Lärare A inleder den första lektionen med att göra eleverna uppmärksamma på skillnaden mellan en aritmetisk och en geometrisk serie. Därmed tas det ej för givet att
en talföljd är geometrisk (1.1). Direkt därpå behandlas även kvotens definierande roll för den geometriska summan (1.2), enligt utdraget nedan.
A: Vad ska vi prata om idag? Jo, vi ska prata om en annan typ av serier än den vi pratade om sist. Vad var det för serie vi pratade om förra gången?
Bild 2. Tavelfotografi av en aritmetisk och en geometrisk serie. Elev: Aritmetiska serier.
A: Aritmetiska serier. Och vad utmärker en sån? Vad menas med en aritmetisk serie? (Elevs namn)?
Elev: Det är väl en talföljd, eller det var inte det du syftade på?
A: Jo, det är en sorts talföljd, är det ja. Hade du ett exempel på det (Elevs namn)? Eller (Elevs namn)?
Elev: Skillnaden är alltid lika stor.
A: Skillnaden mellan två termer intill varandra är lika stor hela tiden va? Så…till exempel den ja. Idag så ska vi ge oss i kast med en ny typ av serie som heter geometrisk serie. Är det någon som vet vad det är redan nu?
Elev: När det ökar…
A: Ja, kan man säga, att den ökar med, det är så att kvoten mellan två termer som är efter varandra är densamma hela tiden och ett gammalt klassiskt exempel på en geometrisk serie det är den här gamla legenden om schackspelets uppfinnare, jag vet inte om ni har hört den?
A väljer sedan att ta ett exempel på hur en geometrisk serie och summa kan se ut. Exemplet handlar om schackbrädets uppfinnare som får i belöning för sin uppfinning att önska sig vad som helst. Han önskar sig då att få ett vetekorn på första rutan på brädet,
25
två på nästa, fyra på den tredje rutan och så vidare fram till ruta nummer 64. Först läggs en overhead ut och det diskuteras hur den geometriska talföljden kommer att se ut. Till sin hjälp tar A en läromedelsvideo som ger en kort genomgång om geometriska summor. I den tas det upp, genom schackbrädesexemplet, att ett visst element i talföljden, an, kan ses som en funktion av n (1.3).
Video: Schackbrädets uppfinnare begärde att få ett vetekorn på första rutan, två på andra rutan, fyra på tredje, åtta på den fjärde. För var och en av schackbrädets 64 rutor ville han ha dubbelt så många vetekorn som på den närmast föregående. Antalet vetekorn på respektive ruta anges av den geometriska talföljden 1, 1*2, 1*22, 1*23 och så vidare fram till det 64:e elementet som har 1*263 som funktion.
Dessutom konstateras det att det finns en skillnad mellan en geometrisk talföljd och en geometrisk summa och därmed visas skillnaden på att rada upp tal och att summera
dem (1.4).
Video: I en geometrisk summa är kvoten mellan en term och föregående term konstant vilket kan jämföras med den geometriska talföljden, där kvoten mellan ett element och närmast föregående element också är konstant.
Vid ett exempel på annuitetslån uppkommer det en diskussion med en elev om varifrån man börjar räkna den geometriska summan. Detta exempel nedan visar att riktningen på
den geometriska summan ej tas för givet (2.2). Utöver detta använder A även en tallinje
(8.2) för att illustrera den geometriska summans struktur.
A: Första termen är a va? För det jag precis har betalt in där, det har inte hunnit växa någonting. Där har jag mina fyra termer. Första termen och kvoten och antalet termer. Elev: (…)
A: Här borta?
Elev: Nej, alltså om du börjar längst till höger där du skrivit år ett.
A: Ja. jag kan börja i vilken ände som helst i en geometrisk serie. Det är samma sak. Elev: Jojo.
26
Bild 3. Tavelfotografi av annuitetslånsexempel.
I Bild 3 har A betecknat annuiteten med x. Tidigare under exemplets gång har A betecknat annuiteten med a men växlar efter en elevs kommentar till x. Därmed tas ej
beteckningarna på variablerna för givet (3.2).
