1. MYSTERIER BLAND HELTALEN.

(1)

Inledning. Om j¨amna tal och udda tal, delare, kvot och rest.

Ett av kursens viktigaste syften är att ge träning i konsten att läsa matematik. Det är nödvändigt att lära sig den konsten ty du kommer snart att märka att det inte räcker att lyssna till vad föreläsaren säger. Du m˚aste ocks˚a p˚a egen hand kunna läsa och repetera i en matematisk text. Det är egentligen inte särskilt sv˚art att läsa matematik, men det kan kännas ovant i början och skiljer sig en del fr˚an att läsa andra texter. Det fordras att man hela tiden läser l˚angsamt och med största eftertanke. Du m˚aste ofta lyfta blicken fr˚an pappret och med egna ord uttrycka vad som st˚ar där och kanske komplettera texten med n˚agon anteckning eller figur. Ofta införs nya termer och nya begrepp. Det tvingar dig att g˚ang p˚a g˚ang g˚a n˚agra rader bak˚at i texten och repetera innebörden av dessa termer och begrepp. En föreläsare gör allt detta ˚at dig; d.v.s. tar n˚agra steg tillbaka, säger varje sak flera g˚anger och s˚a vidare. Som läsare m˚aste du göra allt det själv.

I gengäld är matematiska texter ofta korta. Du har tid att ägna omsorg ˚at varje rad.

När du väl lärt dig konsten att läsa matematik kommer de matematiska studierna att löpa mycket lättare.

Det här är den första i den serie av läsövningar i matematik, som du kommer att erbjudas i din utbildning. Meningen är att du skall arbeta aktivt med dem och ocks˚a arbeta med de upgifter - först˚andsfr˚agor - som finns i texten. Lika viktigt som att lära sig läsa är att öva sig att formulera matematiska tankar och diskutera matematik. En kamrat att diskutera med kan vara till god hjälp.

Utg˚angspunkten i denna första läsövning - och i hela kursen - är de positiva heltalen:

1, 2, 3, 4, . . .

Dessa är naturligtvis välbekanta sedan tidigare och ocks˚a urgamla i mänsklighetens historia. De positiva heltalen har en “naturlig tolkning”. Vi behöver dem för att ange antal (t.ex. antalet dagar i veckan eller antalet inv˚anare i Stockholm).

Ovning 1. Det sista p˚¨ ast˚aendet g˚ar naturligtvis att “problematisera”. Behöver vi verkligen alla positiva heltal till att ange antal? Eller finns det en gräns för hur stora tal vi behöver? Jag har skrivit 1, 2, 3, 4, . . . där prickarna anger att följden tänks fortsätta i “oändlighet”. Vad menas egentligen med det? Du kan ocks˚a försöka frigöra dig ett tag fr˚an dina erfarenheter och tänka dig att du är ett litet barn eller tillhör en primitiv sten˚alderskultur. Hur skulle du d˚a uppfatta de positiva heltalen? Finns det hur stora som helst?

(2)

N˚aväl, vi skall inte fastna i filosofiska funderingar just nu. Talbegreppets utveckling skall vi ˚aterkomma till i kursen i matematikens utveckling. Ibland kommer vi att tala om de positiva heltalen inte bara vart och ett för sig utan om mängden av positiva heltal. Vi betecknar den med “mängdklammer”: {1, 2, 3, . . .}. Varje positivt heltal är ett element i denna mängd.

Välbekant sedan gammalt är ocks˚a talet 0. Tillsammans med de positiva heltalen bildar 0 den större mängden av naturliga tal:

{0, 1, 2, 3, . . .}

Denna m¨angd brukar kortfattat betecknas N . Talet 0 ¨ar allts˚a ett naturligt tal, ett element i N , men inte ett positivt heltal.

Ovning 2. St¨¨ orre? I vilket avseende är mängden N större än mängden av positiva heltal?

Ar de inte o¨¨ andligt stora b˚ada tv˚a?

Du kommer snart att märka att det är noga med begreppen i matematik. Begreppen kräver en grad av precisering som du kanske inte är van vid. I början kommer vi delvis att vara lite informella. Uppgiften ovan vill träna dig att ifr˚agasätta och att lägga märke till eventuella oklarheter i begreppsbildningen.

Längre fram i kursen kommer du m˚anga g˚anger att märka att det lönar sig att ägna tid ˚at att smälta varje nytt begrepp och att ägna omsorg ˚at att i precisa ordalag formulera begreppets innebörd. Det är det som kallas att definiera begreppet. Ganska snart skall vi ge ett exempel p˚a en formell definition.

En ännu “större” mängd än N är mängden av alla heltal (positiva, 0 eller negativa).

Den betecknas med Z. Allts˚a:

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

M¨angden av de positiva heltalen betecknas ibland Z₊ = {1, 2, 3, . . .}

Ovning 3. De positiva heltalen har en naturlig tolkning, sade vi. Ange ett s¨¨ att att tolka eller till¨ampa talet 0 och de negativa talen. Har vi n˚agon nytta av dem?

Beteckningarna N och Z (och möjligen Z₊) är standard i svensk litteratur. Det är däremot inte beteckningen J för de jämna positiva heltalen. Den beteckningen är mer tillfällig, men i denna läsövning är allts˚a J = {2, 4, 6, . . .}. Vi l˚ater ocks˚a U beteckna de udda positiva heltalen: U = {1, 3, 5, . . .}.

Ovning 4. Eftersom Z¨ ₊ utg¨ors av J och U tillsammans skulle man kunna s¨aga att Z₊

¨

ar större än J . Fundera dock en stund p˚a följande uppställning:

1 2 3 4 . . . 2 4 6 8 . . .

där alla positiva heltal finns med i övre raden men bara jämna positiva heltal i den undre raden.

(3)

Ovning 5. ¨¨ Ar J och U lika stora? Vad menar du i s˚a fall med det? Fundera ocks˚a över följande uppställning:

1 3 5 7 . . . 2 6 10 14 . . .

där alla udda tal finns med i den övre raden men vart annat jämnt tal saknas i den undre raden (och raderna änd˚a är lika l˚anga, eller?).

Avsikten med dessa övningar är att visa p˚a en del mysterier, att locka din nyfikenhet och framför allt att f˚a dig att läsa kritiskt. Vi skall inte g˚a in p˚a djupet med dessa fr˚agor.

Ovning 6. Vad menas med ett j¨¨ amnt tal? Vad menas med ett udda tal? Kan skillnaden illustreras i en figur?

Lägg märke till att summan och produkten av tv˚a naturliga tal alltid är ett naturligt tal. I mängden N kan vi allts˚a b˚ade addera och multiplicera utan att lämna mängden. Vi säger att N är sluten under addition och multiplikation. Det samma gäller mängderna Z₊ och Z. I mängden Z kan vi dessutom alltid subtrahera.

Ovning 7. Kan man inte alltid subtrahera i N ?¨

Betrakta nu mängderna J och U . Experimenterar du lite s˚a ser du att J är sluten under addition och multiplikation, men att U bara är sluten under multiplikation. Summan av tv˚a udda tal är jämn. Har du tänkt p˚a detta förut?

Ovning 8. F¨¨ orsök bevisa att summan av tv˚a jämna tal alltid är jämn och att summan av tv˚a udda tal (även mycket stora) alltid är jämn. Du kan t.ex. göra detta med en figur.

Med bevisa menar vi här att du skall ge en fullständigt övertygande motivering. I takt med att du lär dig att läsa mer kritiskt och börjar mer kritiskt fundera över innebörden av begrepp kommer du säkert ocks˚a bli sv˚arare att “övertyga”. Ofta finner man sm˚a kryph˚al eller ofullständigheter i de argument som anförs för det ena eller andra. Men dessa kryph˚al kan vara nog s˚a lärorika och hjälper oss att klargöra begreppen.

Division av tv˚a heltal g˚ar inte alltid “jämnt ut”. Kvoten av tv˚a heltal är inte alltid ett heltal. Exempelvis är ju kvoten av 3 och 4 lika med ³₄; ett br˚ak mellan 0 och 1.

Ovning 9. Rita en figur som visar detta: att 3 delat med 4 ¨¨ ar ³₄.

Denna första läsövning handlar mest om heltal. Br˚aktalen skall vi behandla mer utförligt längre fram, men de är bra att ha till hands även vid rena heltalsstudier. Ett annat namn p˚a br˚aktal är rationellt tal. Ett rationellt tal är allts˚a en kvot av tv˚a heltal. Matematiker uttrycker detta ofta s˚a: ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas p˚a formen â_b där a och b är heltal och b 6= 0. Observera att b 6= 0. Observera ocks˚a att vi till˚ater b = 1. D˚a är â_b ett heltal. De hela talen räknar vi allts˚a ocks˚a som rationella. Mängden av rationella tal betecknas Q.

(4)

Ovning 10. Under vilka r¨¨ aknesätt är mängden Q sluten?

L˚at oss ˚aterg˚a till de jämna positiva heltalen, mängden J . För att precisera begreppet kan vi v˚aga oss p˚a en definition:

Definition. Ett positivt heltal a kallas jämnt om talet â₂ ocks˚a är ett heltal. Annars kallas a udda.

Ovning 11.¨ Vad är det för vits med bokstaven (symbolen) a i definitionen? Försök formulera definitionen helt i ord – utan symboler.

Ett exempel p˚a ett jämnt tal är 716294. Vi har nämligen ⁷¹⁶²⁹⁴₂ = 358147, vilket är ett heltal precis som det skulle vara.

