Modellering av luftbälgar för simulering i Adams Car Leif Sortti

Modellering av luftbälgar för simulering i Adams Car

Leif Sortti

Master of Science Thesis MMK 201 4:25 MKN 101 KTH Industrial Engineering and Management

Machine Design

SE-100 44 STOCKHOLM

Examensarbete MMK 2014:25 MKN 101

Modellering av luftbälgar för simulering i Adams Car

Leif Sortti

Godkänt

2017-11-30 Examinator

Ulf Sellgren

Handledare

Ulf Sellgren

Uppdragsgivare

Scania RTCC

Kontaktperson

Anders Ahlström

Sammanfattning

På Scania RTCC önskas högre kontroll och precision på dess luftbälgar vid simulering i Adams Car. Därför har uppdrag tagits fram för att modellera luftbälgar från dragbilens hytt och

hjulupphängning. Till arbetet ingick test av tre luftbälgar som genomgick belastningsmätning i rigg.

Modellens struktur togs fram av tre delar som empirisk areamodell A

, teoretisk tryckmodell P’

och empirisk volymmodell V

.

 Empirisk modell av effektiva arean A

togs från mätningarna så samband mellan tryck och kraft kan användas. För att undvika reglerteknisk modellering försummas hysteresen så modellen blir reversibel.

 Rapporten kombinerade två av litteraturens tryckmodeller till en egen så samband fås mellan tryckets förändring P’, luftmassans förändring m’ och volymens relativa förändring V

. Tryckmodellen har med avsikt inte gjorts beroende av volymen eller temperaturen då mätning av dessa storheter saknas. Temperaturens inverkan på bälgen förenklas till hastighetskonstanten n som är 1 för mycket långsam körning och 1,4 för normal körning.

 För att undvika bälgens volym modelleras den relativa volymförändringen V

från tryckets teori samt de empiriska mätningarna. Här idealiseras förändringen på samma sätt som för arean A

till att vara reversibel genom att ta bort hysteresen.

Modellens sammansatta ekvation ger e tt lagom enkelt samband för kraftens förändring hos bälgen :

Kraftmodellen har förenklingar som ger kända och okända fel. Utan hysteres fås 1,5 % fel vid dynamisk körning och antagandet av konstant volym vid förändrad massa ger okända fel. Trots det rekomenderas att modellen avänds och utvecklas vidare så felen och osäkerheten minskas.

Nyckelord: Luftbälg, Pneumatisk dämpning, Fjädermodellering

Modeling air bellows for Adams Car

Leif Sortti

Approved

2017-11-30 Examiner

Ulf Sellgren

Supervisor

Ulf Sellgren

Commissioner

Scania RTCC

Contact person

Anders Ahlström

Abstract

Scania RTCC requires greater control and precision on its air bellows when simulated in Adams Car. Therefore, assignments have been developed to model air bellows from the trailer's cab and wheel suspension. The work included tests of three air bellows that underwent load deformation.

The structure of the model was developed by three parts as empirical area model A

, theoretical pressure model P' and empirical volume model V

.

 Empirical model of the effective area A

was shaped by measurements so that pressure- to-force relationship can be used. To avoid control engineering modeling, the hysteresis is neglected so the model becomes reversible.

 The report combined two of the literature's pressure models to a new model between change in pressure P', change in air mass m' and change in relative volume V

. The model is intentionally independent of the volume or temperature where measurement of these have not been taken. The effect of the temperature on the bellows is simplified to the speed constant n which is 1 for slow driving and 1,4 for normal driving.

 To avoid the volume of the air bellows, the relative change in volume V

is modeled from the pressure model and the empirical measurements. V

is simplified in the manner as for the area A

by removing the hysteresis and making it reversible.

Put together, the model provides a fairly easy theory of the force's change in the air bellows from the equation underneath.

The force model has simplifications that give known and unknown errors. Without hysteresis, deviations of 1,5% are obtained during dynamic driving, and the assumption of constant volume at changed mass gives unknown errors. It is the reports recommendation that the model be implemented and further developed so that the errors and uncertainties are reduced.

Keywords: Air bellows, Pneumatic damping, Air spring modeling

1 Introduktion 6

1.1 Bakgrund . . . 6

1.2 Uppdrag . . . 6

1.3 Avgränsning . . . 7

1.4 Metod . . . 7

2 Litteraturstudie 9 2.1 Bälgars komponenter . . . 10

2.2 Bälgars rörelse . . . 11

2.3 Bälgars egenskaper . . . 12

2.3.1 Styvhet . . . 12

2.3.2 Effektiv area . . . 13

2.3.3 Kolvens form . . . 15

2.3.4 Egenfrekvens . . . 16

2.3.5 Hysteres . . . 16

2.4 Termodynamik . . . 17

2.4.1 Ideala gaslagen . . . 17

2.4.2 Energin i mediet . . . 18

2.4.3 Tillståndsförändring . . . 19

2.4.4 Värmeflöde . . . 20

2.5 Tryckmodell PA . . . . 21

2.6 Tryckmodell PB . . . 21

2.7 Mycket förenklad tryckmodell . . . 21

3 Genomförande 23 3.1 Provning i rigg . . . 23

3.2 Modellera effektiv area . . . 26

3.3 Modellera trycket . . . 27

3.3.1 Förenkla tryckmodell PA . . . 27

3.3.2 Kombinera tryckmodellerna . . . 28

3.3.3 Idealiserad tidspåverkan . . . 28

3.4 Volymmodell . . . 29

3.5 Kraftmodell . . . 30

4 Resultat 31 4.1 Areamodell . . . 31 4.2 Volymmodell . . . 33 4.3 Kraftmodell . . . 34

5 Slutsats och rekommendation 39

6 Förslag till framtida arbete 41

7 Diskussion 43

Referenser 49

Introduktion

1.1 Bakgrund

Luftdämpare av typen bälgar är ett effektivt sätt att dämpa vibrationer och få rätt styvhet hos fordon. Den har en olinjär styvhet som ofta är önskvärt samt en reglerbar fjäderegenskaper då gasmängden kan ändras. Bälgarnas egenskaper är dock problematiska att simulera på grund av olika faktorer. Frekvensberoende hysteres fås eftersom gasen i bälgen värms upp vid kompression och viskoelastisk kompression fås av gummits materialegenskap. Luftbälgar finns i olika former och den geometriska formens förändring vid kompression ger också en olinjär påverkan på fjädringsegenskaperna.

1.2 Uppdrag

Scania RTCC har som önskemål att förbättra deras befintliga modell av luftbälgar vid simulering i MSC Adams. Därför gavs examensarbetet att ta fram en modell av luftbälgar som kan användas på de befintliga bälgar samt att kunna anpassas till andra luftbälgar. Bälgmodellens egenskaper ska vara nära verkligheten men sam- tidigt vara förenklad till den grad att den kan implementeras till MBS-simulering.

