Least Squares Monte Carlo-metoden & korgoptioner

Least Squares Monte

Carlo-metoden & korgoptioner

- En kvantitativ studie

M˚ ans Sandin

Handledare:

Markus ˚Adahl Masterexamen, 30 hp

Civilingenj¨orsprogrammet i industriell ekonomi Institutionen f¨or matematik och matematisk statistik

VT-2019

Sammanfattning

Inom bank och f¨ors¨akringsbranschen finns behov av framtidsprognoser och riskm˚att kopplade till finansiella instrument. F¨or att skapa prisf¨ordelningar, som kan anv¨andas som grund till olika riskm˚att, anv¨ands ibland n¨astlad si- mulering. F¨or att g¨ora detta simuleras f¨orst en stor m¨angd yttre scenarion f¨or n˚agon tillg˚ang, som anv¨ands i ett finanisellt instrument. Vilket g¨ors genom att priser simuleras ¨over en tidsperiod. Detta utg¨or tidshorisonten varvid prisf¨ordelningen befinner sig. Utifr˚an varje yttre scenario simuleras sedan ett antal inre. Som i sin tur anv¨ands f¨or att priss¨atta finansiella instrumentet i det yttre scenariot. En metod som anv¨ands f¨or att pris¨atta de yttre scenari- ona ¨ar Monte Carlo-metoden, vilket kr¨aver ett stort antal inre scenarion f¨or att priss¨attningen ska bli korrekt. Detta g¨or metoden kr¨avande i tids˚atg˚ang och datorkraft.

Least Squares Monte Carlo-metoden ¨ar en alternativ metod som anv¨ander sig av regression och minstakvadratmetoden f¨or att utf¨ora priss¨attningen med ett mindre antal inre scenarion. En regressionsfunktion anpassas efter yttre scenarionas v¨arden och anv¨ands sedan f¨or att omv¨ardera dessa, vilket minskar felen som ett mindre antal slumptal annars skulle ge. Regressions- funktionen kan ¨aven anv¨andas f¨or att priss¨atta v¨arden utanf¨or de som den anpassas efter, vilket g¨or att den kan ˚ateranv¨andas vid liknande ber¨akningar.

I detta arbete unders¨oks hur v¨al Least Squares Monte Carlo-metoden beskri- ver prisf¨ordelningen f¨or korgoptioner, som ¨ar optioner med flera underliggan- de tillg˚angar. Tester utf¨ors med olika v¨arden f¨or parametrarna och vikt l¨aggs vid vilken effekt yttre scenarionas l¨angd har, samt hur v¨al priserna beskrivs i prisf¨ordelningens svansar.

Resultatet ¨ar delvis sv˚aranalyserat p˚a grund av m˚anga extrema v¨arden, men visade p˚a sv˚arigheter med priss¨attningen vid l¨angre yttre scenarion. Vilket kan bero p˚a att regressionsfunktionen som anv¨andes hade sv˚art att anpassa sig efter och beskriva mer spridda prisf¨ordelningar. Metoden fungerade ocks˚a s¨amre i den nedre delen av prisf¨ordelningen, n˚agot som den dock delar med Standard Monte Carlo. Mer forskning beh¨ovs f¨or att unders¨oka vilken effekt andra upps¨attningar regressionsfunktioner skulle ha p˚a metoden.

Abstract

In the banking and insurance industry, there exists a need for forecasting and measures of risk connecting to financial instruments. To create price distri- butions, used to create measures of risk, nested simulations are sometimes used. This is done by simulating a large amount of outer scenarios, for some asset in a financial instrument. Which is done by simulating prices over a certain time period. This now outlines the time horizon of the price distri- bution. From each outer scenario, some inner scenarios are simulated. Which in turn are used to price the financial instrument in the outer scenario. A common method for pricing the outer scenarios is the Monte Carlo method, which uses a large amount of random numbers for the pricing to be accurate.

This makes the method time consuming, as well as requiring large amounts of computing power.

The Least Squares Monte Carlo method is an alternative method, using regression and the least squares method to perform the pricing using a smal- ler amount of inner scenarios. A regression function is fitted to the values of the outer scenarios and then used to revalue these, reducing the error which a smaller number of random numbers otherwise would give. The regression function can also be used to price outside of the values used for the fitting, making it reusable in similar computations.

This paper examines how well the Least Squares Monte Carlo-method descri- bes the price distribution of basket options, which are options containing se- veral underlying assets. Tests are made for different values for the parameters used and an emphasis is laid on the effect of the time length of the outer scenarios, also, how accurate the tails of the distribution are.

The results are somewhat hard to analyze,due to some extreme values, but showed difficulties for the method, when pricing longer outer scenarios. This can be due to the regression function having problems fitting to - and valuing - broader price distributions. The method also performed worse in the lower parts of the distribution, something it shares with the standard Monte Carlo method. More research is needed to ascertain the effects of other regression functions.

Inneh˚ all

1 Inledning 1

1.1 Bakgrund . . . 1

1.1.1 Least Squares Monte Carlo-metoden . . . 1

1.1.2 Korgoptioner . . . 4

1.1.3 Forskning . . . 4

1.2 Syfte . . . 5

1.3 Begr¨ansningar . . . 5

2 Teori 6 2.1 Notation . . . 6

2.2 Optionstyper . . . 6

2.2.1 Geometrisk korgoption . . . 7

2.2.2 Max-korgoption . . . 7

2.3 Geometrisk Brownsk r¨orelse . . . 7

2.4 Linj¨ar regression & minstakvadratmetoden (Least Squares) . . 8

2.4.1 Linj¨ar regression . . . 8

2.4.2 Minstakvadratmetoden/Least Squares-metoden . . . . 9

2.5 Analytisk priss¨attning . . . 10

2.5.1 Black-Scholes formel . . . 10

2.5.2 Geometrisk korgoption . . . 11

2.5.3 Max-korgoption . . . 12

2.6 Monte Carlo-metoden . . . 14

2.7 Multidimensionella Monte Carlo-metoden . . . 15

2.8 N¨astlad simulering . . . 17

2.9 Beskrivning av n¨astlad simulering . . . 17

2.9.1 Least Squares Monte Carlo-metoden . . . 19

2.9.2 N¨astlad simulering med korgoptioner . . . 21

2.10 R² . . . 21

2.11 Antitetiska variat . . . 22

3 Metod 23 3.1 Notation . . . 23

3.2 Slumptalsgenerering . . . 23

3.3 Optionerna . . . 23

3.4 Parametrar . . . 23

3.4.1 Tillg˚angarnas parametrar . . . 23

3.4.2 Optionernas parametrar . . . 24

3.5 Simulering . . . 24

3.6 Val av funktion f¨or regression . . . 24

3.7 Materiell . . . 25

3.8 Simulering . . . 25

3.9 Simulering f¨or j¨amf¨orelse av antal inre scenarion . . . 28

3.10 Ber¨akningar av fel & R²-v¨arden . . . 29

3.11 Optimering av regressionsfunktion . . . 31

4 Resultat 33 4.1 Geometrisk korgoption . . . 33

4.2 Max-korgoption . . . 44

4.3 Inre scenarionas effekt . . . 54

4.4 Tids˚atg˚ang . . . 58

4.4.1 Geometrisk korgoption . . . 58

4.4.2 Max-korgoption . . . 59

5 Analys & slutsats 60 5.1 Analys . . . 60

5.1.1 R² . . . 60

5.1.2 Felen . . . 60

5.1.3 Antalet inre scenarion . . . 62

5.1.4 Tids˚atg˚ang . . . 62

5.2 F¨orb¨attringar & vidare arbete . . . 62

5.3 Slutsats . . . 64

1 Inledning

Least Squares Monte Carlo ¨ar en metod som anv¨ander sig av slumptal och regression f¨or att beskriva en prisf¨ordelning f¨or finansiella instrument, som i sin tur kan anv¨andas som den ¨ar eller ligga till grund f¨or riskm˚att. Den huvudsakliga f¨ordelen med metoden ¨ar att den kr¨aver mindre datorkraft ¨an andra j¨amf¨orbara metoder, vilket g¨or den snabbare.

1.1 Bakgrund

1.1.1 Least Squares Monte Carlo-metoden

Least Squares Monte Carlo, LSMC, ¨aven k¨ant som American Monte Carlo,

¨ar en metod som ursprungligen anv¨andes f¨or priss¨attning av amerikanska optioner. D˚a dessa optioner kan l¨osas in n¨ar som helst under sin l¨optid, s˚a kr¨aver en v¨ardering att den underliggande tillg˚angens potentiella v¨arde un- der hela detta tidsspann tas i beaktande. Detta i kontrast till den europeiska optionen, som endast kan l¨osas in vid l¨osendatumet. Vilket d˚a endast kr¨aver att underliggande tillg˚angens pris vid detta skede anv¨ands.

