(39)
M˚attet visar hur stort genomsnittsfelet ¨ar i f¨orh˚allande till det exakta priset.
3.11 Optimering av regressionsfunktion
Desto fler termer en regressionsfunktion har, desto b¨attre kan den f¨olja de observerade v¨ardena. Dock s˚a ¨okar detta risken f¨or att modellen som anv¨ands f¨oljer dessa v¨arden f¨or n¨ara. P˚a s˚a s¨att kan modellens f¨orm˚aga att f¨oruts¨aga nya v¨arden minska. D¨arf¨or optimeras regressionsfunktionen. En optimering kommer ocks˚a ge f¨ordelen att antalet termer i funktionen minskar, vilket le-der till att tids˚atg˚angen f¨or ber¨akningar vid ˚ateranv¨andning minskar. Dess-utom uppt¨acktes vid initiala tester att minstakvadratmetoden vid s¨allsynta tillf¨allen kan ge kraftigt felaktiga v¨arden f¨or vissa termer och observerade v¨arden. ¨Aven detta problem kan minimeras med en optimering.
Optimeringen sker p˚a f¨oljande s¨att:
1. En reducerad funktion, best˚aende av endast en konstant samt de enskilda tillg˚angspriserna anv¨ands f¨or att best¨amma parametrar. Vid f¨orsta iteratio-nen anv¨ands allts˚a 1 + n termer, d¨ar n ¨ar antalet tillg˚angar.
F¨or varje term som ¨annu inte lagts till i den reducerade funktionen utf¨ors f¨oljande steg:
2.1 En ny term inkluderas i funktionen och dess parameter best¨ams genom ekvation 11 fr˚an avsnitt 2.4.2, medan de andra termernas parametrar beh˚alls fr˚an steg 1.
2.2 Ett R2-v¨arde ber¨aknas.
funktio-nen och sedan utf¨ors steg 2.1-2.2 igen. Detta utf¨ors tills dess att maximalt 70 % av alla termer lagts till i den optimerade funktionen.
4. N¨ar alla termer valts best¨ams parametrarnas v¨arden igen och kan sedan anv¨andas i Least Squares Monte Carlo-metoden.
Genom den ovanst˚aende metoden testas varje term separat och l¨aggs till i omg˚angar, d¨ar varje ny term ¨ar den som ger b¨ast f¨orklaringsf¨orm˚aga.
Begr¨ansningen p˚a 70 % av termerna anv¨ands f¨or att inte alla termer som be-skrivs i avsnitt 3.6 ska anv¨andas. Om den term som valts ut i steg 3 ger ett negativt R2-v¨arde s˚a kommer den inte att l¨aggas till. Detta bed¨oms h¨anda ytterst s¨allan, men kan inneb¨ara att mindre ¨an 70 % av alla termer anv¨ands.
4 Resultat
I detta kapitel presenteras resultatet som producerats under arbetet. F¨oljande notation och f¨orkortningar anv¨ands:
SM C Vanliga (Standard) Monte Carlo-metoden LSM C Least Squares Monte Carlo-metoden K L¨osenpris
τ Yttre scenarionas tidl¨angd el. tidshorisont N Antal tillg˚angar el. dimensionalitet
4.1 Geometrisk korgoption
H¨ar presenteras resultatet av testerna f¨or den geometriska korgoptionen. F¨orst presenteras ett urval optionspriser f¨or olika tillg˚angspriser; d¨arefter visas ett urval av genomsnittliga exakta optionspriser; de fyra sista tabeller-na utg¨or R2-v¨arden och felm˚atten som diskuteras i metodavsnittet.
Tabell 1: Optionsv¨arden f¨or geometrisk korgoption. Visar exakta priser f¨or geometrisk korgoption med tid till l¨osen 1 och riskfri r¨anta r = 3%, f¨or olika l¨osenpris (K), antal underliggande tillg˚angar (N)och pris p˚a under-liggande tillg˚angar (Tillg˚angspris) vid optionens startpunkt. Samtliga av tillg˚angarna har samma pris. V¨ardena ¨ar avrundade till 3 decimaler, f¨orutom v¨ardet d˚a blivit 0. Tillg˚angspris N K 50 70 100 130 150 50 5.06 20.840 49.923 79.446 99.134 2 100 0.012 0.6968 10.121 32.611 51.094 120 0.001 0.115 3.717 18.399 33.927 50 4.475 20.332 49.402 78.776 98.361 3 100 0.004 0.426 8.949 31.510 50.132 120 1E-4 0.050 2.847 16.916 32.550 50 4.165 20.083 49.144 78.443 97.976 4 100 0.002 0.311 8.330 30.962 49.666 120 4E-5 0.029 2.413 16.136 31.855
Priset ¨okar med l¨agre l¨osenpris och h¨ogre startv¨arde p˚a underliggande tillg˚angen, d˚a det ¨ar en k¨opoption. Med fler underliggande tillg˚angar minskar priset. Detta beror p˚a att optionens utbetalning ges av tillg˚angarnas geometriska medelv¨arde, s˚a fler tillg˚angar ger samma effekt som diversifiering. Den re-lativa effekten som fler tillg˚angar ger ¨ar st¨orre f¨or l˚agt startpris och h¨ogt l¨osenpris, allts˚a d¨ar priserna ¨ar som l¨agst.
Tabell 2: Genomsnittligt exakt pris f¨or geometrisk korgoption. Visar me-delv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or optionsprisf¨ordelningens me-delv¨arde, prissatt med analytisk metod, baserat p˚a 10 upps¨attningar av sce-narion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av priserna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tidsspann (τ ).
Antal tillg˚angar
K Del τ 2 3 4 1 50.726 ± 0.283 49.755 ± 0.155 49.293 ± 0.109 Mitten 3 52.622 ± 0.340 50.690 ± 0.369 49.768 ± 0.300 6 55.945 ± 0.531 52.557 ± 0.656 50.940 ± 0.455 1 9.297 ± 0.261 11.035 ± 0.280 12.170 ± 0.531 50 P2.5 3 0.679 ± 0.074 1.069 ± 0.122 1.381 ± 0.123 6 0.010 ± 0.002 0.019 ± 0.004 0.029 ± 0.004 1 123.029 ± 1.656 112.753 ± 1.453 107.721 ± 1.410 P97.5 3 206.868 ± 3.410 181.800 ± 1.855 169.086 ± 1.973 6 317.534 ± 4.486 268.676 ± 7.540 250.045 ± 3.861 1 13.647 ± 0.152 11.945 ± 0.166 11.069 ± 0.059 Mitten 3 18.961 ± 0.339 16.535 ± 0.360 15.167 ± 0.248 6 25.470 ± 0.443 21.558 ± 0.380 19.666 ± 0.505 1 0.080 ± 0.009 0.071 ± 0.005 0.064 ± 0.006 100 P2.5 3 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 6 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 74.868 ± 1.302 65.045 ± 1.248 59.621 ± 0.911 P97.5 3 155.635 ± 4.199 132.166 ± 3.060 120.016 ± 1.891 6 269.064 ± 6.494 220.838 ± 5.278 199.886 ± 7.295 1 6.778 ± 0.110 5.362 ± 0.069 4.606 ± 0.089 Mitten 3 11.930 ± 0.248 9.584 ± 0.144 8.327 ± 0.116 6 18.315 ± 0.445 14.542 ± 0.352 12.989 ± 0.247 1 0.009 ± 0.001 0.006 ± 0.001 0.005 ± 0.000 120 P2.5 3 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 6 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 55.866 ± 1.285 45.902 ± 1.554 41.029 ± 0.847 P97.5 3 136.643 ± 2.781 112.493 ± 1.952 100.645 ± 2.563 6 249.498 ± 6.231 201.000 ± 6.263 181.048 ± 5.110
Tabellen f¨oljer de effekter som parametrarna f¨orv¨antas ha enligt Tabell 1. Med l¨agre optionspriser f¨or h¨ogre l¨osenpris och fler tillg˚angar. L¨angre yttre scenarion ger h¨ogre priser d˚a tillg˚angspriserna f¨orv¨antas v¨axa med riskfria r¨antan, p˚a 3%, och optionspriset drar ¨aven nytta av den potentiella sprid-ningen f¨or underliggande tillg˚angarna, som l¨angre tidsspann ger.