Vid användning av modellen ska den kunna anpassas till olika bälgtyper genom validering mot mätdata från prov i rigg samt kunna beräkna förloppet vid tillförsel av ny luft.

Följande moment har därför Scania STCC tillfrågat studenten att utföra.

• Litteraturstudie kring luftbälgar

• Ta fram modeller från tidigare forskning och utföra simuleringar av dessa i Matlab

• Ta fram information kring nivåregleringen hos Scanias lastbilar och bussar samt simulera dessa med tidigare framtagna modeller.

• Validering av simulerad modell mot mätdata från provning.

1.3. AVGRÄNSNING

1.3 Avgränsning

I arbetet att ta fram modeller av luftbälgar ska dess grund baseras på tidigare framtagna modeller som har validrats mot mätdata. Ytterst få egna teoretiska an- taganden behövs tas eftersom området har studerats under en längre tid och har på senare åren fått den grad av validering mot mätdata som uppdraget kräver. Mo- deller av enklare karaktär som inte möter alla kriterier ska också studeras som en referens och inlärning för de mer komplicerade men kompletta modellerna.

För att validera framtagna modeller behövs mätdata som dels validerar ett kor- rekt slutresultat, men som också ger data som validerar antaganden om processen i bälgens. Därför är det studentens uppgift att samarbeta med olika avdelningar på Scania för att komplettera behövd mätdata som inte redan har tagits fram. Detta sker dock inom ramen för hur arbetsbördan ser ut vid provlabbet och helbilstest- ning.

1.4 Metod

Teoretiska modeller baserad på termodynamik och mekanik ligger till grund för modeller av luftbälgar. Dessa modeller kan även ha inslag av empiriskt skattade värden för att beskriva ickelinjära egenskaper hos gummits materialegenskaper och bälgens geometriska förändring. En förenkling av dessa egenskaper som linjärisering kan vara nödvändigt för att få en smidig implementering i mjukvaran och riskanalys av möjliga felkällor av dess förenkling skall utföras.

Kapitel 2

Litteraturstudie

När en modell av en luftbälg skapas måste vissa faktorer tas hänsyn till innan modellen tas fram. Valet av litteratur styrs av dessa fyra faktorer som redovisas nedan.

Modellens syfte

Modellen ska ligga som grund för att förbättra simulering av luftbälgar i Adams Car. Modellen kan därför vara en kraft av bälgen F som fås av värden som Adams har. Då Adams räknar i diskreta tidssteg och söker jämvikt innan simulering kan Adams även godta förändringen F^′ som funktion av olika konstanter och variabler.

Typ av bälg

Då Scania uteslutande använder typen rullbälg är litteraturstudien fokuserad på den sortens luftbälg. Dock finns det variationer på typen rullbälg som gås igenom senare i rapporten.

Modellens delar

För att skapa en modell F(z,m) där kraften F är beroende av deformationen z och eventuellt luftmängden m måste storheterna volymen V och trycket P också beaktas.

Påverkan från omgivning

Då luftbälgar arbetar med kompression av luft är påverkan på den luften av stor betydelse. I figur 2.1 nedan visas två bälgar som är förankrade i botten. I båda systemen fås påverkan av kraften F eller förskjutningen z, men i System B förändras även luftmassan med m. Eftersom Scania använder båda systemen tas de upp i litteraturstudien.

Figur 2.1. Två bälgar med olika påverkan från omgivningen.

2.1 Bälgars komponenter

Två bälgar som förekommer ofta visas nedan i figur 2.2 från Acklands Grainger (2017) med rullbälg till vänster och veckad bälg till höger. Scanias använder bara rullbälg till sina fordon så rapporten undersöker inte veckad bälg.

Figur 2.2. Luftbälg av typ rullbälg och veckad bälg.

Luftbälgar fjädrar genom att hålla ett högt lufttryck som trycker på mekaniska kom- ponenter i angränsande system. För att åstadkomma det det behövs både flexibelt gummi som anpassar sig efter rörelsen och stel metall som fäster mot angränsande komponenter. Hur det åstadkoms och dess ingående komponenter visas i figur 2.3 enligt Nygren (1991).

• Luftanslutningen är för anslutning till fordonets trycksatta luftsystem. Om mängden luft är konstant under körning måste ändå luftmängden justeras innan körning för att bälgen ska få önskvärt beteende.

• Avtätat skruvhål är för montering mot anslutande komponenter med bibehål- let tätskikt.

2.2. BÄLGARS RÖRELSE

Figur 2.3. Luftbälg med genomskärning och markering av ingående komponenter.

• Ändplattan ligger mot angränsande komponent och nyper fast bälgen så en tät koppling fås.

• Bälgen är en gummiduk i lager av gummi och armerande kordlager i olika riktningar.

• Kolven är en cylinder av metall som bälgen rullar mot.

• Hållare för gummibit klämmer fast gummit mot kolven så en tät koppling fås.

• Skruvhålet är för montering mot anslutande komponenter.

2.2 Bälgars rörelse

För att tillåta stora utslag hos luftbälgar använder rullbälgar en kolv som skjuts in i bälgen. Det visas i figur 2.4 där körläget visar optimal drift för bälgens uppgift. Vid bottenläget då bälgen är som mest komprimerad brukar ett bumpstopp hindra kolv från att kollidera med ändplattan. Toppläget visar på den högsta isärdragningen av bälgen.

Figur 2.4. Tre lägen för rullbälgar med genomskärning och luften i blått.

Vad som är viktigt att förstå hos bälgars rörelse är dess anistropiska beteende när den tar upp krafter, Nygren (1991). I all riktningar utom den normala rörelsen i figur 2.4 fås ett mycket lågt fjädrande motstånd. Det medför att angränsande komponenter som chassi, länkarmar och bladfjädrar får ta upp moment och krafter längs bälgens radiala riktning. Det medför dock den positiva aspekten att bälgen tolererar en viss vinkel θ och axialförskjutning λ enligt figur 2.5.

Figur 2.5. Två luftbälgar där den vänstra har axialförskjutning λ och den högra är snedvinklad med θ.

På Scanias fordon fås ofta en liten vinkel θ vid hjulupphängningens bälgar på grund av länkarmarnas konstruktion. Den lutningen försummas då modeller som tas upp i rapporten bara rör sig i axialled samt att provningen på Scania är utförd utan förskjutningen λ eller vinkeln θ.

2.3 Bälgars egenskaper

Innan en modell av en luftbälg tas fram är det bra att en uppfattning om hur luft- bälgar kan bete sig. Därför är det beskrivet nedan hur de geometriska parametrarna förändras över förlängningen och andra fenomen som påverkar egenskaperna.

2.3.1 Styvhet

En av de viktigare egenskaperna hos alla typer av fjädrar är hur mycket reaktions- kraft F som fås vid vilken deformation z. Olsson (2006) beskriver det förhållandet som fjäderns fjäderkaraktäristik enligt figur 2.6 och underliggande punkter.

