Malmö högskola
Lärarutbildningen
Natur, miljö, samhälle
Examensarbete
15 högskolepoäng
Undervisning av geometrisk talföljd och
summa ur ett variationsteoretiskt
perspektiv
Teaching geometric progression and series from a variation theory
perspective
Fredrik Andreasson
Karl Palm
Lärarexamen 270hp Handledare: Ange handledare
Matematik och lärande 2010-01-18
Examinator: Per-Eskil Persson Handledare: Leif Karlsson
Sammanfattning
I denna studie undersöks vilka möjliga dimensioner av variation som kan finnas i framställningen av lärandeobjektet geometriska talföljder och summor. Detta har undersökts genom observation av undervisning hos fem olika gymnasielärare. Observationerna transkriberades och analyserades utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Resultatet av arbetet är ett antal formulerade dimensioner av variation, som kan användas för att planera och analysera undervisning rörande geometriska talföljder och summor.
Nyckelord: variationsteori, matematik, geometrisk talföljd, geometrisk summa, observation, undervisning, dimensioner av variation.
Innehållsförteckning
1 Inledning ... 1
2 Teori ... 2
2.1 Bakgrund ... 2
2.2 Variationsteori ... 3
3 Syfte och frågeställning ... 8
4 Metod ... 9 4.1 Litteratursökning ... 9 4.2 Personlig bakgrund ... 10 4.3 Urval ... 10 4.4 Observationer ... 11 4.5 Transkriptioner ... 13 4.6 Analysmetod ... 14 4.6 Forskningsetiska ställningstaganden ... 18 5 Resultat ... 20 5.1 Dimensioner av variation ... 21
5.2 Dimensioner av variation som kräver förtydligande ... 22
5.2.1 Kvotens definierande roll för en geometrisk talföljd tas ej för givet (1.2) ... 22
5.2.2 an kan ses som en funktion av n (1.3) ... 22
5.2.3 Att tillämpningar på geometrisk summa handlar om ekonomi tas ej för givet (7.1) ... 22
5.2.4 Att en geometrisk summa är direkt applicerbar på ett problem tas ej för givet (8.2) ... 22
5.2.5 Metoden för att få ut det n:te elementet tas ej för givet (9.1)... 23
5.2.6 Vad som skall räknas ut (10) ... 23
5.3 Lärare A - Dimensioner av variation ... 24
5.4 Lärare B - Dimensioner av variation ... 31
5.5 Lärare C - Dimensioner av variation ... 36
5.6 Lärare D - Dimensioner av variation ... 43
5.7 Lärare E - Dimensioner av variation ... 46
6 Diskussion ... 55
7 Referenser ... 58
Bilaga 1 - Medgivandeblankett för elever ... 61
Bilaga 2 - Medgivandeblankett för lärare ... 62
Bilaga 3 - Observationsprotokoll ... 63
Bilaga 4 - Lektionssammanfattningar... 64
1
1 Inledning
Vi hade som ambition, i valet av ämne till detta examensarbete, att välja ett ämne som vi verkligen fann intressant och som skulle vara möjligt att undersöka på ett bra sätt och följaktligen även bidra med en liten del till det matematikdidaktiska forskningsfältet. Efter att vi läst Johan Häggströms doktorsavhandling Teaching systems of linear
equations in Sweden and China: what is made possible to learn? från 2008 stod det
klart att utgångspunkten för vårt examensarbete skulle bli analys av undervisning ur ett variationsteoretiskt perspektiv.
Variationsteorin betonar, till skillnad från många andra teorier, vikten av det som faktiskt ska läras (Marton m.fl., 2004). Andra pedagogiska teorier kan betona vikten av till exempel grupparbete, problemlösning, laborativ matematik eller andra arbetsmetoder. Ur ett variationsteoretiskt perspektiv är dessa teorier inte tillräckligt specifika. För att verkligen sätta fingret på vad som är god undervisning krävs att vi sätter lärandeobjektet, det som faktiskt ska undervisas, i fokus. Detta snarare än vilken metod som används för att undervisa det aktuella lärandeobjektet.
Enligt ett sådant synsätt skulle alla avsnitt av gymnasiematematiken behöva analyseras ur detta perspektiv för att det sedan skulle kunna sägas något om hur lärandeobjektet kan presenteras och varieras i vart och ett av dessa avsnitt. En sådan analys menar vi oss i och med detta examensarbete ha genomfört med avseende på geometriska talföljder och summor.
På detta sätt hoppas vi bidra med en liten pusselbit i forskningen om hur matematikundervisning kan förstås ur ett variationsteoretiskt perspektiv.
2
2 Teori
Detta avsnitt inleds med en forskningsbakgrund som illustrerar variationsteorins ursprung. Därefter följer en mer ingående beskrivning av variationsteori samt de begrepp som är centrala för denna uppsats.
2.1 Bakgrund
Elevprestationer har länge varit ett klassiskt undersökningsområde i skolforskningen och den har ofta varit starkt koncentrerad på att analysera primärdata (Pong & Morris, 2002). Inte förrän i slutet på 1980-talet började resultat från olika studier summeras för att sammanställas i metaanalyser (Cook m.fl., 1992). Detta dels på grund av att det fanns ett behov av att samla ihop den enorma mängd forskning som var gjord på ett strukturerat sätt, dels berodde det på att det först då fanns tillgång till de kraftfulla statistiska verktyg som krävdes för att sammanställa alla resultat.
Hattie (1992) sammanställde 134 metaanalyser som alla behandlade elevers prestationer. Tillsammans täckte de över fem miljoner elever (huvudsakligen i USA) och det som framkom i analysen var att de faktorer som lärare och elever kan kontrollera är de som har störst betydelse för elevers prestationer. Sådana faktorer kan till exempel vara användandet av feedback och sättet att undervisa på. Faktorer som till exempel hemförhållanden, kursplaner och administrativa åtgärder hade inte alls lika stor betydelse. Dessa sistnämnda faktorer kallar Pong & Morris (2002) distala, då de menar att dessa faktorer enbart påverkar undervisningen indirekt, medan faktorer som feedback eller sätt att undervisa på kallas proximala och har en direkt inverkan på undervisningen och därmed elevers prestationer. Pong & Morris (2002) påpekar dock vikten av att inte övertolka resultaten i dessa metaanalyser. Det finns till exempel studier som visar att liten klasstorlek korrelerar positivt med elevers prestationer (Gustafsson, 2003). Dock menar Häggström (2008) att försiktighet skall iakttagas då sådana korrelationer försöker tolkas som kausala förhållanden. Han menar att klasstorlek måste påverka undervisning indirekt eftersom det enbart gör det möjligt för läraren att undervisa på ett annat sätt, inte att det med nödvändighet gör att läraren undervisar annorlunda.
3
Pong & Morris (2002) menar att den mest proximala faktorn av alla är hur lärandeobjektet, det innehåll som behandlas under den aktuella lektionen, undervisas av läraren och att detta inte har fått tillräckligt mycket uppmärksamhet inom forskningen. Kilpatrick m.fl. (2001) delar den uppfattningen och sammanfattar i följande citat vad som är viktigt i undervisning:
Much debate centers on forms and approaches to teaching: “direct instruction” versus “inquiry,” “teacher centered” versus “student centered,” “traditional” versus “reform.” These labels make rhetorical distinctions that often miss the point regarding the quality of instruction. Our review of the research makes plain that the effectiveness of mathematics teaching and learning does not rest in simple labels. Rather, the quality of instruction is a function of teachers’ knowledge and use of mathematical content, teachers’ attention to and handling of students, and students’ engagement in and use of mathematical tasks. (s. 315)
För att kunna analysera just lärandeobjekt, som karaktäriseras som en av de mest proximala faktorerna, är variationsteori ett passande teoretiskt verktyg (Pong & Morris, 2002).
Runesson (2005) menar att såväl radikalkonstruktivism som socialkonstruktivism har haft en framträdande roll inom det matematikdidaktitiska fältet under de senaste decennierna och att variationsteori ger ett nytt perspektiv åt forskningen på grund av dess fokusering på lärandeobjektet.
