Dynamisk analys av Bellevuebron

Dynamisk analys av Bellevuebron

En jämförelse av olika modelleringsalternativ

Dynamic analysis of the Bellevue Bridge

A comparison of different modeling approaches

Författare: Petter Engblom

Fredrik Berg

Uppdragsgivare: WSP AB

Handledare: Leonardo Canales, WSP AB

John Leander, ABE Bro och Stålbyggnad Examinator: Raid Karoumi, ABE Bro och Stålbyggnad

Examensarbete: 15,0 högskolepoäng inom Byggteknik och Design Godkännandedatum: 2016-06-13

Serienummer: TRITA-BKN. 482, 2016

Sammanfattning

De senaste åren har utformningen av gång- och cykelbroar intagit en allt slankare design samtidigt som kraven har höjts på att bygga mer material och kostnadseffektivt. Detta innebär i många fall att broar konstrueras med allt längre spännvidder och med allt högre utnyttjandegrader i de bärande

konstruktionsdelarna. Detta har och kan leda till broar med dynamiskt kopplade problem. Om frekvensen för den dynamiska lasten, till exempel stegfrekvensen hos gångtrafikkanter, stämmer överens med någon av GC-brons egenfrekvenser kan resonans uppstå. Då resonans uppstår visar det sig som tydliga svängningar i bron. Dessa svängningar kan vara synliga för blotta ögat men är dock strukturellt ofarliga.

Syftet med detta examensarbete är att undersöka Bellevuebrons beteende vid dynamisk last och hur olika val i modelleringprocessen påverkar det slutliga resultatet. Vidare undersöks om en förenklad, mindre tidskrävande modellering kan ge tillräckligt underlag för att uppskatta brons egenfrekvenser och accelerationer. Tre stycken FE modeller skapades utifrån ett och samma tvärsnitt där olika elementtyper användes. Egenfrekvenser beräknades för samtliga modeller varpå last från

gångtrafikanter applicerades enligt en metod som Sétra framställt. De erhållna resultaten jämfördes sedan med gränsvärden i Sétra, Eurokod samt ISO.

Den dynamiska analysen av Bellevuebron påvisade egenfrekvenser som låg inom det intervall där hög risk för resonans föreligger. De beräknade accelerationerna för vertikala svängningsmoder låg i samtliga modeller över de gränsvärden som presenteras i både Eurokod och ISO. Sétra presenterar olika komfortnivåer och enligt dessa nivåer uppnår bron i två av tre modeller låg komfortnivå. I den tredje modellen uppnås medelgod komfort.

Det konstaterades att beräknade egenfrekvenser stämde väl överens i de tre olika FE modellerna, dock med ett par viktiga undantag. Ökad användning av balkelement resulterade i högre egenfrekvenser i förhållande till de modellerna där skalelement användes, detta ledde till lägre maximala accelerationer för modeller med balkelement. Dessutom visade det sig att kopplingar mellan olika elementtyper ökade styvheten avsevärt och således gav överskattad vridstyvhet. Detta har i sin tur gett stora skillnader för beräknade egenfrekvenser för vridmoder.

En mindre tidskrävande modellering är möjlig där en snabb uppskattning av strukturens risk för

resonans efterfrågas. Däremot krävs en hög detaljeringsgrad med rätt val av elementtyper och

kopplingar i modelleringen för att kunna fastslå den kommande brons dynamiska beteende.

Abstract

In recent years, the design of pedestrian and cycle bridges has taken an increasingly slimmer design while demands have been raised to build more material- and cost effective. In many cases, this leads to bridges constructed with longer spans and increased utilization rates in the bearing structural parts.

This has and can lead to bridges with dynamically linked problems. If the frequency of the dynamic load, such as step frequency of pedestrians, match the bridge natural frequency, resonance can occur.

When resonance occurs, it appears as fluctuations in the bridge. These fluctuations may be visible to the naked eye but is structurally safe.

The aim of this thesis is to investigate the behavior of the Bellevue Bridge under dynamic load and how different choices in the modeling process affect the final result. Furthermore, investigations are made if a less time consuming modeling can provide sufficient results to calculate the natural frequency and peak accelerations of the bridge. Three FE models were created based on the same cross-section where different element types were used. The natural frequencies were then calculated for all the models on which load from pedestrians were applied according to a method Sétra has developed. The results obtained were then compared with the limit values in Sétra, Eurocode and ISO.

The dynamic analysis of the Bellevue Bridge showed natural frequencies that were within the range for which high risk of resonance exists. The calculated accelerations of vertical modes ended up below those limit values that both Eurocode and ISO present. Sétra presents different comfort levels and according to these levels the bridge reaches a low comfort level in two of the three FE models. The third model reaches moderate comfort.

It was found that the calculated natural frequencies was fairly consistent in the three different FE models, but with a few important exceptions. Increased use of beam elements resulted in higher natural frequencies compared to the models where shell elements were used, this in turn lead to lower peak accelerations for models with beam elements. In addition, it was found that tie constraints between different element types increased rigidity considerably and thus gave overrated stiffness. This caused large differences in calculated natural frequencies of torsional modes.

A less time-consuming modeling is possible where a rapid assessment of the structure's risk of

resonance is required. However, a high degree of detailing with the right choice of element types and

connections in the modeling is necessary to determine dynamic behaviour of the bridge.

Förord

Denna rapport är det avslutande kandidatarbetet efter tre års studier vid KTH Byggteknik och Design.

Arbetet omfattar 15 högskolepoäng och har utförts i samarbete med WSP AB:s broavdelning i Stockholm under 10 veckor våren 2016. I rapporten undersöks hur ett förslag till utformning av Bellevuebron påverkas av dynamiska laster från gångtrafikanter och hur val i FEM (finita elementmetoder) påverkar dess dynamiska beteende.

På WSP vill tacka vår handledare Leonardo Canales som har gjort detta examensarbete möjligt. Vi vill även rikta ett stort tack till Johan Wikblad och Fredrik Hernborg som har tagit sin tid och stöttat oss med tankar och ideér.

På KTH vill vi skänka ett speciellt tack till vår handledare John Leander, som med sin enorma kunskap inom området hjälpt oss med allt från modelleringsfrågor i Brigade Plus till att strukturera upp

rapporten. Stort tack till Jean-Marc Battini som under dessa tre års studier delat med sig av sin kunskap och som har varit drivande i att ta fram detta examensarbete.

Avslutningsvis vill vi tacka Johan Kölfors på Scanscot som tillhandahållit med licens i Brigade Plus

under examensarbetet samt våra opponenter Karl Nielsen och Mats Hagelstedt.

y z

Beteckningar

Symboler

Storhet Beteckning

Koefficient mostvarande den n:e egenfrekvensen i vertikal riktning 𝛼

Koefficient mostvarande den n:e egenfrekvensen i horisontell riktning 𝛼

Strukturens kritiska dämpningskvot (enhetslös) 

Densitet (kg/m

) 

Fasförskjutning från den n:e egenfrekvensen i vertikal riktning. 𝜙

Fasförskjutning från den n:e egenfrekvensen i horisontell riktning 𝜙

Vinkelfrekvens (rad/s) 

Reducerande faktor kopplad till risk för resonans 

Antal trafikanter per m

Elasticitetsmodul (N/m

)

Frekvens (Hz)

Yttröghetsmoment (m

)

Vridstyvhet (m

)

Antal frekvenser

Längd (m)

Antal trafikanter

Brobanearea (m

)

Variabel tid (s)

Statisk last av trafikant (N) 𝑄

Förkortningar

Brigade Plus FE modelleringsprogram

Eurokod Europeisk Standard

FEM Fenita Element Metoder

GC-bro Gång- och cykelbro

ISO Internationella standardiseringsorganisationen

Sétra

departementet för transport, väg- och broteknik och vägsäkerhet)

