Konvergensanalys

Som tidigare nämnts diskretiseras geometrin för en modell i mindre delar. Dessa delar utgör tillsammans en ”mesh”. Valet av elementstorlek är av stor betydelse i en FE-modell. För samtliga modeller som redovisas nedan har en elementstorlek valts till sådan storlek att värden konvergerar, det vill säga att en minskad elementstorlek inte längre leder till en skillnad för egenfrekvenser större än +/- 5 %. I nedanstående tabell redovisas de elementstorlekar som har valts (i grönt) samt hur värden konvergerar för de olika modellerna. För samtliga analysmodeller valdes slutligen en elementstorlek på 0,1 m.

Tabell 4.11: Illustration av konvergens för elementstorlekar

Elementstorlek 0,5 0,25 0,1 0,08 0,05

Balkmodell f1 2,4510 2,4510 2,4509 - 2,4509 Balk/skalmodell f1 2,3968 2,3942 2,3934 - 2,3932 Skalmodell f1 2,3526 2,3828 2,3916 2,3920 -

-1 -0,5 0 0,5 1

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Inkrement

5 Resultat

I detta kapitel framförs de resultat som har anskaffats vid undersökning av Bellevuebrons teoretiska egenfrekvenser och accelerationer. I Kapitel 5.1 redovisas de beräknade komfortresultat Bellevuebron förväntas anta då den utreds enligt Sétras analytiska modell. I Kapitel 5.2 redovisas resultat från den dynamiska analysen i Brigade Plus. Vidare presenteras hur en minskad plåttjocklek i lådbalkarna och ökad kritisk dämpningskvot skulle påverka accelerationer i Kapitel 5.3 respektive 5.4.

5.1 Resultat av analytisk modell

Följande beräkningar är utförda för strukturens första svängningsmod och i Bellevuebrons fjärde och längsta brospann (se Figur 3.2). Detta brospann har en längd på 40 meter och anses i

beräkningsmodellen vara fritt upplagd på underliggande pelare.

5.1.1 Yttröghetsmoment

Beräkningar av Bellevuebrons yttröghetsmoment har utgått ifrån det brotvärsnitt som WSP har tagit fram (se Figur 3.3). Enbart de två längsgående balkarna samt den mellanliggande stålplåten har antagits bidra till tröghetsmomentet kring y- och z-axeln.

𝐼𝑦= 0,0752 m⁴ 𝐼𝑧= 3,449 m⁴

5.1.2 Strukturens egentyngd

Vid beräkning av strukturens totala massa har egentyngden från Bellevuebrons två längsgående stållådbalkar, längsgående stålplåt, tvärbalkar i stål och en övre beläggning av betong beaktas.

𝑚 = 4474 kg/m 5.1.3 Trafikklass

Då Bellevuebrons projektering fortfarande är i tidigt skede och beslut om trafikklass ännu inte har fastställts, utförs beräkningarna för Bellevuebron i samtliga tre trafikklasser.

5.1.4 Egenfrekvens och acceleration

Egenfrekvens för en fritt upplagd bro beräknas enligt ekvation 5.1.

𝑓𝑛=𝑛²∙ 𝜋 𝜌𝑆= Brons massa per meter

Maximal acceleration bron utsätts för beräknas enligt Ekvation 5.2.

𝐴 = 1 4𝐹

(5.2)

26

F= Påförd dynamisk last per kvadratmeter 𝜉= Brons dämpning

𝜌𝑆= Brons massa per meter 5.1.5 Vertikala svängningar

De olika trafikklasserna beskriver en egen förväntad trafikbelastning. Trafikklass III uppger en

maximal trafikantdensitet (d) på 0,5 trafikant/m², trafikklass II uppger maximalt 0,8 trafikant/m² och trafikklass I uppger maximalt 1,0 trafikant/m². Detta innebär att Bellevuebrons maximala totala trafikantbelastning (𝑛_p) för de olika trafikklasserna förväntas vara:

Trafikklass III= 0,5 st/m²∙ 6,5m ∙ 161m = 523st Trafikklass II= 0,8 st/m²∙ 6,5m ∙ 161m = 837 st Trafikklass I= 1,0 st/m²∙ 6,5m ∙ 161m = 1046 st Trafikanternas massa per meter farbana (𝑚𝑝):

Trafikklass III= (523 st ∙ 70 kg)/161m = 227 kg/m Trafikklass II= (837 st ∙ 70 kg)/161m = 364 kg/m Trafikklass I= (1046 st ∙ 70 kg)/161m = 455 kg/m där en trafikants medelvikt antas vara 70 kg.

