Om man inte alls visste vad det g¨allde skulle man nog skr¨ammas n˚agot av denna rubrik, som tycks antyda att vi nu skall ¨agna oss ˚at riktigt obehagliga tal. Ar irrationella tal¨ of¨ornuftiga? ¨Ar imagin¨ara tal inbillade?
Ett rationellt tal kan skrivas som ett br˚ak, d.v.s. en kvot av tv˚a heltal som t.ex. 35. Vi kan ocks˚a, likt de gamla grekerna, t¨anka p˚a detta som f¨orh˚allandet mellan heltalen 3 och 5, ofta skrivet 3 : 5. Det l˚ater ju f¨ornuftigt men det visar sig att de rationella talen inte “r¨acker till”. Nya behov har i historien kr¨avt nya tal. S˚adana nya tal har till en b¨orjan m¨otts med skepsis ¨aven av matematiker (d¨arav ord som imagin¨ar och negativ) men s˚a sm˚aningom har de accepterats och man har ocks˚a, i relativ sen tid, lyckats ge formella beskrivningar som tillfredsst¨aller matematikernas behov av stringens.
Accepterandet av nya tal har g˚att hand i hand med en f¨or¨andrad uppfattning av vad tal ¨ar. Vi har nu en helt annan taluppfattning ¨an de f¨orsta m¨anniskor som ¨agnade sig ˚at r¨akning. Men l˚at oss ta det hela fr˚an b¨orjan.
F¨orh˚allanden mellan positiva heltal.
Vi har redan ¨agnat oss en hel del ˚at hela tal, i f¨orsta hand de positiva heltalen 1, 2, 3, . . . och konstaterat att det ¨ar dessa tal vi anv¨ander f¨or att utrycka antal. Det ¨ar s¨akert denna taluppfattning som ¨ar den ursprungliga. Men positiva heltal f¨orekom ocks˚a tidigt som m¨atetal. Vi anger kanske en str¨ackas l¨angd i meter och s¨ager att str¨ackan ¨ar 12 meter.
Naturligtvis kan vi tolka detta som antalet meterstavar som kr¨avs f¨or att m¨ata str¨ackan.
Det ¨ar som bekant inte alltid m¨ojligt att m¨ata en str¨acka med ett helt antal meterstavar.
Str¨ackans l¨angd ¨ar kanske mellan 12 och 13 meter. Ett elegant s¨att att l¨osa detta problem, utan att anv¨anda br˚aktal, ¨ar ofta – men inte alltid, som vi snart skall se – att v¨alja en mindre l¨angdenhet som t.ex. centimeter, tum eller elektronens diameter.
Det brukar s¨agas att den gamle grekiske matematikern Pythagoras (500-talet f.Kr.) och hans efterf¨oljare, pythagor´eerna, hade mottot “Allt ¨ar tal”. Det l˚ater ju tilltalande.
L¨agg m¨arke till att tal h¨ar skall tolkas som positivt heltal. Samtidigt ¨ar valspr˚aket kanske n˚agot f¨orv˚anande, eftersom man vet att pythagor´eerna ocks˚a var mycket intresserade av geometri.
F¨orklaringen kan ligga i att pythagor´eerna uppt¨ackt samband mellan hela tal och geometri. Betrakta t.ex. nedanst˚aende tv˚a trianglar d¨ar jag angivet sidornas l¨angder i n˚agon t¨ankt l¨angdenhet. Trianglarna ¨ar b˚ada r¨atvinkliga och dessutom likformiga, d.v.s.
av samma form. Att trianglarna ¨ar r¨atvinkliga svarar mot de aritmetiska sambanden
62 + 82 = 102 resp. 92 + 122 = 152 (detta ¨ar ju Pythagoras sats). Att trianglarna ¨ar likformiga svarar ocks˚a mot ett aritmetiskt samband, n¨amligen att tre heltalsf¨orh˚allanden
¨
ar lika: 8 : 12 = 10 : 15 = 6 : 9.
