Implementering av materialmodell i Ansys

För att i Ansys definiera materialet för gummimembranet efter material- modellen med dess parametrar används kommandot Ahyper [38] inom pro- gramspråket APDL (Ansys parametric design language). Med Ahyper kan ett material definieras efter materialmodellen för anisotrop hyperelasticitet, som finns beskrevs i ekvation (20), (21) och (24). Antalet parametrar och värdet på dessa definieras från modellkalibreringen. Riktningsvektorerna för fiberriktningar definieras i enlighet med ekvation (25).

6

Resultat

Här presenteras resultaten från dragproverna, modellkalibreringen och slutli- gen implementering av materialmodellen via simulering av bromsaktuatorn.

6.1

Dragprov

Dragprov är utförda i både en av fiberriktningarna och i 45° mot en av fiber- riktningarna och både med respektive utan användning av extensometer för mätning av töjning. Jämförelsen mellan dragproverna utförda med respektive utan extensometer i de två dragriktningarna illustreras i figur 26 och 27.

Figur 26: Jämförelse för dragprovkurvor i ena fiberriktningen. Som de röda pilarna visar, användes extensometer för prov J-O och prov A-E utfördes utan extensometer.

Figur 27: Jämförelse för dragprovkurvor i 45° mot ena fiberriktningen. Som de röda pilarna visar, an- vändes extensometer för prov P-T och prov F-I utfördes utan extensometer.

För alla dragprover hålls töjningshastigheten ˙ konstant till 0,03 s−1_{. Drag-} provkurvorna för dragprover utförda i ena fiberriktningen är sammanställda i figur 28. Figuren visar att prov K avviker mest från resten av proverna. Därför ignoreras dess mätdata och den genomsnittliga dragprovkurvan be- räknas alltså enbart på prov J, L, M, N och O. Denna medelvärdeskurva är markerad som en blå prickad linje i figuren. Töjningsdata för de lämpliga dragproverna från proven J-O, med en av fiberriktningarna i dragriktningen, presenteras i tabell 1.

Figur 28: Dragprover med extensometer och ena fiberriktningen i dragriktningen. Medelvärdet av drag- proverna är markerad med blå prickad linje.

Tabell 1: Töjningsdata för proverna. L0är mätlängden och avser avståndet mellan knivarna på extensome-

tern. d och t är medelbredden och -tjockleken på den smala delen av provstaven. ˙ är töjningshastigheten. Prov i en fiberriktning L0 (mm) d (mm) t (mm) ˙ (s−1) Prov J 9,96 20,30 3,00 0,03 Prov L 9,96 20,74 3,00 0,03 Prov M 9,96 21,00 3,00 0,03 Prov N 9,98 20,80 3,00 0,03 Prov O 9,95 20,28 3,00 0,03

Kurvorna för dragprover utförda med fiberriktningarna 45° vinkel mot drag- riktningen illustreras i figur 29. Figuren visar att prov S avviker mest resten av proverna. Därför ignoreras dess mätdata och genomsnittliga dragprovkur- van beräknas alltså enbart på prov P, Q, R, och T. Denna medelvärdeskurva är markerad som en grön prickad linje i figuren. Töjningsdata för de lämpliga dragprover från proven P-T, med fiberriktningarna 45° vinkel mot dragrikt- ningen, presenteras i tabell 2.

Figur 29: Dragprover med extensometer och en av fiberriktninga 45° vinkel mot dragriktningen. Medel- värdet av dragproverna är markerad med grön prickad linje.

Tabell 2: Töjningsdata för proverna. L0är mätlängden och avser avståndet mellan knivarna på extensome-

tern. d och t är medelbredden och -tjockleken på den smala delen av provstaven. ˙ är töjningshastigheten. Prov i 45°-riktning L0( mm) d (mm) t (mm) ˙ (s−1)

Prov P 9,95 20,68 3,00 0,03

Prov Q 9,97 20,32 3,00 0,03

Prov R 9,95 20,66 3,00 0,03

Prov T 9,96 20,80 3,00 0,03

Ett dragprov med nylonfibrerna riktade i dragprovsriktningen med ett brott som är vinkelrätt mot dragriktningen visas i figur 30. Då det raka brottet är vinkelrätt mot dragriktningen och då fibrer fransar ut sig parallellt med dragriktningen tyder det på att fiberriktningen är korrekt identifierad. I figur 31 visas en provstav med en fiberriktning identifierad som 45° mot dragrikt- ningen. Där syns en typisk S-formad brottyta och fibrer som fransat sig 45° ut mot dragriktningen, vilket även här styrker antaganden gjorda vid iden- tifieringen av fiberriktningarna.