Den ¨ovre delen av prisf¨ordelningen, P97.5, p˚averkas mest av parametrarnas effekter och v¨axer s˚aledes snabbare vid l¨angre tidshorisont, medan priserna sjunker mer med fler tillg˚angar.
Den nedre delen av prisf¨ordelningen, P2.5, f˚ar en omv¨and p˚averkan av yttre scenarionas tidsl¨angd. Detta beror p˚a att priserna som ligger i denna del av f¨ordelningen ¨ar de som sjunkit ¨over tiden. Vid de tv˚a l¨angre tidshorisonterna, f¨or de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna visar tabellen p˚a priser som ligger p˚a 0. Dock s˚a ¨ar dessa ej exakt 0 utan endast s˚a sm˚a att de avrundas till detta, vid avrundning till 3 decimaler.
Tabell 3: R2-v¨arden f¨or geometrisk korgoption. Visar medelv¨arde och (±) standardavvikelse f¨or R2-v¨arden, ber¨aknade med 10 upps¨attningar tr¨ anings-(Tr¨aning) och valideringsscenarion (Validering), f¨or geometrisk korgop-tion med olika l¨osenpris (K), tidsl¨angder f¨or yttre scenarion (τ ) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar). Avrundning till 3 decimaler.
Antal tillg˚angar
2 3 4
K τ Tr¨aning Validering Tr¨aning Validering Tr¨aning Validering 1 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 50 3 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 0.999 ± 0.001 0.998 ± 0.004 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 6 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.001 1 0.995 ± 0.000 0.995 ± 0.000 0.994 ± 0.002 0.994 ± 0.002 0.995 ± 0.001 0.994 ± 0.002 100 3 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.998 ± 0.000 0.998 ± 0.000 0.997 ± 0.001 0.995 ± 0.005 6 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.997 ± 0.000 0.998 ± 0.001 0.996 ± 0.001 0.994 ± 0.007 1 0.991 ± 0.000 0.991 ± 0.000 0.989 ± 0.001 0.989 ± 0.001 0.988 ± 0.001 0.988 ± 0.001 120 3 0.992 ± 0.020 0.990 ± 0.025 0.996 ± 0.000 0.996 ± 0.001 0.978 ± 0.051 0.974 ± 0.067 6 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.995 ± 0.003 0.979 ± 0.036 0.994 ± 0.000 0.991 ± 0.008
R2-v¨ardena f¨or tr¨aningsm¨angderna uppvisar genomg˚aende h¨oga v¨arden, vil-ket tyder p˚a att LSMC:s regressionsfunktion har kunnat anpassa sig efter de v¨arden som anv¨andes f¨or att best¨amma dess parametrar. F¨or det l¨agsta l¨osenpriset ¨ar effekten som antalet tillg˚angar ger n˚agot otydlig. Vid de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna ¨ar effekten n˚agot tydligare, d¨ar ger h¨ogre dimensiona-litet n˚agot l¨agre v¨arden. Yttre scenariots tidsl¨angd verkar inte ha en klar p˚averkan, medan h¨ogre l¨osenpris tycks f¨ors¨amra R2-v¨ardena.
R2-v¨ardena baserade valideringsm¨angderna, allts˚a underliggande v¨arden som inte anv¨andes vid anpassning av regressionsfunktionens parametrar, f¨oljer, f¨or det mesta, samma m¨onster som tr¨aningsm¨angdernas motsvarande v¨arden. Vid m˚anga instanser skiljer sig v¨ardena inte ˚at tillr¨ackligt ens vid den tred-je decimalen. Som mest skiltred-jer sig v¨ardena med 16 tusendelar (K = 120, τ = 6, N = 3) och vid ett tillf¨alle ¨overtr¨affar valideringsm¨angdernas v¨arde tr¨aningsm¨angdernas (K = 100, τ = 6, N = 3).
Vid tv˚a tillf¨allen har b˚ade tr¨anings- och valideringsm¨angdernas R2-v¨arden kraftigt f¨orh¨ojda standardavvikelser, f¨or tv˚a och fyra tillg˚angar, K = 120, τ = 3. I fallet med fyra tillg˚angar hittas b˚ada m¨angdernas l¨agsta v¨arden.
Tabell 4: Differens i medelv¨arde f¨or geometrisk korgoption. Ber¨aknas en-ligt ekvation 37. Visar medelv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or diffe-rensen mellan prisf¨ordelningens medelv¨arde, med den exakta priss¨attningen j¨amf¨ort med Standard Monte Carlo (SMC) resp. Least Squares Monte Car-lo (LSMC), baserat p˚a 10 upps¨attningar av scenarion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av priserna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tidsspann (τ ).
