Metoda konečných prvků

Metoda konečných prvku je numerická metoda pro řešení rozsáhlé třídy inženýrských problémů. Prostřednictvím MKP lze studovat mechanické vlastnosti struktur, materiálů, látek (lineární i nelineární chování), kontaktní vazbové interakce, biomechanické aplikace, přestupy a vedení tepla, proudění kapalin, přívalové vlny, prakticky jakoukoliv matematicky popsatelnou fyzikální úlohu. Metoda vznikla pro potřeby výpočtů konstrukcí v leteckém, kosmickém, jaderném a vojenském průmyslu, odtud se rozšířila do akademického prostředí a do průmyslové praxe. Název metody zdůrazňuje skutečnost, že základním stavebním prvkem je element konečných rozměrů na rozdíl od infinitezimálního pohledu klasické pružnosti, která vychází z představy rovnováhy na nekonečně malém elementu. Algoritmus MKP vede k řešení soustavy lineárních algebraických rovnic, která se pak numericky řeší. Tyto metody s rozvojem výpočetní techniky v budoucnu jednoznačně převáží při řešení praktických úloh. (19)(20)(21)

Mezi přední výhody metody konečných prvků patří, že lze změřit neměřitelné vlastnosti materiálu (kontakty mezi vlákny, porušení textilie, atd). Další výhodou je možnost číselného či grafického výstupu řešení nebo grafického znázornění vektorů a tenzorů napětí a deformace.

Nevýhodami řešení problémů touto metodou jsou vysoké požadavky na hardware a časové nároky na výpočet, složitější definování nelineárních úloh (znalosti mechaniky kontinua, měření mechanických parametrů, konstrukce kontaktů, a další). Výsledky se vztahují pouze ke konkrétnímu zadanému případu, při jakékoliv úpravě nebo optimalizaci je vyžadováno opakování celého procesu řešení. Pro uživatele softwarů podporující MKP je nutná dlouhodobější uživatelská praxe a školení.

V neposlední řadě je nevýhodou vysoká cena komerčních programů MKP. (18) (21) V dnešní době je do velkého množství CAD systémů implementován MKP program, který umožňuje řešit základní úlohy lineární mechaniky. Tyto implementované programy bývají méně uživatelsky příjemné a nejsou obvykle vhodné pro rozsáhlejší sestavy a pro materiály s nelineárním materiálovým nebo geometrickým přetvořením. Pro běžné materiály a jednoduché úlohy se jeví jako dostatečné, nejsou však vhodné pro textilní materiály.

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI KNT

Princip MKP spočívá v převedení původního problému neznámých funkcí spojitého kontinua (silná formulace) na problém hledání konečného počtu parametrů, pomocí nichž se neznámé funkce aproximují a dochází tím k diskretizaci spojité oblasti (přibližné řešení) tzv. diskretizace spojitého problému. Diskretizace spočívá v rozdělení řešené oblasti na konečný počet podoblastí (prvků), které mohou být 1D, 2D, 3D. Je tedy potřeba na modelu tělesa vytvořit síť konečných prvků. Na Obr. 1.11 je na modelu vytvořena síť v softwaru Ansys Workbench, je použito pokročilé nastavení s funkcí fixed. Pro každý typ prvku je kromě dimenze a tvaru charakteristický počet a poloha uzlů. Uzly sítě jsou body u kterých hledáme neznámé parametry řešení, např. natočení a posuvy z kterých se dále počítají napětí aj. Hustota a topologie elementů sítě zásadně ovlivňuje kvalitu výsledků a potřebnou hardwarovou kapacitu pro řešení. Výslednou přesnost výsledků také ovlivňuje geometrická kvalita samotné sítě prvků. V současnosti na vhodnou geometrii prvků dohlíží používaný software.

Obr. 1.11 Ukázka sítě konečných prvků (Ansys Workbench)

Síť konečných prvků je složena ze dvou základních entit, z prvků (elements) a uzlů (nodes). Na Obr. 1.14. jsou ukázány elementy s vyznačenými uzly. Základním prvkem je rovinný lineární trojúhelník (Obr. 1.12), který obsahuje 3 uzly se šesti deformačními parametry. Pomocí těchto trojúhelníkových prvků lze automatickými generátory sítě pokrýt jakoukoli tvarově nepravidelnou oblast (22).

