Modell 3-Åkande last på fritt upplagd balk

För att bestämma storleken på en last som passerar över balken (rälen) ändras modellen till att belastas med en rörlig kraft enligt Figur 16.

v

P

Figur 16 Fritt upplagd balk belastad med en rörlig kraft

Genom att utföra simuleringar där kraften P färdas längs balken (rälen) med olika hastigheter, kan eventuell dynamisk påverkan på skjuvspänningen

undersökas. Simuleringarna har gått till så att tiden det tar för lasten att nå slutet av balken, i detta fall x=4.3 m, är den slutliga tiden för simuleringen. Därefter har skjuvspänningen i två noder, mitt i balken, plottats som funktion av tiden, se Figur 17.

4 Verifiering av FEM-modeller

Figur 17 Mittnodernas placering i vilken skjuvspänningen mäts

Innan en analys utförs där en rörlig last P färdas över balken, behöver antalet tidssteg bestämmas.

4.3.1 Bestämning av tidssteget

För att bestämma tidsstegets storlek utfördes ett antal analyser med olika tidssteg. Kraften P färdades över balken med en viss hastighet varpå skjuvspänningen mitt i balken plottades som funktion av tiden. Resultaten återfinns i Figur 18 nedan.

Bestämning av tidssteget då hastigheten v=0,43 m/s

-8,0E+06 -6,0E+06 -4,0E+06 -2,0E+06 0,0E+00 2,0E+06 4,0E+06 6,0E+06 8,0E+06 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 Tid [s] Skjuvspänning [Pa] Sigma xy 10 tidssteg Sigma xy 65 tidssteg Sigma xy 100 tidssteg Sigma xy 200 tidssteg

Figur 18 Bestämningen av tidssteget

Figur 18 ovan visar att skillnaden i skjuvspänning är marginell oavsett om 65, 100 eller 200 tidssteg används. För beräkning av tvärkraften och därmed den passerande lasten väljs antalet tidssteg till 100 vid analyserna.

Grafen ovan kan förklaras med att skjuvspänning mitt i balken är noll vid tiden t=0. Skjuvspänningen ökar sedan då kraften P närmar sig mitten av balken. Rakt ovanför mätpunkten är skjuvspänningen noll och då lasten passerat denna punkt ändrar skjuvspänningen tecken från positiv till negativ. Då kraften närmar sig slutet av balken minskar skjuvspänningen och vid slutet av balken är den noll. Hoppet som kan ses i grafen är således då skjuvspänningen ändrar tecken. Skjuvspänningen är positiv då lasten befinner sig på den vänstra halvan av balken och blir negativ då den passerar mitten av balken.

4.3.2 Beräkning av tvärkraft samt passerande last P

I det statiska fallet kan maximal skjuvspänning räknas om till tvärkraft enligt ekvation (4). Härledning återfinns i Bilaga 2.

µ τ µ τ = ⋅ →T = A⋅ A T (4)

Detta gäller under förutsättning att skjuvspänningsfördelningen är

parabelformad, vilket innebär att maximal skjuvspänning uppträder i balkens medellinje. Detta gäller för ett rektangulärt tvärsnitt och jouravskifaktorn

µ

är

µ

= 1,5.

Lasten som passerar kan då beräknas genom att snitta och frilägga en del av balken enligt Figur 19.

P

T

2

T

2

T

1

T

1

Figur 19 Beräkning av passerande last P

4 Verifiering av FEM-modeller

Räknas skjuvspänningen om till tvärkraft med ekvation (4) fås typiskt följande resultat av tvärkraft och passerande last, se Figur 20 och Figur 21. I dessa figurer är endast två olika hastigheter representerade. Skjuvspänningen är beräknad 12 element in (motsvarar 30 procent av balklängden) och 16 element in (motsvarar 50 procent av balklängden). Skjuvspänningen räknas sedan om till tvärkraft med ekvation (4) och för att få den passerande lasten tas skillnaden mellan de två tvärkrafterna.

Tvärkraft samt passerande last som funktion av tiden

-8,0E+04 -6,0E+04 -4,0E+04 -2,0E+04 0,0E+00 2,0E+04 4,0E+04 6,0E+04 8,0E+04 1,0E+05 1,2E+05 0 2 4 6 8 10 Tid [s] Tvärkraft [N] Tvarkraft 12 element in Tvarkraft 16 element in P=Tvarkraft(16 el-12 el)

Figur 20 Kraften P färdas med hastigheten v=0.43 m/s

Tvärkraft samt passerande last som funktion av tiden

-8,0E+04 -6,0E+04 -4,0E+04 -2,0E+04 0,0E+00 2,0E+04 4,0E+04 6,0E+04 8,0E+04 1,0E+05 1,2E+05 1,4E+05 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Tid [s] Tvärkraft [N] Tvarkraft 12 element in Tvarkraft 16 element in P=Tvarkraft(16 el-12 el)

För en fritt upplagd balk med rörlig last kan även en analytisk lösning av tvärkraften härledas, se [3]. På så sätt kan de numeriska och analytiska lösningarna jämföras. Därför utförs samma beräkning i Matlab, d v s en

analytisk lösning till en åkande kraft tas fram enligt Euler-Bernoullis balkteori. Dessa resultat ges i Figurerna nedan.

