Materialmodell för nylonfiberförstärkt gummimembran

Material model for nylon fiber-reinforced

rubber diaphragm

MT138A - Examensarbete i maskinteknik

Kandidatexamen - VT18 Malmö Universitet

Högskolepoäng - 15 Hp

Författare: Simon Jens

Martin Mader Olsson 14 september 2018

rar bestäms och verifieras. Gummimembranet används i en bromsak-tuator producerad av Haldex AB. Syftet med arbetet är att förenkla och effektivisera framtagningen av framtida prototyper av bromsaktu-atorn. Målet med detta arbete är att med hjälp av en materialmodell beskriva de mekaniska egenskaperna hos ett fiberförstärkt gummimem-bran. Huvuddelarna av projektet är val av materialmodell, materi-altestning, modellkalibrering och verifiering av materialmodellen. En variant av Holzapfel-Gasser-Ogdens materialmodell (HGO) som finns implementerad i Ansys, ett beräkningsprogram för finita elementme-toden, används i arbetet. Materialtestning utförs enligt ISO 527-4, en standard för dragprover av fiberförstärkta polymerer. Modellkalibre-ring utförs i Excel för att bestämma värdet på modellens parametrar genom att anpassa kurvorna från materialmodellen till dragproverna. Materialmodellen med dessa parametrar implementeras i Ansys, ett beräkningsprogram som tillämpar finita element analys, som kan an-vändas för simulering av dragprov. Modellen verifieras till sist genom simulering av bromsaktuatorn i Ansys. Vid jämförelse av simulering och tester på material, uppvisar simuleringen av dragproverna god överensstämmelse. Simuleringen av bromsaktuatorn uppvisar däremot inte samma goda överensstämmelse med tester på komponent.

ters of the model are determined and verified. The diaphragm is used in a brake actuator developed by Haldex AB. The purpose of this project is to simplify and streamline the production of future brake actuator prototypes. The goal is to describe the mechanical proper-ties of a fiber-reinforced rubber component using a material model. The main parts of the project are choosing material model, material testing, calibration and verification of the material model. A vari-ant of Holzapfel-Gasser-Ogden’s material model (HGO) is used in this project. Material testing is done by using ISO 527-4, a standard for uniaxial tensile tests for fiber reinforced polymers. Excel is used to fit the material model to the test data, and thus find the parameters for the material model. The material model with its parameters are then implemented in Ansys, a mechanical engineering software that uses finite element analysis, which can be used to simulate tensile tests. Lastly, the material model is verified by simulation of the brake actuator in Ansys. Comparing simulations with material data, the simulations of the tensile tests are in good agreement. The simulation of the brake actuator, however, doesn’t show as good of an agreement with the test data.

Projektet är ett examensarbete vid Malmö Universitets högskoleingenjörsut-bildningen i Maskin och Materialteknik på 15 högskolepoäng. Vi vill rikta ett extra tack till vår handledare från Malmö Universitet, Martin Fisk, lek-tor vid institutionen för materialvetenskap och tillämpad matematik, för allt stöd och vägledning. Dessutom vill vi tacka opponenterna Robin Nedhagen och Mikael Karlsson för en särskilt behjälplig opponering. Vi vill utöver det tacka Malmö Universitet för att vi har fått möjligheten att använda drag-provmaskinen MTS Criterium 43 som möjliggjorde detta arbete.

Examensarbetet gjordes vid Haldex AB, där vi vill tacka Joakim Gripemark extra mycket för all hjälp och handledning han har bidragit med. Vi vill även tacka Haldex AB som gav oss en tre dagas intensiv introkurs i Ansys. Vi vill tacka Chouping Luo från EDR Medeso för hjälpen han har bidragit med i Ansys. Vi vill också tacka Martin Kroon, professor vid Linnéuniversitetet, för att vägleda oss till materialmodellen som användes i projektet. Slutligen vill vi tacka Emmy Jens för korrekturläsning.

Innehåll

2.2.1 Hyperelasticitet vid stora deformationer . . . 5

2.2.2 Hyperelastisk spänningsrespons . . . 8 2.3 Materialmodell . . . 9 2.4 Materialprovning . . . 11 2.5 Kalibrering av materialmodell . . . 12 2.6 Finita elementmetoden . . . 14 2.6.1 Newton-Raphsons metod . . . 14 2.6.2 Kontaktytor . . . 15 2.6.3 Elementindelning . . . 16 3 Materialprovning 17 3.1 Provpreparering . . . 17 3.2 Experimentuppställning . . . 19 4 Modellkalibrering 20 5 Implementering och verifiering av modell 21 5.1 Simulering av dragprov . . . 21

5.2 Simulering av bromsaktuator . . . 22

5.2.1 Randvillkor för simulering . . . 23

5.2.2 Elementindelning och elementorientering . . . 28

5.2.3 Implementering av materialmodell i Ansys . . . 30

6 Resultat 30 6.1 Dragprov . . . 30 6.2 Modellkalibrering . . . 34 6.3 Implementering av materialmodell . . . 35 6.4 Simulering av bromsaktuator . . . 38 7 Diskussion 41 8 Slutsats 44

Referenser 45

1

Inledning

För många tillämpningar inom ingenjörsbranschen, exempelvis fordons- och byggindustrin, används material förstärkta med fibrer. Ofta förstärks ett material med fibrer för att uppnå önskvärda förbättrade egenskaper, såsom högre styvhet, hårdhet eller styrka. Dessa fiberförstärkta material uppvisar dessutom särskilda riktningsberoende egenskaper. Denna typiska anisotro-pa egenskap beror många gånger på fibrernas orientering i materialet. Den-na typ av egenskap förekommer i många konstgjorda, såväl som Den-naturliga, elastomerkompositer. Exempel på konstgjorda fiberförstärkta kompositer är gummiremmar, bildäck och gummimembran. Exempel på naturligt förekom-mande fiberförstärkta kompositer är olika typer av biologisk vävnad, såsom blodådror, senor och ligament. [1]

Ända sedan Rivlin mellan 1945-1951 lade grunden för den moderna teorin av stora elastiska deformationer, har stor ansträngning lagts ned för framtag-ning av konstitutiva teorier för isotropt elastiska och hyperelastiska material. Några nämnvärda exempel på detta, förutom fortsatta arbeten av Rivlin [2], är arbeten av Spencer [3] och Ogden [4]. Det skulle däremot dröja till nästan millennieskiftet innan egenskaperna för biologisk vävnad studeras ur ett kontinuummekaniskt perspektiv i större utsträckning. Studier som dessa har bidragit till att ta fram modeller för anisotropa elastiska och hyperelas-tiska material, och på senare tid även modeller specifikt för fiberförstärkta elastomerer. Exempelvis är en modell för mekaniken i kaniners artärväggar framtagen av Holzapfel, Gasser och Ogden [5].

1.1

Problembeskrivning

Haldex AB är ett företag som tillverkar bromssystem för tunga fordon. En komponent i detta system är en så kallad pneumatisk aktuator, som om-vandlar energi från komprimerad högtrycksluft till mekanisk rörelse, och som Haldex tillverkar flera varianter av. Exempel på dessa är två varianter som består av en respektive två tryckkärl. Varianten med två tryckkärl visas i figur 1a, där kärlet för en parkeringsbroms är markerad i blått och kärlet för en färdbroms är markerad i grönt. Varianten med ett tryckkärl består endast av färdbromssidan.

(a) (b) (c)

Figur 1: (a) Bromscylinder med parkeringsbroms. Markerat i blått är parkeringssidan, i grönt är färd-bromssidan. A: membran. B: Tryckplatta. C: Återställningsfjäder. D: Tryckkärl. (b) Fiberförstärkt gum-mimembran. (c) Nylonfibrer vävd i ett ortogonalt mönster.

Figuren visar även hur färdbromssidan är uppbyggd. Ett membran, markerat A, sitter fastklämt mellan två halvor av tryckkärlet, markerat D. Utrymmet mellan membranet och den övre tryckkärlsväggen trycksätts vid användning, vilket pressar ned tryckplattan, markerad B, som i sin tur pressar ned en stång som initierar bromsverkan via trum- eller skivbroms. När trycket på membranet släpps, återställs komponenten till ursprungsläget med hjälp av en fjäder, markerad C i figuren.

Det är färdbromsdelen och speciellt membranet som ligger i fokus i detta arbete. Membranet visas i figur 1b och består av ett tygfiberförstärkt gummi, där tygfibrerna är vävda i ett ortogonalt mönster som visas i figur 1c. Varje enskild fiber i väven är cirka 0,8 mm tjocka bestående av mindre hoptvinnade trådar. Det ortogonala mönstret ger upphov till riktningsberoende mekaniska egenskaper för väven.

Arbetets uppgift är att utreda lämpligheten i materialmodeller för gummi-membranet. Materialmodellens parametrar behöver bestämmas genom opti-mering mot mätdata från dragprover, varpå modellen ska implementeras i Ansys för jämförelse av dragproverna och verifieras genom att resultat från simuleringar i Ansys jämförs med mätningar på bromsaktuatorn.