SIS Svenska Standard Institutet

x-led Alltid definierad i bron horisontella längdriktning y-led Alltid definierad i bron horisontella tvärriktning z-led Alltid definierad i brons vertikala riktning

x

Innehållsförteckning

Sammanfattning ... i

Abstract ... iii

Förord... v

Beteckningar... vii

Symboler ... vii

Förkortningar ... vii

Innehållsförteckning ... ix

1 Inledning ... 1

1.1 Bakgrund ... 1

1.2 Syfte ... 1

1.3 Avgränsningar... 1

1.4 Lösningsmetoder ... 2

2 Nulägesbeskrivning ... 3

2.1 Dynamiska laster av gångtrafikanter ... 3

2.2 Tidigare byggda broar med dynamiska problem ... 3

2.3 Regler och rekommendationer ... 4

2.3.1 Eurokod SS-EN 1990 ... 4

2.3.2 Sétra ... 5

2.3.3 ISO 10137 ... 5

2.3.4 Jämförelse ... 7

2.4 Finita elementmetoden ... 8

2.5 Dämpning ... 9

3 Bellevuebron ... 11

4 Dynamisk analys ...13

4.1 Beräkningsförutsättningar enligt Sétra ... 13

4.1.1 Bestäm brons klass ... 13

4.1.2 Bestäm komfortnivå ... 14

4.1.3 Bestäm brons egenfrekvenser ... 14

4.1.4 Dynamiskt lastfall ... 15

4.2 FE Modellering ... 19

4.2.1 Balkmodell ... 19

4.2.2 Balk och skalmodell ... 20

4.2.3 Skalmodell ... 22

4.2.4 Val av tidsinkrement ... 23

4.2.5 Konvergensanalys ... 24

5 Resultat ... 25

x

5.1.3 Trafikklass ... 25

5.1.4 Egenfrekvens och acceleration... 25

5.1.5 Vertikala svängningar ... 26

5.1.6 Horisontella svängningar ... 27

5.1.7 Sammanfattning av resultat ... 29

5.2 Resultat av FE modellerna... 30

5.3 Inverkan av minskad plåttjocklek ... 42

5.4 Inverkan av ökad kritisk dämpningskvot ... 44

6. Diskussion ... 45

6.1 Dynamisk analys ... 45

6.2 Metod ... 45

6.3 Analytisk metod enligt Sétra ... 46

6.4 Dämpning ... 46

6.5 FE Modellering ... 46

6.5 Minskad plåttjocklek ... 48

7 Slutsatser ... 49

8. Fortsatta studier ... 51

9. Litteraturförteckning ... 53

Bilaga A – Beräkningsresultat ur Section Editor ... A1

1 Inledning

1.1 Bakgrund

De senare åren har utformningen av GC-broar intagit en allt slankare design samtidigt som kraven har höjts på att bygga mer material och kostnadseffektivt (Heinemeyer, 2008). Detta innebär i många fall att GC-broar konstrueras med allt längre spännvidder och med allt högre utnyttjandegrader i de bärande konstruktionsdelarna. Detta kan i vissa fall leda till broar med dynamiskt kopplade problem.

Om frekvensen för den dynamiska lasten, till exempel stegfrekvensen hos gångtrafikkanter, stämmer överens med någon av GC-brons egenfrekvenser kan resonans uppstå. Då resonans uppstår visar det sig som tydliga svängningar i bron. Dessa svängningar kan vara synliga för blotta ögat men är dock strukturellt ofarliga, de kan däremot upplevas som obehagliga av trafikanterna. Millenium Bridge i London och Pont de Solférino i Paris är två senare exempel på GC-broar där resonans har medfört att broarna, efter driftsättning, har tvingats stängas ner och omkonstruerats med dämpande åtgärder.

För att undvika att nyproducerade GC-broar konstrueras på så sätt att risk för resonans kan uppstå gäller det att tidigt undersöka och bestämma strukturens egenfrekvenser. Detta är idag ett arbete som lämpligast utförs med datorstödda beräkningsmodeller, till exempel finita elementmetoden.

Då Stockholms stad nu undersöker behovet av en GC-bro mellan Bellevue park och Albano i

Roslagstull, har WSP AB fått i uppdrag att utreda möjligheterna med det förslag som har tagits fram.

Bellevuebrons slanka utformning och dess långa spännvidder leder till att bron riskerar att sättas i resonans och denna bro är därmed ett lämpligt objekt att studera i detta examensarbete.

1.2 Syfte

I detta arbete undersöks Bellevuebrons beteende vid dynamisk last och hur olika val i

modelleringsprocessen påverkar det slutgiltiga resultatet och om förenklad, mindre tidskrävande modellering kan ge tillräckligt underlag för att uppskatta strukturens egenfrekvenser och

accelerationer.

1.3 Avgränsningar

I arbetet undersöks hur dynamiska laster från Bellevuebrons gångtrafikanter påverkar bron. Andra yttre dynamiska påkänningar så som vindlaster och olyckslaster har här bortsetts ifrån, då detta anses ligga utanför denna rapport.

Då brons slutliga tvärsnitt ännu inte är fastställt har det förslag WSP tagit fram utgåtts ifrån. Bropelare har inte modellerats eftersom att det inte fanns någon definitiv utformning av dessa under arbetets gång. Egenfrekvenser och accelerationer studeras enbart i dess vertikala samt tvärgående horisontella riktning.

Den eventuella styvhet och dämpning som beläggningen på gångbaneplåten tillför har inte tagits hänsyn till i FE-modellerna annat än en tillförd massa. Argumentation kring detta sker i Kapitel 2.5.

Sétras tekniska guide (Sétra, 2006) har använts som riktlinjer för studien och resultaten har jämförts

med de föreskrivna gränsvärdena i Eurokod och den internationella standardiseringsorganisationen

(ISO). Sétras metod valdes eftersom att metoden ger en komplett handledning från beräkning av

egenfrekvenser till applicering av last och slutligen utvärdering av resultat. Hur och varför Sétra har

kommit fram till metoder i sin tekniska guide har utelämnats i denna studie. För att kunna genomföra

2

1.4 Lösningsmetoder

Arbetet inleddes med en litteraturstudie med syftet att orientera i ämnet och studera aktuella regler och rekommendationer samt teorier angående dynamiska laster från gångtrafikanter. Parallellt med detta modellerades enklare broar i Brigade Plus för att ge djupare förståelse i handhavandet av programmet och som förberedelse inför modelleringen av Bellevuebron.

Vidare modellerades Bellevuebron på tre olika sätt i FEM-programmet Brigade Plus; en ren balkmodell där tvärsnittets relativt komplexa geometri (se Kapitel 3 Bellevuebron) och egenskaper tilldelades en generaliserad balk, en modell där skal och balkelement kombinerades och en där enbart skalelement användes.

Parametrar och val i modelleringsprocessen som hade betydande roll i brons dynamiska beteende identifierades och utvärderades. De tre modellernas egenfrekvenser beräknades med hjälp av finita elementmetoden och dynamiska laster applicerades enligt Sétra. Maximal acceleration beräknades och jämfördes med gränsvärden enligt Sétra, Eurokod och ISO.

I arbetet användes en analytisk modell för att bestämma Bellevuebrons egenfrekvens och acceleration.

Metoden är förenklad och lämpar sig bäst för enklare broar. Vid beräkning av mer komplicerade broar med flertalet brofack i varierande längder bör denna metod beaktas med försiktighet.

Slutligen jämfördes modellerna och den analytiska metoden med hänsyn till modformer,

egenfrekvenser, dynamisk respons samt analys och modelleringstid.

2 Nulägesbeskrivning

Här problematiseras frågorna om de dynamiska laster som uppkommer på broar när de nyttjas av gångtrafikanter. Här redovisas även relevanta myndighetskrav och rekommendationer samt gränsvärden som måste tas i hänsyn. Ett par exempel på tidigare byggda broar med dynamiska problem redovisas även.

2.1 Dynamiska laster av gångtrafikanter

Då en människa går orsakar den vid varje steg en dynamisk, tidsberoende last som kan delas upp i tre kraftkomponenter: vertikalt, horisontellt i sidled och horisontellt i längsled (Bachmann, 1987). Denna last uppstår på grund av acceleration och retardation av människans massa och beror bland annat på gånghastighet, steglängd och underlagets utformning samt vikt.

