5. Enkla dynamiska system

(1)

5. Enkla dynamiska system

Laboratoriet för reglerteknik

Reglerteknik I / KEH

5. Enkla dynamiska system

I kapitel 3 härleddes modeller för ett antal dynamiska system från olika teknikområden.

– Gemensamt för systemen var att de kunde beskrivas med ordinära differential- ekvationer av låg ordning.

– I flera fall var differentialekvationerna olinjära, men dessa kan linjäriseras kring ett referenstillstånd, vanligtvis ett jämviktsläge.

I detta kapitel skall vi studera egenskaperna hos vissa typer av enkla, linjära, dynamiska system.

– Speciellt härleds tidssvaret för systemens utsignaler för väldefinierade insignalföränd- ringar såsom impulser och steg. Analys av systemegenskaper med hjälp av dylika insignaler kallas transientanalys.

– Enkla grafiska metoder för experimentell bestämning av en modell utgående från systemets stegsvar genomgås också. Bestämning av systemegenskaper, t.ex. över- föringsfunktionen, utgående från mätningar av in- och utsignalerna kallas system- identifiering, eller helt enkelt identifiering.

(2)

5. Enkla dynamiska system

5.1 Integrerande system

Ett integrerande system är den enklaste typen av dynamiskt system som kan beskrivas med en differentialekvation. Det förmodligen mest typiska processexemplet på ett

integrerande system är en vätskebehållare.

4Exempel 5.1. Vätskebehållare.

Betrakta vätskebehållaren i figur 5.1.

•

V

= volymen vätska i behållaren

• F₁ = volymströmmen vätska som tillförs

• F₂ = volymströmmen vätska som strömmar ut Märk att

V

är systemets utsignal (beroende

variabel), medan F₁ och F₂ är insignaler (oberoende variabler). Se avsnitt 2.3.

F₁

F₂ V

Figur 5.1. Vätskebehållare.

(3)

5.1 Integrerande system

En massbalans kring behållaren ger under antagande av konstant densitet (som kan förkortas bort) modellen

1 2

d d

V F F

t

= −

(1)

Denna ekvation är linjär och vi kan direkt ersätta variablerna med Δ-variabler så att vi får

1 2

d d

V F F

t

Δ = Δ − Δ

(2)

Laplacetransformering med beaktande av att begynnelstillstånden är noll ger

1 2

( ) ( ) ( )

s V s

Δ = Δ

F s

− Δ

F s eller

1

₁

1

₂

( ) ( ) ( )

V s F s F s

s s

Δ = Δ − Δ

(3)

Systemets två överföringsfunktioner är

1

( ) 1 ( )

V s

F s s

Δ =

Δ

och

2

( ) 1

( )

V s

F s s

Δ = −

Δ

⁽⁴⁾

som enligt Laplacetransformen motsvaras av integraler i tidsplanet. 3

(4)

5.1 Integrerande system

Allmänt kan ett linjärt integrerande system med insignalen u och utsignalen

y

beskrivas med differentialekvationen

d d

y Ku

t

=

eller

d d

T y u

t

=

(5.1)

Systemets överföringsfunktion är

( ) 1

( ) ( )

Y s K

G s

=

U s

=

s

=

Ts (5.2)

Övning 5.1.

Härled och skissera upp (a) impulssvaret

(b) stegsvaret (c) rampsvaret

för

Δ

V t

( )

vid en förändring i inströmmen F₁ till vätskebehållaren i figur 5.1. 3

(5)

5. Enkla dynamiska system

5.2 System av första ordningen

Ett linjärt system av första ordningen kan beskrivas med differentialekvationen

d

T y y Ku

t

+ =

(5.3)

där K är systemets förstärkning och T dess tidskonstant. Systemet har överföringsfunktionen

( ) ( )

( ) 1

Y s K

G s

=

U s

=

Ts

+

^(5.4)

5.2.1 Transientsvar

Systemets tidssvar y t

( )

för en given insignal u t

( )

kan enkelt bestämmas genom invers Laplacetransformering med hjälp av en Laplacetransformtabell. Två ofta betraktade insignalfunktioner är (se avsnitt 4.2)

• impulsfunktionen

• stegfunktionen

(6)

5.2.1 Transientsvar

Impulssvaret

Om systemets insignal är en impuls med tidsintegralen (”arean”) I , dvs

u t

( ) =

I

δ ( )

t

där

δ ( )

t är enhetsimpulsen (Diracs deltafunktion) gäller enligt Laplacetransformtabellen

( )

U s

=

I Invers Laplacetransformering av

( ) ( ) ( )

1

Y s G s U s KI

= =

Ts

+

ger då impulssvaret

( ) K I e

^{t T}/

y t T

=

− ^(5.5)

(7)

5.2.1 Transientsvar

Stegsvaret

Om insignalen är en stegförändring av storleken u_steg, dvs

u t

( ) =

u_steg

σ ( )

t

där

σ ( )

t är enhetssteget, gäller

( )

steg

/

U s

=

u s Invers Laplacetransformering av

(

^steg

)

( ) ( ) ( )

1

Y s G s U s Ku

Ts s

= =

+

ger då stegsvaret

(

^/

)

( )

steg

1 e

^{t T}

y t

=

Ku

−

⁻ (5.6)

(8)

5.2.1 Transientsvar

0 0.37 KI/T

y

0 T 2T 3T 4T t

Figur 5.2. Impulssvaret för ett system av första ordningen.