Ovning 12. Visa att 716294 ¨¨ ar jämnt utan att utföra divisionen. Försök allts˚a övertyga dig själv om att ⁷¹⁶²⁹⁴₂ är ett heltal.

Ovning 13. ¨¨ Ar alla positiva heltal som slutar p˚a 4 jämna tal? Försök hitta en övertygande motivering som ocks˚a ansluter till definitionen.

Ovning 14. L˚¨ at a och b vara jämna tal. Visa att a+b ocks˚a är ett jämnt tal. Du har visat detta tidigare (kanske med en figur), men kan nu göra det med hänvisning till definitionen.

G˚a tillbaka till definitionen! Vi har allts˚a förutsatt att â₂ och ^b₂ är heltal och skall visa att

a+b

2 ¨ar ett heltal.

Vi resonerar hela tiden i matematiken. Ofta är resonemangen mycket fria och informella, närmast känslomässiga. Men ibland är resonemangen noggranna och logiskt stringenta.

B˚ada typerna av resonemang är karakteristiska för matematik. Logiska resonemang behö- ver vi t.ex. för att övertyga oss om att n˚agot som vi upptäckt vid ett informellt resonemang verkligen är absolut säkert sant. Det logiska resonemanget brukar ocks˚a öka v˚ar först˚aelse av sammanhangen i matematiken.

Dessa resonemang börjar alltid med en eller flera förutsättningar om de objekt vi studerar och avslutas med en slutsats. P˚a vägen mellan förutsättningarna och slutsatsen utvidgas vetandet successivt. Gissningar överg˚ar i visshet. Ett resonemang inneh˚aller ofta en blandning av s˚adant vi vet och s˚adant vi ännu inte vet. Ett fundamentalt krav p˚a en matematisk text är att det alltid mycket klart framg˚ar om ett p˚ast˚aende uttalar n˚agot redan känt (kanske ett delresultat i resonemanget eller en förutsättning) eller uttalar ett m˚al för resonemanget, n˚agot vi ännu inte vet men strävar att visa.

Ovning 15. Du har f¨¨ ort ett resonemang i Övning 14. Vilka är förutsättningarna och vilken är slutsatsen?

Ovning 16. S˚¨ a här skulle en resonerande lösning till Övning 14 kunna se ut. Ange för varje mening om den uttalar n˚agot vi vet eller n˚agot vi ännu inte vet: Vi antar att a och b är jämna tal. Vi skall visa att a + b ocks˚a är jämnt. Eftersom a och b är jämna s˚a är â₂ och ₂^b heltal. Vi vill visa att â+b₂ ocks˚a är ett heltal. Men summan av tv˚a heltal är ju ett

(5)

heltal och summan av â₂ och ₂^b är just â+b₂ . Allts˚a är â+b₂ ett heltal. Enligt definitionen betyder det att a + b är jämnt.

Det finns en del egenheter i det matematiska spr˚aket. Betrakta t.ex. resonemanget i Ovning 16. N¨¨ ar jag skriver “Vi antar att a och b är jämna tal” s˚a betyder det inte att “vi tror”. Tvärtom det betyder att vi vet att a och b är jämna tal. Vi antar (anammar) som utg˚angspunkt (förutsättning) för hela resonemanget att a och b är jämna tal. Lägg ocks˚a märke till användningen av ordet “men” i “Men summan av ...”. Ofta anger ju ordet n˚agot slags invändning. S˚a är inte fallet här.

Det är viktigt att kunna variera sina formuleringar i matematiken. Vi vet nu att summan av tv˚a jämna tal alltid är jämn, d.v.s. att om a och b är jämna s˚a är a + b jämnt.

Samma sak kan vi uttrycka p˚a flera alternativa s¨att i ord eller symboler, t.ex.:

(i) a + b är jämnt om a och b är jämna (ii) a och b är jämna ⇒ a + b är jämnt

(iii) Att a och b är jämna medför att a + b är jämnt (iv) a och b är jämna endast om a + b är jämnt

(v) Om a + b inte är jämnt s˚a kan inte a och b b˚ada vara jämna (vi) a + b är jämnt ⇐ a och b är jämna

Symbolen ⇒ (liksom ⇐) kallas implikationspil. Lägg märke till användningen av ⇐ i (vi).

L¨agg ocks˚a m¨arke till uttrycket “endast om” i (iv).

Ovning 17. F¨¨ oljande är felaktigt: a + b är jämnt ⇒ a och b är jämna. Förklara varför.

Det finns ett annat sätt ocks˚a att definiera jämna och udda tal, som ofta används och har vissa fördelar. Det undviker begreppet division men använder en symbol till:

Definition. Ett positivt heltal a kallas j¨amnt om det finns ett heltal k s˚a att a = 2k. Ett positivt heltal a kallas udda om det finns ett heltal k s˚a att a = 2k + 1.

Om vi jämför med den tidigare definitionen av jämnt tal ser vi att skillnaden är att vi givit ett namn (en beteckning), nämligen k, p˚a det där talet â₂, som ocks˚a skulle vara ett heltal.

Vi har allts˚a k = â₂. Om a är udda s˚a g˚ar divisionen med 2 inte jämnt ut. Vi f˚ar en kvot k och en rest 1. Vi har allts˚a â₂ = k + ¹₂ (k hela och en halv). Eller a = 2k + 1. Detta kan tyckas vara ett tungt sätt att tänka p˚a udda tal, men kan vara klargörande i resonemang där vi verkligen försöker övertyga om n˚agonting, m.a.o. när vi försöker bevisa n˚agonting t.ex. att produkten av tv˚a udda tal är udda.

Det är inte s˚a självklart att produkten av tv˚a udda tal alltid är udda. Föreställ dig tv˚a mycket stora udda tal. Varför är produkten udda? Du kanske kan rita en figur som illustrerar det eller finna ett övertygande resonemang i ord. B˚ada delarna är lika värdefulla.

Som ett alternativ hjälper jag dig nedan med ett bevis som är mer symboliskt. L˚at oss först en g˚ang till formulera det som skall bevisas. Det gör vi som brukligt är i en sats:

(6)

Sats 1. Produkten av tv˚a udda tal ¨ar alltid udda.

Observera skillnaden mellan sats och definition. G˚a tillbaka till definitionen! I definitionen införs begreppet udda tal. I satsen ger vi ytterligare en egenskap som mängden av udda tal har. Förutsättningen i satsen är att tv˚a tal är udda. Slutsatsen är att talens produkt

¨

ar udda. För att inse detta krävs ett resonemang som leder fr˚an förutsättning till slutsats, med andra ord ett bevis.

Bevis. (med kommentarer) L˚at oss kalla de tv˚a udda talen f¨or a och b. Enligt definitionen finns d˚a ett heltal k s˚a att a = 2k + 1, men det finns ocks˚a ett heltal k s˚a att b = 2k + 1.

Om inte a och b är lika s˚a kan det naturligtvis inte vara fr˚aga om samma tal k. Vi m˚aste skilja dem ˚at. L˚at oss kalla dem k1 och k2 (vi skulle ocks˚a kunna kalla dem till exempel k och l). Vi har nu a = 2k₁+ 1 och b = 2k₂+ 1. Vi har använt definitionen till att symboliskt uttrycka, i ekvationer, att a och b är udda. Det är fr˚aga om ett algebraiskt symbolspr˚ak.

Fördelen är att vi kan “räkna med” symbolerna. Vi skulle multiplicera a och b. L˚at oss göra det och utnyttja de givna ekvationerna: ab = (2k1+1)(2k2+1) = 4k1k2+2k1+2k2+1.

Varför multiplicerade vi egentligen ihop parenteserna? Det är inte självklart att vi skall göra s˚a. Men ofta skadar det inte att experimentera lite. I alla fall är det bra med den där ensamma 1:an p˚a slutet. Vi skulle ju visa att ab är udda. Enligt definitionen betyder det att vi skall visa att det finns ett positivt heltal k s˚a att ab = 2k + 1, d.v.s. att ab är tv˚a g˚anger n˚agot heltal plus ett. L˚at oss skriva om ab ytterligare: ab = 4k₁k₂+ 2k₁+ 2k₂+ 1 = 2(2k1k2 + k1 + k2) + 1. Talet inom parentes, 2k1k2 + k1 + k2, är ju ett heltal. Kallar vi det k har vi allts˚a att ab = 2k + 1. Vi har allts˚a visat att det finns ett heltal k s˚a att ab = 2k + 1. Därmed har vi visat att ab är udda. Vi har t.o.m. talat om hur k ser ut relativt de “k-värden” (k1 resp. k2) som gäller för a resp. b. Det är ju kanske mindre intressant, men mycket vanligt att ett bevis ger en massa sidoinformation utöver det vi vill bevisa.

Det var ett av de längsta bevis jag sett för en s˚a enkel sats, men det f˚ar skyllas p˚a att beviset är s˚a fyllt med kommentarer. Vi ger beviset en g˚ang till, men i mer komprimerad form:

Bevis. (i korthet) L˚at oss säga att a = 2k₁+ 1 och b = 2k₂+ 1 där k₁ och k₂ är heltal. D˚a

¨

ar ab = (2k1+ 1)(2k2+ 1) = 4k1k2+ 2k1+ 2k2+ 1 = 2(2k1k2+ k1+ k2) + 1 = 2k + 1, där vi satt k = 2k₁k₂+ k₁+ k₂. Eftersom k är ett heltal s˚a har vi därmed visat att ab är udda.