8
6 10
9 12 15
Man kan f¨orst˚a att pythagor´eerna imponerades av heltalens kraft. Vi kan uttrycka det s˚a, att sambandet 8 : 12 = 10 : 15 = 6 : 9 avsl¨ojar att trianglarna ¨ar likformiga och att sambanden 62 + 82 = 102 resp. 92 + 122 = 152 avsl¨ojar att den v¨anstra resp. den h¨ogra triangeln ¨ar r¨atvinklig. Ur enkla egenskaper hos hela tal kan vi allts˚a dra geometriska slutsatser. Allt ¨ar tal.
De tre lika f¨orh˚allandena av heltal utrycker vi numera oftast som en likhet av tre rationella tal: 128 = 1015 = 69, som alla kan f¨orkortas till 23. Men f¨or grekerna var det fr˚aga om tre lika f¨orh˚allanden mellan heltal. ¨Aven f¨or oss kan det ofta vara effektivt att t¨anka p˚a ett rationellt tal som ett f¨orh˚allande mellan tv˚a heltal. Som ett exempel l˚ater vi likheteten
6
9 = 23 illustreras med f¨oljande figur:
3 2
9 6
d¨ar topptriangeln ¨ar likformig med den stora triangeln. I detta sammanhang kan du g¨arna
˚aterg˚a till br˚ak¨ovningarna i Kapitel 2, t.ex. ¨Ovning 21.
I exemplet ovan med de tv˚a r¨atvinkliga trianglarna antog vi en l¨angdenhet given, som ryms ett helt antal g˚anger i var och en av de sex sidorna. Man skulle kunna kalla denna l¨angdenhet f¨or en gemensam m˚attstock med vilken vi kan m¨ata de sex sidorna. Grekerna hade en geometrisk metod f¨or att finna en gemensam m˚atstock till tv˚a eller flera str¨ackor.
Desto st¨orre blev chocken n¨ar man, f¨ormodligen n˚agon g˚ang p˚a 400-talet f.Kr., upp-t¨ackte att tv˚a givna str¨ackor inte alltid s¨akert har en gemensam m˚attstock!
Vi skall ge ett exempel p˚a detta fenomen. Betrakta nedanst˚aende likbenta, r¨atvinkliga triangel:
a b a
Antag att det finns en gemensam m˚attstock f¨or triangelns sidor och att de tv˚a lika sidorna, kateterna, med denna m˚attstock har l¨angden a medan hypotenusan har l¨angden b. Talen a och b ¨ar allts˚a positiva heltal och enligt Pythagoras sats r˚ader det aritmetiska sambandet: b2 = 2a2. Vi t¨anker oss h¨ar att den gemensamma m˚attstocken ¨ar vald s˚a stor
som m¨ojligt. Det inneb¨ar t.ex. att a och b inte b˚ada kan vara j¨amna tal, ty om a och b vore j¨amna, s˚a skulle vi kunna anv¨anda en dubbelt s˚a stor m˚attstock.
Emellertid f¨oljer av sambandet b2 = 2a2 att b2 ¨ar ett j¨amnt tal. D¨armed m˚aste ocks˚a b vara j¨amnt, ty kvadraten av ett udda tal ¨ar ju alltid udda. S˚aledes ¨ar b j¨amnt och a udda. Eftersom b ¨ar j¨amnt ¨ar i sj¨alva verket b2 delbart med 4. S˚aledes ¨ar ocks˚a 2a2 delbart med fyra och detta ¨ar endast m¨ojligt om a2 ¨ar j¨amnt. Men om a2 ¨ar j¨amnt m˚aste ocks˚a a vara j¨amnt! Vi har nu hamnat i den n˚agot absurda situationen att a b˚ade ¨ar ett udda och ett j¨amnt tal. Detta ¨ar vad man brukar kalla en mots¨agelse. Antagandet att triangelns sidor skulle kunna m¨atas med samma m˚attstock leder allts˚a till en situation som inte kan f¨orekomma. Slutsatsen m˚aste bli att triangelns sidor inte kan m¨atas med samma m˚attstock!