I praktiken är broar belastade av flertalet gångtrafikanter som tillsammans utgör en grupp av människor som var och en ger upphov till olika laster som antar olika riktningar, frekvenser och amplituder. För att kunna applicera dessa i projekteringsskedet måste denna grupp av människor studeras med en teoretisk modell. Det vanligaste sättet att modellera denna grupp av människor är att anta att en människas båda fötter ger upphov till exakt samma last och att kraften är periodisk.

Metoden avgör sedan en uppskattad kvot av samtliga trafikanters dynamiska last som verkar på strukturen.

Det finns dock andra tillvägagångssätt som till exempel probabilistiska metoder där metoden är baserad på det faktum att en människa aldrig kommer att upprepa kraft-tid historiken under upprepade experiment. Här kan slumpmässighet på grund av gångfrekvens, vikt med mera som nämnts här ovan tas i beaktande och syftet är att kunna ta fram en trovärdig uppskattning av gruppens kraft utgående från enstaka individers krafter (Živanović, 2005).

2.2 Tidigare byggda broar med dynamiska problem

Det har sedan länge varit känt att broar kan vibrera och i värsta fall gå sönder på grund av laster från gångtrafikanter. Det förmodligen äldsta exemplet av en bro som har gått sönder på grund av

gångtrafikanter kommer från år 1831 i Broughton, England, då 60 soldater marscherade över en bro i takt och orsakade resonans i strukturen (Fernández, 2015). Detta exempel var orsaken till att man förbjöd militärer att marschera över broar världen över. Intill en hängbro vid Niagara Falls, USA stod det följande år 1860 (Taylor, 2002):

Ett annat känt exempel kommer från västra Frankrike där Angers Bridge kollapsade år 1850 då 483 militärer marscherade över bron och orsakade resonans i strukturen vilket medförde att 226 personer omkom (Brun, 2013).

På senare tid (1900 och framåt) har dynamiska problem inte gett upphov till kollaps, dock finns det broar som har haft stora problem med resonans där vibrationsdämpande åtgärder har vidtagits. Den mest omtalade är Millennium Bridge i London.

“A fine of $50 to $100 will be imposed for marching over this bridge in rank

and file or to music, or by keeping regular step. Bodies of men or troops must

be kept out of step when passing over this bridge. No musical band will be

allowed to play while crossing except when seated in wagons or carriages.”

4

blev så stora som upp till 75 mm, vilket fick människorna att sluta gå och hålla i sig i sidoräckena. Man begränsade härefter antalet personer som tilläts gå på bron samtidigt. Sidorörelserna var trots detta stora och två dagar senare, den 12 juni 2000 fick man lov att stänga av bron tills dess att problemen löstes.

Ett omfattande utredningsarbete av orsaken till dessa rörelser påbörjades av brons ingenjörer med hjälp av flertalet universitet. Man kunde konstatera att brons andra svängningsmod låg runt 1 Hz och att den last som en människa ger upphov till i sidled ligger vid halva gångfrekvenser, vilket är just 1 Hz (Bachmann, 1987). Även om inte alla dessa personer gick i takt vid invigningen så gjorde ett antal utav dem det och detta orsakade resonans i strukturen. Då bron började röra sig i sidled så försökte

trafikanterna på den kompensera sin gång för att hålla balansen och gick då i takt med brons rörelser (Sétra, 2006). Denna synkronisering medför att ett än större antal personer går i takt och de orsakar även större lateral kraft (Sétra, 2006). Detta fenomen kallas ”lock-in” och kan vara aktuellt i strukturer som Millennium Bridge med låg vridstyvhet kring z-axeln, lång spännvidd och slank konstruktion. För att begränsa de laterala svängningarna på Millennium bridge så installerades totalt 37 stycken viskösa dämpare under brodäcket.

2.3 Regler och rekommendationer

De nuvarande krav som ställs på GC-broar med avseende på dynamisk last från gångtrafikanter är tämligen otydliga. Det finns en hel del forskning på området men få praktiska tillämpningar och guider om hur laster skall appliceras och utvärderas. I detta kapitel beskrivs aktuella regler och

rekommendationer. Den första är en översikt över Eurokod SS-EN 1990, den andra är från det Franska Tekniska Myndigheten för Transport, Vägar och Broteknik och Vägsäkerhet (Sétra), som appliceras på Bellevuebron i denna rapport. Den tredje är internationell standard ISO 10137. Gemensamt för dessa projekteringsmetoder är att de anger krav i form av maximal acceleration för att fastställa brons förväntade komfort.

2.3.1 Eurokod SS-EN 1990

Vibrationer orsakade av gångtrafikanter bör kontrolleras om överbyggnadens egenfrekvens är lägre än 5 Hz för vertikala svängningar och lägre än 2,5 Hz för horisontella- (laterala) samt vridsvängningar (CEN, 2002). Eurokoden anger för dessa egenfrekvenser ett krav på kontroll av acceleration i samtliga tre riktningar som anges i Tabell 2:1. Det förklaras vidare att:

Tabell 2.1: Gränsvärden för acceleration enligt Eurokod.

Svängningars riktning Maximala accelerationer

Vertikala 0,7

Horisontella vid normal användning 0,2 Horisontella vid exceptionell trängsel 0,4

”De uppgifter som används i beräkningarna och därmed också

beräkningsresultaten, är mycket osäkra. Om komfortkriterierna inte uppfylls

med god marginal, kan det vara nödvändigt att förbereda bron för en eventuell,

senare installation av dämpare. I sådana fall bör konstruktören överväga och

identifiera behovet av funktionsprov.”

2.3.2 Sétra

År 2006 publicerade den franska myndigheten för transport, väg- och broteknik ett tekniskt dokument

”Footbridges - assessment of vibrational behaviour of footbridges under pedestrian loading” (Sétra, 2006). I detta dokument undersöks och beskrivs hur dynamisk last från gångtrafikanter påverkar GC- broar och hur påverkande parametrar kan anpassas under projekteringen för att undvika

vibrationsproblem.

Sétra har tagit fram en metod för att beräkna hur stor acceleration som brostrukturen möjligtvis kommer att genomgå. Beräkningsmodellen utgår från en komfortnivå definierad av beställaren, komfortnivån är tänkt att representera den gräns för vilken gångtrafikanter inte upplever obehag.

Resultatet från accelerationsberäkningarna jämförs slutligen med det förbestämda gränsvärdet som vald komfortnivå beskriver och därefter avgörs om bron behöver anpassas eller inte. I den dynamiska analysen av Bellevuebron användes denna metod. I Kapitel 4.1 beskrivs de olika stegen för att bedöma GC-broars risk att hamna resonans.

2.3.3 ISO 10137

ISO 10137 är den internationella standardiseringsorganisationens framtagna riktlinjer för att under projekteringsskedet bedöma vibrationer och dess påverkan på konstruktioner. Metoden ger

rekommendationer för att utvärdera brukbarheten mot vibrationer i byggnader och på gångbanor.

Standarden (ISO, 2008) anger att GC-broar skall utformas på ett sätt så att dynamisk last inte utsätter strukturen för en svängningsamplitud som oroar trafikanter. Bron ska projekteras utefter ett antaget trafikantflöde som bron ska utsättas för under sin livstid. Standarden rekommenderar att följande scenarior bör beaktas.



Hur en stillastående gångtrafikant stående i brons mittspann upplever vibrationer då en annan trafikant går utmed gångbanan.



Ett trafikantflöde baserad på vanligt förekommande bruk (grupp med ca 8-15 trafikanter beroende på gångbanestorlek)



Strömmar av trafikanter (grupp betydligt större än 15 trafikanter)



Tillfälliga folkansamlings- eller koreografiska evenemang (om relevant)

Brons vibrationskriterier ska uppfylla de krav som ställs av brons brukare. Viss hänsyn måste tas till att brons brukbarhet kan komma att överskridas, däremot får brons beständighet inte överskridas då det kommer till irreversibla skador så som t.ex. sprickor och sättningar.

Under bilaga C i ISO 10137 beskrivs vibrationskriterier för GC-broar. Då definitiv mätdata saknas ska

vibrationer i vertikal riktning inte överstiga aktuellt värde i baskurva C1 (Figur 2.1) multiplicerad med

en faktor 60. Undantag sker då hänsyn för stillastående trafikanter måste tas, i vilket fall aktuellt värde

i baskurva C1 (Figur 2.1) multipliceras med en faktor 30. Broaccelerationer i horisontell riktning ska

inte överskrida aktuellt värde i baskurva C2 (Figur 2.2) multiplicerad med en faktor 60.