Ovning 18. G˚¨ a igenom det l˚anga beviset ovan. Ange för varje mening om den uttalar n˚agot vi vet eller n˚agot vi inte vet (men vill visa). Vilka ord i texten har jag använt för att klargöra detta för läsaren?

Ovning 19. Bevisa att produkten av ett j¨¨ amnt tal och ett udda tal ¨ar j¨amn.

Det är delbarheten med 2 som är grunden för indelningen av de positiva heltalen i jämna och udda tal. De jämna talen är delbara med 2. De udda talen är inte delbara med 2.

Byter vi ut talet 2 mot 3 s˚a kan vi analogt dela in de positiva heltalen i tre delm¨angder, som vi h¨ar kallar A, B och C:

(7)

A = {3, 6, 9, . . .} B = {1, 4, 7, . . .} C = {2, 5, 8, . . .}

Talen i A ¨ar alla delbara med 3. Talen i B ger resten 1 vid division med 3 (t.ex.

7 = 2·3 + 1). Talen i C ger resten 2 vid division med 3 (t.ex. 14 = 4·3 + 2). Talen i B kan alla skrivas p˚a formen 3k + 1 och talen i C p˚a formen 3k + 2 där k är ett heltal. Mängderna A, B, C brukar kallas restklasser vid division med 3.

Ovning 20. Unders¨¨ ok för var och en av mängderna A, B och C om mängden är sluten under addition resp. multiplikation.

I stället för att säga att 12 är delbart med 3 säger vi i regel att 3 är en delare i 12 och betecknar detta 3 | 12. P˚a motsvarande sätt skriver vi t.ex. 5 | 30 och säger att 5 är en delare i 30. Det betyder att 30/5 är ett heltal. Vi har ju 30/5 = 6 eller 30 = 6·5. Allmänt formulerar vi följande definition.

Definition. Ett positivt heltal m s¨ags vara delare i ett positivt heltal n om kvoten n/m

¨

ar ett heltal. Det inneb¨ar att det finns ett heltal k s˚a att n = k·m. Vi skriver m | n.

Ovning 21. ¨¨ Ar 7 en delare i 7? ¨Ar 1 en delare i 13?

Om divisionen inte säkert g˚ar jämnt ut, d.v.s. om n/m inte säkert är ett heltal, kan vi i alla fall skriva n = k·m + r där k är ett heltal och där r är ett heltal mellan 0 och m − 1.

Talet r kallas principala resten n¨ar n delas med m och k kallas kvoten.

Observera att ordet “kvot” ¨ar tvetydigt. Dividerar vi t.ex. 23 med 4 s˚a ¨ar ju kvoten

23

4 = 5³₄ – ett rationellt tal mellan 5 och 6. Men det vi normalt menar med kvoten i det här sammanhanget är heltalet 5. Vi har 23 = 5·4 + 3. Kvoten är 5 och principala resten

¨

ar 3. Öva dig att växla mellan skrivsätten ²³₄ = 5³₄ och 23 = 5·4 + 3 och blanda inte ihop dem!

Det heltal som ligger n¨armast ²³₄ ¨ar egentligen inte 5 utan 6. Vi kan skriva 23 = 6·4−1.

Talet 6·4 ligger närmare 23 (vi m˚aste minska med 1) än talet 5·4 gör (vi m˚aste öka med 3).

−1 kallas för den absolut minsta resten när 23 delas med 4. Absolutbeloppet är | − 1| = 1, vilket är mindre än 3.

Ovning 22. Ge fler exempel p˚¨ a kvot, principal rest och absolut minsta rest. Ibland är den principala resten och den absolut minsta resten lika. När är det s˚a?

Ovning 23. Antag att ett tal n delas med 17. Vilka principala rester ¨¨ ar möjliga? Vilka absolut minsta rester är möjliga?

Nu har vi diskuterat ett antal grundläggande begrepp och även stött p˚a n˚agra “mysterier”.

Du bör ha klart för dig vad som menas med ett begrepp, en definition, en sats och ett bevis. Tonen har hittills varit ganska informell. De flesta av begreppen har införts i den löpande texten (och där kursiverats). De flesta resultat har ocks˚a endast presenterats och förklarats i den löpande texten (eller i övningarna). Endast en g˚ang har vi formulerat en sats.

(8)

Ovning 24. G¨¨ or en lista med alla begrepp som har inf¨orts. Ge varje begrepp en definition p˚a det formella vis som vi gjorde med j¨amna och udda tal (eller med begreppet delare ovan).

Ovning 25. G¨¨ or ocks˚a en lista med alla resultat och skriv ned varje resultat som en sats.

Du kommer att ha mycket stor nytta av att ha löst dessa tv˚a övningar. När ett matematiskt begrepp preciserats s˚a är det ofta mycket enkelt och uttryckt i en form som är lätt att arbeta med. Jag som skriver detta har den erfarenheten, att m˚anga nybörjarproblem sammanhänger med att begreppsbildningen är oklar. Den som är ovan hänger ofta upp sig p˚a själva ordet (t.ex. “delare” eller “naturligt” tal) och arbetar med en egen tolkning av ordet i stället för att bekvämt luta sig tillbaka p˚a begreppets definition.

I nästa avsnitt skall vi arbeta vidare med delbarhet och med kvot och rest. I fortsätt- ningen kommer spr˚aket att vara n˚agot mer koncentrerat. Det ställer större krav p˚a dig som läsare att läsa aktivt och med eftertanke. I gengäld blir inneh˚allet lättare att överblicka och repetera.

Lästips: Om b˚ade matematiska och kulturhistoriska aspekter p˚a positiva heltal kan du läsa i Nystedt, P˚a tal om tal, kap. 1 – 5. Läs ocks˚a kap. 17, Om det oändliga, i samma bok.

Om primtal, faktorisering och st¨orsta gemensamma delaren.

L˚at oss skriva upp samtliga delare i talet 12. De är 1, 2, 3, 4, 6 och 12. Av dessa kallar vi 2, 3, 4 och 6 för äkta delare och 1 och 12 (“talet självt”) för triviala delare. Delarna

“hänger ihop” parvis. Exempelvis visar ju 12 = 3·4 b˚ade att 3 är delare i 12 och att 4 är delare i 12. Varje delare i 12 har s˚a att säga en “partner”. I uttrycket 12 = 3·4 är 3 och 4 faktorer och ordet faktor används ocks˚a ofta synonymt med delare (“3 är en faktor i 12”).

Ovning 26. Ta fasta p˚¨ a exemplet och skriv ned en formell definition av att ett positivt heltal m ¨ar en ¨akta delare i det positiva heltalet n. Det blir allts˚a en komplettering av v˚ar tidigare definition av begreppet delare. Definiera sedan begreppet trivial delare.

Ovning 27. ¨¨ Ar det alltid s˚a att delarna i ett tal bildar par som i exemplet ovan? Det skulle i s˚a fall betyda att antalet delare till ett positivt heltal alltid är jämnt. Är det s˚a, eller finns det tal med ett udda antal delare?

Definition. Ett heltal n ≥ 2 kallas f¨or ett primtal om n endast har triviala delare.

De f¨orsta primtalen ¨ar 2, 3, 5, 7, 11, . . .. Exempelvis har 7 endast delarna 1 och 7 och saknar

¨

akta delare. Talet 1 har inte heller n˚agra äkta delare, s˚a man kan fr˚aga sig varför inte 1 räknas in bland primtalen. Detta är naturligtvis en konvention och den sammanhänger med primtalens roll som “byggstenar”.

Med primtalen som byggstenar och multiplikation som “verktyg” kan vi bilda nya heltal, t.ex. 2·3 = 6 eller 2·5·7·7 = 490. Talet 1 är naturligtvis “värdelöst” som byggsten

(9)

eftersom multiplikation med 1 inte f¨or¨andrar n˚agonting. Med endast en byggsten kan vi bilda primtalspotenser, t.ex. 2·2 = 2², 2·2·2 = 2³, 2·2·2·2 = 2⁴.

Om vi omvänt utg˚ar fr˚an ett heltal ≥ 2, t.ex. 924, s˚a är detta antingen ett primtal eller möjligt att faktorisera. Det kan för stora tal vara sv˚art att avgöra, men i detta fall

¨

ar faktorisering m¨ojlig, t.ex. 924 = 12·77.

S˚a länge inte alla faktorerna är primtal kan faktoriseringen fortsätta. Processen tar slut när alla faktorer är primtal. I detta fall:

924 = 12·77 = 3·4·7·11 = 3·2·2·7·11 Vi s¨ager att 924 har primfaktoriserats eller uppdelats i primfaktorer.

Ovning 28. Hur kan man s˚¨ a s¨akert veta att processen ovan alltid n˚agon g˚ang tar slut?

Om n ≤ 10000, kan man d˚a s¨aga n˚agonting om hur m˚anga primfaktorer som n h¨ogst kan ha?

Vi faktoriserade 924 successivt till dess alla faktorerna var primtal. Det finns andra sätt att starta faktoriseringen. Exempelvis är ocks˚a 924 = 21·44, vilket är en helt annan ansats

¨

an 924 = 12·77. Forts¨atter vi f˚ar vi denna g˚ang:

924 = 21·44 = 3·7·2·22 = 3·7·2·2·11

Här ser vi det häpnadsväckande att slutfaktoriseringen blir densamma (bortsett fr˚an faktorernas ordningsföljd) trots att ansatsen är en helt annan! Detta hör till de stora mysterierna bland heltalen och vi skall försöka först˚a det bättre i ett senare avsnitt. Du kan försöka med en tredje ansats, t.ex. 924 = 2·462 och du skall se att slutresultatet blir detsamma. Varför är det s˚a? Varför finns det t.ex. inte n˚agon primfaktorisering av 924 där talet 13 ing˚ar? Varför är med andra ord inte 13 en delare i 924?