Bellevuebrons massa per meter inklusive trafikanter (𝜌𝑆):

Trafikklass III= 4474 + 227 = 4701 kg/m Trafikklass II= 4474 + 364 = 4838 kg/m Trafikklass I= 4474 + 455 = 4929 kg/m

Första vertikala svängningsmoden beräknas för både en hög och låg frekvens. Brons första

svängningsmod i låg frekvens beräknas genom att beakta brons massa per meter (S) utan inverkan av trafikanternas vikt, medans svängningsmoden i hög frekvens beaktar bron med trafikanternas vikt.

Beräkning av Bellevuebrons höga- och låga frekvens för första svängningsmoden enligt Ekvation 5.1:

Trafikklass III

𝑓_{1 hög}= 1²∙ π

2 ∙ 40²∙ √210 ∙ 10⁹∙ 0,07520

4474 = 1,84 Hz

Beräkning av dynamisk utbredd last beräknas enligt Ekvation 5.3 för GC-broar i trafikklass II-III och enligt Ekvation 5.4 för GC-broar i trafikklass I.

𝐹_s= 𝑑 ∙ (280N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 𝑓 ∙ 𝑡 ∙) 10,8 ∙ √𝜉

𝑛∙ 𝜓 (5.3)

𝐹s= 𝑑 ∙ (280N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 𝑓 ∙ 𝑡 ∙) 1,85 ∙ √1

𝑛∙ 𝜓 (5.4)

Lastreducerandefaktor  är lika med 1,0 för samtliga trafikklasser då egenfrekvensen för svängningsmoden ligger inom registret med högst risk för resonans (1,7-2,1 Hz).

Bellevuebrons dämpning (𝜉) uppskattas till 0,4 % enligt Tabell 4.6.

Trafikklass III

𝐹s= 0,5 ∙ (280N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ 𝑡) 10,8 ∙ √0,004

523 ∙ 1 = 4,18 ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ 𝑡 ∙) N/m² 𝐹 = 𝐹_s∙ 𝑙 = 4,18N/m²∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ 𝑡) ∙ 6,5m = 27,18 ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ 𝑡 ∙) N/m Trafikklass II

𝐹s= 0,8 ∙ (280N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ 𝑡) 10,8 ∙ √0,004

837 ∙ 1 = 5,29 ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,77 ∙ 𝑡 ∙) N/m² 𝐹 = 𝐹_s∙ 𝑙 = 6,69N/m²∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ t) ∙ 6,5m = 34,38 ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,77 ∙ 𝑡 ∙) N/m Trafikklass I

𝐹s= 1,0 ∙ (280N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ 𝑡) 1,85 ∙ √ 1

1046∙ 1 = 16,02 ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,76 ∙ 𝑡 ∙) N/m² 𝐹 = 𝐹s∙ 𝑙 = 16,02N/m²∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,80 ∙ 𝑡) ∙ 6,5m = 104,11 ∙ cos(2 ∙ π ∙ 1,76 ∙ 𝑡 ∙) N/m

Beräkning av Bellevuebrons maximala acceleration för första svängningsmoden enligt Ekvation 5.2:

Trafikklass III

𝐴𝑐𝑐max = 1 ∙ 4 ∙ 27,18

2 ∙ 0,004 ∙ 4701,4 ∙ π= 0,92 m/s² Trafikklass II

Accmax låg= 1 ∙ 4 ∙ 34,38

2 ∙ 0,004 ∙ 4838 ∙ π= 1,13 m/s² Trafikklass I

𝐴𝑐𝑐_{max låg}= 1 ∙ 4 ∙ 104,11

2 ∙ 0,004 ∙ 4929 ∙ π= 3,36 m/s² 5.1.6 Horisontella svängningar

28

Trafikanternas massa per meter farbana (𝑚𝑝):

Trafikklass III= (523 st ∙ 70 kg)/161 m = 227 kg/m Trafikklass II= (837 st ∙ 70 kg)/161 m = 364 kg/m Trafikklass I= (1046 st ∙ 70 kg)/161 m = 455 kg/m Bellevuebrons massa per meter inklusive trafikanter (𝜌𝑆):

Trafikklass III= 4474 + 227 = 4701 kg/m Trafikklass II= 4474 + 364 = 4838 kg/m Trafikklass I= 4474 + 455 = 4929 kg/m

Beräkning av Bellevuebrons höga- och låga frekvens för första svängningsmod enligt Ekvation 5.1:

Trafikklass III

Beräkning av dynamisk utbredd last beräknas enligt Ekvation 5.5 för GC-broar i trafikklass I och enligt Ekvation 5.6 för GC-broar i trafikklass II-III.