Medan den europeiska optionen har en analytisk l¨osning p˚a sin v¨ardering -

¨aven om Monte-Carlo ibland nyttjas - s˚a kr¨aver amerikanska optioners pris, p˚a grund av sin h¨ogre komplexitet, simulering f¨or att ber¨aknas. I verklighe- ten finns det en o¨andlig m¨angd tidpunkter f¨or innehavaren av en amerikansk option f¨or inl¨osen. Detta ¨ar dock inte m¨ojligt inom simulering, utan ett an- tal tidpunkter f¨or inl¨osen v¨aljs ist¨allet som en approximering. Till skillnad fr˚an en Monte-Carlo-simulering f¨or att priss¨atta en europeisk option, eller annan option med m¨ojlig inl¨osen vid ett eller flertalet, men begr¨ansade till antalet, tillf¨allen, s˚a kr¨avs allts˚a betydligt fler ber¨akningar. Detta d˚a slump- tal beh¨over genereras och v¨arden ber¨aknas vid fler tidpunkter, vilket ¨okar m¨angden datorkraft som kr¨avs.

Det ¨ar h¨ar LSMC kommer in i bilden. Genom att anv¨anda regression ge- nom minstakvadratmetoden kan antalet slumptal som kr¨avs minskas, p˚a s˚a s¨att minskas antalet/storleken p˚a ber¨akningarna. D¨arigenom kr¨avs mindre

datorkraft.

Med direktivet Solvens II (2009) s˚a finns krav p˚a f¨ors¨akringsbolag att ber¨akna kapitalkrav. D˚a f¨ors¨akringsbolag kan ha stora innehav av m˚anga olika tillg˚angar, som ¨ar sv˚ara att priss¨atta i framtiden, rent analytiskt, s˚a kan Monte Carlo anv¨andas f¨or att g¨ora denna priss¨attning. I vissa fall kan den vanliga Mon- te Carlo-metoden vara f¨or l˚angsam och ber¨akningarna f¨or komplexa f¨or att priset ska kunna ber¨aknas i rimlig tid.

F¨or att utf¨ora n¨astlad simulering genereras f¨orst de s˚a kallade yttre scena- riona, d¨ar priser simuleras ¨over en tidsperiod. Utifr˚an varje yttre scenario skapas sedan ett antal inre scenarion, genom att priser simuleras ¨over ytter- ligare en tidperiod, diskonteras och anv¨ands som en v¨ardering i tidpunkt d¨ar de yttre och inre scenariona m¨ots. P˚a s˚a s¨att skapas en f¨ordelning av priser vid en best¨amd tidshorisont. Denna kan sedan i sin tur anv¨andas f¨or att skat- ta riskm˚att s˚a som Value at Risk och Expected Shortfall. En mer detaljerad beskrivning av n¨astlad simulering finns i avsnitt 2.8. D¨ar diskuteras hur den- na typ av simulering utf¨ors med b˚ade den vanliga Monte Carlo-metoden och Least Squares Monte Carlo-metoden.

Figur 1: N¨astlad simulering. Visar exempel p˚a n¨astlad simulering, med och utan anv¨andning av Least Squares Monte Carlo-Metoden. Skapad i Matlab.

I Figur 1.1.1 visas visas exempel p˚a n¨astlad simulering, med den vanliga Monte Carlo-metoden till v¨anster och Least Squares Monte Carlo-metoden till h¨oger. I praktiken skulle en bank kunna h˚alla en option p˚a n˚agon tillg˚ang i yttre scenarionas startpunkt. Banken vill d˚a unders¨oka vad denna option

¨ar v¨ard under olika scenarion, vid n˚agon specifik tidpunkt i framtiden. Den- na tidpunkt utg¨or tidshorisonten d¨ar de yttre och inre scenariona m¨ots. De yttre och inre scenariona best˚ar d˚a av m¨ojliga prisbanor f¨or den underlig- gande tillg˚angen. N¨ar den n¨astlade simuleringen ¨ar utf¨ord f˚ar banken en prisf¨ordelning, i yttre scenarionas tidpunkt, baserat p˚a informationen fr˚an de inre scenariona.

N¨ar vanliga Monte Carlo-metoden anv¨ands f¨or att generera denna prisf¨ordelning med hj¨alp av n¨astlad simulering kr¨avs ett stort antal inre scenarion f¨or att ge en pricks¨aker v¨ardering. Detta kan leda till att en stor m¨angd dator- kraft kr¨avs f¨or att kunna ber¨akna detta inom rimlig tid, speciellt vid ett stort antal yttre scenarion. Det ¨ar h¨ar Least Squares Monte Carlo kan kom- ma till anv¨andning. Genom att anv¨anda ett mindre antal inre scenarion,

¨an vid vanlig Monte Carlo, och regression f¨or att beskriva prisf¨ordelningen med en anpassad funktion kan den datorkraft som kr¨avs minskas, utan att pricks¨akerheten f¨ors¨amras f¨or mycket.

1.1.2 Korgoptioner

I detta arbete unders¨oks priss¨attning av korgoptioner, vilket ¨ar en typ av option med flera underliggande tillg˚angar. Medan en del korgoptioner kan priss¨attas analytiskt, s˚a kr¨aver andra numeriska metoder s˚a som Monte Carlo-metoden. Med fler tillg˚angar ¨okar antalet ber¨akningar som kr¨avs f¨or att priss¨atta optionen. P˚a s˚a s¨att kan Least Squares Monte Carlo-metoden potentiellt begr¨ansa datorkraften som kr¨avs, med bibeh˚allen pricks¨akerhet.

1.1.3 Forskning

Den tidigare forskningen inom omr˚adet r¨or ofta Least Squares Monte Carlo- metodens anv¨andning inom priss¨attning av amerikanska optioner. Metoden utvecklades av Longstaff och Schwartz (2001), som beskrev den som ett effek- tivt och kraftfullt s¨att att uppskatta v¨ardet p˚a amerikanska optioner. Moreno och Navas (2003) unders¨oker hur robust metoden ¨ar och testar hur uppbygg- naden av regressionsfunktionen p˚averkar priss¨attningen.

N¨ar det kommer till metodens anv¨andning f¨or annat ¨an finansiella instru- ment s˚a har Sabour och Poulin (2006) unders¨okt hur metoden kan nyttjas vid andra investeringar.

1.2 Syfte

Syftet med detta arbete ¨ar att unders¨oka hur v¨al Least Squares Monte Carlo approximerar prisf¨ordelningen hos flerdimensionella optioner. Fr¨amst kom- mer effekten fr˚an dimensionaliteten och l¨angden p˚a yttre scenariona att un- ders¨okas. Vidare kommer vikt l¨aggas vid att se hur v¨al metoden beskriver de h¨ogsta och l¨agsta priserna, f¨ordelningens svansar.

1.3 Begr¨ ansningar

Detta arbete ¨ar tidsbegr¨ansat och dess omfattning s˚aledes likas˚a. Endast geometrisk Brownsk r¨orelse kommer att anv¨andas som stokastisk process f¨or utv¨ardering av LSMC. Detta beror p˚a att den ¨ar vanligt f¨orekommande inom omr˚adet och f¨or att formlerna f¨or de exakta priserna p˚a optionerna ¨ar basera- de p˚a Black-Scholes formel som i sin tur nyttjar denna process f¨or aktiernas pris.

Endast k¨opoptioner kommer att unders¨okas i detta arbete. D˚a f¨orh˚allandet mellan k¨op- och s¨aljoptioner (put-call-parity) ¨ar enkelt s˚a kommer inte tes- ter av b˚ada typerna att tillf¨ora n˚agot till att uppn˚a syftet med arbetet (se avsnitt 2.5.1).

2 Teori

I detta avsnitt f¨orklaras och diskuteras teori som ¨ar relevant f¨or arbetet.

2.1 Notation

Nedan deklareras en del av den notation som kommer att anv¨andas i det- ta och f¨oljande avsnitt. Notation som ej inkluderas h¨ar beskrivs d¨ar den anv¨ands.

S_i(t) Pris p˚a tillg˚ang i vid tid t

K L¨osenpris f¨or den aktuella optionen

C_typ Pris f¨or k¨opoption av den typ som anges. Om index ej anv¨ands g¨aller den option som diskuteras

Nⁱ(x) Kumulativa normalf¨ordelningsfunktionen av dimension i. Om inget index anges s˚a ¨ar det ordinarie f¨ordelningsfunktionen som g¨aller t Starttid f¨or option

T Tid f¨or inl¨osen av option T − t L¨optid f¨or option

r Riskfria r¨antan

σ_i Standardavvikelsen eller volatiliteten f¨or tillg˚ang i

ρ_ij Korrelationskoefficient f¨or korrelation mellan tillg˚ang/variabel i och j

W (t) Wienerprocessen

2.2 Optionstyper

De tv˚a optioner som kommer anv¨andas ¨ar en max-korgoption och en geomet- risk korgoption. Utbetalningen, ocks˚a k¨and som payoff, f¨or dessa ¨ar beroende

av tillg˚angspriserna d˚a optionen l¨oper ut, samt ett l¨osenpris, ocks˚a k¨ant som strike price.