0 0.63 Ku_steg

y

0 T 2T 3T 4T t

Figur 5.3. Stegsvaret för ett system av första ordningen.

– Kurvornas begynnelseriktning (dvs deras derivata) fås genom att dra en hjälplinje mot punkten t

=

T på slutvärdesasymptoten (det nya jämviktsläget).

– Svarens avstånd till slutvärdesasymptoten vid tiden t

=

T är

1/ e = 0.368

av totala utsignalförändringen.

– I praktiken nås nytt jämviktsläge (inom 2%) vid tiden

t ≈ 4 T

( i teorin dock

∞

lång tid).

(9)

5.2 System av första ordningen

5.2.2 Identifiering från stegsvar

Av ovanstående är det uppenbart att systemets förstärkning och tidskonstant kan identifieras (dvs bestämmas) från transientsvaret, som kan genereras experimentellt genom en lämplig förändring av insignalen.

Härvid använder man sig vanligtvis av stegförändringar, bl.a. för att en väldefinierad impuls är svår att åstadkomma.

Vid identifiering genom stegförsök fås systemets förstärkning enligt

/

steg

K

=

y_∞ u (5.7)

• u_steg är storleken av insignalens stegförändring

• y_∞ = den totala utsignalförändringen när t

→ ∞

.

Olika metoder existerar för bestämning av systemets tidskonstant och en ev. dödtid (se avsnitt 5.4). I det följande genomgås några enkla ”grafiska” metoder.

(10)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

63 % av totala förändringen

– För ett första ordningens systemet kan tidskonstanten bestämmas utgående från skärningspunkten mellan slutvärdesasymptoten (y_∞

=

Ku_steg) och tangenten (dvs derivatan) till stegsvaret i den punkt där förändringen börjar (se figur 5.3).

Tidskoordinaten för denna skärningspunkt är lika med systemets tidskonstant.

– I praktiken är det dock svårt att bestämma tangentens riktning (dvs stegsvarets begynnelsederivata) med god noggrannhet.

Bättre är att utnyttja den punkt där stegsvaret nått 63,2 % av totala förändringen.

– Man kan enkelt visa att stegsvaret för ett första ordningens system når denna punkt när en tid lika med systemets tidskonstant har förflutit sedan stegsvarets början.

Tidskonstanten ges med andra ord av tidskoordinaten för den punkt där 63,2 % av totala förändringen nås.

– Allmänt kan man kalla tidskonstanten som fås från 63,2 % av totala förändringen för ekvivalent tidskonstant även om systemet inte är av första ordningen.

(11)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

I praktiken innehåller ett system ofta en dödtid, t.ex. på grund av en transportfördröjning.

Stegsvaret fördröjs då med motsvarande tid, vilket bör beaktas vid identifieringen.

Ett första ordningens system med en dödtid L har överföringsfunktionen

( ) e

( ) ( ) 1

Y s K

Ls

G s U s T s

= =

−

+

^(5.8)

och stegsvaret

(

^/

)

( )

steg

1 e

^{t T}

y t + L = K u −

⁻ ^(5.9)

En stegförändring vid

t = 0

ger ett stegsvar som startar vid tidpunkten

L

och når 63,2 % av totala förändringen vid tiden

L T +

. Båda parametrarna fås således från samma stegsvar. I figur 5.4 har stegsvaret normerats genom division med y_∞.

0 0.63 1

y/y_∞

0 L L+T t

Figur 5.4. Identifiering av 1:a ordningens system via 63 % av totala förändringen.

(12)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

Tangentmetoden

I praktiken har man knappast någonsin ett perfekt första ordningens system (med eller utan dödtid).

– Ofta har stegsvaret inte sin brantaste lutning genast i början, vilket ett system av första ordningen skulle ha.

– Det betyder att systemet är av högre ordning än första ordningen.

Ibland vill man ändå approximera systemet som ett 1:a ordningens system med dödtid.

Figur 5.5 illustrerar en sådan metod.

– Systemets förstärkning beräknas på normalt sätt enligt ekvation (5.7).

– För dödtiden och tidskonstanten dras en tangent genom stegsvarets inflektionspunkt

i i

( ,

t y

)

, dvs där lutningen är brantast. Tangentens skärningspunkt med tidsaxeln ger dödtiden L, skärningspunkten med slutvärdesasymptoten har tidskoordinaten L T

+

.

0 yi/y

∞

1

y/y∞

0 L t

i L+T t

Figur 5.5. Identifiering av 1:a ordningens system med tangentmetoden.

(13)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

– Både Ziegler-Nichols’ och Cohen-Coons stegsvarsbaserade rekommendationer för inställning av PID-regulatorer (se avsnitt 8.4) utgår ifrån att modellens parametrar bestämts enligt tangentmetoden.

– Såsom figur 5.5 visar kan modellens stegsvar (den streckade linjen) dock avvika avsevärt från det verkliga stegsvaret. Eftersom stegsvaret för ett första ordningens system har sin brantaste lutning i början, där den är lika med den uppdragna

tangentens lutning, och därefter avtar, är det lätt att inse att modellens stegsvar alltid kommer att ligga under det verkliga stegsvaret.

– Den med tangentmetoden bestämda tidskonstanten är med andra ord för stor.