1.2

Syfte och Mål

Syftet med arbetet är att förenkla och effektivisera framtagningen av framtida prototyper som använder fiberförstärkta gummimembran genom att förutse beteenden och prestandan på komponenten vid simulering istället för tester i efterhand. Målet är att bidra till detta med hjälp av en materialmodell som kan beskriva de mekaniska egenskaperna hos ett fiberförstärkt gummimem-bran från Haldex AB.

1.3

Avgränsningar

För att göra arbetet mer överkomligt, inom ramen av kursens omfattning, förenklas problemet genom följande avgränsningar:

• Simuleringen begränsas till statiska beräkningar, där förändringar av krafter och systemets respons antas variera försumbart lite över tiden. • Materialmodellen ska kunna användas för simulering i Ansys, ett da-torprogram för finita elementuträkning vid både linjära och olinjära system [6].

• Materialet antas bete sig likadant vid kompression som vid drag. • Tidsberoende effekter såsom krypning och relaxation antas vara

för-sumbara. Dessutom antas det att materialet inte uppvisar någon härd-ning kopplat till töjhärd-ningshastighet.

• Vidare antas materialet vara helt inkompressibelt och hålla en konstant temperatur på 22 °C under simuleringen.

• Fibrernas påverkan på materialets tvärkontraktion antas vara försum-bar, så att dess tvärkontraktion kan approximeras med det av ett iso-tropt material.

• De två fiberriktningarna antas vara sinsemellan utbytbara, då det inte märks någon skillnad mellan hur fibrerna i de två riktningarna är vävda eller på deras mekaniska egenskaper.

• Fibrernas egenskaper ska återspeglas som en viktig del av materialmo-dellen, varpå valet av materialmodell begränsas till de som inkluderar riktningsberoende anisotropi, som från distinkta fiberriktningar. • Momentet som extensometerns vikt utövar på dragproverna antas vara

2

Teori

Ett flertal materialmodeller och deras tillämplighet i detta arbete beskrivs i teorin. En kategori, så kallade hyperelastiska modeller, har vanligtvis sin grund i kontinuummekaniken. En materialmodell väljs och med kontinuum-mekaniken som ett ramverk, definieras den valda materialmodellen.

Standarder för dragprov som är lämpliga till denna modell presenteras. Med en materialmodell definierad beskrivs hur mätvärden från dessa dragprover kan användas för att bestämma modellens okända parametrar. Därpå presen-teras metodiken för att verifiera materialmodellen och dess parametrar genom att simulera materialets deformation i Ansys [6], ett finita elementprogram. I Ansys kan storheter såsom spänningskoncentration och reaktionskrafter be-räknas och de beräkningsmetoder Ansys använder beskrivs kort.

2.1

Tillämpliga materialmodeller

Ett flertal materialmodeller och dess lämplighet analyseras. Då vald mate-rialmodell ska användas för simulering i Ansys [6], begränsas också valet av materialmodell till vad som går att tillämpa där. Ansys har ett flertal inbyggda materialmodeller, bland andra diverse varianter av linjärelastiska, hyperelastiska och plastiska konstitutiva modeller och av dessa är hypere-lasticitet generellt den bästa modellen för gummi [7]. Därmed begränsas undersökningen till främst hyperelastiska konstitutiva modeller. Inbyggd i Ansys finns några modeller som består av rena polynom såsom Neo-Hooke-, Yeoh- och Mooney-Rivlinmodellen med ett varierat antal parametrar, base-rat på Melvin Mooneys och Ronald Rivlins arbete under 40- och 50-talen [2], som beskriver isotropa gummiliknande material väl. För komplexare materi-al används mer avancerade modeller som exempelvis någon grad av Ogdens modeller [8].

Ingen av dessa modeller tar hänsyn till anisotropa egenskaper som en fiber-förstärkning i gummimaterialet medför. För beskrivning av denna typen av material är antalet konstitutiva materialmodeller relativt få. Bland de första, och fortfarande den mest använda, är Holtzapfel-Gasser-Ogdenmodellen [5], även kallad HGO-modellen, som vars ursprungliga syfte var karakterisering av vävnaden från kaninartärer. Modellen utgår från Neo-Hooke som represen-tation av det isotropa bidraget till töjnings-energifunktionen. Därefter lägger HGO-modellen till exponentiella termer som representerar distinkta fiber-riktningars bidrag till töjnings-energifunktionen. Då både biologisk vävnad

som artärer och fiberförstärkt gummi uppvisar liknande beteende, lämpar sig denna modell även till membranet. En variant av HGO-modellen finns i Ansys, som använder mer komplicerade polynom än Neo-Hooke för isotropin i matrismaterialet [9].

2.2

Kontinuummekaniskt ramverk

Kontinuummekanik är en disciplin inom mekaniken där kinematik och det mekaniska beteende av material modelleras i ett kontinuum, det vill säga en kontinuerlig utbredning i rummet, istället för med diskreta partiklar. Denna gren lämpar sig till fysiska fenomen där föremåls variationer på mikroskopisk nivå kan försummas. I dessa fall antas varje oändligt liten del av objektet ha samma egenskaper som objektet i stort. [10]

Inom ickelinjär kontinuummekanik beskrivs de flesta storheter med hjälp ten-sorer. En tensor av n:e ordningen i en M-dimensionell rymd är ett matema-tiskt föremål med n stycken index och Mn _{stycken komponenter. En tensor} av 0:e ordningen brukar kallas för skalär som representerar fysiska storheter som endast har storlek och ingen riktning. En tensor av 1:a ordningen bru-kar kallas för vektor. Med vektor avses här en Euklidisk vektor, även kallad riktningsvektor, som representerar fysiska storheter som har både storlek och riktning. Tensorer är geometriska föremål som beskriver förhållandet mellan vektorer, skalärer och andra tensorer. I kontinuummekaniken beskrivs bå-de spännings- och töjningstensorer oftast med 2:a ordningens tensorer, som motsvaras av en M x M matris. Ett exempel på detta är den högra Cauchy-Green deformationstensorn C. [10]

2.2.1 Hyperelasticitet vid stora deformationer

En fix referenskonfiguration av en kontinuerlig kropp som inte antas vara utsatt av någon spänning betecknas med Ω0. Då betecknas χ : Ω0 → R3 för en deformation som transformerar en i kroppen godtyckligt vald punkt X ∈ Ω0 till en ny position x = χ(X) ∈ Ω i ett ny deformerad konfiguration betecknat med Ω. Deformationsgradienten kommer då ges av F(x) = ∂ χ(X) ∂X och den lokala volymförändringen, betecknat J, definieras av [5, 11]:

J (X) ≡ det F ≥ 0. (1)

Deformationsgradienten i ett tredimensionellt rum kan brytas ned till pro-dukten av en volymförändrande och en deformerande (isokor) del enligt [5,

11, 12]:

F = (J13I) ¯F, (2)

där I avser enhetstensorn och ¯F är den isokora delen av deformationsgradi-enten som upfyller ekvation (2).

Deformationsgradienten F kan beskrivas på matrisform enligt [13]:

Fij = ∂ χ_i(X) ∂X_j =          ∂χ1(X) ∂X1 ∂χ1(X) ∂X2 ∂χ1(X) ∂X3 ∂χ2(X) ∂X1 ∂χ2(X) ∂X2 ∂χ2(X) ∂X3 ∂χ3(X) ∂X1 ∂χ3(X) ∂X2 ∂χ3(X) ∂X3          , (3)

där Xj är varje ursprungspunkt och χi(X) dess deformation med avseende på respektive riktningarna i = 1, 2, 3 och j = 1, 2, 3. Komponenterna i ma-trisen för i 6= j, som alltså inte tillhör diagonalen, motsvarar skjuvning i respektive riktningar. Diagonalen i denna deformationsgradienten motsvarar förlängningsgraden λi med avseende på respektive riktning, i = j = 1, 2, 3. Förlängningsgraden definieras som förhållandet mellan deformerad längd L och ursprungslängd L0 enligt [14]:

λ = L L0

= 1+, (4)

där  är nominell töjning (även kallad ingenjörstöjning). Deformerad längd ges därmed av [14]:

L = (1+)L0. (5)

Förhållandet mellan nominell töjning och sann töjning sann ges av [14]: _sann = Z L L0 dL L =ln(L)−ln(L0) = ln  L L0  ⇐⇒ ⇐⇒ _sann =ln(1+). (6) Vid konstant volym V = A·L = A0·L0 ges sann spänningen av [14]:

σ_sann = F A = F ·L A0·L0 ⇐⇒ ⇐⇒ σ_sann = F A0 (1+) = σ(1+), (7) där A0 den ursprungliga tvärsnittsarean, A och L är tvärsnittsarean respek-tive längden efter töjningen. σ är den nominella spänningen (även kallad ingenjörsspänning).