Tv˚a str¨ackor som inte kan m¨atas med samma m˚attstock s¨ags vara inkommensu-rabla. Kateterna och hypotenusan i v˚ar triangel ¨ar exempel p˚a inkommensurabla str¨ackor.
Bokst¨averna a och b i figuren kan inte beteckna m¨atetal, men vi kan l˚ata dem beteckna sidorna som geometriska objekt.
Vi har redan sagt att detta var en chock f¨or grekerna. I sj¨alva verket ¨ar det en av de mest omtumlande uppt¨ackterna n˚agonsin i vetenskapens historia. Det kan vara sv˚art f¨or oss att f¨orst˚a, men betrakta ett ¨ogonblick nedanst˚aende figur med en stor triangel och en topptriangel.
c d
a b
Topptriangeln, har vi ju l¨art oss, ¨ar likformig med den stora triangeln och det betyder att a : b = c : d. Vi t¨anker h¨ar p˚a a, b, c och d som m¨atetal och p˚a a : b = c : d som ett aritmetiskt f¨orh˚allande som avsl¨ojar likformighet. Ofta slarvar vi numera och skiljer inte mellan ˚a ena sidan str¨ackan som geometriskt objekt och ˚a andra sidan m¨atetalet f¨or str¨ackan. Men t¨ank om de markerade str¨ackorna ¨ar inkommensurabla och allts˚a inte kan m¨atas med samma m˚attstock! D˚a finns inte heltal vi kan s¨atta in i st¨allet f¨or a, b, c och d. Vi kan endast t¨anka p˚a a, b, c och d som rent geometriska objekt. Men vad skall d˚a likheten a : b = c : d betyda? Och hur skall sambandet kunna bevisas?
Uppt¨ackten av inkommensurabilitet verkar ganska oskyldig f¨orst, men grubblar man
¨
over konsekvenserna s˚a inser man n˚agot av vidden av denna h¨andelse. De hela talen r¨acker inte till, n˚agot som b¨or ha varit sv˚arsm¨alt f¨or en skola med mottot att allt ¨ar tal.
F¨or grekernas del medf¨orde detta ett annat s¨att att t¨anka p˚a geometri – fritt fr˚an aritmetik. Man arbetade med storheter som str¨ackor och ytor i st¨allet f¨or med m¨atetal.
Det ¨ar s˚a vi m¨oter geometrin i Euklides stora verk Elementa fr˚an 300-talet f. Kr. En annan av antikens st¨orsta matematiker, Eudoxus (300-talet f.Kr.), lyckades p˚a ett briljant s¨att ge en inneb¨ord ˚at att tv˚a f¨orh˚allanden mellan storheter ¨ar lika, a : b = c : d, utan att ge f¨orh˚allandena, a : b resp. c : d, en mening var f¨or sig!
Nu f¨or tiden t¨anker vi p˚a ett annat s¨att. Vi har ett talbegrepp som inte blott omfattar heltal och br˚aktal utan ¨aven de irrationella talen, d.v.s. tal som inte ¨ar rationella och allts˚a inte kan skrivas som kvot av heltal. Vi inf¨or en l¨angdenhet lite godtyckligt och uppfattar tal som storleken av str¨ackor i relation till denna givna l¨angdenhet. F¨or oss ¨ar d˚a a och b i triangeln ovan tv˚a tal och sambandet b2 = 2a2 kan vi ocks˚a skriva som b = √
2 a eller
√2 = ab. Grekernas uppt¨ackt inneb¨ar att a och b inte b˚ada kan vara heltal d.v.s., i v˚art spr˚ak, att √
2 ¨ar ett irrationellt tal.
Man kan tycka att grekerna borde ha inf¨ort och l¨art sig r¨akna med irrationella tal, men det ¨ar inte s˚a l¨att som man kan tro. I sj¨alva verket var det f¨orst p˚a 1800-talet som matematikerna lyckades prestera en stringent och logisk behandling av de irrationella talen. Och man skall komma ih˚ag, att grekerna hade stora krav just p˚a stringens och logik.