– Detta hindrar inte att metoden kan var ok för regulatorinställning, men den är relativt dålig för modellidentifiering.

(14)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

Modifikation av tangentmetoden En beaktansvärd modifikation av ovan- nämnda två metoder erhålles om man kombinerar dem. Man bestämmer då

• dödtiden enligt tangentmetoden

• tidskonstanten = den ekvivalenta tidskonstanten, dvs tiden det tar för steg-

svaret att nå 63,2 % av hela förändringen.

– Detta förfarande ger en modell vars

stegsvar (den streckade linjen i figur 5.6) överensstämmer betydligt bättre med det verkliga stegsvaret.

– Denna metod är också mindre störningskänslig eftersom man utnyttjar två punkter av stegsvaret för att bestämma modellens parametrar.

– Enligt ordinarie tangentmetoden försöker bestämma både dödtiden och tids- konstanten utgående från stegsvarets egenskaper i en enda punkt, inflektionspunkten, som dessutom är svår att hantera i praktiken.

0 y_i/y

∞

0.63 1

y/y∞

0 L t_i L+T t

Figur 5.6. Identifiering av 1:a ordningens system med modifierade tangentmetoden.

(15)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

Sundaresan-Krishnaswamys metod – Inflektionspunkten och den punkt där

stegsvaret når 63,2 % av totala

förändringen ligger ofta nära varandra.

– En bättre anpassning kan förväntas om man använder två punkter som ligger något längre ifrån varandra.

– Enligt Sundaresan och Krishnaswamy (1977) skall man använda de två punkter där det verkliga stegsvaret når 35 % resp.

85 % av den totala förändringen.

Om tidskoordinaten för de två punkterna

betecknas t₃₅ resp. t₈₅, kan man med hjälp av ekvation (5.9) härleda

85 35

0, 682 ( )

T

=

t

−

t (5.10)

35

0, 431

L

=

t

−

T (5.11)

Förstärkningen K beräknas enligt ekvation (5.7).

0 0.35 0.85 1

y/y∞

0 t

35 t

85 t

Figur 5.7. Identifiering av 1:a ordningens system från 35% och 85% av förändringen.

(16)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

Logaritmmetoden

Det finns ett enkelt sätt att kontrollera hur väl ett experimentellt stegsvar stämmer

överens med stegsvaret för ett första ordningens system (med eller utan dödtid) utan att egentligen bestämma modellens parametrar.

Från ekvation (5.9) kan man härleda sambandet

ln y y t ( ) t L

y T

∞

⎛ − ⎞ = − −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

^,

y

_∞

= Ku

^steg (5.12)

– Om uttrycket till vänster i ekvationen uppritas som funktion av t, fås för ett system av första ordningen en rät linje som har lutningskoefficienten −1/ T och som skär

tidsaxeln (dvs har värdet noll) i punkten

t = L

.

Samma uttryck kan beräknas och uppritas för ett godtyckligt experimentellt stegsvar.

– Om det erhållna sambandet är ”tillräckligt” linjärt är systemet av första ordningen.

• Samtidigt får man systemets tidskonstant utgående från den räta linjens lutnings- koefficient och dess eventuella dödtid från linjens skärningspunkt med tidsaxeln.

(17)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

– Om sambandet är måttligt olinjärt kan man tänka sig att bestämma en approximativ modell av första ordningen genom att anpassa en rät linje till sambandet.

• Det ligger nära till hands att dra linjen så att den asymptotiskt sammanfaller med det uppritade experimentella sambandet när t går mot oändligheten.

• Detta ger dock en för stor dödtid och för liten tidskonstant. Bör välja mindre lutning.

0

−1

z

z = ln(1−y/y

∞)

0 L L+T t

Figur 5.8. Identifiering av 1:a ordningens system med logaritmmetoden.

0 1

y/y∞

0 t

Figur 5.9. Stegsvaret för 1:a ordningens system identifierat med logaritmmetoden.

(18)

5.2.2 Identifiering från stegsvar

Sammanfattningsvis kan man säga att

• den modifierade tangentmetoden

• metoden föreslagen av Sundaresan och Krishnaswamy (punkterna 35% och 85%) är säkerligen de bästa av de här presenterade enkla grafiska metoderna för identifiering av ett första ordningens system med dödtid.

(19)

5. Enkla dynamiska system

5.3 System av andra ordningen

Ett strikt propert linjärt system av andra ordningen kan beskrivas med differentialekvationen

2

1 2 1 2

2

d d d

d d

d

y y u

a a y b b u

t t

t + + = +

(5.13)

och överföringsfunktionen

1 2

2

1 2

( ) ( )

( )

b s b G s Y s

U s s a s a

= = +

+ +

^(5.14)

Vi skall endast behandla system med b₂

≠ 0

och i detta avsnitt endast fall där b₁

= 0

, dvs system med överföringsfunktioner som saknar nollställe.

I avsnitt 5.5 behandlas fall med b₁

≠ 0

.

(20)

5.3 System av andra ordningen

För att framhäva systemets generella egenskaper skrivs överföringsfunktionen ofta på formen

2

2 2

( ) 2

n

n n

G s K

s s

ω

ζω ω

= + +

^(5.15)

där K är systemets förstärkning,

ζ

benämnes relativ dämpning och

ω

_n odämpad egen- frekvens eller naturlig frekvens. Ibland används också formen

( )

2 2

2 1

n n

G s K

T s

ζ

T s

= + +

^(5.16)

där T_n

= 1/ ω

_n. Någon allmänt vedertagen benämning på T_n finns inte, både naturlig period och andra ordningens tidskonstant förekommer.

