0 100 200 300 400
9.0 9.2 9.4 9.6 9.8 10.0
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04
STOCKHOLMSPRISLOG AFVGENERALIND
Figur 10: Utveckling för Affärsvärldens Generalindex samt logaritmerat småhuspris 1995:01-2004:12.
4.4 Principalkomponentanalys
För att undersöka huruvida gemensamma viktade variabler för statsobligationsräntan och de finansiella indexen kan förklara småhuspriser utförs fyra regressioner med principalkomponent-analys (PCA). I det första testet används 5 års statsobligationsränta, OMXS30 och Affärsvärldens fastigheter. Motiveringen till det är att statsobligationsräntan och OMXS30 har en tydlig koppling till småhuspriser enligt Stock-flow modellens avkastnings- och förmögenhetsfaktorer.
Affärsvärldens Fastighet har valts ut av intuitiva skäl p.g.a. en naturlig koppling mellan fastighets och småhusmarknaden.
I tabell 4 (sid. 25) visas resultatet av principalkomponentgenereringen. Raden för förklarad varians visar att den första principalkomponenten som genererats förklarar mer än 50 procent av total variation. Komponent 2 förklarar nästan en tredjedel av total variation. Det innebär att de två första koefficienterna förklarar nästan 90 procent av variationen, vilket framgår av värdet 0,871 för kumulativ förklarad varians. Nedre delen av tabell 4 visar faktorviktningen för de ingående variablerna. Faktorvikt 1 motsvarar komponent 1 och så vidare. Som tidigare nämnts i teoriavsnitt 2.2.3 summerar faktorvikterna för varje principalkomponent till 1 om de kvadreras
(reservation för att data i tabell 4 avrundats till tre decimaler). Faktorvikten för obligationsräntan i principalkomponent 1 visar att en enhets ökning av obligationsräntan, allt annat lika, minskar värdet på komponent 1 med -0,687. Övriga faktorvikter tolkas på motsvarande sätt. Faktorvikt 1 visar tydligt att 5 års obligations ränta och Affärsvärldens Fastighetsindex har störst inverkan på komponent 1.
Tabell 4: Principalkomponenter för 5 års obligationsränta, OMXS30 och Affärsvärlden Fastigheter. 1995:01-2004:12.
Komponent 1 Komponent 2 Komponent 3
Egenvärde 1,693 0,920 0,387
Förklarad varians 0,564 0,307 0,129
Kumulativ förklarad varians 0,564 0,871 1
Faktorvikt 1 Faktorvikt 2 Faktorvikt 3
5 år obligationsränta -0,678 -0,150 0,719
OMXS30 0,337 -0,934 0,122
Afv Fastigheter 0,653 0,325 0,684
Som tidigare nämnts förklarar komponent 1 och 2 nästan 90 procent av variationen. Därför väljs komponent 1 och 2 ut för att estimera ett regressionssamband med småhuspriser.
Estimationsresultatet i tabell 5 visar att koefficienten för principalkomponent 2 inte är signifikant skild från noll på femprocentsnivån. Förklaringsgraden på 0,765 innebär att regressionen förklarar 76,5 procent av variationen i småhuspriser. Jarque-Beras p-värde på 0,097 innebär att nollhypotesen att residualerna är normalfördelade inte förkastas på 5 procents signifikansnivå.
Tabell 5: Estimationsresultat av regression för småhuspriser med principalkomponenter. 1995:01-2004:12.*
Variabler Koefficient Standardfel t-värde P-värde
Komponent 1 0,205 0,017 11,848 0,000
Komponent 2 -0,034 0,021 -1,580 0,117
Konstant 9,582 0,030 320,600 0,000
Förklaringsgrad (R2-adjusted) 0,765 172,847
0,000
Durbin-Watson 0,167 4,657
0,097 (P-värde)
F-statistika (p-värde) Jarque-Bera
* Justerat för heteroskedasticitet och autokorrelation med Newey-West.
För att undersöka stabiliteten för principalkomponenternas koefficienter genomförs test med rekursiva estimat. Som illustreras i figur 11 (sid. 26) visar rekursiva estimat för båda principalkomponenterna att koefficienterna inte är stabila. För principalkomponent 2 sker en kraftig förändring under 1999. Det bekräftas med Chows test där nollhypotesen vid tidpunkten
1999:06 angående stabila koefficienter över tiden förkastas på 1 procents signifikansnivå. De rekursiva estimatens instabilitet samt en icke signifikant koefficient för komponent 2 visar att modellens användbarhet är begränsad.