2.2.1 Geometrisk korgoption

En s¨aljoption av typen geometrisk korgoption ¨ar n˚agot sv˚ar¨overs¨attlig i ter- mer av att ha r¨atten att k¨opa och s¨alja en tillg˚ang. Dess utbetalning ¨ar be- roende av det geometriska medelv¨ardet av tillg˚angspriserna vid optionens utl¨opande, samt det f¨orutbest¨amda priset. Utbetalningsfunktionen f¨or en k¨opoption ¨ar f¨oljande:

C_Geo = max(pⁿ

S₁(T )S₂(T )S₃(T )...S_n(T ) − K, 0) (1)

2.2.2 Max-korgoption

Innehavaren av en k¨opoption av typen max-korgoption f˚ar vid optionens inl¨osen k¨opa den tillg˚ang, vars pris ¨ar h¨ogst, f¨or det f¨orutbest¨amda priset, K. Utbetalningsfunktionen f¨or en k¨opoption av typen max-korgoption, med n underliggande tillg˚angar ¨ar som f¨oljer:

CM ax = max(max(S1(T ), S2(T ), S3(T ), ..., Sn(T )) − K, 0) (2) En s¨aljoption av samma typ har f¨oljande utbetalning:

P_{M ax} = max(K − max(S₁(T ), S₂(T ), S₃(T ), ..., S_n(T )), 0) (3)

2.3 Geometrisk Brownsk r¨ orelse

Givet att µ och σ ¨ar konstanter, samt att W ¨ar en Wienerprocess, s˚a f¨oljer en tillg˚angs pris en geometrisk Brownsk r¨orelse om den uppfyller f¨oljande stokastiska differentialekvation:

dS(t) = µ S(t) dt + σ S(t) dW (t) (4)

D¨ar µ beskriver driften, σ volatiliteten och t st˚ar f¨or tidpunkten.

2.4 Linj¨ ar regression & minstakvadratmetoden (Least Squares)

2.4.1 Linj¨ar regression

Givet en beroende variabel Y och en f¨orklarande variabel X s˚a kan en enkel modell av linj¨ar regression skrivas som:

Y = β₀+ β₁X +  (5)

D¨ar  ¨ar en residual som beskriver en eventuell avvikelse av Y fr˚an det v¨arde som den f¨orklarande variabeln b¨or ge upphov till, allts˚a de observerade be- roende v¨ardena Y. β_i ¨ar parametrar.

En modell kan ¨aven inneh˚alla flera f¨orklarande variabler, dessa kan vara beroende eller oberoende. En s˚adan modell kan se ut s˚a h¨ar:

Y = β0+ β1X1+ 1+ ... + +βnXn+ n (6) D¨ar n anger antalet variabler.

En linj¨ar regressionsmodell beh¨over inte anv¨anda sig av en rak linje. En vanlig typ av linj¨ar regressionsmodell nyttjar polynom. Regressionen r¨aknas dock som linj¨ar i parametrarna β_i. En regressionsmodell med tv˚a f¨orklarande variabler kan se ut p˚a f¨oljande s¨att:

Y = β0+ β1X1+ β2X2+ β3X₁²+ β4X₂²+ β5X1X2+  (7) H¨ar best˚ar allts˚a modellen av en konstant, de enskilda f¨orklarande variabler- na, de enskilda variablerna upph¨ojt till 2 samt en korsterm.

2.4.2 Minstakvadratmetoden/Least Squares-metoden

F¨or att skatta parametrarna vid linj¨ar regression kan en m¨angd metoder till¨ampas. En av dessa ¨ar den s˚a kallade minstakvadratmetoden, eller Least Squares-metoden varifr˚an f¨orsta delen av namnet i Least Squares Monte Car- lo h¨arr¨or.

Denna metod g˚ar ut p˚a att parametrarna, β_i, skattas s˚a att summan av resi- dualerna i kvadrat, allts˚a E =Pm

i=1²_i minimeras, givet m observervationer av den beroende variabeln. Residualerna, _i, ¨ar skillnaden mellan det v¨arde som modellen ger och det observerade v¨ardet.

Givet en regressionsmodell vars funktion inneh˚aller n f¨orklarande variabler och m observationer av den beroende variabeln och motsvarande f¨orklarande variabler, s˚a har vi f¨oljande matris

X =

















X11 X12 · · · X1n

X₂₁ X₂₂ · · · X_2n ... ... . .. ... X_m1 X_m2 · · · X_mn

















(8)

d¨ar varje rad beskriver termerna f¨or varje observation. Vanligtvis best˚ar f¨orsta kolumnen endast av 1:or, f¨or att beskriva en konstant.

Vidare antag att vi har en vektor

β =















 β₁ β₂ ... β_n

















(9)

d¨ar varje element betecknar en parameter.

D˚a kan en linj¨ar modell skrivas som:

Y = Xβ (10)

De optimala parametrarna enligt minstakvadratmetoden f˚as av:

β = (Xˆ ^TX)⁻¹X^TY^∗. (11) (Glasserman 2003)

D¨ar ˆβ ¨ar de skattade parametrarna och Y^∗ ¨ar de observerade v¨ardena f¨or den beroende variabeln.

2.5 Analytisk priss¨ attning

I detta avsnitt beskrivs den analytiska priss¨attningen av en vanlig k¨op- och s¨aljoption samt f¨or de typer av optioner som ska anv¨andas i detta arbete.

2.5.1 Black-Scholes formel

Formlerna f¨or b˚ada optionerna som ska anv¨andas baseras till stor del p˚a Black-Scholes formel, som beskrivs i Black & Scholes (1973). I sin ursprung- liga form ber¨aknar den priset f¨or en europeisk k¨opoption. Den kan ¨aven genom sm˚a ¨andringar anv¨andas f¨or priss¨attning av europeiska s¨aljoptioner.

Detta genom nyttjande av s˚a kallad “put-call parity”, allts˚a f¨orh˚allandet mel- lan priset p˚a en k¨op- och s¨aljoption.

Formeln f¨or en europeisk k¨opoption ser ut som f¨oljer:

C = N (d1)S − e^{−r(T −t)}N (d2)K (12) d₁ = 1

σ√ T − t

 ln S

K

 +

 r + σ²

2



(T − t)



(13) d₂ = d₁− σ√

T − t (14)

D¨ar N ¨ar kumulativa normalf¨ordelningsfunktionen, S ¨ar underliggande tillg˚angens startpris, r ¨ar riskfria r¨antan, T − t ¨ar optionens l¨optid, K ¨ar l¨osenpris och σ ¨ar tillg˚angens volatilitet.

F¨or en s¨aljoption byts ekvation 12 ut mot:

P = e^{−r(T −t)}N (−d2)K − N (−d1)S (15)

2.5.2 Geometrisk korgoption

Formeln f¨or v¨ardering av geometriska korgoptionen, dess h¨arledning och en stor del av dess notation ¨ar tagen fr˚an Haslet (2006, 8-10). N˚agra ¨andringar har gjorts f¨or att ekvationerna ska vara l¨attare j¨amf¨orbara med de i Black- Scholes formel.

Haslet (2006) anv¨ander en indexerad r¨anta, r_i, d˚a optionen som priss¨atts anv¨ander valutor som tillg˚angar. D¨arf¨or anv¨ands olika r¨antor fr˚an olika l¨ander.

L¨osningen ¨ar dock s˚a pass generell s˚a att den kan till¨ampas p˚a andra tillg˚angar.

I beskrivningen nedan utel¨amnas indexeringen d˚a tillg˚angarna har samma f¨orv¨antad avkastning.

Priss¨attningen av denna typ av option ¨ar baserad p˚a att en produkt av lognor- malf¨ordelade variabler ¨ar i sin tur ocks˚a lognormalf¨ordelad. Detta g¨aller dock inte f¨or summor av lognormalf¨ordelade variabler, d¨arf¨or ¨ar en exakt v¨ardering av en option med utbetalning baserat p˚a ett aritmetisk medelv¨arde inte m¨ojlig p˚a samma s¨att. Detta d˚a summans f¨ordelning inte ¨ar k¨and.