Variationsteorins kraft har visats tydligt i studier då lärare arbetat utifrån variationsteori och därmed förbättrat elevernas resultat markant (Marton m.fl., 2004). Variationsteori är en vidareutveckling av fenomenografin, som är ett sätt att hantera en sorts pedagogiska forskningsfrågor (Runesson, 2005). Fenomenografins huvudtes är att det finns kvalitativt skilda sätt, för enskilda människor, att erfara olika fenomen (Marton & Booth, 1997).
2.2 Variationsteori
För att ge en bild av vad variationsteori är, krävs först en förklaring av vad det menas med att erfara någonting. För det första bör det påpekas att erfara har många synonymer och att många av dessa används i litteraturen. Till exempel används uppfatta ofta synonymt med erfara. Vi kommer i fortsättningen att använda erfara eftersom det är det vanligast förekommande i litteraturen. Enligt Marton & Booth (1997) innebär att erfara någonting att i första hand urskilja det från sitt sammanhang.
4
Att lära sig att erfara saker är, enligt Carlgren & Marton (2002), grunden för lärande. Vår skolgång ger oss vissa kunskaper, men det är inte säkert att dessa kunskaper är direkt överförbara på liknande situationer utanför skolans värld. Carlgren & Marton menar vidare att de situationer vi befinner oss i alltid är erfarna situationer. Vi hanterar en given situation på bästa sätt utifrån hur vi erfar eller upplever den. Ett av de stora målen för våra elever, att kunna hantera situationer, beror alltså på förmågan att kunna erfara något på ett speciellt sätt.
Att det finns kvalitativt skilda sätt att erfara någonting innebär att vissa av sätten att erfara är mer kraftfulla än andra (Marton m.fl., 2004). Med kraftfull menas att det ger individen möjlighet att hantera ett problem eller en situation på ett passande sätt (Häggström, 2008). Marton m.fl. (2004) menar att vi alltid försöker agera på kraftfulla sätt för att uppfylla våra mål. Men vi agerar inte objektivt i förhållande till situationen vi befinner oss i, utan försöker hela tiden agera så kraftfullt som möjligt utifrån hur vi subjektivt upplever situationen. Alltså uppstår kraftfulla sätt att agera som en följd av kraftfulla sätt att uppleva eller erfara. Som exempel beskriver Marton m.fl. en person som står i en lagun och försöker fånga en fisk med en harpun. Personen kan försöka träffa fisken med harpunen genom att kasta den mot den plats där han ser fisken. Antingen det eller så tar personen hänsyn till att ljuset bryts i övergången mellan luft och vatten och väljer att kasta sin harpun lite bakom den plats där fisken syns. I detta exempel är det sistnämnda sättet att agera det överlägset mest kraftfulla och det är helt baserat på ett mer kraftfullt sätt att erfara situationen på.
Grunden till att erfarandet är så viktigt för lärande, menar Carlgren & Marton (2002), är för att det i varje given situation som vi ställs inför finns ett mycket stort antal aspekter som är möjliga för oss att urskilja och fokusera på. Om vi hade haft förmågan att urskilja och fokusera alla dessa aspekter på en gång skulle alla människor uppfatta en given situation på samma sätt. Eftersom vi inte är kapabla till att göra detta kommer människor oundvikligen att urskilja och fokusera på olika saker i samma situation och därmed också erfara eller uppfatta samma situation på helt skilda sätt. I enlighet med Runesson (1999) definieras aspekt i det här sammanhanget som en del av något fenomen, problem eller begrepp. Som exempel på vad som kan vara olika aspekter av något använder sig Runesson av talet fem. Olika aspekter av begreppet ”fem” skulle kunna vara att fem är ett antal, att fem är en mängd av en viss storlek, att fem är en
5
position i talsystemet eller att fem består av flera mindre delar. Att ha en förståelse för talet fem innebär då, enligt Runesson, att kunna urskilja dessa aspekter av talet fem. Det är även möjligt att urskilja något från sitt sammanhang och relatera det till ett helt annat sammanhang (Carlgren & Marton, 2002). Svensson (1984) menar att erfara även inkluderar att urskilja delar av det erfarna och att relatera dessa delar till helheten och till varandra. Således har att erfara något en strukturell komponent som handlar om hur delar hänger ihop med varandra och med helheten. Men att erfara något handlar även om innebörden, meningen, i det erfarna. Även Carlgren & Marton (2002) påpekar att både det erfarnas struktur och dess innebörd är centrala delar i processen att erfara något och att de båda delarna är intimt sammankopplade. Som exempel tar Carlgren & Marton läsandet av en text. Innebörden i texten är nödvändig för förståelsen av texten, men den är i sin tur helt beroende av hur texten är strukturerad. I gengäld är strukturen beroende av textens mening och syfte, dess innebörd.
Efter denna bakgrund följer här den centrala tanken inom variationsteori, som är att det inte kan uppstå något lärande utan något som lärs, vilket medför att lärandet alltid har ett objekt (Runesson, 2005). Detta objekt kallas lärandeobjekt och är det som ska behandlas under en lektion, de förmågor som eleven ska få möjlighet att tillägna sig (Marton m.fl., 2004). Variationsteori ger oss möjlighet att upptäcka och beskriva skillnader i hur detta lärandeobjekt behandlas (Häggström, 2008). Lärandeobjektet definieras av de kritiska aspekter som måste urskiljas för att eleven ska kunna förstå lärandeobjektet (Marton m.fl., 2004). För att kunna urskilja dessa aspekter krävs att de varieras. Häggström (2008) menar att olika uppfattningar karaktäriseras av vilka kritiska aspekter som fokuseras på och vilka som inte fokuseras på. En aspekt är då kritisk om den skiljer mellan två olika uppfattningar.
Lärandeobjektet kan ses från tre olika perspektiv (Marton m.fl., 2004). Det som i den engelska litteraturen kallas the intended object of learning kallas här det avsedda lärandeobjektet. Det är det som läraren önskar att eleverna ska lära sig.
Det som faktiskt utspelar sig i klassrummet kallas i den engelska litteraturen för the
enacted object of learning och kommer här att kallas det utspelade lärandeobjektet. Det
är det som är observerbart för en utomstående betraktare och det som utgör det eleverna i realiteten har möjlighet att lära sig (Marton m.fl., 2004). Det är denna del av lärandeobjektet som kommer att behandlas i vår undersökning.
6
Det som eleverna tar till sig, upplever eller tar med sig från lektionen kallas the lived
object of learning (Marton m.fl., 2004) och kallas här för det upplevda lärandeobjektet.
För att tydliggöra vad som menas med variation följer här ett exempel. En studie om motorisk inlärning av Moxley (1979) visade variationens vikt vid inlärning. Ett antal barn delades in i två grupper där de alla kastade bollar på ett utsatt mål. Den ena gruppen kastade från samma plats hela tiden medan den andra gruppen varierade platser att kasta ifrån. När de två grupperna sedan fick kasta från ett ställe som var nytt för båda grupperna var barnen i gruppen som hade varierat sin kastposition avsevärt bättre än de andra på att träffa målet. I detta fall var riktning och utgångsposition kritiska aspekter för att lära sig att träffa målet från ett givet ställe och det var därför de barn som blivit erbjudna variation i den aspekten var överlägsna de andra i att träffa målet.
I likhet med Häggström (2008) så baseras undersökningarna och analyserna i denna uppsats på tankegången att det matematiska innehåll som är möjligt för elever att lära sig under en lektion är beroende av hur de upplever det matematiska innehållet. Hur de upplever det matematiska innehållet är i sin tur beroende av vilka aspekter av lärandeobjektet som tas upp och varieras av läraren.
Så här långt kan variationsteori sammanfattas till följande:
Det kan inte uppstå något lärande utan något som lärs, alltså har lärandet alltid ett objekt (Runesson, 2005).
För att en person ska uppfatta eller erfara något på ett visst sätt krävs det att den personen urskiljer vissa aspekter (Marton m.fl., 2004).
Olika uppfattningar karaktäriseras av vilka kritiska aspekter som fokuseras på och vilka som inte fokuseras på (Häggström, 2008).