Figur 30: Provstav efter brott med ena fiber-

riktningen i dragriktningen. Figur 31: Provstav efter brott med fiberrikt-ningarna 45° vinkel mot dragriktningen.

6.2

Modellkalibrering

Spännings-töjningskurvorna från materialmodellen är kalibrerad med mätda- tan från dragproverna och materialparametrar är erhållna1_{. Då inget bättre} optimum hittas efter perturbation, antas det lägsta värdet vara ett stabilt globalt minima. Jämförelse mellan materialmodell och medelvärdet för prov- datan från dragprover i ena fiberriktningen illustreras i figur 32. Jämförelse mellan materialmodell och medelvärdet för provdatan från dragprover 45° vinkel mot ena fiberriktningen visas i figur 33.

Figur 32: Jämförelse mellan materialmodell och provdatan för drag i en av fiberriktningarna.

Figur 33: Jämförelse mellan materialmodell och provdatan för drag i 45° vinkel mot ena fiberns riktning.

6.3

Implementering av materialmodell

Ansys materialmodell för anisotropa hyperelastiska material, som ges ur ek- vationerna (20), (21) och (24), används för att beskriva materialets mekaniska egenskaper i enaxliga drag och för den verkliga komponenten. Vid simule- ringarna används de parametrar till materialmodellen som är erhållna från modellkalibreringen till experimentell mätdata.

Dragproverna simuleras i Ansys för både fiberriktningar i dragriktningen och i 45° mot dragriktningen. I figur 34 visas provstavens mätområde i sitt odefor- merat läge som har längden 40,0 mm och är 21.5 mm bred, vilket motsvarar medelvärdet på provstavarnas individuellt genomsnittliga bredd. Von Mises effektivspänning vid 17,5 % sann töjning (19 % nominell töjning) för mät- området i provstaven med en fiberriktning i dragriktningen illustreras i figur 35. Den genomsnittliga spänningen för den dragriktningen vid denna töjning är beräknad till cirka 26,4 MPa. Von Mises effektivspänning vid 35,6 % sann töjning (cirka 42,8 % nominell töjning) för mätområdet i provstaven med en fiberriktning 45° mot dragriktningen visas i figur 36. Den genomsnittliga spänningen för denna dragriktning vid angiven töjning är beräknad till cirka 21,9 MPa.

Normalkraft och förskjutning beräknad i Ansys för dragprov i båda fiberrikt- ningarna är konverterad till sann töjning och spänning. I figur 37 illustreras jämförelsen mellan spännings-töjningskurvorna från simulerat dragprov, ma- terialmodellen och mätdatan från verkligt dragprov i ena fiberriktningen. Den blå prickade linjen illustrerar dragprovet simulerad i Ansys. Material- modell och mätdata från dragprov är markerad med grå respektive orange linje. I figur 38 visas jämförelsen mellan spännings-töjningskurvorna från si- mulerat dragprov, materialmodellen och mätdatan från verkligt dragprov i dragriktning 45° mot fiberriktningarna, där materialmodell och mätdata från dragprov är markerad med grå respektive orange linje. Det simulerade drag- provet är markerad med blå prickad linje.

Figur 35: Von Mises effektivspänning för simulerad mätområde på provstav med fiberriktning i dragrikt- ningen.

Figur 36: Von Mises effektivspänning för simulerad mätområde på provstav med fiberriktning 45° mot dragriktningen.

Figur 37: Spännings-töjningskurva från dragprov med dragriktning i ena fiberriktningen. Simulerat dragprov är markerad med blå prickar. Materialmodell och mätdatan från dragprov är markerad med grå respektive orange linje.

Figur 38: Spännings-töjningskurva från dragprov med dragriktning 45° mot fiberriktningarna. Simulerat dragprov är markerad med blå prickar. Materialmodell och mätdatan från dragprov är markerad med grå respektive orange linje.

6.4

Simulering av bromsaktuator

En fjärdedel av bromsaktuatorn simuleras i Ansys. Vid laststeg ett belastas membranet med ett tryck på 10 bar och tryckplattan har ett slag på 0 mm. Von Mises effektivspänning i bromsaktuatorn vid detta laststeg åskådliggörs i figur 39. Vid laststeg två belastas membranet av ett tryck på 10 bar och tryckplattan har ett slag på 68 mm. Von Mises effektivspänning i membranet vid detta laststeg visas i figur 40. Den lägsta huvudspänning i membranet vid ett pålagt tryck på 10 bar vid slag på 68 mm åskådliggörs i figur 41.