Att 13 inte är en delare i 924 kan du naturligtvis lätt kontrollera genom att utföra divisionen (924 = 71·13 + 1), men det är inte s˚a lärorikt och föranleder bara motfr˚agan:

ja, men 17 d˚a, eller 19, kan de inte vara faktorer i 924?

Ovning 29. Visa att 5 inte ¨¨ ar delare i 924, utan att utf¨ora divisionen.

Ovning 30. Antag att talet 92317 ¨¨ ar primfaktoriserat. Visa att 2 inte kan vara en av primfaktorerna.

S˚a mycket l¨angre ¨an s˚a kommer vi inte just nu i denna fr˚aga.

Ovning 31. Primfaktorisera talet 3150 f¨¨ orst genom att utg˚a fr˚an 3150 = 45 · 70, sedan genom att utg˚a fr˚an 3150 = 126·25. J¨amf¨or resultaten.

Vi ˚aterg˚ar till delarna i 12, nämligen 1, 2, 3, 4, 6 och 12. L˚at oss jämföra dem med delarna i 18, som är 1, 2, 3, 6, 9 och 18. N˚agra delare är gemensamma för 12 och 18. Det är 1, 2, 3 och 6. Av de gemensamma delarna till tv˚a tal är n˚agon alltid den största. I detta fall är det 6. Detta är den största gemensamma delaren (förkortad SGD) till 12 och 18.

(10)

I symbolspr˚ak skriver vi ofta SGD (12, 18) = 6. Lägg märke till att övriga gemensamma delare till 12 och 18 (allts˚a 1, 2 och 3) alla är delare i den största gemensamma delaren 6.

Ar det en tillf¨¨ allighet eller ¨ar det alltid s˚a? ˚Aterigen ett av alla dessa mysterier!

Ovning 32.¨ Skriv upp alla gemensamma delare till talen 90 och 225. Vilket tal är SGD (90, 225)? Är övriga gemensamma delare till 90 och 225 även i detta fall delare i den största gemensamma delaren?

Delar vi 12 och 18 med st¨orsta gemensamma delaren f˚ar vi 12 = 2 · 6 resp. 18 = 3 · 6.

Faktorerna 2 och 3 saknar gemensamma delare st¨orre ¨an 1. Multiplicerar vi “korsvis”

d.v.s. 18 med 2 eller 12 med 3 f˚ar vi samma tal, n¨amligen 36. Det ¨ar det minsta tal som

¨

ar delbart b˚ade med 12 och 18, d.v.s. det minsta tal som b˚ade 12 och 18 är delare i. Talet kallas för minsta gemensamma multipel till 12 och 18 (förkortat MGM) och vi skriver MGM (12, 18) = 36.

Det hela kan sammanfattas i en liten figur:

12 18

36 = MGM

6 = SGD

3 2

2 3

Ovning 33. Rita motsvarande figur f¨¨ or talen 90 och 225.

Som vi ser är SGD och MGM besläktade begrepp. Vi avst˚ar dock fr˚an att utreda det närmare. Vi har helt enkelt ännu inte kunskaper tillräckliga för att förklara detta. Men vi ger n˚agra tillämpningar av SGD och MGM.

Den största gemensamma delaren till täljaren och nämnaren i ett br˚ak är först˚as det största tal vi kan förkorta br˚aket med. Exempelvis: ¹²₁₈ = ²₃, där vi förkortat med 6.

Ovning 34. F¨¨ orkorta br˚aket ₂₂₅⁹⁰ maximalt.

Den minsta gemensamma multipeln, 36, till talen 12 och 18 kommer till användning om vi till exempel skall beräkna ₁₂¹ − ₁₈¹ . I detta sammanhang talar man som bekant oftast om minsta gemensamma nämnaren. Vi f˚ar: ₁₂¹ −₁₈¹ = ₃₆³ −₃₆² = ₃₆¹ . Br˚aken förlängs med 3 resp. 2. Jämför med talen i figuren ovan.

Ovning 35. F¨¨ orenkla ₉₀¹ + ₂₂₅² s˚a l˚angt som m¨ojligt.

Vi har ännu inte n˚agon riktigt effektiv metod att beräkna största gemensamma delaren till tv˚a tal. Att försöka finna samtliga gemensamma delare blir lätt övermäktigt om talen är stora. I nästa avsnitt presenteras en enkel metod att finna största gemensamma delaren

¨

aven till stora tal utan att ¨ovriga gemensamma delare ber¨aknas.

Vi har redan stött p˚a fall där tv˚a tal saknar andra gemensamma delare än 1. D˚a är först˚as 1 den största gemensamma delaren. Exempelvis är SGD (10, 21) = 1. S˚adana tal sägs vara relativt prima. 10 och 21 är allts˚a relativt prima.

(11)

Ovning 36. F¨¨ or vilka tal n ¨ar 7 och n relativt prima?

Ovning 37. Betrakta talet 47918. Ange tv˚¨ a tal som s¨akert ¨ar relativt prima med 47918.

Löste du denna övning s˚a lade du säkert märke till att tv˚a tal efter varandra (allts˚a med skillnad 1) alltid är relativt prima. I symboler: SGD (n, n + 1) = 1.

Ovning 38. F¨¨ orklara i ord (eller med en figur) varför det är s˚a, d.v.s. varför n och n + 1 alltid är relativt prima.

Ovning 39. Finn ett tal som ¨¨ ar delbart b˚ade med 5, 6 och 11. Finn sedan ett tal som ¨ar relativt primt med detta, d.v.s. varken delbart med 5, 6 eller 11.

Med samma teknik l¨oser du l¨att:

Ovning 40. L˚¨ at 2, 3, 5, 7, 11, . . . , 31 vara primtalen upp till och med 31. Finn ett tal x som har alla dessa primfaktorer. Du beh¨over inte svara i “utr¨aknad form”.

Ovning 41. Finn sedan ett tal y som ¨¨ ar relativt primt med talet x i f¨oreg˚aende ¨ovning.

Det tal y som du fann i Övning 41 (inom parentes sagt y = 2·3·5 · · · 31 + 1) är allts˚a inte delbart med n˚agot primtal ≤ 31. Om vi tänker oss att y primfaktoriseras m˚aste därför primfaktorerna uteslutande vara primtal större än 31. Även om vi inte visste det förut skulle det därmed vara klart för oss att det m˚aste finnas primtal som är större än 31.

Kanske ¨ar rent av 2·3·5 · · · 31 + 1 ett primtal?

Den sista fr˚agan kan vara besvärlig att utreda för hand, men den intresserar oss heller inte s˚a mycket. P˚a teoretisk väg har vi kommit fram till att det m˚aste finnas primtal som

¨

ar större än 31, utan att vi har nämnt ett s˚adant primtal. Naturligtvis kan vi byta ut 31 mot vilket som helst annat primtal och d˚a blir det hela ännu intressantare.

Ovning 42. L˚¨ at 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . , 65537 vara samtliga primtal ≤ 65537 (som man vet

¨

ar ett primtal). Ange ett tal som är delbart med samtliga dessa tal och sedan ett tal som inte är delbart med n˚agot av dem. Förklara hur det visar att det m˚aste finnas primtal som

¨

ar st¨orre ¨an 65537.

Eftersom 31 (eller, som i övningen, 65537) är utbytbart mot vilket som helst primtal s˚a har vi i själva verket visat att det inte finns n˚agot primtal som är större än alla andra.

Detta har visats tidigare; redan av Euklides p˚a 300-talet f.Kr. Euklides var en av det antika Greklands st¨orsta matematiker. I kursen Matematikens utveckling kommer du f˚a l¨asa mer om hans insatser. Vi formulerar resultatet i en sats och sammanfattar beviset i ett algebraiskt symbolspr˚ak.

Sats 2. Det finns inte n˚agot st¨orsta primtal.

Bevis. L˚at p1, p2, p3, . . . , pn beteckna de n första primtalen. Betrakta talet y = p1p2p3· · · p_n+ 1. D˚a är y inte delbart med n˚agot av talen p₁, p₂, . . . , p_n. Om vi primfaktoriserar y s˚a m˚aste alla primfaktorer allts˚a vara primtal som är större än dessa primtal. Hur stort n

(12)

vi än väljer s˚a finns allts˚a primtal som är större än alla de n första primtalen. V˚ar slutsats blir att det över huvud taget inte finns n˚agot primtal som är större än alla andra.

Satsen brukar numera oftast uttryckas med orden: det finns o¨andligt m˚anga primtal.

L¨astips: Nystedt, P˚a tal om tal, kap. 8.6, Minsta gemensamma multipel.

Ovning 43. Betrakta beviset av Sats 2. Ber¨¨ akna y f¨or n = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Visa att y inte alltid ¨ar ett primtal.

Euklides algoritm.

Vi skall i detta avsnitt introducera en allmän metod att beräkna största gemensamma delaren till tv˚a heltal. Vi börjar med att studera n˚agra mycket speciella, men änd˚a lärorika, extremfall.