För att kunna urskilja dessa aspekter krävs variation i just dessa (Ko & Marton, 2004).
Om detta skall studeras i ett verkligt klassrum innebär det att studera vilka aspekter av ett fenomen eller ett problem som lyfts fram eller fokuseras på i undervisningen och om dessa utgör dimensioner av variation eller inte (Runesson, 1999). Dimensioner av variation definieras i enlighet med Häggström (2008), som menar att när en aspekt varieras öppnas dess dimension av variation.
7
För att ytterligare förtydliga tanken bakom variationsteori och illustrera hur en undervisningsanalys ur ett variationsteoretiskt perspektiv kan se ut återges här ett exempel från Runesson (1999). Anta att vi har två lärare som vill få eleverna att förstå vad begreppet kvadrat innebär. De lyfter fram olika aspekter av kvadraten för att låta eleverna erfara detta. Den första läraren lyfter fram en aspekt i taget, till exempel påpekar denne att sidorna är fyra till antalet, hur stora vinklarna är och avslutar med en matematisk definition av begreppet kvadrat. Den andra läraren lyfter också fram en aspekt i taget, men inför en variation i dessa aspekter. Vad det gäller vinklarna, varieras deras storlek och kontrasteras med en bild på en romb. Vinkelns storlek är då en dimension av variation som öppnas hos denna lärare. På samma sätt kan andra dimensioner av variation öppnas. Antalet sidor kan kontrasteras genom att jämföra kvadraten med en triangel. Det finns även fler möjliga dimensioner av variation, kvadratens förhållande till motsvarande kub kan till exempel diskuteras. Skillnaden mellan de två lärarna är att den senare explicit varierar de kritiska aspekterna. Hos den första läraren är dessa begrepp tagna för givet. Aspekterna som fokuseras på är de samma i båda undervisningssituationerna men endast i den senare finns det dimensioner av variation.
8
3 Syfte och frågeställning
Enligt variationsteorin skulle alla lärandeobjekt i gymnasiematematiken behöva analyseras ur ett variationsteoretiskt perspektiv för att det sedan skulle kunna sägas något om hur dessa lärandeobjekt kan presenteras och varieras. Syftet med detta examensarbete är att, genom klassrumsobservationer, genomföra just en sådan analys och att därigenom formulera möjliga dimensioner av variation som lärare kan öppna upp i undervisningen för att underlätta elevernas lärande.
Lärandeobjektet som behandlas i undersökningen är geometriska talföljder och summor. Vår frågeställning är således:
Vilka möjliga dimensioner av variation finns, i den undersökta undervisningen, i framställningen av lärandeobjektet geometriska talföljder och summor?
9
4 Metod
Kortfattat kan metoden beskrivas som en initial litteratursökning, kombinerat med en pilotobservation som sedan följdes av ett antal observationer av genomgångar som transkriberades. Efter detta uppsöktes lärarna och tillfrågades om deras ämnesbakgrund samt tackades för sin medverkan. Slutligen analyserades all data i enlighet med litteraturen och ett kompletterande litteraturstudium gjordes.
Termerna reliabilitet och validitet används ofta i forskning som kvalitetsmarkörer för datahantering (Malterud, 2009). Hon menar dock att de är mindre tillämpbara på kvalitativ forskning som inte behandlar sin data numeriskt. Istället bör det i kvalitativ forskning, enligt Malterud, finnas diskussion om validitets- och reliabilitetsfaktorer i termer av sådant som trovärdighet, överförbarhet/tillämpning, pålitlighet/rimlighet samt bekräftelsebarhet.
Trovärdigheten kan anses vara hög då det i följande kapitel grundligt redovisas för datainsamlingen, författarnas förförståelse, urvalet och analysprocessen. Övriga validitets- och reliabilitetsfaktorer kommer att diskuteras löpande under metodkapitlet.
4.1 Litteratursökning
Doktorsavhandlingen Teaching systems of linear equations in Sweden and China: what is made possible to learn? (Häggström, 2008) är en större undersökning som denna uppsats är delvis modellerad efter. I den undersöks undervisning i området linjära ekvationssystem i Sverige och Kina. Målet var att hitta just vilka dimensioner av variation som fanns i framställningen av detta lärandeobjekt.
Efter läsningen av Häggströms doktoravhandling söktes sedan i databasen ERIC efter artiklar med variationsteoretiskt innehåll. Under läsningen av dessa, märktes att vissa böcker och artiklar hänvisades till i de flesta av artiklarna. Dessa böcker och artiklar lästes och gav stor del av den teoretiska grunden. Slutligen kompletterades den ursprungliga litteraturen med stycken ur enstaka artiklar och böcker som hänvisades till i den litteratur som hittills använts.
10
4.2 Personlig bakgrund
I alla kvalitativa undersökningar bör en redogörelse för författarnas bakgrund och förförståelse finnas med enligt Patel & Davidsson (2003). Vi är båda lärarstudenter, med examensprofil mot gymnasiet och grundskolans senare år, med matematik som huvudämne. Under vår utbildning upplever vi oss ha verkat inom ett socialkonstruktivistiskt paradigm och detta utgör vårt första användande av variationsteori. Det finns inom det variationsteoretiska paradigmet två olika uppfattningar om vilken roll variationsteori bör spela inom pedagogiken, där den ena ser variationsteori som ett komplementärt synsätt (Runesson, 1999, s. 27), medan den andra menar att all forskning om undervisning bör vara variationsteoretisk (Marton & Booth, 2000, s. 9-10). Med vår begränsade erfarenhet vågar vi inte placera oss i något av facken utan nöjer oss med att konstatera att vi upplever variationsteori som ett innovativt sätt att studera undervisning.
4.3 Urval
För att observationerna skulle vara relevanta var det viktigaste att de utvalda lärarna skulle undervisa i samma ämnesområde. Detta då undersökningen skulle handla om ett specifikt lärandeobjekt. På grund av tidigare kontakter valdes en stor gymnasieskola i en mellanstor svensk stad. Då kurs, program eller matematikinnehåll inte var viktigt eftersöktes enbart en grupp lärare som undervisade ett gemensamt stoff.
Ämnesområdet geometriska talföljder och summor var något som fem lärare, här namngivna A till E, skulle undervisa under de sista två veckorna i november 2009. Samtliga klasser tilhörde det naturvetenskapliga eller tekniska programmet och följaktligen behövde inte hänsyn tas till att undervisningen skulle uppvisa särskilt stora skillnader till följd av programanpassning. Geometriska talföljder och summor är en del i kursen Matematik C och i kursplanen står det att elever efter avslutad kurs ska ”kunna använda matematiska modeller av olika slag, däribland även sådana som bygger på summan av en geometrisk talföljd” (Skolverket, 2000, s. 86). En av lärarna (B) var sedan tidigare bekant med en av oss observatörer, som tagit ut fältdagar på skolan. Den läraren observerades då av den andre observatören för att öka pålitligheten i resultaten, såtillvida att observatörens förförståelse inte skulle göra denne blind för moment i undervisningen.
11
Lärare A har förutom en gymnasielärarexamen i matematik och fysik även en licentiatexamen i fysik samt har arbetat som lärare sedan 2001. B är i grunden civilingenjör i teknisk fysik men har även en gymnasielärarutbildning i matematik och fysik. Hon har även läst diverse distanskurser i matematik och fysik under de senaste 15 åren, då hon arbetat som lärare. B har dessutom arbetat 12 år innan lärarkarriären, då som programmerare och datakonsult. Läraren namngiven C tog lärarexamen 1995 efter att ha läst sina ämnen, matematik och fysik, som fristående kurser. Hon har arbetat som lärare sedan dess. D doktorerade 1980 i kärnfysik efter att dessförinnan avslutat sin lärarutbildning i matematik och fysik. Han har arbetat som lärare sedan 1981 och innehar för närvarande en lektorstjänst på skolan. Den femte och sista läraren, E, avslutade sin lärarutbildning i matematik och samhällskunskap 1985 och har sedan dess arbetat på den aktuella skolan. Samtliga lärare är alltså både formellt behöriga och har lång erfarenhet.