Reaktionskraften från tryckplattan som ett förhållande på tryckplattans slag visas i figur 42. Den blå kurvan visar uppmätt kraft i förhållandet till sla- get i applikationsintervallet för bromsaktuatorn medan den gröna kurvan visar motsvarande förhållande vid simulering i Ansys. För båda kurvorna är återställningsfjäderns fjäderkraft subtraherad från den totala uppmätta reaktionskraften.

Figur 39: Membranets deformation vid applicerat tryck på 10 bar vid slag på 0 mm. De svarta linjerna är membranet i odeformerat tillstånd.

Figur 41: Den lägsta huvudspänningen i membranet vid pålagt tryck på 10 bar vid slag på 68 mm.

Figur 42: Kraftens förhållandet till slag av gummimembranet i användningsområdet är den blå kurvan och den gröna kurvan är motsvarande förhållande från simulerat gummimembran.

7

Diskussion

I detta arbete användes en variant av Holzapfel-Gasser-Ogdenmodellen (HGO) [5] som fanns inbyggd i Ansys [9]. Mätdata från dragprover utförda med lämplig standard anpassades med problemlösarverktyget i Excel [27]. Mate- rialmodellen och dess parametrar implementerades med hjälp av simulering av dragproverna och verifierades med hjälp av simulering av hela bromsak- tuatorn i Ansys.

Jämförelsen av kraft-slagkurvorna, som visas i figur 42, tyder på att simule- ringen av en fjärdedel av bromsaktuatorn inte helt kan beskriva egenskaper- na för bromsaktuatorn. Av någon anledning sträcks membranet inte ut mot tryckkärlets väggar lika mycket vid simulering som väntat, vilket åskådliggörs i 40. Att inte simuleringen av bromsaktuatorn överensstämmer perfekt med testdatan kan tyda på att något felaktigt antagits, som påverkade simulering- en av bromsaktuatorn i stor grad jämfört med simuleringen av de enaxliga dragproverna. Exempel på detta är antagandet om att materialet beter sig likadant vid kompression som vid dragning. För fiberförstärkt gummi är det osäkert hur bra denna approximation är. Det faktum att simuleringen uppvi- sar att det förekommer en lägsta huvudspänning som är negativ, enligt figur 41, påvisar att membranet utsätts för kompression. Därmed hade det med fördel kunnat utföras ett kompressionstest för att undersöka hur materialet faktiskt beter sig vid kompressioner. Skulle resultat från kompressionstes- ter implementeras, är det möjligt att simuleringen av bromsaktuatorn skulle överensstämma bättre med uppmätt data av kraft-slagskurvan. En annan möjlig förklaring på felet är att elementorienteringen eller något randvillkor skulle kunna vara feldefinierat i Ansys. Det kan i så fall bero på eventuella missuppfattningar om hur bromsaktuatorn fungerar i verkligheten eller hur dessa bör återspeglas i Ansys. Skulle elementorienteringen eller randvillko- ren kunna definieras på ett bättre sätt, hade simuleringen på bromsaktuatorn kunna få bättre överensstämmelse med mätdatan.

Jämförelsen mellan spännings-töjningskurvorna i figur 37 och 38 tyder på att materialmodellen och dess parametrar implementerats rätt för materialet vid enaxliga dragprov. Det är oklart exakt varför spänningskoncentrationen inte är symmetrisk, utan istället koncentreras i två hörnor, för simuleringen i 45° mot ena fiberriktningen som illustreras i figur 36. En förklaring kan vara att något oförutsett hänt på grund av hur randvillkoren definierats för att förhindra frikroppsrörelse och rotation i kortsidornas plan.

god överensstämmelse i båda riktningarna. Detta tyder på att denna kalibre- ring fungerar väl för att hitta parametrarna till materialmodellen. Proble- met med att använda modellkalibrering i problemlösarverktyget är att det verktyget endast kan finna lösningar som ger lokala minima för felet med minstakvadratmetoden.