I det första fallet söker vi SGD (13, 65). Lägger vi märke till att 65 = 5 · 13 har vi omedelbart svaret: SGD (13, 65) = 13. Det mindre av de tv˚a talen, 13 och 65, är i detta fall en delare i det större. Det m˚aste d˚a vara de tv˚a talens största gemensamma delare.

Naturligtvis är denna situation extrem, men vi lär oss att det kan vara värt att börja med att undersöka om det mindre talet rent av är en delare i det större.

Det andra extremfallet exemplifieras av SGD (24, 25). Vi har diskuterat denna situation förut. Tv˚a p˚a varandra följande tal är alltid relativt prima, ty det är klart att om ett tal a ryms ett helt antal g˚anger b˚ade i 24 och i 25 s˚a ryms a ocks˚a ett helt antal g˚anger i skillnaden, d.v.s. i 25 − 24 = 1.

Vi kan variera detta n˚agot. Vad är SGD (24, 26)? En gemensam delare till 24 och 26 m˚aste ocks˚a dela 26 − 24 = 2. I detta fall kontrollerar vi lätt att 2 faktiskt är en gemensam delare och s˚aledes 2 = SGD (24, 26). Vi har ju 24 = 12·2 och 26 = 13·2. Notera att 2 ryms en g˚ang mer i 26 än i 24.

Ovning 44. Ber¨¨ akna SGD (25, 27).

Nästa exempel är mer typiskt, d.v.s. n˚agot mindre speciellt. Beräkna SGD (91, 39). Vi undersöker först om 39 delar 91. Svaret är nej, ty 91 = 2·39 + 13. De gemensamma delarna

¨

ar allts˚a alla mindre än 39. Tänker vi efter lite s˚a finner vi att om ett tal a är delare b˚ade i 91 och i 39 s˚a m˚aste a vara delare i 13. I detta fall kontrollerar vi lätt att 13 | 39 ty 39 = 3·13 och ocks˚a att 13 | 91. Den största gemensamma delaren till 39 och 91 är allts˚a 13. Sammanfattar vi räkningarna har vi allts˚a:

91 = 2·39 + 13 39 = 3·13.

Ovning 45. Betrakta schemat noga. Att 13 | 91 f¨¨ oljer automatiskt, utan att vi behöver utföra divisionen. Hur d˚a? Med hjälp av schemat kan du till och med beräkna kvoten 91/13. Hur d˚a?

(13)

Denna uppställning kallas Euklides algoritm. Vi visar ett exempel till där algoritmen kräver ytterligare ett steg. Beräkna SGD (48, 21). Uppställningen ser ut s˚a här:

48 = 2·21 + 6 21 = 3·6 + 3 6 = 2·3.

Lägg märke till hur vi successivt delar med de rester som uppkommer. Den sista resten innan divisionen g˚ar jämnt ut (“den sista icke-försvinnande resten”) är största gemensamma delaren. Allts˚a SGD (48, 21) = 3. Lägg märke till att största gemensamma delaren delar alla tal som st˚ar till vänster om likhetstecknen.

Ett exempel med ¨annu fler steg f˚ar vi om vi ber¨aknar SGD (100, 44):

100 = 2·44 + 12 44 = 3·12 + 8 12 = 1·8 + 4 8 = 2·4.

St¨orsta gemensamma delaren ¨ar allts˚a 4.

Ovning 46. F¨¨ orsök att förklara varför 4 = SGD (100, 44) och varför 4 delar alla tal till vänster om likhetstecknen. Man kan ocks˚a utläsa ur algoritmen hur m˚anga g˚anger 4 ryms i 8, 12, 44 resp. 100. Hur?

Kanske gick du inte i land med denna övning nu. Vi tar ett nytt exempel som vi riktigt detaljstuderar och ocks˚a illustrerar grafiskt. Du kan ˚atervända till övningen ovan sedan.

Vi skall ber¨akna st¨orsta gemensamma delaren till talen 2652 och 2244:

2652 = 1·2244 + 408 2244 = 5·408 + 204 408 = 2·204.

Vi kan ˚ask˚adliggöra detta i en figur med rektanglar av samma höjd. Den översta rektangeln, A, har bredden 2652. Nästa rektangel, B, har bredden 2244.

2244 408

408 408 408 408 408 204

204 204 204

A B C

D c

Euklides algoritm slutar alltid med en division som g˚ar jämnt upp (ibland g˚ar det s˚a l˚angt att den sista icke-försvinnande resten är 1). Geometriskt svarar detta mot att den understa rektangeln (D) f˚ar plats ett helt antal g˚anger i den näst understa rektangeln (C); i detta

(14)

fall tv˚a g˚anger. Vi säger att 204 delar 408 eller geometriskt att ”D mäter C” eller att ”D kan användas som m˚attstock för att mäta C”. D mäter ocks˚a B, ty B kan byggas upp av ett helt antal (i v˚art fall 5) C samt ett överskjutande D. Vi har ju 2244 = 5·408 + 204. D är allts˚a en gemensam m˚attstock för B och C. D g˚ar tv˚a g˚anger i C och 5·2 + 1 = 11 g˚anger i B (det betyder att 2244 = 11·204). Men D duger ocks˚a som m˚attstock för A, eftersom A kan byggas upp av ett helt antal (i v˚art fall 1) B samt ett överskjutande C. Eftersom D g˚ar 11 g˚anger i B och 2 g˚anger i C s˚a g˚ar D s˚aledes 11 + 2 = 13 g˚anger i A, vilket betyder att 2652 = 13·204.

Den understa rektangeln är allts˚a gemensam m˚attstock till alla rektanglar ovanför denna. Talet 204 är gemensam delare till 408, 2244 och 2652. Men varför är 204 största gemensamma delare till 2244 och 2652? Det skall vi strax se, liksom ytterligare en bety- delsefull egenskap hos talet 204 (den sista icke-försvinnande resten i Euklides algoritm).

Vi tänker oss att c är n˚agon gemensam delare till 2652 och 2244. Jag har illustrerar c med en rektangel till höger i figuren. Rektangeln c skall kunna användas som gemensam m˚attstock för A och B. Med pusselbitar av storlek c kan vi allts˚a precis täcka A och dessutom precis täcka B. Du kan själv skissera detta i figuren. Detta innebär först˚as att

¨

aven C täcks av ett helt antal c. Men vi kan g˚a ett steg till. B byggs ju upp av ett helt antal C samt ett överskjutande D. Med pusselbitar c kan vi därför ocks˚a precis täcka D, d.v.s. c mäter D.

Vi har allts˚a funnit att varje gemensam m˚attstock till A och B ocks˚a ¨ar m˚attstock till D. Eller, med andra ord, varje gemensam delare till 2652 och 2244 ¨ar delare till 204.

Speciellt är allts˚a ingen gemensam delare större än 204. Det är klart att resonemanget ovan är helt generellt och inte n˚agot speciellt för de tv˚a heltal vi valde som exempel. Vi sammanfattar:

Till tv˚a heltal a och b hör alltid en största gemensam delare d, som vi kan finna med Euklides algoritm och för varje gemensam delare c till a och b gäller att c delar d.

Exempelvis är 68 gemensam delare till 2652 och 2244 ty 68 | 204. Däremot är 52 inte gemensam delare till 2652 och 2244, ty 52 6 | 204. Vi finner att 52 | 2652 men 52 6 | 2244.

Ovning 47. Genomf¨¨ or ovanst˚aende resonemang en g˚ang till, p˚a egen hand, utan att titta i texten. Anv¨and figuren som utg˚angspunkt.

Ovning 48. Best¨¨ am SGD (69, 15). Illustrera grafiskt och utf¨or motsvarande resonemang som ovan.

Ovning 49. Best¨¨ am SGD (1288, 690). Använd resultatet dels till att skriva br˚aket ₁₂₈₈⁶⁹⁰ förkortat s˚a l˚angt som möjligt dels till att beräkna ₆₉₀¹¹ −₁₂₈₈¹⁹ och skriva detta tal p˚a enklast möjliga vis.

*Maximalt f¨orkortade br˚ak.

Betrakta nu br˚aket ²²⁴⁴₂₆₅₂. I föreg˚aende avsnitt beäknade vi största gemensamma delaren till br˚akets täljare och nämnare och fann SGD (2652, 2244) = 204. Vi fann ocks˚a att 2652 = 13 · 204 och 2244 = 11 · 204. Vi fann t.o.m. kvoterna 13 och 11 utan att utföra

(15)

divisionerna 2652/204 resp. 2244/204! Eftersom täljare och nämnare b˚ada är delbara med 204 s˚a kan vi förkorta br˚aket med detta tal och f˚ar:

2244 2652 = 11

13

Naturligtvis g˚ar det aldrig att förkorta ett br˚ak â_b med n˚agot större tal än största gemensamma delaren d till a och b. Vi kan ju bara förkorta med tal som är gemensamma delare till täljare och nämnare. Vi f˚ar med denna förkortning br˚aket p˚a en maximalt förkortad form. Täljare och nämnare är d˚a s˚a sm˚a som möjligt.