Systemet sägs vara underdämpat om

0 ≤ < ζ 1

, kritiskt dämpat om

ζ = 1

och överdämpat om

ζ > 1

^{. Om}

ζ < 0

är systemet instabilt.

(21)

5.3 System av andra ordningen

5.3.1 Transientsvar

Transientsvaret till en given insignalförändring kan på normalt sätt bestämmas genom invers Laplacetransformering.

Härvid bör man beakta att lösningens form är olika beroende på om systemet är

• underdämpat

• överdämpat

• kritiskt dämpat Orsaken är att

• ett underdämpat system (

0 ≤ < ζ 1

) har komplexa poler (dvs rötterna till den karakteristiska ekvationen är komplexa)

• ett överdämpat system (

ζ > 1

) har reella poler

• ett kritiskt dämpat system (

ζ = 1

) har en reell dubbelpol

(22)

5.3.1 Transientsvar

Kritiskt dämpat system

Överföringsfunktionen för ett kritiskt dämpat system skrivs ofta på formen

( )

²

( )

n

1

G s K

T s

= +

^(5.17)

där T_n

= 1/ ω

_n. Impuls- och stegsvaret fås genom invers Laplacetransformering av uttrycket Y s

( ) =

G s U s

( ) ( )

.

För en impuls av storleken I är U s

( ) =

I , vilket ger impulssvaret

/

( )

2

e

^{t T}ⁿ

n

K I t y t T

=

− (5.18)

För en stegförändring av storleken u_steg gäller U s

( ) =

u_steg

/

s, vilket ger stegsvaret

(

^/

)

( )

steg

1 (1 /

_n

) e

^{t T}ⁿ

y t = Ku − + t T

⁻ (5.19)

Svaren finns avbildade i figur 5.10 och 5.11 (

ζ = 1

).

(23)

5.3.1 Transientsvar

Överdämpat system

Överföringsfunktionen för ett överdämpat andra ordningens system skrivs oftast i formen

(

1

)(

2

)

( ) 1 1

G s K

T s T s

= + +

^(5.20)

där

T

₁ och

T

₂ är relaterade till

ω

_n och

ζ

enligt (antages

T

₁

> T

₂)

2 1

1

n

T

ζ ζ

ω

+ −

=

^, ₂ ²

1

n

T

ζ ζ

ω

− −

=

(5.21)

1 2

1

n

T T

ω =

^, ¹ ²

2

1 2

T T

ζ = T T ⁺

^(5.22)

Systemet har impulssvaret

(

^/ ¹ ^/ ²

)

1 2

( ) K I e

^{t T}

e

^{t T}

y t T T

− −

= −

−

^(5.23)

och stegsvaret

(

^/ ¹ ^/ ²

)

steg 1 2

1 2

( ) 1 1 e

^{t T}

e

^{t T}

y t Ku T T

T T

− −

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − − − ⎟ ⎠

^(5.24)

Svaren finns avbildade i figur 5.10 och 5.11 (

ζ > 1

).

(24)

5.3.1 Transientsvar

Underdämpat system

Det faktum att karakteristiska ekvationen för ett underdämpat system har komplexa rötter gör att de analytiska uttrycken för systemets transientsvar innehåller trigonometriska

funktioner.

För impulssvaret fås

( )

_n 1

e

ⁿ^t

sin(

_n

)

y t = K I ω β

⁻ ⁻^{ζ ω}

βω t

^(5.25)

där

1

2

β = − ζ

,

0 ≤ < ζ 1

(5.26)

Stegsvaret blir

(

¹

)

( )

steg

1 e

ⁿ^t

sin(

_n

)

y t = Ku − β

⁻ ⁻^{ζ ω}

βω t + φ

(5.27)

där

arccos( )

φ = ζ

,

0 ≤ < ζ 1

(5.28)

Alternativt kan stegsvaret med hjälp av trigonometriska samband (eller en annan form av Laplacetransformen) uttryckas med

sin( βω

_n

t )

^och

cos( βω

_n

t )

^.

Svaren ses i figur 5.10 och 5.11 (

ζ < 1

).

(25)

5.3.1 Transientsvar

Normerade transientsvar

Figur 5.10 visar impulssvaret och figur 5.11 stegsvaret för olika system av andra ordningen utan nollställe. När svaret och tiden normeras såsom i figurerna bestäms svaren entydigt av dämpningsfaktorn

ζ

^.

Transientsvaren för ett underdämpat system är oscillerande, medan de för ett kritiskt dämpat och ett överdämpat system är monotona.

−1 0 1 y

KIω_n

0 5 ω_nt 10

ζ = 0.1 0.3 0.6 1.51.0 2.5 5.0

Figur 5.10. Impulssvar för system av andra ordningen utan nollställe.

0 1 2 y

Ku_steg

0 5 ω_nt 10

ζ = 0.1

0.3 0.6

1.0 1.5

2.5 5.0

Figur 5.11. Stegsvar för system av andra ordningen utan nollställe.

(26)

5.3 System av andra ordningen

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Här beskrivs en enkel metod för identifiering av ett överdämpat andra ordningens system utan nollställe utgående från dess stegsvar.