Obr. 1.12 Trojúhelníkový prvek (22) Obr. 1.13 Čtyřstěnný prvek (22) Výše zmíněný prvek je pouze plošný a lze jej využívat pro jednodušší síťování plošných materiálů. Tím je možné významně zkrátit výpočetní čas. Pro velké množství modelů je ovšem toto zjednodušení nevhodné. Proto je možné použít nejjednodušší prostorový prvek - čtyřstěn (Obr. 1.13).Lze jej považovat za přímé rozšíření rovinného lineárního trojúhelníku do třetího rozměru.

Vyjma základního šestistěnu uvedeného na Obr. 1.14 a) je možné postupným vypouštěním stran, hran a vrcholů vytvořit řadu dalších odvozených tvarů (případy b),c)). Tvar na Obr. 1.14 a) je používán k vytváření mapovaných sítí (mapped meshing), kde bývá problém, aby na sebe řešené podoblasti vzájemné navazovaly a topologicky vyhovovaly rozdělení na malé krychle. Výhodou složitějšího síťování je nižší počet prvků a uzlů a tím menší nároky na výpočetní čas než při mapování nejjednodušším čtyřstěnem.

Obr. 1.14 Osmiuzlový šestistěn a jeho tvarově degenerované podoby (22)

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI KNT

Do skupiny složitějších prvků patří elementy s kvadratickým základem.

Charakterem těchto prvků jsou uzly na hranách elementů, nejen ve vrcholech. Posuvy uzlů i geometrie jsou popsány kvadratickým polynomem, který umožní lepší aproximaci výsledku. Obr. 1.15 případ a) popisuje základní šestistěnný prvek, který má 20 uzlových bodů v 8 vrcholech a na 12 hranách. Tento prvek tedy celkem obsahuje 60 deformačních parametrů. Použitím těchto prvků pro síťování lze dosáhnout přesnějších výsledků ovšem při vyšším nároku na hardware a výpočetní čas.

Vypuštěním stěn, hran či uzlů lze dosáhnout i jiných jednodušších forem prostorových prvků Obr. 1.15 b) c) d).(22)

Obr. 1.15 Dvacetiuzlový šestistěn a jeho tvarově degenerované podoby (22) Základ algoritmu MKP u zatíženého materiálu spočívá v hledání spojitého posuvu jako lineární kombinaci předem vhodně zvolených bázových funkcí a neznámých posuvů dvou uzlů Obr. 1.16. (21)

Obr. 1.16 Schéma posuvu 1D elementu (18) Matematicky vyjádřeno rovnicí (1.21)

(1.21)

kde je zvolená bázová funkce.

Stejným způsobem jsou aproximovány i průběhy na ostatních prvcích. Sdílení společného uzlu mezi dvěma prvky znamená i sdílení téhož deformačního parametru. Je

Pro hledané neznámé posuvy je východiskem Lagrangeův variační princip , podle kterého se zatížené těleso deformuje tak, že rozdíl W-P je minimální (1.22)

(1.22)

kde W je energie napjatosti a P značí potenciál vnějšího zatížení.

Tento funkcionál představuje potenciální energii závisící na spojitých funkcích hledaných posuvů. Hledané funkce posuvů jsou takové, aby funkcionál měl minimální hodnotu, což znamená, že variace funkcionálu je rovna nule.

MKP, jak již bylo zmíněno, je přibližná metoda, tzn., že musíme a priori předpokládat, že získané řešení je zatížené chybami. Chyby je možné rozdělit na dvě základní skupiny, chyby modelu (rozdíl mezi realitou a simulací) a chyby metody (rozdíl řešení diskrétního modelu a řešení v kontinuu). Za druhou chybu lze považovat chyby diskretizační, formulační a numerickou.

Diskretizační chyba vzniká nahrazením spojité oblasti konečným počtem prvků.

Záleží tedy, jak vysokým počtem uzlů a elementů zkoumanou oblast nahradíme. Z toho vyplývá, že diskretizační chybu lze ovlivnit správně vytvořenou sítí. Lze říci, že čím více elementů, tím více se blížíme spojitému řešení problému.