För att kontrollera att det funna minimat var stabilt, utfördes perturba- tion av parametrarna. Detta utfördes genom att ändra alla parametrarna på något sätt, antingen öka eller minska dem med samma procentenhet eller genom att ändra parametrarna på något slumpmässigt vis, som beskrivet i kapitel 2.5. Efter en relativt liten perturbation (< 5 %) av parametrarna hittade problemlösarverktyget i Excel antingen tillbaka till samma värden eller till ett set parametrar med större residual. Huruvida samma värden på parametrarna ger den minsta residualen igen efter perturbation ger endast ett mått på hur stabilt det lokala minimat är och inte huruvida det är ett globalt minima. För att bättre kunna säkerställa detta hade en annan metod än minstakvadratmetoden, som direkt kan hitta ett globalt minima, behövt användas.

Dragprovkurvorna i figur 28 och 29 visar att skillnaden kan vara rätt stor från prov till prov, särskilt vid dragprov i ena fiberriktningen. Denna stora spridning skulle kunna förklaras med att bestämningen av fiberriktning och utklippning för dessa dragproverna kan varit lägre än för dragproverna i 45° mot ena fiberriktningen. En annan orsak till detta kan vara att töjningsmot- ståndet möjligtvis varierar mer vid en av fiberriktningarna än vid 45° mot ena fiberriktningen. Dessa fel kan minimeras genom förbättra metoden för provberedningen eller genom att öka antalet prover.

Svårigheten att identifiera fiberriktningarna på ett noggrant sätt utan att skada materialet ledde till metoden att okulärt uppskatta dem genom att studera vågprofilen i de klippta ytterkanterna enligt figur 7. Denna uppskatt- ning styrktes av att fibrerna fransade ut sig i förväntad riktning i brottytorna enligt figur 30 och 31. Därmed antogs detta antagande vara tillräckligt bra för ett fullgott resultat. Hur avvikelsen egentligen var och hur stort fel det potentiellt kan ha medfört, om de verkliga fiberriktningarna skulle avvika från de uppskattade, även om så bara med någon grad, är okänt. En möj- lig förbättring för detta problemet är att hitta någon form av metod eller instrument, som mer noggrant kan mäta de sanna fiberriktningarna.

Eftersom Ansys räknar om strukturens styvhet i varje litet beräkningssteg, analogt med hur sann töjning beror av den senaste töjningen, fanns det ett behov i detta arbete att mäta sann spänning och töjning. Dessutom kan skillnaden mellan testerna med respektive utan extensometer i de två drag-

riktningarna i figur 26 och 27 kanske tyda på att mikroglidningar uppstått som inte är försumbara. Av dessa anledningar användes enbart mätdatan från dragprov med extensometer. Problemet med extensometern var däremot att, trots att den modifierades för maximalt töjningsspann, kunde den inte mäta töjningar för över 50 %. För drag i 45° mot fiberriktningarna uppnåddes inte brott förrän uppemot 70-80% töjning. Därmed kunde inte materialmodellen anpassas på töjningar större än så i den riktningen. Inom detta intervall upp- visade simuleringen en väldigt god överensstämmelse med mätdatan enligt figur 37 och 38. Gummimembranet i bromsaktuatorn antogs inte deformera mer än 50%. Visade sig att detta antagande var felaktigt skulle detta leda till att beteende vid töjningar större än 50 % potentiellt missats. Detta kan i så fall ha medfört att parametrarna till materialmodellen inte längre skulle ge det lägre felet över hela det nya töjningsintervallet. Detta problem skulle kunna åtgärdas genom att på något sätt mäta spänningen över ett större töjningsintervall, till exempel med en annan modell av extensometer.

Antagandet att momentet som extensometerns tyngd utövar på provstavar- na är försumbart grundar sig på att momentets storlek beräknas vara flera storleksordningar mindre än krafterna som verkar på provstaven från drag- provmaskinen, och borde därmed inte påverka spänningskoncentrationen i provstaven i någon större grad. Hur stort fel detta antagande medfört är oklart, och borde mätas i framtiden. För att minimera momentets inverkan skulle någon typ av anordning konstrueras för att hålla upp extensometerns tyngd.

Det antas i arbetet att fibrernas påverkan på materialets tvärkontraktion antas vara försumbar, så att tvärkontraktionen kan approximeras med det av ett isotropt material. Denna approximation är troligen inte så rimlig, då materialet verkar långt ifrån isotropt. Det är emellertid oklart hur stort fel detta antagandet medförde, för att undersöka detta och förbättra modellen bör tvärkontraktionens riktningsberoende för materialet uppmätas.