Dagen då varje lärare påbörjade ämnesområdet var aningen förskjuten mellan de olika lärarna. Detta gjorde det möjligt att observera samtliga dessa fem lärare då ett flertal av deras lektioner var placerade samtidigt i tid. En av lärarna (D) var halvvägs igenom området då observationerna började, men datan ansågs ändå värdefull att ta upp, även om den inte skulle vara komplett. Den första lektionen som observerades av B behandlade endast aritmetiska talföljder och summor. Under analysprocessens gång valdes att inte använda data från den lektionen, då den inte rörde det ämnesområde som denna undersökning handlar om.
4.4 Observationer
För att registrera det utspelade lärandeobjektet valdes observation som metod. Detta just för denna metods unika förmåga att fånga naturliga skeenden och processer (Patel & Davidsson, 2003). De observationer som gjordes kan liknas vid det som Johansson & Svedner (2006) kallar för löpande observationer, en metod som innebär att observatören samlar så mycket information som möjligt under ett längre skeende. Ett tillförlitlighetsproblem hos observation som metod, menar Patel & Davidsson (2003), är frågan om det som observerats är representativt. I datan finns ett fåtal exempel på att deltagarna, åtminstone stundtals, var medvetna om forskarnas närvaro.
Elev: SJU! (högt)
12
EE: (skratt)
D: Det är bra. Det skall verkligen höras och synas.
A: Om du tar så här (Elevs namn), till exempel, 23*22 vad blir det lika med? Man bara adderar exponenterna då va? Plussa får man egentligen inte säga när det är inspelning, addera heter det.
Detta är dock inget tillförlitlighetsproblem för detta arbete, då det är möjliga dimensioner av variation som eftersöks. Att en lärare öppnar en dimension av variation som inte skulle öppnats utan observatörens närvaro innebär endast att denna undersökning blivit en dimension rikare. För att undvika påverkan på grund av observatörernas närvaro skulle videoinspelning kunna ha gjorts. Även andra skäl, såsom högre kvalitet på datan skulle kunna motivera videoinspelning. Detta valdes dock bort av ett flertal anledningar. Mängden data skulle bli för stor och antalet inspelade lektioner skulle blivit mindre för att hinnas med inom ramen för ett examensarbete. På grund av den höga ljudkvaliteten anser vi dessutom att fler exempel på variation troligtvis inte skulle ha hittats med videoinspelning.
Ett allvarligt validitetsproblem är överförbarheten, då det inte är sannolikt att samtliga möjliga dimensioner av variation har öppnats hos dessa fem lärare och således inte kunnat observerats. Även om inte samtliga dimensioner av variation har öppnats, menar vi att den stora mängden data (fem lärare, 13 lektioner) är nog för att en tillräcklig tillämpbarhet på resultaten skall vara uppnådd.
En vecka före den första observationen gjordes en pilotobservation på den aktuella skolan hos en sjätte lärare. Efter detta ändrades observationsprotokollet något och insikter om vad som faktiskt behövde antecknas uppstod. Inga större förändringar av observationsmetoden eller –protokollet gjordes. Under den första lektionen i varje klass gavs en presentation av forskningen samt att villkoren för medgivande presenterades. Efter att medgivandeblanketter (Bilaga 1) givits ut och samlats upp skedde ingen interaktion mellan observatör och elever eller mellan observatör och lärare. Ljud togs upp via mikrofon på katedern och det som skrevs på tavlan dokumenterades med en digitalkamera. Observatören placerade sig långt fram för att kunna ta bilder på tavlan utan att få med elever på bilderna, samt åt sidan för att inte ta uppmärksamhet eller vara i vägen. Vid de tillfällen då samtliga elever ombads läsa ett stycke i läroboken,
13
fotograferades även detta stycke. Utöver detta fördes anteckningar i enlighet med observationsprotokollet (Bilaga 3). Det som antecknades där var främst två saker; elevers svar som kunde vara svåra att höra på ljudbandet samt otydligheter på tavlan som inte skulle förstås enbart med tavelfotografierna.
Hälften av ljudupptagningarna gjordes med en inbyggd mikrofon i en mobiltelefon, de övriga med en diktafon med extern mikrofon. Ljudkvaliteten var dock lika god och de enstaka ohörbara ljuden berodde oftast på otydligt tal snarare än dålig inspelningskvalitet. Eftersom undersökningen endast gäller det utspelade lärandeobjektet är de ohörbara bitarna oproblematiska, i termer av pålitlighet, eftersom de i och med sin ohörbarhet per definition inte ingår i det utspelade lärandeobjektet.
4.5 Transkriptioner
I transkriptionerna är samtliga elever namngivna Elev. Lärarna har namngivits med bokstäver från A till E och dessa används genomgående, såväl i beskrivningen av deras bakgrund, som i transkriptionerna. A1 är således den första lektionen med lärare A, A2 den andra och så vidare. Bokstäverna är helt slumpmässigt valda och reflekterar inte någon form av ordning i deras namn, följden observationerna är gjorda i eller dylikt. I transkriptionen användes ett antal symboler som vi avser följande med:
”…” avser en mindre eller längre paus i talet alternativt att någon blir avbruten.
”(…)” avser en kortare passage av ohörbart tal. Om inget annat anges är det en fråga om ett till tre ord.
”[…]” används endast i resultatframställningen då en längre irrelevant passage tagits bort mellan två relevanta passager.
”EE” avser ett flertal elever som uttalar sig mer eller mindre i kör.
När något står inom parentes är det en beskrivning av något som händer, till exempel något som skrivs på tavlan eller att läraren pekar på något samtidigt som denne säger något.
I två av klasserna förekom enstaka elever som valde att inte medverka. Även om deras uttalanden naturligtvis inte transkriberats konstaterades under genomlyssning att inga dimensioner av variation förlorades till följd av deras val att inte delta.
14
För att säkerställa transkriptionernas likhet med vad som sagts i ljudbanden genomlyssnades samtliga transkriptioner av bägge observatörer. Detta medförde dessutom att många tvetydiga eller svårhörda delar kunde förtydligas och urskiljas.
4.6 Analysmetod
Det första steget i analysen av data var transkriberingen från ljud till text. Transkriberingen underlättade vår fortsatta analys då materialet bearbetades flera gånger. I transkriberingen från ljud till text valdes att inte beskriva känslor och sinnesstämningar, men eftersom det i denna undersökning helt bortses från möjliga affektiva komponenter är dessa inte av betydelse.
Efter transkriberingarna följde analys av de nedskrivna observationerna. Målet med denna analys var, i enlighet med frågeställningen, att identifiera variation i framställningen av lärandeobjektet och att utifrån det formulera olika dimensioner av variation. Upplägget på denna analys kan delvis liknas vid det teorigenererande forskningsperspektivet grundad teori (Hartman, 2001; Guvå & Hylander, 2003). I datainsamling baserad på grundad teori kodas först materialet efter vissa indikatorer (Guvå & Hylander, 2003). Den som analyserar får under kodningen och sorteringens gång idéer om hur materialet kan sorteras begreppsmässigt. Dessa begrepp genomgår sedan samma kodning som råmaterialet gjorde initialt och det görs ett försök att hitta mönster i de begrepp som utkristalliserats. Efter ytterligare processer genereras sedan en teori ur den insamlade datan.
Målet med analysen i detta arbete var inte att generera en teori och därför var endast de grundläggande stegen i analysen baserade på grundad teori.
En analys baserad på grundad teori kan aldrig uppnå en heltäckande validitet eftersom forskaren själv är med och skapar resultatet (Guvå & Hylander, 2003). På liknande sätt kan bekräftelsebarheten (en av många validitetsfaktorer) i detta arbete ifrågasättas, då någon annan som analyserade datan förmodligen inte skulle få fram exakt samma dimensioner av variation.
Under samtliga steg av databehandling valdes att arbeta med materialet i enlighet med den metod som Häggström (2008) använder sig av. Detta innebär att varje gång datamaterialet skall analyseras behandlas det i olika ordning. Någon gång var ordningen på lärarna ABCDE, en annan CDEAB och ytterligare en gång EDCBA. Denna variation
15
av ordning gjordes för att ingen del av materialet alltid skulle behandlas först eller sist och med denna metod kan även validiteten i termer av trovärdighet öka.