6 Figur 2.1: Baskurva C1 för vertikala accelerationer.

Figur 2.2: Baskurva C2 för horisontella accelerationer.

Frekvensen av den dynamiska last F(t) som överförs från en trafikant till GC-bron uttrycks som en Fourierserie.

𝐹

(𝑡) = 𝑄 (1 + ∑ 𝛼

𝑛=1

sin(2π𝑛𝑓𝑡 + 𝜙

)) (2.1)

Vertikal riktning

𝐹

(𝑡) = 𝑄 (1 + ∑ 𝛼

𝑛=1

sin(2π𝑛𝑓𝑡 + 𝜙

)) (2.2)

Horisontell riktning där

𝛼

är en numerisk koefficient motsvarande den n:e egenfrekvensen i vertikal riktning 𝛼

är en numerisk koefficient motsvarande den n:e egenfrekvensen i horisontal

riktning.

𝑄 är den statiska lasten från deltagande trafikant.

𝑓 är frekvensen från repetitiv last, i tvärgående horisontal riktning beräknas frekvensen till halva stegfrekvensen.

𝜙

är fasförskjutning från den n:e egenfrekvensen i vertikal riktning.

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03

1 3 9 27

RMS acceleration m/s2

Frekvens Hz

-0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09

1 3 9 27

RMS acceleration m/s2

Frekvens Hz

𝜙

är fasförskjutning från den n:e egenfrekvensen i horisontal riktning.

n

är den av heltal verkande svängningen.

k

är antal frekvenser som beskriver lastfunktionen i önskat frekvensregister.

Dynamisk last från en grupp trafikanter är huvudsakligen beroende av trafikanternas vikt, maximalt möjliga trafikantbelastning per kvadrat gångbaneyta och mängd koordinerade trafikanter.

Koordinerade grad avgörs via faktor C(N).

𝐶(𝑁) = √𝑁/𝑁 (2.3)

där N är antalet trafikanter bron belastas av.

Då rörelsen från en grupp trafikanter som inte är koordinerade kan verkande dynamisk last bestämmas genom tillämpning av koordinerande faktor C(N).

𝐹(𝑡)

= 𝐹(𝑡) ∙ 𝐶(𝑁) (2.4)

2.3.4 Jämförelse

I Tabell 2.2 jämförs beskrivna regler och rekommendationers gränsvärden för accelerationer i vertikal- och horisontal riktning. ISO anger i sin standard gränsvärden för RMS-acceleration

(kvadratiskt medelvärde) som omvandlas till maximala gränsvärden genom multiplicering med faktor

√2. Sétras metod grundar gränsvärden utefter av broägaren beslutade komfortkrav som ställs på strukturen. Eurokods gränsvärden tar inte hänsyn till strukturens egenfrekvens utan har ett maximalt accelerationsvärde i vertikal riktning och ett i horisontell riktning.

Tabell 2.2: Övre gränsvärden för accelerationer i vertikal- och horisontell riktning.

Regel/rekommendation Vertikal acceleration Horisontell acceleration

Eurokod ≤ 0,7 m/s

≤ 0,2 m/s

ISO 10137 ≤ 60 gånger värde i baskurva ≤ 60 gånger värde i baskurva

Sétra hög komfort ≤ 0,5 m/s

≤ 0,1 m/s

Sétra normal komfort ≤ 1,0 m/s

≤ 0,1 m/s

Sétra låg komfort ≤ 2,5 m/s

≤ 0,1 m/s

Figur 2.3 visar att Eurokod anger ett övre gränsvärde för vertikal acceleration på 0,7 m/s

oberoende av strukturens egenfrekvenser. Sétra anger flertalet gränsvärden beroende på antagen nivå av

acceptans hos brons trafikanter, däremot får vertikal acceleration inte överstiga gränsvärdet för låg komfort d.v.s. 2,5 m/s

. ISO 10137 anger gränsvärden för acceleration beroende på strukturens egenfrekvens. För exempelvis en GC-bro med en egenfrekvens på 2 Hz, en frekvens inom det vanligast förekommande gångtempot 1,7-2,1 Hz (Sétra, 2006), uppger ISO en maximal acceleration på 0,59 m/s

.

Det bör även nämnas att Sétras dokument ger användaren en komplett och relativt simpel handledning

i allt ifrån broklasser och komfortnivåer till färdiga lastermodeller vilket de andra myndighetskraven

inte nämner över huvud taget.

8 Figur 2.3: Jämförelse av gränsvärden för vertikal acceleration.

Jämförelse av gränsvärden visar i Figur 2.4 att Eurokod anger ett maxvärde för horisontell

acceleration på 0,2 m/s

oberoende av strukturens egenfrekvens. Sétras metod anger lägst gränsvärde i horisontell riktning utav samtliga redovisade regler och rekommendationer. I vertikal riktning uppger Sétra enbart ett gränsvärde i horisontell riktning på 0,1 m/s

, då metoden påvisar att risk för "lock in"

är för stor vid högre acceleration. ISO 10137 anger ett gränsvärde på cirka 0,31 m/s

upp till en frekvens på 2 Hz, därefter ökar tillåten acceleration i takt med att strukturens frekvens ökar.

Figur 2.4: Jämförelse av gränsvärden för horisontell acceleration.

2.4 Finita elementmetoden

I detta arbete har Brigade Plus används för att beräkna egenfrekvens och acceleration för Bellevuebron med finita elementmetoden (FEM). Metoden är numera väletablerad och syftar till att approximativt lösa differentialekvationer. Geometrin för en modell diskretiseras i mindre delar som kallas finita element och dessa är sammanslutna till varandra i noder. Det finns flertalet olika finita element så som balkelement, skalelement, solidelement och planelement. I detta arbete användes uteslutande balk och skalelement eftersom att de lämpar sig bäst för Bellevuebrons geometri och verkningssätt.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

1 2 3 4 5 6 7 8

Gränsvärden i m/s2

Frekvens

Sétra låg komfort Sétra normal komfort ISO 10137 Eurokod Sétra hög komfort

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

1 2 3 4 5 6 7 8

Gränsvärden i m/s2

Frekvens

ISO 10137

Eurokod

Sétra

2.5 Dämpning

Dämpning är den egenskap som beskriver strukturens förmåga att absorbera och avleda energi från vibrationer av dynamisk last (Živanović, 2005). Dämpningens storlek beror på flertalet faktorer så som strukturens ingående material, exempelvis utformning av broräcken och beklädnad eller

brobeläggningens tjocklek (ISO, 2008). Dämpningens källa kan förenklat delas upp i två olika kategorier. Den ena kategorin beskriver dämpning som är kopplad till friktion i knytpunkter mellan konstruktionsdelar i direkt kontakt. Den andra kategorin kopplas till intern dämpning i materialet självt (Sétra, 2006). Tillsammans utgör dessa två kategorierna strukturens totala dämpning.

Dämpning minskar responsen i strukturen från dynamisk last framförallt runt strukturens resonansfrekvens. Mängden dämpning beror huvudsakligen på storleken av vibrationsamplitud i strukturen, där stora amplituder utvecklar högre friktion och därmed högre dämpning. Generellt kan strukturens dämpning inte antas eller beräknas innan den verkliga strukturen är byggd. Befintliga strukturer där dämpningen är uppmätt kan ofta användas för att uppskatta ett ungefärligt värde av dämpningen (ISO, 2008). Det är viktigt att dämpningen bedöms ordentligt och inte överskattas, då för högt antagna dämpande värden kan leda till underdimensionerande konstruktioner (Sétra, 2006). Om möjlighet finns bör därför dämpningen mätas.

Regler och rekommendationer anger ofta exempel på dämpningens storlek för olika typer av strukturer. I Tabell 2.3 ges exempel på dämpning.

Tabell 2.3: Jämförelse mellan olika regler och rekommendationers föreslagna strukturdämpning.