Ofta förkortar vi ju br˚ak successivt. Vi observerar kanske att b˚ade täljare och nämnare

¨

ar jämna och förkortar därför först med 2 och f˚ar:

2244

2652 = 1122 1326

Vi observerar kanske sedan att täljare och nämnare b˚ada är delbara med 3 och förkortar med 3 i nästa steg:

1122

1326 = 374 442

Sammanlagt har vi nu förkortat med 2·3 = 6. Detta är naturligtvis en möjlig metod s˚a länge som vi lätt hittar gemensamma delare till täljare och nämnare, men det finns en intressant teoretisk fr˚aga att ställa här. Är det teoretiskt tänkbart att vi hamnar i en

˚atervändsgränd, d.v.s. kommer till ett br˚ak som inte g˚ar att förkorta ytterligare (täljare och nämnare är relativt prima) trots att vi inte n˚att fram till ¹¹₁₃, som är den maximalt förkortade formen?

Svaret p˚a fr˚agan är nej och det är lätt att se varför. Antag att vi utfört ett antal förkortningar av br˚aket â_b. Det innebär att vi har dividerat täljare och nämnare med n˚agon gemensam delare c. I själva verket är c produkten av alla tal vi successivt förkortat med; i v˚art exempel är ju c = 6 = 2·3. I föreg˚aende avsnitt fann vi att varje gemensam delare till a och b ocks˚a är delare till den största gemensamma delaren d. Exempelvis är allts˚a 6 | 204. Vi har 204/6 = 34, s˚a br˚aket ³⁷⁴₄₄₂ kan vi förkorta vidare med 34 och har d˚a totalt förkortat med 6·34 = 204 och n˚ar den maximalt förkortade formen ¹¹₁₃. Uttryckt allmänt s˚a kan en utförd förkortning med c fortsättas av en förkortning med d/c s˚a att vi totalt har förkortat med största gemensamma delaren d. L˚at oss sammanfatta:

Varje br˚ak â_b har en maximalt förkortad form som erh˚alles efter förkortning med största gemensamma delaren d till a och b. Om br˚aket först förkortas med ett annat tal c (som m˚aste vara mindre än d) s˚a kan br˚aket förkortas ytterligare ända tills vi n˚ar den maximalt förkortade formen.

Med br˚ak menar jag här alltid ett uttryck av typen â_b där a och b är heltal. Br˚aket representerar ett rationellt tal. De br˚ak som vi kan f˚a genom att förkorta â_b betyder alla samma rationella tal. Antag nu att tv˚a br˚ak är lika, â_b = ^α_β, d.v.s. betyder samma rationella tal. Har de d˚a samma maximalt förkortade form? Kan vi, med andra ord, överföra det

(16)

ena br˚aket, â_b, till det andra, ^α_β, genom att förkorta och förlänga? Vi har faktiskt inte svarat p˚a den fr˚agan ännu.

Vi visar först att â_b och ^α_β kan förlängas till samma br˚ak. Förläng â_b med α till âα_bα. Förläng ^α_β med a till âα_aβ. Vi förutsatte att â_b = ^α_β. Allts˚a är aβ = bα. De tv˚a förlängda br˚aken âα_bα och âα_aβ är allts˚a identiska, d.v.s. har samma täljare och nämnare. L˚at oss kalla detta br˚ak ^m_n. De tv˚a br˚ak vi började med, â_b och ^α_β, är allts˚a b˚ada förkortade former av

m

n. B˚ade â_b och ^α_β kan vi allts˚a förkorta vidare till den maximalt förkortade formen av ^m_n. Allts˚a: Om tv˚a br˚ak representerar samma rationella tal s˚a har de samma maximalt förkortade form. Detta f˚ar intressanta konsekvenser. Exempelvis kan det omöjligt vara sant att ⁵₈ = ¹³₂₁. Om dessa br˚ak representerade samma rationella tal skulle de nämligen kunna förkortas vidare till samma maximalt förkortade form. Men inget av br˚aken g˚ar att förkorta ytterligare. Allts˚a är ⁵₈ 6= ¹³₂₁ och 5·21 6= 8·13.

Vi är nu mycket nära fr˚agan om entydig faktoruppdelning av heltal, som vi behandlar i nästa avsnitt.

*Entydig faktorisering av positiva heltal.

Ett positivt heltal som inte ¨ar ett primtal kan skrivas som en produkt av tv˚a mindre heltal.

Om n˚agon av dessa faktorer inte ¨ar ett primtal kan denna i sin tur faktoriseras, och s˚a vidare. Resultatet blir en faktorisering i en produkt av primtal. Exempelvis ¨ar

3150 = 2·3·3·5·5·7.

Vi kan komma fram till denna faktoruppdelning successivt, t.ex. genom:

3150 = 10·315 = 2·5·3·105 = 2·5·3·3·35 = 2·5·3·3·5·7 eller ocks˚a genom:

3150 = 50·63 = 5·10·9·7 = 5·5·2·3·3·7.

Trots att faktoriseringen här inleds p˚a tv˚a helt olika sätt n˚ar vi samma slutresultat: en 2:a, tv˚a 3:or, tv˚a 5:or och en 7:a. Vi skall nu försöka först˚a varför slutresultatet inte kan bli n˚agot annat (vi bortser allts˚a fr˚an primfaktorernas ordningsföljd) eller m.a.o. varför positiva heltal har entydig (unik) faktoruppdelning. Vi resonerar i exempel men det bör vara klart att resonemanget h˚aller helt generellt och allts˚a inte är beroende av de siffror vi valt.

Varför kan inte 3150 vara delbart med n˚agot annat primtal än 2, 3, 5 och 7? Varför

¨

ar t.ex. inte 13 | 3150? Antag att det vore s˚a, säg 13·c = 2·3·3·5·5·7 där c är ett heltal.

D˚a ¨ar 13

7 = 2·3·3·5·5

c . Br˚aket i vänsterledet, ¹³₇ är maximalt förkortat eftersom 13 och 7 är skilda primtal. Om nu detta är sant, s˚a följer av v˚ara resultat i föreg˚aende avsnitt att br˚aket i högerledet, 2·3·3·5·5

c , kan förkortas till formen ¹³₇ . Det innebär allts˚a att 13 | 2·3·3·5·5, säg 13d = 2·3·3·5·5, d.v.s. 13

5 = 2·3·3·5

d . Resonemanget kan upprepas s˚a att vi f˚ar 13 | 2·3·3·5. Upprepar vi resonemanget ¨annu n˚agra g˚anger s˚a f˚ar vi till slut 13 | 2, vilket ¨ar orimligt. Det kan allts˚a inte vara s˚a att 13 | 3150.

P˚a samma sätt kan vi för varje heltal visa att det inte kan vara delbart med n˚agot annat primtal än dem, som förekommer i en primfaktorisering. Exempelvis kan talen a = 2·7·23 och b = 2·3·5·11 inte vara lika ty 7 | a men 7 6 |b.

(17)

Om det nu skulle inträffa änd˚a att ett heltal har tv˚a skilda primfaktoriseringar s˚a vet vi allts˚a s˚a här l˚angt att samma primtal m˚aste förekomma i b˚ada. Men kan antalet variera? Vi m˚aste övertyga oss om att t.ex. 2⁸·5 och 2·5⁴ inte är samma tal. Men det är lätt. Om 2⁸·5 = 2·5⁴, s˚a kan vi dela b˚ada leden med först 2 och sedan 5 och f˚a 2⁷ = 5³, vilket inte kan vara sant ty enligt ovan kan 5³ inte vara delbart med n˚agot annat primtal

¨

an 5. Allts˚a ¨ar 2⁸·5 6= 2·5⁴.

Vi har nu fullst¨andigt visat f¨oljande:

Varje heltal kan skrivas som en produkt av primtal. Framställningen är entydig om vi bortser fr˚an ordningsföljden mellan faktorerna.

Denna sats visades redan av Euklides och kallas ofta för aritmetikens fundamental- sats. Du som läser detta bör övertyga dig om att resonemangen ovan är generella och inte speciellt beroende av de exempel som vi arbetar med. Det är lätt att genomföra resonemangen helt algebraiskt d.v.s. ersätta siffror med bokstäver om man s˚a vill. Vi kan ocks˚a uttrycka detta s˚a, att t.ex. talen 2, 3, 5 och 7 ovan representerar godtyckliga skilda primtal. Det är viktigt att kunna skilja mellan argument som är speciella för ett exempel och argument som är generella. Betrakta t.ex. det avslutande argumentet för att 2⁸·5 och 2·5⁴ inte är samma tal. Hade vi visat detta genom att beräkna de b˚ada produkterna s˚a hade vi inte kunnat dra n˚agon generell slutsats av detta. Vi hade inte lärt oss n˚agonting.

Men det argument vi använder duger lika bra för att visa att om pâq^b = p^cq^d där p och q

¨

ar skilda primtal s˚a m˚aste a = c och b = d.

(18)

2. POTENSER OCH KONGRUENSER.

Inledning.

Nu fortsätter vi v˚ara strövt˚ag bland heltalen och fördjupar v˚ara studier av delbarhet. I detta kapitel lär vi känna och bli goda vänner med potenser och – vilket nog är nytt för dig – kongruenser. Du som läser detta kanske redan är urstyv p˚a “potensräkning”, men du skall nog änd˚a finna en och annan ny aspekt p˚a ämnet, s˚a läs även du med eftertanke. Har du istället problem med bas och exponent hoppas vi att du snart skall f˚a ett mer avspänt förh˚allande till dessa begrepp.

När man arbetar med heltal lurar ofta br˚aktalen om hörnet, s˚a vi ägnar ett kort avsnitt

¨

aven ˚at dem. I sista avsnittet bygger vi vidare p˚a delberhetsresonemangen fr˚an “Mysterier bland heltalen” och lär oss räkna ut s˚adana halsbrytande ting som vilken veckodag det är om 2¹⁷ dagar!