Att kvotens exponent hos det n:te elementet är n-1 (4.1) är något som berörs flera gånger under lektionerna med det visas tydligast en bit in i videon nedan där det explicit förklaras hur den n:te termen ser ut.
Video: En geometrisk summa Sn kan allmänt skrivas a1+a1*k+a1*k2+a1*k3 och så vidare, fram
till den n:te termen i summan a1*kn-1.
Detta utvecklas även till en metod för att få ut det n:te elementet (9.1) genom nedanstående förklaring. Detta kompletteras även med att A skriver upp formeln för an
27
Bild 4. Tavelfotografi av härledning av formeln för geometrisk summa.
A: Och vill ni ha term nummer a1 här, så får ni den helt enkelt genom att ta a1, första
termen alltså, gånger kvoten upphöjt till n-1, så får ni ju fram vilken term som sitter på plats nummer n i den talföljden. Är du med (Elevs namn)?
Den första termen i en geometrisk summa har en kvot, vars exponent är noll (4.2). Detta
tas ej för givet i och med att A tar upp kvoten hos den första termen på följande sätt.
A: n är antalet termer, lysande. Så att den första här, det är ju egentligen, skulle man ju kunna skriva som a1*k0 va? Så man startar räknaren på 0 så att säga. Så har man n
stycken termer så kommer den sista exponenten att vara n-1. Det här betyder alltså a1,
första termen, k, kvoten mellan två på varandra följande termer och n är antalet termer.
Kvotens roll i den geometriska summan kan ses på olika sätt. I följande exempel, som berör en geometrisk summa med oändligt antal termer, ses kvoten som en
förändringsfaktor (4.3).
A: 4.39? Den kan jag ta ja. Det blir bra 4.39. Den speglar någonting som jag nämnde i förrgår, men vi har inte räknat något sådant tal ännu. Det är nämligen vad som händer om man har en oändlig serie och kvoten är mindre än ett. Då kan man faktiskt räkna ut summan, fast det är oändligt många termer i serien. Hur länge studsar en boll om första studsen är två sekunder och tiden i luften minskar med 25 % för varje studs? Då har vi vår totala tid som bollen studsar. Den är alltså två sekunder… Hur lång tid tar nästa studs? Alla slår upp detta talet nu och följer med. Det är viktigt. Vad säger ni? Hur lång tid varar nästa studs? Tiden i luften minskar med 25 % för varje studs. (Elevs namn)? Elev: 2*0,75
A: Just det. Förändringsfaktorn är 0,75 om det minskar med 25 %. Och nästa studs, hur länge varar den? Hur lång tid är bollen i luften då? (Elevs namn)
Ovanstående utdrag visar även ett av flera tillfällen i undervisningen där kvoten är ett
rationellt tal, inte bara ett positivt heltal (5.3). Dessutom visar utdraget även ett av flera
tillfällen där kvoten är ett tal mellan noll och ett (5.2), således en minskande geometrisk serie. Ovanstående exempel, som handlar om en studsande boll, visar också att det i
28
undervisningen inte tas för givet att tillämpningar på geometriska summor handlar om
ekonomi (7.1).
I följande utdrag från tavlan (Bild 5) går A igenom en uppgift från läroboken där det
inte tas för givet att a1 är ett positivt heltal (5.4).
Bild 5. Tavelfotografi av läroboksuppgift.
Att en geometrisk serie med ett oändligt antal termer kan ha en ändlig summa berörs av lärare A i och med följande resonemang. Därmed tas det inte för givet att antalet termer
är ändligt (6.1).
A: Men jag tyckte du sa… det händer en annan grej om kvoten är mindre än ett däremot, vi studerade det här med gränsvärden. Om, endast om, kvoten är mindre än ett så kommer ju om n går mot ett, eller mot oändligheten så kommer ju det här a1(1−kn)
1−k att bli vadå?
Lite svår fråga med lite MVG-stuk skulle jag nog säga. kn går mot noll, rätt (Elevs namn).