Dessutom hade man, till en b¨orjan, inte ens rationella tal i v˚ar mening, endast f¨orh˚allanden mellan heltal.
Ist¨allet f¨or att utveckla talbegreppet utvecklade grekerna allts˚a geometrin och det kan vara intressant att veta att de id´eer 1800-talets matematiker hade vid sin stringenta behandling av irrationella tal mycket p˚aminner om de id´eer Eudoxus hade f¨or mer ¨an tv˚atusen ˚ar sedan n¨ar han definierade vad som menas med likhet mellan f¨orh˚allanden av storheter (¨aven kallad proportionalitet).
Irrationella tal kr¨aver nya symboler.
Nu, i detta avsnitt, t¨anker vi p˚a tal som resultatet av en m¨atning, t.ex. l¨angden av en str¨acka, arean av en yta eller massan av en kropp. Med hj¨alp av hela tal (egentligen siffror och minustecken) och br˚akstreck kan vi teckna alla rationella tal, men f¨or att teckna irrationella tal kr¨avs nya symboler.
En symbol som ofta ¨ar g˚angbar, och som vi m¨otte redan i f¨oreg˚aende avsnitt, ¨ar kvadratrotsymbolen. Det ¨ar viktigt att du har klart f¨or dig vad √
2, √ 3,
q3
4 etc. betyder.
R¨akning med r¨otter ¨ar n¨amligen ytterligare ett av de omr˚aden d¨ar vi som l¨arare ofta m¨ott ett slentrianm¨assigt och ok¨ansligt manipulerande, som st¨andigt leder till de mest orimliga resultat.
Kvadratroten ur 2 ¨ar det positiva tal vars kvadrat ¨ar lika med 2 (d.v.s. som upph¨ojt till 2 ¨ar lika med 2). Om x = √
2 ¨ar allts˚a x2 = 2 och x > 0. Det ¨ar detta som ¨ar definitionen av √
2. Det kan naturligtvis ocks˚a uttryckas s˚a att 2x = x eller √2
2 =√ 2 eller varf¨or inte x2 = x1 eller
√2 2 = √1
2. Alla dessa omskrivningar ¨ar omedelbara konsekvenser av rotbegreppets inneb¨ord och ingenting man s˚a att s¨aga “r¨aknar ut”. De tv˚a likheterna, f¨or att ta ett annat exempel, 13 = (√
13)2 och √13
13 =√
13 ¨ar allts˚a lika naturliga som 25 = 52 och 255 = 5.
Nedanst˚aende geometriska illustration av √
2 kan ocks˚a vara bra att t¨anka p˚a.
1
√
2 1Med hj¨alp av Pythagoras sats kan ocks˚a andra kvadratr¨otter illustreras:
√2
Ovning 1. Rita fler r¨¨ atvinkliga trianglar som visar samband mellan olika kvadratr¨otter.
Av figurerna f¨oljer exempelvis att √ 2 +√
3 (det f˚ar man helt enkelt heller inte g¨ora!). Eftersom √ 2 + √
3 > √ 5 s˚a ¨ar f¨orst˚as (√
2 + √
3)2 > 5. Detta kan vi ocks˚a se genom att utveckla v¨ansterledet (√
Ovning 2. G¨¨ or motsvarande j¨amf¨orelse mellan√ 8 −√
6? Hur skall vi kunna ta reda p˚a det? T¨ank efter en stund hur du skulle b¨ara dig ˚at f¨or att unders¨oka t.ex. om √
256 = 16, innan du l¨aser vidare.
Vi skall ta reda p˚a om √ 6 = √
2√
3. G˚a tillbaka till definitionen! S¨atter vi √ 6 = x
L˚angt ifr˚an alla irrationella tal g˚ar att beteckna med rotsymboler. Vi ˚aterkommer n˚agot till denna fr˚aga i slutet av n¨asta avsnitt.