• Progressiv fjäderkaraktäristik är då lutningen på kurvan i F–z-diagrammet ökar vid ökad deformation. Det beteendet är vanligt hos gummibussningar, luftbälgar och enkelt konstruerade pilbågar enligt Olsson (2006).

• Förlustenergin som kallas hysteres uppstår då kraft–deformationssambandet inte är lika under kompression som relaxation. I figur 2.6 syns det som det mörka området vars area är energin som förloras. Detta beskrivs mer i sektion Hysteres 2.3.5.

2.3. BÄLGARS EGENSKAPER

Figur 2.6. Fjäderkaraktäristik på ett kraft–deformationsdiagram.

• Linjär fjäderkaraktäristik är då lutningen i F–z-diagrammet är konstant, vilket är vanligt hos normala spiralfjädrar.

• Degressiv fjäderkarakteristik fås när lutningen i F–z-diagrammet minskar. Det är inte lika vanligt förekommande men finns i moderna och lättdragna pilbågar samt kan uppnås hos luftbälgar vid speciellt utformade kolvar. Hur det kan åstadkommas beskrivs i sektion Kolvens form 2.3.3.

• Inre fjäderenergin är mängden energi som absorberas av fjädern under de- formation. I F–z-diagrammet visas det som ljusgrått område för den linjära fjäderkompressionen.

Lutningen på kurvan i figur 2.6 är fjäderns styvhet och beskrivs i ekvation 2.1.

k = dF

dz (2.1)

Eftersom fjäderkonstanten k_s hos luftbälgar förändras under förlängningen gäller inte Hookes lag F = ksz enligt Nygren (1991) och förtydligas i ekvation 2.2.

F ̸= k z (2.2)

2.3.2 Effektiv area

Hos luftfjädrar är det differensen mellan fjäderns lufttryck P och atmosfärstrycket P_a med en konstant χ som ger reaktionskraften F enligt ekvation 2.3.

F = χ(P− Pa) (2.3)

Om konstanten χ sätts efter arean Ay som är det gul-grå-randiga området i figur 2.7 fås fel värden enligt ekvation 2.4, Nygren (1991).

F ̸= Ay(P − Pa) (2.4)

Figur 2.7. Luftbälg med arean Ay som gula ränder, bälgtrycket P , atmosfärstryck Paoch kraften F .

För att ta fram förhållandet mellan kraft och tryck måste bälgens geometri studeras.

Till rullbälgar tas tre diametrar fram som d_k, d_e och d_y enligt figur 2.8. Måttet d_k kommer från kolvens diameter, de från gummits lägsta punkt och dy från bälgens ytterdiameter. Varje diameter har också en motsvarande area A då Aefås i ekvation 2.5.

Figur 2.8. Luftbälg i genomskärning med tre diametrar utmarkerade.

A_e= d_e²π

4 (2.5)

Nygren (1991) anger att arean Ae är faktorn som ger förhållandet mellan kraften F och trycket P som i ekvation 2.6

2.3. BÄLGARS EGENSKAPER

F = A_e(P − Pa) (2.6)

Nygren (1991) anger också att måttet de är nästan medelvärdet mellan måtten dk

och dy. Alltså fås desom ekvation 2.7 och arean Aefås då tillsammans med ekvation 2.5 som ekvation 2.8.

de≈ d_k+ d_y

2 (2.7)

A_e≈ (_d

k+dy

2

)₂ π

4 (2.8)

Eftersom botten av luftbälgens gummi inte är en perfekt rund fås en mer korrekt approximation av arean A_eff när en faktor 0,9 används som ekvation 2.9, Nygren (1991).

A_e= 0,9(d_k+ d_y)²π

8 (2.9)

2.3.3 Kolvens form

Arean Ae från sektion Effektiv area 2.3.2 har inverkan på bälgens beteende. Den arean är förhållandet mellan reaktionskraften F och tryckdifferensen (P − Pa), så om den arean ökar så förstärks tryckets inverkan på kraften. Nygren (1991) beskri- ver hur det sambandet används för att påverka fjädringskaraktäristiken genom att designa kolven på olika sätt. I figur 2.9 visas fyra fall av förlängning över z vars positiva riktning är uppåt med olika kolvar.

Figur 2.9. Fyra luftbälgar med olika kolvformer samt dess samspel mellan kraften F och effektiv area Aeöver förlängningen z.

• Fall 1 använder en konisk kolv som ger ökande area och där med mer progressiv fjäderkaraktäristik.

• I Fall 2 är kolven rak och då fås konstant area inom körintervallet och pro- gressiv fjäderkaraktäristik.

• I Fall 3 används utåtbuktande kolvform som ger minskande area kring körläge och ger linjär eller degressiv fjäderkaraktäristik.

• Fall 4 är när kolven är betydligt smalare än gummit hos bälgen som leder till mindre progressiv fjäderkaraktäristik än fall 2.

2.3.4 Egenfrekvens

I ett enkelt endimensionellt fjäder–massa system som i figur 2.10 oscillerar massan m_s i vertikalled. Det fås av en fjäder med fjäderkonstanten k_ssom inte påverkas av omgivningen. Egenfrekvensen ω₀ hos systemet fås av Olsson (2006) som ekvation 2.10.

Figur 2.10. Endimensionellt fjäder–massa system

ω₀=

√ k_s

m_s (2.10)

Hos fordon är det mer komplext att räkna egenfrekvenser än ekvation 2.10, men en grov uppskattning kan göras som följer, enligt Nygren (1991). Ett fullastat lastfor- don med linjära fjädrar har en önskvärt låg egenfrekvens. När fordonet lastas av minskar massan avsevärt och egenfrekvensen ökar enligt ekvation 2.10. Hög egen- frekvens resulterar i sämre förarkomfort och måste därför motverkas med kraftiga dämpare eller val av mindre styva fjädrar. Luftbälgar kan motverka den förändring- en av egenfrekvensen genom att ha en progressiv fjäderkaraktäristik så att styvheten k minskar när massan m_s minskar.

2.3.5 Hysteres

Hysteres som togs upp kort i sektion Styvhet 2.3.1 fås när en elastisk eller delvis elastisk komponent absorberar energi vid deformation men ger inte tillbaka samma mängd energi vid relaxation. Det kan exempelvis bero på plastisk deformation, friktion eller termodynamiska reaktioner. En enkel illustration av det förloppet visas i figur 2.11.

Lee (2010) studerade hysteresen hos luftbälgar och kom fram till att hysteresen som fås i kraften F är en kombination av geometrisk hysteres från den effektiva arean

2.4. TERMODYNAMIK

Figur 2.11. Fenomenet hysteres vid deformation z av en kropp vid kraften F . Pålast- ning i blått har en högre kraft än avlastningen i rött vars area i grått är förlustenergin.

Aeoch termodynamisk hysteres från trycket P . Då rapporten bygger en modell som är enkel nog att inte beakta hysteresen görs ingen djupare analys av dessa orsaker eller påverkan.