Den högra Cauchy-Green tensorn, betecknad med C, beskrivs utifrån defor-mationsgradienten enligt [5]: C ≡ FTF =          ∂χ1(X) ∂X1 ∂χ2(X) ∂X1 ∂χ3(X) ∂X1 ∂χ1(X) ∂X2 ∂χ2(X) ∂X2 ∂χ3(X) ∂X2 ∂χ1(X) ∂X3 ∂χ2(X) ∂X3 ∂χ3(X) ∂X3          ·          ∂χ1(X) ∂X1 ∂χ1(X) ∂X2 ∂χ1(X) ∂X3 ∂χ2(X) ∂X1 ∂χ2(X) ∂X2 ∂χ2(X) ∂X3 ∂χ3(X) ∂X1 ∂χ3(X) ∂X2 ∂χ3(X) ∂X3          , (8)

och kan brytas ned på samma sätt som deformationsgradienten i en volym-förändrande och en deformerande del. Insättning av ekvation (2) ger [5]:

C = FTF = ((J13I) ¯F)T(J 1 3I) ¯F = (J 1 3I)T(J 1 3I) ¯FTF =¯ = (J13I)2F¯TF = J¯ 2 3C,¯ (9) där ¯C ≡ ¯FTF¯. På samma sätt introduceras den så kallade Green-Lagrange töjningstensorn E och med hjälp av ekvation (2) dess motsvarande modifie-rade töjningstensor ¯E [5]:

E = 1 2(C−I) = J 2 3E+¯ 1 2(J 2 3−1)I, E =¯ 1 2( ¯C−I). (10) En förenkling av F erhålls med enbart normalspänningar. Då blir samtliga skjuvningar noll och deformationsgradienten blir därmed:

Fnormal =   λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3  . (11)

I detta spänningstillstånd blir den högra Cauchy-Green tensorn förenklad till: Cnormal =   λ2 1 0 0 0 λ2₂ 0 0 0 λ2₃  . (12)

För ett materialet som är inkompressibelt, alltså att materialets volym be-varas oberoende pålastning av hydrostatiskt tryck, betyder det att J ≡ 1. Detta leder till att förhållanden mellan de olika förlängningsgraderna är:

λ1·λ2·λ3 = 1. (13)

För ett isotropt material under enaxligt drag i en riktning, exempelvis i 1-riktningen, blir förlängningsgraderna i de andra riktningarna:

λ2 = λ3 = 1 √

λ1

2.2.2 Hyperelastisk spänningsrespons

För att beskriva den hyperelastiska spänningsresponsen av ett nylonfiber-förstärkt gummimembran introduceras en uppsättning av andra ordningens tensorer {Aα | α = 1, ..., n} som karakteriserar membranets struktur. Det antas sedan att Helmholtz fria energi W [15], som är en termodynamisk till-ståndsfunktion kopplad till den mängd användbara arbete som kan nyttjas ur ett slutet system, gäller för membranet och att den beror på Green-Lagrange töjningstensorn E given i ekvation (10). Vidare antas det att denna energi kan frikopplas till en volymetrisk respektive isokor del, vilket ger energifunk-tionen [5]:

W (E, A1, ..., An) = Wv(J )+Wd( ¯E, A1, ..., An), (15) där Wv är det rent volymförändrande bidraget och Wd det rent deformeran-de bidraget till deformeran-den fria energin. E och ¯E är Green-Lagrange töjningstensorn respektive dess modifierade form givna i ekvation (10). Genom att använda Clausius-Planckolikheten som formulering av termodynamikens andra lag, att ett systems totala entropi aldrig kan minska över tiden, kan partiella derivatan av Helmholtz fria energi med avseende på Green-Lagrange töj-ningstensorn uttryckas som [5]:

S = ∂ W (E, A1, ..., An)

∂E , (16)

där S är den andra Piola-Kirchhoffspänningen.

Den fria energi W som lagras i ett material under enaxlig deformation kan uttryckas som arean under dess spännings-töjningskurva enligt:

W = Z max

0

σd, (17)

där 0och maxär start- respektive sluttöjningen. En approximation av denna arean kan erhållas genom att dela upp spännings-töjningskurvan i n stycken rektangulära spalter med bredden ∆k = k−k−1 och höjden σk, för att sedan summera varje spalts area enligt:

W = n X

k=1

(σk·∆k) , (18)

där k = 1, .., n, är numret på spalten. Är energidensiteten W för varje töjning känd istället för spänningen, kan spänningen σk därmed beräknas genom:

σk =

Wk−Wk−1 ∆k

där Wk är energidensiteten för töjning k och Wk−1 är energidensiteten för töjning k−1. Detta samband motsvarar ekvation (16) i specialfallet för enax-liga dragprov.

2.3

Materialmodell

En modell för anisotropisk hyperelasticitet, baserad på Holzapfel-Gasser-Ogden-modellen [5], finns i Ansys och består av en volymetrisk del Wv och en isokor del Wd. Den konstitutiva töjning-energidensitetsfunktionen W ges av [9]:

W = Wv(J )+Wd C, a⊗a, b⊗b
,¯ (20) där den volymetriska delen Wv av töjningsenergin ges av [9]:

Wv(J ) = 1

d·(J −1) 2

. (21)

J är den lokala volymförändringen som definieras i ekvation (1) och d är en inkompressibilitetsparameter som beror på materialets bulkmodul K enligt:

d = 2

K, (22)

där bulkmodulen definieras av:

K = −VdP

dV , (23)

där V är volymen och dP

dV är förändringen i tryck med avseende på volymför-ändringen. Den isokora delen Wdav töjningsenergin beskrivs som en funktion av invarianterna ¯I1, ¯I2, ¯I4 och ¯I6, som är skalära storheter, enligt [9]:

Wd C, a⊗a, b⊗b
=¯ 3 X i=1 ai I¯1−3
i + 3 X j=1 bj I¯2−3
j + +c1 2c2  ec2(I¯4−1) 2 −1+ e1 2e2  ee2(I¯6−1) 2 −1, (24)

där ai=1,2,3, bj=1,2,3, c1, c2, e1 och e2 är modellens tio parametrar. a och b är riktningsvektorer för fibrerna, (xa, ya, za) respektive (xb, yb, zb), som på matrisform blir: a =   xa ya za  , b =   xb yb zb  . (25)

Dessa riktningsvektorer beskriver fiberriktningarnas utbredning i odeforme-rat material. Strukturtensorerna A och B bildas av tensorprodukten ⊗, en typ av dyadisk produkt som även kallas den yttre produkten, av riktnings-vektorerna, a⊗a respektive b⊗b. Yttre produkten mellan två godtyckliga vektorer u och v ges av [16]:

u⊗v = uvT. (26)

Därmed ges A och B av:

A = a⊗a = aaT =   x2_a xaya xaza yaxa ya2 yaza zaxa zaya z2a   B = b⊗b = bbT =   x2_b xbyb xbzb ybxb yb2 ybzb zbxb zbyb zb2  . (27)

Invarianterna ¯Ii=1,2,4,6 ges av [5, 9]: ¯ I1 =tr ¯C ¯ I2 = 1 2tr 2_{C−¯ tr ¯C}2 ¯ I4 = ¯C : A ¯ I6 = ¯C : B. (28) ¯

Cär den deformerande delen av den högra Cauchy-Green tensorn som ges av ekvation (9). Matrisoperationen tr kallas för spåret av matrisen och definieras av summas av elementen i diagonalen i en kvadratisk matris, vilket för en godtycklig matris D blir [10]:

tr(D) = n X

i=1

dii = d11+d22+d33+...+dnn, (29) där dii står för matriselementet i den i:nde raden och i:nde kolumnen av matrisen D. Den dubbla inre produkten : mellan två kvadratiska matriser D och G med samma dimensioner m, definieras summan av elementvisa produkterna enligt [17]: D : G = m X i=1 m X j=1 DijGij, (30)

där i och j är matriselementens rad respektive kolumn.

Utförs matrisoperationerna för invarianterna ¯I1 och ¯I2 i ekvation (28) enligt ekvation (29), med den angivna definitionen av ¯C, erhålls:

¯ I1 = λ2xx+λ 2 yy+λ 2 zz ¯ I2 = λ2xxλ 2 yy+λ 2 xxλ 2 zz+λ 2 yyλ 2 zz. (31) Invarianterna ¯I4 och ¯I6 ges av de dubbla inre produkterna enligt ekvation (30) [10]: ¯ I4 = ¯C : A = 3 X i=1 3 X j=1 ¯ CijAij = x2aλ 2 xx+y 2 aλ 2 yy+z 2 aλ 2 zz ¯ I6 = ¯C : B = 3 X i=1 3 X j=1 ¯ CijBij = x2bλ 2 xx+y 2 bλ 2 yy+z 2 bλ 2 zz, (32)

vilket fysikaliskt kan tolkas som kvadraten av förskjutningsgraden i respektive fiberriktning [5, 18].

2.4

Materialprovning

Med potentiella materialmodeller undersökta, analyseras därefter lämplighe-ten i standarder för dragprov. Ett exempel på en sådan är ASTM D751-06 [19], som beskriver tester för gummitäckta tyger såsom regnjackor och presenningar. Även ASTM D3039/D3039M [20] undersöktes, som fokuserar på fiberförstärkta polymerer i laminatform. Standarden beskriver även hur glidningar mellan grepp och greppytan på provstaven kan delvis förhindras genom att fästa kilar på varje sida om greppytan. Ytterligare en standard som är analyserad är ASTM D 3846-02 [21], som inriktar sig på tester på plan skjuvning.