Systemets överföringsfunktion ges av ekvation (5.20), eller ifall en dödtid

L

inkluderas,

(

₁

^e )(

₂

)

( ) 1 1

K Ls

G s T s T s

=

−

+ +

^(5.29)

– Liksom tidigare bestäms systemets förstärkning

K

enligt ekvation (5.7).

– En eventuell dödtid ges av den tid som stegsvarets initialrespons är fördröjd i för- hållande till stegförändringen.

– Huvudproblemet är således att bestämma systemets tidskonstanter

T

₁ och

T

₂. I det följande antas att

T

₁

≥ T

₂. Som gränsfall kan systemet vara

• kritiskt dämpat (

T

₁

= T

₂),

• av första ordningen (

T

₂

= 0

).

(27)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Modifierad Harriotts metod

Harriott (1964) har utvecklat en relativt enkel grafisk metod för bestämning av över- föringsfunktioner av typen (5.29) utgående från stegsvar.

Eftersom numeriska beräkningar av den typ som ligger till grund för metoden inte utgör något problem nuförtiden, skall vi här presentera en något förbättrad version av Harriotts metod.

Principiell beskrivning

– Alla system av typen (5.29) har ett stegsvar som når 72 % av slutliga totala föränd- ringen vid en tidpunkt

t ≈ + L 1, 25( T

₁

+ T

₂

)

. Om man först uppskattar dödtiden

L

får man enkelt summan av tidskonstanterna från stegsvaret vid denna tidpunkt.

– Stegsvaren för system med olika värden på parametern

z = T

₁

( T

₁

+ T

₂

)

är väl

separerade vid tidpunkten t = +L 0,5(T₁ +T₂). Parametern

z

ger en god karakteristik av systemets egenskaper eftersom

• ett första ordningens system har

z = 1

,

• ett kritiskt dämpat 2:a ordningens system har

z = 0,5

,

• för ett överdämpat 2:a ordningens system gäller

0,5 < < z 1

.

(28)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

0 y_z/y_∞ y/y_∞ 0.72

1

0 0.5 1.25 τ

z = 1 0.8

0.5 τ = (t −L)/(T₁+T₂)

Figur 5.12 visar stegsvaret för ett första ordningens system, ett kritiskt dämpat andra ordningens system samt ett överdämpat andra ordningens system med

z = 0,8

.

– Stegsvaren är normerade så att utsignalen

y

dividerats med slutliga förändringen y_∞ och tiden anges med variabeln

τ = − ( t L ) ( T

₁

+ T

₂

)

^.

– Stegsvaren når 72 % av totala för- ändringen vid

τ τ =

₇₂

≈ 1, 25

och de är väl separerade vid

τ τ =

_z

≈ 0, 5

. – Tidskonstanternas summa

Σ

T_i kan

uppskattas utgående från tidpunkten

τ

72 och stegsvarets värde vid

τ

_z kan användas för en uppskattning av parametern

z

enligt diagrammet i figur 5.13.

– När

Σ = + T

_i

T

₁

T

₂ och

z = T

_i

/ Σ T

_i är kända kan tidskonstanterna

T

₁ och

T

₂ beräknas.

Figur 5.12. Stegsvar för överdämpade 2:a ordningens system med olika värden på

z

.

(29)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

– Det är tack vare tidsaxelns normering i figur 5.12 som stegsvaren når 72 % vid samma normerade tidpunkt

τ

₇₂ samt har den goda separeringen vid en annan normerad tidpunkt

τ

_z.

– Denna normering förutsätter att man känner tidskonstanternas summa samt den eventuella dödtiden, vilket man dock inte gör när man skall identifiera systemet.

Konkret arbetsgång

Lyckligtvis kan proceduren omformas så att den kan användas med den verkliga tidsvariabeln t.

– Beteckna tidpunkten när stegsvaret når 72 % av totala förändringen enligt den verkliga tidsskalan med t₇₂.

– Uppskatta tidskonstanternas summa

Σ T

_i enligt

0,8(

72

)

T

i

t L

Σ = −

(5.30)

där

L

är dödtiden, som uppskattas separat. Ofta kan man (inledningsvis) anta att

0 L =

, såvida det inte är uppenbart av stegsvaret att något annat värde vore bättre.

(30)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

0.25 0.30 0.35 0.40 y_z/y

∞

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 z 1

y_z = stegsvar vid t = 0.4t₇₂+0.6L

z = T₁/(T₁+T₂)

– Låt

t

_z beteckna den tidpunkt i den verkliga tidsskalan som motsvarar

τ

_z

= 0, 4 τ

₇₂^{, där}

stegsvaren för olika typers system avviker mest ifrån varandra. Denna tidpunkt ges av

0, 4

72

0, 6

t

z

= t + L

^(5.31)

– Beteckna utsignalens värde vid denna tidpunkt med

y

_z.

– Beräkna förhållandet y_z

/

y_∞, där den slutliga förändringen

y

_∞, liksom

y

z, kan avläsas från stegsvaret.

– Avläs ur diagrammet i figur 5.13 det

z

som motsvarar

y

_z

/ y

_∞. Om

/ 0, 27

yz y_∞

<

, kan

z

dock inte bestämmas. Proceduren ovan upp- repas då med en större dödtid

L

. – Beräkna systemets tidskonstanter

T

₁

= Σ z T

_i,

T

₂

= Σ − T

_i

T

₁ (5.32)

Figur 5.13. y_z för olika värden på

z

.