Antal tillg˚angar
2 3 4 K Del τ SMC LSMC SMC LSMC SMC LSMC 1 0.000 ± 0.000 0.005 ± 0.003 0.000 ± 0.000 0.005 ± 0.004 0.000 ± 0.000 0.005 ± 0.004 Mitten 3 0.000 ± 0.000 0.016 ± 0.008 0.001 ± 0.000 0.035 ± 0.042 0.000 ± 0.000 0.017 ± 0.008 6 0.000 ± 0.000 0.041 ± 0.013 0.001 ± 0.000 0.067 ± 0.018 0.001 ± 0.000 0.057 ± 0.027 1 0.005 ± 0.004 0.038 ± 0.026 0.003 ± 0.002 0.044 ± 0.043 0.002 ± 0.002 0.039 ± 0.025 50 P2.5 3 0.002 ± 0.001 0.321 ± 0.080 0.002 ± 0.001 0.478 ± 0.501 0.001 ± 0.001 0.272 ± 0.046 6 0.000 ± 0.000 0.061 ± 0.008 0.000 ± 0.000 0.093 ± 0.012 0.000 ± 0.000 0.107 ± 0.018 1 0.005 ± 0.002 0.036 ± 0.024 0.005 ± 0.003 0.057 ± 0.060 0.003 ± 0.002 0.037 ± 0.039 P97.5 3 0.007 ± 0.007 0.125 ± 0.089 0.006 ± 0.004 0.437 ± 0.935 0.003 ± 0.003 0.259 ± 0.203 6 0.019 ± 0.010 0.243 ± 0.151 0.011 ± 0.009 0.392 ± 0.328 0.008 ± 0.005 0.631 ± 0.530 1 0.001 ± 0.001 0.008 ± 0.008 0.001 ± 0.001 0.022 ± 0.012 0.001 ± 0.001 0.019 ± 0.013 Mitten 3 0.001 ± 0.001 0.024 ± 0.014 0.001 ± 0.000 0.113 ± 0.010 0.001 ± 0.000 0.151 ± 0.018 6 0.001 ± 0.001 0.163 ± 0.023 0.000 ± 0.000 0.404 ± 0.028 0.001 ± 0.001 0.479 ± 0.057 1 0.001 ± 0.001 0.095 ± 0.052 0.001 ± 0.001 0.331 ± 0.059 0.001 ± 0.001 0.365 ± 0.028 100 P2.5 3 0.000 ± 0.000 0.034 ± 0.015 0.000 ± 0.000 0.014 ± 0.003 0.000 ± 0.000 0.008 ± 0.003 6 0.000 ± 0.000 0.002 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 0.004 ± 0.002 0.187 ± 0.100 0.004 ± 0.003 0.280 ± 0.214 0.003 ± 0.002 0.183 ± 0.090 P97.5 3 0.008 ± 0.004 0.566 ± 0.380 0.005 ± 0.003 0.459 ± 0.128 0.004 ± 0.004 0.770 ± 0.383 6 0.009 ± 0.007 0.826 ± 0.539 0.012 ± 0.013 0.797 ± 0.349 0.005 ± 0.005 1.030 ± 0.712 1 0.001 ± 0.000 0.010 ± 0.010 0.001 ± 0.001 0.022 ± 0.008 0.001 ± 0.001 0.039 ± 0.012 Mitten 3 0.001 ± 0.001 0.092 ± 0.158 0.001 ± 0.000 0.196 ± 0.023 0.001 ± 0.000 0.341 ± 0.265 6 0.001 ± 0.000 0.220 ± 0.023 0.001 ± 0.000 0.511 ± 0.031 0.001 ± 0.001 0.603 ± 0.035 1 0.001 ± 0.000 0.033 ± 0.025 0.001 ± 0.000 0.066 ± 0.012 0.001 ± 0.000 0.038 ± 0.008 120 P2.5 3 0.000 ± 0.000 0.004 ± 0.004 0.000 ± 0.000 0.001 ± 0.001 0.000 ± 0.000 0.001 ± 0.000 6 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 0.008 ± 0.003 0.147 ± 0.082 0.004 ± 0.003 0.137 ± 0.110 0.004 ± 0.004 0.228 ± 0.114
F¨or SMC ¨ar v¨ardena f¨or det mesta n˚agra tusendelar, medan de h¨ogsta ¨ar n˚agra hundradelar. Detta g¨aller ¨aven f¨or LSMC i mitten av prisf¨ordelningen vid τ = 1 f¨or det l¨agsta l¨osenpriset och i den l¨agre delen av f¨ordelning vid τ = 3 och τ = 6 f¨or de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna.
Parametern med st¨orst inverkan p˚a skillnaden mellan metodernas v¨arden ¨ar tidsl¨angden f¨or de yttre scenariona. I n¨astan alla fall ¨okar LSMC:s v¨arden betydligt snabbare med ¨okande tidshorisont ¨an SMC:s motsvarande v¨arden. Undantaget ¨ar i nederdelen av prisf¨ordelningen vid de tv˚a l¨angre tidshorison-terna, f¨or de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna. I dessa fall avrundas LSMC:s v¨arden till 0, d¨ar de annars skulle kunnat var negativa, medan den exakta priss¨attningen ger priser v¨aldigt n¨ara 0.
Den parameter med mest konsekvent effekt f¨or LSMC ¨ar l¨osenpriset: h¨ogre l¨osenpris ger st¨orre fel, trots att de underliggande optionspriserna ¨ar l¨agre. Vilket tyder p˚a att det relativ felet ¨ar st¨orre.
I samtliga fall, utanf¨or den nedre svansen, s˚a ¨ar v¨ardena f¨or optionerna med 4 tillg˚angar h¨ogre ¨an f¨or de med 2. Detta g¨aller dock inte i varje fall mellan 2 och 3 eller mellan 3 och 4 tillg˚angar.
Tabell 5: Kvadratroten av summan av kvadratfel f¨or geometrisk korgoption. Ber¨aknas enligt ekvation 38. Visar medelv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or kvadratroten av summan av fel, baserat p˚a 10 upps¨attningar av 10 000 yttre scenarion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av priserna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tidsspann (τ ).
Antal tillg˚angar
2 3 4 K Del τ SMC LSMC SMC LSMC SMC LSMC 1 6.059 ± 0.046 3.158 ± 1.232 4.842 ± 0.024 10.571 ± 9.133 4.263 ± 0.050 7.682 ± 0.665 Mitten 3 6.707 ± 0.087 18.357 ± 2.373 5.360 ± 0.048 51.435 ± 50.626 4.700 ± 0.046 41.491 ± 12.456 6 7.216 ± 0.068 39.061 ± 3.497 5.730 ± 0.061 99.108 ± 4.480 4.990 ± 0.041 113.755 ± 27.477 1 1.038 ± 0.060 2.414 ± 0.642 0.895 ± 0.034 3.856 ± 3.363 0.779 ± 0.040 2.434 ± 0.418 50 P2.5 3 0.433 ± 0.041 7.443 ± 1.073 0.491 ± 0.034 12.517 ± 13.605 0.528 ± 0.018 9.756 ± 2.308 6 0.043 ± 0.006 1.203 ± 0.161 0.060 ± 0.008 1.834 ± 0.228 0.074 ± 0.009 2.149 ± 0.364 1 1.610 ± 0.077 3.393 ± 3.373 1.222 ± 0.076 6.575 ± 5.474 1.081 ± 0.042 4.588 ± 1.638 P97.5 3 2.413 ± 0.135 21.179 ± 18.802 1.751 ± 0.098 61.231 ± 116.258 1.426 ± 0.073 34.013 ± 16.359 6 3.469 ± 0.112 21.815 ± 7.423 2.479 ± 0.155 80.672 ± 18.775 2.070 ± 0.092 106.509 ± 34.130 1 10.732 ± 0.110 16.350 ± 11.546 9.366 ± 0.065 34.097 ± 20.446 8.623 ± 0.070 32.649 ± 17.967 Mitten 3 9.621 ± 0.087 43.776 ± 6.054 8.186 ± 0.088 77.562 ± 2.523 7.528 ± 0.078 96.621 ± 22.373 6 9.150 ± 0.110 93.832 ± 12.925 7.635 ± 0.089 184.120 ± 19.113 6.892 ± 0.069 229.574 ± 120.062 1 0.191 ± 0.011 2.642 ± 0.732 0.166 ± 0.017 7.412 ± 1.455 0.154 ± 0.011 7.602 ± 0.758 100 P2.5 3 0.010 ± 0.002 0.649 ± 0.278 0.008 ± 0.001 0.296 ± 0.051 0.008 ± 0.002 0.181 ± 0.050 6 0.000 ± 0.000 0.035 ± 0.009 0.000 ± 0.000 0.006 ± 0.003 0.000 ± 0.000 0.003 ± 0.001 1 1.715 ± 0.083 16.912 ± 9.022 1.344 ± 0.056 24.339 ± 24.740 1.187 ± 0.051 16.000 ± 16.254 P97.5 3 2.350 ± 0.163 41.183 ± 29.868 1.735 ± 0.062 41.075 ± 21.230 1.495 ± 0.071 88.697 ± 97.819 6 3.487 ± 0.172 84.544 ± 36.287 2.458 ± 0.097 101.898 ± 41.809 2.084 ± 0.129 165.505 ± 76.175 1 10.327 ± 0.084 12.006 ± 2.709 8.778 ± 0.100 32.880 ± 3.842 7.925 ± 0.083 39.587 ± 8.298 Mitten 3 10.028 ± 0.099 99.172 ± 126.555 8.457 ± 0.104 103.684 ± 5.476 7.691 ± 0.085 163.747 ± 152.396 6 9.580 ± 0.110 109.520 ± 29.672 7.963 ± 0.110 238.468 ± 109.515 7.228 ± 0.070 221.951 ± 8.506 1 0.064 ± 0.005 1.373 ± 0.609 0.050 ± 0.004 1.291 ± 0.235 0.042 ± 0.003 0.744 ± 0.144 120 P2.5 3 0.000 ± 0.000 0.156 ± 0.122 0.000 ± 0.000 0.028 ± 0.016 0.000 ± 0.000 0.013 ± 0.007 6 0.000 ± 0.000 0.005 ± 0.005 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 2.144 ± 0.123 14.156 ± 7.821 1.835 ± 0.086 15.433 ± 14.246 1.656 ± 0.050 15.941 ± 7.240 P97.5 3 2.379 ± 0.121 92.494 ± 196.619 1.798 ± 0.042 39.142 ± 20.513 1.538 ± 0.068 112.378 ± 229.236 6 3.554 ± 0.176 84.796 ± 36.266 2.400 ± 0.114 321.113 ± 459.785 2.077 ± 0.090 193.184 ± 175.952
Tidshorisonten har en mycket tydligare och st¨orre p˚averkan p˚a LSMC:s v¨arden ¨an SMC:s. Medan LSMC f˚ar mer ackumulerade fel f¨or l¨angre tidsho-risonter, f¨orutom i nedre svansen, s˚a minskar SMC:s v¨arden f¨or de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna i mitten av f¨ordelningen. Givet detta ¨okar skillnaden mellan metoderna markant vid l˚anga yttre scenarion, medan skillnaden ¨ar l˚ag vid T = 1. Den ¨ar vid ett tillf¨alle dessutom l¨agre f¨or LSMC ¨an SMC i mitten av prisf¨ordelningen (K = 50, τ = 1, N = 2).
I ett fall f˚ar LSMC ett h¨ogre v¨arde f¨or τ = 3 ¨an f¨or τ = 6 (K = 120, Del=P97.5, N = 2). Annars finns det ¨aven ett antal fall d¨ar det sker en tydlig ¨
okning fr˚an τ = 1 till τ = 3, men en mindre s˚adan n¨ar tidhorisonten sedan ¨
okas till τ = 6. I dessa fall hittas ¨aven h¨oga standardavvikelser f¨or τ = 3, vilket tyder p˚a att det kan finnas ett eller ett f˚atal extrema underliggande scenarion.
Effekten som antalet tillg˚angar har p˚a v¨ardena liknar den som hittas i Tabell 4: i alla f¨orutom ett fall, utanf¨or nedre svansen, ¨ar v¨ardena f¨or 2 tillg˚angar st¨orre ¨an f¨or 4. Medan f¨orh˚allandet mellan 3 och 4 tillg˚angar inte ¨ar lika konsekvent.
L¨osenpriserna tycks inte ha en tydlig effekt f¨or LSMC. Medan SMC:s v¨arden ¨
ar h¨ogre f¨or de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna, s˚a verkar de underliggande options-priserna vara s˚a volatila f¨or LSMC att samma m¨onster inte klart kan utr¨onas fr˚an dess v¨arden.
Mittendelen av f¨ordelningen baseras p˚a 10 k¨orningar, med 9500 tal vardera, medan svansarna baseras p˚a 10 g˚anger 250 tal, vilket borde ge mitten mer potential att ackumulera fel. Dock s˚a ¨ar den ¨ovre svansen baserad p˚a h¨ogre underliggande optionspriser, vilket kan g¨ora de enskilda felen st¨orre. Att mit-tendelen har st¨orre v¨arden observeras hos SMC, men inte i samtliga fall f¨or LSMC. D¨ar varierar ist¨allet f¨orh˚allandet mellan delarna.
P˚a ett flertal st¨allen har LSMC kraftigt f¨orh¨ojda standardavvikelser som inte passar in i ett konsekvent m¨onster med de omkringliggande v¨ardena. N˚agra n¨amnv¨arda fall ¨ar (Del = M itten, K = 50, τ = 3, N = 3), (Del = M itten,
K = 100, τ = 3, N = 4) och (Del = P97.5, K = 120, τ = 3, N = 3). Vilket ty-der p˚a att n˚agon eller n˚agra underliggande v¨arden ¨ar f¨orh˚allandevis extrema.
Tabell 6: Kvot mellan fel och exakt pris f¨or geometrisk korgoption. Ber¨aknas enligt ekvation 39. Visar medelv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or ge-nomsnittet av kvoten mellan felen f¨or Standard Monte Carlo (SMC) resp. Least Squares Monte Carlo (LSMC) och det exakta priset, baserat p˚a 10 upps¨attningar av 10 000 yttre scenarion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av pri-serna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tids-spann (τ ).
