Vi ha förutsatt, att provträden väljas utefter taxeringslinjerna. Det har emellertid sitt intresse att betrakta även det fall, då p.rovträden välj as på måfå och oberoende av varandra inom hela undersöknings-området Q, medan taxeringen i övrigt är av samma slag som nyss. I dett<\.
NOGGRANNHETEN VID TAXERING 103 fall få vi en enkel formel för uppskattningen av medelfelet s2, dvs. det medelfel i kubikmassan, som härrör från kuberingstalens osäkerhet. Vi kunna nämligen skriva:
där
cr·2
s2(k-) =_J_ j= r, 2, 3 ... (r2o)
7 pi'
Om P7 ej är litet i förhållande till antalet, M1, av träd inom hela Q, vilka tillhöra den j:e klassen, böra vi i (r2o) införa korrektionsfaktorn (Mi-Pi)/Mi, se t. ex. LANGSAETER (1934) s. 429. Vid lågprocentiga taxeringar som riks-skogstaxeringen kan denna faktor givetvis försummas. I framställningen i de tidigare kapitlen ha vi hela tiden utelämnat en korrektionsfaktor av detta slag.
För att visa hur de i (r2o) uppträdande cri2 skola uppskattas, införa vi be-teckningarna
för volymerna av de P1 provträden i första klassen. Närmevärdet för cr12 få vi nu ur formeln:
(rzr)
På motsvarande sätt uppskattas cr22 och cr3 2.
Vi ha här använt de vanliga formlerna för medelfelsuppskattning vid slump-mässiga stickprov. Under en viss förutsättning skulle vi kunna använda (ng) -(r2r) oberoende av hur provträden tagas ut. Denna förutsättning kunna vi uttrycka i orden: hur nära eller långt från varandra två träd än stå, äro avvikelserna från resp. klassers genomsnittliga k u be-rings tal okorrelerade.
Att denna förutsättning ej kan vara exakt uppfylld, torde vara omedelbart klart. Vi kunna nämligen utgå ifrån att det råder positiv korrelation mellan träd, vilka växa nära intill varandra. Detta yttrar sig bl. a. däri att dispersio-nen bland på de enskilda träden gjorda mätningar i allmänhet är större, ju större undersökningsområdet är. LANGsAETER (1934, s. 424) har visat detta för trädhöjd och årsringsbredd, medan NÄsLUND (1944, s. 294-295) har fram-lagt siffror, varav framgår, att även dispersionen i kubikmassan (inom dia-meterklasser) är större inom stora områden än inom små. Detta belyses även
104 BERTIL MATERN 36 : I
Tab. IS. Variansanalys av uppgifter om kubikmassa och tillväxt av provträd i norra delen av Gävleborgs län.
Analysis of variance of data on volume and growth of sample trees in the northern part of Gävleborg.
l Inom provytor 1 Mellan provytor Within sample plats Between sample plats l
----1----~--- Varians-kvot Variance
ra tio
f
l
v fl
jJ! --~~--~--~----1
r) Kubikmassa, gran o-- 2.5 cm Volume, spruce
z) Kubikmassa,
3) l)
gran 10--15
l) 15--20 4) Kubikmassa, tall o-- z. 5 l>
Volume, piue [
3 o. 00469
I I 7!8.283
I 408. 66z l
27 2!
5) Kubikmassa, tall 30--35 l>
l
O.I2I57 1
29 5 750.9 6) Tillväxt, gran
Growth, spruce 7) Tillväxt, gran
10--15 l) II
rs-zo l) 27
ro. o so
147·4337 8 276 272
32
276
272
f = frihetsgrader, degrees of freedom, v = varians, variance.
522.Ij00 l 807.751
o.z663rl
31 868.8
!68.2693
!O I. 6
s .. 542
6. 368 I . q r
l
av de i tab. 15 redovisade variansanalyserna, vilka utförts på volymsuppgif-ter från provträdskort från det vid flera tidigare tillfällen betraktade området i norra Hälsingland (riksskogstaxeringen år 1942). Vi ha utelämnat alla de-taljer i beräkningarna. Utförliga räkneschemata finnas hos t. ex. BoNNIER &
TEDIN (1940, s. 64 o. följ.).-- Tillväxten avser en femårsperiod bakåt i tiden från taxeringstillfället. Samtliga data, som legat till grund, ha varit uttryckta i dm3 . - -Av varianskvoterna svara 5) och 6) mot ett P-värde
<
o.oor och r) mot o. or >P>
o.oor, medan de övriga fyra svara mot högre P-värden (BONNIER & TEDIN 1940, s. 3I9-32I).Även om den nyssnämnda förutsättningen sålunda ej är exakt uppfylld, kan det hända, att (rr9)--(rzr) giva en acceptabel approximation av medel-felet c:2 vid ett ej slumpmässigt val av provträd. Härtill kunna två omständig-heter bidraga. Dels kan korrelationen vara svag även för två närbelägna träd, dels kan själva stickprovsmekanismen i vissa fall skapa ungefär samma variation, som den som karakteriserar det slumpmässiga provträdsurvalet.
