Grunden till den slutgiltiga kraftmodellen fås av att kombineras effektiva areans de-rivata från ekvation 3.2 och rapportens tryckmodell från ekvation 3.13 som ekvation 4.5. F′ = A enP ( m′ m−VKz′) (3.16)
Kapitel 4
Resultat
Spring 1 och Spring 2 har liknande geometrisk utformning och får därför snarlika egenskaper. Spring 3s större skillnad mot de två andra är dess utåtbuktande kolv ock minskad mängd mätningar som ska modelleras från. Därför används mindre termer hos Spring 3s modeler samt att dess utseende blir annorlunda från Spring 1 och Spring 2.
Metoden för kurvanpassningarna hos alla tre bälgar är polynomial olinjär minsta kvadratanpassning. Normaliserade mätvärden används för att underlätta kurvan-passningen och kvadratisk robusthet används för att ignorera avvikande mätvärden.
4.1 Areamodell
Ekvationen som används för att modellera effektiva arean Ae för alla tre bälgar visas i ekvation 4.1. Trycket P och förskjutningen z normaliseras till ˙P och ˙z som i
ekvation 4.2 då µ är medelvärdet och σ är spridningen.
Ae(z, F ) = a00+ a10z + a˙ 01F + a˙ 11z ˙˙F + a20z˙2+ a02F˙2+ a03F˙3 (4.1) ˙ z = z− µz σz F =˙ F− µf σf (4.2)
Parametrarna a00 . . . a03 till areamodellen för Spring 1 till Spring 3 för kvasistatis körning ’sta.’ och dynamisk körning ’dyn.’ ges nedan i tabell 4.1. Lika viktigt för att kunna använda modellerna är de normaliserande konstanterna som µ för medelvär-det och σ för spridningen. Kvalliten på kurvanpassningen mäts i viktad kvadratisk medelvärde på residualen RMSE och determinationskoefficienten R2.
Spridningen hos parametrarna vid 95% konsfedensintervall är under 2 % hos alla för utom hos Spring 3 där a11 och a03 ligger på±3% och ±3,5%.
Parametrar för areans modell
Spring 1 sta. dyn. Spring 2 sta. dyn. Spring 3 dyn.
RMSE 6,21e-05 6,90e-05 9,73e-05 4,94e-05 0,000139
R2 0,998 0,997 0,996 0,995 0,992
µz 0,03 0,000260 0,03 0,000260 0,000228
σz 0,0664 0,0313 0,0664 0,0314 0,0314
µF 1,49e+04 1,75e+04 2,31e+04 3,09e+04 3,34e+04
σF 8760 8500 1,30e+04 7090 7700 a00 0,0314 0,0315 0,0503 0,0512 0,0565 a10 -0,000265 -0,000265 -8,13e-05 -0,000450 0,00196 a01 0,00109 0,00103 0,00159 0,000271 0,00121 a11 0 0 0 0 0,00027 a20 0 0 0 0 -0,000364 a02 -0.000389 -0,000293 -0,000380 -5,56e-05 0
a03 7.57e-05 5,69e-05 4,48e-05 6.614e-06 0
Tabell 4.1. Parametrar till kurvanpassning av arean Ae.
Visualisering av kurvanpassningen samt jämförelse av kvasistatisk och dynamisk körning visas i figur 4.1. De blåa banden är var 12:e mätning av arean vid den kvasistatiska körningen, röda ringar visar var 60:e punkt vid dynamisk körning och den färgskiftande rutnätet visar kurvanpassningen till den kvasistatiska körningen.
Areamodellering för Spring1
Figur 4.1. Modell av arean Ae för Spring 1s kvasistatiska körning.
För Spring 3 som endast har dynamisk mätning med två olika starttryck antas linjär förändring relativt trycket så a02 = 0 och a03 = 0. Det visas i figur 4.2 där blåa punkter är var 12:e skattade volymförändring VK och färgat rutmönster är kurvanpassningen till alla punkter.
4.2. VOLYMMODELL
Areamodellering för Spring3
Figur 4.2. Modellering av arean Ae för Spring 3s dynamiska körning.