2.4 Termodynamik

Modellerna som tas fram i rapporten har sina grunder i termodynamiken. Därför tar rapporten fram enklare termodynamiska koncept som ideala gaslagen och energi för ett medium så att modellernas ekvationer kan bearbetas.

2.4.1 Ideala gaslagen

Den ideala gaslagen beskrivs av Granryd (2006) som att en ideal gas med trycket P , volymen V , massan m och absoluta temperaturen T alltid ger samma gaskonstant R när de läggs upp som ekvation 2.11.

P V

mT = R (2.11)

Används uttrycket för volymitet v enligt ekvation 2.12 fås den ideala gaslagen utan beroende av massan i ekvation 2.13.

v = V

m (2.12)

P v

T = R (2.13)

Gaskonstanten för luft hos R fås av Granryd (2006) som divisionen av den allmän- na gaskonstanten R_M = 8314, 3 J/(kmolK) som är samma för alla ämnen, med molmassan för luft M_{luf t} = 28, 96 kg/(kmol) enligt ekvation 2.14.

R = R_M Mluf t

= 278, 1N m/(kg K) (2.14)

2.4.2 Energin i mediet

Den inre energin u defineras av I Granryd (2006) som summan av alla molekylers polentiell och kinematisk energi. Det medför att u förändras vid temperaturför- ändring men inte vid volym-tryckförändring. Ska energin för mediet beaktas vid volym-tryckförändring används entalpin h som definieras av Granryd (2006) som ekvation 2.15.

h = u + P v (2.15)

För att räkna på en oändligt liten förändring av energin du eller dh hos mediet då temperaturen ändras med dT fås olika värden beroende på om volymen hålls konstant eller trycket hålls konstant. För ideala gaser använder Granryd (2006) specifik värmekapacitet c i ekvation 2.16 och 2.17 med cv vid konstant volym och c_p vid konstant tryck.

du = c_vdT (2.16)

dh = cpdT (2.17)

Granryd (2006) visar även att förhållandet mellan c_v och c_p fås av gaskonstanten R i enligt 2.18.

cp− cv= R (2.18)

Kvoten mellan c_p och c_v förekommer så pass ofta att den tilldelas konstanten κ som blir 1, 4 för luft enligt ekvation 2.19, Granryd (2006).

κ = c_p cv

= 1,4 (2.19)

Kombineras ekvation 2.18 och 2.19 kan ett uttryck för _c^R

v tas fram som ekvation 2.20.

R cv

= c_p− cv

cv

= κ− 1 (2.20)

2.4. TERMODYNAMIK

2.4.3 Tillståndsförändring

Rapportens mycket förenklade tryckmodell har sin grund i hur en gas komprimeras eller expanderar utan fasövergång. För att tydligare illustrera det förloppet för- enklas bälgen till en kolv som komprimerar gas i en behållare enligt figur 2.12.

Gasen i blått får trycket P , volymen V och temperaturen T . Parametrarna mot omgivningen är kraften F , förskjutningen z och värmeöverföringen Q. Systemet an- tar även att gasen är ideal, kolven rör sig friktionsfritt och gasens massa är konstant.

Figur 2.12. Ideal gas komprimeras i ett kärl av en kolv.

Olika tillståndsförändringar fås genom att sätta olika parametrar till noll eller att dom hålls konstant under processen. Nedan beskrivs fem förändringar och samman- fattas i tabell 2.4.3 enligt Granryd (2006). De två första processerna förekommer inte vid simulering av luftbälgar men tas med i rapporten som exempel.

• Isobar är då kraften F samt trycket P är konstant.

• Isochor fås då z samt V är konstant.

• Isentropiskt system fås vid oändligt hög isolering som ger värmeöverföringen Q = 0.

• Isoterma system ger konstant temperatur. Det uppnås när värmeöverföringen Q är hög och sker under kort tid. En ideal värmeväxlare arbetar efter den principen och konsekvensen är att temperaturen följer den konstanta omgiv- ningstemperaturen.

• Polytropisk tillståndsförändring är ett mellanting mellan isoterm samt isentrop som uppnås då temperaturen T förändras samt värmeöverföringen Q > 0.

Isoterma och isentropiska systemen är förändringar som uppnås endast i teorin. I verkligheten uppnås alltid polytropisk förändring som kan idealiseras till isentro- piskt eller isotermt i beräkningarna.

I tabellen ovan visas vilka parametrar som hålls konstant under vilken process.

Tabellen visar även vilket värde exponent n får för luft, vars högsta värdet fås av nmax= κ = 1, 4 från ekvation 2.19.

Process Konstant värde n övrigt

Isobar P

Isochor V

Isoterm T, P Vⁿ 1

Isentrop P Vⁿ 1,4 Q = 0

Polytrop P Vⁿ 1 < n < 1,4

Tabell 2.1. Termodynamiska tillståndsförändringar för luft.

För att lättare förstå tillståndsförändringarna plottas de godtyckligt nedan utan skala på ett P–Vdiagram i figur 2.13 enligt Granryd (2006).

Figur 2.13. P-Vdiagram för olika tillståndsförändringar.

Som sammanfattning förtydligas att processer som är isoterma, polytropiska eller isentropiska ger ekvation 2.21. Hos luftbälgar fås den processen vid konstant massa och konstant omgivningstemperatur enligt Nygren (1991).

P Vⁿ= konstant (2.21)

2.4.4 Värmeflöde

Värmeflödet Q fås av Lee (2010) som ekvation 2.22 då h_cär värmeöverföringskoef- ficienten, A_om är arean kring bälgen och (T_a− T ) är differensen mellan utomhus- temperaturen Ta och bälgens temperatur T .

Q = hcAom(Ta− T ) (2.22)

2.5. TRYCKMODELL PA

2.5 Tryckmodell PA

Lee (2010) använder termodynamikens första huvudsats för att skapa en modell för att bestämma tryckets förändringen från förändring av volymen, temperaturen och massan. Den visas som ekvation 2.23 och kallas modell PA i rapporten.

P^′ = P_V^′ + P_Q^′ + P_m^′ ( P_V^′ =−κP V^′

V P_Q^′ = (κ−1)hcAom

Ta− T V P_m^′ = κRT_am^′_in− T m^′_ut

V

(2.23)

I modell PA ovan i ekvation 2.23 är den uppdelad i tre summor då P_V^′ är tryckbidra- get från volymförändringen, P_Q^′ är tryckbidraget från temperaturförändringen och P_m^′ är tryckbidraget från massförändringen. Hos tryckbidraget från temperaturför- ändringen P_Q^′ fås hc som värmeöverföringskoefficienten, Aom som den omgivande arean hos bälgen och T_a som temperaturen omkring bälgen. I tryckbidraget från massförändringen P_m^′ används m^′_in som tillförseln av luftmassa och m^′_ut som bort- försel av luftmassa. En djupare analys av hur tryckmodellen tas fram är utförd i Appendix A.