Antal tillg˚angar
2 3 4
K Del τ SMC LSMC SMC LSMC SMC LSMC
1 0.001 ± 0.000 0.001 ± 0.000 0.001 ± 0.000 0.001 ± 0.001 0.001 ± 0.000 0.001 ± 0.000 Mitten 3 0.002 ± 0.000 7.802 ± 12.114 0.002 ± 0.000 7.673 ± 9.412 0.001 ± 0.000 8.850 ± 24.851 6 0.006 ± 0.000 3e+04 ± 4e+04 0.004 ± 0.000 2e+06 ± 2e+06 0.004 ± 0.000 2e+10 ± 5e+10 1 0.007 ± 0.000 0.020 ± 0.005 0.005 ± 0.000 0.023 ± 0.020 0.004 ± 0.000 0.013 ± 0.004 50 P2.5 3 0.105 ± 0.144 13.338 ± 15.730 0.047 ± 0.013 50.654 ± 145.898 0.034 ± 0.003 5.085 ± 3.784 6 0.575 ± 0.113 1.000 ± 0.000 0.533 ± 0.234 1.000 ± 0.000 0.472 ± 0.119 1.000 ± 0.000 1 0.001 ± 0.000 0.001 ± 0.000 0.001 ± 0.000 0.002 ± 0.001 0.001 ± 0.000 0.002 ± 0.000 P97.5 3 0.001 ± 0.000 0.002 ± 0.001 0.000 ± 0.000 0.008 ± 0.011 0.000 ± 0.000 0.007 ± 0.002 6 0.001 ± 0.000 0.003 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.011 ± 0.001 0.000 ± 0.000 0.014 ± 0.002 1 0.015 ± 0.000 0.187 ± 0.114 0.015 ± 0.000 0.613 ± 0.257 0.015 ± 0.000 0.910 ± 0.175 Mitten 3 0.056 ± 0.007 1e+08 ± 3e+08 0.058 ± 0.006 1e+11 ± 4e+11 0.061 ± 0.006 1e+13 ± 3e+13 6 0.184 ± 0.028 4e+23 ± 1e+24 0.239 ± 0.131 7e+25 ± 2e+26 0.181 ± 0.020 1e+26 ± 4e+26 1 0.156 ± 0.010 1.942 ± 0.512 0.169 ± 0.023 1.209 ± 0.386 0.171 ± 0.008 1.199 ± 0.317 100 P2.5 3 1.147 ± 0.283 1.000 ± 0.000 0.996 ± 0.028 1.000 ± 0.000 1.021 ± 0.120 1.000 ± 0.000 6 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1 0.001 ± 0.000 0.006 ± 0.001 0.001 ± 0.000 0.011 ± 0.009 0.001 ± 0.000 0.067 ± 0.193 P97.5 3 0.001 ± 0.000 0.008 ± 0.002 0.001 ± 0.000 0.008 ± 0.001 0.001 ± 0.000 0.012 ± 0.006 6 0.001 ± 0.000 0.009 ± 0.002 0.001 ± 0.000 0.011 ± 0.002 0.001 ± 0.000 0.015 ± 0.008 1 0.035 ± 0.001 0.643 ± 0.379 0.039 ± 0.001 4e+03 ± 1e+04 0.042 ± 0.001 68.018 ± 95.166 Mitten 3 0.156 ± 0.037 2e+12 ± 6e+12 0.167 ± 0.035 1e+10 ± 2e+10 0.185 ± 0.024 6e+16 ± 2e+17 6 0.414 ± 0.233 2e+29 ± 6e+29 0.295 ± 0.018 9e+23 ± 3e+24 0.327 ± 0.034 2e+28 ± 7e+28 1 0.501 ± 0.062 4.391 ± 1.545 0.613 ± 0.107 1.000 ± 0.000 0.594 ± 0.047 1.000 ± 0.000 120 P2.5 3 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 6 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1 0.002 ± 0.000 0.006 ± 0.001 0.002 ± 0.000 0.009 ± 0.005 0.002 ± 0.000 0.014 ± 0.005 P97.5 3 0.001 ± 0.000 2e+12 ± 7e+12 0.001 ± 0.000 0.010 ± 0.003 0.001 ± 0.000 5e+11 ± 2e+12
N¨ar genomsnittliga relativa storleken p˚a felen j¨amf¨ors observeras sm˚a skill-nader mellan metoderna i mitten av f¨ordelningen, vid τ = 1 f¨or K = 50 och genomg˚aende i de ¨ovre svansarna, exkluderat tv˚a v¨arden f¨or K = 120. I den nedre svansen hittas de st¨orsta och l¨agsta v¨arden vid K = 50. F¨or de tv˚a andra l¨osenprisen ¨ar optionspriserna 0 eller v¨aldigt n¨ara 0 och avrundas i m˚anga fall till detta f¨or LSMC, d¨ar den annars producerat negativa op-tionspriser. I de nedre svansarna hittas ocks˚a flertalet instanser d¨ar v¨ardet ¨
ar exakt eller mycket n¨ara 1. Detta beror p˚a att de exakta priserna ¨ar n¨ara men aldrig exakt 0, medan b˚ade SMC och LSMC i flera av dessa fall endast ger priset 0, vilket d˚a ger ett fel som uppg˚ar till 100% av det exakta priset. Likt Tabell 4 och 5 s˚a har yttre scenarionas tidsl¨angd stor inverkan p˚a LSMC och hur metodens resultat f¨orh˚aller sig till SMC. I den ¨ovre svansen f¨or de tv˚a l¨agre l¨osenpriserna ¨ar effekten liten, medan mittendelen f˚ar m˚anga extremt h¨oga v¨arden f¨or τ = 6.
De extrema v¨ardena som n¨amns ovan f¨orsv˚arar observationer av andra para-metrar. Dock verkar h¨ogre l¨osenpris och fler tillg˚angar generellt sett ge h¨ogre fel.
Vid n¨armare unders¨okning av de underliggande v¨ardena s˚a uppt¨acktes att, i ett fall, s˚a gav den exakta metoden ett optionspris p˚a ca 1 ∗ 10−34, medan LSMC gav ca 3. Ett liknande antal s˚adana tal, om ¨an n˚agot l¨agre hittades ocks˚a. En s˚adan skillnad ¨ar, i absoluta m˚att m¨att, liten j¨amf¨ort med op-tionsv¨ardena som kan bli ¨over 100, men utg¨or en v¨aldigt stor procentuell skillnad. Ett s˚adant v¨arde kan f¨or¨andra det slutgiltiga v¨ardet i tabellen till en stor grad.
4.2 Max-korgoption
H¨ar presenteras resultatet av testerna f¨or max-korgoptionen. F¨orst presente-ras ett urval optionspriser f¨or olika tillg˚angspriser; d¨arefter visas ett urval av genomsnittliga exakta optionspriser; de fyra sista tabellerna utg¨or R2-v¨arden och felm˚atten som diskuteras i metodavsnittet.
Tabell 7: Optionsv¨arden f¨or maximum korgoption. Visar exakta priser f¨or maximum korgoption med tid till l¨osen 1 och riskfri r¨anta r = 3%, f¨or olika l¨osenpris (K), antal underliggande tillg˚angar (N) och pris p˚a under-liggande tillg˚angar (Tillg˚angspris) vid optionens startpunkt. Samtliga av tillg˚angarna har samma pris. V¨ardena ¨ar avrundade till 3 decimaler, f¨orutom d¨ar det i s˚adana fall d¨ar v¨ardet blivit 0.