Formulační chyba souvisí s volbou typu elementu, přesněji s volbou aproximační funkce nad elementem popisující jeho chování. Velikost formulační chyby lze ovlivnit správnou volbou elementu a vhodným návrhem sítě.

Numerická chyba vyplývá jednak z práce počítače s reálnými čísly a také, že při výpočtu integrací a derivací jsou použity přibližné numerické metody. V dobře navrženém programu MKP je numerická chyba zanedbatelná vůči chybě formulační.

(19)

Mezi základní podmínky konvergence lze zahrnout, že na hranici mezi prvky i uvnitř prvku musí aproximované posuvy splňovat minimální požadavky spojitosti závislé na typu úlohy. Dále, že při posuvu prvku jako tuhého celku musí zůstat napětí i přetvoření nulová. A v neposlední řadě, že prvek musí být schopen přesně popsat stav přetvoření. Uživatelé komerčních systémů nemusí tato kritéria ověřovat, musí dát ovšem pozor na spojování různých typů prvků v jedné úloze, pak může snadno dojít k porušení požadavku o minimální spojitosti prvku.

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI KNT

Konvergenci řešení je možné dosáhnout zvyšováním počtu prvků. Jedná se o zásadní požadavek, aby bylo možné přiblížení spojitému řešení. Je dokázána monotónní konvergence zdola (21). Vypočtené posuvy jsou při stejném zatížení obecně menší, než jsou posuvy skutečné. Z toho vyplývá, že diskretizovaný model je tužší než spojitý (Obr. 1.17). (21)

Obr. 1.17 Konvergence řešení (21)

Základním problémem odhadu diskretizační chyby vzhledem ke spojitému řešení spočívá v tom, že přesné řešení není známo. Vychází se tedy proto z míry kontinuity numericky získaných napětí na hranici mezi prvky (Obr. 1.18). Představu o celkové energetické chybě dává celková vyšrafovaná plocha mezi vyhlazeným a nevyhlazeným průběhem napětí u řešené úlohy prutu (Obr. 1.19).

Obr. 1.18 Rozdíl kontinuity dle druhu

řešení (18) Obr. 1.19 Příklad energetické chyby (18)

Model při dané hustotě sítě je nejefektivnější, když je hodnota energetické chyby pro všechny prvky stejná. Tato informace může být použita pro případné úpravy a zjemňování sítě. (21)

Síť lze po analýze chyby upravit a výpočet opakovat. Diskretizační chybu výpočtu lze snížit dvojím způsobem. První způsob spočívá ve zvyšování počtu prvků a uzlů při zachování stejného typu prvků (h-konvergence) (Obr. 1.20). Druhý způsob je zvyšování stupně polynomu aproximace posuvů (p-konvergence). Síť zůstává nezměněna, ale prvky jsou doplňovány o vyšší aproximační polynomy. Samozřejmostí je i kombinace obou přístupů. Nutno zmínit, že v praxi přílišné zjemňování sítě a zvyšování stupně polynomu na úkor mnohonásobně vyššího výpočetního čas nevede naprosto vždy k přesnějšímu řešení daného problému.

Obr. 1.20 Úpravy modelu při použití h-konvergence (18)

1.3.1 Programy podporující MKP

Rozvoj samočinných počítačů vedl k paralelnímu vzniku velkého množství programů MKP. Zpočátku byly vyvíjeny jen ve výzkumných ústavech a na univerzitách. Postupem času vedl vývoj MKP k vzniku velkých programů na komerční bázi a zvyšovala se jejich dostupnost. V současné době lze získat některé programy MKP i na bázi Open Source software.

Salome

Tento program byl vyvinut ve Francii v roce 2000 společností OpenCASCADE, který se specializuje na vývoj a integraci numerické simulace kódů. Dokáže řešit úlohy statické strukturální mechaniky, mechaniky tekutin a termomechaniky. Program funguje na bázi Open Source. Tvůrci nabízejí školení a online poradenství, které ovšem už je zpoplatněné.