(31)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Iterativ förbättring

Ovan beskrivna procedur ger i allmänhet tillräckligt noggranna estimat av

T

₁ och

T

₂.

Metoden baserar sig på antagandet

τ

₇₂

= 1, 25

, men såsom figur 5.14 visar varierar dock

τ

72 något med

z

.

Om

τ

₇₂ enligt figur 5.14 avviker mer än önskvärt från värdet

1, 25

, kan estimaten av tidskonstanterna förbättras på följande sätt:

– Avläs

τ

₇₂ ur figur 5.14 för det redan beräknade värdet på

z

. – Beräkna nytt estimat av

Σ T

_i enligt

72 72

( ) /

Ti t L

τ

Σ = −

(5.33)

– Beräkna nya estimat av tids- konstanterna enligt (5.32).

Märk att estimatet av

z

enligt figur 5.13 inte påverkas eftersom

y

_z inte förändras.

1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 τ₇₂

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 z 1

τ₇₂ = (t₇₂−L)/(T₁+T₂)

z = T₁/(T₁+T₂)

Figur 5.14.

τ

₇₂ för olika värden på

z

.

(32)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

4Exempel 5.2. Approximativ identifiering med 1:a och 2:a ordningens system.

Vi skall utgående från enhetsstegsvaret för ett system som beskrivs av överförings- funktionen

( )( ¹ )( )

( ) 6 1 4 1 2 1

G s = s s s

+ + +

⁽¹⁾

bestämma

a) en approximativ modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden;

b) en approximativ modell av andra ordningen med ev. dödtid enligt Harriotts modifierade metod.

För jämförelsens skull skall vi också bestämma optimalt anpassade modeller av första och andra ordningen samt jämföra de olika modellernas stegsvar med det exakta

stegsvaret.

För enkelhets skull räknar vi med dimensionslösa tider (dvs vi använder ingen enhet).

(33)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Insignalen

u

är ett enhetssteg, dvs

U s ( ) = 1/ s

. Vi får då enhetsstegsvaret

( ) ( ) ( ) 1

(6 1)(4 1)(2 1) Y s G s U s

s s s s

= =

+ + +

⁽²⁾

Detta uttryck finns inte i vår Laplacetransformtabell, vilket innebär att vi behöver göra en partialbråksuppdelning. Vi förbigår detaljerna och konstaterar att inverstransformering av det allmänna uttrycket

(

1

)(

2

) (

3

)

( ) 1

1 1 1

F s = T s T s T s s

+ + +

⁽³⁾

ger tidsfunktionen

3

1 2

2 2 2

/

/ / 3

1 2

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

( ) 1 e e e

( )( ) ( )( ) ( )( )

t T

t T t T

T

T T

f t T T T T T T T T T T T T

−

− −

= − − −

− − − − − −

⁽⁴⁾

I vårt fall får vi med

T

₁

= 6

,

T

₂

= 4

och

T

₃

= 2

stegsvaret

/ 6 / 4 / 2

9 1

( ) 1 e 4e e

2 2

t t t

y t = −

⁻

+

⁻

−

⁻ ⁽⁵⁾

som finns uppritat i figur 5.15.

(34)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

För både a)- och b)-fallet behövs systemets förstärkning

K

.

För ett enhetssteg är

u

_steg

= 1

och enligt figur 5.15 är y_∞

= 1

. Ekvation (5.7) ger då förstärkningen

K = 1

^.

Figur 5.15. Enhetsstegsvaret för systemet

G s ( )

.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

1 Enhetsstegsvar för systemet

y(t)

t

(35)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

a) Vi skall bestämma en modell av första ordningen med dödtid enligt modifierade tangentmetoden.

– Vi börjar med att dra en tangent genom den punkt där stegsvaret har sin brantaste lutning och avläser var tangenten skär tidsaxeln. Skärningspunkten har

tidskoordinaten

t ≈ 2, 5

, vilket ger dödtiden

L ≈ 2, 5

.

– Vid 63 % av totala förändringen y_∞ är y

=

y₆₃

= 0, 63

y_∞

= 0, 63

. Detta värde uppnås vid

t ≈ 12, 5

(mycket approximativt), vilket betyder att

L T + ≈ 12,5

^.

Vi har bestämt ett system av första ordningen med

K = 1

,

T = 10

och

L = 2,5

, dvs ett system med överföringsfunktionen

2,5 1

( ) 1 e

10 1 G s

s

=

−

+

⁽⁶⁾

Enhetssteget

U s ( ) = 1/ s

samt inverstransformering av Y s₁

( ) =

G s U s₁

( ) ( )

ger enhetsstegsvaret

/10 1

( 2, 5) 1 e

^t

y t + = −

⁻ (7)

Figur 5.16 visar detta stegsvar tillsammans med det verkliga systemets stegsvar.

(36)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y(t)

t

a) Anpassat första ordningens system

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t

y(t)

Optimerat första ordningens system

Man kan även bestämma modellparametrarna numeriskt genom minimering av kvadrat- summan av skillnaden mellan modellens och det verkliga systemets stegsvar i ett antal punkter. En sådan optimering ger

K = 1, 02

,

T = 9, 05

och

L = 3,83

.