𝐹_s= 𝑑 ∙ (35N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 𝑓 ∙ 𝑡 ∙) 1,85 ∙ √1

𝑛∙ 𝜓 (5.5)

𝐹s= 𝑑 ∙ (35N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 𝑓 ∙ 𝑡 ∙) 10,8 ∙ √𝜉

𝑛∙ 𝜓 (5.6)

Lastreducerande faktor  är lika med 0,0 för samtliga trafikklasser då frekvensen för första svängningsmoden ligger utanför registret med högst risk för resonans (0,3-1,3 Hz).

Trafikklass III

𝐹s= 0,5 ∙ (35N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 𝑓 ∙ 𝑡 ∙) 10,8 ∙ √0,004

523 ∙ 0 = 0 N/m²

Trafikklass II

𝐹s= 0,8 ∙ (35N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 𝑓 ∙ 𝑡 ∙) 10,8 ∙ √0,004

837 ∙ 0 = 0 N/m²

Trafikklass I

𝐹s= 1,0 ∙ (35N) ∙ cos(2 ∙ π ∙ 𝑓 ∙ 𝑡 ∙) 1,85 ∙ √ 1

1046∙ 0 = 0 N/m²

Beräkning av Bellevuebrons maximala acceleration för första svängningsmoden enligt Ekvation 5.2:

Trafikklass III 5.1.7 Sammanfattning av resultat

Genom jämförelse av Bellevuebrons beräknade vertikala acceleration, för de olika trafikklasserna, med de gränsvärden Sétra presenterar i Tabell 4.1 kan slutsatser om brons förväntade komfort dras.

Resultaten visar att gångtrafikanternas upplevda komfort anses bli oacceptabel (accelerationsintervall 4) i trafikklass I, acceptabel men med, för trafikanterna, märkbara svängningar (accelerationsintervall 3) i trafikklass II och slutligen acceptabel med, för trafikanterna, knappt märkbara svängningar i klass III.

Accelerationsberäkningarna i horisontellt tvärgående riktning visar att Bellevuebron, oavsett vald trafikklass, inte förväntas få några problem gällande svängningar. Anledningen till detta kan härledas till Bellevuebrons höga tröghetsmomentet kring z-led, vilket medför att brons lägsta egenfrekvens beräknas till ca 12 Hz för samtliga trafikklasser. Den höga egenfrekvensen anses ligga så pass långt över det riskintervall (0,3-1,3 Hz) där resonans förväntas uppstå och av detta skäl reduceras samtlig

dynamisk last fullständigt (se Figur 4.3).

Resultaten av Sétras anlytiska modell visar att Bellevuebron placerad i trafikklass I inte uppfyller de minimikrav Sétra ställer på komforten för GC-broar, därav måste aktuell utformning av bron anpassas på ett sätt som får egenfrekvenserna att hamna utanför frekvensintervall med störst risk för resonans (1,7-2,1 Hz). Då Bellevuebron studeras i trafikklass II visar accelerationsresultaten, enligt Sétra, en låg men acceptabel komfort. I detta fall bör Bellevuebrons beställare överväga om det låga

komfortresultatet är tillräckligt bra för att leda projekteringsprocessen vidare. Hänsyn bör här tas till brons relativt långa övergångstid samt gångbanans höjdnivå över mark. Om Bellevuebron däremot studeras i trafikklass III anses den maximalt möjliga acceleration bron utsätts för vara av den storlek att en medelgod komfort uppnås, men även i detta fall bör Bellevuebrons beställare ta hänsyn till övergångstid och gångbanans höjd över mark.

30

5.2 Resultat av FE modellerna

Nedan presenteras erhållna resultat från beräkningar i Brigade Plus för samtliga tre modeller parallellt.

Analysen begränsades till en rimlig klass eftersom att en analys av samtliga klasser inte var möjlig i mån av tid. Bron anses vara i klass II eftersom att den ligger i Stockholm och kan tidvis lastas utöver sin hela yta. Klass II innebär att egenfrekvenser tas fram för tom bro och för bro som är lastad med 0,8 personer per m² á 700N (70kg) som nedan benämns ”full bro”. I klass II undersöks fall 1 och fall 3 enligt Sétra och svängningsmoder som hamnar i frekvensintervallet 1-2,6 Hz för fall 1 och 2,6-5 Hz för fall 3 undersöks. Laster är framtagna enligt Sétra som är beskrivet i Kapitel 4.1. Egenfrekvenser och tillhörande svängningsmoder beräknades i en linjär egenvärdesanalys varpå laster applicerades i en modal analys.