Tillg˚angspris N K 50 70 100 130 150 50 10.863 31.531 65.567 99.791 122.608 2 100 0.178 3.218 21.798 51.902 74.228 120 0.034 0.963 10.967 35.277 55.767 50 13.718 36.952 73.608 110.019 134.563 3 100 0.297 4.402 27.622 61.903 85.9758 120 0.036 1.415 14.877 43.502 66.979 50 16.129 40.975 79.027 117.499 142.851 4 100 0.409 5.603 32.303 68.641 94.117 120 0.048 1.918 18.046 50.301 74.898
Likt den geometriska korgoptionen s˚a f¨oljer maximum korgoptionen de vanli-ga m¨onstren f¨or k¨opoptioner. Annars ¨ar priserna generellt h¨ogre, vilket f¨oljer av att optionens utbetalning best¨ams av det h¨ogsta priset f¨or de underlig-gande tillg˚angarna. P˚a s˚a s¨att ¨ar utbetalningen i alla fall h¨ogre vid samma priser ¨an f¨or den geometriska optionen. Detta ligger ocks˚a till grund f¨or att denna option, till skillnad fr˚an den geometriska, har h¨ogre priser med fler tillg˚angar, genom att den tar vara p˚a extrema priser.
Tabell 8: Genomsnittligt exakt pris f¨or maximum korgoption. Visar me-delv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or optionsprisf¨ordelningens me-delv¨arde, prissatt med analytisk metod, baserat p˚a 10 upps¨attningar av sce-narion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av priserna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tidsspann (τ ).
Antal tillg˚angar
K Del τ 2 3 4 1 74.056 ± 0.244 85.829 ± 0.202 94.411 ± 0.277 Mitten 3 87.462 ± 0.686 106.620 ± 0.327 120.334 ± 0.829 6 106.207 ± 1.185 133.678 ± 1.211 154.628 ± 1.175 1 19.293 ± 0.458 29.210 ± 0.864 35.850 ± 0.644 50 P2.5 3 4.466 ± 0.285 10.963 ± 0.374 17.866 ± 0.806 6 0.522 ± 0.057 2.949 ± 0.289 6.852 ± 0.566 1 171.152 ± 1.969 182.844 ± 1.411 192.051 ± 1.282 P97.5 3 323.985 ± 7.978 354.644 ± 3.789 376.041 ± 6.078 6 583.325 ± 14.740 653.063 ± 8.622 700.590 ± 10.978 1 31.077 ± 0.203 40.435 ± 0.266 47.960 ± 0.236 Mitten 3 46.711 ± 0.601 62.161 ± 0.378 74.080 ± 0.803 6 67.509 ± 1.179 90.427 ± 1.282 110.635 ± 1.330 1 1.009 ± 0.074 2.660 ± 0.130 4.579 ± 0.158 100 P2.5 3 0.045 ± 0.006 0.298 ± 0.038 0.833 ± 0.074 6 0.001 ± 0.000 0.022 ± 0.004 0.114 ± 0.014 1 122.809 ± 1.831 133.854 ± 1.213 142.408 ± 1.956 P97.5 3 276.078 ± 4.691 302.360 ± 6.273 324.230 ± 5.187 6 547.146 ± 18.099 599.175 ± 10.652 659.213 ± 13.630 1 19.956 ± 0.211 27.090 ± 0.138 33.075 ± 0.246 Mitten 3 35.278 ± 0.443 48.249 ± 0.630 58.697 ± 0.667 6 55.428 ± 1.183 77.048 ± 1.459 94.589 ± 1.514 1 0.258 ± 0.016 0.780 ± 0.045 1.490 ± 0.070 120 P2.5 3 0.006 ± 0.001 0.062 ± 0.009 0.189 ± 0.017 6 0.000 ± 0.000 0.003 ± 0.000 0.019 ± 0.003 1 104.220 ± 2.016 115.019 ± 1.786 123.574 ± 1.722 P97.5 3 257.697 ± 6.989 286.934 ± 5.587 306.974 ± 8.184 6 519.392 ± 10.323 583.065 ± 12.060 633.116 ± 12.115
Denna tabell visar genomg˚aende h¨ogre v¨arden ¨an motsvarande f¨or geomet-riska optionen i Tabell 2. ¨Aven parameterv¨ardenas effekter ¨ar st¨orre, med kraftigare ¨okning i pris med l¨angre yttre scenarion, i mitten och ¨ovre delen av prisf¨ordelningen. F¨or geometriska optionen var det endast i ¨ovre delen som en kraftig ¨okning skedde.
N¨ar det kommer till antalet tillg˚angar ger flera s˚adana stora ¨okningar i pris, j¨amf¨ort med den n˚agot f¨orminskande effekten som det hade f¨or geometriska optionen i Tabell 2. Detta beror p˚a att utbetalningsfunktionen i detta fall tar mer nytta av stora sv¨angningar hos enskilda tillg˚angar, medan geometriska optionens utbetalningsfunktion har en effekt likt diversifiering. Det ¨ar ¨aven denna skillnad som f¨orklarar att ¨aven tidsspannet har st¨orre effekt f¨or denna option.
¨
Aven i nedre delen av prisf¨ordelningen, P2.5, ¨ar priserna st¨orre, vilket ¨ar spe-ciellt tydligt f¨or K = 50. F¨or endast en upps¨attning parameterv¨arden hittas ett v¨arde, som vid avrundning till 3 decimaler, blir 0 (K = 120, τ = 6, N = 2).
Tabell 9: R2-v¨arden f¨or maxkorgoption. Visar medelv¨arde och (±) stan-dardavvikelse f¨or R2-v¨arden, ber¨aknade med 10 upps¨attningar tr¨ anings-(Tr¨aning) och valideringsscenarion (Validering), f¨or maxkorgoption med olika l¨osenpris (K), tidsl¨angder f¨or yttre scenarion (τ ) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar).
Antal tillg˚angar
2 3 4
K τ Tr¨aning Validering Tr¨aning Validering Tr¨aning Validering 1 0.997 ± 0.000 0.997 ± 0.000 0.991 ± 0.006 0.990 ± 0.009 0.991 ± 0.001 0.990 ± 0.001 50 3 0.999 ± 0.000 0.998 ± 0.000 0.961 ± 0.107 0.954 ± 0.117 0.969 ± 0.065 0.925 ± 0.186 6 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.995 ± 0.000 0.991 ± 0.009 0.988 ± 0.011 0.977 ± 0.027 1 0.994 ± 0.003 0.994 ± 0.003 0.992 ± 0.001 0.992 ± 0.002 0.973 ± 0.056 0.969 ± 0.068 100 3 0.998 ± 0.000 0.998 ± 0.001 0.991 ± 0.013 0.986 ± 0.025 0.992 ± 0.001 0.989 ± 0.002 6 0.999 ± 0.000 0.998 ± 0.001 0.957 ± 0.125 0.933 ± 0.193 0.993 ± 0.001 0.985 ± 0.015 1 0.992 ± 0.000 0.992 ± 0.000 0.990 ± 0.001 0.988 ± 0.003 0.989 ± 0.002 0.983 ± 0.012 120 3 0.997 ± 0.004 0.993 ± 0.013 0.995 ± 0.001 0.994 ± 0.003 0.991 ± 0.004 0.985 ± 0.007 6 0.999 ± 0.000 0.996 ± 0.004 0.996 ± 0.000 0.994 ± 0.004 0.993 ± 0.000 0.983 ± 0.005
F¨or tr¨aningsm¨angderna s˚a ¨ar v¨ardena l¨agre ¨an f¨or den geometriska optionen, i Tabell 3, vilket tyder p˚a att LSMC i dessa fall har sv˚arare att anpassa sig efter de observerade v¨ardena. Likt den geometriska optionen ger h¨ogre l¨osenpris l¨agre v¨arden, medan dimensionalitet och tidsl¨angd f¨or yttre scena-riona inte ger en entydig p˚averkan.
