Identifiering av överdämpat system

Här beskrivs en enkel metod för identifiering av ett överdämpat andra ordningens system utan nollställe utgående från dess stegsvar.

Systemets överföringsfunktion ges av ekvation (5.20), eller ifall en dödtid

L

inkluderas,

(

₁

^e )(

₂

)

( ) 1 1

K Ls

G s T s T s

=

−

+ +

^(5.29)

– Liksom tidigare bestäms systemets förstärkning

K

enligt ekvation (5.7).

– En eventuell dödtid ges av den tid som stegsvarets initialrespons är fördröjd i för-hållande till stegförändringen.

– Huvudproblemet är således att bestämma systemets tidskonstanter

T

₁ och

T

₂. I det följande antas att

T

₁

≥ T

₂. Som gränsfall kan systemet vara

• kritiskt dämpat (

T

₁

= T

₂),

• av första ordningen (

T

₂

= 0

).

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

Modifierad Harriotts metod

Harriott (1964) har utvecklat en relativt enkel grafisk metod för bestämning av över-föringsfunktioner av typen (5.29) utgående från stegsvar.

Eftersom numeriska beräkningar av den typ som ligger till grund för metoden inte utgör något problem nuförtiden, skall vi här presentera en något förbättrad version av Harriotts metod.

Principiell beskrivning

– Alla system av typen (5.29) har ett stegsvar som når 72 % av slutliga totala föränd-ringen vid en tidpunkt

t ≈ + L 1, 25( T

₁

+ T

₂

)

. Om man först uppskattar dödtiden

L

får man enkelt summan av tidskonstanterna från stegsvaret vid denna tidpunkt.

– Stegsvaren för system med olika värden på parametern

z = T

₁

( T

₁

+ T

₂

)

är väl

separerade vid tidpunkten t = +L 0,5(T₁ +T₂). Parametern

z

ger en god karakteristik av systemets egenskaper eftersom

• ett första ordningens system har

z = 1

,

• ett kritiskt dämpat 2:a ordningens system har

z = 0,5

,

• för ett överdämpat 2:a ordningens system gäller

0,5 < < z 1

.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

0

Figur 5.12 visar stegsvaret för ett första ordningens system, ett kritiskt dämpat andra ord-ningens system samt ett överdämpat andra ordord-ningens system med

z = 0,8

.

– Stegsvaren är normerade så att utsignalen

y

dividerats med slutliga förändringen y_∞ och tiden anges

uppskattas utgående från tidpunkten

τ

72 och stegsvarets värde vid

τ

_z kan användas för en uppskattning av parametern

z

enligt diagrammet i figur 5.13.

– När

Σ = + T

_i

T

₁

T

₂ och

z = T

_i

/ Σ T

_i är kända kan tidskonstanterna

T

₁ och

T

₂ beräknas.

Figur 5.12. Stegsvar för överdämpade 2:a ordningens system med olika värden på

z

.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

– Det är tack vare tidsaxelns normering i figur 5.12 som stegsvaren når 72 % vid samma normerade tidpunkt

τ

₇₂ samt har den goda separeringen vid en annan normerad tidpunkt

τ

_z.

– Denna normering förutsätter att man känner tidskonstanternas summa samt den eventuella dödtiden, vilket man dock inte gör när man skall identifiera systemet.

Konkret arbetsgång

Lyckligtvis kan proceduren omformas så att den kan användas med den verkliga tidsvariabeln t.

– Beteckna tidpunkten när stegsvaret når 72 % av totala förändringen enligt den verkliga tidsskalan med t₇₂.

– Uppskatta tidskonstanternas summa

Σ T

_i enligt

0,8(

72

)

T

i

t L

Σ = −

(5.30)

där

L

är dödtiden, som uppskattas separat. Ofta kan man (inledningsvis) anta att

0

L =

, såvida det inte är uppenbart av stegsvaret att något annat värde vore bättre.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

0.25

stegsvaren för olika typers system avviker mest ifrån varandra. Denna tidpunkt ges av

0, 4

72

0, 6

t

z

= t + L

^(5.31)

– Beteckna utsignalens värde vid denna tidpunkt med

y

_z.

– Beräkna förhållandet y_z

/

y_∞, där den slutliga förändringen

y

_∞, liksom

y

z, kan avläsas från stegsvaret.

– Avläs ur diagrammet i figur 5.13 det

z

som motsvarar

y

_z

/ y

_∞. Om

/ 0, 27

yz y_∞

<

, kan

z

dock inte bestämmas. Proceduren ovan upp-repas då med en större dödtid

L

. – Beräkna systemets tidskonstanter

T

₁

= Σ z T

_i,

T

₂

= Σ − T

_i

T

₁ (5.32)

Figur 5.13. y_z för olika värden på

z

.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

Iterativ förbättring

Ovan beskrivna procedur ger i allmänhet tillräckligt noggranna estimat av

T

₁ och

T

₂.

Metoden baserar sig på antagandet

τ

₇₂

= 1, 25

, men såsom figur 5.14 visar varierar dock

τ

72 något med

z

.

Om

τ

₇₂ enligt figur 5.14 avviker mer än önskvärt från värdet

1, 25

, kan estimaten av tidskonstanterna förbättras på följande sätt:

– Avläs

τ

₇₂ ur figur 5.14 för det

– Beräkna nya estimat av tids-konstanterna enligt (5.32).

Märk att estimatet av

z

enligt figur 5.13 inte påverkas eftersom

y

_z inte förändras.