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI KNT

Program Salome, jako jeden z mála free softwarů obsahuje celou sadu nástrojů pro vytvoření analýzy. Není nutné programovat a přidávat další aplikace, což je pro běžného uživatele velice výhodné. Nevýhodou je velice nepohodlné zadávání geometrie, proto je vhodné si model materiálu připravit v jiném prostředí. Vytváření sítí konečných prvků pracuje pouze se základními možnostmi tvorby sítí. Mezi další nevýhody je nutné zařadit ne příliš rozsáhlá nápověda a ne příliš jasné vykreslování výsledků. Celkově tento program nepřináší příliš pohodlné uživatelské prostředí.(23)(24)

COMSOL Multiphysics

Tento program vytvořili tvůrci výpočetního programu MATLAB. První verze Comsolu se objevily v roce 1986 a byly navrženy pracovníky v Royal Institue of Technology ve Stockholmu. Comsol je určen pro vědecké účely, ale i pro praktické užití konstruktérů, pro které je pro zjednodušení práce importováno mnoho předdefinovaných typových úloh. Základní verze obsahuje všechny potřebné funkce k vytvoření modelu od definování geometrie, zadání okrajových podmínek, vytvoření sítě až po řešení a vizualizaci výsledků. Bezesporu největší výhodou tohoto softwaru je možnost těsného propojení s nástrojem pro technické výpočty a simulaci v MATLAB, kde mají uživatelé možnost využití výpočetní síly MATLABu i flexibilitu jeho aplikačních knihoven. Spojení s MATLABEM také pomůže řešení mnoho obtížně řešitelných úkonů, např.: tvorbu uživatelských aplikací, úpravy modelů, optimalizace, aj. Tato výhoda s sebou nese i nevýhodu, která spočívá ve vlastnictví licence na oba softwary. Aby byla možnost využít COMSOL Multiphysics v plné šíři patří k finančně náročnějším programům MKP. (25)

Roshaz

Komerční systém vytvořený v Anglii v roce 2002, který ovšem poskytuje okleštěnou demo verzi ve které lze řešit jednodušší úlohy. Je schopný řešit úlohy lineární statické strukturální analýzy, nelineární statiky, plasticity, termodynamiky.

Výhodou tohoto programu je velmi nízká cena a možnost importu velkého množství typů souborů. Proto je vhodné si model řešeného problému předpřipravit v pohodlnějším prostředí CAD systému k modelování určeném. K nevýhodám patří složitější tvorba sítě konečných prvků a nepřináší příliš široký výběr možností k řešení

SCIA Engineer

Tento systém byl původně navržen a vyvinut v 70. letech jako komplexní nástroj pro stavební inženýry a projektanty. Software je primárně určen pro statickou a dynamickou analýzu konstrukcí, umožňuje kromě vlastního výpočtu provádění posudků výsledného návrhu podle odpovídajících technický norem.

Hlavní výhodou programu je jeho přehlednost a intuitivní ovládání. I bez

Společnost ESI (Engineering Systems International) založenou ve Francii roku 1975 je možné považovat za jednoho z průkopníků komplexních softwarů podporující virtuální tvorbu prototypů. Společnost nabízí široký sortiment softwarů, kde jsou jednotlivé softwary schopny simulovat téměř všechny stupně výrobního procesu v mnoha odvětvích průmyslu. Softwary jsou zaměřené na virtuální výrobu - QuikCAST (slévárenství), PAM-STAMP (tváření plechů); PAM-CRASH (virtuální realizaci nárazových zkoušek), PAM-COMFORT (komfort textilních a polyuretanových materiálů především autosedaček); virtuální prostředí - SYSTUS (pokročilé analýzy přenosu tepla, elektrotechniky, mechaniky); v neposlední řadě také virtuální realita - IC.IDO (možnost nahradit fyzické prototypy autentickým prostředím v simulaci). Pro plné využití programů je potřeba velké zručnosti a zkušeností.(29)

1.3.2 ANSYS

Komerční program, který má dlouholetou tradici. První verze vznikla v roce 1970 v USA. Produkty společnosti ANSYS Inc. jsou určeny pro analýzy metodou konečných prvků. Ansys je obecně nelineární, multifyzikální program zahrnující strukturální analýzu (statika, dynamika, pružnost pevnost, deformační stabilita), rázové děje, vedení tepla, proudění, elektromagnetické pole, elektrostatiku, akustiku, lomovou mechaniku a kompozity. Software umožňuje provádět také kontrolní výpočty a na jejich základě následně provádět potřebné optimalizace. Lze také provádět hodnocení únavy