L¨astips: Om irrationella tal som o¨andliga decimalbr˚ak kan du l¨asa i Nystedt, P˚a tal om tal, kap. 19.
Br˚ak i exponenten.
Nu g˚ar vi tillbaka till v˚ar tabell fr˚an f¨orra kapitlet ¨over potenser av 2, men vi glesar ut
¨
ovre raden f¨or att f˚a plats ¨aven med halvtalsv¨arden p˚a n.
n −1 −12 0 12 1 112 2 212 3 312 4
2n 12 x2 1 x 2 2x 4 4x 8 8x 16
Fr˚agan ¨ar om det finns n˚agot rimligt s¨att att definiera 2n n¨ar n inte ¨ar ett heltal. P˚a prov har jag satt 212 = x i tabellen. Som vi minns s˚a f¨ordubblas 2n varje g˚ang n ¨okar med 1, t.ex. ¨ar ju 23 = 2·2·2 = 2·(2·2) = 2·22 och s˚a vidare. S˚a det ¨ar rimligt att l˚ata 2112 = 2x och 2212 = 2·2x = 4x. Dessutom b¨or 2−12 = x2 s˚a att 212 ¨ar dubbelt s˚a stort som 2−12.
Observera att vi ¨ar i f¨ard med att utstr¨acka inneb¨orden av 2n till icke heltalsv¨arden p˚a n. Vi har naturligtvis stor frihet n¨ar vi g¨or s˚a. Det ¨ar en av tjusningarna med att vara matematiker, att vi fritt skapar v˚ara egna begrepp. Men vi vill ocks˚a att definitionen skall vara anv¨andbar och l¨att att arbeta med. Samma princip v¨agledde oss n¨ar vi inf¨orde negativa heltalsexponenter.
2. Tabellen f˚ar nu f¨oljande utseende:
n −1 −12 0 12 1 112 2 212 3 312 4
Ovning 6.¨ Kontrollera i fler exempel att 2−a = 1
2a, d¨ar a ¨ar ett hel- eller halvtal.
St¨ammer detta om a ¨ar negativt?
Ovning 7. Verifiera i n˚¨ agra exempel att 2a/2 = (√
2 )a d¨ar a ¨ar ett heltal.
Observera att de exempel du studerat i ¨Ovning 6–7 inte bevisar att 2−a = 21a resp. 2a/2 = (√
2 )a. Exemplen skulle ju kunna vara undantag. F¨orhoppningsvis ¨okar ¨and˚a exemplen din k¨ansla f¨or r¨akning med potenser. Det ¨ar vackert s˚a och steget till ett mer formellt bevis ¨ar inte s˚a l˚angt.
Utvidgningen av potensbegreppet till att omfatta ¨aven halvtal kan vi naturligtvis g¨ora med vilken positiv bas som helst.
uppfyller x2 = 25. Kan detta x vara 252? Vi pr¨ovar: (252)2 = (4√
Sedan vi inf¨ort kvadratrotsymbolen kan vi teckna m˚anga irrationella tal. Bland annat kan vi teckna r¨otterna till varje andragradsekvation med rationella koefficienter. Exempelvis har ekvationen x2− 83x + 119 = 0 r¨otterna x1 = 4+ kvadratrot-symbolen r¨acker inte till att teckna alla irrationella tal. Exempelvis inte l¨osningen till ekvationen x3 = 11. Detta tal kallas kubikroten ur 11 och tecknas √3
11. Vi har allts˚a
Ovning 11. Vi har egentligen inte bevisat att inte¨ √3
11 g˚ar att uttrycka med kvadrat-rotssymboler. F¨ors¨ok (utan att anv¨anda minir¨aknaren) att finna n˚agon rimlig anledning till att inte t.ex. √3
11 och√
5 skulle kunna vara samma tal. Vilket av talen ¨ar st¨orst?