Elev: För att det blir ju mindre och mindre varje gång…
A: Exakt, det blir…skulle det exempel vara en halv så halveras det varje gång, så det går snabbt mot noll då. (Elevers namn). Då övergår den formeln till den, men det är bara om kvoten är mindre än ett som den gör det och det gäller då för oändligt många termer i den serien, så då kan man faktiskt räkna ut summan av oändligt många termer, den geometriska seriens summa.
(Skriver följande på tavlan under föregående period:
Om k<1 lim𝑛→∞𝑎1(1−𝑘
𝑛)
1−𝑘 = 𝑎1
1−𝑘)
Elev: Men det blir ju aldrig noll.
A: Det är sådana här gränsvärdesresonemang. I oändligheten så blir det noll. Tar du med oändligt många termer där så blir det noll. Det här med oändlighetsfunderingar och
29
räknande det har även de riktigt stora matematikerna missat på. Det blir genast lurigt när man sysslar med oändligheter. Ni får lita på att det blir så då, men ni ser att kn går ju mot noll i alla fall när n går mot oändligheten, k mindre än ett…
Att kvoten måste vara mindre än ett för att en oändlig serie ska ha ett gränsvärde eller en ändlig summa berörs också i ovanstående resonemang. Men att kvoten är mindre än
ett ej tas för givet vid oändlighetsresonemang (6.2) visas ännu tydligare nedan. Där
diskuteras villkoret k<1 vid oändliga serier, men det tas även upp vad som händer om kvoten skulle vara större än ett.
A: Men den här formeln fungerar bara, eller det här tänkandet fungerar bara om… Det är ett villkor för det, vilket är det? Kan ni se det?
Elev: Att det är mindre än ett.
A: Kvoten måste vara mindre än ett. (Mobiltelefonsignal ljuder)
A: Så att… Summan av den oändliga geometriska serien blir alltså då lika med första termen delat med ett minus kvoten, om kvoten är mindre än ett. Japp.
Elev: (…)
A: Vad sade du?
Elev: Vad gäller när kvoten är mer än ett?
A: Om kvoten är mer än ett, då bli summan oändlig ju, för då växer termerna hela tiden. Då blir summan oändligt stor. Det är ju därför det…
Elev: Valde du den…?
A: Bara om det är oändligt många termer. Och det måste vara så att termerna minskar hela tiden annars skulle ju seriens summa bli oändlig va? Så därför har vi det villkoret här.
Nästa utdrag visar att det hos A ej tas för givet att summaformeln med k-1 i nämnaren (9.2) skall användas.
Elev: Och så allting delat på förändringen minus ett. A: Kvoten minus ett ja. Så där.
Elev: Skall det inte vara tvärt om där nere? Skall det inte vara ett minus 1,045?
A: Kan man, man kan skriva om man vill vända på det här. Det är samma sak. Om jag vänder på termerna både i täljaren och nämnaren, så blir det samma sak ändå.
30
A: Det är mer vanligt när man har att kvoten är mindre än ett ja, men det funkar. Samma sak. Det är bara att förlänga med minus ett faktiskt.
Bild 6. Tavelfotografi som visar två olika sätt att skriva formeln för geometrisk summa.
A tar upp en del exempel där det inte är den geometriska summan som ska räknas ut. Istället är det i nedanstående två utdrag a1 (10.1) och därefter n som eftersöks (10.2).
Första exemplet är ett annuitetslån där det är a1 som ska räknas ut.
A: Mario lånar en miljon kronor till 5 % årsränta. Skulden skall betalas av på fyra år. Sch sch sch, (Elevs namn). Häng med nu. Om Mario skall betala samma belopp för ränta och amortering sammanlagt varje år, det vill säga ha ett annuitetslån: hur stort bli detta belopp? Det här kommer ni att stöta på när ni skall köpa hus eller lägenhet eller så.
Bild 7. Tavelfotografi av annuitetslånsexempel.
Det andra exemplet handlar om en tennisturnering där eleverna ska räkna ut hur många matcher vinnaren av turneringen kommer att spela, således är n det som eftersöks (10.2).
A: 4.40. I Wimbledonturneringen, som är en utslagsturnering, deltar i singelspelet 128 spelare. Hur många matcher blir det för den som till slut vinner turneringen?
31