Givet att tillg˚angarnas prisprocess ¨ar av typen geometrisk Brownsk r¨orelse

och att optionen priss¨atts under riskneutralt Q-m˚att s˚a g¨aller f¨oljande:

N

v u u t

N

Y

i=1

S_i(T ) =

N

Y

i=1

S_i(T )^N−1

=

N

Y

i=1

S_i(t)^N−1e^N−1(r−

σ2i

2 )(T −t)+N⁻¹σiWi(T −t)

= B(t)e^{PNi,j=1N−1(ri−}

σ2i

2 )(T −t)+PN

i,j=1N⁻¹σiWi(T −t)

= B(t)e(r−a)(T −t)+σW (T −t)

(16)

d¨ar a = PN i=1

σ²_i

2 , σ =q Pn

i,j=1a_ia_jρ_ijσ_iσ_j och B(t) ¨ar det geometriska me- delv¨ardet av tillg˚angarnas pris i den tidpunkt d˚a optionen priss¨atts t, allts˚a B(t) = QN

i=1S_i(t)^N−1 . Genom applicering av Black-Scholes-modellen f˚as sedan priset p˚a en geometrisk korgoption, av typen k¨opoption, av:

C = B(t)e^−aN (d₁) − e^{−r(T −t)}N (d₂)K (17) d1 = 1

σ√ T − t



ln B(t) K



+ a(T − t)



(18) d₂ = d₁− σ√

T − t (19)

2.5.3 Max-korgoption

Formeln f¨or v¨ardering av max-korgoptionen och dess h¨arledning ¨ar tagen fr˚an Ouwehand & West (2006), d¨ar den ing˚ar i en grupp av s˚a kallade Rainbow Options, med namnet call on max option. Bakgrunden till formeln och dess h¨arledning som diskuteras av f¨orfattarna ¨ar ganska omfattande. H¨ar kommer bakgrunden och h¨arledningen endast att diskuteras kortfattat.

Tv˚a metoder som anv¨ands f¨or att priss¨atta optionen ¨ar att byta ut den ena tillg˚angen mot den andra vid l¨osendatumet och att anv¨anda en tillg˚ang som numer¨ar. Den f¨orsta metoden kan j¨amf¨oras med en europeisk k¨opoption d¨ar l¨osenpriset ¨ar v¨ardet p˚a en aktie, vilket d˚a inneb¨ar att l¨osenpriset ¨ar

stokastiskt. Utbetalningen f¨or optionen kan skrivas som:

max(S₁− S₂, 0) (20)

Den andra metoden inneb¨ar att en av optionernas underliggande tillg˚angar anv¨ands som numer¨ar, allts˚a valuta, s˚a att alla priser anges som antalet av valutatillg˚angen som den ¨ar v¨ard.

Ouwehand & West (2006, 5) ger en l¨osning f¨or en option med utbetalningen max(S1, S2, S3), allts˚a med 3 underliggande tillg˚angar. L¨osningen appliceras sedan p˚a max-optionen som anv¨ands p˚a f¨oljande s¨att (Ouwehand & West 2006, 6):

max(max(S₁, S₂, S₃, S₄) − K, 0) = max(max(S₁, S₂, S₃, S₄), K) − K

= max(S₁, S₂, S₃, S₄, K) − K (21) L¨osenpriset tolkas allts˚a som en tillg˚ang, utan korrelation med de andra tillg˚angarna och ingen volatilitet. P˚a s˚a s¨att ¨ar v¨ardet av en k¨opoption av typen max-korgoption, p˚a 3 tillg˚angar (med l¨osenpriset som den fj¨arde), f¨oljande:

C_max(t) = S₁(t)N³(−d

2

−1, −d

3

−1, d¹₊, Ω₁) + S₂(t)N³(−d

1

−2, −d

3

−2, d²₊, Ω₂) + S₃(t)N³(−d

1

−3, −d

2

−3, d³₊, Ω₃)

− Ke^{r(T −t)}[1 − N₃(−d¹₋, −d²₋, −d³₋, Ω₄)]

(22)

D¨ar f¨oljande g¨aller:

σ²i j

= σ_i²+ σ²_j − 2ρ_ijσ_iσ_j (23)

d

i j

± =

lnS_i(t) S_j(t) ± 1

2σ²i j

(T − t) σⁱ

j

√T − t (24)

d_±ⁱ =

lnS_i(t) K (r ± 1

2σ_i²)(T − t) σ_i√

T − t (25)

ρ_ij,k = ρ_ijσ_iσ_j− ρ_ikσ_iσ_k− ρ_kjσ_kσ_j + σ_k² q

(σ_i²+ σ_k²− 2ρ_ikσ_iσ_k)(σ_j²+ σ_k²− 2ρ_jkσ_jσ_k)

(26)

I den f¨orsta termen i ekvation 22 anv¨ands f¨orsta tillg˚angen som numer¨ar el- ler valuta. I den andra termen anv¨ands den andra tillg˚angen och s˚a vidare, medan sista termen anv¨ander sig av l¨osenpriset.

Ωk ¨ar matriser av storlek 3 x 3, n¨ar antalet tillg˚angar ¨ar 4. Ouwehand &

West (2006, 5) skriver att matriserna kan ursprungligen ses som av storlek 4 x 4, med ρ_ij,k p˚a plats (i, j), d¨ar rad och kolumn k tas bort. D˚a den fj¨arde tillg˚angen ¨ar l¨osenpriset har den ingen korrelation med de andra tillg˚angarna ρ₂₄ = ρ₃₄ = 0; samt har ingen volatilitet, σ₄ = 0.

2.6 Monte Carlo-metoden

Monte Carlo-metoden i ett finansmatematiskt sammanhang anv¨ander sig av slumptal f¨or att ber¨akna olika m˚att, s˚a som finansiella instruments v¨arden, vilka i sin tur kan anv¨andas f¨or att best¨amma riskm˚att.

F¨orst genereras ett stort antal tillg˚angspriser, vid tidpunkten d˚a kontraktet l¨oper ut, med hj¨alp av slumptal. Sedan ber¨aknas vilken utbetalning varje pris hade gett i varje fall. D¨arefter ber¨aknas medelv¨ardet f¨or dessa utbetalningar, vilket d˚a representerar den f¨orv¨antade vinsten vid k¨op av optionen. Till sist diskonteras detta till den tidpunkt d˚a optionens v¨arde efters¨oks.

P˚a f¨oljande s¨att kan priset, P (t, T ), p˚a en option i tidpunkt t, som l¨oper mellan tidpunkt t och T , skattas med hj¨alp av Monte Carlo-metoden:

1. Ett stort antal, m, normalf¨ordelade slumptal, x_i ∼ N (0, 1), genereras.

2.Tillg˚angspriser, givet att de f¨oljer geometrisk brownsk r¨orelse, simuleras enligt f¨oljande formel:

S(T )_i = S(t)exp



(r − σ²

2 )(T − t) + x_i√ T − t



(27) D¨ar S(T )_i motsvarar tillg˚angspriset f¨or slumptalet x_i i tidpunkt T , d¨ar r

¨ar den riskfria r¨antan, S(t) ¨ar startpriset f¨or tillg˚angen och σ ¨ar tillg˚angens standardavvikelse.

3. Optionens v¨arde givet varje tillg˚angspris ber¨aknas med hj¨alp av den ak- tuella optionens utbetalningsfunktion och diskonteras.

P_i = e^{−r(T −t)}f_{payof f}(S(T )_i) (28)

4. Ett medelv¨arde ber¨aknas.

P (t, T ) =

m

X

i=1

P_i/m (29)

Desto fler slumptal som anv¨ands, desto b¨attre skattning av optionspriset f˚as.

2.7 Multidimensionella Monte Carlo-metoden

Om en option ¨ar beroende av flertalet korrelerade tillg˚angar beh¨over simule- ringen av dess priser ta denna korrelation i beaktning.

Givet att vi har m genererade normalf¨ordelade slumptal per tillg˚ang, n antal tillg˚angar, att σ_i betecknar tillg˚ang i:s standardavvikelse och ρ_ij betecknar

korrelationskoefficienten mellan tillg˚ang i och tillg˚ang j s˚a har vi slumptals- matrisen

X =

















x₁₁ x₁₂ · · · x_1n x21 x22 · · · x2n

... ... . .. ... xm1 xm2 · · · xmn

















(30)

och kovariansmatrisen

Σ =

















σ²₁ ρ₁₂σ₁σ₂ · · · ρ_1nσ₁σ_n ρ₂₁σ₂σ₁ σ₂² · · · ρ_2nσ₂σ_n

... ... . .. ... ρ_n1σ_nσ₁ ρ_n2σ_nσ₂ · · · σ²_n

















(31)

F¨or att slumptalen ska ta tillg˚angarnas kovarians i beaktning s˚a g¨ors f¨oljande:

X = chol(Σ)˜ ⁰X (32)

D¨ar chol(Σ)⁰ ¨ar Choleskyfaktoriseringen av Σ som sedan transponerats.

Choleskyfaktorisering av Σ ger matrisen A, d˚a Σ representeras som AA⁰, d¨ar A ¨ar en upp˚at triangul¨ar matris.(Glasserman 2003, s. 72)

F¨or att sedan ber¨akna priset, vid tidpunkt T , f¨or tillg˚ang j f¨or motsvarande slumptal p˚a rad i i ˜X, utf¨ors f¨oljande ber¨akning:

S(T )_ij = S(t)_ijexp



(r − σ²

2 )(T − t) + ˜x_ij√ T − t



(33)

Ovanst˚aende formeln utg¨or d˚a multidimensionella Monte Carlo-metodens

motsvarighet till hur tillg˚angspriser ber¨aknas enligt ekvation 27 fr˚an avsnitt 2.6.

I ¨ovrigt utf¨ors metoden p˚a samma s¨att och enligt samma steg som i avsnitt 2.6. D¨ar utbetalningsfunktionen i detta fall p˚a n˚agot s¨att ¨ar beroende av flera tillg˚angar.