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Prin cipalkom ponent 1 ± 2 S.E.
-.2
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Princi palkom ponent 2 ± 2 S.E.
Figur 11: Rekursiva estimat för principalkomponent 1 och 2.
Principalkomponenter genereras även utifrån AFGX, OMXS30, SIX Portfolio samt SIX Return Portfolio. Samtliga marknadsindex har valts ut för att det bör finnas ett starkt beroende mellan dem, som gör det möjligt att erhålla hög förklarad varians med en principalkomponent. Som framgår i avsnitt 3.2 skiljer sig indexen något vad gäller viktbegränsningar, inkluderade företag samt justering för utdelningar. Det är faktorer som eventuellt kan öka förklaringen då principalkomponenter används istället för ett enskilt index. I tabell 6 framgår att principalkomponent 1 förklarar 96,9 procent av den totala variansen. Faktorvikt 1 visar att marknadsindexens inverkan på komponent 1 är jämt fördelad. Det innebär att sambandet mellan marknadsindexen är så starkt att principalkomponentanalys inte ger någon ytterligare förklaring av betydelse.
Tabell 6: Principalkomponenter för AFGX, OMXSX30, SIX Portfolio samt SIX Return Portfolio. 1995:01 -2004:12.
Komp 1 Komp 2 Komp 3 Komp 4
Förklarad varians 0,969 0,019 0,010 0,003
Kumulativ förklarad varians 0,969 0,988 0,997 1,000
Fv 1 Fv 2 Fv 3 Fv 4
AFGX -0,496 -0,686 -0,531 -0,045
OMXS30 -0,501 -0,221 0,718 0,429
SIX Portfolio -0,504 0,259 0,205 -0,798
SIX Return Portfolio -0,498 0,643 -0,401 0,421
Den höga förklaringsgraden för komponent 1 innebär att en principalkomponent är tillräckligt för att estimera ett regressionssamband med huspriser. Resultatet av regressionen presenteras i tabell 7. Koefficienten för komponent 1 är signifikant skild från noll på femprocentsnivån. Den låga förklaringsgraden (0,144) indikerar att det linjära sambandet mellan komponent 1 och småhuspriser är svagt. Jarque-Beras normalitetstest förkastar nollhypotesen att residualerna är normalfördelade på 1 procents signifikansnivå.
Tabell 7: Estimationsresultat av regression för småhuspriser med principalkomponenter. 1995:01-2004:12*
Variabler Koefficient Standardfel t-värde P-värde
Komponent 1 -0,059 0,028 -2,129 0,036
Konstant 9,582 0,060 159,106 0,000
Förklaringsgrad (R2-adjusted) 0,144 18,067
0,000
Durbin-Watson 0,0238 12,242
0,002 F-statistika
(p-värde) Jarque-Bera
(P-värde)
* Justerat för heteroskedasticitet och autokorrelation med Newey-West.
Rekursiva estimat för principalkomponent 1 illustreras i figur 12. Koefficienten uppvisar inga tecken på stabilitet med tiden. Det bekräftas av Chows test för tidpunkten 1999:12 som ger signifikant resultat på enprocentsnivån. Den låga förklaringsgraden och signifikant resultat för Jarque-Bera innebär i kombination med en instabil koefficient för komponent 1 att modellen kan betraktas som oanvändbar.
-.12 -.08 -.04 .00 .04
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Principalkomponent 1 ± 2 S.E.
Figur 12: Rekursiva estimat för principal komponent 1.
Det är möjligt att ett lågt antal principalkomponenter utifrån Affärsvärldens samtliga nio branschindex kan uppvisa ett stabilt samband med småhuspriser. Det är uppenbart att branschindexen innehåller olika företag, vilket emellertid inte behöver innebära att branscherna är oberoende av varandra. En betydande förekomst av beroende mellan branschindexen kommer att generera få principalkomponenter som förklarar en stor del av total varians. Resultatet av komponentgenereringen presenteras i tabell 8. Av tabellen framgår att 86,8 procent av den totala variansen förklaras av komponent 1 och 2. Komponenterna 3-9 har enskilt låga förklaringsvärden, vilket innebär att de har liten påverkan på den totala variansen. Enligt den gräns på 0,5 som tidigare nämnts för att urskilja faktorvikter med stor betydelse kan ingen av faktorvikterna enskilt betecknas ha stor betydelse för komponent 1.