Regler/Rekommendationer Sétra Eurokod ISO

Material

Armerad betong 1,3% 1,5% 0,8%

Förspänd betong 1,0% 1,0% 0,8%

Samverkan stål-betong 0,6% 0,5% 0,6%

Stål 0,4% 0,5% 0,5%

Trä 1,0% 1,0% -

Det bör nämnas att ovan nämnda dämpningskvoter är angivna för brons bärande delar och tar inte

hänsyn till övriga ingående delar som till exempel en beläggning av asfalt, vilket har påvisats ha en stor

dämpande inverkan (Schubert, 2010). Utöver strukturens dämpande egenskaper påverkar även yttre

faktorer så som till exempel personer dämpningen, där framförallt stillastående personer har en stor

påverkan (ISO, 2008). Mätningar på tidigare byggda GC-broar har visat att dämpning kan uppgå i

värden som är upp till tio gånger högre än de som anges i Sétra. (Åkerblom, 2015)

3 Bellevuebron

Bellevuebron planeras att sträcka sig mellan Bellevueparken i väster och Albanoområdet i öster i Stockholm. Bellevueparken ingår som en del av den Kungliga Nationalstadsparken och landskapet har historisk prägel från 1700-talet då parken anlades på Gustav III:s initiativ (LST-AB, 2015). På grund av detta är kraven stora på utformningen av bron som bör utgöra ett harmoniskt komplement i

omgivningen. Brons längd är ännu inte fastställd men planeras att vara totalt 161,38m lång och med ett längsta spann på 40m över Roslagsvägen. I Figur 3.1 visas en översiktsplan där den planerade bron är illustrerad i rött. Figur 3.2 visar en elevation av bron.

Figur 3.1: Översiktsplan

Figur 3.2: Elevation Bellevuebron

Bellevuebron var under detta arbetes gång i planeringsskedet och det fanns ingen definitiv utformning av bron. Eftersom att arbetet till stor del berodde på utformningen så antogs ett tvärsnitt i början av projektet för att kunna arbetas vidare med och jämföras i olika modeller.

En enkel kontroll vad gäller brons bärighet har utförts i Brigade Plus där största fält respektive

stödmoment har tagits ut och maximala spänningar räknats fram med Naviers spänningsformel. Detta

12

variabla lasten applicerades över hela bron. Spänningarna bedömdes vara något låga och det kunde konstateras att lådbalkarnas plåttjocklek kunde minskas till 15 mm istället för 25 mm. Följaktligen ändras brons dynamiska beteende och effekten av detta utreds under Kapitel 5.3.

GC-brons bärs i huvudsak upp av två längsgående lådbalkar som är asymmetriska och har en höjd om 1,7 meter vardera. Dessa balkar utgör även en del utav brobanans räcke. Lådbalkarna har stöd på lutande konstruktionsrör som är infästa till stålpelare. Dessa pelarstöd är tänkta att smälta in i och efterlikna de omgivande trädkronorna. Brobanan är 6,5 meter bred och brons högsta höjd är 12,5 meter över mark.

Figur 3.3: Tvärsnitt Bellevuebron

4 Dynamisk analys

I detta kapitel redovisas tillvägagångssätten för de metoder som har valts för att studera och bestämma Bellevuebrons egenfrekvenser och tillhörande maximala acceleration. I Avsnitt 4.1 redovisas den av Sétra framtagna analytiska modell för projektering av GC-broar med avseende på komfort. I Avsnitt 4.2 beskrivs de tre FE modellerna och val i modelleringen motiveras.

4.1 Beräkningsförutsättningar enligt Sétra

Följande utformningsriktlinjer för GC-broar har tagits fram av den Franska Tekniska Myndigheten för Transport, Vägar och Broteknik och Vägsäkerhet. Dessa rekommendationer är inte framtagna för att säkerställa att brons strukturella bärighet uppfylls, utan snarare för att garantera att brons komfortnivå med hänsyn till vibrationer uppfylls (Sétra, 2006). I Figur 4.1 visas en översikt av de olika steg som ingår i projekteringsprocessen.

Figur 4.1: Projekteringens arbetsgång enligt Sétra

4.1.1 Bestäm brons klass

Första steget i projekteringen är att bestämma GC-brons trafikklass. Trafikklassen beskriver den förväntade trafikbelastningen på brons gångbana. Sétra anger fyra olika klasser som nedan beskrivs kortfattat.



Klass I: GC-broar som kopplar samman högt befolkade områden (tex i närheten av tåg- och tunnelbanestationer) eller områden som frekvent är utsatta för tät folkmassa (tex

turistområden alt. områden där stora evenemang ofta förekommer).



Klass II: GC-broar som kopplar samman befolkade områden eller där täta folkmassor ibland kan fylla brons gångbana.



Klass III: GC-broar som är designade för normalt trafikantflöde. Bron kan ibland belastas med täta folkmassor men aldrig till den grad att hela gångbanan är fylld.



Klass IV: GC-broar som används sparsamt i glesbefolkade områden.

Trafikklass

Beräkning av egenfrekvenser

Resonansrisk

Dynamiska lastfall att studera

Brons maximala acceleration

Accelerationsgränsvärden

Broägare

Klass IV

Klass I-III

Önskad komfortnivå Antagen trafikbelastning Inget behov av

beräkning

Komfortkrav uppfyllda utan behov av vidare

beräkning Försumbar

Mottaglig

Förväntad komfort

14

4.1.2 Bestäm komfortnivå

Efter det att brons trafikklass är fastställd måste ägaren avgöra i vilken komfortnivå bron ska placeras.

Val av komfortnivå bör väljas utefter brons trafikklass samt förväntad toleransnivå hos trafikanterna med hänsyn till vibrationer.



Hög komfort: Acceleration som bron utsätts för är omärkbara för brons trafikanter.



Medelgod komfort: Acceleration som bron utsätts för är knappt märkbara för brons trafikanter.



Låg komfort: I vissa ogynnsamma lastfall kan accelerationen vara märkbar av brons trafikanter. Däremot får accelerationerna inte uppgå i oacceptabla värden.

Komfort är en faktor som är svår att mäta och skiljer sig från person till person. Därmed ska dessa komfortnivåer ses mer likt riktvärden. På broar där övergångstiden är kort kan större acceptans tas till dessa riktvärden än vid till exempel områden där extra känsliga personer vistas (så som vid tex äldreboende, skolor eller sjukhus).

Komfortnivå har en direkt koppling till den strukturella acceleration bron utsätts för, d.v.s. via olika dynamiska lastfall beräknas trolig maximal acceleration och därefter kan accelerationsintervall avgöra i vilken komfortnivå bron hamnar. Tabellerna 4.1 och 4.2 visar mellan vilka accelerationsvärden (m/s

) de olika komfortzonerna ligger, där accelerationsintervall 1 (grönt fält) motsvarar hög

komfortnivå och accelerationsintervall 4 (rött fält) motsvarar en oacceptabel komfortnivå. Undantag sker i Tabell 4.2 som visar komfortnivåer i horisontalled, där det orange fältet visar områden där risk för "lock-in" förekommer. För att åstadkomma en acceptabel komfortnivå behöver alltså alltid brons strukturella acceleration i horisontalled hållas under 0,1 m/s

.

Tabell 4.1: Accelerationsintervall (m/s²) för vertikala svängningar.

Accelerationsintervall (m/s

) 0 0,5 1 2,5

Intervall 1 Hög

Intervall 2 Medel

Intervall 3 Låg

Intervall 4 Oacceptabel

Tabell 4.2: Accelerationsintervall (m/s²) för horisontella svängningar. Accelerationerna begränsas till 0,10 m/s² för att undvika "lock in".

Accelerationsintervall (m/s

) 0 0,1 0,15 0,3 0,8

Intervall 1 Hög

Intervall 2 Medel

Intervall 3 Låg

Intervall 4 Oacceptabel

4.1.3 Bestäm brons egenfrekvenser

För broar som under projektering placerats i trafikklass I-III måste strukturens farliga egenfrekvens bestämmas, då dessa kan leda till komfortproblem i brons vertikala och horisontella riktningar. Brons egenfrekvens beräknas för tom bro samt då bron utsätts för en last motsvarande trafikanttätheten i vald trafikklass. Resultatet från beräkningarna kan sedan användas till att bedöma risk för resonans.