Figur 5.16. Enhetsstegsvaren för

G s ( )

(heldragen linje) och G s

( )

(streckad).

G s ( )

och optimerad anpassning (streckad linje).

(37)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

b) Vi skall bestämma en modell av andra ordningen med Harriotts modifierade metod.

– Vi börjar med att bestämma den tidpunkt då systemet nått 72 % av den totala förändringen. Enligt figur 5.15 får vi t₇₂ ≈15.

– På basen av stegsvaret ser det ut som om det skulle behövas en dödtid

L ≈ 1

. I allmänhet får man dock som helhet en bättre anpassning genom att välja en dödtid som är aningen större än den ”verkliga”, vilket även framgår av a)-fallet. Låt oss därför välja

L = 1, 5

. Enligt ekvation (5.30) får vi då

Σ ≈ T

_i

10,8

.

– Nästa steg är att bestämma

t

_z enligt ekvation (5.31), vilket här ger

t

_z

≈ 6, 9

. Enligt stegsvaret i figur 5.15 är vid denna tidpunkt y = y_z ≈ 0.275, vilket då y_∞

= 1

ger

0, 6

z ≈

(mycket approximativt).

– Ur figur 5.14 kan vi då avläsa ett korrigerat

τ

₇₂ ≈1, 264, som enligt ekvation (5.33) ger en korrigerad tidskonstantsumma

Σ ≈ T

_i

10, 68

.

– Ekvation (5.32) ger tidskonstanterna

T

₁

= Σ ≈ z T

_i

6, 41

och

T

₂

= Σ − ≈ T

_i

T

₁

4, 27

.

(38)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

Vi har bestämt ett system av andra ordningen med överföringsfunktionen

1,5 2

( ) 1 e

(6, 41 1)(4, 27 1) G s

s

s s

=

−

+ +

⁽⁸⁾

som har enhetsstegsvaret

(

^{/ 6,41} ^{/ 4,27}

)

2

( 1, 5) 1 1 6, 41e 4, 27 e 2,14

t t

y t

+ = −

⁻

−

⁻ ⁽⁹⁾

Detta stegsvar finns avbildat i figur 5.18 tillsammans med det verkliga systemets stegsvar.

– Enligt figuren förefaller anpassningen mycket god.

En optimering av parametrarna för ett andra ordningens system med dödtid genom anpassning till det verkliga stegsvaret ger

K = 1, 002

, T₁ = T₂ = 5, 35 och

L = 1, 38

. Figur 5.19 visar stegsvaret för detta system och stegsvaret för det verkliga systemet.

– Anpassningen är endast marginellt bättre än den som erhölls med Harriotts modifierade metod.

(39)

5.3.2 Identifiering av överdämpat system

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 b) Anpassat andra ordningens system

y(t)

t 00 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 Optimerat andra ordningens system

y(t)

t

3 Figur 5.18. Enhetsstegsvaren för

G s ( )

(heldragen linje) och G s₂

( )

(streckad).

G s ( )

och optimerad anpassning (streckad linje).

(40)

5.3 System av andra ordningen

5.3.3 Identifiering av underdämpat system

Såsom framgår av figur 5.11 karakteriseras ett stegsvar av ett underdämpat system (

0 ≤ < ζ 1

) av oscillation.

Uppenbarligen kan svängningarnas amplitud och frekvens utnyttjas för identifiering av ett andra ordningens underdämpat system.

System med oscillerande stegsvar kan karakteriseras med hjälp av olika parametrar som kan utläsas ur stegsvaret. Ett antal dylika parametrar finns utmärkta i figur 5.20.

För att underlätta de verbala parameterdefinitionerna antar vi att

• utsignalens initialvärde är noll (dvs vi använder avvikelsevariabler)

• stegsvarets slutvärde är positivt (dvs en insignalförändring så att utsignalen ökar)

(41)

5.3.3 Identifiering av underdämpat system

y_max

y_∞ y_∞(1−δ)

y_∞(1−δ)

t_δ t_r

P

y

_∞ Utsignalens slutliga värde (>0).

ymax Utsignalens största värde, dvs första överslängens max-värde.

M

Maximal relativ översläng,

(

max

) /

M = y − y

_∞

y

_∞.

P

Svängningarnas periodtid

(speciellt den första perioden).

t

r Stigtid = tiden tills utsignalen första gången passerar

y

_∞. Ibland def. stigtiden som den tid det tar att första gången komma från 10 % till 90 % av

y

_∞.

t

_δ Insvängningstid, som är den tid det tar tills utsignalen i fortsättningen hålls mellan

(1 − δ ) y

_∞ och

(1 + δ ) y

_∞, dvs tills

(1 − δ )

y_∞

≤

y t

( ) ≤ + (1 δ )

y_∞, t

≥

t_δ , gäller.

Vanligtvis används

δ = 0, 05 = 5

% eller

δ = 0, 02 = 2

%.

Figur 5.20. Stegsvar för ett underdämpat system.