Tabell 5.1: Sammanställning av vikter och frekvenser för de fem första modformerna

Balkmodell Balk/skalmodell Skalmodell

Massa tom bro 722000 kg 722000 kg 722000 kg

Massa full bro 781000 kg 781000 kg 781000 kg Modform 1 vertikal 2,45 Hz 2,39 Hz 2,39 Hz Modform 2 vertikal 3,42 Hz 3,31 Hz 3,21 Hz Modform 3 vridande 3,88 Hz 5,23 Hz 3,55 Hz Modform 4 vertikal 4,00 Hz 3,80 Hz 3,72 Hz Modform 5 vertikal 4,78 Hz 4,48 Hz 4,29 Hz

Samtliga modeller och analyser utfördes med samma förutsättningar. De gjordes på samma dator och med samma inställningar vad gäller antal beräkningsprocessorer. Tid för respektive egenvärdesanalys följt av en modal analys presenteras i Tabell 5.2. Här bör även nämnas att detta är tiden för en analys och flertalet analyser måste utföras med tom respektive full bro samt i olika fall.

Tabell 5.2: Sammanställning av analystider för de olika modellerna

Balkmodell Balk/skalmodell Skalmodell

Analystid ca 4 min ca 10 min ca 27 min

Horisontella sväningsmoder hamnar långt bortom det farliga intervallet och analyseras därför inte.

Tabell 5.3: Den första horisontella svängningsmoden för respektive modell

Balkmodell Balk/skalmodell Skalmodell

1:a horisontella moden 14,4 Hz 9,59 Hz 11,0 Hz

Nedan redovisas lastfall 1 för svängningsmod 1 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.2 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.2 och redovisas i Tabell 5.4a-5.4c. Modform och applicerad last illustreras i Figur 5.1a-5.1f.

Tabell 5.4a Last, frekvens och reduktionsfaktor för balkmodellen Balk Frekvens Reduktionsfaktor Last f1.1 tom bro 2,45 Hz ψ = 0,30 1,58 N/m² f1.2 0,8 p/m² 2,36 Hz ψ = 0,49 2,57 N/m²

Tabell 5.4b Last, frekvens och reduktionsfaktor för balk/skalmodellen Balk/skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f1.1 tom bro 2,39 Hz ψ = 0,41 2,19 N/m² f1.2 0,8 p/m² 2,30 Hz ψ = 0,61 3,21 N/m²

Tabell 5.4c Last, frekvens och reduktionsfaktor för skalmodellen Skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f1.1 tom bro 2,39 Hz ψ = 0,42 2,20 N/m² f1.2 0,8 p/m² 2,30 Hz ψ = 0,61 3,22 N/m²

Figur 5:1a: Svängningsmod 1, balkmodell

Figur 5:1c: Svängningsmod 1, balk/skalmodell

Figur 5.1b: Applicerad last för balkmodell

Figur 5.1d: Applicerad last för balk/skalmodell

32 I Figur 5.2a-5.2f presenteras resultat från den modala analysen i Brigade Plus. Accelerationer plottas för en nod mitt i fack 4 där de maximala accelerationerna uppmättes.

-1,2 Figur 5.2a: Acceleration under 60

sekunder för balkmodell, tom bro

Figur 5.2c: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, tom bro

Figur 5.2e: Acceleration under 60 sekunder för skalmodell, tom bro

Figur 5.2b: Acceleration under 60 sekunder för balkmodell, full bro

Figur 5.2d: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, full bro

Figur 5.2f: Acceleration under 60 sekunder för skalmodell, full bro

Nedan redovisas lastfall 1 för svängningsmod 2 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.2 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.2 och redovisas i Tabell 5.5a-5.5c.

Egenfrekvenserna hamnar utanför det farliga intervallet 1,0-2,6 Hz och därmed reduceras lasten helt eftersom att 𝜓 = 0. Inga ytterliggare moder undersöks för lastfall 1.

