte helt enkelt att föreställa sig en ickeeuklidisk geometri i tre eller fyra, eller kanske till och med elva, dimensioner som det här handlar om, men om vi i stället tittar på ett två-dimensionellt rum, så blir det lite enklare.
Vi tänker oss att vi är tvådimensionella varelser som lever i ytan av en sfär. Hur ser då vår tvådimensionella omvärld ut? Låt oss ta ett exempel: Säg att vi startar en resa rakt norrut från en punkt A på sfärens ekvator. När vi når nordpolen svänger vi 90° åt vänster och fortsätter resan söderut. Efter att ha nått ekvatorn igen i en punkt B svänger vi igen 90° åt vänster och fortsätter längs ekvatorn. Så småningom återkommer vi då till vår utgångspunkt A. Vi kan då konstatera att vi har färdats längs sidorna i en triangel med vinkelsumman 3 · 90 = 270°, det vill säga en triangel med tre räta vinklar. I själva verket kan vi empiriskt kon-statera att alla trianglar vi mäter kommer att ha en vinkelsumma som överstiger 180° och att trianglarnas vinkelsumma beror av deras areor.
Om vi mäter förhållandet mellan omkretsen och diametern i olika cirklar, upptäcker vi att värdet alltid kommer att vara konstant, men mindre än . Vilket värde vi får, beror av sfä-rens storlek.
Om sfären inte är för stor, kan vi också notera att vi, genom att resa i en och samma rikt-ning kan återkomma till en given utgångspunkt och att det, givet en rät linje och en punkt utanför linjen, inte verkar finnas någon rät linje genom punkten som inte skär den givna linjen. Snarare verkar alla räta linjer skära varandra. Troligen skulle vi så småningom gissa att geometrin i vårt universum snarare är elliptisk än euklidisk.
Empiriska studier av vår omvärld skulle alltså hjälpa oss att gissa vilken geometri som bäst beskriver vår värld, medan det matematiska studiet av, i det här fallet elliptisk, geometri skulle ge oss insikter om olika egenskaper hos geometrin som sådan.
Tänker vi oss i stället att vi levde på ett mycket stort plan med mindre bucklor lite här och var, skulle vi kanske upptäcka att geometrin i stort sett var euklidisk, men med lokala stör-ningar i form av områden med en mer elliptisk geometri. Om det dessutom i centrum av varje sådant område låg ett stort föremål, kanske vi skulle kalla de geometriska störningarna gravitation och koppla ihop geometrin med vår fysikaliska beskrivning av världen.
Geometrins roller
En slutsats vi kan dra av vad vi sagt hittills, är att geometrin kan ha olika funktioner och betraktas ur olika aspekter. Vi kan se en geometri som en matematisk teori, grundad i en uppsättning axiom. Inom teorin kan man bevisa olika påståenden och olika teorier beskri-ver olika abstrakta matematiska strukturer. Geometrin utgör då en deduktiv teori.
Vi kan också betrakta en geometri som en beskrivning av universum eller av en idealiserad vardagsvärld. Olika geometrier är då olika lämpliga, beroende av precis vad det är vi vill beskriva. Geometrin ges ett empiriskt innehåll.
Genom historien har dessa två synsätt blandats ihop och olika filosofer har funderat mycket
Genom historien har dessa två synsätt blandats ihop och olika filosofer har funderat mycket