(42)

5.3.3 Identifiering av underdämpat system

Utgående från den analytiska lösningen av systemets stegsvar kan man härleda uttryck som relaterar dessa parametrar till parametrarna i systemets överföringsfunktion

2

2 2

( )

2

n

n n

G s K

s s

ω

ζω ω

= + +

^,

0 ≤ < ζ 1

^(5.34)

Med användning av beteckningen

β = 1 − ζ

² (5.35)

fås för maximala relativa överslängen:

y

^max

y e

^/

M y

π ζ β

∞ −

∞

= − =

(5.36)

för periodtiden:

2

n

P π

= βω

(5.37)

för stigtiden tills utsignalen passerar

y

_∞: _r

arctan( / )

n

t π β ζ

βω

= −

^(5.38)

Dessa uttryck är exakt härledda. För insvängningstiden gäller approximativt

ln( )

n

t

_δ

δ

≈ − ζω

,

M > δ

(5.39)

(43)

5.3.3 Identifiering av underdämpat system

Identifiering

Det är enklast, och i princip tillräckligt, att mäta

M

och

P

.

– Systemets relativa dämpning

ζ

kan bestämmas ur ekvationerna (5.35) och (5.36).

– Den odämpade egenfrekvensen

ω

_n fås ur ekvation (5.37).

– Stigtiden och ekvation (5.38) kan även användas i stället för (5.36) eller (5.37).

Systemets förstärkning

K

bestäms på normalt sätt enligt ekvation (5.7).

Stegsvaret för ett kraftigt underdämpat system är i allmänhet känsligt för störningar, parametervariationer och avvikelser från ideala systemantaganden.

• påverkar främst systemets initialrespons och därmed den första överslängen

• bättre resultat om man baserar en identifiering på flera svängningar

Vi betecknar den n:te överslängens maximivärde med

y

_max,n och den n:te under- slängens minimivärde med

y

_min,n. Utgående från ekvation (5.27) kan man härleda

max, min, 2 /

max, min,

n k n k

e

k

n n

y y y y

π ζ β

+ ∞ ∞ + −

∞ ∞

− −

= =

− −

^(5.40)

(44)

5.3.3 Identifiering av underdämpat system

4Exempel 5.3. Identifiering av underdämpat andra ordningens system.

Vi skall identifiera ett underdämpat andra ordningens system på basen av stegsvaret i figur 5.20. Tidsaxeln i figuren går från 0 till 20 sekunder och utsignalaxeln från 0 till 2,5.

Ur figuren erhåller vi

max

2,17 1, 5

0, 447 1, 5

y y

M y

∞

− −

= ≈ =

och P

≈ 9, 75 3, 25 − = 6, 5

Ekvation (5.35) och (5.36) kan lösas med avseende på

ζ

, vilket ger

2 2

ln( ) ln ( )

M M

ζ π

= −

+

⁽¹⁾

Numeriskt fås

ζ = 0, 2485

. För den odämpade egenfrekvensen ger ekvation (5.37)

0, 998

ω

n

=

.

Förstärkningen K kan inte bestämmas, eftersom insignalens stegstorlek inte är given.

De korrekta är

ζ = 0, 25

och

ω

_n

= 1

. 3

(45)

5. Enkla dynamiska system

5.4 System med dödtid

Med dödtid avses en fördröjning. Utsignalen från ett system bestående enbart av en dödtid L ser exakt ut som insignalen, men den är fördröjd med L tidsenheter.

Om utsignalen betecknas y t

( )

och insignalen u t

( )

gäller således för en ren dödtid

( ) ( )

y t

+

L

=

u t (5.41)

I praktiken beror en dödtid ofta på transportfördröjning.

– Ett typiskt exempel är ett transportband.

– Även vid vätske- och gasströmning i en rörledning uppstår dödtider beträffande det strömmande mediets egenskaper såsom temperatur och koncentration.

– Mätinstrument kan ibland medföra en dödtid, t.ex. vid analys av mätsampel.

Överföringsfunktionen för en dödtid av storleken L är

( ) e

^Ls

G s

=

⁻ (5.42)

Denna funktion är i princip enkel, men som bekant medför dödtider reglertekniska problem.

(46)

5.4 System med dödtid

– Detta antyds av att dödtider tillhör gruppen icke-minimumfassystem (se kapitel 7).

– Därtill ger dödtider ofta, speciellt i kombination med andra systemelement, analys- och beräkningsmässiga problem.

– Orsaken är att överföringsfunktionerna för andra typer av systemelement är rationella funktioner, medan dödtidens överföringsfunktion är en irrationell funktion. Därför har man ofta anledning att använda rationella approximationer av (5.42).

Enkla rationella approximationer kan härledas från Taylorserieutvecklingen av

e

⁻^Ls, dvs

2 3

( ) ( )

e 1

2! 3!

Ls Ls Ls

−

= −

Ls

+ − +"

(5.43)

De två första termerna ger den enkla — men relativt onoggranna — approximationen

e

⁻^Ls

≈ − 1

Ls^(5.44)

Om fler termer medtas fås en bättre approximation, men hanteringen av uttrycket blir i praktiken också besvärligare när polynomets gradtal stiger.

(47)

5.4 System med dödtid

En annan möjlighet är att utnyttja omskrivningen och serieutvecklingen

2 3

1 1

e

e ( ) ( )

1 2! 3!

Ls

Ls Ls Ls

Ls

−

= =

+ + + +"

(5.45)

Om endast de två första termerna i nämnaren beaktas fås approximationen

e 1

1

Ls

−

≈

+

^(5.46)

vilket innebär att dödtiden L approximeras som ett första ordningens system med tidskonstanten L. Om fler termer medtas fås approximationer med system av högre ordning.