P˚a motsvarande s¨att betecknas f¨orst˚as l¨osningen till x3 = a med √3
Man kan forts¨atta p˚a den inslagna v¨agen och inf¨ora 4:e r¨otter, 5:e r¨otter o.s.v. Exempelvis
¨ ar √4
17 den positiva l¨osningen till ekvationen x4 = 17 och 5 q2
Man kan utvidga inneb¨orden av potensbegreppet ¨annu l¨angre ¨an vi gjort; i f¨orsta hand till att omfatta alla rationella exponenter:
Ovning 18. Unders¨¨ ok om c12·c13 = c12+13.
Det ¨ar egentligen i till¨ampningar som ¨ar n˚agot mer avancerade ¨an dem, som intresserar oss just nu, som man har nytta av exponenter som inte ¨ar heltal. Nyb¨orjare skulle jag tv¨artom vilja ge r˚adet att anv¨anda rotsymboler och att st¨andigt repetera vad uttrycken betyder. Risken finns att man h¨anger sig ˚at n˚agot slags exponentdrill innan man ¨ar mogen f¨or det.
Rotsymbolen beh¨ovs vid ekvationsl¨osning som vi sett. Vi har ju till exempel inf¨ort√ 7,
√3
11 o.s.v. f¨or att kunna teckna l¨osningarna till x2 = 7, x3 = 11 o.s.v. Som vi redan kons-taterat kan alla r¨otter till andragradsekvationer med rationella koefficienter uttryckas med kvadratr¨otter. Det g˚ar ocks˚a att bevisa att l¨osningar till tredjegradsekvationer med ra-tionella koefficienter alltid kan uttryckas med en kombination av kvadrat- och kubikr¨otter.
Detta i och f¨or sig vackra m¨onster bryts dock n¨ar man ger sig upp˚at i graderna. Det finns ekvationer av femte graden med rationella koefficienter, vars l¨osningar inte g˚ar att uttrycka med aldrig s˚a m˚anga rotsymboler. Ett enkel exempel ¨ar x5+ 3 = 6x. Ekvationen har en positiv l¨osning som ¨ar ett irrationellt tal mellan 1 och 2, men vi kan inte teckna denna l¨osning utan att ut¨oka repertoaren av beteckningar. Detta ¨ar ett avancerat resultat och visades f¨orst p˚a 1800-talet, men det kan vara allm¨anbildande att ha h¨ort talas om det.
V¨ander man p˚a steken och utg˚ar fr˚an ett tal uttryckt med heltal, br˚akstreck och rotsymboler, som exempelvis
3
q5 2 +√
8
√5
7 s˚a g˚ar det att visa med ett teoretiskt resonemang att talet ¨ar l¨osningen till n˚agon ekvation till och med med heltalskoefficienter. Det kan ibland vara en trevlig ¨ovning att f¨ors¨oka best¨amma en s˚adan ekvation.
Ovning 19. Finn en ekvation med heltalskoefficienter som har l¨¨ osningen √ 5 +√
2.
Man skulle kunna “gradera” de irrationella talen efter vilka beteckningar som kr¨avs f¨or att teckna dem: kvadratr¨otter, kubikr¨otter, fj¨arde r¨otter. I en klass f¨or sig kommer d˚a den positiva l¨osningen till ekvationen x5+ 3 = 6x. Som vi n¨amnde ovan l˚ater sig detta tal
¨
over huvud taget inte beteckna med rotsymboler. Men att ange en ekvation som talet ¨ar l¨osning till ¨ar ju ett indirekt (implicit) s¨att att uttrycka talet.
Det finns dock irrationella tal som ¨ar ¨annu “v¨arre” ¨an s˚a. Det ¨ar tal som inte ens ¨ar l¨osning till n˚agon ekvation med rationella koefficienter hur h¨og grad vi ¨an v¨aljer. S˚adana tal kallas transcendenta i motsats till de algebraiska talen som ¨ar l¨osningar till ekvationer med rationella koefficienter. Det ¨ar inte s˚a sj¨alvklart att det finns transcendenta tal, men man kan bevisa (och det gjordes i slutet av 1800-talet) att det v¨alk¨anda talet π ¨ar transcendent.