Utöver de tidigare nämnda standarderna finns även ISO 527-1 [22], som be-handlar den generella bestämningen av dragegenskaper för polymerer och kompositmaterial. Standarden innehåller information om hur prov ska utfö-ras för att ta fram brottgräns, elasticitetsmodul och andra spänning-töjnings-samband. En specialfall av ISO 527-1 är ISO 527-4 [23], som även gäller för enaxliga dragprov på fiberförstärkta polymerer. Standarden lämpar sig både till isotropa och anisotropa material, såsom polymerer förstärkt med vävt tyg, garn eller glasfibermattor. Principen med standarden är att provet blir töjt i längdriktningen vid en konstant töjningshastighet tills brott uppstår

eller tills ett förutbestämt värde på töjning eller spänning uppnås. ISO 527-4 applicerar användning av provstavar som antingen har blivit gjutna eller bearbetade till den önskade formen, alternativt utskurna eller stansade från plana bitar av materialet. Skulle det inte finnas tillräckligt stora ytor att skä-ra eller stansa ut provstavarna ifrån, beskrivs det även i ISO standard 527-4 att material från existerande produkt användas istället. ISO 527-1 och 527-4 rekommenderar minst fem prover i varje dragriktning för få en tillräckligt hög precision och för att kunna sålla bort extremfall.

Dragprovsstandarden som väljs att tillämpas i det här arbetet är ISO 527 och specifikt ISO 527-4, då den är den enda standarden bland de undersökta som behandlar fiberförstärkta gummikompositer.

2.5

Kalibrering av materialmodell

Det finns olika sätt att beskriva en funktion till mätdata. Ett exempel på dessa är interpolation såsom linjär eller polynomisk interpolation. Dessa ger ett sätt att ta fram linjära respektive polynomiska approximativa funktioner som med liten residual kan estimera värdet på punkter mellan mätdatan [24]. För funktioner som inte enbart kan beskrivas som ett enkelt polynom, är denna typen av interpolationer inte praktiskt tillämplig.

Ett annat sätt att anpassa en funktion till mätdata är med minsta kvadratme-toden, som minimerer residualen mellan värdet på funktionen och mätdatan [25]. För att få en kurva med god passning till mätvärden, justeras paramet-rarna till funktionen f(xi, β) som kurvan definieras av. Mätvärdena utgörs av n st punkter (xi, yi) för i = 1, 2, ..., n, där parametrarna xi är oberoende variabler till skillnad från yi, som erhålls från experimentell data. Kurvans form är definierad som y = f(xi, β)som förutom på xi men även beror på m parametrar β = (β1, β2, ..., βm) där n ≥ m.

För värden på parametrarna kan ett mått på hur väl formelns kurva passar till mätdatan formuleras med hjälp av minstakvadraten [25]:

S = m X

i=1

r_i2, (33)

där ri = yi−f (xi, β)för i = 1, 2, ..., m är skillnaden mellan yi för mätpunkten och formelns värde för punkten xi.

För att få bästa möjliga modellkalibrering summeras resultatet av kvadraten och minimeras med avseende på ri = yi−f (x, β) för i = 1, 2, ..., m. För

j = 1, ..., n fås det minsta värdet av S när gradienten är lika med noll enligt [25]: ∂ S ∂β_j = 2 X i ri ∂ ri ∂β_j = 0. (34)

För att bekräfta att de erhållna materialparametrarna gett ett minimum på residualen, kan en så kallad perturbation av parametrarna utföras. Detta går ut på att ändra alla parametrarna på något sätt, antingen öka eller minska dem med samma procentenhet, eller att på slumpmässigt vis ändra dem, för att sedan göra om beräkningen. Erhålls ett lägsta värde vid samma paramet-rar efter perturbation, tyder det på att ett minimum har uppnåtts.

Med beräkningsmetod för modellkalibrering vald ska även programvara till metoden väljas. Det finns ett flertal möjliga, såsom programvaror som använ-der sig av interpolation eller minstakvadratmetoden. Ett exempel på en av dem är Matlabs tilläggsverktyg för modellkalibrering [26]. Ett annat exempel är problemlösarverktyget i MS Excel [27].

I detta arbete väljs minstakvadratmetoden för modellkalibrering då den på enklast sätt kan anpassa materialmodellens funktion mot mätdatan. Detta på grund av materialmodellen inte är en rent linjär eller polynomisk funktion, varpå linjär eller polynomisk interpolation inte är tillämpliga. Utöver det väljs Excel [27] framför Matlab [26] som programvara för kalibreringen med minstakvadratmetoden. Anledningen till detta val är att problemlösarverk-tyget i Excel använts i en tidigare kurs och dessutom har Excel fördelen att lätt kunna modifieras och på ett överskådligt sätt sammanställa resultaten från modellkalibreringen.

2.6

Finita elementmetoden

Finita elementmetoden används för att lösa komplexa problem där strukturer delas upp i mindre delar, så kallade finita element [28]. För att strukturens storheter ska vara statiskt bestämda måste randvillkor såsom frihetsgrader och pålagda krafter definieras [28].

För att implementera materialmodellen och de framtagna parametrarna för membranet används Ansys, ett datorprogram för finita elementberäkning [6]. Anledningen till detta val av programvara är att det är den som finns tillgänglig i detta arbete. Strukturens geometri laddas upp från ett 3D-CAD program, såsom PTC. Creo Parametrics 3.0 [29], varpå storheter såsom spän-ning och töjspän-ning av strukturen kan beräknas med hjälp av partiella differen-tialekvationer.

En numerisk metod för statisk jämvikt presenteras i kapitel 2.6.1. För att säkerställa att strukturen är statiskt bestämd, behöver dessutom kontakt mellan modellens ytor definieras, vilket presenteras i kapitel 2.6.2. Hur ele-ment delas in i Ansys beskrivs i kapitel 2.6.3.

2.6.1 Newton-Raphsons metod

Newton-Raphsons metod används i Ansys för att uppnå jämvikt mellan in-terna och exin-terna krafter. Metoden är en iterativ algoritm som går ut på att stegvis hitta ett bättre värde på nollställe till en funktion. Om en ursprung-lig uppskattning av funktionens nollställe är punkten xn, kan ekvationen för punktens tangent ställas upp enligt

y = f (xn)+f0(xn)(x−xn), (35) där f0_(x

n)är tangentens lutning i punkten (xn, f(xn)). Denna tangents skär-ningspunkt i x-axeln, xn+1, är en bättre uppskattning på funktionens noll-ställe. Genom att upprepa denna beräkning hittas en allt bättre estimering på funktionens nollställe. Allmänt ger en godtycklig punkt (xn, f(xn)) och lutningen på dess tangent f0_(x

n)ett direkt samband för den bättre uppskatt-ningen xn+1 enligt: xn+1 = xn− f (xn) f0_(x n) . (36)

Iterationerna i Newton-Raphsons metod åskådliggörs i figur 2 [30].

I Ansys kan den minimala och maximala mängden av delsteg som program-met ska utföra för varje beräkningssteg definieras. Ifall beräkningen inte

kon-vergerar i några av de minimala antalet delsteg, sägs det beräkningssteget divergera. I det fall en uppskattning av kurvan inte konvergerar i ett beräk-ningssteg, kan Ansys dela det divergerade beräkningssteget i fler delsteg, och på så vis erhålls fler chanser att få en konvergerande lösning. När konvergens uppnåtts eller då det maximala antalet delsteg utförts i ett beräkningssteg utan konvergens, avslutas delstegsprocessen.[31]

Figur 2: x0 är det uppskattade värde. Xn+1är en närmare approximation av funktionen y=f(x).

2.6.2 Kontaktytor

Kontakten av ytor i Ansys definieras med en typ av utökad Lagrangesk me-tod, en grupp algoritmer som används vid numeriska beräkningar. Anled-ningen till att just den typen av algoritm används i Ansys är att den, med hjälp av så kallade strafftermer, kan noggrannare lösa mer svårlösta problem efter färre antal iterationer. [32]

Ansys använder ett samband mellan normalkraft Fnormal och penetrationen xpenetration enligt [33]:

Fnormal= knormal·xpenetration, (37) där knormal är styvhetsfaktorn i ytan. I det ideala fallet, för att hindra ytorna från att penetrera varandra, är knormaloändligt stort och xpenetration oändligt litet. Att undvika penetration mellan ytorna är nödvändigt för att få pålitliga resultat av simuleringen. En illustration av ytor i kontakt med varandra visas i figur 3.

Figur 3: Kontakt mellan ytorna [33].

Ytorna överför tryckkrafter, normalkrafter och friktion (eller skjuvspänning). Ifall styvhetsfaktorn knormal är för hög kan det resulteras i att ytorna plötsli-gen avskiljs ifrån varandra i Ansys simulerinplötsli-gen. Därför är normal styvhets-faktor (FKN) knormalsatt till tio för sammanfogade ytor och ett för alla andra fall. Detta kan ändras manuellt till andra värden och det rekommenderas en FKN faktor mellan 0,01 till 0,1 för böjning. [33]

2.6.3 Elementindelning

I Ansys kallas indelningen av de finita elementen för en mesh. Meshen beskri-ver modellens geometri inför finit elementanalys med hjälp av noder, kanter och ytor. Meshen kan genereras med meshelement som till exempel ett tetra-hedralt element. [34]

En mesh skapas för att göra det möjligt att beräkna med finita elementmeto-den. Strävan är att få en så verklighetstrogen beräkningsmodell som möjligt. Antalet element och noder ökar noggrannheten av beräkningsresultatet, men ökar också beräkningstiden. Därför är det viktigt att optimera meshen, ge-nom att fokusera noggrannheten ige-nom modellens viktiga delar, för att få ett med verkligheten så överensstämmande resultat som möjligt samtidigt som beräkningstiden bevaras så liten som möjligt.