4.2 Volymmodell
För att modellera volymförändringen VK används ekvation 4.3 där b00 till b20 är parametrar som bestäms för varje bälg. Variablerna är normaliserade förlängningen
˙
z samt normaliserade trycket ˙P och fås med ekvation 4.4 där µ är medelvärdet och σ är spridningen. VK(z, P ) = b00+ b10z + b˙ 01P + b˙ 20z˙2 (4.3) ˙ z = z− µz σz P =˙ P− µf σf (4.4)
Parametrarna b00. . . b20 till volymmodellen för Spring 1 till Spring 3 för kvasistatis körning ’sta.’ och dynamisk körning ’dyn.’ ges nedan i tabell 4.2. De normaliseran-de konstanterna är µ för menormaliseran-delvärnormaliseran-det och σ för spridningen. Kvalliten på kurvan-passningen mäts i viktad kvadratisk medelvärde på residualen RMSE och determi-nationskoefficienten R2. Spridningen på parametrarna vid 95 % konfidensintervall ligger under 3 % för utom hos b20där de dynamiska mätningarna ger ±10%.
Resultatet för parameterskattningen visas i figur 4.3 för Spring 1 med var 12:e kvasistatisk körning som blå prickar och var 60:e dynamisk körning som röda ringar. Rutmönstret är kurvanpassningen till den kvasistatiska körningen.
För spring 3s dynamiska körning fås figur 4.4 då blå prickar är var annan kvasista-tiska mätning och rutnätet är kurvanpassningen.
Parametrar för volymens modell
Spring 1 sta. dyn. Spring 2 sta. dyn. Spring 3 dyn.
RMSE 0,0328 0,0772 0,0243 0,0282 0,0496
R2 0,984 0,946 0,980 0,980 0,922
µz -0,00145 -0,00172 -0,000480 0,000139 0,000182
σz 0,0264 0,0283 0,0262 0,0285 0,0285
µP 7,129e+05 7,25e+05 6,970e+05 7,01e+05 6,96e+05
σF 1,87e+05 2,01e+05 1,77e+05 1,26e+05 1,33e+05
b00 3,40 3,39 2,81 2,82 3,26
b10 -0,331 -0,442 -0,218 -0,0336 -0,237
b01 -0,110 -0,196 -0,0476 -0,259 -0,0540
b20 0,0280 0,0392 0,0188 0,0192 -0,0485
Tabell 4.2. Parametrar till kurvanpassning av arean Ae.
Volymmodellering av Spring 1
Figur 4.3. Modell av volymförändringen VK för Spring 1.
4.3 Kraftmodell
Används parameterskattningarna från effektiva arean Ae(z,F ) enligt ekvation 4.1 samt ekvation 4.2 och volymmodellen VK(z, P ) enligt ekvation 4.3 och ekvation 4.4 kan den slutgiltiga modellen sammanställas som ekvationssystem 4.5.
4.3. KRAFTMODELL
Volymmodellering av Spring 3
Figur 4.4. Modell av volymförändringen VK för Spring 3.
F′ =A e(z,F ) nP ( m′ m −VK(z,P )z′) Ae(z, F ) =a00+ a10z + a˙ 01F + a˙ 11z ˙˙F + a20z˙2+ a02F˙2+ a03F˙3 VK(z, P ) =b00+ b10z + b˙ 01P + b˙ 20z˙2 ˙ z =z− µz σz ˙ F = F− µf σf ˙ P = P − µf σf (4.5)
Används modellen med numeriska differentialekvationslösaren ODE 45 från Matlab samt att massan är konstant m′ = 0 fås en skattning på kraften F . Nedan visas
jämförelser mellan den skattade kraften i grönt och den uppmätta kraften i svart. Bälgen Spring 1 visas i det kvasistatiska fallet i figur 4.5 och det dynamiska i figur 4.6. Spring 2 har det kvasistatiska fallet i figur 4.7 och det dynamiska i figur 4.8. Spring 3 som bara har dynamisk körning har jämförelse hos krafterna i figur 4.9.
Figur 4.5. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring1 vid kvasistatisk
mätning.
Figur 4.6. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring1 vid dynamisk
4.3. KRAFTMODELL
Figur 4.7. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring 2 vid kvasistatisk
mätning.
Figur 4.8. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring 2 vid dynamisk
Figur 4.9. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring 3 vid dynamisk
mätning.
Små avvikelser inom körområdet± 5 cm kan iakttas hos Spring 3 mellan uppmätt
kraft och simulerad kraft. Den avvikelsen är mindre än 1 % så rapporten anser att den är försumbar. Avvikelser hos kraften hos Spring 1 och Spring 2 i de kvasis-tatiska fallen ignoreras av rapporten då de också är små och är utanför normalt körområde. Det enda som sänker precisionen på ett betydelsefult sätt är hysteresen som försämrar noggrannheten vid de kvasistatiska körningarna med 3.5 % och de dynamiska körningarna med 1,5 %.