För att avgöra brons risk för resonans klassas bron in i olika frekvensintervall.



Intervall 1: Hög risk för resonans.



Intervall 2: Medelstor risk för resonans.



Intervall 3: Låg risk för resonans.



Intervall 4: Ingen risk för resonans.

Nedan visas hur risknivån för resonans i GC-broar kopplas samman med olika frekvensintervall. I Tabell 4.4 avläses att högst risk för resonans i vertikal riktning uppstår då brons egenfrekvens hamnar i ett register mellan 1,7-2,1 Hz, vilken är den frekvens en person med störst sannolikhet går i (Sétra, 2006).

Tabell 4.3: Frekvensintervall för vertikala och horisontellt längsgående svängningar.

Frekvens (Hz) 0 1 1,7 2,1 2,6 5

Intervall 1 Hög

Intervall 2 Medel Medel

Intervall 3 Låg

Intervall 4 Ingen Ingen

Tabell 4.4: Frekvensintervall för horisontellt tvärgående svängningar.

Frekvens (Hz) 0 0,3 0,5 1,1 1,3 2,5

Intervall 1 Hög

Intervall 2 Medel Medel

Intervall 3 Låg

Intervall 4 Ingen Ingen

Beroende på brons trafikklass samt frekvensintervall ställs olika krav på de dynamiska beräkningarna.



Fall 1: Glest och tät befolkad



Fall 2: Väldigt tät befolkad



Fall 3: Effekter från trafikanters överton ("2nd harmonic effect").

Tabell 4.5 redogör vilka dynamiska beräkningsfall som ska utföras för de olika trafikklasserna.

Tabell 4.5: Val av lastfall

Brobelastning Klass Brons frekvensintervall

1 2 3 4

Glest 3

Fall 1 Inget behov Inget behov Inget behov

Tät 2 Fall 1 Fall 3 Inget behov

Väldigt tät 1 Fall 2 Fall 2 Fall 3 Inget behov

4.1.4 Dynamiskt lastfall

Detta lastfall är aktuellt för de broar som kategoriseras i klass II-III. Trafikanternas täthet (d) över

brons gångbana förväntas fördela sig med 0,5 trafikant/m

i Klass III och 0,8 trafikant/m

i Klass II.

16

10.8 ∙ √𝜉 ∙ 𝑛 (4.1)

Antalet trafikanter gående i samma takt och frekvens 𝜉 = Strukturens dämpning (%)

n = Brons totala antal trafikanter (d



Utöver detta måste även brons egenfrekvens vara känd, då den är direkt kopplad till en

lastreduceringsfaktor (  ). Ligger brons egenfrekvenser inom 1,7-2,1 Hz i vertikal riktning alternativt 0,5-1,1 Hz i horisontell riktning reduceras inte lasten. Om brons egenfrekvens däremot hamnar utanför dessa frekvensintervall avläses aktuellt  -värde ur Figur 4.2 och 4.3.

Figur 4.2: Lastreduceringsfaktor  för vertikala och längsgående svängningar.

Figur 4.3: Lastreduceringsfaktor  för tvärgående horisontella svängningar.

I fall då brons egenfrekvens ligger i områden där  =0 anses risk för resonans vara så pass låg att inverkan av trafikanternas normala gångfrekvens kan bortses ifrån, dock måste "2nd harmonic effect"

(Fall 3) undersökas.

GC-brons påförda dynamiska last per m

beräknas enligt Ekvation 4.2 i brons vertikala riktning, Ekvation 4.3 i horisontellt längsgående riktning och Ekvation 4.4 i horisontellt tvärgående riktning.

Lastens storleksvariation i de olika riktningarna (280 N, 140 N och 35 N) kan kopplas till beräknad procentuell fördelning (40 %, 20 % och 5 %) av en trafikants last (700 N).

𝑑 ∙ (280N) ∙ cos(2π𝑓

𝑡) ∙ 10,8 ∙ √𝜉/𝑛 ∙ 𝜓 (4.2)

𝑑 ∙ (140N) ∙ cos(2π𝑓

𝑡) ∙ 10,8 ∙ √𝜉/𝑛 ∙ 𝜓 (4.3)

𝑑 ∙ (35N) ∙ cos(2π𝑓

𝑡) ∙ 10,8 ∙ √𝜉/𝑛 ∙ 𝜓 (4.4)

Fall 2, väldigt tät befolkad

Detta lastfall är aktuellt för GC-broar i trafikklass I. Trafikanternas täthet (d) antas fördela sig jämnt med 1,0 trafikant/m

. Totala antalet trafikanter (n) beräknas genom att multiplicera totala

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 1 1,7 2,1 2,6 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 0,3 0,5 1,1 1,3 2

gångbanearean (S) med aktuell trafikanttäthet (d). Antal synkroniserade trafikanter beräknas enligt Ekvation 4.5.

1.85 ∙ √𝑛 (4.5)

Antalet trafikanter gående i samma takt och frekvens



Likt Fall 1 används faktor  och strukturens egenfrekvens för att möjligtvis reducera påförd dynamisk last (läs under Fall 1 för mer om kopplingen mellan strukturens egenfrekvens och  -värden).

GC-brons påförda dynamiska last per m

beräknas enligt Ekvation 4.6 i brons vertikala riktning, Ekvation 4.7 i horisontellt längsgående riktning och Ekvation 4.8 i horisontellt tvärgående riktning.

1,0 ∙ (280N) ∙ cos(2π𝑓

𝑡) ∙ 1,85 ∙ √1/𝑛 ∙ 𝜓 (4.6)

1,0 ∙ (140N) ∙ cos(2π𝑓

𝑡) ∙ 1,85 ∙ √1/𝑛 ∙ 𝜓 (4.7)

1,0 ∙ (35N) ∙ cos(2π𝑓

𝑡) ∙ 1,85 ∙ √1/𝑛 ∙ 𝜓 (4.8)

Fall 3, Effekter från trafikanternas överton (2nd harmonic effect)

Detta fall används för att studera effekterna från trafikanternas överton (2nd harmnic effect).

Vanligtvis befinner sig denna frekvens vid den dubbla gångfrekvensen, d.v.s. trafikanternas stegstötar driver enbart varannan vågtopp. Detta fenomen anses enbart vara en risk för broar med tät

trafikantbelastning, därav studeras enbart broar i klass I-II. Likt Fall 1 och Fall 2 antas trafikanternas täthet över brobanan fördela sig med 0,8 trafikant/m

i Klass II samt 1,0 trafikant/m

i Klass I.

Reduceringsfaktorn  används likt de två tidigare fallen, däremot sker reducering enligt ett eget diagram då frekvensen från trafikanterna anses hålla ett högre frekvensvärde. Figur 4.4 och Figur 4.5 visar frekvensområdets koppling till  -värdet i vertikal samt horisontell längsgående riktning.

Figur 4.4: Övertoners (2nd harmonic) lastreduceringsfaktor  för vertikala svängningar.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 2,6 3,4 4,2 5 6

18

Figur 4.5: Övertoners (2nd harmonic) lastreduceringsfaktor för tvärgående horisontella svängningar.

I dessa lastfall anses en trafikants påförda last fördela sig med 70 N i vertikal riktning, 35 N i

horisontellt längsgående riktning samt 7 N i horisontellt tvärgående riktning. Dynamisk last för broar i klass I beräknas enligt Ekvation 4.9 i vertikal riktning, Ekvation 4.10 i längsgående horisontell riktning och Ekvation 4.11.

1.0 ∙ (70N) ∙ cos(2𝜋𝑓

𝑡) ∙ 1.85 ∙ (1/𝑛)

∙ 𝜓 (4.9)

1.0 ∙ (35N) ∙ cos(2𝜋𝑓

𝑡) ∙ 1.85 ∙ (1/𝑛)

∙ 𝜓 (4.10)

1.0 ∙ (7N) ∙ cos(2𝜋𝑓

𝑡) ∙ 1.85 ∙ (1/𝑛)

∙ 𝜓 (4.11)

Dynamisk last för broar i klass II beräknas enligt Ekvation 4.12 i vertikal riktning, Ekvation 4.13 i längsgående horisontell riktning och Ekvation 4.14 i horisontellt tvärgående riktning.