Tabell 8: Principalkomponenter för Affärsvärldens nio branschindex 1995:01-2004:12.
Komp 1 Komp 2 Komp 3 Komp 4 Komp 5 Komp 6 Komp 7 Komp 8 Komp 9
Förklarad varians 0,595 0,273 0,059 0,039 0,015 0,008 0,005 0,004 0,002
Kumulativ förklarad varians 0,595 0,868 0,927 0,966 0,982 0,989 0,994 0,998 1,000
Fv 1 Fv 2 Fv 3 Fv 4 Fv 5 Fv 6 Fv 7 Fv 8 Fv 9
Råvaror -0,153 0,563 0,236 -0,031 0,650 -0,050 -0,030 -0,419 0,025
Industri -0,362 0,141 0,514 -0,518 -0,231 0,122 0,322 0,236 -0,299
Konsumtionsvaror -0,322 0,314 0,318 0,619 -0,192 0,032 -0,213 0,402 0,262
Hälsovård -0,344 0,261 -0,524 -0,271 -0,044 0,479 -0,465 0,102 -0,084
Finans -0,416 0,022 -0,093 -0,204 -0,425 -0,512 -0,106 -0,425 0,377
IT -0,233 -0,498 0,341 0,149 -0,016 0,553 -0,129 -0,478 0,093
Telekommunikation -0,357 -0,336 0,026 0,148 0,229 -0,417 -0,362 0,077 -0,612
Media och underhållning -0,337 -0,364 -0,095 -0,202 0,501 -0,046 0,169 0,398 0,514
Tjänster -0,393 0,056 -0,412 0,385 -0,025 0,095 0,668 -0,152 -0,214
Då över 85 procent av den totala variansen förklaras av principalkomponent 1 och 2 estimeras ett regressionssamband med två principalkomponenter mot småhuspriser. Resultatet av regressions-sambandet presenteras i tabell 9 (sid. 29). Koefficienterna för båda principalkomponenterna är signifikant skilda från noll. F-statistikans p-värde visar att principalkomponenterna simultant är signifikant skilda från noll. Förklaringsgraden är något högre jämfört med den estimering som gjorts med principalkomponenter genererade av 5 års obligationsränta, OMXS30 och Affärsvärlden Fastigheter (se tabell 5). Enligt Jarque-Bera förkastas ej nollhypotesen om normalfördelade residualer på 5 procents signifikansnivå.
Tabell 9: Estimationsresultat av regression för småhuspriser med principalkomponenter. 1995:01-2004:12.*
Variabler Koefficient Standardfel t-värde P-värde
Komponent 1 -0,075 0,010 -7,846 0,000
Komponent 2 0,138 0,015 9,222 0,000
Konstant 9,582 0,025 384,867 0,000
Förklaringsgrad (R2-adjusted) 0,818 244,250
0,000
* Justerat för heteroskedasticitet och autokorrelation med Newey-West.
Figur 13 illustrerar rekursiva estimat för komponenternas koefficienter. Komponent 1 uppvisar med tiden en stabil koefficient. Koefficienten för komponent 2 varierar över tiden. Chows test för tidpunkten 2000:01 bekräftar på 1 procents signifikansnivå att koefficienterna är instabila. I likhet med tidigare modeller är instabiliteten för koefficienterna ett hinder för att modellen ska förklara småhuspriser.
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Prin cipalkomponent 1 ± 2 S.E.
-.2
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Princi palkomponent 2 ± 2 S.E.
Figur 13: Rekursiva estimat för principalkomponent 1 och 2.
Det är rimligt att det finns ett starkt beroende mellan statobligationsräntans två löptider och det samma kan vara fallet mellan OMXS30 och Affärsvärldens tyngre branschindex eftersom de bl.a.
utgörs av stora företag som inkluderas i OMXS30. Samtidigt bör det finnas en viss skillnad i vad ovan nämnda variabler förklarar. Därför skapas principalkomponenter med 3 månaders obligationsränta, 5 år obligationsränta, OMXS30 samt Affärsvärldens branschindex för Finans, Telekommunikation och Industri som redovisas i tabell 10. Där framgår att tidigare mönster
upprepas då komponent 1 och 2 förklarar större delen av totala variansen. Faktorvikt 1 visar ingen markant skillnad för variablernas inverkan på komponent 1.
Tabell 10: Principalkomponenter för3 mån obligationsränta, 5 år obligationsränta, OMXSX30, Affärsvärldens branschindex för Finans, Telekommunikation och Industri. 1995:01 -2004:12.