Kapitel 5
Slutsats och rekommendation
Modellen som rapporten tar fram är tillräcklig noggrannhet för kraven som ställs från uppgiften. Den kan anpassas efter bälgar av olika storlekar och former på kol-varna. Den kan beakta bälgar med styvt eller mindre styvt gummi då parametrarna påverkas av gummits elasticitet. Även kan mängden luft i bälgen ändras på under simuleringen vilket var ett villkor för modellen. Läggs inget större krav på hur lång tid det tar att fylla på bälgen med luft kan luftflödet tas godtyckligt till simuleringen och användas tills önskvärd höjd eller kraft uppnås.
Kapitel 6
Förslag till framtida arbete
HysteresRapportens modell har förenklat processen till att vara reversibelt och då försummat hysteresen. För att öka dess noggrannhet rekommenderas att nya mätningar utförs då förlängningen z förändras i ett steg i stället för sinuskurva för att underlätta reglertekniska modelleringen av hysteresen.
Luftflöde
Nya mätningar rekommenderas att utföras när deformationen z är konstant och luftmängden förändras. Då kan volymförändringen VK modelleras efter massflödet så inte modellen antar att bälgen är oändligt styv när luft fylls på. Hur mycket modellen ökar i noggrannhet av det är inte känt hos rapporten. Vad den typen av mätningar också möjliggör är att approximera hastigheten på massförändringen
m′/m och hur den påverkar trycket.
Linjärisering
För att underlätta simuleringen kan modellen av effektiva arean Ae och volym-förändringen VK approximeras till linjära samband. Det medför en försämring hos modellen som kan vara försumbar. Rapporten utför inte det på grund av tidsbrist.
Göra volymförändringen beroende av kraften
Modellen av volymförändringen VK bestäms av variablerna förlängningen z och trycket P . Som alternativ kan volymsmodellen göras beroende av förlängningen z och kraften F så att simuleringen inte behöver använda en skattad variabel P under simulering.
Kapitel 7
Diskussion
Huvuduppgiften från Scania blev löst på ett tillfredsställande sätt enligt rappor-ten, dock mycket försenat. Den låga osäkerheten på modellens parametrar, hur väl kurvanpassningen följer punkterna samt hur väl det skattade resultatet följer de uppmätta ger god förhoppning om att den typen av modell kan användas i indu-strin för simulering av luftbälgar.
För utom huvudsysslan att modellera bälgar från andra avhandlingar ingick följande uppgifter som togs bort från rapporten vid ett senare skede.
• Undersöka Volkswagens modell av hydrauliska dämpare med flera kammare. Det projektet skrotades efter 2 månader då versionerna på MSC Adams var för olika mellan Scania och Volkswagen.
• Intervjua och samla data från andra avdelningar på Scania för att undersöka när och hur massflödet ändras i luftbälgar. Vara spindeln i nätet på Scania för att se vilka resurser som kan användas för att modellera bälgar och vilka avdelningar kan ha nytta av det. Det valdes bort för det tog för mycket fokus från modelleringen.
De tre största utmaningarna med att skapa modellen kom från att ta fram ny teori om trycket, skapa databassystem för mätningarna och att förstå Scanias mätningar. Att lösa utmaningarna har varit givande för studenten men har bidragit till att bryta mot avgränsningarna och försvåra arbetet.
Appendix
A Grunden för litteraturens tryckmodell PA
A1 Termodynamikens första huvudsats
Lee (2010) använder termodynamikens första huvudsats som grund för modell PA. Den huvudsatsen är den första av två axiom som termodynamiken bygger på en-ligt Granryd (2006) och beskriver hur energi aldrig kan förintas eller tas fram från ingenstans. Lee (2010) använder huvudsatsen som en energiekvation då förändring-en av ett systems inre förändring-energi är lika med förändring-energipåverkan från omgivningförändring-en förändring-enligt ekvation 7.1.
U′ = L′+ Q + W′ (7.1)
Här är förändringen av inre energi U′med avseende på tiden summan av energin från
massflödet L′, energiflödet från värmeöverföringen Q och volymförändringsarbetet
W′. Luften antas vara en ideal gas och dess läges- och rörelseenergi försummas.
Ekvationen tar inte med gummits inre energi som Lee (2010) försummar men och J. C. Lee (2007) använder.
Inre energin U
Förändringen av luftens inre energi U′ över tiden t beskrivs av Lee (2010) som
ekvation 7.2. Den ekvationen blir lättare att förstå som ekvation 7.3 då m och T byts ut med hjälp av ideala gaslagen ekvation 2.11.