4 Verifiering av FEM-modeller

Resultaten ovan visar att detta tillvägagångssätt inte är helt korrekt då faktorn

µ

inte kan antas vara 1,5 då dynamiska effekter är inblandade. Även metoden att räkna om skjuvspänningen till tvärkraft genom att skjuvspänningen i Figur 22 och Figur 23 multipliceras med A/

µ

ger ett fel. Felet uppstår på grund av att skjuvspänningen nära kraften inte är parabelformad, d v s skjuvspänningens maxvärde återfinns ej i mitten av balken, se Bilagor. Därför kan inte

jouravskifaktorn antas vara 1,5. I stället utförs nya simuleringar där tiden det tar för lasten att nå mitten av balken är den slutliga tiden för simuleringen. Därefter har skjuvspänningen utvärderats i alla noder längs balkens höjd på olika avstånd från den angripande kraften.

Av Figur 22 framgår att skillnaderna mellan tvärkrafterna blir exakt den pålagda lasten om hastigheten är låg (statisk last). Vid högre hastighet däremot (Figur 23) kommer de dynamiska effekterna göra att skillnaderna i tvärkraft inte exakt återger den pålagda lasten.

Då en töjningsgivare placeras i mitten av livet för att mäta skjuvtöjning på grund av tvärkraft förutsätts normalspänningen vara noll. För att undersöka om

normalspänningar uppträder i mitten av balken kontrolleras även detta.

4.3.3 Normalspänningar hos en fritt upplagd balk

Då en töjningsgivare placeras i mitten för att registrera en skjuvtöjning förutsätts normalspänningen i x-led vara noll. I följande analyser kontrolleras om så är fallet. I graferna nedan kan skjuvspänningar och normalspänningar ses som funktion av tiden då en kraft P färdas med olika hastigheter över en fritt upplagd balk. De olika spänningarna är uppmätta mitt i balken.

Skjuvspänning och Norm alspänning som funktion av tid då lasten rör sig m ed 0.43 m /s -1,00E+07 -8,00E+06 -6,00E+06 -4,00E+06 -2,00E+06 0,00E+00 2,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 Tid [s]

Skjuvspänning / Normalspänning [Pa]

Sigma xy mitt i balken Sigma xx mitt i balken Sigma yy mitt i balken

Figur 24 Skjuvspänning och normalspänning då kraften rör sig med 0.43 m/s

Skjuvspänning och Normalspänning som funktion av tid då lasten rör sig med 17.2 m/s

-1,00E+07 -8,00E+06 -6,00E+06 -4,00E+06 -2,00E+06 0,00E+00 2,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 Tid [s]

Skjuvspänning / Normalspänning [Pa]

Sigma xy mitt ibalken Sigma yy mitt i balken Sigma xx mitt i balken

4 Verifiering av FEM-modeller

Skjuvspänning och Normalspänning som funktion av tid då lasten rör sig med 68.8 m/s -1,00E+07 -8,00E+06 -6,00E+06 -4,00E+06 -2,00E+06 0,00E+00 2,00E+06 4,00E+06 6,00E+06 8,00E+06 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 Tid [s] Skjuvspänning / Norm alspännin g [Pa]

Sigma xy mitt i balken Sigma yy mitt i balken Sigma xx mitt i balken

Figur 26 Skjuvspänning och normalspänning då kraften rör sig med 68.8 m/s

Graferna ovan visar att då hastigheten ökar sätts svängningsrörelser igång. Man ser även att skjuvspänningens hopp (mellan min och max) är ungefär detsamma oberoende av vilken hastighet kraften färdas med. Mätpunkten som befinner sig mitt i balken registrerar även normalspänningar i tryck och drag. Eftersom dessa är oberoende av hastigheten borde dessa inte ha någon påverkan på ett

mätresultat där en trådtöjningsgivare kalibrerats efter en långsamtgående (statisk) last.

In document Hur noggrant kan kontaktkrafter mellen hjul och järnvägsräl mätas? (Page 32-40)