0.8 ∙ (70N) ∙ cos(2𝜋𝑓

𝑡) ∙ 10.8 ∙ (𝜉/𝑛)

∙ 𝜓 (4.12)

0.8 ∙ (35N) ∙ cos(2𝜋𝑓

𝑡) ∙ 10.8 ∙ (𝜉/𝑛)

∙ 𝜓 (4.13)

0.8 ∙ (7N) ∙ cos(2𝜋𝑓

𝑡) ∙ 10.8 ∙ (𝜉/𝑛)

∙ 𝜓 (4.14)

Dämpning i strukturen (𝜉)

För att beräkna dynamisk last måste strukturens dämpande effekter beaktas. Dämpningens storlek beror på strukturens utformning och ingående material. För att enkelt kunna approximera ett rimligt värde på strukturdämpningen har vanligt förekommande dämpningskonstanter tagits fram och redovisas här i Tabell 4.6. I den kommande dynamiska analysen har den kritiska dämpningskvoten valts till 0,4 % enligt Sétra.

Tabell 4.6: Enligt Sétra approximerad dämpning i olika strukturer.

Brouppbyggnad Strukturens dämpning Armerad betong 1,3 %

Förspänd betong 1 %

Samverkan 0,6 %

Stål 0,4 %

Trä 1 %

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 1,3 1,7 2,1 2,5 3

4.2 FE Modellering

Bellevuebron modellerades upp med utgångspunkt från förhandskopior bifogade under Kapitel 3.

Som tidigare nämnts var brons utformning inte fastställd vilket gav utrymme för egna tolkningar med avseende på upplagsvillkor och geometri. De huvudsakliga komponenterna i FE modellerna är de två längsgående balkarna, de tvärgående balkarna med varierande tvärsnitt samt plattan av stål som ligger mellan huvudbalkarna och på tvärbalkarna.

Målet med modelleringen var att skapa tre modeller så lika det antagna tvärsnittet som möjligt men med olika elementtyper för de ingående delarna. De tolkningar som gjordes i den första modellen applicerades konsekvent i den andra och tredje. Bropelare har inte modellerats och det bör noteras att sådana kan ha stor inverkan på brons egenfrekvenser och kanske framförallt påverka brons

svängningar i sidled. Pelarna bortsågs från i detta arbete eftersom att målet var att jämföra

modelleringsaspekter snarare än att fånga brons exakta dynamiska beteende. Dessutom kan den lasten som gångtrafikanter ger upphov till horisontellt i längdsled ge upphov till resonans och i vissa fall lock- in. Dessa effekter fångas inte heller utan bropelare.

4.2.1 Balkmodell

Denna modell utgår från en enda balk som sträcker sig i brons längdriktning där tvärsnittets

egenskaper (se Tabell 4.13) tilldelas en generaliserad balk i Brigade Plus. Metoden är enkel och den minst tidskrävande vad gäller både modellering och beräkningstid. Tvärsnittsegenskaper har räknats fram för hand och kontrollerats med insticksmodulen Section Editor i FEM Design av Strusoft, se Bilaga A. Balkelementen är av typen B31, det vill säga Balk, 3D, 1:a ordningens interpolation.

Elementtypen beaktar skjuvdeformationer och rotationströghet enligt Timoschenkos balkteori.

I Figur 4.7 illustreras en renderad och skeletterad 3D modell av balkmodellen. Tvärsnittet är ovalt eftersom att Brigade Plus tolkar tvärsnittsdata och gör en visuell representation, i detta fall är tröghetsmomentet betydligt högre runt Z axeln än Y axeln och detta orsakar formen. Geometrin för balken är ritad med koordinater i X-Y planet som illustreras i Figur 4.8.

Figur 4.7: Bild av renderad balkmodell

20 Figur 4.8: Geometri för balkmodellen

Stålet i tvärsnittets area har tilldelats en tunghet om 7800 kg/m

. På grund av att tvärbalkarna inte var möjliga att modellera i denna modell placerades en icke strukturell massa på den längsgående balken som motsvarade tvärbalkar på ett centrumavstånd av tre meter. En 8 cm tjock beläggning av betong med en tunghet om 2400 kg/m

placerades över hela brobanans bredd. Denna beläggning bidrar inte till tvärsnittets bärförmåga och modellerades även den som en icke strukturell massa.

Upplagsvillkoren har applicerats till referenspunkter som ligger under balkens tvärsnitt för att ge en rättvis representation av upplagets position som inte sammanfaller med tvärsnittets tyngdpunkt.

Figur 4.8 visar de upplagsvillkor som har applicerats. Enkel pil representerar låsning för translation och dubbelpil för rotation. Här låstes rotation kring x-axeln för att representera stöden som, på grund av de lutande konstruktionsrören, har tre stöd. En låsning som denna innebär att balken inte kan rotera över huvudtaget. En viss eftergivlighet skulle vara en bättre representation av verkligheten, kritik mot detta diskuteras i Kapitel 6.5.

Figur 4.8: Plan sedd ovanifrån. Beskriver upplagsvillkor för balkmodellen. Låsning i z-led är underförstådd.

Tabell 4.13: Tvärsnittsdata för den generaliserade balken (se även Bilaga A)

A, area 0,356 m

I

, tröghetsmoment kring Y 0,0752 m

I

, tröghetsmoment kring YZ 0

I

, tröghetsmoment kring Z 3,45 m

I

, vridstyvhet 0.0539 m

E, elasticitetsmodul stål 210 Gpa

ν, tvärkontraktionstal 0,3

ρ, densitet betong 2400 kg/m

ρ, densitet stål 7800 kg/m

4.2.2 Balk och skalmodell

I Figur 4.9 illustreras balk och skalmodellen. I figuren illustreras tvärbalkarna med olika höjd vilket

inte är fallet. Tvärbalkarna är modellerade med avsmalnande tvärsnitt och Brigade Plus renderar i de

fallen enbart en ände vid avsmalnande tvärsnitt. Geometri och ingående delar visas i Figur 4.10.

Figur 4.9: Bild av renderad balk/skalmodell

Figur 4.10: Geomteri för balk och skalmodellen, koordinater angivna (x,y) i meter.

I denna modell modellerades farbanans stålplatta med skalelement, de längsgående lådbalkarna med balkelement (B31) samt tvärbalkarna med balkelement (B31). Skalets bredd och tjocklek är den samma som för föregående modell. Elementtypen för skalet är S4R element, det vill säga Skal, 4-nodigt, Reducerad integration.

Under skalet placerades tvärbalkar med varierande T-tvärsnitt. Dess överkant sammanföll med skalets underkant och de två kopplades ihop i en helt styv koppling. Tvärsnittsegenskaper för de två

längsgående balkarna erhölls med hjälp av Section Editor i FEM Design, se Tabell 4.14. Lådbalkarna placerades så att deras tyngdpunkt sammanföll med placeringen i Section Editor (se Bilaga A).

Tabell 4.14: Tvärsnittsdata för en lådbalk (se även Bilaga A).

A, area 0,113 m

I

, tröghetsmoment kring Y 0,0349 m

I

, tröghetsmoment kring YZ 0

I

, tröghetsmoment kring Z 0,0123 m

I

, vridstyvhet 0.0269 m

E, elasticitetsmodul stål 210 Gpa

ν, tvärkontraktionstal 0,3

22

Denna modell medför en större valmöjlighet gällande upplagsvillkor då varje upplag får tre

stödpunkter, en i brons mitt och två ute vid lådbalkarna som kan ses som en bättre representation av verkligheten än den i balkmodellen. Dock spelar detta mindre roll ur modelleringsaspekt eftersom att en låsning i z-led vid de tre parallella stöden innebär en låsning runt x-axeln vilket valdes i

balkmodellen. I balkmodellen tilläts rotation vid stöden i z-led och även detta är möjligt i denna modell då alla stöd tillåts röra sig i x-led förutom de tre stöden vid stöd 1. I övrigt så har upplagsvillkoren (se Figur 4.11) valts för att reflektera det som valdes i balkmodellen.

Figur 4.11: Plan sedd ovanifrån. Beskriver upplagsvillkoren för balk/skalmodellen. Låsning i z-led är underförstådd.