Initialt i analysen lästes samtliga transkriptioner av båda observatörer med syfte att finna så många variationer i framställningen av lärandeobjektet som möjligt. Målet för analysen var att försöka se vilka aspekter av lärandeobjektet som var möjliga att urskilja för den enskilde eleven.
Som nämnts tidigare tas en aspekt antingen för givet eller så gör den inte det. Om aspekten inte tas för givet öppnas motsvarande dimension av variation. En specifik dimension av variation kan dock öppnas mer eller mindre explicit. Till exempel så använder en av lärarna sig av en tillämpning där antalet termer i den geometriska summan motsvarar tid i månader som en person måste spara pengar för att nå upp till ett visst kapital. Då öppnas dimensionen att antalet termer måste vara ett heltal eftersom det motsvarar antalet månader. Detta till skillnad från en annan lärare som explicit förklarar att n kan anta vilket värde som helst, så länge det är ett heltal. Det är också möjligt att beröra en dimension av variation utan att öppna den. Ett exempel på detta är när E nedan nästan öppnar dimensionen att an kan ses som en funktion av n.
E: Man säger också i boken att formeln kan också se ut så här att man kan skriva den som S av n = a1(1−kn)
1−k .
Att säga ”s av n” antyder att s är en funktion av n, men om det inte sägs explicit menar vi att dimensionen inte är öppnad, då en elev inte kan förväntas förstå detta utan vidare förklaring.
Från den första analysen av materialet genererades en lista på relativt specifika exempel där lärandeobjektet varierats på olika sätt. Dessa specifika exempel generaliserades under analysens gång och slogs i vissa fall ihop med andra exempel på variation till dimensioner av variation. Under analysens gång diskuterades alla dimensioner av variation ingående och listan på dimensioner har reviderats ett antal gånger under arbetets gång. De dimensioner av variation som till slut formulerades och togs med i arbetet motsvarar de olika aspekterna av lärandeobjektet som gjordes möjliga att urskilja i undervisningen.
Till skillnad från Häggström (2008), som delar upp linjära ekvationssystem i tre olika lärandeobjekt, så har vi valt att se på geometriska talföljder och summor som ett enda
16
lärandeobjekt. Däremot har vi valt att kategorisera de olika dimensionerna av variation i två huvudkategorier, de som berör själva konceptet och de som mer är av nytta för själva lösningsprocedurerna, och även i flera underkategorier. Detta gjordes för att få en bättre överblick under arbetets gång och förhoppningsvis underlättar det även för läsaren.
Under analysens gång ströks många av de ursprungliga förslagen till dimensioner av variation. De förslag som ströks var sådana att; de innehöll information som är omöjlig att inte ta upp vid behandling av geometriska talföljder och summor, de rörde variation som rör annat än geometriska talföljder och summor, de var alltför smala dimensioner av variation som kunde sammanfogas till en större och bredare dimension samt att de var dimensioner av variation som var alltför tillämpningsspecifika. Nedan följer exempel från dessa kategorier.
Information som är omöjlig att inte ta upp vid behandlingen av geometriska talföljder och summor. Att presentera formeln för geometrisk summa samt att beskriva vad variablerna i formeln står för är sådant som vi anser är nödvändig information för att överhuvudtaget kunna behandla geometriska talföljder och summor. Det är dock inte exempel på variation. Ett exempel är att skriva följande på tavlan:
Bild 1. Tavelfotografi av formeln för geometrisk summa.
Variation som rör annat än geometriska talföljder och summor. Detta kan vara både sådant som inte rör matematik, till exempel vad som är en rimlig ränta på ett banklån, eller matematiska områden som inte ingår i det som undersöks. Exempel på det senare är en diskussion om ln(b)ln (a)=log (b)log (a). Även om detta är relevant när n skall lösas ut ur formeln för geometrisk summa är det inte en del av ämnesområdet utan snarare en algebraisk dimension av variation. I det fallet då somliga av lärarna behandlade gränsvärdesproblem för geometriska summor valdes dock att inkludera det som var
17
centralt för geometriska summor, men inte det som gäller generellt för gränsvärdesproblem. Således är dimensionen kvoten mindre än 1 tas ej för givet i
oändlighetsresonemang inkluderad, men inte dimensioner rörande användningen av
limes-begreppet.
Alltför smala dimensioner av variation som kunde sammanfogas till en större och bredare dimension. Ett exempel på detta är när en lärare vid ett tillfälle påpekar att man kan räkna från båda hållen när man räknar ut en geometrisk summa. Detta ansågs först vara en dimension av variation i analysen.
Elev: Nej, alltså om du börjar längst till höger där du skrivit år ett.
A: Ja. Jag kan börja i vilken ände som helst i en geometrisk serie. Det är samma sak. Elev: Jojo.
A: Det går bra att börja i andra änden med.
När en annan lärare sedan räknar bakåt i en geometrisk serie sattes det ursprungligen till en egen dimension av variation.
E: Nu-värdet av de här 10706 kronor, om det nu… om nu är här. (Pekar på år ett) Sen tar vi en sak till också: hur man skulle kunna skriva detta på ett annat sätt. Och det är ju förstås att jag tänker att jag kan skriva x=10706*1,02 upphöjt till…
Elev: (…)
E: Säg det högt för det hördes inte . Elev: Minus 18.
E: Minus 18, ja. För det vet ni enligt potensreglerna, det är också tiden tillbaka.
Dessa båda variationer sammanfattades dock sedan till en dimension av variation,
riktningen på geometrisk summa tas ej för givet.
Dimensioner av variation som var alltför tillämpningsspecifika. I flera fall öppnades dimensioner som gällde en tillämpning, men som inte hjälpte den generella förståelsen för geometrisk talföljd och summa. Ett exempel är en av lärarna som hade en väldigt detaljerad genomgång av annuitetslån, med stor variation med avseende på hur annuitetslån behandlades. Exemplet nedan ger den enskilde eleven möjlighet att förstå annuitetslån tack vare lärarens beskrivning av hur lånets delar förändras över tid. Detta hade med största sannolikhet definierats som en dimension av variation om lärandeobjektet hade varit annuitetslån, men eftersom exemplet inte erbjuder någon
18
extra dimension av variation med avseende på det mer generella lärandeobjektet geometriska talföljder och summor tas det inte med i våra resultat.
D: Räntan bli mindre och amorteringen blir då självklart … EE: Större.
D: Större va? Så det betyder att år två så kommer man ha mindre räntedel va? Men större amorteringsdel. Och så kommer ju det att förändras successivt va? Så när man kommer till år nio, så är det ju bara en väldigt liten del som är ränta va? Och det mesta är sen amortering va? Sånt här lån fungerar att man betalar lika mycket varje år va? Första året så är det en stor del av det man betalar är räntekostnader och en liten del av lånet är avbetalning av lånet, amortering. Sen förändras det förhållandet att räntedelen minskar och avbetalningsdelen ökar va? Och det kallas annuitetslån.
4.6 Forskningsetiska ställningstaganden
Två blanketter för medgivande konstruerades, en för elever och en för lärare (Bilaga 1 och Bilaga 2). Eleverna som ingick i undersökningen gick i gymnasiets årskurs två och var följaktligen ännu inte myndiga, men då undersökningen vare sig gällde personer under 15 eller var av etiskt känslig natur (två krav som var för sig medför att vårdnadshavares tillstånd bör sökas) valdes att enbart be eleverna om deras medgivande och inte om deras vårdnadshavares, allt i enlighet med Vetenskapsrådets rekommendationer (Vetenskapsrådet, 2002).
För att följa dessa forskningsetiska principer (Vetenskapsrådet, 2002) skall fyra krav uppfyllas: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet samt nyttjandekravet.
Det första kravet handlar om huruvida forskaren gjort forskningsdeltagarna medvetna om under vilka villkor de deltar samt att det är frivilligt att medverka och möjligt att avbryta sin medverkan. Detta uppfylldes i och med medgivandeblanketten. Både lärare och elever fick veta att det var undervisning som skulle studeras, men för att inte äventyra autenticiteten i datan fick de inte veta att det handlade om variation.