2.6 Tryckmodell PB

Hrishikesh Deo (2010) får dess tryckmodell genom att deriverar den ideala gaslagen, ekvation 2.11 med hjälp av kedjeregeln som i ekvation 2.24.

P V = R mT ⇒ P^′ P +V^′

V = m^′ m+T^′

T (2.24)

Löses trycket P^′ ut från ekvation 2.24 fås ekvation 2.25 som rapporten kallar för modell PB.

P^′ = P (m^′

m−V^′ V +T^′

T )

(2.25)

2.7 Mycket förenklad tryckmodell

I kapitel Tillståndsförändring 2.4.3 beskrevs vilket förhållande som behövs för att trycket och volymen ska ge ett konstant värde när de förändras. Används dess ekvation 2.21 för startpunkten noll och en valfri punkt fås ekvation 2.26, Nygren (1991). Med omformulering fås ett uttryck för trycket P som ekvation 2.27, som är grunden för den mycket förenklade tryckmodellen. Då modellen inte beaktar förändring av luftmassan gör rapporten ingen djupare analys av den.

P Vⁿ= P₀V₀ⁿ (2.26)

P = P0

(V V0

)_−n

(2.27)

Kapitel 3

Genomförande

För att modelera luftbälgar arbetar rapporten i fyra steg. Först ska de empiriska mätningarna undersökas. Efter det studeras den effektiva arean A_eför den är länken mellan kraft F och tryck P . Sedan tas teori fram hur trycket P påverkas av olika faktorer. En av dessa faktorer är volymen V och därför studeras vad som påverkar volymen V som sista steg.

3.1 Provning i rigg

För att underlätta modelleringen har Scania RTCC beställt test av luftbälgar i provring från Scania RTCD. Mätningen är utfärd på tre luftbälgar då tiden, defor- mationen, trycket, kraften men inte volymen har loggats. Dessa mätningar tillhör Scania och därför visar rapporten inte siffror på mätningen. I figur 3.1 nedan visas en approximerad plot på de loggade mätvärdena.

Figur 3.1. Förenklad bild av riggprov med approximativa loggade värdena tiden t, förlängningen z, trycket P och kraften F .

Bälgarnas utformning

De tre bälgarna som testas döps i rapporten till Spring1, Spring2 och Spring3 som alla har olika geometriska utformningar. Relativt varandra är Spring1 smal och hög, Spring2 är hög och bred medan Spring3 är kort och bred samt har en utåtbuktande kolv. Bälgarnas uppgift i dragbilen är att Spring1 är (liten) bälg i fyrbälgsbak- vagn, Spring2 är bakre (stor) bälg i fyrbälgsbakvagn och Spring3 är placerade vid framaxeln.

Provriggens inställning

Bälgarna monteras i riggen och ges starttryck på antingen {2, 3, 4, . . . , 10} bars totalt tryck. Bälgens höjd förlängs från dess referenshöjd med 1 cm eller 6 cm innan provning för att möjliggöra längre deformationer. Bärgens ändplatta och kolv är placerade ovanför varandra utan förksjutning λ eller vinkel θ enligt sektion Bälgars rörelse 2.2.

Riggens rörelse

Under provningen utsattes bälgarna för antingen en snabbt växlande sinuskurva för att testa dynamiska aspekter hos bälgen eller en långsam trekantsvåg för att testa kvasistatiska egenskaper. Korrekta kvasistatiska förlopp är svårt att uppnå i prov- ning då det tar mycket lång tid, men ordet används för att beskriva de långsamma trekantsrörelserna. Följande punkter visar de tre bälgarnas rörelser .

• Spring1 utsattes för dynamisk sinusrörelse med frekvenser [1

2, 1, 3, 5 ]

Hz och amplituder på [5, 10, 20, 50] mm.

Trekantsvågen rör sig kvasistatiskt med hastigheterna [1, 2, 10] mm/s och en amplitud på [150] mm.

• Spring2 har sinusrörelse med frekvenser [¹₂, 1, 3, 5] och amplitud [10, 20, 40]

mm.

Spring2s trekantsvåg har hastigheten [1] mm/s och amplituden [150] mm.

• Spring3 har en dynamisk sinusrörelse med frekvensen [1

2, 1, 3, 5 ]

och amplitu- der på [5, 10, 20, 50] mm.

Ingen kvasistatisk provning utfördes på Spring3.

Exempel på rörelsen ges i figur 3.2 där Spring1 utsätts för dynamisk sinuskurva till höger och kvasistatisk trekantsvåg till vänster.

Behandla provningens data

Informationen från provningen sparades som Microsoft Excel kalkylblad. Där finns dels strukturerade kolumner som är manuellt placerade men också automatisk pla- cerad information som behövde korrigeras. Därför konverterades datan först från

3.1. PROVNING I RIGG

Spring 1:s rörelse z

Figur 3.2. Bälgen Spring1:s rörelse z över tiden t under belasningsprovning. Långsam kvasistatisk provning till vänster och snabbare dynamisk provning till höger. Olika färger för olika rörelsemönster.

Excel till Mathworks Matlab för att sedan låta en algoritm ordna datan som följan- de:

• Ignorera tester med färre än sju mätningar för att undvika misslyckade mät- ningar. Normala mätserier innehåller mellan 600 och 800 mätpunkter.

• Flytta förskjutningen z med 10 mm eller 60 mm så bälgens normala körläge

”design height” fås vid z = 0.

• Öka trycket med 1 bar så att totalt tryck fås istället för övertrycket. Förstora trycket med faktor 10⁹ för de automatiskt placerade värdena så enheten pascal fås.

• Placera all data i Matlabs structure arrays och construct arrays för att lättare hantera datan.

• Ta bort 10 % av mätpunkterna vid riggens översta läge och 10 % av mätning- en vid riggens nedersta läge. Detta görs för att vid vändningen fås en kort stund av ingen förändring av defformationen z, som leder till singularitets- problem. Även ges stor påverkan från gummits viskoelastiska natur kort efter vändningen som inte ska modelleras.

• Göra körningarna sökningsbara efter starttryck, amplitud och frekvens.

3.2 Modellera effektiv area

Simuleringen som ska använda modellen ger kaften F när trycket P behövs. Därför modeleras den effektiva arean A_efrån ekvation 2.6 som ekvation 3.1 så förhållandet kan skattas.

Ae = F P− Pa

(3.1) För att kombinera kraftmodell och tryckmodell i slutet av rapporten tas även deri- vatan av effektiva arean ekvation 2.6 som ekvation 3.2. Här antas att förändringen av den effektiva arean Aeär försumbar i relation till förändringen hos kraften F och trycket P så A_e deriveras som en konstant.