Den vanligaste typen av meshelement i Ansys är tetrahedral med 4 - 10 noder eller hexahedral med 8 - 20 noder, se figur 4 och 5 [35]. Fördelarna med tetrahedrala meshelement över hexahedrala är att de lättare går att bygga ihop till komplexa strukturer. Fördelen med hexahedrala meshelement över tetrahedrala är att de kräver färre antal noder för samma volym, vilket leder till att finita elementberäkningar tar mindre tid, och föredras därför vid de räta, mindre komplexa delarna av en struktur [35].

Figur 4: Terahedralt

meshele-ment med dess noder [35]. Figur 5: Hexahedralt meshele-ment med dess noder [35].

3

Materialprovning

En förutsättning för att kalibrera materialmodellens parametrar är att fram-ta mätdafram-ta från enaxliga dragprov. Innan dragproven kan utföras, behöver provstavar prepareras. Hur provstavarna preparerades i detta arbete beskrivs i detalj i kapitel 3.1. Med provprepareringen utförd, beskrivs hur experi-mentuppställningen för dragproven utförs i kapitel 3.2.

3.1

Provpreparering

Provstavarna prepareras i detta arbete med ISO 527 och specifikt ISO 527-4 som utgångspunkt. Under detta arbete finns det inte tillgång till färdiga stan-dardprovstavar tillverkade av det nylonförstärkta gummimaterialet. Därför är tillverkningen av provstav lämnad till studenterna i detta arbete. Eftersom det inte heller finns tillgång till plana skivor av materialet, används mate-rial från den existerande produkten istället, i detta fall det membran som åskådliggörs i figur 1b.

För att få så noggranna mätvärden som möjligt på dragproverna eftersträvas det att mätområdet på provstavarna är så plana som möjligt. Membranen finns tillgänglig i tre olika storlekar: 16, 18 och 20 tum. Dess plana yta i mitten har diametermått på ca 8,5, 9,5 respektive 10,5 cm. Då detta är de största plana ytorna på membranet, används de som mätområde i provstaven. Däremot är dessa ytorna för små för att få plats med en hel provstav med de mått som anges i ISO standard 527-4.

Figur 6: Sax med skär i kolstål lämpad att

klippa i membranet. Figur 7: Identifiering av fiberriktningen.

Då proven inte ska jämföras med andra standardprov, utan med andra prov utförda på samma membranmodell är det endast av vikt att provstavarna sinsemellan har konsekventa mått. Av denna anledningen modifieras prov-staven till en med nya mått som illustreras i figur A1 i bilaga A, ritad i Creo Parametric [29]. Måtten i denna figur maximerar mätområdet, den ra-ka biten av provstaven, medan den förblir plan, genom att låta provstavens greppytor gå över membranets kurvatur och ned längs dess sidor. Då mem-branets kurvatur på detta sätt hamnar ett par cm in i dragprovmaskinens grepp på varje sida, bör de inte påverka dragprovernas resultat. Måtten mäts i utskuren provstav på flera ställen över mätområdet och ett medelvärde av dessa för varje provstav används.

Ett flertal sätt att tillverka provstavarna är undersökta, såsom att använ-da sax, mattkniv, utstansning eller utskärning med laserskärare. Eftersom provstavarna tillverkas direkt från membranen, kan både utstansning och ut-skärning med laserskärare uteslutas då dessa kräver ett plant stycke material för att bibehålla sin noggrannhet. Utöver det är inte laserskärning av gum-mimaterialet genomförbart, då giftiga ämnen såsom vinyl som gummit skulle kunna innehålla, riskerar förångas ut i verkstadslokalen. Då det finns ingen tillgänglig information om vilka ämnen gummit innehåller, är detta inte nå-got som var värt att riskera. Då mattknivar kan ha svårt att med precision skära tjocka material och särskilt att skära krökta linjer, väljs istället en sax.

Saxen som illustreras i figur 6 har skär i kolstål och är väl lämpad att klip-pa genom annars svårklippta material som tjockt tyg, hård plast och även tunnare metall.

För att undersöka membranets anisotropa egenskaper utförs dragprover både i en av fibrernas riktning och i 45° vinkel mot en av fibrernas riktning. För att kunna skära ut provstavarna i dessa riktningar behöver först fiberrikt-ningarna i membranet identifieras. Detta görs lättast genom att klippa bort de yttersta kanterna av membranet i en vid cirkel. Ett exempel på en sådan klippt kant illustreras i figur 7. Med den klippta kanten blottad, kan fibrernas riktning identifieras, då fibervävens profil i kanten får en vågig form när ena fiberriktningen är tangentiell med den klippta kanten. Eftersom fibrerna är vävda ortogonalt, är därmed den andra fiberriktningen normal mot kanten i denna punkt.

3.2

Experimentuppställning

Maskinen MTS CriterionTM _{Model 43, som åskådliggörs i figur 8, används} för dragproverna på de tillverkade provstavarna, med programvaran MTS TestSuite TW. Dragprovsmaskinens specifikationer finns att läsa i MTS ka-talog över Criterion 40 serien [36]. I programvaran definieras de ursprungliga (odeformerade) måtten på provstavarnas längd, tjocklek och bredd för prov-stavens mätområde definierades efter uppmätta värden för varje individuell provstav. Även töjningshastigheten ˙ och frekvensen f på dataavläsningen definieras.

Monteringen av provstaven i dragprovsmaskinen sker med hjälp av greppen (även kallad backar) FXSA105A.01 och FXSA105A.02 med deras platta profil och tänder som håller fast i provstaven. Tänderna är utspridda över en area av 40 x 55 mm2_{. Spridningen av tänder är en tand/mm}2 _{[37]. Backar med} tänder används för att förhindra att provstaven glider ur maskinens grepp vid dragprov.

Dragprov utförs både med och utan extensometer. Extensometern som an-vänds är av modell 634.34F-24 och i figur 9 visas en provstav monterad i dragprovsmaskinen med en extensometer fäst i dess mätområde. Då prov-staven i figuren är helt ospänd, syns det extra tydligt att extensometerns tyngd ger upphov till ett moment i provstaven. Detta moment antas vara försumbart enligt de avgränsningar angivna i kapitel 1.3. Om skillnaden mel-lan testerna med respektive utan extensometer är stor, beror detta troligen på att mikroglidningarna som uppstått är för stora för att försumma. I det

fallet bör endast prov framtagna med extensometer användas.

Figur 8: Dragprovsmaskinen

MTS criterium model 43. Figur 9: Provstav monterad i maskinen med extensometern.

4

Modellkalibrering

Med materialprovningen utförd kan materialmodellens parametrar bestäm-mas, vilket görs med hjälp av modellkalibrering i Excel. Mätdatan från de enaxliga dragproverna uttrycks i form av förlängningsgrader enligt ekvation (4) och (11) så att λ1, λ2 och λ3 är uttryckt i varje mätpunkt. Med hjälp av töjningarna beräknas Cauchy-Green deformationstensorn ¯Cmed hjälp av ekvation (12), varpå varje invariant i materialmodellens energidensitetsfunk-tion erhålls enligt ekvaenergidensitetsfunk-tion (31) och (32). På så vis kan energidensiteten W beräknas för varje mätpunkt av mätdatan. Spänningen σ för varje mätpunkt erhållas därmed med hjälp av ekvation (19).

Denna spänning som är erhållen från materialmodellen plottas över töjning-en och jämförs med spännings-töjningskurvan från dragproverna. De över-ensstämmer väl då residualen ur minstakvadraten, ekvation (33) går mot noll. Då materialmodellen ska överensstämma med båda dragriktningarna, bör summan av residualen i båda riktningarna gå mot noll. En låg total

re-sidual bör leda till en bra överensstämmelse mellan materialmodell och all provdata.

När minsta värdet är hittat av problemlösarverktyget kan det antingen vara ett lokalt eller globalt minimum. Detta beror på att verktyget bara letar efter optimum inom ett visst intervall. Därmed finner problemlösarverktyget olika lägsta värden beroende på vilka värden parametrarna startar på. Då de lokala minima tenderar att vara mer instabila, så att den totala residual ändras drastiskt vid små ändringar av parametrarna, är globala minima att föredra. Globala minima är till skillnad från lokala mer stabila och små ändringar av parametrarna bör bara ändra den totala residual förhållandevis lite.

För att styrka att materialparametrarna som problemlösarverktyget ger är ett optimum, utförs perturbation enligt beskrivningen i kapitel 2.5.