2.8 N¨ astlad simulering

Nedan f¨oljer en beskrivning av hur n¨astlad simulering anv¨ands f¨or att pro- ducera en prisf¨ordelning. B˚ade anv¨andningen av Least Squares Monte Carlo- metoden och vanliga Monte Carlo-metoden beskrivs.

Med beskrivningen av Least Squares Monte Carlo-metoden f¨oljer ett exem- pel, som visas i Figur 2, vilket beskriver en n¨astlad simulering och hur en regressionsfunktion anpassar sig efter de ber¨aknade optionsv¨ardena. I exemp- let priss¨atts en k¨opoption med en underliggande tillg˚ang. Endast en tillg˚ang anv¨ands f¨or att enklare kunna visualisera resultatet, vilket inte ¨ar lika enkelt vid fler tillg˚angar.

Givet exemplet, f¨oljer beskrivningen hur n¨astlad simulering utf¨ors f¨or en op- tion med en underliggande tillg˚ang. Tillv¨agag˚angss¨attet skiljer sig inte myc- ket fr˚an en option med fler tillg˚angar. Skillnaderna presenteras i slutet.

2.9 Beskrivning av n¨ astlad simulering

Antag att vi har en option med en underliggande tillg˚ang, l¨osenpris K, start- pris S(t0), vid tidpunkt t0. F¨or att producera en prisf¨ordelning vid tidshori- sonten t₁, d¨ar optionen l¨oper till t₂ g¨ors f¨oljande:

1. Priser simuleras ¨over en tidsperiod, t₀till t₁, f¨or den underliggande tillg˚angen.

Detta utg¨or tidsspannet f¨or det yttre scenariot, d¨ar t₁ ¨ar tidpunkten f¨or den

tidshorisont varvid en prisf¨ordelning ska ber¨aknas. Detta steg visas i Figur 2, d¨ar tillg˚angspriser utg˚ar fr˚an ett startv¨arde i t₀ och f˚ar ett annat i t₁.

2. F¨or varje yttre scenario genereras ett antal inre scenarion, genom att tillg˚angspriserna simuleras ¨over ytterligare en tidsperiod, t₁ till t₂. Detta tidsspann utg¨or den ˚aterst˚aende l¨optiden f¨or optionen som priss¨atts, med inl¨osen vid t₂. Detta steg visas i h¨ogra halvan, av v¨anstra grafen, i Figur 2.

D¨ar utg˚ar ett antal linjer fr˚an varje yttre scenario och utg¨or n˚agra m¨ojliga prisbanor som tillg˚angen skulle kunna f˚a.

3. Utbetalningen f¨or varje inre scenario ber¨aknas, vid t2, med utbetalnings- funktionen f¨or den aktuella optionen. Utbetalningsfunktionen i exemplet ¨ar C = M ax(S(t₂) − K, 0).

4. F¨or varje samling inre scenarion, allts˚a de som tillsammans utg˚ar fr˚an samma yttre scenario, ber¨aknas optionspriset som medelv¨ardet av utbetal- ningarna och diskonteras till den valda tidshorisonten, t₁. Detta utg¨or nu det slutgiltiga priset f¨or vanliga (Standard) Monte Carlo-metoden.

2.9.1 Least Squares Monte Carlo-metoden

F¨or Least Squares Monte Carlo-metoden f¨oljer ytterligare steg:

5. Optionspriserna, fr˚an f¨oreg˚aende steget, representerar nu observationer av den beroende variabeln i en regressionsmodell, och tillg˚angspriserna vid t₁ utg¨or observationer av de f¨orklarande variablerna. Koefficienterna, eller pa- rametrarna, i regressionsfunktionen best¨ams med minstakvadratmetoden.

6. Optionspriserna r¨aknas om med den anpassade regressionsfunktionen. I h¨ogra delen av Figur 2 visas funktionen som en r¨od linje. De omr¨aknade priserna hamnar d˚a p˚a denna. Funktionen kan ¨aven anv¨andas f¨or att snabbt ber¨akna optionspriser, d˚a den tar tillg˚angspriser som inv¨arde (x-axeln) och ger optionspris som utv¨arde (y-axeln).

Figur 2: (Figur p˚a f¨oreg˚aende sida) N¨astlad simulering & Least Squares Mon- te Carlo-metoden. Visar exempel p˚a n¨astlad simulering, i v¨anstra grafen. Med yttre scenarion mellan t0 och t1, samt inre scenarion mellan t1 och t2. I h¨ogra grafen visas optionspriser och en linje anpassad efter priserna, enligt Least Squares Monte Carlo-metoden. Varje bl˚a ring i h¨ogra grafen motsvarar ett optionspris i yttre scenarionas slutpunkt, vid t1, fr˚an v¨anstra grafen.

2.9.2 N¨astlad simulering med korgoptioner

N¨ar optionen har fler underliggande tillg˚angar beh¨over detta beaktas i simu- leringen. Vid simuleringen av tillg˚angarnas priser beh¨over dess kovarians tas med i ber¨akningarna, i steg 1 och 2. Hur detta g¨ors beskrivs i avsnitt 2.7.

Vidare s˚a blir utbetalningen i steg 3 ocks˚a beroende av fler tillg˚angar, en- ligt optionens utbetalningsfunktion. Dessutom b¨or regressionsfunktionen in- neh˚alla samtliga underliggande tillg˚angars priser i n˚agon form.

2.10 R

Determinationskoefficienten, R², direkt ¨oversatt fr˚an engelskans coefficient of determination, ¨ar ett m˚att p˚a hur v¨al en regressionsmodell f¨orklarar de ob- serverade v¨ardena av den f¨orklarande variabeln. Koefficienten har ett v¨arde mellan 0 och 1, d¨ar 0 betyder att inga av de observerade v¨ardena f¨orklaras av modellen, medan v¨ardet 1 betyder att 100% av v¨ardena kan f¨orklaras av modellen.

Determinationskoefficienten ber¨aknas p˚a f¨oljande s¨att:

R² = 1 − PN

i=1(y_i− f_i)² PN

i=1(y_i− ¯y)² (34)

(Alm & Britton 2008)

D¨ar y_i ¨ar de observerade v¨ardena p˚a den beroende variabeln, N antalet

v¨arden, f_i ¨ar v¨ardena som f˚as av regressionsmodellen och ¯y = 1 N

PN i=1y_i, allts˚a medelv¨ardet av de observerade v¨ardena. T¨aljaren ¨ar det som minime- rades i minstakvadratmetoden.

Medan en h¨og koefficient visar p˚a en bra anpassning av modellen p˚a de observerade v¨ardena s˚a kan en f¨or h¨og koefficient vara tecken p˚a en d˚alig modell. D˚a regression generellt anv¨ands f¨or att bygga en funktion som kan f¨orutsp˚a v¨arden, andra ¨an de redan observerade, s˚a kan en modell med h¨og koefficient m¨ojligtvis f¨olja de redan observerade v¨ardena f¨or n¨ara. Vilket leder till att nya v¨arden som observeras ligger l˚angt utanf¨or modellen som skapats.

En ¨okning av termer i en regressionsmodell leder dessutom med f˚a undantag till en h¨ogre determinationskoefficient.

2.11 Antitetiska variat

F¨or att minska antalet slumptal som beh¨over genereras, samt f¨orb¨attra regres- sionen genom minskad varians, s˚a kan s˚a kallade antitetiska variat nytt- jas. Detta ¨ar enklast d˚a slumptalen ¨ar normalf¨ordelade med v¨antev¨arde 0.

Om detta g¨aller s˚a inneb¨ar att n¨ar de genererade slumptalen, {Z1, ..., Zn}, anv¨ands s˚a anv¨ands ¨aven dess negativa motsvarigheter, allts˚a {−Z₁, ..., −Z_n}.

3 Metod

I detta avsnitt diskuteras hur resultatet produceras.

3.1 Notation

LSMC Least Squares Monte Carlo-metoden SMC Vanliga (Standard) Monte Carlo-metoden

3.2 Slumptalsgenerering

Vid generering av slumptal, f¨or att producera tillg˚angspriser i de yttre och inre scenariona, f¨or b˚ade LSMC och SMC, kommer antitetiska variat att anv¨andas. N¨ar antal scenarion anges nedan kommer det faktiska antalet ge- nererade slumptal vara h¨alften av dessa, medan den andra h¨alften kommer fr˚an applicering av metoden.

3.3 Optionerna

De optioner som kommer att anv¨andas i simuleringen ¨ar geometrisk korgop- tion och maxkorgoption, som beskrivs i avsnitt 2.2.1 resp. 2.2.2.

N˚agot som skiljer optionerna ˚at ¨ar att med fler underliggande tillg˚angar, med samma pris, standardavvikelse och korrelation som de andra, s˚a ¨okar priset p˚a maxkorgoptionen, medan v¨ardet p˚a den geometriska minskar. Detta kan observeras i formlerna som presenteras i avsnitt 2.5.2 och 2.5.3.