P^′ = F^′ Ae

(3.2) Nedan i figur 3.3 ges ett exempel på hur den effektiva arean A_e hos Spring 1 är starkt beroende av kraften F men påverkas lite av förlängningen z. De blåa banden är skattning av effektiv area Ae från empirisk mätning av kraft F och tryck P . Rutnätet är kurvanpassning till punkterna utförd med ickelinjär minsta kvadrat och gås igenom i sektion Resultat 4.1.

Figur 3.3. Kurvanpassning av den effektiva arean hos Spring 1 vid dynamisk mät- ning.

3.3. MODELLERA TRYCKET

3.3 Modellera trycket

Rapporten tar fram en egen modell för tryckets förändring då litteraturens modeller inte fyller kraven som ställs. Den ska utformas från empiriska mätningar av kraft F , kompression z och tryck P . Den ska vara komplex nog att ta med massförändringen m^′ och kompresionshastigheten z^′, men kunna försumma temperaturpåverkan Q vid behov. Därför kombineras två av litteraturens tryckmodeller PA och PB till en tredje: rapportens tryckmodell.

3.3.1 Förenkla tryckmodell PA

För att kombinera litteraturens tryckmodeller måste först modell PA förenklas så den får samma utseende som modell PB. Därför görs följande antaganden enligt punkterna under.

• Luftflödet in i bälgen approximeras till att ha samma temperatur som bälgen.

Det medför att T_a= T för massflödet m_in

• Luftflödet in och ut förenklas till ett luftflöde som m^′ = m^′_in− m^′_ut.

• Om bälgen värms eller kyls ändras trycket och volymen. För att förenkla beräkningarna antas att gummits väggar är totalt styva vid värmeförändring.

Enligt Granryd (2006) sker en sån isochorisk värmeförändring som ekvation 3.3 då T_q^′ är temperaturförändring som uppstår från värmeöverföring.

Q = mc_vT_q^′ (3.3)

Värmebidraget till tryckmodellen ekvation 2.23 fås med idealiseringarna ovan och ekvation 2.11, 2.20 och 2.22 som ekvation 3.4.

PQ = (κ_{| {z }}− 1)

= R/cv

1

V h_|cAom_{z(Ta−T )_}

= Q = T_q^′mcv

= T_q^′Rm V

cv

cv

= PT_q^′

T (3.4)

Tryckbidraget från massförändringen, ekvation 2.23 fås som ekvation 3.5 med ide- aliseringarna ovan och ideala gaslagen ekvation 2.11.

P_m^′ = κRT_am^′_in− T m^′ut

V = κRT

V m^′ = κPm^′

m (3.5)

Nu fås idealiserad tryckmodell PA från ekvation 2.23 tillsammans med de förenklade tryckförändringarna i ekvation 3.4 och 3.5 som ekvation 3.6.

P^′ = P (

κm^′ m−κV^′

V +T_q^′ T

)

(3.6)

3.3.2 Kombinera tryckmodellerna

När en bälg komprimeras är det enklare att se förändringen som antingen kvasista- tisk så temperaturen inte ändras T^′ = 0 eller adiabatisk så ingen värme utbyts med omgivningen T_q^′ = 0. Används det adiabatiska antagandet på litteraturens förenk- lade tryckmodell PA från 3.6 fås ekvation 3.7 och det kvasistatiska förändringen på tryckmodell PB från 2.25 fås ekvation 3.8.

Adiabatiskt

P^′ = κP (m^′

m − V^′ V

)

(3.7)

Kvasistatiskt

P^′ = P (m^′

m −V^′ V

)

(3.8) Här fås grunden till rapportens tryckmodell. Bälgkompression som sker snabbt tol- kas som ekvation 3.7 och kompression som sker långsamt tolkas som 3.8. Rapporten antar även att övergången mellan kvasistatiskt till adiabatiskt sker på samma villkor som övergången mellan isotermiskt till isentropiskt enligt sektion Tillståndsföränd- ring 2.4.3. Där går parametern n mellan 1≤ n ≤ κ och därför byts κ ut mot n så rapportens tryckmodell fås som ekvation 3.9.

P^′ = nP (m^′

m −V^′ V

)

(3.9) 3.3.3 Idealiserad tidspåverkan

Hysteresen hos bälgen gör att kraftpåkänningarna innan beräkningen påverkar den aktuella kraften F . För att förenkla bort den sortens tidspåverkan och med det göra modellen reversibel, ändras tryckmodellen 3.9 så bokstaven d representerar oändligt små steg enligt ekvation 3.10.

dP dt = nP

(_dm

dt

m −^dVdt V

)

(3.10) Om volymförändringen dV/dt förenklas till att endast påverkas av deformationen z tappar modellen möjligheten att beakta volymförändring V^′ direkt från luftmassas förändring m^′. Det medför totalt styvt bälgvägg när luftmängden ändras, vilket rapporten anser inte påverka modellen märkbart. Kedjeregeln används på ekvation 3.10 för att möjliggöra den föränklingen som ekvaion 3.11.

dP dt = nP

(_dm

dt

m −^dVdz V

dz dt

)

(3.11) Eftersom kvoten (^dV/dz)/V behandlas som en funktion i rapporten byts den ut till VK enligt ekvation 3.12 så den slutgiltiga tryckmodellen fås som ekvation 3.13.

Primtecken används igen för att representera derivering över tiden.

3.4. VOLYMMODELL

VK = ^dV/dz

V (3.12)

P^′= nP (m^′

m−VKz^′ )

(3.13)

3.4 Volymmodell

Rapportens tryckmodell 3.13 använder volymens relativa förändring VK för att be- räkna tryckets förändring P^′. Denna volymförändring kan modelleras när tryckmo- dellen antas ha ingen massförändring m^′ = 0 och V_K löses ut som ekvation 3.14.

VK =− 1 nP

P^′

z^′ (3.14)

Då primtecknet avser derivering över tiden kan den bytas ut mot ^d/dt så ekvation 3.14 kan förenklas till ekvation 3.15 när P_z^′ menar förändringen av trycket P med avseende på kompressionen z.

V_K =− 1 nP

dP/dt

dz/dt =−^dP/dz

nP =−P_z^′

nP (3.15)

Exempel på modellering av den relativa volymförändringen V_K ges nedan i figur 3.4 där Spring 1 utsätts för dynamisk belastning under olika starttryck P0. Här är de blå banden skattningar av volymförändringen V_K från empiriska mätningar av trycket P och kompression z. Rutmönstret i figuren är linjär kurvanpassning med minsta kvadratmetoden som beskrivs i detalj i kapitel Resultat

Volymmodellering av Spring1

Figur 3.4. Modell av volymförändringen VK för Spring 1s dynamiska mätning.

3.5 Kraftmodell

Grunden till den slutgiltiga kraftmodellen fås av att kombineras effektiva areans de- rivata från ekvation 3.2 och rapportens tryckmodell från ekvation 3.13 som ekvation 4.5.