Tabell 5.5a: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balkmodellen

Balk Frekvens Reduktionsfaktor Last f2.1 tom bro 3,42 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m² f2.2 0,8 p/m² 3,29 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

Tabell 5.5b: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balk/skalmodellen

Balk/skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f2.1 tom bro 3,31 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m² f2.2 0,8 p/m² 3,17 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

Tabell 5.5c: Last, frekvens och reduktionsfaktor för skalmodellen

Skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f2.1 tom bro 3,21 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m² f2.2 0,8 p/m² 3,07 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

Nedan redovisas lastfall 3 för svängningsmod 1 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.9 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.4 och redovisas i Tabell 5.6a-5.6c.

Egenfrekvenserna hamnar utanför det farliga intervallet 2,6-5 Hz och därmed reduceras lasten helt eftersom att 𝜓 = 0. Inga ytterliggare moder undersöks för lastfall 3.

Tabell 5.6a: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balkmodellen

Balk Frekvens Reduktionsfaktor Last f1.1 tom bro 2,45 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m² f1.2 0,8 p/m² 2,36 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

Tabell 5.6b: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balk/skalmodellen

Balk/skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f1.1 tom bro 2,39 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m² f1.2 0,8 p/m² 2,30 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

Tabell 5.6c: Last, frekvens och reduktionsfaktor för skalmodellen

Skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f1.1 tom bro 2,39 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

34

Nedan redovisas lastfall 3 för svängningsmod 2 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.9 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.4 och redovisas i tabell 5.7a-5.7c. Modform och applicerad last illustreras i Figur 5.3a-5.3f.

Tabell 5.7a: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balkmodellen

Balk Frekvens Reduktionsfaktor Last f2.1 tom bro 3,42 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m² f2.2 0,8 p/m² 3,29 Hz ψ = 0,86 1,32 N/m²

Tabell 5.7b: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balk/skalmodellen

Balk/skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f2.1 tom bro 3,31 Hz ψ = 0,89 1,17 N/m² f2.2 0,8 p/m² 3,17 Hz ψ = 0,71 0,94 N/m²

Tabell 5.7c: Last, frekvens och reduktionsfaktor för skalmodellen

Skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f2.1 tom bro 3,21 Hz ψ = 0,76 1,00 N/m² f2.2 0,8 p/m² 3,07 Hz ψ = 0,59 0,78 N/m²

Figur 5.3a: Svängningsmod 2, balkmodell

Figur 5.3c: Svängningsmod 2, balk/skalmodell

Figur 5.3e: Svängningsmod 2, skalmodell

Figur 5.3b: Applicerad last för balkmodell

Figur 5.3d: Applicerad last för balk/skalmodell

Figur 5.3f: Applicerad last för skalmodell

-1,2

I Figur 5.4a-5.4f presenteras resultat från den modala analysen i Brigade Plus. Accelerationer plottas för en nod mitt i fack 1 där de maximala accelerationerna uppmättes.

-1,2 Figur 5.4a: Acceleration under 60

sekunder för balkmodell, tom bro

Figur 5.4c: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, tom bro

Figur 5.4b: Acceleration under 60 sekunder för balkmodell, full bro

Figur 5.4d: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, full bro

36

Nedan redovisas lastfall 3 för svängningsmod 3 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.9 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.4 och redovisas i Tabell 5.8a-5.7c. Modform och applicerad last illustreras i Figur 5.5a-5.5e. Balkmodellen modellerades här med stela kroppar för att möjliggöra visuell identifikation av modformen. Observera att enbart fack 4 deformeras på grund av låsning för rotation runt x-axeln. Last appliceras inte för balk/skalmodellen eftersom att ψ=0.

Tabell 5.8a: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balkmodellen

Balk Frekvens Reduktionsfaktor Last f3.1 tom bro 3,88 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m² f3.2 0,8 p/m² 3,73 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m²

Tabell 5.8b: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balk/skalmodellen

Balk/skal Frekvens Reduktionsfaktor Last

f13.1 tom bro 5,23 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

f13.2 0,8 p/m² 5,12 Hz ψ = 0,00 0,00 N/m²

Tabell 5.8c: Last, frekvens och reduktionsfaktor för skalmodellen

Skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f3.1 tom bro 3,55 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m² f3.2 0,8 p/m² 3,47 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m²

Figur 5.5a: Svängningsmod 3, balkmodell

Figur 5.5c: Svängningsmod 3, balk/skalmodell

Figur 5.5d: Svängningsmod 3, skalmodell

Figur 5.5b: Applicerad last för balkmodell

Figur 5.5e: Applicerad last för skalmodell

-1,2 I Figur 5.6a-5.6d presenteras resultat från den modala analysen i Brigade Plus. Accelerationer plottas för en nod mitt i fack 4 längst ut på sidan av farbaneplatten. I balkmodellen modellerades en stel kropp mitt i fack 4 med samma bredd som farbaneplattan för att kunna mäta de maximala accelerationerna.