3.4 Parametrar

3.4.1 Tillg˚angarnas parametrar

Tillg˚angarna kommer att vara homogena i att de kommer att ha samma startpris, standardavvikelse och korrelation mellan varandra. Detta beror p˚a

att syftet ¨ar att unders¨oka dimensionalitetens effekt p˚a LSMC, snarare ¨an effekten fr˚an enskilda tillg˚angars parametrar. Om en option, med tv˚a homo- gena tillg˚angar, j¨amf¨ors med en option med ytterligare en tillg˚ang, som ¨ar vitt skilt fr˚an de ¨ovriga tv˚a, s˚a kan effekten av detta bero p˚a den tillagda tillg˚angens egenskaper ¨an den som f˚as av en generell ¨okning i dimensionalitet.

Tillg˚angspriserna, S_i, s¨atts till 100 f¨or samtliga aktier.

Korrelation mellan samtliga tillg˚angarna, ρ_ij, s¨atts till 0.3.

Tillg˚angarnas standardavvikelse, σ_i, s¨atts till 0.2.

Riskfria r¨antan, r, s¨atts till konstant 3%.

3.4.2 Optionernas parametrar

Nedanst˚aende parametrar g¨aller f¨or b˚ade max-korgoptionen och den geomet- riska korgoptionen.

Antalet underliggande tillg˚angar, N , s¨atts till 2, 3 och 4, f¨or att se di- mensionalitetens effekt.

Yttre scenarionas tidsl¨angd, τ , s¨atts till 1, 3 och 6, f¨or att testa tidsho- risontens effekt.

L¨osenpriset, K, s¨atts till 50, 100 och 120. Dessa valdes f¨or att testa vad skillnaden mellan startpriserna och l¨osenpriset har f¨or p˚averkan.

3.5 Simulering

3.6 Val av funktion f¨ or regression

Regressionsfunktionen, innan optimering som beskrivs i en senare del, kom- mer att best˚a av polynom med tillg˚angspriserna som variabler. D˚a alla andra m¨ojliga variabler, s˚a som r¨anta, volatilitet, korrelation, ¨ar konstanta f¨or varje regressionsmodell som anv¨ands inkluderas de inte som variabler i regressions- funktionen.

Nedan beskrivs de termer som ing˚ar i den regressionsfunktion som anv¨ands i Least Squares Monte Carlo-metoden. Funktionen ¨ar ett polynom best˚aende

av termer inneh˚allande de underliggande tillg˚angarnas priser, vid yttre sce- nariots slutpunkt och inre scenariots startpunkt. Dessa anges som S_i, vilket

¨ar priset f¨or tillg˚ang i. Vid initiala tester av metoden, gav ett ordinarie poly- nom, av grad 5, som var felaktiga. D¨arf¨or valdes ist¨allet att priserna upph¨ojs med v¨arden mindre ¨an 1, alternativt att 2:a till 5:e roten ber¨aknas, som visas nedan. Detta gav b¨attre v¨arden.

Givet n tillg˚angar inneh˚aller regressionsfunktionen f¨oljande:

1 konstant k

5n stycken termer f¨or enskilda tillg˚angspriser S₁, S₂...S_n S₁^1/2, S₂^1/2...Sn^1/2

...

S₁^1/5, S₂^1/5...Sn^1/5

25n(n − 1)

2 stycken korstermer S_i^1/pS_j^1/q, p = {1, ..., 5}, q = {1, ..., 5}

i 6= j

D¨ar varje term erh˚aller en parameter eller koefficient som best¨ams med minstakvadratmetoden enligt Least Square Monte Carlo-metodens utf¨orande.

3.7 Materiell

Matlab, versionen MATLAB R2016b (Academic Use), kommer anv¨andas f¨or samtliga simuleringar, ber¨akningar och figurer.

3.8 Simulering

F¨or att j¨amf¨ora Least Squares Monte Carlo-metoden med vanliga (Standard) Monte carlo-metoden och den exakta priss¨attningen s˚a utf¨ors simuleringar d¨ar optionspriser ber¨aknas med metoderna. D¨arefter j¨amf¨ors resultatet f¨or

att utv¨ardera hur v¨al metoderna presterade.

De optionspriser fr˚an Least Squares Monte Carlo-metoden som j¨amf¨ors mot exakta och vanliga Monte Carlo-metoden kommer att vara skiljda fr˚an de priser som anv¨ands f¨or att best¨amma regressionsmetodens parametrar. Det- ta f¨or att validera att funktionen kan anv¨andas f¨or att priss¨atta utanf¨or de v¨arden som den tr¨anas med. D¨arf¨or beskriver de f¨orsta stegen, 1 till 5, hur LSMC:s regressionsfunktion f¨orst anpassas.

F¨or att g¨ora resultatet mer statistiskt signifikant och mer stabilt g¨ors 10 k¨orningar av simuleringarna som beskrivs nedan.

Tidpunkten f¨or simuleringens och yttre scenarionas start s¨atts till 0, s˚a att tidpunkten d¨ar yttre och inre scenariona m¨ots blir τ , allts˚a yttre scenarionas tidsl¨angd.

F¨or alla m¨ojliga sammans¨attningar av:

optionstyperna geometrisk korgoption och max-korgoption, yttre scenariots tidsl¨angd τ = {1, 3, 6},

inre scenariots tidsl¨angd 1,

antal underliggande tillg˚angar n = {2, 3, 4} och l¨osenpris K = {50, 100, 120}, utf¨ors f¨oljande:

1. F¨orst genereras 10000 (10⁴) yttre scenarion, d¨ar varje scenario best˚ar av n stycken tillg˚angspriser. D¨ar n ¨ar antalet tillg˚angar f¨or optionen i den aktuella k¨orningen.

2. 100 inre scenarion, per yttre scenario, genereras.

3. Optionens utbetalning f¨or varje inre scenario ber¨aknas, vid tidpunkt τ + 1.

Dettta g¨ors med utbetalningsfunktionerna fr˚an teoriavsnitten 2.2.1 och 2.2.2, f¨or geometriska optionen resp. maxoptionen.

4. Optionsv¨ardet f¨or varje yttre scenario ber¨aknas som medelv¨ardet av utbe- talningarna fr˚an steg 3, diskonterat till tidpunkt τ .

5. Med de 10000 optionspriserna, fr˚an steg 3, best¨ams nu parametrarna i LSMC:s regressionsmodell, med hj¨alp av minstakvadratmetoden. D¨ar op- tionspriserna ¨ar den observerade variabeln och tillg˚angspriserna vid τ ¨ar de f¨orklarande variablerna.

Nu kan regressionsmodellen anv¨andas f¨or priss¨attning av optioner med hj¨alp av genererade tillg˚angspriser som ¨ar oberoende av den som anv¨andes vid an- passningen av modellen.

6. Ytterligare 10000 (10⁴) yttre scenarion genereras, oberoende av de i steg 1. Tillg˚angspriserna fr˚an detta steg ligger till grund f¨or samtliga metoders resultat som senare j¨amf¨ors.

7. 10000 inre scenarion, per yttre, genereras f¨or anv¨andning i vanliga Monte Carlo-metoden.

8. Utbetalningar ber¨aknas f¨or inre scenariona fr˚an f¨oreg˚aende steget.

9. Sedan f¨oljer slutgiltiga priss¨attningar enligt de olika metoderna:

9.1 Exakt priss¨attning: Optionerna priss¨atts baserat p˚a tillg˚angspriserna fr˚an yttre scenariona i steg 6, med exakta formlerna fr˚an teoriavsnitten 2.5.2 och 2.2.2, f¨or geometriska resp. maxoptionen.

9.2 Vanliga Monte Carlo-metoden: Optionens pris f¨or varje yttre scenario best¨ams som medelv¨ardet av utbetalningarna fr˚an dess inre scenarion, fr˚an steg 7, diskonterat till τ .

9.3 Least Squares Monte Carlo-metoden: Optionspriser ber¨aknas genom att tillg˚angspriserna fr˚an steg 6 s¨atts in i regressionsfunktionen, som anpassades i steg 5.

Vid initiella tester uppt¨acktes att LSMC kan ge negativa optionsv¨arden. Des- sa ligger i den nedre svansen och de egentliga v¨arden bed¨oms ligga mycket n¨ara 0. I samtliga fall, d¨ar LSMC ger ett negativt optionv¨arde, s¨atts det ist¨allet till 0.

3.9 Simulering f¨ or j¨ amf¨ orelse av antal inre scenarion

F¨or att j¨amf¨ora effekten antalet inre scenarion har f¨or LSMC en mindre si- mulering utf¨orts. Under denna simulering testas 6 och 30 inre scenarion, vars resultat sedan j¨amf¨ors med det fr˚an den st¨orre simuleringen med 100 inre scenarion. Testet uf¨ors endast f¨or den geometriska optionen, med tidsl¨angd f¨or yttre scenarion τ = 1, n = 4 stycken tillg˚angar och l¨osenpris K = 50.