F^′ = AenP (m^′

m−VKz^′ )

(3.16)

Kapitel 4

Resultat

Spring 1 och Spring 2 har liknande geometrisk utformning och får därför snarlika egenskaper. Spring 3s större skillnad mot de två andra är dess utåtbuktande kolv ock minskad mängd mätningar som ska modelleras från. Därför används mindre termer hos Spring 3s modeler samt att dess utseende blir annorlunda från Spring 1 och Spring 2.

Metoden för kurvanpassningarna hos alla tre bälgar är polynomial olinjär minsta kvadratanpassning. Normaliserade mätvärden används för att underlätta kurvan- passningen och kvadratisk robusthet används för att ignorera avvikande mätvärden.

4.1 Areamodell

Ekvationen som används för att modellera effektiva arean A_e för alla tre bälgar visas i ekvation 4.1. Trycket P och förskjutningen z normaliseras till ˙P och ˙z som i ekvation 4.2 då µ är medelvärdet och σ är spridningen.

A_e(z, F ) = a₀₀+ a₁₀z + a˙ ₀₁F + a˙ ₁₁z ˙˙F + a₂₀z˙²+ a₀₂F˙²+ a₀₃F˙³ (4.1)

˙

z = z− µz

σ_z F =˙ F− µf

σ_f (4.2)

Parametrarna a₀₀ . . . a₀₃ till areamodellen för Spring 1 till Spring 3 för kvasistatis körning ’sta.’ och dynamisk körning ’dyn.’ ges nedan i tabell 4.1. Lika viktigt för att kunna använda modellerna är de normaliserande konstanterna som µ för medelvär- det och σ för spridningen. Kvalliten på kurvanpassningen mäts i viktad kvadratisk medelvärde på residualen RMSE och determinationskoefficienten R².

Spridningen hos parametrarna vid 95% konsfedensintervall är under 2 % hos alla för utom hos Spring 3 där a11 och a03 ligger på±3% och ±3,5%.

Parametrar för areans modell

Spring 1 sta. dyn. Spring 2 sta. dyn. Spring 3 dyn.

RMSE 6,21e-05 6,90e-05 9,73e-05 4,94e-05 0,000139

R² 0,998 0,997 0,996 0,995 0,992

µ_z 0,03 0,000260 0,03 0,000260 0,000228

σz 0,0664 0,0313 0,0664 0,0314 0,0314

µF 1,49e+04 1,75e+04 2,31e+04 3,09e+04 3,34e+04

σF 8760 8500 1,30e+04 7090 7700

a00 0,0314 0,0315 0,0503 0,0512 0,0565

a10 -0,000265 -0,000265 -8,13e-05 -0,000450 0,00196

a₀₁ 0,00109 0,00103 0,00159 0,000271 0,00121

a₁₁ 0 0 0 0 0,00027

a₂₀ 0 0 0 0 -0,000364

a₀₂ -0.000389 -0,000293 -0,000380 -5,56e-05 0

a₀₃ 7.57e-05 5,69e-05 4,48e-05 6.614e-06 0

Tabell 4.1. Parametrar till kurvanpassning av arean Ae.

Visualisering av kurvanpassningen samt jämförelse av kvasistatisk och dynamisk körning visas i figur 4.1. De blåa banden är var 12:e mätning av arean vid den kvasistatiska körningen, röda ringar visar var 60:e punkt vid dynamisk körning och den färgskiftande rutnätet visar kurvanpassningen till den kvasistatiska körningen.

Areamodellering för Spring1

Figur 4.1. Modell av arean Ae för Spring 1s kvasistatiska körning.

För Spring 3 som endast har dynamisk mätning med två olika starttryck antas linjär förändring relativt trycket så a₀₂ = 0 och a₀₃ = 0. Det visas i figur 4.2 där blåa punkter är var 12:e skattade volymförändring VK och färgat rutmönster är kurvanpassningen till alla punkter.

4.2. VOLYMMODELL

Areamodellering för Spring3

Figur 4.2. Modellering av arean Ae för Spring 3s dynamiska körning.

4.2 Volymmodell

För att modellera volymförändringen V_K används ekvation 4.3 där b₀₀ till b₂₀ är parametrar som bestäms för varje bälg. Variablerna är normaliserade förlängningen

˙

z samt normaliserade trycket ˙P och fås med ekvation 4.4 där µ är medelvärdet och σ är spridningen.

V_K(z, P ) = b₀₀+ b₁₀z + b˙ ₀₁P + b˙ ₂₀z˙² (4.3)

˙

z = z− µz

σ_z P =˙ P− µf

σ_f (4.4)

Parametrarna b00. . . b20 till volymmodellen för Spring 1 till Spring 3 för kvasistatis körning ’sta.’ och dynamisk körning ’dyn.’ ges nedan i tabell 4.2. De normaliseran- de konstanterna är µ för medelvärdet och σ för spridningen. Kvalliten på kurvan- passningen mäts i viktad kvadratisk medelvärde på residualen RMSE och determi- nationskoefficienten R². Spridningen på parametrarna vid 95 % konfidensintervall ligger under 3 % för utom hos b₂₀där de dynamiska mätningarna ger ±10%.

Resultatet för parameterskattningen visas i figur 4.3 för Spring 1 med var 12:e kvasistatisk körning som blå prickar och var 60:e dynamisk körning som röda ringar.

Rutmönstret är kurvanpassningen till den kvasistatiska körningen.

För spring 3s dynamiska körning fås figur 4.4 då blå prickar är var annan kvasista- tiska mätning och rutnätet är kurvanpassningen.

Parametrar för volymens modell

Spring 1 sta. dyn. Spring 2 sta. dyn. Spring 3 dyn.

RMSE 0,0328 0,0772 0,0243 0,0282 0,0496

R² 0,984 0,946 0,980 0,980 0,922

µ_z -0,00145 -0,00172 -0,000480 0,000139 0,000182

σ_z 0,0264 0,0283 0,0262 0,0285 0,0285

µ_P 7,129e+05 7,25e+05 6,970e+05 7,01e+05 6,96e+05 σ_F 1,87e+05 2,01e+05 1,77e+05 1,26e+05 1,33e+05

b00 3,40 3,39 2,81 2,82 3,26

b10 -0,331 -0,442 -0,218 -0,0336 -0,237

b01 -0,110 -0,196 -0,0476 -0,259 -0,0540

b20 0,0280 0,0392 0,0188 0,0192 -0,0485

Tabell 4.2. Parametrar till kurvanpassning av arean Ae.

Volymmodellering av Spring 1

Figur 4.3. Modell av volymförändringen VK för Spring 1.

4.3 Kraftmodell

Används parameterskattningarna från effektiva arean A_e(z,F ) enligt ekvation 4.1 samt ekvation 4.2 och volymmodellen VK(z, P ) enligt ekvation 4.3 och ekvation 4.4 kan den slutgiltiga modellen sammanställas som ekvationssystem 4.5.

4.3. KRAFTMODELL

Volymmodellering av Spring 3

Figur 4.4. Modell av volymförändringen VK för Spring 3.