-1,2

Figur 5.6a: Acceleration under 60 sekunder för balkmodell, tom bro

Figur 5.6c: Acceleration under 60 sekunder för skalmodell, tom bro

Figur 5.6b: Acceleration under 60 sekunder för balkmodell, full bro

Figur 5.6d: Acceleration under 60 sekunder för skalmodell, full bro

38

Nedan redovisas lastfall 3 för svängningsmod 4 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.9 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.4 och redovisas i Tabell 5.9a-5.9c. Modform och applicerad last illustreras i Figur 5.7a-5.7f.

Tabell 5.9a: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balkmodellen

Balk Frekvens Reduktionsfaktor Last f4.1 tom bro 4,00 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m² f4.2 0,8 p/m² 3,84 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m²

Tabell 5.9b: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balk/skalmodellen

Balk/skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f3.1 tom bro 3,80 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m² f3.2 0,8 p/m² 3,63 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m²

Tabell 5.9c: Last, frekvens och reduktionsfaktor för skalmodellen

Skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f4.1 tom bro 3,72 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m² f4.2 0,8 p/m² 3,56 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m²

Figur 5.7a: Svängningsmod 4, balkmodell

Figur 5.7c: Svängningsmod 4, balk/skalmodell

Figur 5.7e: Svängningsmod 4, skalmodell

Figur 5.7b: Applicerad last för balkmodell

Figur 5.7d: Applicerad last för balk/skalmodell

Figur 5.7f: Applicerad last för skalmodell

-1,2

I Figur 5.8a-5.8f presenteras resultat från den modala analysen i Brigade Plus. Accelerationer plottas för en nod mitt i fack 5 där de maximala accelerationerna uppmättes.

-1,2 Figur 5.8a: Acceleration under 60

sekunder för balkmodell, tom bro

Figur 5.8c: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, tom bro

Figur 5.8b: Acceleration under 60 sekunder för balkmodell, full bro

Figur 5.8d: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, full bro

40

Nedan redovisas lastfall 3 för svängningsmod 5 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.9 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.4 och redovisas i Tabell 5.10a-5.10c. Modform och applicerad last illustreras i Figur 5.9a-5.9f.

Tabell 5.10a: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balkmodellen

Balk Frekvens Reduktionsfaktor Last f5.1 tom bro 4,78 Hz ψ = 0,28 0,37 N/m² f5.2 0,8 p/m² 4,59 Hz ψ = 0,51 0,67 N/m²

Tabell 5.10b: Last, frekvens och reduktionsfaktor för balk/skalmodellen

Balk/skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f5.1 tom bro 4,48 Hz ψ = 0,66 0,87 N/m² f5.2 0,8 p/m² 4,27 Hz ψ = 0,91 1,21 N/m²

Tabell 5.10c: Last, frekvens och reduktionsfaktor för skalmodellen

Skal Frekvens Reduktionsfaktor Last f5.1 tom bro 4,29 Hz ψ = 0,89 1,18 N/m² f5.2 0,8 p/m² 4,10 Hz ψ = 1,00 1,32 N/m²

Figur 5.9a: Svängsningsmod 5, balkmodell

Figur 5.9c: Svängningsmod 5, balk/skalmodell

Figur 5.9e: Svängningsmod 5, skalmodell

Figur 5.9b: Applicerad last för balkmodell

Figur 5.9d: Applicerad last för balk/skalmodell

Figur 5.9f: Applicerad last för skalmodell

-1,2

1,2 Maxvärde 0,47 m/s²

I Figur 5.10a-5.10f presenteras resultat från den modala analysen i Brigade Plus. Accelerationer plottas för en nod mitt i fack 3 där de maximala accelerationerna uppmättes.

-1,2 Figur 5.10a: Acceleration under 60 sekunder för balkmodell, tom bro

Figur 5.10c: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, tom bro

Figur 5.10b: Acceleration under 60 sekunder för balkmodell, full bro

Figur 5.10d: Acceleration under 60 sekunder för balk/skalmodell, full bro

42

5.3 Inverkan av minskad plåttjocklek

Som tidigare nämnts kunde det konstateras att kapacitetsutnyttjandet av tvärsnittet med hänsyn till statisk kapacitet var låg. Nedan redovisas påföljden i form av dynamisk respons av minskad

plåttjocklek i lådbalkarna från 25 mm till 20 mm till 15 mm. Här analyseras enbart balkmodellen för egenmod 1. Detta gjordes mot bakgrund av att det är just egenmod 1 som går ner i det farliga registret 1,7-2,1 Hz. Balkmodellen ansågs även ge fullgoda resultat för vertikala egenmoder och det är även den minst tidskrävande i beräkning och modelleringstid. Resultaten skall inte ses som en fullgod dynamisk analys av Bellevuebron med minskat tvärsnitt, utan som en fingervisning på inverkan av minskad plåttjocklek. I Tabell 5.11 redovisas tvärsnittsegenskaper för de olika plåttjocklekarna.