4.2.3 Skalmodell

Slutligen modellerades Bellevuebron med enbart skalelement där samtliga ingående delar var S4R element. Modellen illustreras i Figur 4.12 och geometrin i Figur 4.13. Upplagsvillkor, spännvidder, geometri och godstjocklekar är samma som i de två föregående modellerna.

Figur 4.12: Bild av renderad skalmodell

Figur 4.13: Geometri för skalmodell

Tvärsnittet ritades upp genom att ange koordinater för samtliga punkter och visas i Figur 4.14.

Figur 4.14: Geometri och indata för tvärsnittet, koordinater angivna i (x,y) i meter.

Även här representeras stöden av tre parallella stödpunkter som i balk/skalmodellen med referenspunkter placerade under tvärsnittet. Ytan för vilken referenspunkten kopplades till på skalelementen valdes till en yta om 0,09m

i tvärbalkens mitt och 0,06m

vid dess ändar.

Figur 4.13: Plan sedd ovanifrån. Beskriver upplagsvillkoren för skalmodellen. Låsning i z-led är underförstådd.

4.2.4 Val av tidsinkrement

Accelerationer beräknas i en modal analys där valet av tidsinkrement är av stor betydelse för erhållna resultat. Inkrementet beskriver hur ofta värden beräknas i analysen som varar i 60 sekunder. De moder som utvärderats och som kan komma utgöra risk för resonans ligger under 5 Hz, det vill säga att en svängning sker på 0,2 sekund. Enligt Leander (2012) bör tidsinkrementet sättas enligt Ekvation 4.15.

∆𝑡 = 1

10 ∙ 𝑓 (4.15)

24

ett något lägre tidsinkrement än det som anges i Ekvation 4.15. Under en svängning kommer således tio värden beräknas och sedan visualiseras i tid/accelerationsdiagrammet. I Figur 4.6 illustreras hur accelerationsdata för en svängning beräknas.

Figur 4.6: Illustration av valt tidsinkrement.

4.2.5 Konvergensanalys

Som tidigare nämnts diskretiseras geometrin för en modell i mindre delar. Dessa delar utgör tillsammans en ”mesh”. Valet av elementstorlek är av stor betydelse i en FE-modell. För samtliga modeller som redovisas nedan har en elementstorlek valts till sådan storlek att värden konvergerar, det vill säga att en minskad elementstorlek inte längre leder till en skillnad för egenfrekvenser större än +/- 5 %. I nedanstående tabell redovisas de elementstorlekar som har valts (i grönt) samt hur värden konvergerar för de olika modellerna. För samtliga analysmodeller valdes slutligen en elementstorlek på 0,1 m.

Tabell 4.11: Illustration av konvergens för elementstorlekar

Elementstorlek 0,5 0,25

0,08 0,05

Balkmodell f

2,4510 2,4510

- 2,4509 Balk/skalmodell f

2,3968 2,3942

- 2,3932 Skalmodell f

2,3526 2,3828

2,3920 -

-1 -0,5 0 0,5 1

0 0,05 0,1 0,15 0,2

Inkrement

5 Resultat

I detta kapitel framförs de resultat som har anskaffats vid undersökning av Bellevuebrons teoretiska egenfrekvenser och accelerationer. I Kapitel 5.1 redovisas de beräknade komfortresultat Bellevuebron förväntas anta då den utreds enligt Sétras analytiska modell. I Kapitel 5.2 redovisas resultat från den dynamiska analysen i Brigade Plus. Vidare presenteras hur en minskad plåttjocklek i lådbalkarna och ökad kritisk dämpningskvot skulle påverka accelerationer i Kapitel 5.3 respektive 5.4.

5.1 Resultat av analytisk modell

Följande beräkningar är utförda för strukturens första svängningsmod och i Bellevuebrons fjärde och längsta brospann (se Figur 3.2). Detta brospann har en längd på 40 meter och anses i

beräkningsmodellen vara fritt upplagd på underliggande pelare.

5.1.1 Yttröghetsmoment

Beräkningar av Bellevuebrons yttröghetsmoment har utgått ifrån det brotvärsnitt som WSP har tagit fram (se Figur 3.3). Enbart de två längsgående balkarna samt den mellanliggande stålplåten har antagits bidra till tröghetsmomentet kring y- och z-axeln.

𝐼

= 0,0752 m

𝐼

= 3,449 m

5.1.2 Strukturens egentyngd

Vid beräkning av strukturens totala massa har egentyngden från Bellevuebrons två längsgående stållådbalkar, längsgående stålplåt, tvärbalkar i stål och en övre beläggning av betong beaktas.

𝑚 = 4474 kg/m 5.1.3 Trafikklass

Då Bellevuebrons projektering fortfarande är i tidigt skede och beslut om trafikklass ännu inte har fastställts, utförs beräkningarna för Bellevuebron i samtliga tre trafikklasser.

5.1.4 Egenfrekvens och acceleration

Egenfrekvens för en fritt upplagd bro beräknas enligt ekvation 5.1.

𝑓

= 𝑛

∙ 𝜋 2𝐿

∙ √ 𝐸𝐼

𝜌𝑆 (5.1)

där

n= Svängningsmodens rangordningsnummer L= Brons spannlängd

E= Elasticitetsmodul I= Yttröghetsmoment

𝜌𝑆= Brons massa per meter

Maximal acceleration bron utsätts för beräknas enligt Ekvation 5.2.

𝐴 = 1 4𝐹

(5.2)

26

F= Påförd dynamisk last per kvadratmeter

𝜉= Brons dämpning

𝜌𝑆= Brons massa per meter 5.1.5 Vertikala svängningar

De olika trafikklasserna beskriver en egen förväntad trafikbelastning. Trafikklass III uppger en

maximal trafikantdensitet (d) på 0,5 trafikant/m

, trafikklass II uppger maximalt 0,8 trafikant/m

och trafikklass I uppger maximalt 1,0 trafikant/m

. Detta innebär att Bellevuebrons maximala totala trafikantbelastning (𝑛

) för de olika trafikklasserna förväntas vara:

Trafikklass III= 0,5 st/m

∙ 6,5m ∙ 161m = 523st Trafikklass II= 0,8 st/m

∙ 6,5m ∙ 161m = 837 st Trafikklass I= 1,0 st/m

∙ 6,5m ∙ 161m = 1046 st Trafikanternas massa per meter farbana (𝑚

):

Trafikklass III= (523 st ∙ 70 kg)/161m = 227 kg/m Trafikklass II= (837 st ∙ 70 kg)/161m = 364 kg/m Trafikklass I= (1046 st ∙ 70 kg)/161m = 455 kg/m där en trafikants medelvikt antas vara 70 kg.

Bellevuebrons massa per meter inklusive trafikanter (𝜌𝑆):

Trafikklass III= 4474 + 227 = 4701 kg/m Trafikklass II= 4474 + 364 = 4838 kg/m Trafikklass I= 4474 + 455 = 4929 kg/m

Första vertikala svängningsmoden beräknas för både en hög och låg frekvens. Brons första

svängningsmod i låg frekvens beräknas genom att beakta brons massa per meter ( 

trafikanternas vikt, medans svängningsmoden i hög frekvens beaktar bron med trafikanternas vikt.

Beräkning av Bellevuebrons höga- och låga frekvens för första svängningsmoden enligt Ekvation 5.1:

Trafikklass III 𝑓

= 1

∙ π

2 ∙ 40

∙ √ 210 ∙ 10

∙ 0,07520

4701 = 1,80 Hz

𝑓

= 1

∙ π

2 ∙ 40

∙ √ 210 ∙ 10

∙ 0,0784

4474 = 1,84 Hz

Trafikklass II 𝑓

= 1

∙ π

2 ∙ 40

∙ √ 210 ∙ 10

∙ 0,07520

4838 = 1,77 Hz

𝑓

= 1

∙ π

2 ∙ 40

∙ √ 210 ∙ 10

∙ 0,0784

4474 = 1,84 Hz

Trafikklass I 𝑓

= 1

∙ π

2 ∙ 40

∙ √ 210 ∙ 10

∙ 0,07520

4929 = 1,76 Hz