F^′ =A_e(z,F ) nP (m^′

m −VK(z,P )z^′ )

A_e(z, F ) =a₀₀+ a₁₀z + a˙ ₀₁F + a˙ ₁₁z ˙˙F + a₂₀z˙²+ a₀₂F˙²+ a₀₃F˙³ VK(z, P ) =b00+ b10z + b˙ 01P + b˙ 20z˙²

˙

z =z− µz

σz

F =˙ F− µf

σf

P =˙ P − µf

σf

(4.5)

Används modellen med numeriska differentialekvationslösaren ODE 45 från Matlab samt att massan är konstant m^′ = 0 fås en skattning på kraften F . Nedan visas jämförelser mellan den skattade kraften i grönt och den uppmätta kraften i svart.

Bälgen Spring 1 visas i det kvasistatiska fallet i figur 4.5 och det dynamiska i figur 4.6. Spring 2 har det kvasistatiska fallet i figur 4.7 och det dynamiska i figur 4.8.

Spring 3 som bara har dynamisk körning har jämförelse hos krafterna i figur 4.9.

Figur 4.5. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring1 vid kvasistatisk mätning.

Figur 4.6. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring1 vid dynamisk mätning.

4.3. KRAFTMODELL

Figur 4.7. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring 2 vid kvasistatisk mätning.

Figur 4.8. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring 2 vid dynamisk mätning.

Figur 4.9. Skattad kraft i grönt och uppmät kraft i svart för Spring 3 vid dynamisk mätning.

Små avvikelser inom körområdet± 5 cm kan iakttas hos Spring 3 mellan uppmätt kraft och simulerad kraft. Den avvikelsen är mindre än 1 % så rapporten anser att den är försumbar. Avvikelser hos kraften hos Spring 1 och Spring 2 i de kvasis- tatiska fallen ignoreras av rapporten då de också är små och är utanför normalt körområde. Det enda som sänker precisionen på ett betydelsefult sätt är hysteresen som försämrar noggrannheten vid de kvasistatiska körningarna med 3.5 % och de dynamiska körningarna med 1,5 %.

Kapitel 5

Slutsats och rekommendation

Modellen som rapporten tar fram är tillräcklig noggrannhet för kraven som ställs från uppgiften. Den kan anpassas efter bälgar av olika storlekar och former på kol- varna. Den kan beakta bälgar med styvt eller mindre styvt gummi då parametrarna påverkas av gummits elasticitet. Även kan mängden luft i bälgen ändras på under simuleringen vilket var ett villkor för modellen. Läggs inget större krav på hur lång tid det tar att fylla på bälgen med luft kan luftflödet tas godtyckligt till simuleringen och användas tills önskvärd höjd eller kraft uppnås.

Kapitel 6

Förslag till framtida arbete

Hysteres

Rapportens modell har förenklat processen till att vara reversibelt och då försummat hysteresen. För att öka dess noggrannhet rekommenderas att nya mätningar utförs då förlängningen z förändras i ett steg i stället för sinuskurva för att underlätta reglertekniska modelleringen av hysteresen.

Luftflöde

Nya mätningar rekommenderas att utföras när deformationen z är konstant och luftmängden förändras. Då kan volymförändringen V_K modelleras efter massflödet så inte modellen antar att bälgen är oändligt styv när luft fylls på. Hur mycket modellen ökar i noggrannhet av det är inte känt hos rapporten. Vad den typen av mätningar också möjliggör är att approximera hastigheten på massförändringen

m^′/m och hur den påverkar trycket.

Linjärisering

För att underlätta simuleringen kan modellen av effektiva arean Ae och volym- förändringen V_K approximeras till linjära samband. Det medför en försämring hos modellen som kan vara försumbar. Rapporten utför inte det på grund av tidsbrist.

Göra volymförändringen beroende av kraften

Modellen av volymförändringen VK bestäms av variablerna förlängningen z och trycket P . Som alternativ kan volymsmodellen göras beroende av förlängningen z och kraften F så att simuleringen inte behöver använda en skattad variabel P under simulering.

Kapitel 7

Diskussion

Huvuduppgiften från Scania blev löst på ett tillfredsställande sätt enligt rappor- ten, dock mycket försenat. Den låga osäkerheten på modellens parametrar, hur väl kurvanpassningen följer punkterna samt hur väl det skattade resultatet följer de uppmätta ger god förhoppning om att den typen av modell kan användas i indu- strin för simulering av luftbälgar.

För utom huvudsysslan att modellera bälgar från andra avhandlingar ingick följande uppgifter som togs bort från rapporten vid ett senare skede.

• Undersöka Volkswagens modell av hydrauliska dämpare med flera kammare.

Det projektet skrotades efter 2 månader då versionerna på MSC Adams var för olika mellan Scania och Volkswagen.

• Intervjua och samla data från andra avdelningar på Scania för att undersöka när och hur massflödet ändras i luftbälgar. Vara spindeln i nätet på Scania för att se vilka resurser som kan användas för att modellera bälgar och vilka avdelningar kan ha nytta av det. Det valdes bort för det tog för mycket fokus från modelleringen.

De tre största utmaningarna med att skapa modellen kom från att ta fram ny teori om trycket, skapa databassystem för mätningarna och att förstå Scanias mätningar.

Att lösa utmaningarna har varit givande för studenten men har bidragit till att bryta mot avgränsningarna och försvåra arbetet.

Appendix

A Grunden för litteraturens tryckmodell PA

A1 Termodynamikens första huvudsats

Lee (2010) använder termodynamikens första huvudsats som grund för modell PA.

Den huvudsatsen är den första av två axiom som termodynamiken bygger på en- ligt Granryd (2006) och beskriver hur energi aldrig kan förintas eller tas fram från ingenstans. Lee (2010) använder huvudsatsen som en energiekvation då förändring- en av ett systems inre energi är lika med energipåverkan från omgivningen enligt ekvation 7.1.

U^′ = L^′+ Q + W^′ (7.1)

Här är förändringen av inre energi U^′med avseende på tiden summan av energin från massflödet L^′, energiflödet från värmeöverföringen Q och volymförändringsarbetet W^′. Luften antas vara en ideal gas och dess läges- och rörelseenergi försummas.

Ekvationen tar inte med gummits inre energi som Lee (2010) försummar men och J. C. Lee (2007) använder.

Inre energin U

Förändringen av luftens inre energi U^′ över tiden t beskrivs av Lee (2010) som ekvation 7.2. Den ekvationen blir lättare att förstå som ekvation 7.3 då m och T byts ut med hjälp av ideala gaslagen ekvation 2.11.

U^′ = d(m c_vT )/dt (7.2)

U^′ = c_v

R d(P V )/dt (7.3)

Trycket P och volymen V förändras båda över tiden så då kan derivering av sam- mansatta funktioner användas som ger ekvation 7.4.

U^′= cv

R(P^′V + V^′P ) (7.4)