Villkoren för detta hava klarlagts av LANGsAETER (1934, s. 433-436). Vi skola därför ej här gå in på en detaljerad diskussion. Ett par anmärkningar kunna dock vara befogade. Såsom framhålles av LANGSAETER, är det avståndet mellan på varann följ ande provträd som är avgörande för om form-lerna (rr9)-(rzr) kunna tillämpas. Nu kan det tänkas, att för varje diameter-klass provträdens inbördes avstånd är tillräckligt stort, för att (rzo) skall vara betryggande. Därav följer emellertid ej utan vidare, att även (rr9) får
~nvändas, ty så snart vi samtidigt betrakta flera klasser1 ha vi att göra mecl
NOGGRANNHETEN VID TAXERING 105 fler provträd och följaktligen med kortare avstånd mellan två successiva provträd. - LANGSAETERS diskussion skulle kunna preciseras, om vi införde en korrelationsfunktion. Då resonemangen skulle bliva en upprepning av vad
som sagts i kap. II, gå vi emellertid ej närmare in på dessa spörsmål.
Vi studera i stället ett exempel. Vid den andra svenska riksskogstaxeringen tagas provträden på provytor, vilka ligga på taxeringslinjerna. Härvid faller i allmänhet mer än ett träd per provyta. Vid taxeringen av Gävleborgs län år 1942 föllo sålunda i genomsnitt tre provträd på varje i skogsmark belägen provyta. Vi få sålunda ett antal grupper av nära intill varandra stående träd, vilket, enligt vad vi nyss sett, måste tendera att höja medelfelet. En viss uppfattning om hur stark denna inverkan är, kan man få av en beräkning, som utförts på ett material bestående av volymsuppgifter för samtliga prov-träd, 329 st., från en taxeringslinje i Gävleborgs län. Först utfördes en medel-felsuppskattning med hjälp av en formel av den typ, som diskuterades i första avsnittet av detta kapitel! Härvid bestämdes v; för varje 2-km-sträcka enligt (no). Därefter uträknades s2 enligt (ro8) av 39 differenser mellan v;-värden.
Sedan utfördes även en medelfelsuppskattning enligt (ng)-(r2r). I detta senare fall blev medelfelet uppskattat till ett belopp, som utgjorde endast 6r
%
av värdet enligt den förra uppskattningen.Även om det nyss anförda procenttalet i sin tur är behäftat med ett medel-fel, bör det dock tillsammans med variansanalyserna i tab. 15 tjäna som varning mot ett okritiskt användande av de enkla medelfelsformlerna (ng) och (r2o). -Det förefaller dock ej uteslutet, att dessa enkla formler giva-åtminstone för taxeringar sådana som riksskogstaxeringen-en viss uppfatt-ning om felets storleksorduppfatt-ning, särskilt för enstaka trädslags- och dia-meterklasser.
KAP.
VII. UTNYTTJANDET AV DUBBLA STICKPROV.
I de tidigare kapitlen ha vi utgått från vissa på förhand givna uppskatt-ningar av skogsmarksareal, kubikmassa per hektar osv., och angivit formler för beräkning av deras medelfeL I detta avslutande kapitel skola vi taga upp en fråga, som rör det sätt, varpå dessa uppskattningar skola verkställas --sålunda ej blott hur deras medelfel skola räknas ut. Vi skola dock ej gå in på problemet, hur själva taxeringen skall anordnas, utan fortfarande förutsätta, att det statistiska materialet redan föreligger. Som kommer att framgå av de i detta kapitel betraktade exemplen, kan man ur ett givet material bilda närmevärden för skogsmarksarealen, kubikmassan etc. på flera olika sätt.
Det problem, vi skola studera, rör valet av uppskattningsmetod i ett speciellt
fall.
Vi ställa oss nämli~en följande fråga: Hur sko!a dy resultat? son1106 BERTIL MATERN
erhållas från de olika leden i ett dubbelt stickprov, kombine-ras, för att medelfelet skall bliva det lägsta möjliga? Under termen >>dubbla stickprov>> innefatta vi även sådana fall, där undersökningens första led utgöres av en hundraprocentig inventering och endast det andra ledet är ett stickprov i egentlig mening. Se vidare det i den engelska re-sumen återgivna citatet från COCHRAN (1939).
En teoretisk diskussion om de dubbla stickproven återfinnes hos NEYMAN (1938 b) och CocHRAN (1939). I viss mån analoga problem behandlas av FrsHER (1942, kap. IX) under rubriken >>concomitant measurements>>. Dessa författare förutsätta, att en slumpmässig stickprovsmekanism användes. Vi måste söka bygga ut teorin så, att den går att tillämpa på de systematiskt valda stick-prov, som vi ha att göra med vid skogstaxering. För att undvika alltför vid-lyftiga undersökningar skola vi härvid begränsa oss till det nyss omnämnda
>>Urartningsfall», då stickprovets första led är en totalinventering. Först skola vi emellertid betrakta några exempel och därvid särskilt dröja vid en metod att utnyttja kartan för att förbättra en linje- eller provytetaxerings upp-gifter om olika arealslags utbredning.