Det andra kravet, samtyckeskravet, uppfylldes i och med att deltagarna skrev under respektive medgivandeblankett och därmed samtyckte till att delta. Dessutom betonades frivilligheten samt möjligheten till att avbryta för eleverna när de fick blanketten. Det tredje kravet, konfidentialitetskravet, inbegriper att deltagare inte skall kunna
19
identifieras och inga etiskt känsliga uppgifter skall läcka ut. Då samtliga deltagare är bortredigerade ur alla bilder och inga känsliga uppgifter över huvud taget har hanterats är även detta krav uppfyllt.
Det fjärde och sista kravet, nyttjandekravet, uppfylls också då ingen data från denna forskning kommer att nyttjas för andra ändamål än just denna forskning.
20
5 Resultat
Resultatdelen är upplagd på följande sätt. Först presenteras en tabell (Tabell 1) med samtliga dimensioner av variation som formulerats under analysens gång. Därefter förklaras de dimensioner av variation som kräver ytterligare förklaring. Avslutningsvis följer beskrivningen av samtliga lärares lektioner, i bokstavsordning. Varje dimension av variation är endast angiven en gång per lärare, även om den öppnas fler gånger. Samtliga lektioner var uppbyggda kring att läraren höll föreläsning med mer eller mindre dialog med eleverna följt av enskild räkning. Undantaget till detta var lektion A1, där ett videoklipp visades. I vissa fall hölls även kortare genomgångar på slutet. Lärare D var redan halvvägs i avsnittet när observationerna inleddes och hade enbart två lektioner med tillämpningar kvar. En mer detaljerad beskrivning av lektionernas upplägg finns bifogade i Bilaga 4.
21
5.1 Dimensioner av variation
I lektionsbeskrivningarna är dimensionerna av variation som vi anser öppnade kursiverade. De är även numrerade med det nummer som de har i Tabell 1 nedan.
Koncept
1 Vad är en geometrisk talföljd/summa 1.1 Att en talföljd är geometrisk tas ej för givet
1.2 Kvotens definierande roll för en geometrisk talföljd tas ej för givet 1.3 an kan ses som en funktion av n
1.4 Skillnaden mellan att rada upp tal och summera dem 2 Talföljders ordning
2.1 Var talföljden börjar tas ej för givet
2.2 Riktningen på geometrisk summa tas ej för givet 3 Formelstruktur
3.1 Formelstrukturen i en talföljd tas ej för givet 3.2 Beteckningen på variabler tas ej för givet 3.3 Presentationen av summa tas ej för givet 3.4 Härledningen visas även numeriskt 4 Kvotens egenskaper
4.1 Kvotens exponent hos det n:te elementet är n-1 4.2 Att det första elementet har kvoten k0 tas ej för givet 4.3 Att kvoten kan ses som en förändringsfaktor 5 Vilka sorts tal variablerna kan vara
Uträkningar
5.1 Kvoten är ett negativt tal, inte bara ett positivt heltal 5.2 Kvoten är mellan noll och ett, inte bara ett positivt heltal 5.3 Kvoten är ett rationellt tal, inte bara ett positivt heltal
Förståelse
5.4 Att a1 är ett positivt heltal tas ej för givet
5.5 Att n är ett heltal tas ej för givet 5.6 Att k inte lika med 1 tas ej för givet 6 Oändlighetsresonemang
6.1 Att n är ändligt tas ej för givet
6.2 Att kvoten är mindre än 1 tas ej för givet i oändlighetsresonemang 7 Tillämpningar på geometrisk summa
7.1 Att tillämpningar på geometrisk summa handlar om ekonomi tas ej för givet Procedur
8 Olika tankesätt kring hur man genererar en geometrisk summa 8.1 Sättet att generera en geometrisk summa tas ej för givet
8.2 Att en geometrisk summa är direkt applicerbar på ett problem tas ej för givet 9 Beräkning
9.1 Metoden för att få ut det n:te elementet tas ej för givet 9.2 Summaformel med (k-1) i nämnaren tas ej för givet 9.3 Kvotens framtagande tas ej för givet
10 Vad som skall räknas ut 10.1 a1 skall räknas ut ej Sn
10.2 n skall räknas ut ej Sn
10.3 k skall räknas ut ej Sn
10.4 an skall räknas ut
22
5.2 Dimensioner av variation som kräver förtydligande
Merparten av dimensionerna av variation som formulerats kommer att kunna förstås enbart genom de transkriptionsutdrag och kommentarer som följer senare i kapitlet. Dock finns det vissa dimensioner som kräver en närmare förklaring. De följer här. 5.2.1 Kvotens definierande roll
för en geometrisk talföljd tas ej för givet (1.2)
Det som utmärker en geometrisk talföljd eller serie är att kvoten mellan två element eller två termer är konstant (Thompson, 1991). I en aritmetisk talföljd är det differensen mellan två element som har motsvarande definierande roll. Därför anser vi att en dimension av variation öppnas då det, på olika sätt i de olika klassrummen, i undervisningen tas upp att just kvoten är det som gör en talföljd geometrisk eller ej. 5.2.2 an kan ses som en funktion av n (1.3)
Det vanligaste sättet att se på formeln an = a1*kn-1, i undervisningen som vi observerat,
är som en ekvation där det som eftersöks i uppgiften är det som ska lösas ut. Lärare A presenterar dock genom läromedelsvideon ett alternativt sätt att se på formeln. Där säger man, genom ett exempel, att an har a1*kn-1 som funktion, vilket vi anser öppnar en
dimension av variation eftersom eleverna då får möjlighet att se formeln som något annat än bara en ekvation som ska lösas.
5.2.3 Att tillämpningar
på geometrisk summa handlar om ekonomi tas ej för givet (7.1)
I den observerade undervisningen är tillämpningarna nästan uteslutande av ekonomisk art, oftast i form av ränta-på-ränta-problem. Därför menar vi att tillämpningar som inte rör ekonomi tillför en variation som erbjuder eleverna att tillgodogöra sig en bredare bild av begreppen geometrisk talföljd och summa. En dimension av variation har alltså öppnats då en alternativ tillämpning presenterats.
5.2.4 Att en geometrisk summa
är direkt applicerbar på ett problem tas ej för givet (8.2)
Under lösning av problem rörande geometrisk summa går det inte alltid att använda talen direkt i formeln. För att förstå hur talen kan behöva ändras är ett tankeverktyg,
23
såsom en tidslinje, användbart. Denna dimension av variation öppnas i samtliga fall under lektionerna då läraren väljer att använda en tidslinje.
5.2.5 Metoden för att få ut det n:te elementet tas ej för givet (9.1)
Det som skiljer denna dimension av variation från dimensionen kvotens exponent hos
det n:te elementet är n-1 (4.1) är att det i denna dimension handlar om att ge en metod
eller formel för att räkna ut det n:te talet, snarare än att endast ange vad kvotens exponent är hos det n:te elementet.
5.2.6 Vad som skall räknas ut (10)
Då Sn står ensamt i formeln för geometrisk summa tas det, i den observerade
undervisningen, ofta för givet att det det är just summan som skall räknas ut. Därför kan det anses vara en dimension av variation då det är något annat som är okänt. Utöver detta ingår an skall räknas ut (10.4), som inte handlar om geometrisk summa, men
24
5.3 Lärare A - Dimensioner av variation
Lärare A inleder den första lektionen med att göra eleverna uppmärksamma på skillnaden mellan en aritmetisk och en geometrisk serie. Därmed tas det ej för givet att
en talföljd är geometrisk (1.1). Direkt därpå behandlas även kvotens definierande roll för den geometriska summan (1.2), enligt utdraget nedan.
A: Vad ska vi prata om idag? Jo, vi ska prata om en annan typ av serier än den vi pratade om sist. Vad var det för serie vi pratade om förra gången?
Bild 2. Tavelfotografi av en aritmetisk och en geometrisk serie. Elev: Aritmetiska serier.
A: Aritmetiska serier. Och vad utmärker en sån? Vad menas med en aritmetisk serie? (Elevs namn)?