Likt de tidigare simuleringarna tr¨anas LSMC:s regressionsmodell f¨orst, p˚a f¨oljande s¨att.

1. 10000 (10⁴) yttre scenarion genereras.

2. Inre scenarion genereras.

3. Utbetalningar, vid inre scenarionas slut t = τ + 1, ber¨aknas med utbetal- ningsformeln f¨or geometriska optionen fr˚an avsnitt 2.2.1.

4. Optionspriser ber¨aknas f¨or varje yttre scenario, som medelv¨ardet av utbe- talningarna f¨or dess inre scenarion. Priserna diskonteras till τ

5. Parametrarna i LSMC:s regressionsmodell best¨ams med de ber¨aknade pri- serna, med hj¨alp av minstakvadratmetoden.

6. 10000 nya yttre scenarion genereras, oberoende av de i steg 1.

7. Optionspriser ber¨aknas med LSMC genom att de yttre scenariona s¨atts in i regressionsfunktionen som anpassades i steg 5.

Likt simuleringen ovan, i avsnitt 3.8, s¨atts negativa optionsv¨arden till 0.

3.10 Ber¨ akningar av fel & R

-v¨ arden

Efter simuleringarna ber¨aknas de m˚att som ligger till grund f¨or analysen.

F¨or att ber¨akna m˚att ¨over olika delar prisf¨ordelningarna ordnas optionernas priser i storleksordning. Ordningen best¨ams av priss¨attningen med den ex- akta metoden f¨or varje yttre scenario, med priserna f¨or SMC och LSMC i samma ordning.I de flesta fall kommer samtliga metoders v¨arden d˚a vara i storleksordning, med ett f˚atal undantag f¨or SMC och LSMC. Notationen f¨or optionspriser ber¨aknade med den exakta formeln ¨ar f¨oljande:

Oij,Exakt(τ, K, N ) (35)

F¨orsta indexet, i, anger vilken av de 10 k¨orningarna v¨ardet tillh¨or och det andra indexet, j, anger optionsnummer enligt ¨okande storleksordning. Para- metern τ ¨ar yttre scenarionas tidl¨angd, K ¨ar l¨osenpris och N anger antalet tillg˚angar.

Optionspriserna skattade med Least Squares Monte Carlo eller Standard Monte Carlo:

O_ij,Exakt^∗ (τ, K, N ) (36)

Med samma notation som ovan.

Alla m˚atten, f¨orutom R²-v¨ardena, kommer att ber¨aknas f¨or olika delar av prisf¨ordelningen. Dessa ¨ar en nedre del best˚aende av de 250 l¨agsta v¨ardena i varje k¨orning, allts˚a 2.5:e procentilen; de 250 h¨ogsta, 97.5:e procentilen; och mitten av f¨ordelningen d¨ar de tv˚a tidigare n¨amnda delarna inte inkluderas. I nedanst˚aende formler anv¨ands variablerna p och P . D¨ar P anger sista num- ret f¨or optionen i den del av prisf¨ordelningen som ber¨aknas, medan p st˚ar f¨or den f¨orsta optionen i delen.

Det andra m˚attet som ber¨aknas ¨ar skillnaden i medelv¨arde mellan den exakta priss¨attning och de b˚ada Monte Carlo-metoderna. Det ber¨aknas p˚a f¨oljande vis:

M₁(τ, K, N ) = 1 10

10

X

i=1

"

1 P − p + 1

P

X

j=p

O_ij(τ, K, N )

− 1

P − p + 1

P

X

j=p

O_ij^∗(τ, K, N )]

# (37)

Detta m˚att anv¨ands f¨or att j¨amf¨ora LSMC:s och SMC:s f¨orm˚aga att produ- cera v¨arden som best˚ar av delar av prisf¨ordelningen, d¨ar eventuella ¨over- och underskattningar tar ut varandra, till skillnad fr˚an de n¨astkommande tv˚a m˚atten. M˚att s˚a som Expected Shortfall anv¨ander en prisf¨ordelning f¨or att best¨amma f¨orv¨antad f¨orlust inom olika konfidensintervall.

Det tredje m˚attet som ber¨aknas ¨ar roten ur summan av kvadratfel och ber¨aknas p˚a f¨oljande s¨att:

M₂(τ, K, N ) = 1 10

10

X

i=1

v u u t

P

X

j=p

(O_ij(τ, K, N ) − O^∗_ij(τ, K, N ))² (38)

M˚attet visar hur felen ackumuleras ¨over prisf¨ordelningen och l˚ater inte ¨over- och underestimeringar ta ut varandra.

Det sista m˚attet som ber¨aknas ¨ar genomsnittet p˚a felens storlek i f¨orh˚allande till det exakta v¨ardet och ber¨aknas p˚a f¨oljande s¨att:

M₃(τ, K, N ) = 1 10

10

X

i=1

1 P − p + 1

P

X

j=p

|O_ij(τ, K, N ) − O^∗_ij(τ, K, N )|

O_ij(τ, K, N )

! (39)

M˚attet visar hur stort genomsnittsfelet ¨ar i f¨orh˚allande till det exakta priset.

3.11 Optimering av regressionsfunktion

Desto fler termer en regressionsfunktion har, desto b¨attre kan den f¨olja de observerade v¨ardena. Dock s˚a ¨okar detta risken f¨or att modellen som anv¨ands f¨oljer dessa v¨arden f¨or n¨ara. P˚a s˚a s¨att kan modellens f¨orm˚aga att f¨oruts¨aga nya v¨arden minska. D¨arf¨or optimeras regressionsfunktionen. En optimering kommer ocks˚a ge f¨ordelen att antalet termer i funktionen minskar, vilket le- der till att tids˚atg˚angen f¨or ber¨akningar vid ˚ateranv¨andning minskar. Dess- utom uppt¨acktes vid initiala tester att minstakvadratmetoden vid s¨allsynta tillf¨allen kan ge kraftigt felaktiga v¨arden f¨or vissa termer och observerade v¨arden. ¨Aven detta problem kan minimeras med en optimering.

Optimeringen sker p˚a f¨oljande s¨att:

1. En reducerad funktion, best˚aende av endast en konstant samt de enskilda tillg˚angspriserna anv¨ands f¨or att best¨amma parametrar. Vid f¨orsta iteratio- nen anv¨ands allts˚a 1 + n termer, d¨ar n ¨ar antalet tillg˚angar.

F¨or varje term som ¨annu inte lagts till i den reducerade funktionen utf¨ors f¨oljande steg:

2.1 En ny term inkluderas i funktionen och dess parameter best¨ams genom ekvation 11 fr˚an avsnitt 2.4.2, medan de andra termernas parametrar beh˚alls fr˚an steg 1.

2.2 Ett R²-v¨arde ber¨aknas.

3. Den term som ger det b¨asta R²-v¨ardet l¨aggs till i den reducerade funktio-

nen och sedan utf¨ors steg 2.1-2.2 igen. Detta utf¨ors tills dess att maximalt 70 % av alla termer lagts till i den optimerade funktionen.

4. N¨ar alla termer valts best¨ams parametrarnas v¨arden igen och kan sedan anv¨andas i Least Squares Monte Carlo-metoden.

Genom den ovanst˚aende metoden testas varje term separat och l¨aggs till i omg˚angar, d¨ar varje ny term ¨ar den som ger b¨ast f¨orklaringsf¨orm˚aga.

Begr¨ansningen p˚a 70 % av termerna anv¨ands f¨or att inte alla termer som be- skrivs i avsnitt 3.6 ska anv¨andas. Om den term som valts ut i steg 3 ger ett negativt R²-v¨arde s˚a kommer den inte att l¨aggas till. Detta bed¨oms h¨anda ytterst s¨allan, men kan inneb¨ara att mindre ¨an 70 % av alla termer anv¨ands.

4 Resultat

I detta kapitel presenteras resultatet som producerats under arbetet. F¨oljande notation och f¨orkortningar anv¨ands:

SM C Vanliga (Standard) Monte Carlo-metoden LSM C Least Squares Monte Carlo-metoden K L¨osenpris

τ Yttre scenarionas tidl¨angd el. tidshorisont N Antal tillg˚angar el. dimensionalitet

4.1 Geometrisk korgoption

H¨ar presenteras resultatet av testerna f¨or den geometriska korgoptionen.

F¨orst presenteras ett urval optionspriser f¨or olika tillg˚angspriser; d¨arefter visas ett urval av genomsnittliga exakta optionspriser; de fyra sista tabeller- na utg¨or R2-v¨arden och felm˚atten som diskuteras i metodavsnittet.

Tabell 1: Optionsv¨arden f¨or geometrisk korgoption. Visar exakta priser f¨or geometrisk korgoption med tid till l¨osen 1 och riskfri r¨anta r = 3%, f¨or olika l¨osenpris (K), antal underliggande tillg˚angar (N)och pris p˚a under- liggande tillg˚angar (Tillg˚angspris) vid optionens startpunkt. Samtliga av tillg˚angarna har samma pris. V¨ardena ¨ar avrundade till 3 decimaler, f¨orutom v¨ardet d˚a blivit 0.