Ett annat antaganden som är gjort i detta arbete är att materialet inte utsätts för några tidsberoende effekter såsom krypning och relaxation. Dessutom an- togs det att materialet inte uppvisar någon töjningshastighetsberoende härd- ning. Utöver detta antogs det att materialet var helt inkompressibelt, men i verkligheten är gummi bara nästan helt inkompressibelt. Dessutom antogs det att fibrerna alltid bevarar sin ortogonala orientering i förhållande till varandra. Fibrernas motstånd till denna skjuvning är något som material- modellen inte tagit hänsyn till. Utöver det antogs det även att temperaturen för membranet under användning hålls konstant på 22 °C. Hur stora fel dessa antaganden medfört är oklart, men borde undersökas i framtiden.

8

Slutsats

I detta arbete skulle de mekaniska egenskaperna hos en fiberförstärkt gum- mimembran från Haldex AB beskrivas, vilket gjordes med hjälp av en ma- terialmodell. En modifierad variant av HGO modellen [5] som fanns inbyggd i Ansys, ett beräkningsprogram för finita elementanalys [6], valdes som den mest relevanta materialmodellen [9]. Dragprover utfördes i två riktningar för även att fånga materialets riktningsberoende mekaniska egenskaper. För att få fram modellens parametrar utfördes en modellkalibrering med hjälp av problemlösarverktyget i Excel [27]. Materialmodellens spänningssamband uttryckt som funktion av materialparametrarna optimerades med hjälp av kalibreringsmetoden minsta kvadratmetoden [25]. Materialmodellen och dess parametrar verifierades därefter genom simulering i Ansys.

I arbetet kom vi fram till att:

• Enaxliga dragprov med extensometer krävs för att undvika mikroglid- ningar för materialet. Dragproverna längs en fiberriktning ger markant mer spretiga dragprovkurvor än längs 45° mot en fiberriktning.

• En variant av HGO-modellen, som finns i Ansys, är lämplig för att beskriva ett anisotropt hyperelastiskt material med distinkta fiberrikt- ningar.

• Modellkalibrering med hjälp av minsta kvadratmetoden i problemlösar- verktyget i Excel kan ge parametrar till materialmodellen med en bra anpassning till mätdatan. Perturbation kan användas för att säkertstäl- la att felet är i ett relativt stabilt lokalt minima.

• Simulering i Ansys av enaxligt dragprov tyder på att materialmodellen och dess parametrar väl kan implementeras för materialet i ett enaxligt drag.

• Simulering i Ansys av bromsaktuatorn tyder på att materialmodellen och dess parametrar inte riktigt kan förutse beteendet för bromsak- tuatorn så som randvillkoren definierats. Möjliga förbättringar för att bättre åstadkomma detta är presenterade.

Referenser

[1] Holzapfel G.A. och T.C. Gasser. A viscoelastic model for fiber-reinforced composites at finite strains: Continuum basis, computational aspects and applications. Vol. 190. 34. 2001, s. 4379–4403.

[2] Barenblatt G.I. och Joseph D.D. (Eds.) Collected Papers of R.S. Rivlin. Vol. 1 & 2. New York: Springer, 1984.

[3] Spencer A.J.M. ”The Static Theory of Finite Elasticity”. I: IMA Jour- nal of Applied Mathematics 6.2 (1970), s. 164–200.

[4] Ogden R.W. Non-Linear Elastic Deformations. Mineola New York: Do- ver Publications, 1997.

[5] Gasser T.C. Holzapfel G.A. och Ogden R.W. ”A New Constitutive Framwork for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models”. I: Journal of Elasticity and the Physical Science and Solids 61.1 (2000), s. 1–48.

[6] Ansys, Inc. Ansys Workbench 19.0. Hämtad 2018-05-29. url: www . ansys.com.

[7] Muhr A.H. ”Modeling the Stress-Strain Behavior of Rubber”. I: Rubber Chemistry and Technology 78.3 (2005), s. 391–425.

[8] Ogden R.W. ”Large deformation isotropic elasticity - on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids”. I: Pro- ceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 326.1567 (1972). The Royal Society, s. 565–584. [9] Inc. SAS IP. Anisotropic Hyperelasticity. SAS IP Inc; Hämtad 2018-02-

22. url: https://www.sharcnet.ca/Software/Ansys/16.2.3/en- us/help/ans_thry/thy_mat5.html#anisohyper.

[10] Spencer A.J.M. Continuum Mechanics. Dover edition. Mineola New York: Dover Publications INC, 2004.

[11] Ogden R.W. ”Nearly Isochoric Elastic Deformations: Applications for Rubberlike Solids”. I: Journal of the Mechanics and Physics of Solids 26 (1978). Pergamon Press Ltd., s. 37–57.