Elev: Det är väl en talföljd, eller det var inte det du syftade på?
A: Jo, det är en sorts talföljd, är det ja. Hade du ett exempel på det (Elevs namn)? Eller (Elevs namn)?
Elev: Skillnaden är alltid lika stor.
A: Skillnaden mellan två termer intill varandra är lika stor hela tiden va? Så…till exempel den ja. Idag så ska vi ge oss i kast med en ny typ av serie som heter geometrisk serie. Är det någon som vet vad det är redan nu?
Elev: När det ökar…
A: Ja, kan man säga, att den ökar med, det är så att kvoten mellan två termer som är efter varandra är densamma hela tiden och ett gammalt klassiskt exempel på en geometrisk serie det är den här gamla legenden om schackspelets uppfinnare, jag vet inte om ni har hört den?
A väljer sedan att ta ett exempel på hur en geometrisk serie och summa kan se ut. Exemplet handlar om schackbrädets uppfinnare som får i belöning för sin uppfinning att önska sig vad som helst. Han önskar sig då att få ett vetekorn på första rutan på brädet,
25
två på nästa, fyra på den tredje rutan och så vidare fram till ruta nummer 64. Först läggs en overhead ut och det diskuteras hur den geometriska talföljden kommer att se ut. Till sin hjälp tar A en läromedelsvideo som ger en kort genomgång om geometriska summor. I den tas det upp, genom schackbrädesexemplet, att ett visst element i talföljden, an, kan ses som en funktion av n (1.3).
Video: Schackbrädets uppfinnare begärde att få ett vetekorn på första rutan, två på andra rutan, fyra på tredje, åtta på den fjärde. För var och en av schackbrädets 64 rutor ville han ha dubbelt så många vetekorn som på den närmast föregående. Antalet vetekorn på respektive ruta anges av den geometriska talföljden 1, 1*2, 1*22, 1*23 och så vidare fram till det 64:e elementet som har 1*263 som funktion.
Dessutom konstateras det att det finns en skillnad mellan en geometrisk talföljd och en geometrisk summa och därmed visas skillnaden på att rada upp tal och att summera
dem (1.4).
Video: I en geometrisk summa är kvoten mellan en term och föregående term konstant vilket kan jämföras med den geometriska talföljden, där kvoten mellan ett element och närmast föregående element också är konstant.
Vid ett exempel på annuitetslån uppkommer det en diskussion med en elev om varifrån man börjar räkna den geometriska summan. Detta exempel nedan visar att riktningen på
den geometriska summan ej tas för givet (2.2). Utöver detta använder A även en tallinje
(8.2) för att illustrera den geometriska summans struktur.
A: Första termen är a va? För det jag precis har betalt in där, det har inte hunnit växa någonting. Där har jag mina fyra termer. Första termen och kvoten och antalet termer. Elev: (…)
A: Här borta?
Elev: Nej, alltså om du börjar längst till höger där du skrivit år ett.
A: Ja. jag kan börja i vilken ände som helst i en geometrisk serie. Det är samma sak. Elev: Jojo.
26
Bild 3. Tavelfotografi av annuitetslånsexempel.
I Bild 3 har A betecknat annuiteten med x. Tidigare under exemplets gång har A betecknat annuiteten med a men växlar efter en elevs kommentar till x. Därmed tas ej
beteckningarna på variablerna för givet (3.2).
Att kvotens exponent hos det n:te elementet är n-1 (4.1) är något som berörs flera gånger under lektionerna med det visas tydligast en bit in i videon nedan där det explicit förklaras hur den n:te termen ser ut.
Video: En geometrisk summa Sn kan allmänt skrivas a1+a1*k+a1*k2+a1*k3 och så vidare, fram
till den n:te termen i summan a1*kn-1.
Detta utvecklas även till en metod för att få ut det n:te elementet (9.1) genom nedanstående förklaring. Detta kompletteras även med att A skriver upp formeln för an
27
Bild 4. Tavelfotografi av härledning av formeln för geometrisk summa.
A: Och vill ni ha term nummer a1 här, så får ni den helt enkelt genom att ta a1, första
termen alltså, gånger kvoten upphöjt till n-1, så får ni ju fram vilken term som sitter på plats nummer n i den talföljden. Är du med (Elevs namn)?
Den första termen i en geometrisk summa har en kvot, vars exponent är noll (4.2). Detta
tas ej för givet i och med att A tar upp kvoten hos den första termen på följande sätt.
A: n är antalet termer, lysande. Så att den första här, det är ju egentligen, skulle man ju kunna skriva som a1*k0 va? Så man startar räknaren på 0 så att säga. Så har man n
stycken termer så kommer den sista exponenten att vara n-1. Det här betyder alltså a1,
första termen, k, kvoten mellan två på varandra följande termer och n är antalet termer.
Kvotens roll i den geometriska summan kan ses på olika sätt. I följande exempel, som berör en geometrisk summa med oändligt antal termer, ses kvoten som en
förändringsfaktor (4.3).
A: 4.39? Den kan jag ta ja. Det blir bra 4.39. Den speglar någonting som jag nämnde i förrgår, men vi har inte räknat något sådant tal ännu. Det är nämligen vad som händer om man har en oändlig serie och kvoten är mindre än ett. Då kan man faktiskt räkna ut summan, fast det är oändligt många termer i serien. Hur länge studsar en boll om första studsen är två sekunder och tiden i luften minskar med 25 % för varje studs? Då har vi vår totala tid som bollen studsar. Den är alltså två sekunder… Hur lång tid tar nästa studs? Alla slår upp detta talet nu och följer med. Det är viktigt. Vad säger ni? Hur lång tid varar nästa studs? Tiden i luften minskar med 25 % för varje studs. (Elevs namn)? Elev: 2*0,75
A: Just det. Förändringsfaktorn är 0,75 om det minskar med 25 %. Och nästa studs, hur länge varar den? Hur lång tid är bollen i luften då? (Elevs namn)
Ovanstående utdrag visar även ett av flera tillfällen i undervisningen där kvoten är ett
rationellt tal, inte bara ett positivt heltal (5.3). Dessutom visar utdraget även ett av flera
tillfällen där kvoten är ett tal mellan noll och ett (5.2), således en minskande geometrisk serie. Ovanstående exempel, som handlar om en studsande boll, visar också att det i
28
undervisningen inte tas för givet att tillämpningar på geometriska summor handlar om
ekonomi (7.1).
I följande utdrag från tavlan (Bild 5) går A igenom en uppgift från läroboken där det
inte tas för givet att a1 är ett positivt heltal (5.4).
Bild 5. Tavelfotografi av läroboksuppgift.
Att en geometrisk serie med ett oändligt antal termer kan ha en ändlig summa berörs av lärare A i och med följande resonemang. Därmed tas det inte för givet att antalet termer
är ändligt (6.1).
A: Men jag tyckte du sa… det händer en annan grej om kvoten är mindre än ett däremot, vi studerade det här med gränsvärden. Om, endast om, kvoten är mindre än ett så kommer ju om n går mot ett, eller mot oändligheten så kommer ju det här a1(1−kn)
1−k att bli vadå?
Lite svår fråga med lite MVG-stuk skulle jag nog säga. kn går mot noll, rätt (Elevs namn).
Elev: För att det blir ju mindre och mindre varje gång…
A: Exakt, det blir…skulle det exempel vara en halv så halveras det varje gång, så det går snabbt mot noll då. (Elevers namn). Då övergår den formeln till den, men det är bara om kvoten är mindre än ett som den gör det och det gäller då för oändligt många termer i den serien, så då kan man faktiskt räkna ut summan av oändligt många termer, den geometriska seriens summa.
(Skriver följande på tavlan under föregående period:
Om k<1 lim𝑛→∞𝑎1(1−𝑘
𝑛)
1−𝑘 = 𝑎1
1−𝑘)
Elev: Men det blir ju aldrig noll.