Komp 1 Komp 2 Komp 3 Komp 4 Komp 5 Komp 6
Förklarad varians 0,635 0,274 0,055 0,031 0,005 0,001
Kumulativ förklarad varians 0,635 0,909 0,963 0,994 0,999 1,000
Fv 1 Fv 2 Fv 3 Fv 4 Fv 5 Fv 6
3 mån obligationsränta 0,318 0,573 0,002 0,620 0,430 0,032
5 år obligationsränta 0,306 0,574 -0,472 -0,350 -0,480 -0,036
OMXS30 -0,455 0,347 0,174 -0,113 0,096 -0,788
Finans -0,488 0,102 -0,001 0,579 -0,623 0,168
Telekommunikation -0,394 0,456 0,347 -0,379 0,187 0,582
Industri -0,453 -0,065 -0,792 0,018 0,391 0,103
Regressionssambandet med komponent 1 och 2 som förklarande variabler mot småhuspriser presenteras i tabell 11. Samtliga koefficienter är signifikant skilda från noll på 1 procents signifikansnivå. Modellens giltighet bekräftas av att F-statistikan är signifikant på enprocentsnivån. 52,3 procent av variationen i småhuspriser förklaras av regressionssambandet.
Jarque-Beras nollhypotes att residualerna är normalfördelade förkastas på 5 procents signifikansnivå.
Tabell 11: Estimationsresultat av regression för småhuspriser med principalkomponenter. 1995:01-2004:12*
Variabler Koefficient Standardfel t-värde P-värde
Komponent 1 -0,091 0,015 -6,018 0,000
Komponent 2 -0,107 0,022 -4,764 0,000
Konstant 9,582 0,044 217,139 0,000
Förklaringsgrad (R2-adjusted) 0,523 60,199
0,000
Durbin-Watson 0,072 6,870
0,032 F-statistika
(p-värde) Jarque-Bera
(P-värde)
* Justerat för heteroskedasticitet och autokorrelation med Newey-West.
Rekursiva estimat för modellens koefficienter illustreras i figur 14 (sid. 31). Komponent 1 uppvisar mer stabilitet än komponent 2. Chows test för instabilitet ger ett signifikant resultat på enprocentsnivån för tidpunkten 1998:12. Resultatet av rekursiva estimat samt Chows test förstärker modellens begränsade användbarhet som framträtt i form av en svag förklaringsgrad jämfört tidigare regressioner.
-.12 -.08 -.04 .00 .04 .08
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Prin cipalkom ponent 1 ± 2 S.E.
-.15 -.10 -.05 .00 .05 .10 .15
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Princi palkom ponent 2 ± 2 S.E.
Figur14: Rekursiva estimat för principal komponent 1 och 2
Principalkomponetanalys har visat att det är möjligt att minska antalet förklarande variabler genom att generera viktade komponenter. I samtliga fall förklarar 1 eller 2 komponenter en stor del av den totala variansen. För marknadsindexen förklarar komponent 1 nästan hela den totala variansen, vilket får antas bero på att det finns ett starkt beroende mellan de ingående marknadsindexen. Hög förklaringsgrad uppvisas av två regressionssamband. Regressions-sambandens principalkomponenter har genererats med 5 års obligationsränta, OMXS30 samt Affärsvärlden Finans respektive Affärsvärldens samtliga branschindex. Som nämnts valdes 5 års obligationsränta, OMXS30 ut med tanke på att de bör ha en inverkan på småhuspriser enligt Stock-flow modellens nettoavkasnings- samt förmögenhetseffekt. Affärsvärldens Fastighetsindex valdes ut på rent intuitiv grund samt att det är en intressant variabel då småhuspriser studeras.
Enligt regressionssambandet är emellertid koefficienten för komponent 2 inte signifikant skild från 0. Det innebär att komponent 2 inte med statistisk säkerhet kan sägas förklara småhuspriser.
Affärsvärldens branschindex genererar dock komponenter som i den estimerade regressionen är signifikant skilda från 0. Rekursiva estimat samt Chows test visar emellertid att koefficienterna för alla genererade komponenter är instabila för samtliga fyra regressionssamband. Implikationen av resultaten är att genomförda regressioner inte påvisar ett stabilt samband när det gäller att förklara småhuspriser.
5 Slutord
Kapitel 5 sammanfattar uppsatsen. Övergripande resultat och slutsats av studien presenteras.
Till sist ges förslag på vidare forskning inom ämnet.