1.24

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

4Exempel 5.2. Approximativ identifiering med 1:a och 2:a ordningens system.

Vi skall utgående från enhetsstegsvaret för ett system som beskrivs av överförings-funktionen

( )( ¹ )( )

( ) 6 1 4 1 2 1

G s = s s s

+ + +

⁽¹⁾

bestämma

a) en approximativ modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangent-metoden;

b) en approximativ modell av andra ordningen med ev. dödtid enligt Harriotts modifierade metod.

För jämförelsens skull skall vi också bestämma optimalt anpassade modeller av första och andra ordningen samt jämföra de olika modellernas stegsvar med det exakta

stegsvaret.

För enkelhets skull räknar vi med dimensionslösa tider (dvs vi använder ingen enhet).

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

Insignalen

u

är ett enhetssteg, dvs

U s ( ) = 1/ s

. Vi får då enhetsstegsvaret

Detta uttryck finns inte i vår Laplacetransformtabell, vilket innebär att vi behöver göra en partialbråksuppdelning. Vi förbigår detaljerna och konstaterar att inverstransformering av det allmänna uttrycket

(

1

)(

2

) (

3

)

som finns uppritat i figur 5.15.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

För både a)- och b)-fallet behövs systemets förstärkning

K

.

För ett enhetssteg är

u

_steg

= 1

och enligt figur 5.15 är y_∞

= 1

. Ekvation (5.7) ger då förstärkningen

K = 1

^.

Figur 5.15. Enhetsstegsvaret för systemet

G s ( )

.

1 Enhetsstegsvar för systemet

y(t)

t

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

a) Vi skall bestämma en modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden.

– Vi börjar med att dra en tangent genom den punkt där stegsvaret har sin brantaste lutning och avläser var tangenten skär tidsaxeln. Skärningspunkten har

tidskoordinaten

t ≈ 2, 5

, vilket ger dödtiden

L ≈ 2, 5

.

– Vid 63 % av totala förändringen y_∞ är y

=

y₆₃

= 0, 63

y_∞

= 0, 63

. Detta värde uppnås vid

t ≈ 12, 5

(mycket approximativt), vilket betyder att

L T + ≈ 12,5

^.

Vi har bestämt ett system av första ordningen med

K = 1

,

T = 10

och

L = 2,5

, dvs ett system med överföringsfunktionen

2,5

Figur 5.16 visar detta stegsvar tillsammans med det verkliga systemets stegsvar.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

a) Anpassat första ordningens system

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Optimerat första ordningens system

Man kan även bestämma modellparametrarna numeriskt genom minimering av kvadrat-summan av skillnaden mellan modellens och det verkliga systemets stegsvar i ett antal punkter. En sådan optimering ger

K = 1, 02

,

T = 9, 05

och

L = 3,83

.

Figur 5.16. Enhetsstegsvaren för

G s ( )

(heldragen linje) och G s

( )

(streckad).

Figur 5.17. Enhetsstegsvaren för

G s ( )

och optimerad anpassning (streckad linje).

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

b) Vi skall bestämma en modell av andra ordningen med Harriotts modifierade metod.

– Vi börjar med att bestämma den tidpunkt då systemet nått 72 % av den totala förändringen. Enligt figur 5.15 får vi t₇₂ ≈15.

– På basen av stegsvaret ser det ut som om det skulle behövas en dödtid

L ≈ 1

. I allmänhet får man dock som helhet en bättre anpassning genom att välja en dödtid som är aningen större än den ”verkliga”, vilket även framgår av a)-fallet. Låt oss därför välja

L = 1, 5

. Enligt ekvation (5.30) får vi då

Σ ≈ T

_i

10,8

.

– Nästa steg är att bestämma

t

_z enligt ekvation (5.31), vilket här ger

t

_z

≈ 6, 9

. Enligt stegsvaret i figur 5.15 är vid denna tidpunkt y = y_z ≈ 0.275, vilket då y_∞

= 1

ger

0, 6

z ≈

(mycket approximativt).

– Ur figur 5.14 kan vi då avläsa ett korrigerat

τ

₇₂ ≈1, 264, som enligt ekvation (5.33) ger en korrigerad tidskonstantsumma

Σ ≈ T

_i

10, 68

.

– Ekvation (5.32) ger tidskonstanterna

T

₁

= Σ ≈ z T

_i

6, 41

och

T

₂

= Σ − ≈ T

_i

T

₁

4, 27

.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

Vi har bestämt ett system av andra ordningen med överföringsfunktionen

1,5

som har enhetsstegsvaret

(

^{/ 6,41 / 4,27}

)

Detta stegsvar finns avbildat i figur 5.18 tillsammans med det verkliga systemets stegsvar.

– Enligt figuren förefaller anpassningen mycket god.

En optimering av parametrarna för ett andra ordningens system med dödtid genom anpassning till det verkliga stegsvaret ger

K = 1, 002

, T₁ = T₂ = 5, 35 och

L = 1, 38

. Figur 5.19 visar stegsvaret för detta system och stegsvaret för det verkliga systemet.

– Anpassningen är endast marginellt bättre än den som erhölls med Harriotts modifierade metod.

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1 b) Anpassat andra ordningens system

y(t)

1 Optimerat andra ordningens system

y(t)

och optimerad anpassning (streckad linje).

5.3 System av andra ordningen

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

In document 5. Enkla dynamiska system (Page 26-40)