L¨astips: Nystedt, P˚a tal om tal, kap. 27, Om transcendenta tal.
Negativa tal.
Vi har g˚att fr˚an positiva heltal till positiva rationella tal och vidare till de positiva irra-tionella talen. Den ursprungliga taluppfattningen att tal = antal har samtidigt successivt
reviderats. Ett br˚aktal ¨ar ett f¨orh˚allande mellan heltal. Men f¨or att f¨orst˚a de irrationella talen f˚ar vi sl¨appa kopplingen till antal fullst¨andigt och v˚ar utg˚angspunkt i detta avsnitt
¨
ar att tal m¨ater storleken av n˚agot, i f¨orsta hand en str¨acka. Denna taluppfattning har l¨ange varit r˚adande och ¨ar m˚anga g˚anger mycket effektiv.
Men de negativa talen blir med denna tolkning orimliga, absurda eller vad vi skall kalla dem (varf¨or inte negativa?). ¨And˚a gjorde de negativa talen ganska tidigt i historien f¨ors¨ok att g¨ora sig g¨allande. I Indien f¨orekom de s˚aledes tidigt, liksom ¨aven irrationella tal som kvadratr¨otter. Det kan h¨anga samman med att hinduerna hade en mer praktisk inst¨allning till matematik ¨an grekerna. Den teroretiska matematiken som vi beundrar grekerna f¨or kanske i detta fall h¨ammade dem!
Araberna ¨overtog de negativa talen fr˚an hinduerna, men araberna som desssutom f¨orvaltade det grekiska kulturarvet, behandlade negativa tal med st¨orre skepsis ¨an hin-duerna. Negativa tal var nog bra som hj¨alpmedel, men de finns ju egentligen inte.
Varf¨or blev de negativa talen s˚a sm˚aningom accepterade hos oss i Europa, kan man fr˚aga sig. Vad har vi f¨or nytta av dem egentligen? Man kan n¨astan bli lite st¨alld f¨orst om man ombeds svara spontant p˚a en s˚adan fr˚aga. Faktum ¨ar att vi ¨ar omgivna av negativa tal s˚a mycket i v˚ar vardag att vi inte ens t¨anker p˚a det. Att negativa tal ¨ar oumb¨arliga i till¨ampningar har gjort att de inf¨ors v¨aldigt tidigt i skolundervisningen; kanske mycket tidigare ¨an vad som egentligen ¨ar begreppsm¨assigt motiverat.
Men hur skall vi nu motivera de negativa talen? Ofta ser man i litteraturen motiverin-gen att negativa tal beh¨ovs f¨or att vi skall kunna l¨osa ekvationer av typen: x + 5 = 3.
Men denna f¨orklaring ¨ar inte s¨arskilt sl˚aende, snarare n˚agot l˚angs¨okt. Om vi inte redan k¨ande till de negativa talen skulle vi inte st¨alla upp denna ekvation. Den ¨ar lika absurd som nedanst˚aende figur:
3
5 x
Det s¨ags ocks˚a ibland att negativa tal ¨ar bra att ha, ty med tillg˚ang till negativa tal kan man utf¨ora subtraktionen 5 − 8. Det kunde man inte f¨orut. Denna f¨orklaring ¨ar lika l˚angs¨okt. Med den taluppfattning man hade utan negativa tal ¨ar denna uppgift absurd.
Pelle har fem kolor och ¨ater upp ˚atta. Hur m˚anga har han kvar?
En till¨ampning av negativa tal som ¨ar betydligt intressantare, har vi m¨ott i Kapitel 2, n¨amligen anv¨andningen av negativa exponenter. Vi skriver t.ex. 1
37 som 3−7 och vi har sett hur man kan r¨akna med negativa exponenter och ha nytta av det.
37 som 3−7 och vi har sett hur man kan r¨akna med negativa exponenter och ha nytta av det.