R2-v¨ardena har ett inb¨ordes m¨onster som liknar v¨arden f¨or geometriska op-tionen, i Tabell 3, men skillnaden mellan tr¨aningsm¨angdernas och valide-ringsm¨angdernas v¨arden ¨ar n˚agot st¨orre. Dessa skillnader ¨okar, f¨or det mesta med h¨ogre l¨osenpris, fler tillg˚angar och l¨angre tidshorisont.
Fler v¨arden som ¨ar utm¨arkande l˚aga, med h¨oga standardavvikelser, ¨ar vanli-gare i detta fall ¨an f¨or geometriska optionen, i Tabell 3. Detta g¨aller f¨or b˚ada m¨angderna och ¨aven denna g˚ang hittas dessa som par f¨or b˚ada m¨angderna. N˚agra v¨arden som utm¨arker sig i denna bem¨arkning hittas vid (K = 50, τ = 3, N = 3), (K = 50, N = 4, τ = 3) och (K = 100, N = 3, τ = 6).
Tabell 10: Differens i medelv¨arde f¨or f¨or maximum korgoption. Ber¨aknas enligt ekvation 37. Visar medelv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or ge-nomsnittet av kvoten mellan felen f¨or Standard Monte Carlo (SMC) resp. Least Squares Monte Carlo (LSMC) och det exakta priset, baserat p˚a 10 upps¨attningar av 10 000 yttre scenarion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av pri-serna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tids-spann (τ ).
Antal tillg˚angar
2 3 4 K Del τ SMC LSMC SMC LSMC SMC LSMC 1 0.001 ± 0.001 0.015 ± 0.010 0.001 ± 0.001 0.032 ± 0.032 0.001 ± 0.001 0.095 ± 0.050 Mitten 3 0.001 ± 0.001 0.026 ± 0.020 0.003 ± 0.002 0.123 ± 0.116 0.003 ± 0.002 0.209 ± 0.085 6 0.001 ± 0.001 0.047 ± 0.025 0.003 ± 0.002 0.162 ± 0.078 0.002 ± 0.001 0.230 ± 0.152 1 0.005 ± 0.004 0.079 ± 0.033 0.010 ± 0.006 1.329 ± 1.234 0.010 ± 0.010 1.925 ± 0.218 50 P2.5 3 0.003 ± 0.004 0.556 ± 0.364 0.007 ± 0.006 6.583 ± 15.193 0.007 ± 0.005 9.188 ± 16.530 6 0.001 ± 0.001 0.908 ± 0.144 0.003 ± 0.002 1.617 ± 0.353 0.003 ± 0.004 7.718 ± 10.858 1 0.012 ± 0.008 0.103 ± 0.068 0.012 ± 0.007 1.551 ± 1.463 0.015 ± 0.011 1.914 ± 0.965 P97.5 3 0.013 ± 0.006 0.866 ± 0.506 0.026 ± 0.018 14.363 ± 39.267 0.021 ± 0.014 18.153 ± 36.695 6 0.025 ± 0.016 0.905 ± 0.506 0.037 ± 0.032 5.851 ± 3.960 0.050 ± 0.028 12.607 ± 13.552 1 0.002 ± 0.002 0.017 ± 0.015 0.001 ± 0.001 0.029 ± 0.022 0.003 ± 0.001 0.074 ± 0.091 Mitten 3 0.001 ± 0.001 0.016 ± 0.015 0.003 ± 0.002 0.050 ± 0.062 0.002 ± 0.002 0.081 ± 0.064 6 0.001 ± 0.001 0.242 ± 0.060 0.003 ± 0.002 0.152 ± 0.257 0.003 ± 0.002 0.172 ± 0.110 1 0.003 ± 0.003 0.255 ± 0.404 0.007 ± 0.004 0.313 ± 0.342 0.007 ± 0.005 1.596 ± 3.887 100 P2.5 3 0.001 ± 0.001 0.219 ± 0.070 0.002 ± 0.001 0.648 ± 0.393 0.003 ± 0.002 0.475 ± 0.351 6 0.000 ± 0.000 0.016 ± 0.004 0.001 ± 0.000 0.143 ± 0.031 0.001 ± 0.001 1.054 ± 2.145 1 0.014 ± 0.009 0.375 ± 0.597 0.012 ± 0.006 0.618 ± 0.306 0.017 ± 0.013 4.420 ± 9.766 P97.5 3 0.025 ± 0.013 1.127 ± 1.023 0.026 ± 0.027 3.896 ± 4.087 0.025 ± 0.017 3.756 ± 1.660 6 0.032 ± 0.016 2.856 ± 1.968 0.038 ± 0.032 29.054 ± 78.140 0.055 ± 0.034 7.367 ± 3.284 1 0.001 ± 0.001 0.016 ± 0.009 0.003 ± 0.002 0.027 ± 0.017 0.002 ± 0.001 0.034 ± 0.020 Mitten 3 0.002 ± 0.001 0.043 ± 0.036 0.002 ± 0.001 0.051 ± 0.044 0.002 ± 0.001 0.071 ± 0.036 6 0.002 ± 0.001 0.250 ± 0.031 0.003 ± 0.002 0.082 ± 0.065 0.002 ± 0.002 0.128 ± 0.089 1 0.004 ± 0.002 0.180 ± 0.126 0.004 ± 0.003 0.301 ± 0.381 0.006 ± 0.005 0.483 ± 0.482 120 P2.5 3 0.001 ± 0.000 0.098 ± 0.023 0.002 ± 0.001 0.477 ± 0.111 0.002 ± 0.001 0.882 ± 0.264 6 0.000 ± 0.000 0.007 ± 0.002 0.001 ± 0.000 0.053 ± 0.021 0.001 ± 0.000 0.372 ± 0.149 1 0.014 ± 0.011 0.417 ± 0.342 0.015 ± 0.011 0.921 ± 0.429 0.018 ± 0.018 1.624 ± 0.908 P97.5 3 0.026 ± 0.016 1.595 ± 1.666 0.029 ± 0.017 2.699 ± 1.660 0.024 ± 0.019 6.112 ± 4.960
J¨amf¨ort med motsvarande m˚att f¨or den geometriska optionen, i Tabell 4, har denna i n¨astan alla fall h¨ogre v¨arden, f¨or b˚ada metoderna. Detta g¨aller speci-ellt i nedre delen av prisf¨ordelningen, vilket kan bero p˚a att den geometriska optionen i dessa fall ofta har priser n¨ara 0, vilket LSMC avrundas till i en del av dessa fall d˚a dess v¨arde annars ¨ar negativt.