5

Implementering och verifiering av modell

Materialmodellen och dess framtagna parametrar implementeras genom si-mulering av enaxliga dragprov och verifieras genom sisi-mulering av en fjär-dedel av bromsaktuatorn i användningsintervallet, utfört i Ansys. En CAD-modellerad provstav respektive fjärdedel av bromsaktuatorn används i pro-grammet, där de är uppdelade i ett tillräckligt högupplöst mesh. Med rand-villkor och laster definierade är bland annat deformationerna och spännings-koncentrationen i aktuatorns olika delar beräknade.

5.1

Simulering av dragprov

För simulering CAD-modelleras provstavens mätområde som ett 40 mm långt, 3,0 mm tjockt och 21,5 mm brett rätblock. Rätblockets mått åter-speglar genomsnitten på de uppmätta mått på varje provstavs mätområde. Det finns två huvudanledningar till att den genomsnittliga bredden på prov-stavarna är 21,5 mm istället för de 20,0 mm som angivet i figur A1 i appendix A. Den första anledningen är den använda metoden att klippa ut och rita av en mall från ritningen, där varken tjockleken på mallens kantlinjer eller de avbildade linjerna på materialet vid provprepareringen är oändligt tunna, vilket ger upphov till en aningen bredare avbildning än mallen. Den andra anledningen är att utklippningen med saxen tenderade att klippa utanför snarare än innanför denna avbildning, för att undvika lokalt smalare delar med hög spänningskoncentration.

För att efterlikna experimentuppställningen med simuleringen i Ansys defi-nieras randvillkor. För den ena kortsidan, som illustreras som den gula ytan i figur 10, definieras en förflyttning i x-riktningen, markerat med gul pil. Både y- och z-riktningarna hålls fria för att tillåta tvärkontraktion. För den andra kortsidan, som illustreras som den blå ytan i figur 11, definieras en förflytt-ning på 0 mm i x-riktförflytt-ningen, medan både y- och z-riktförflytt-ningarna hålls fria, för att även där tillåta tvärkontraktion. Till sist, för att förhindra stelkroppsrö-relse eller rotation i yz-planet, definieras två punkter på ena kortsidan nära dess mittpunkt med låsning av frihetsgrader i y- och z-riktningarna.

Figur 10: Förskjutning i x-riktning definierad på

ena kortsidan. Figur 11: Låst förflyttning i x-riktningen definie-rad på andra kortsidan.

5.2

Simulering av bromsaktuator

Vilka randvillkor som definieras vid simuleringen av bromsaktuatorn, hur denna komponent delas in i element och till sist hur materialmodellen och dess materialparametrar implementeras i Ansys presenteras här.

För att efterlikna Haldex laborationsprovning av bromsaktuatorn görs en si-mulering av denna provning i Ansys. Det är önskvärt att förenkla modellen för att spara så mycket beräkningstid som möjligt. Därför används endast en fjärdedel av bromsaktuatorn och dessutom bara ena sidan av tryckkär-let. I figur 12 är denna fjärdedelsmodell av membranet och ena tryckkärlet illustrerat.

5.2.1 Randvillkor för simulering

För att kunna återspegla verkligheten med den förenklade fjärdedelen av bromsaktuatorn, delas simuleringen upp i två laststeg. Lämpliga randvillkor definieras i något av dessa två laststeg. Ett av dessa är en konstant lastning på 10 bar som åstadkoms genom att definiera ett gradvis tryckpå-lastning upp till 10 bar i laststeg ett som visas i figur 13. För att återspegla slaget som görs i vekligheten definieras en förflyttning på 68 mm i laststeg två som åskådliggörs i figur 14.

En fjäderkraft definieras till 45 N i laststeg ett och 125 N i laststeg två. Dessa krafter motsvarar en fjärdedel av fjäderns uppmätta förspänning respektive fjäderkraft vid 68 mm komprimering. Denna fjäderkraft åskådliggörs i figur 15. Eftersom enbart en fjärdedel av hela bromsaktuatorn simuleras definieras frihetsgraden i normalriktningen från genomskärningsytorna som låst medan frihetsgraderna i övriga riktningar för ytorna hålls fria, vilket illustreras i figur 16.

Membranet är i verkligheten klämd mellan två tryckkärlshalvor. För att be-skriva detta i simuleringen definieras membranets undersidan inspänd på tryckkärlets översida, som illustreras i figur 17, och en radiell låsning som vi-sas i figur 18. En friktionskontakt definieras mellan undersidan av membranet och ovansidan av metallplattan för att återspegla att de i verkligheten ligger mot varandra, se figur 19. Under laborationstestet lägger sig membranet mot kärlväggen, vilket åstadkoms i simuleringen genom att definiera en friktions-kontakt mellan ytorna som visas i figur 20. För att membranets rand inte ska kunna röra sig i radiellt led under simuleringen begränsas randen med ett friktionslöst stöd, vilket åskådliggörs i figur 21.

För att bromsaktuatorn inte ska stelkroppsförflyttas definieras ett inspänt stöd, vilket illustreras i figur 22.

Figur 13: I laststeg ett appliceras trycket i tryckkärlet genom en gradvis pålastning av tryck på ovan-sidan av membranet. Detta tryck definieras till 10 bar, markerad i rött. I laststeg två hålls trycket på membranet konstant.

Figur 14: I laststeg två definieras ett slag för undersidan av metallplattan, här markerad med gult, enligt test på bromsaktuatorn som en gradvis förflyttning i x-led (nedåt) på 68 mm.

Figur 15: När trycket appliceras på metallplattan trycker den på en fjäder. Eftersom bara en fjärdedel av plattan simuleras sätts fjäderkraften till endast en fjärdedel av den uppmätta fjäderkraften, vilket definieras till 45 N i laststeg ett och 125 N i laststeg två. Fjäderkraften definieras som en jämnt utbredd kraft riktat upp mot tryckplattan, vilket åskådliggörs genom ytan markerat med rött.

Figur 16: På grund av att endast en fjärdedel av hela bromsaktuatorn simuleras, måste frihetsgraden i normalriktningen från genomskärningsytorna vara låsta, medan frihetsgraden för övriga riktningar är fria. Detta åstadkoms genom att lägga ett friktionslöst stöd på de uppskurna sidorna, vilket illustreras med de lila ytorna.

Figur 17: Den övre halvan av tryckkärlet simuleras med ett randvillkor som innebär att membranets undersida markerat med rött är fast inspänd på tryckkärlets översida markerat med blått.

Figur 18: För att översidan av membranet också ska vara inspänd definieras ett fixerat randvillkor i radiell riktning så att membranet inte kan röra sig i den ritningen, detta illustreras med gul yta.

Figur 19: Definierad friktionskontakt mellan membranets undersida, markerat i rött, och metallplattans undersida, markerat i blått. Denna friktionskontakt ser till att gummimembranet inte kan förflyttas rakt igenom tryckplattan och tillåter därmed överföring av belastning på tryckplattan.

Figur 20: Friktionskontakt definieras mellan membranets undersida, markerat i rött, och innersidan av tryckkärlsväggen, markerat i blått, så att membranets förflyttning begränsas nedåt till tryckkärlets insida och så att kärlväggen kan belasta membranet med normalkrafter vid kontakt.

Figur 21: Definierat friktionslöst stöd på sidan av membranet för att förhindras membranets rand från att förskjutas utanför den ytan vid deformation. Denna fixering återspeglar det verkliga hindret som tryckkärlet ger upphov till och illustreras med blå yta.

Figur 22: För att förhindra hela bromsaktuatorn från att stelkroppsförflyttas, definieras ett inspänt stöd på undersidan av tryckkärlet, vilket åskådliggörs med blå yta.

5.2.2 Elementindelning och elementorientering

En elementindelning skapas för bromsaktuatorn med finare upplösning där spänning och krafter varierar som mest. Samtidigt eftersträvas ett så få antal noder som möjligt för att minska på beräkningstiden.

Figur 23: Elementindelningen för bromsaktuatorn.

Då membranet är indelad i tre delar, genereras elementindelningen för mem-branet i tre steg. De yttersta två av dessa tre delar definieras som svepning. Svepning är en metod för indelning för element, som skapar en radiellt sym-metrisk struktur. Den innersta delen av membranet sveps inte, utan blir istället kontrollerad efter ytfinhet, så att dess elementindelning får så jämn-stora element som möjligt. Anledningen till att den innersta delen inte också sveps är för att undvika smala tårtbitsformade element i hörnan, vilket hade kunnat lett till stora problem för beräkningarna i Ansys.

Extra fin elementindelning läggs vid kritiska ställen av membranet, där spän-ningskoncentrationen väntas bli som störst, som i området precis vid dess fästpunkt mellan tryckkärlets väggar och i området där membranet böjs runt tryckplattan. På sidan av membranet definieras elementstorlek för att styra hur många element som tjockleken på membranet delas in i.

För att optimera kvaliteten på kontakten mellan undersidan av gummimem-branet och metallkärlet, definieras en finare elementindelning på det område där membranet är i kontakt med metallkärlet. På de mindre kritiska område-na används grövre elementindelning för att minska antalet noder och därmed beräkningstiden. Elementindelningen för bromsaktuatorn visas i figur 23. En elementorientering definieras så att normalen alltid utgår från membranet.

Detta görs för att förhindra att fibrerna följer det globala koordinatsystemet trots att membranets kurvatur inte gör det, detta åskådliggörs i figur 24. En detaljvy av elementorienteringen visas i figur 25.