Tillg˚angspris

N K 50 70 100 130 150

50 5.06 20.840 49.923 79.446 99.134 2 100 0.012 0.6968 10.121 32.611 51.094 120 0.001 0.115 3.717 18.399 33.927 50 4.475 20.332 49.402 78.776 98.361 3 100 0.004 0.426 8.949 31.510 50.132 120 1E-4 0.050 2.847 16.916 32.550 50 4.165 20.083 49.144 78.443 97.976 4 100 0.002 0.311 8.330 30.962 49.666 120 4E-5 0.029 2.413 16.136 31.855

Priset ¨okar med l¨agre l¨osenpris och h¨ogre startv¨arde p˚a underliggande tillg˚angen, d˚a det ¨ar en k¨opoption. Med fler underliggande tillg˚angar minskar priset.

Detta beror p˚a att optionens utbetalning ges av tillg˚angarnas geometriska medelv¨arde, s˚a fler tillg˚angar ger samma effekt som diversifiering. Den re- lativa effekten som fler tillg˚angar ger ¨ar st¨orre f¨or l˚agt startpris och h¨ogt l¨osenpris, allts˚a d¨ar priserna ¨ar som l¨agst.

Tabell 2: Genomsnittligt exakt pris f¨or geometrisk korgoption. Visar me- delv¨ardet och (±) standardavvikelsen f¨or optionsprisf¨ordelningens me- delv¨arde, prissatt med analytisk metod, baserat p˚a 10 upps¨attningar av sce- narion. Resultatet visas f¨or olika delar (Del) av prisf¨ordelningen: de 250 l¨agsta priserna, de 250 h¨ogsta samt resten av priserna. Optioner som anv¨ants har olika l¨osenpris (K) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar), medan de yttre scenariona som anv¨ants har olika tidsspann (τ ).

Antal tillg˚angar

K Del τ 2 3 4

1 50.726 ± 0.283 49.755 ± 0.155 49.293 ± 0.109 Mitten 3 52.622 ± 0.340 50.690 ± 0.369 49.768 ± 0.300 6 55.945 ± 0.531 52.557 ± 0.656 50.940 ± 0.455 1 9.297 ± 0.261 11.035 ± 0.280 12.170 ± 0.531 50 P2.5 3 0.679 ± 0.074 1.069 ± 0.122 1.381 ± 0.123 6 0.010 ± 0.002 0.019 ± 0.004 0.029 ± 0.004 1 123.029 ± 1.656 112.753 ± 1.453 107.721 ± 1.410 P97.5 3 206.868 ± 3.410 181.800 ± 1.855 169.086 ± 1.973 6 317.534 ± 4.486 268.676 ± 7.540 250.045 ± 3.861 1 13.647 ± 0.152 11.945 ± 0.166 11.069 ± 0.059 Mitten 3 18.961 ± 0.339 16.535 ± 0.360 15.167 ± 0.248 6 25.470 ± 0.443 21.558 ± 0.380 19.666 ± 0.505 1 0.080 ± 0.009 0.071 ± 0.005 0.064 ± 0.006 100 P2.5 3 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 6 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 74.868 ± 1.302 65.045 ± 1.248 59.621 ± 0.911 P97.5 3 155.635 ± 4.199 132.166 ± 3.060 120.016 ± 1.891 6 269.064 ± 6.494 220.838 ± 5.278 199.886 ± 7.295 1 6.778 ± 0.110 5.362 ± 0.069 4.606 ± 0.089 Mitten 3 11.930 ± 0.248 9.584 ± 0.144 8.327 ± 0.116 6 18.315 ± 0.445 14.542 ± 0.352 12.989 ± 0.247 1 0.009 ± 0.001 0.006 ± 0.001 0.005 ± 0.000 120 P2.5 3 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 6 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 0.000 ± 0.000 1 55.866 ± 1.285 45.902 ± 1.554 41.029 ± 0.847 P97.5 3 136.643 ± 2.781 112.493 ± 1.952 100.645 ± 2.563 6 249.498 ± 6.231 201.000 ± 6.263 181.048 ± 5.110

Tabellen f¨oljer de effekter som parametrarna f¨orv¨antas ha enligt Tabell 1.

Med l¨agre optionspriser f¨or h¨ogre l¨osenpris och fler tillg˚angar. L¨angre yttre scenarion ger h¨ogre priser d˚a tillg˚angspriserna f¨orv¨antas v¨axa med riskfria r¨antan, p˚a 3%, och optionspriset drar ¨aven nytta av den potentiella sprid- ningen f¨or underliggande tillg˚angarna, som l¨angre tidsspann ger.

Den ¨ovre delen av prisf¨ordelningen, P_97.5, p˚averkas mest av parametrarnas effekter och v¨axer s˚aledes snabbare vid l¨angre tidshorisont, medan priserna sjunker mer med fler tillg˚angar.

Den nedre delen av prisf¨ordelningen, P2.5, f˚ar en omv¨and p˚averkan av yttre scenarionas tidsl¨angd. Detta beror p˚a att priserna som ligger i denna del av f¨ordelningen ¨ar de som sjunkit ¨over tiden. Vid de tv˚a l¨angre tidshorisonterna, f¨or de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna visar tabellen p˚a priser som ligger p˚a 0. Dock s˚a ¨ar dessa ej exakt 0 utan endast s˚a sm˚a att de avrundas till detta, vid avrundning till 3 decimaler.

Tabell 3: R²-v¨arden f¨or geometrisk korgoption. Visar medelv¨arde och (±) standardavvikelse f¨or R²-v¨arden, ber¨aknade med 10 upps¨attningar tr¨anings- (Tr¨aning) och valideringsscenarion (Validering), f¨or geometrisk korgop- tion med olika l¨osenpris (K), tidsl¨angder f¨or yttre scenarion (τ ) och antal tillg˚angar (Antal tillg˚angar). Avrundning till 3 decimaler.

Antal tillg˚angar

2 3 4

K τ Tr¨aning Validering Tr¨aning Validering Tr¨aning Validering 1 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 50 3 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 0.999 ± 0.001 0.998 ± 0.004 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 6 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 1.000 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.001 1 0.995 ± 0.000 0.995 ± 0.000 0.994 ± 0.002 0.994 ± 0.002 0.995 ± 0.001 0.994 ± 0.002 100 3 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.998 ± 0.000 0.998 ± 0.000 0.997 ± 0.001 0.995 ± 0.005 6 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.997 ± 0.000 0.998 ± 0.001 0.996 ± 0.001 0.994 ± 0.007 1 0.991 ± 0.000 0.991 ± 0.000 0.989 ± 0.001 0.989 ± 0.001 0.988 ± 0.001 0.988 ± 0.001 120 3 0.992 ± 0.020 0.990 ± 0.025 0.996 ± 0.000 0.996 ± 0.001 0.978 ± 0.051 0.974 ± 0.067 6 0.999 ± 0.000 0.999 ± 0.000 0.995 ± 0.003 0.979 ± 0.036 0.994 ± 0.000 0.991 ± 0.008

R²-v¨ardena f¨or tr¨aningsm¨angderna uppvisar genomg˚aende h¨oga v¨arden, vil- ket tyder p˚a att LSMC:s regressionsfunktion har kunnat anpassa sig efter de v¨arden som anv¨andes f¨or att best¨amma dess parametrar. F¨or det l¨agsta l¨osenpriset ¨ar effekten som antalet tillg˚angar ger n˚agot otydlig. Vid de tv˚a h¨ogre l¨osenpriserna ¨ar effekten n˚agot tydligare, d¨ar ger h¨ogre dimensiona- litet n˚agot l¨agre v¨arden. Yttre scenariots tidsl¨angd verkar inte ha en klar p˚averkan, medan h¨ogre l¨osenpris tycks f¨ors¨amra R²-v¨ardena.

R²-v¨ardena baserade valideringsm¨angderna, allts˚a underliggande v¨arden som inte anv¨andes vid anpassning av regressionsfunktionens parametrar, f¨oljer, f¨or det mesta, samma m¨onster som tr¨aningsm¨angdernas motsvarande v¨arden.

Vid m˚anga instanser skiljer sig v¨ardena inte ˚at tillr¨ackligt ens vid den tred- je decimalen. Som mest skiljer sig v¨ardena med 16 tusendelar (K = 120, τ = 6, N = 3) och vid ett tillf¨alle ¨overtr¨affar valideringsm¨angdernas v¨arde tr¨aningsm¨angdernas (K = 100, τ = 6, N = 3).

Vid tv˚a tillf¨allen har b˚ade tr¨anings- och valideringsm¨angdernas R²-v¨arden kraftigt f¨orh¨ojda standardavvikelser, f¨or tv˚a och fyra tillg˚angar, K = 120, τ = 3. I fallet med fyra tillg˚angar hittas b˚ada m¨angdernas l¨agsta v¨arden.