Tabell 5.11: Egenskaper för de olika tvärsnitten.

Plåttjocklek 25 mm 20 mm 15 mm

σök stöd 5. Lastkombinering enligt kapitel 3

197 MPa (56 %) 234 MPa (67 %) 297 MPa (85 %)

A, area 0,3556 m² 0,3114 m² 0,2667 m²

I11, tröghetsmoment kring Y 0,0752 m⁴ 0,0614 m⁴ 0,0473 m⁴

I12, tröghetsmoment kring YZ 0 0 0

I22, tröghetsmoment kring Z 3,449 m⁴ 2,862 m⁴ 2,270 m⁴

It, vridstyvhet 0.05392 m⁴ 0,0437 m⁴ 0,0333 m⁴

Nedan redovisas lastfall 1 för svängningsmod 1 för samtliga FE modeller. Lasten är räknad enligt Ekvation 4.2 och reduktionsfaktor enligt Figur 4.2 och redovisas i Tabell 5.12a-5.10c. Modform och applicerad last är lika den i Figur 5.1a-5.1f.

Balk t=25mm Frekvens Reduktionsfaktor Last

f1.1 tom bro 2,45 Hz ψ = 0,30 1,58 N/m²

f1.2 0,8 p/m² 2,36 Hz ψ = 0,49 2,57 N/m²

Balk t=20mm Frekvens Reduktionsfaktor Last

f1.1 tom bro 2,31 Hz ψ = 0,59 3,10 N/m²

f1.2 0,8 p/m² 2,21 Hz ψ = 0,78 4,11 N/m²

Balk t=15mm Frekvens Reduktionsfaktor Last

f1.1 tom bro 2,12 Hz ψ = 0,97 5,13 N/m²

f1.2 0,8 p/m² 2,02 Hz ψ = 1,00 5,29 N/m² Figur 5.11a: Acceleration under 60 sekunder

för plåttjocklek 25mm, tom bro.

-2 I Figur 5.11a-5.11f presenteras resultat från den modala analysen i Brigade Plus. Accelerationer plottas för en nod mitt i fack 4 där de maximala accelerationerna uppmättes.

-2 Figur 5.11a: Acceleration under 60 sekunder för plåttjocklek 25mm, tom bro.

Figur 5.11c: Acceleration under 60 sekunder för plåttjocklek 20mm, tom bro.

Figur 5.11b: Acceleration under 60 sekunder för plåttjocklek 25mm, full bro.

Figur 5.11d: Acceleration under 60 sekunder för plåttjocklek 20mm, full bro.

44

5.4 Inverkan av ökad kritisk dämpningskvot

Som tidigare nämnt i Kapitel 2.5 är den kritiska dämpningen av strukturen en mycket avgörande faktor för den dynamiska responsen. Enligt Shahabpoor (2012) kan den kritiska dämpningen öka med en faktor två på grund av enbart massan från stillastående människor på en bro. För att få en

uppfattning om hur pass mycket de maximala accelerationerna vid olika dämpningskvoter varierade för Bellevuebron utfördes en studie där den kritiska dämpningen ökades succesivt från 0,2% upp till 2%. Studien utfördes i en ”steady-state” analys för balkmodellen och illustreras i Figur 5.12. En last om 34 N/m applicerades för samtliga kritiska dämpningskvoter. Denna last har ingen koppling till den dynamiska analysen utan bara till för att visa hur accelerationer ändras med dämpningskvoten.

Figur 5.12: Respons för olika kritiska dämpningskvoter.

-1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6

2 2,5 3

Acceleration (m/s2)

Frekvens (Hz) ξ = 0,2%

ξ = 0,4%

ξ = 0,6%

ξ = 0,8%

ξ = 1%

ξ = 1,5%

ξ = 2%

6. Diskussion

I detta kapitel diskuteras de parametrar, metoder och resultat som presenterats. Diskussionerna är grundade på författarnas egna antaganden och den litteratur som presenterats i arbetet.