Att arbeta avsp¨ant med potenser.

Börja med att utföra följande multiplikationer, helst i huvudet.

2·2 = 2·2·2 = 2·2·2·2 = 2·2·2·2·2 = 2·2·2·2·2·2 = 2·2·2·2·2·2·2 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 =

och skriv ned resultaten. Fundera lite över detta och över hur du gick till väga. Började du om fr˚an början i varje ny rad eller utnyttjade du resultatet fr˚an föreg˚aende rad? Jag utg˚ar fr˚an att du arbetade p˚a det senare sättet. Högerledet i en rad är naturligtvis dubbelt s˚a stort som högerledet i raden ovanför.

(19)

Har du lagt märke till att högerledet i femte raden, 64, är kvadraten p˚a högerledet i andra raden, 8? Förklara varför det är s˚a.

Finns det fler exempel p˚a att n˚agot högerled är kvadraten p˚a n˚agot annat högerled?

Finns det n˚agot exempel p˚a ett högerled som är kuben p˚a n˚agot annat högerled? Om du har en miniräknare kan du gärna använda den till att experimentera lite. Räknaren är ett utmärkt hjälpmedel vid experimentell verksamhet, speciellt med stora tal, men se till att du ocks˚a försöker först˚a de fenomen du upptäcker!

Naturligtvis är du sedan gammalt bekant med de förkortade skrivsätten 2², 2³, 2⁴, 2⁵, . . . , 2¹² för produkterna ovan. Du vet ocks˚a att uttryck av denna typ kallas för potenser.

I 2⁷ ¨ar talet 2 bas och talet 7 exponent. Dina ber¨akningar ovan kan du nu sammanfatta genom att fylla i andra raden i nedanst˚aende tabell:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2ⁿ

Det är mycket vanligt att nybörjare snart f˚ar problem när de arbetar med potenser.

Vi tror oss veta att dessa problem bottnar i att man förlorat kontakten med begreppens enkla innebörd. Problemen är helt onödiga. Glöm bara inte att

2⁷ endast ¨ar ett kortfattat uttryck f¨or 2·2·2·2·2·2·2

Att arbeta med potenser är inte konstigare än att arbeta med multiplikation! Det finns ingen anledning att betrakta potenser som n˚agot mystiskt, omgärdat av massa strikta lagar och regler som n˚agon hittat p˚a och som man m˚aste följa. Enligt uppgift fr˚an studenth˚all skulle dessa regler finnas i s.k. “bl˚a rutor”.

L˚at oss som vuxna människor frigöra oss fr˚an alla dessa bl˚a rutor med regler och istället koncentrera oss p˚a inneh˚allet i det vi arbetar med. Om du kommer p˚a dig själv med att skriva n˚agot som inte betyder n˚agot för dig s˚a skall du genast säga ifr˚an.

I början, innan du är helt säker p˚a potenser, är det bra om du växlar mellan skriv- sätten, mellan 2⁷ och 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2. När du är mer van gör du ständigt s˚adana växlingar i tanken. Det är nödvändigt för att förklara de fenomen vi s˚ag ovan. Att 2⁶ är kvadraten p˚a 2³ är helt klart, ty 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = (2 · 2 · 2)².

Ovning 1. Finn positiva heltal a och b s˚¨ adana att 3¹⁷ = 9â· 3^b. Det finns flera svar p˚a denna fr˚aga. Vilket är det största möjliga värdet p˚a a?

Ovning 2.¨ Skriv enkelt utan +-tecken (och utan att utf¨ora multiplikationerna) talet 2¹⁸+ 2¹⁹.

I lite mer abstrakta sammanhang (där bas eller exponent är obestämd) kommer potenser verkligen till sin rätt. Uttrycket x · x · x · · · x kan vi inte tolka om vi inte vet hur m˚anga faktorerna är. Säg att antalet faktorer är 39. En möjlighet är att skriva ut alla 39 faktorerna. En annan möjlighet är att skriva x · x · x · · · x (39 faktorer). Men mest kortfattat

¨

ar att skriva x³⁹. Men t¨ank g¨arna s˚a: x · x · x · · · x (39 faktorer).

(20)

Ovning 3. Skriv som en potens¨

x³⁹·x·x x·x¹⁷·x·x·x Ovning 4. Finn a s˚¨ a att xâ· xâ· xâ· xâ = x²⁰. Ovning 5. Finn b s˚¨ a att (x^b)³ = x³⁹.

Ovning 6. Skriv ned i “klartext” uttrycken x¨ ⁵, y⁵ och (xy)⁵ och j¨amf¨or. Finns det n˚agot samband?

Ovning 7. Skriv ned i klartext uttrycken x¨ ³, y³ och (x + y)³ och j¨amf¨or. Finns det n˚agot samband?

Ser man p˚a matematiken endast “operationellt” och mekaniskt som en serie cirkuskonster man skall utföra, s˚a kommer man ständigt göra misstag. Men du som h˚aller fast vid det begreppsmässiga inneh˚allet i allt du gör kommer inte att misslyckas.

Ovning 8. Skriv som en potens av 3 (d.v.s. med 3 som bas) talet¨ 27^x

9^x+1. Förutsätt att x > 2 och diskutera vad den förutsättningen har för betydelse.

˚Aterg˚a till tabellen över 2ⁿ ovan. Skrev du n˚agot värde för 2ⁿ d˚a n = 1? Förmodligen skrev du 2¹ = 2. Nu är ju potenser ett förkortat skrivsätt för upprepad multiplikation med samma tal och exponenten anger antalet faktorer. Att tala om bara en faktor är naturligtvis en smula oegentligt. Nog bör man ha minst tv˚a faktorer för att kunna multiplicera! När vi skriver 2¹ = 2 har vi allts˚a tänjt ordentligt p˚a den ursprungliga idén med potenser.

Ovning 9. Diskutera detta. ¨¨ Ar det f¨ornuftigt att anse att 2¹ = 2? Kunde det vara lika g˚angbart att l˚ata 2¹ betyda t.ex. 1 eller 0 ist¨allet?

Du har kanske ocks˚a sett n˚agon g˚ang att 2⁰ = 1. Nu b¨orjar vi n¨arma oss det absurda.

Noll faktorer! Varför? Betrakta igen tabellen över 2ⁿ. Varje g˚ang vi flyttar oss ett steg ˚at höger fördubblas värdet i den undre raden. För varje steg vi tar ˚at vänster halveras värdet i undre raden. Vill vi bibeh˚alla detta mönster s˚a kan vi fortsätta tabellen obegränsat ˚at vänster! Gör det:

. . . −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

. . . 1 2 4 8 16

Vi inför nu skrivsättet 2⁰ = 1, 2⁻¹ = ¹₂, 2⁻² = ¹₄ o.s.v. Därmed har vi tagit ett bety- delsefullt och intressant steg. Potenser med exponent som är ett positivt heltal infördes som ett förkortat skrivsätt för upprepad multiplikation. Exponenten är d˚a nödvändigtvis

(21)

ett positivt heltal (helst ≥ 2). När vi nu utvidgar innebörden av potensbegreppet till att omfatta även negativa heltal som exponenter m˚aste vi fr˚ang˚a den ursprungliga idén. Vi tar istället fasta p˚a ett mönster som vi vill föra vidare. Du kan i detta sammanhang ˚aterg˚a till Ovning 9 ovan och diskutera den igen. Det ligger naturligtvis mycket tankearbete bakom¨ detta, som vi inte redovisar här. Du kommer uppskatta denna utvidgade användning av potenser mer när du upptäckt att man kan arbeta lika lätt med negativa exponenter som med positiva. Vi skall strax se n˚agra exempel p˚a det.

Ovning 10. Har du tidigare i livet varit med om upplevelsen att ett begrepp (eller ett¨ ord) har f˚att en utvidgad betydelse?

Ovning 11. Skriv som ett br˚¨ ak utan potenser: 2⁻¹². Exempel.

2¹¹

2¹³ = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2

2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 = 1 2·2 = 1

2² = 2⁻² L¨agg m¨arke till att 11 − 13 = −2.

Ovning 12. Om a > b ¨¨ ar positiva heltal ¨ar naturligtvis 3^a

3^b = 3^a−b. Eller hur?

Ovning 13. Antag att a, b ¨¨ ar positiva heltal men att a < b. Förklara utförligt varför 3â

3^b = 3â−b änd˚a är sant.

Ovning 14. Testa i n˚¨ agra exempel om 3^a

3^b = 3â−b fortfarande är sant om t.ex. b˚ade a och b är negativa, eller om a är positivt men b negativt o.s.v.

När man arbetar med negativa exponenter och allts˚a har lämnat den ursprungliga tolkning- en av potenser som upprepad multiplikation, är risken mycket stor att man “halkar dit” och börjar tänka endast operationellt och mekaniskt (d.v.s. helt enkelt upphör att tänka). Den

“bl˚a rutan” är hotande nära och risken är överhängande att man släpper kontakten med verkligheten. Upprepa därför övningarna ovan ofta. Kräv att de symboler du använder betyder n˚agot för dig.

Minir¨aknaren kan lura oss h¨ar. Den har ofta en potensknapp och du kan sl˚a in vilka absurditeter som helst, som 2^1/2 eller 3

√

2. Räknaren som kan vara ett s˚adant utmärkt hjälpmedel kan här vara förödande och leda till ett ultraoperationellt knapptryckstänkande.