F¨or tidshorisontens l¨angd och antalet tillg˚angar finns denna g˚ang samma m¨onster som f¨or geometriska optionen i Tabell 4. Med st¨orre fel f¨or l¨angre tidshorisont och fler antal underliggande tillg˚angar. D¨ar effekterna skiljer sig ¨ar f¨or de olika l¨osenpriserna och i vilken del av f¨ordelningen som visar p˚a st¨orst fel. I den aktuella tabellen har h¨ogre l¨osenpris generellt en f¨orb¨attrande effekt p˚a LSMC, medan de l¨agsta v¨ardena, f¨or det mesta, ligger i mitten av f¨ordelningen, med st¨orst fel i ¨ovre svansen.
F¨or maxoptionen finns ocks˚a fler f¨orh¨ojda v¨arden som inte passar in vid de intilliggande. Det mest extrema fallet finns i ¨ovre svansen, K = 100, 3 tillg˚angar d¨ar τ = 6.
Tabell 11: Kvadratroten av summan av kvadratfel f¨or maximum korgoption. Ber¨aknas enligt ekvation 38. Visar medelv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or kvadratroten av summan av fel, baserat p˚a 10 upps¨attningar av 10 000 yttre scenarion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av priserna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tidsspann (τ ).
Antal tillg˚angar
2 3 4 K Del τ SMC LSMC SMC LSMC SMC LSMC 1 17.104 ± 0.190 28.992 ± 3.748 20.864 ± 0.167 171.014 ± 73.139 23.853 ± 0.222 199.662 ± 9.972 Mitten 3 17.520 ± 0.209 137.822 ± 34.708 21.751 ± 0.182 658.045 ± 671.948 25.155 ± 0.208 861.364 ± 651.376 6 19.423 ± 0.239 222.508 ± 11.250 24.359 ± 0.423 753.515 ± 11.417 28.369 ± 0.199 1e+03 ± 443.806 1 1.921 ± 0.068 5.296 ± 3.174 2.178 ± 0.072 49.122 ± 67.461 2.490 ± 0.098 43.687 ± 6.380 50 P2.5 3 1.164 ± 0.072 20.385 ± 13.538 1.680 ± 0.118 189.530 ± 406.889 1.981 ± 0.108 308.588 ± 475.226 6 0.426 ± 0.034 25.477 ± 12.681 0.943 ± 0.071 45.471 ± 7.520 1.421 ± 0.090 467.189 ± 778.584 1 4.104 ± 0.273 21.814 ± 6.696 4.986 ± 0.243 123.139 ± 95.392 5.424 ± 0.284 120.253 ± 33.133 P97.5 3 6.167 ± 0.358 103.909 ± 50.521 7.215 ± 0.325 685.850 ± 927.401 7.826 ± 0.405 928.004 ± 1e+03 6 10.352 ± 0.761 184.282 ± 54.255 11.481 ± 0.547 814.403 ± 600.847 12.670 ± 0.658 1e+03 ± 609.709 1 19.842 ± 0.160 45.136 ± 49.327 23.471 ± 0.152 111.698 ± 26.381 26.469 ± 0.192 240.136 ± 261.650 Mitten 3 19.427 ± 0.209 112.769 ± 9.059 23.400 ± 0.243 435.041 ± 351.290 26.497 ± 0.217 518.372 ± 48.250 6 20.803 ± 0.246 263.913 ± 16.837 25.529 ± 0.261 1e+03 ± 1e+03 29.529 ± 0.385 1e+03 ± 560.433 1 0.821 ± 0.042 10.253 ± 7.284 1.394 ± 0.087 18.355 ± 12.001 1.803 ± 0.085 70.607 ± 144.101 100 P2.5 3 0.158 ± 0.016 4.045 ± 1.193 0.428 ± 0.044 18.938 ± 8.434 0.750 ± 0.044 44.926 ± 43.459 6 0.021 ± 0.002 0.327 ± 0.074 0.104 ± 0.012 2.930 ± 0.615 0.260 ± 0.018 196.080 ± 530.739 1 4.266 ± 0.233 39.000 ± 58.659 4.996 ± 0.374 91.595 ± 34.495 5.643 ± 0.166 190.383 ± 240.375 P97.5 3 6.225 ± 0.350 144.586 ± 92.377 7.113 ± 0.309 408.915 ± 292.038 7.810 ± 0.416 421.106 ± 52.077 6 10.056 ± 0.626 378.320 ± 199.233 11.618 ± 0.638 2e+03 ± 3e+03 12.818 ± 0.702 908.118 ± 112.590 1 19.789 ± 0.125 43.687 ± 11.322 23.489 ± 0.213 109.880 ± 53.657 26.415 ± 0.194 153.996 ± 63.662 Mitten 3 20.064 ± 0.198 198.559 ± 289.858 23.856 ± 0.285 288.946 ± 49.053 26.997 ± 0.165 495.833 ± 105.637 6 21.359 ± 0.232 262.318 ± 15.806 26.046 ± 0.279 575.068 ± 25.637 29.674 ± 0.406 916.918 ± 25.693 1 0.448 ± 0.025 8.042 ± 3.096 0.811 ± 0.048 14.422 ± 7.764 1.181 ± 0.056 31.779 ± 14.807 120 P2.5 3 0.058 ± 0.005 1.795 ± 0.436 0.210 ± 0.021 10.958 ± 3.941 0.373 ± 0.022 28.465 ± 17.982 6 0.003 ± 0.001 0.138 ± 0.034 0.038 ± 0.004 1.064 ± 0.435 0.106 ± 0.014 10.950 ± 6.793 1 4.419 ± 0.198 38.704 ± 18.857 5.073 ± 0.188 94.511 ± 42.899 5.628 ± 0.237 164.127 ± 131.076 P97.5 3 6.248 ± 0.339 190.988 ± 126.200 7.253 ± 0.471 302.659 ± 120.692 7.833 ± 0.489 542.936 ± 191.494 6 10.372 ± 0.965 467.290 ± 332.120 11.560 ± 0.794 675.061 ± 290.046 12.689 ± 0.848 1e+03 ± 321.422
F¨or maxoptionen ¨ar parametrarnas effekter och v¨ardena i sig st¨orre, ¨an f¨or geometriska optionen i Tabell 5. I det aktuella fallet ger fler tillg˚angar h¨ogre v¨arden i n¨astan alla fall. F¨or geometriska optionen var det endast f¨or SMC som en tydlig effekt kunde observeras och den var omv¨and, med l¨agre v¨arden vid fler tillg˚angar.
¨
Aven denna g˚ang ger l¨angre tidshorisont st¨orre fel, utom i nedre svansen f¨or K = 100 och K = 120, med st¨orre ¨okning f¨or LSMC ¨an SMC. Detta medan l¨osenpriset har en n˚agot sv˚arbed¨omd inverkan p˚a felens storlek. F¨or SMC ¨
okar felen n˚agot, utanf¨or l¨agre svansen, med h¨ogre l¨osenpris, trots l¨agre un-derliggande optionspriser. Detta verkar ¨aven st¨amma f¨or det mesta f¨or LSMC, med undantag som kan f¨orklaras av volatiliteten i de olika k¨orningarna som