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI KNT

a životnosti. Možnosti programu jsou tak široké, že není prakticky možné, aby se bez placených školení v programu uživatel naučil sám. (20)

Pro vypracování modelu v této diplomové práci byl použit software ANSYS Workbench (Obr. 1.21), který je přístupný na Univerzitě a splňuje všechny požadavky pro inženýrské práce. Umožňuje pohodlný import z několika CAD formátů např.: .sat, .sab, .model, .dwg, .ipt, .iam, dále pak i formáty z jiných softwarů a řešičů např.: .def, .res, .bak, .xlm.

Obr. 1.21 Logo ANSYS Inc. (20)

Mezi velké výhody programu patří velice široké možnosti řešení rozmanitých fyzikálních úloh (Obr. 1.22). Mezi velké klady oproti dalším programům patří velká škála možností nastavení jednotlivých konečných prvků a sítě konečných prvků, dále pak okamžité výstupy do textových dokumentů, okamžitá tvorba obrázků (identická s pracovní plochou). S Ansysem je možné propojit několik často používaných CAD systému pro tvorbu modelů, mezi které patří např. SolidWorks, Autodesk Inventor, Creo. Největší nevýhodou tohoto softwaru je jeho velká cena.

Obr. 1.22 Ukázka grafického řešení v Ansys Workbench

1.3.3 Obecný postup tvorby MKP modelu

Práci v softwarech MKP lze rozdělit na dva základní okruhy a těmi jsou, příprava výpočtového modelu a analýza výsledků pro řešené soustavy.

Nejdříve je nutné vytvořit model či soustavu modelů dle reálných rozměrů předmětů, které jsou objektem řešení. Většina programu MKP má v sobě integrované pracovní prostředí pro vytváření takových modelů a není problém v nich vytvořit jednoduché tvary (Obr. 1.23). Složitější geometrie je vhodnější vytvořit v modelovacích programech k tomu určených. A poté je importovat do softwaru MKP. Import složitějších sestav může být u některých programů složitější, protože mohou nastat komplikace s vazbami nebo i s jednotkami.

Obr. 1.23 Návrh jednoduché geometrie v Ansys Workbench

K připravenému modelu je třeba zvolit výpočetní analýzu, kterou bude úloha řešena. Dále je třeba zvolit materiálový model, který odpovídá vlastnostem materiálu.

Pokud se nejedná o konvenční běžně používaný materiál, který je možné přidat z knihovny, jsou tyto kroky jedním z největších úskalí celého řešení problému.

Pokud se jedná o řešení soustavy komponentů jako následující krok je nutné zvolit materiály dílů a jejich vzájemné působení (vazby). A je také nutné do modelu či řešené soustavy nadefinovat zatížení a okrajové podmínky (Obr. 1.24). Je možné vybírat z mnoho druhů podpor a zatížení, které umožní se přiblížit reálným podmínkám.

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI KNT

Následuje síťování, které u složitějších modelů může být obtížnější. U většiny programů MKP je možné vytvořit síť defaultně. Často však nejsou elementy vhodně uspořádány nebo nemají vhodný tvar a velikost a je nutné je upravit, aby vyhovovaly potřebám uživatele. Na Obr. 1.25 je vytvořena na modelu držáku síť o 4709 elementech a 9166 uzlech. Často je využíváno zahuštění sítě v místech předpokládaných, kde se předpokládají problémy. Tím se model složený z prvků více přiblíží kontinuu a zvýší se přesnost výpočtu aniž by s mnohonásobně zvýšil výpočetní čas.

Obr. 1.24 Zavedení podpor a zatížení Obr. 1.25 Meshing

Zesíťováním a zavedením okrajových podmínek a zatížení jsou splněny všechny podmínky potřebné pro spuštění výpočtu. Dále zbývá pouze definovat, jaké budou pro řešenou soustavu vykresleny výsledky (Obr. 1.26).