6.1 Dynamisk analys

Den dynamiska analysen av Bellevebron och det antagna tvärsnittet visar sig inte leva upp till Eurokods krav i någon av de tre modellerna. Enligt Sétras komfortnivåer hamnar balkmodellen i det medelgoda accelerationsintervallet. För balk/skalmodellen samt skalmodellen hamnar komfortnivån i det låga accelerationsintervallet. Det är de vertikala svängningsmoderna som är avgörande där lastfall 1 för svängningsmod 1 ger de största accelerationerna. Balkmodellen gav lägst accelerationer i samtliga lastfall, samtidigt är dess egenfrekvenser högst och därmed sänks lasten enligt lastreduceringsfaktorn (). Horisontella svängningsmoder utesluts helt i samtliga modeller eftersom att tvärsnittet är så pass styvt runt sin z-axel. Egenfrekvenserna hamnar långt över riskintervallet 0,3-1,3 Hz (Sétra, 2006).

Vridmoder är inte avgörande för Bellevuebron. För balkmodellen bör resultaten (Figur 5.6a samt 5.6b) iakttas med försiktighet eftersom att tvärbalkarna inte är modellerade. I balk/skalmodellen är egenfrekvenserna för vridmoden (Tabell 5.8b) så pass höga att laster inte skall appliceras enligt Sétra.

Då laster applicerades på vridmoden för skalmodellen uppmättes ett maximalt värde om 0,35 m/s² som är långt under Eurokodens gränsvärde 0,7 m/s². Denna modell ses dessutom som en relativt slank representation av hur bron eventuellt skulle utformas. Där tvärbalkarna ansluter mot lådbalkarna skulle förmodligen livplåtar användas i lådbalkarna och dessa skulle styva upp tvärsnittet och då öka egenfrekvenserna. I detta fall skulle en mer noggrann modellering inte leda till högre

accelerationsnivåer.

6.2 Metod

Sétras metod kräver tidigt en tydlig utredning av trolig trafikklass. Utöver detta måste här även beslut tas angående vilken lägsta komfortnivå som är acceptabel för brons trafikanter. Detta måste ske tillsammans med brons beställare för att säkerställa att rätt produkt projekteras. Om vi studerar de trafikklasser som beskrivs i denna metod kan vi konstatera att antagen trafikantbelastning, även i den lägsta klassen (trafikklass III), möjligtvis är i det högsta laget för större GC-broar. För Bellevuebron som har en förhållandevis stor gångbaneyta (1047 m²) innebär detta i lägsta trafikklass en konstant belastning av 523 trafikanter, vilket kan anses vara högt trots det att bron leder in till ett framtida högskoleområde. Eventuellt bör här antalet trafikklasser i Sétras metod utökas med ytterligare klasser med lägre belastning, då vald trafikklass har en stor inverkan på brons maximala acceleration och komfort.

För att fastställa den dynamiska last GC-bron utsätts för måste brons egenfrekvens vara känd. Ligger strukturens egenfrekvens inom intervall som stämmer överens med det från dess trafikanter riskerar bron att hamna i ett resonanstillstånd. Om brons egenfrekvens däremot ligger utanför dessa register anser Sétra att ingen risk för resonans föreligger. Då beräkningar visar att brons egenfrekvens ligger inom registret med risk för resonans använder sig Sétra av en reduceringsfaktor () för att avgöra storlek på den dynamiska lasten som ska belasta bron. Problematiken med denna reduktionsfaktor uppstår då brons egenfrekvens ligger i utkanten av detta riskregister. En liten missbedömning av brons egenfrekvens kan här resultera i att reduktionsfaktorn kan variera den dynamiska lastens storlek från obefintlig till maximalt möjlig. För att få pålitliga resultat innebär detta att stor vikt måste läggas på att beräkning av brons egenfrekvens stämmer överens med verkligheten. I denna rapport har olika metoder uppvisat olika värden för Bellevuebrons egenfrekvens. Då flertalet av dessa värden ligger i

46

beroende på hur brosvängningarna förväntas upplevas av GC-brons trafikanter. Då komfort är en känsla som uppfattas väldigt individuell blir det dock svårt att avgöra vad låg, medelgod eller god

beroende på hur brosvängningarna förväntas upplevas av GC-brons trafikanter. Då komfort är en känsla som uppfattas väldigt individuell blir det dock svårt att avgöra vad låg, medelgod eller god

In document Dynamisk analys av Bellevuebron (Page 36-70)