[12] Flory P.J. ”Thermodynamic Relations for Highly Elastic Materials”. I: Transactions of the Faraday Society 57 (1961). The Royal Society of Chemistry, s. 829–838.

[13] McGinty B. Continuum Mechanics: Deformation Gradient [Internet].

Publicerad 2012; Hämtad 2018-03-26. url: http://www.continuummechanics. org/deformationgradient.html.

[14] W.D. Callister, Jr. och D.G. Rethwisch. Materials Science and Engine- ering an introduction. 9 uppl. sida 585-603. John Wiley & Sons, Printed in United States of America, 2009.

[15] von Helmholtz H. Physical memoirs, selected and translated from fo- reign sources. UK: Taylor & Francis, 1882.

[16] Ortega J.M. Matrix Theory - A second Course. New York: Plenum Press, 1987.

[17] McGinty B. Continuum Mechanics: Matrices & Tensors [Internet].

Publicerad 2012; Hämtad 2018-03-26. url: http://www.continuummechanics. org/matrices.html.

[18] Ogden R.W. Lecture on Constitutive Modelling of Arteries. Xi’an Jia- otong University, April 2011.

[19] ASTM D751-06. Standard Test Methods for Coated Fabrics. ASTM International. West Conshohocken PA. 2006. hämtad 2018-05-29. url: http://www.astm.org/cgi-bin/resolver.cgi?D751-06.

[20] ASTM D 3039/D 3039M. Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix Composite Materials. ASTM International. West Conshohocken PA. 2017. hämtad 2018-05-29. url: http://www.astm. org/cgi-bin/resolver.cgi?D3039D3039M-17.

[21] ASTM D 3846-02. Standard Test Method for In-Plane Shear Strength of Reinforced Plastics. ASTM International. West Conshohocken PA. 2015. hämtad 2018-05-29. url: http://www.astm.org/cgi- bin/ resolver.cgi?D3846-08(2015).

[22] ISO 527-1:1996(EN). Plastics – Determination of tensile properties – General principles. Standard. London, UK: International Organization for Standardization, 1996.

[23] ISO 527-4:1997(EN). Plastics – Determination of tensile properties – Test conditions for isotropic and orthotropic fibre-reinforced plastic composites. Standard. Berlin, DE: International Organization for Stan- dardization, nov. 1997.

[24] Encyclopædia Britannica. Interpolation [Internet]. Encyclopædia Bri- tannica; Publicerad 1998-07-20; Hämtad 2018-05-06. url: https:// www.britannica.com/science/interpolation.

[25] Miller S.J. The Method Of Least Squares. Mathematics Department Brown University Providence; Publicerat 2006; hämtad 2018-05-29. url: http : / / citeseerx . ist . psu . edu / viewdoc / download ? doi = 10.1.1.710.4069&rep=rep1&type=pdf.

[26] The Mathworks, Inc. Curve Fitting Toolbox. The MathWorks Inc; Häm- tad 2018-05-29. url: https://se.mathworks.com/help/curvefit/ index.html.

[27] Microsoft. Microsoft Excel Office 365. Microsoft Uppdaterad 2018; Häm- tad 2018-05-29. url: https : / / products . office . com / sv - se / compare-all-microsoft-office-products?tab=1.

[28] Dahlblmom O. och Olsson K-G. Struktur-Mekanik. 2 uppl. Lund AB: Studentlitteratur, 2010.

[29] PTC. Creo Parametric 3.0. PTC; 2018. citerad 2018-05-29. url: https: //www.ptc.com/en/products/cad/creo/parametric.

[30] Epperson J. F. An Introduction to Numerical Methods and Analysis. 2 uppl. Wiley Publishing, 2013, s. 97–99.

[31] SAS IP Inc 8.5. Performing a Nonlinear Static Analysis. SAS IP Inc; Hämtad 2018-05-29. url: https://www.sharcnet.ca/Software/ Ansys/16.2.3/en-us/help/ans_str/Hlp_G_STR8_13.html.

[32] Nocedal J. och Wright S. J. Numerical Optimization. 2 uppl. New York NY USA: Springer, 2006.

[33] Ansys Inc. Intruduction to Contact. Ansys Inc; Publicerad 2010; Häm- tad 2018-01-31. url: http://inside.mines.edu/~apetrell/ENME442/ Labs/1301_ENME442_lab6_lecture.pdf.

[34] Edelsbrunner H. Geometry and Topology for Mesh Generation. New York NY USA: Cambridge University Press, 2001, s. 111.