U′ = d(m c
vT )/dt (7.2)
U′ = cv
R d(P V )/dt (7.3)
Trycket P och volymen V förändras båda över tiden så då kan derivering av sam-mansatta funktioner användas som ger ekvation 7.4.
U′= cv
R(P
Luftflödets energi L
När bälgen får tillskott på luft med flödet m′
in eller att luft tappas ur bälgen med hastigheten m′
ut är det dess entalpi h gånger massflödet som ger energibidraget L′
enligt ekvation 7.5.
L′ = h inm′
in− hutm′
ut (7.5)
Tas integralen av ekvation 2.17 tillsammans med villkoret att T → 0 ger h → 0
fås ekvation 7.6. Temperaturen T är bälgens temperatur och Ta är omgivningens temperatur.
hin= cpTa
hut= cpT (7.6)
Kombineras ekvation 7.5, 7.6 och 2.19 erhålls massflödet enligt Lee (2010) som ekvation 7.7. L′ = κ c v(Tam′ in− T m′ ut) (7.7) Värme Q
Värmeflödet Q fås av Lee (2010) som ekvation 7.8 då hc är värmeöverföringsko-efficienten, Aom är arean på bälgens gummi och (Ta− T ) är differensen mellan
utomhustemperaturen Ta och bälgens temperatur T .
Q = hcAom(Ta− T ) (7.8)
Volymarbete W
Volymändringsarbetet W′ anges av Granryd (2006) som ekvation 7.9.
W′ =−P V′ (7.9)
Friktion B
Lee (2010) har inte med friktionen i energiekvationen och och J. C. Lee (2007) har friktionen som parameter B i sin energiekvation. Därför tas en variation på tryckmodellen fram efter och J. C. Lee (2007) där energiekvationen är ekvation 7.10.
U′ = L′+ Q + W′+ B′ (7.10)
Den energiekvationen är identisk med ekvation 7.1 förutom hastigheten på gummits energiabsorption B′ över tiden. och J. C. Lee (2007) tar även fram friktionskraften
vara proportionerlig mot hastigheten av förlängningen z som i ekvation 7.11 samt förenklas till att inte förändras över tiden. Det ger enligt ekvation 7.12 att gummits energiabsorption B′är proportionerlig mot hastigheten av förlängningen z i kvadrat.
FB =−cz′ (7.11) B′ = dB dt = d(FBz) dt = FB d(z) dt =−c(z′)2 (7.12) A2 Tryckmodell PA sammansatt
I kapitel Termodynamik för litteraturens tryckmodell ?? fås energiekvationen i bäl-gen av ekvationerna 7.1, 7.4, 7.7, 2.22 och 7.9 som sammanfattas nu i ekvation 7.13. U′ = L′+ Q′+ W′( U′ = cv R(P ′V + V′P ) L′= κ c v(Tam′ in− T m′ut) Q′ = h cAom(Ta− T ) W′ =−P V′ (7.13)
Då ekvationen skrivs på en rad och löser ut för P′ fås ekvation 7.14
P′ =−V′P R V cv −V′P V + κR V (Tam ′ in− T m′ut) +RhcAom V cv (Ta− T ) (7.14) Nu erhålls tryckmodellen av ekvation 7.14 och 2.20 som ekvation 7.15, enligt Lee (2010). För att få bättre överblick skrivs dess ekvation som summor av olika bi-drag till tryckförändring där P′
V är volymbidraget, P′
Q är värmebidraget och P′ m är massbidraget. Variablerna är skrivna i bråkform och konstanterna är framför.
P′ = P′ V + P′ Q+ P′ m ( P′ V =−κP V′ V P′ Q= (κ−1)hcAom Ta− T V P′ m= κRTam ′ in− T m′ ut V (7.15)
Referenser
Acklands Grainger. https://static.grainger.com/rp/s/is/image/Grainger/ 11GC63_AS01?$zmmain$. besökt 2017-11-30, 2017
Ingvar Ekroth och Eric Granryd. Tillämpad termodynamik. Studentlitteratur, 2006. Nam P Suh Hrishikesh Deo. Pneumatic suspension system with independetn control
of damping, stiffnes and ride-height. 2010.
S. J. Lee. Development and analysis of an air spring model. International Journal
of Automotive Technology, 11(4):471–479, 2010.
Nils-Göran Nygren. Luftfjädrar. Examensarbete, Kungliga Tekniska Högskolan, 1991.
H. Liu och J. C. Lee. An investigation on the hysteresis characteristics of an auto-motive air spring. In Minoru Sasaki, editor, ICMIT 2007: Mechatronics, MEMS,
and Smart Materials, 2007.