A: Det är sådana här gränsvärdesresonemang. I oändligheten så blir det noll. Tar du med oändligt många termer där så blir det noll. Det här med oändlighetsfunderingar och
29
räknande det har även de riktigt stora matematikerna missat på. Det blir genast lurigt när man sysslar med oändligheter. Ni får lita på att det blir så då, men ni ser att kn går ju mot noll i alla fall när n går mot oändligheten, k mindre än ett…
Att kvoten måste vara mindre än ett för att en oändlig serie ska ha ett gränsvärde eller en ändlig summa berörs också i ovanstående resonemang. Men att kvoten är mindre än
ett ej tas för givet vid oändlighetsresonemang (6.2) visas ännu tydligare nedan. Där
diskuteras villkoret k<1 vid oändliga serier, men det tas även upp vad som händer om kvoten skulle vara större än ett.
A: Men den här formeln fungerar bara, eller det här tänkandet fungerar bara om… Det är ett villkor för det, vilket är det? Kan ni se det?
Elev: Att det är mindre än ett.
A: Kvoten måste vara mindre än ett. (Mobiltelefonsignal ljuder)
A: Så att… Summan av den oändliga geometriska serien blir alltså då lika med första termen delat med ett minus kvoten, om kvoten är mindre än ett. Japp.
Elev: (…)
A: Vad sade du?
Elev: Vad gäller när kvoten är mer än ett?
A: Om kvoten är mer än ett, då bli summan oändlig ju, för då växer termerna hela tiden. Då blir summan oändligt stor. Det är ju därför det…
Elev: Valde du den…?
A: Bara om det är oändligt många termer. Och det måste vara så att termerna minskar hela tiden annars skulle ju seriens summa bli oändlig va? Så därför har vi det villkoret här.
Nästa utdrag visar att det hos A ej tas för givet att summaformeln med k-1 i nämnaren (9.2) skall användas.
Elev: Och så allting delat på förändringen minus ett. A: Kvoten minus ett ja. Så där.
Elev: Skall det inte vara tvärt om där nere? Skall det inte vara ett minus 1,045?
A: Kan man, man kan skriva om man vill vända på det här. Det är samma sak. Om jag vänder på termerna både i täljaren och nämnaren, så blir det samma sak ändå.
30
A: Det är mer vanligt när man har att kvoten är mindre än ett ja, men det funkar. Samma sak. Det är bara att förlänga med minus ett faktiskt.
Bild 6. Tavelfotografi som visar två olika sätt att skriva formeln för geometrisk summa.
A tar upp en del exempel där det inte är den geometriska summan som ska räknas ut. Istället är det i nedanstående två utdrag a1 (10.1) och därefter n som eftersöks (10.2).
Första exemplet är ett annuitetslån där det är a1 som ska räknas ut.
A: Mario lånar en miljon kronor till 5 % årsränta. Skulden skall betalas av på fyra år. Sch sch sch, (Elevs namn). Häng med nu. Om Mario skall betala samma belopp för ränta och amortering sammanlagt varje år, det vill säga ha ett annuitetslån: hur stort bli detta belopp? Det här kommer ni att stöta på när ni skall köpa hus eller lägenhet eller så.
Bild 7. Tavelfotografi av annuitetslånsexempel.
Det andra exemplet handlar om en tennisturnering där eleverna ska räkna ut hur många matcher vinnaren av turneringen kommer att spela, således är n det som eftersöks (10.2).
A: 4.40. I Wimbledonturneringen, som är en utslagsturnering, deltar i singelspelet 128 spelare. Hur många matcher blir det för den som till slut vinner turneringen?
31
5.4 Lärare B - Dimensioner av variation
Lärare B inleder lektion B2 med att jämföra en geometrisk serie med en aritmetisk och därmed tas det ej för givet att en talföljd är geometrisk (1.1). Genom att ingående jämföra den aritmetiska talföljdens struktur med den geometriska tas ej kvotens
definierande roll i en geometrisk talföljd för givet (1.2).
B: Igår pratade vi om aritmetiska serier, idag ska vi titta på en annan typ av serier, nämligen geometriska serier. Det kan man ju undra vad det är för någonting? Jag tänkte börja med ett exempel här. Nu ska jag se här… om vi har (…) den här… 1, 2, 4, 8… så… Jag har skrivit, om ni tittar på den här första serien här, serie med tal, så om ni skulle försöka tänka ut vilket som skulle vara nästa tal här?
Bild 8. Tavelfotografi av inledningsbeskrivning av geometriska talföljder. Elev: 16.
B: 16. Och hur kom du fram till det? Elev: (…)
B: Gånger två hela tiden. Då blir det 16 där. Och den här då? Vad ska vara nästa tal där? (Elevs namn)?
Elev: 250.
B: 250. Och hur kom du fram till det? Elev: Gånger 5.
B: (…) gånger 5 ja. Om ni ser här så kommer man inte fram till nästa term på samma sätt som när vi, de serier som vi jobbade med igår. Igår så tog man plus eller minus någonting här tar vi gånger, så multiplicerar med något för att få fram nästa, nästa term i den här serien. Och då har vi det som kallas för en geometrisk serie.
32
Att formelstrukturen i den geometriska serien inte tas för givet (3.1) visas också i ovanstående utdrag. Detta visas i Bild 8 men blir ännu tydligare i Bild 9 nedan, då första term, kvot och antal termer även får siffervärden.
Elev: Men, varför blir det punkt, punkt, punkt emellan?
B: Jo, för att egentligen så skulle det vara det här också, jag bara skrev inte ut det först för att jag ville att ni skulle titta på talen som sådana så att säga va? Och med geometrisk serie, det är alltså summor av ett antal tal som har den här, följer det här mönstret här.
Bild 9. Tavelfotografi av härledning av formeln för geometrisk summa.
Kring detta exempel öppnar lärare B fler dimensioner. Härledningen för
summauttrycket visas numeriskt (3.4) utöver den algebraiska härledningen vilket kan ses
i Bild 9. Efter detta förklarar B i samband med detta exempel att kvotens exponent hos
an är n-1 (4.1).
B: Alltså jag multiplicerar med en viss faktor här a*k2, a*k3 och sen och så vidare till sista talet då som blir a*k n-1 om jag har en geometrisk serie med n termer.
Vid härledningen av summaformeln öppnar B ytterligare en dimension, då hon inte tar
för givet att kvoten inte är lika med 1 (5.6).
B: …upphöjt till n-1. Och så delar vi med parentesen så får vi ut 𝑆𝑛 =a1(k n−1)
k−1 . Och det här
gäller då för en summa med n termer i va? …n termer. Och sen är det ett villkor till som måste vara uppfyllt va? Vad händer om k = 1?
Elev: Oh du, då blir det odefinierat.
B: Då blir det odefinierat ja. Visst. Så k måste vara skilt från 1 (…) man kan ju säga så, k = 1, ja då blir det ju, då blir ju alla talen samma, samma tal hela vägen va, så att säga inte så intressant, då behöver jag inte någon formel egentligen. Då är det bara att räkna på.
33
I ett exempel som berör annuitetslån använder lärare B beteckningen b på det som vanligen betecknas a1 eller endast a. Därmed tas variablernas beteckning ej för givet
(3.2).
B: Jo, vi kommer till det här nu. Sen betalar jag ju, efter ett år så betalar jag den första återbetalningen, som jag satte till b. Då har jag alltså; skulden har ökat med 15% och sen så betalar jag tillbaka då b kronor.
Även lärare B använder sig av tidslinje (8.2) för att illustrera den geometriska summans struktur, vilket kan ses i Bild 10 nedan.
B: Men här kommer den geometriska summan in så småningom, men för att lösa den här typen av uppgifter så är det väldigt bra att rita tidslinjer där man vet hur länge, hur många år som, som olika belopp har stått inne på kontot va? Så att, om vi visar, om vi gör den första insättningen…
Bild 10. Tavelfotografi av ränta-på-ränta-uppgift.
Ovanstående exempel och Bild 10 visar även att kvoten kan vara ett rationellt tal, inte
bara ett positivt heltal (5.3).
Följande ekonomiska tillämpning gör att n som heltal ej tas för givet (5.5), då B problematiserar elevens ursprungliga svar. Dessutom visar exemplet en variation i det som ska räknas ut. Istället för att det är summan som ska räknas ut är det n, antalet