Figur 24: Definierad orientering för membranets

element. Figur 25: Detaljerad vy över membranets elemen-torientering.

5.2.3 Implementering av materialmodell i Ansys

För att i Ansys definiera materialet för gummimembranet efter material-modellen med dess parametrar används kommandot Ahyper [38] inom pro-gramspråket APDL (Ansys parametric design language). Med Ahyper kan ett material definieras efter materialmodellen för anisotrop hyperelasticitet, som finns beskrevs i ekvation (20), (21) och (24). Antalet parametrar och värdet på dessa definieras från modellkalibreringen. Riktningsvektorerna för fiberriktningar definieras i enlighet med ekvation (25).

6

Resultat

Här presenteras resultaten från dragproverna, modellkalibreringen och slutli-gen implementering av materialmodellen via simulering av bromsaktuatorn.

6.1

Dragprov

Dragprov är utförda i både en av fiberriktningarna och i 45° mot en av fiber-riktningarna och både med respektive utan användning av extensometer för mätning av töjning. Jämförelsen mellan dragproverna utförda med respektive utan extensometer i de två dragriktningarna illustreras i figur 26 och 27.

Figur 26: Jämförelse för dragprovkurvor i ena fiberriktningen. Som de röda pilarna visar, användes extensometer för prov J-O och prov A-E utfördes utan extensometer.

Figur 27: Jämförelse för dragprovkurvor i 45° mot ena fiberriktningen. Som de röda pilarna visar, an-vändes extensometer för prov P-T och prov F-I utfördes utan extensometer.

För alla dragprover hålls töjningshastigheten ˙ konstant till 0,03 s−1_. Drag-provkurvorna för dragprover utförda i ena fiberriktningen är sammanställda i figur 28. Figuren visar att prov K avviker mest från resten av proverna. Därför ignoreras dess mätdata och den genomsnittliga dragprovkurvan be-räknas alltså enbart på prov J, L, M, N och O. Denna medelvärdeskurva är markerad som en blå prickad linje i figuren. Töjningsdata för de lämpliga dragproverna från proven J-O, med en av fiberriktningarna i dragriktningen, presenteras i tabell 1.

Figur 28: Dragprover med extensometer och ena fiberriktningen i dragriktningen. Medelvärdet av drag-proverna är markerad med blå prickad linje.

Tabell 1: Töjningsdata för proverna. L0är mätlängden och avser avståndet mellan knivarna på

extensome-tern. d och t är medelbredden och -tjockleken på den smala delen av provstaven. ˙ är töjningshastigheten. Prov i en fiberriktning L0 (mm) d (mm) t (mm) ˙ (s−1) Prov J 9,96 20,30 3,00 0,03 Prov L 9,96 20,74 3,00 0,03 Prov M 9,96 21,00 3,00 0,03 Prov N 9,98 20,80 3,00 0,03 Prov O 9,95 20,28 3,00 0,03

Kurvorna för dragprover utförda med fiberriktningarna 45° vinkel mot drag-riktningen illustreras i figur 29. Figuren visar att prov S avviker mest resten av proverna. Därför ignoreras dess mätdata och genomsnittliga dragprovkur-van beräknas alltså enbart på prov P, Q, R, och T. Denna medelvärdeskurva är markerad som en grön prickad linje i figuren. Töjningsdata för de lämpliga dragprover från proven P-T, med fiberriktningarna 45° vinkel mot dragrikt-ningen, presenteras i tabell 2.

Figur 29: Dragprover med extensometer och en av fiberriktninga 45° vinkel mot dragriktningen. Medel-värdet av dragproverna är markerad med grön prickad linje.

Tabell 2: Töjningsdata för proverna. L0är mätlängden och avser avståndet mellan knivarna på

extensome-tern. d och t är medelbredden och -tjockleken på den smala delen av provstaven. ˙ är töjningshastigheten. Prov i 45°-riktning L0( mm) d (mm) t (mm) ˙ (s−1)

Prov P 9,95 20,68 3,00 0,03

Prov Q 9,97 20,32 3,00 0,03

Prov R 9,95 20,66 3,00 0,03

Prov T 9,96 20,80 3,00 0,03

Ett dragprov med nylonfibrerna riktade i dragprovsriktningen med ett brott som är vinkelrätt mot dragriktningen visas i figur 30. Då det raka brottet är vinkelrätt mot dragriktningen och då fibrer fransar ut sig parallellt med dragriktningen tyder det på att fiberriktningen är korrekt identifierad. I figur 31 visas en provstav med en fiberriktning identifierad som 45° mot dragrikt-ningen. Där syns en typisk S-formad brottyta och fibrer som fransat sig 45° ut mot dragriktningen, vilket även här styrker antaganden gjorda vid iden-tifieringen av fiberriktningarna.

Figur 30: Provstav efter brott med ena

fiber-riktningen i dragfiber-riktningen. Figur 31: Provstav efter brott med fiberrikt-ningarna 45° vinkel mot dragriktningen.

6.2

Modellkalibrering

Spännings-töjningskurvorna från materialmodellen är kalibrerad med mätda-tan från dragproverna och materialparametrar är erhållna1_{. Då inget bättre} optimum hittas efter perturbation, antas det lägsta värdet vara ett stabilt globalt minima. Jämförelse mellan materialmodell och medelvärdet för prov-datan från dragprover i ena fiberriktningen illustreras i figur 32. Jämförelse mellan materialmodell och medelvärdet för provdatan från dragprover 45° vinkel mot ena fiberriktningen visas i figur 33.

Figur 32: Jämförelse mellan materialmodell och provdatan för drag i en av fiberriktningarna.

Figur 33: Jämförelse mellan materialmodell och provdatan för drag i 45° vinkel mot ena fiberns riktning.

6.3

Implementering av materialmodell

Ansys materialmodell för anisotropa hyperelastiska material, som ges ur ek-vationerna (20), (21) och (24), används för att beskriva materialets mekaniska egenskaper i enaxliga drag och för den verkliga komponenten. Vid simule-ringarna används de parametrar till materialmodellen som är erhållna från modellkalibreringen till experimentell mätdata.

Dragproverna simuleras i Ansys för både fiberriktningar i dragriktningen och i 45° mot dragriktningen. I figur 34 visas provstavens mätområde i sitt odefor-merat läge som har längden 40,0 mm och är 21.5 mm bred, vilket motsvarar medelvärdet på provstavarnas individuellt genomsnittliga bredd. Von Mises effektivspänning vid 17,5 % sann töjning (19 % nominell töjning) för mät-området i provstaven med en fiberriktning i dragriktningen illustreras i figur 35. Den genomsnittliga spänningen för den dragriktningen vid denna töjning är beräknad till cirka 26,4 MPa. Von Mises effektivspänning vid 35,6 % sann töjning (cirka 42,8 % nominell töjning) för mätområdet i provstaven med en fiberriktning 45° mot dragriktningen visas i figur 36. Den genomsnittliga spänningen för denna dragriktning vid angiven töjning är beräknad till cirka 21,9 MPa.

Normalkraft och förskjutning beräknad i Ansys för dragprov i båda fiberrikt-ningarna är konverterad till sann töjning och spänning. I figur 37 illustreras jämförelsen mellan spännings-töjningskurvorna från simulerat dragprov, ma-terialmodellen och mätdatan från verkligt dragprov i ena fiberriktningen. Den blå prickade linjen illustrerar dragprovet simulerad i Ansys. Material-modell och mätdata från dragprov är markerad med grå respektive orange linje. I figur 38 visas jämförelsen mellan spännings-töjningskurvorna från si-mulerat dragprov, materialmodellen och mätdatan från verkligt dragprov i dragriktning 45° mot fiberriktningarna, där materialmodell och mätdata från dragprov är markerad med grå respektive orange linje. Det simulerade drag-provet är markerad med blå prickad linje.

Figur 35: Von Mises effektivspänning för simulerad mätområde på provstav med fiberriktning i dragrikt-ningen.

Figur 36: Von Mises effektivspänning för simulerad mätområde på provstav med fiberriktning 45° mot dragriktningen.

Figur 37: Spännings-töjningskurva från dragprov med dragriktning i ena fiberriktningen. Simulerat dragprov är markerad med blå prickar. Materialmodell och mätdatan från dragprov är markerad med grå respektive orange linje.

Figur 38: Spännings-töjningskurva från dragprov med dragriktning 45° mot fiberriktningarna. Simulerat dragprov är markerad med blå prickar. Materialmodell och mätdatan från dragprov är markerad med grå respektive orange linje.

6.4

Simulering av bromsaktuator

En fjärdedel av bromsaktuatorn simuleras i Ansys. Vid laststeg ett belastas membranet med ett tryck på 10 bar och tryckplattan har ett slag på 0 mm. Von Mises effektivspänning i bromsaktuatorn vid detta laststeg åskådliggörs i figur 39. Vid laststeg två belastas membranet av ett tryck på 10 bar och tryckplattan har ett slag på 68 mm. Von Mises effektivspänning i membranet vid detta laststeg visas i figur 40. Den lägsta huvudspänning i membranet vid ett pålagt tryck på 10 bar vid slag på 68 mm åskådliggörs i figur 41.