Du b¨or med emfas h¨avda att 3

√

2 är gallimatias till dess att n˚agon har givit dig en rimlig välmotiverad tolkning (den dagen kan i och för sig mycket väl komma). Räknaren döljer de sv˚arigheter som finns här.

En parentes om allm¨anna br˚ak.

Vi har nu kommit in p˚a br˚akräkning och jag kan inte l˚ata bli att säga n˚agra ord även i detta ämne. Denna omistliga del av v˚art kulturarv är tyvärr ocks˚a ofta utsatt för ett

(22)

operationellt tänkande – en mekanisk slentrianmässig behandling. Ibland skall man enligt fastställda regelverk vända upp och ned p˚a br˚ak o.s.v. “Vad innebär division och br˚ak för dig”? Jag har f˚att svaret: “Division är bara ett streck för mig” (allts˚a ett br˚akstreck). Vi som verksamma och blivande lärare har skyldigheten att ˚aterknyta kontakten mellan br˚ak och verklighet.

˚Atervänd ännu en g˚ang till tabellen med 2-potenser; den utvidgade versionen där exponenten kan vara negativ. För varje steg ˚at vänster divideras det undre talet med 2 eller, med andra ord, multipliceras med ¹₂. Det är nödvändigt att du har klart för dig varför det är samma sak att dividera med 2 som att multiplicera med ¹₂.

Ovning 15. F¨¨ orklara detta i ett praktiskt exempel. Använd gärna äpplen eller päron eller liknande. Varför ger division med 2 samma resultat som multiplikation med ¹₂? L˚at oss vandra ˚at höger istället. Ett steg ˚at höger svarar mot multiplikation med 2 eller division med – vad d˚a? I analogi med vad som händer när vi rör oss ˚at vänster borde svaret vara division med ¹₂.

Ovning 16. F¨¨ orklara i ett praktiskt exempel varf¨or division med ¹₂ ger samma resultat som multiplikation med 2.

Ovning 17. F¨¨ orklara i ett praktiskt exempel varf¨or division med ¹₃ ger samma resultat som multiplikation med 3.

Ovning 18. Ber¨¨ akna i huvudet kvoten 2¹₃

1 3

. Anv¨and n˚agon praktisk tolkning.

I övningarna ovan vill jag att du skall tänka i helt vardagliga termer. Man kan ocks˚a tänka mer “inom-matematiskt”. Det finns m˚anga sätt att tänka p˚a division. Om du kan variera ditt tänkande s˚a kommer du n˚a stora framg˚angar.

Exempel. Vad menas med ¹⁸₆? Ja, det är det tal som multiplicerat med 6 är 18. Allts˚a om ¹⁸₆ = x s˚a är 6x = 18. Det är ett sätt att tolka division.

Exempel. Antag att 7

1 2

= x. D˚a är 7 = ¹₂x, d.v.s. 7 är hälften av x. Klart d˚a att x = 2·7 = 14.

Ovning 19. Ber¨¨ akna i huvudet 4

1 3

. Ovning 20. Fundera sedan ¨¨ over om 4

2 3

bör vara större eller mindre än 4

1 3

.

I den sista övningen kan vi tänka oss följande konkretisering. Vi har 4 timmar till förfogande och vi skall använda dessa till intervjuer som tar 1/3 timme var. Hur m˚anga intervjuer hinner vi med? Jo, 3 i timmen och allts˚a sammanlagt 12. I symboler: 4

1 3

=

(23)

4·3 = 12. Men om varje intervju ¨ar dubbelt s˚a l˚ang hinner vi naturligtvis bara med h¨alften s˚a m˚anga d.v.s. 6. Allts˚a 4

2 3

= 1 2· 4

1 3

= 1

2·4·3 = 6, om vi skriver ned v˚ar tankeg˚ang i siffror.

Du som är van vid br˚akräkning har säkert tillägnat dig ett automatiserat ryggmärgs- förfarande. Det är inte n˚agot fel i det. Tvärtom är det viktigt att man skaffar sig rutiner s˚a att enkla räkningar kan göras med liten ansträngning. Men jag har m˚anga g˚anger sett exempel p˚a väldigt mekaniserade och onödigt omständliga rutiner. Även du som är van (men i synnerhet du som känner dig osäker) gör klokt i att ständigt se till att dina räkningar verkligen betyder n˚agot för dig. Försök att tolka räkningarna konkret. För dig handlar det ju ocks˚a om att förbereda dig för din kommande lärarroll.

Ovning 21. Alternativt skulle jag utf¨¨ ora ber¨akningen ovan s˚a h¨ar: 4

2 3

= 2

1 3

= 2·3 = 6.

Försök motivera första steget här; gärna genom att ge det en konkret tolkning.

Ovning 22. Tolka p˚¨ a motsvarande s¨att: 4

2 3

= 4·3 2 = 6.

Slut p˚a parentesen om br˚akr¨akning.

Kongruenser och klockaritmetik.

Ar 2¨ ¹³ delbart med 3? Nej, när vi studerade “mysterier bland heltalen” upptäckte vi att primfaktorisering är entydig. 2¹³ = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 och 2¹³ kan inte primfaktoriseras p˚a annat sätt. Om 3 är delare i ett tal s˚a m˚aste 3 finnas bland primfaktorerna. N˚a, men d˚a kan vi ställa fr˚agan: Vilken blir den principala resten när 2¹³ delas med 3?

För att försöka finna ett mönster ber jag dig komplettera v˚ar tabell nedan med en tredje rad för principala resten vid division med 3, innan du g˚ar vidare:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2ⁿ 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 rest d˚a 2ⁿ

delas med 3 2 1 2 . . .

Mönstret är uppseendeväckande tydligt, eller hur? Lägg märke till att t.ex. 4 har rest 1, att 2¹² = 4⁶ ocks˚a har rest 1 och att 1⁶ = 1. Är detta en tillfällighet? Är det ocks˚a sant att eftersom 2²⁸ = 4¹⁴ och 4 har rest 1, s˚a har 2²⁸ rest 1¹⁴ = 1? Detta skulle onekligen förenkla restberäkningar av höga potenser!

Ovning 23. 9 har rest 2 vid division med 7. Kolla med hj¨¨ alp av r¨aknaren, eller p˚a annat s¨att, om 9⁵ och 2⁵ har samma rest vid division med 7.

(24)

Resultaten av dessa experiment är onekligen tilltalande, men för att vi skall känna oss säkra p˚a att detta mönster är allmängiltigt m˚aste vi utföra beräkningarna p˚a ett sätt, s˚a att mönstret förklaras. L˚at oss ˚aterg˚a till 2²⁸ och göra följande omskrivning:

2²⁸ = 4¹⁴ =

(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1)(3+1) Ovning 24. T¨¨ ank dig att du skulle multiplicera ihop dessa parenteser. Hur skulle du g˚a till v¨aga? Hur m˚anga termer skulle du f˚a?

Varje term i utvecklingen av produkten ovan ¨ar en produkt av fjorton faktorer. Alla dessa produkter kommer inneh˚alla en faktor 3, utom en enda, n¨amligen 1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1 = 1.

Summan av alla produkterna, d.v.s. 4¹⁴ har allts˚a resten 1 vid division med 3. Om vi vore intresserade endast av värdet av 4¹⁴ skulle det naturligtvis vara enklare att sl˚a in det p˚a räknaren. Men nu gäller det inte värdet utan resten vid division med 3. Lägg märke till att vi lyckats beräkna denna rest utan att beräkna värdet av 4¹⁴, genom att vi gör en omskrivning som tydliggör att 4 har rest 1.

Exempel. Vad har 13⁷f¨or rest vid division med 3? Vi vet att 13 har resten 1 s˚a en gissning skulle kunna vara att 13⁷ har rest 1⁷ = 1. Kan det vara s˚a enkelt? Vi har 13 = 4·3 + 1 s˚a

13⁷ = (4·3 + 1)⁷ = (4·3 + 1)(4·3 + 1)(4·3 + 1)(4·3 + 1)(4·3 + 1)(4·3 + 1)(4·3 + 1) Utvecklar vi denna produkt s˚a f˚ar vi en massa termer som är delbara med 3 och en enda som inte är det, nämligen 1·1·1·1·1·1·1 = 1⁷ = 1. Det betyder allts˚a att, precis som vi anade, 13⁷ har resten 1 vid division med 3.

Ovning 25. G˚¨ a tillbaka till Övning 23 och försök p˚a liknande sätt förklara varför 9⁵ och 2⁵ har samma rest vid division med 7.

Ovning 26. Visa att 13¨ ⁷ och 3⁷ har samma rest vid division med 5.

Men, aprop˚a föreg˚aende övning, vad har 3⁷ för rest vid division med 5? Kan vi beräkna denna rest utan att först beräkna värdet av 3⁷? Vi skall ˚aterkomma till den fr˚agan.

Att ha samma rest ¨ar en viktig egenskap. Vi tar fasta p˚a det och inf¨or nu ett nytt begrepp.

Definition. Tv˚a heltal a och b som har samma rest vid division med ett heltal n ≥ 2 s¨ags vara kongruenta modulo n. Detta skrivs a ≡ b (mod n).

Exempel. 17 ≡ 29 (mod 3) och 104 ≡ 19 (mod 17).

Exempel. 23 + 4 ≡ 0 (mod 9) och 11 + 4 ≡ 3 (mod 12).

Ovning 27. Att arbeta med kongruenser kallas ofta f¨¨ or “klockaritmetik”. Kan du se n˚agon f¨orklaring till det?