Reaktionskraften från tryckplattan som ett förhållande på tryckplattans slag visas i figur 42. Den blå kurvan visar uppmätt kraft i förhållandet till sla-get i applikationsintervallet för bromsaktuatorn medan den gröna kurvan visar motsvarande förhållande vid simulering i Ansys. För båda kurvorna är återställningsfjäderns fjäderkraft subtraherad från den totala uppmätta reaktionskraften.

Figur 39: Membranets deformation vid applicerat tryck på 10 bar vid slag på 0 mm. De svarta linjerna är membranet i odeformerat tillstånd.

Figur 41: Den lägsta huvudspänningen i membranet vid pålagt tryck på 10 bar vid slag på 68 mm.

Figur 42: Kraftens förhållandet till slag av gummimembranet i användningsområdet är den blå kurvan och den gröna kurvan är motsvarande förhållande från simulerat gummimembran.

7

Diskussion

I detta arbete användes en variant av Holzapfel-Gasser-Ogdenmodellen (HGO) [5] som fanns inbyggd i Ansys [9]. Mätdata från dragprover utförda med lämplig standard anpassades med problemlösarverktyget i Excel [27]. Mate-rialmodellen och dess parametrar implementerades med hjälp av simulering av dragproverna och verifierades med hjälp av simulering av hela bromsak-tuatorn i Ansys.

Jämförelsen av kraft-slagkurvorna, som visas i figur 42, tyder på att simule-ringen av en fjärdedel av bromsaktuatorn inte helt kan beskriva egenskaper-na för bromsaktuatorn. Av någon anledning sträcks membranet inte ut mot tryckkärlets väggar lika mycket vid simulering som väntat, vilket åskådliggörs i 40. Att inte simuleringen av bromsaktuatorn överensstämmer perfekt med testdatan kan tyda på att något felaktigt antagits, som påverkade simulering-en av bromsaktuatorn i stor grad jämfört med simuleringsimulering-en av de simulering-enaxliga dragproverna. Exempel på detta är antagandet om att materialet beter sig likadant vid kompression som vid dragning. För fiberförstärkt gummi är det osäkert hur bra denna approximation är. Det faktum att simuleringen uppvi-sar att det förekommer en lägsta huvudspänning som är negativ, enligt figur 41, påvisar att membranet utsätts för kompression. Därmed hade det med fördel kunnat utföras ett kompressionstest för att undersöka hur materialet faktiskt beter sig vid kompressioner. Skulle resultat från kompressionstes-ter implemenkompressionstes-teras, är det möjligt att simuleringen av bromsaktuatorn skulle överensstämma bättre med uppmätt data av kraft-slagskurvan. En annan möjlig förklaring på felet är att elementorienteringen eller något randvillkor skulle kunna vara feldefinierat i Ansys. Det kan i så fall bero på eventuella missuppfattningar om hur bromsaktuatorn fungerar i verkligheten eller hur dessa bör återspeglas i Ansys. Skulle elementorienteringen eller randvillko-ren kunna definieras på ett bättre sätt, hade simuleringen på bromsaktuatorn kunna få bättre överensstämmelse med mätdatan.

Jämförelsen mellan spännings-töjningskurvorna i figur 37 och 38 tyder på att materialmodellen och dess parametrar implementerats rätt för materialet vid enaxliga dragprov. Det är oklart exakt varför spänningskoncentrationen inte är symmetrisk, utan istället koncentreras i två hörnor, för simuleringen i 45° mot ena fiberriktningen som illustreras i figur 36. En förklaring kan vara att något oförutsett hänt på grund av hur randvillkoren definierats för att förhindra frikroppsrörelse och rotation i kortsidornas plan.

god överensstämmelse i båda riktningarna. Detta tyder på att denna kalibre-ring fungerar väl för att hitta parametrarna till materialmodellen. Proble-met med att använda modellkalibrering i problemlösarverktyget är att det verktyget endast kan finna lösningar som ger lokala minima för felet med minstakvadratmetoden.

För att kontrollera att det funna minimat var stabilt, utfördes perturba-tion av parametrarna. Detta utfördes genom att ändra alla parametrarna på något sätt, antingen öka eller minska dem med samma procentenhet eller genom att ändra parametrarna på något slumpmässigt vis, som beskrivet i kapitel 2.5. Efter en relativt liten perturbation (< 5 %) av parametrarna hittade problemlösarverktyget i Excel antingen tillbaka till samma värden eller till ett set parametrar med större residual. Huruvida samma värden på parametrarna ger den minsta residualen igen efter perturbation ger endast ett mått på hur stabilt det lokala minimat är och inte huruvida det är ett globalt minima. För att bättre kunna säkerställa detta hade en annan metod än minstakvadratmetoden, som direkt kan hitta ett globalt minima, behövt användas.

Dragprovkurvorna i figur 28 och 29 visar att skillnaden kan vara rätt stor från prov till prov, särskilt vid dragprov i ena fiberriktningen. Denna stora spridning skulle kunna förklaras med att bestämningen av fiberriktning och utklippning för dessa dragproverna kan varit lägre än för dragproverna i 45° mot ena fiberriktningen. En annan orsak till detta kan vara att töjningsmot-ståndet möjligtvis varierar mer vid en av fiberriktningarna än vid 45° mot ena fiberriktningen. Dessa fel kan minimeras genom förbättra metoden för provberedningen eller genom att öka antalet prover.

Svårigheten att identifiera fiberriktningarna på ett noggrant sätt utan att skada materialet ledde till metoden att okulärt uppskatta dem genom att studera vågprofilen i de klippta ytterkanterna enligt figur 7. Denna uppskatt-ning styrktes av att fibrerna fransade ut sig i förväntad riktuppskatt-ning i brottytorna enligt figur 30 och 31. Därmed antogs detta antagande vara tillräckligt bra för ett fullgott resultat. Hur avvikelsen egentligen var och hur stort fel det potentiellt kan ha medfört, om de verkliga fiberriktningarna skulle avvika från de uppskattade, även om så bara med någon grad, är okänt. En möj-lig förbättring för detta problemet är att hitta någon form av metod eller instrument, som mer noggrant kan mäta de sanna fiberriktningarna.

Eftersom Ansys räknar om strukturens styvhet i varje litet beräkningssteg, analogt med hur sann töjning beror av den senaste töjningen, fanns det ett behov i detta arbete att mäta sann spänning och töjning. Dessutom kan skillnaden mellan testerna med respektive utan extensometer i de två

drag-riktningarna i figur 26 och 27 kanske tyda på att mikroglidningar uppstått som inte är försumbara. Av dessa anledningar användes enbart mätdatan från dragprov med extensometer. Problemet med extensometern var däremot att, trots att den modifierades för maximalt töjningsspann, kunde den inte mäta töjningar för över 50 %. För drag i 45° mot fiberriktningarna uppnåddes inte brott förrän uppemot 70-80% töjning. Därmed kunde inte materialmodellen anpassas på töjningar större än så i den riktningen. Inom detta intervall upp-visade simuleringen en väldigt god överensstämmelse med mätdatan enligt figur 37 och 38. Gummimembranet i bromsaktuatorn antogs inte deformera mer än 50%. Visade sig att detta antagande var felaktigt skulle detta leda till att beteende vid töjningar större än 50 % potentiellt missats. Detta kan i så fall ha medfört att parametrarna till materialmodellen inte längre skulle ge det lägre felet över hela det nya töjningsintervallet. Detta problem skulle kunna åtgärdas genom att på något sätt mäta spänningen över ett större töjningsintervall, till exempel med en annan modell av extensometer.

Antagandet att momentet som extensometerns tyngd utövar på provstavar-na är försumbart grundar sig på att momentets storlek beräkprovstavar-nas vara flera storleksordningar mindre än krafterna som verkar på provstaven från drag-provmaskinen, och borde därmed inte påverka spänningskoncentrationen i provstaven i någon större grad. Hur stort fel detta antagande medfört är oklart, och borde mätas i framtiden. För att minimera momentets inverkan skulle någon typ av anordning konstrueras för att hålla upp extensometerns tyngd.

Det antas i arbetet att fibrernas påverkan på materialets tvärkontraktion antas vara försumbar, så att tvärkontraktionen kan approximeras med det av ett isotropt material. Denna approximation är troligen inte så rimlig, då materialet verkar långt ifrån isotropt. Det är emellertid oklart hur stort fel detta antagandet medförde, för att undersöka detta och förbättra modellen bör tvärkontraktionens riktningsberoende för materialet uppmätas.

Ett annat antaganden som är gjort i detta arbete är att materialet inte utsätts för några tidsberoende effekter såsom krypning och relaxation. Dessutom an-togs det att materialet inte uppvisar någon töjningshastighetsberoende härd-ning. Utöver detta antogs det att materialet var helt inkompressibelt, men i verkligheten är gummi bara nästan helt inkompressibelt. Dessutom antogs det att fibrerna alltid bevarar sin ortogonala orientering i förhållande till varandra. Fibrernas motstånd till denna skjuvning är något som material-modellen inte tagit hänsyn till. Utöver det antogs det även att temperaturen för membranet under användning hålls konstant på 22 °C. Hur stora fel dessa antaganden medfört är oklart, men borde undersökas i framtiden.