För att kunna använda modellen i praktiken måste parametrarna skattas. Beta väljs oftast till 0, 0.5 eller 1 beroende på vilken fördelning man tror att den underlig-gande tillgången följer. I denna uppsats kommer jag att göra tre olika parameter-skattningar där beta i tur och ordning sätts till ovanstående värden. Enligt Hagan et al. är prediktionsförmågan hos modellen god oavsett val av beta. Jag har hämtat inspiration från [3] när det gäller att rita figurer över hur parametrarna påverkar volatiliteten. Skillnaden mellan [3] och min uppsats är att jag försöker gå lite dju-pare in på matematiken bakom figurerna.
Figur 3.1 ger en uppfattning om hur volatiliteten påverkas av beta, vilken tycks stödja påståendet att olika värden på beta då övriga variabler hålls konstanta ger likartade resultat. Störst är skillnaden då optionen är djupt in-the-money och djupt out-of-the-money. Runt at-the-money spelar värdet på beta mindre roll eftersom olika värden på beta här ger snarlika värden på volatiliteten.
50 60 70 80 90 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.21 beta=1 beta=0.5 beta=0
Figur 3.1: Betas inverkan på den implicita volatiliteten.
I figur 3.2 och 3.3 illustreras hur volvol och rho påverkar den implicita volatiliteten som en funktion av inlösenpriset då övriga variabler hålls konstanta.
I figur 3.2 ser man tydligt att ett högre värde på volvol resulterar i en starkare krökning. Positiva värden på rho ger ett smile medan att negativt värde ger ett skevt leende. Figur 3.4 visar en tredimensionell plot över parametrarnas inverkan på volatiliteten.
50 60 70 80 90 100 110Inlösenpris 0.175 0.225 0.25 0.275 0.3 Volatilitet volvol=2 volvol=1 volvol=0.5
Figur 3.2: Volvols inverkan på den implicita volatiliteten.
50 60 70 80 90 100 110Inlösenpris 0.15 0.25 0.3 0.35 Volatilitet rho=0.5 rho=0 rho=-0.5
Figur 3.3: Rhos inverkan på den implicita volatiliteten.
Enligt figur 3.4 verkar det som att då ρ > 0 ökar svängningarna med volvol
medan svängningarna minskar med volvol dåρ < 0. På samma sätt verkar
svängningar-na öka med rho dåν > 0. Detta tycks även vara konsistent med övriga figurer.
Fig-ur 3.4 är dock inte helt enkel att förklara med rena matematiska argument. Det är rimligt att tro att den implicita volatiliteten, av både matematiska och ekonomiska skäl, kan förklaras avE[α · fβ−1], V ar[F (t)] eller möjligen E[log F (t)]. Men så
tycks inte vara fallet.
Från figurerna tycks det även verka som att då lösenpriset ligger nära rådande aktiepris ger olika värden på volvol ungefär samma värden på volatiliteten då rho hålls konstant vilket också är sant då volvol hålls konstant och rho varierar. Detta kan tyda på att modellen inte är så känslig för olika parametervärden då optionen är i närheten av att vara at-the-money. Det är när optionen är djupt in-the-money eller out-of-the-money som olika parametervärden ger märkbart olika resultat.
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ny
-0.5
0
0.5
Rho
0.2
0.25
0.3
0.35
Volatiliteten
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ny
Figur 3.4: 3Dplot över volvols och rhos inverkan på volatiliteten.
När det gäller alfa finns följande samband:
α = σAT M · f1−β
I beräkningarna har jag dock inte använt at-the-money volatiliteten för att räkna ut alfa utan istället har jag använt volatiliteten som jag fått fram med hjälp av Black & Scholes modell för respektive lösenpris. Anledningen till detta är att det helt enkelt ger bättre resultat.
Ett sätt att göra kalibreringen på är att utgå från en dags data och skatta parame-trarna utifrån denna. Jag har valt att använda data från den första mars. Skattningen är gjord i Mathematica. Jag definierar en funktion som beror på rho och ny och är lika med summan av de kvadrerade värdena av differensen mellan volatiliteten enligt SABR-modellen respektive Black & Scholes-modellen, det vill säga en form av minsta kvadratmetoden. För att hitta de värdena på rho och ny som minimerar felet används den inbyggda funktionen Minimize. Påν och ρ är följande
begrän-sningar satta:
−1 ≤ ρ ≤ 1
och
0 < ν < 10
I bilagan finns beräkningarna över parameterskattningen bifogade. Nedanstående figur visar felet som funktion av rho och volvol då beta är lika med en halv. Snarlika figurer erhålls då beta är lika med noll respektive ett.
-0.5 0 0.5 Rho 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ny 0 0.001 0.002 0.003 Felet -0.5 0 0.5 Rho
Figur 3.5: 3Dplot över felet.
Här framgår ingen tydlig minimipunkt vilket kan bero dels på att skattningen är baserad på få datavärden men figuren kan även vara något vilseledande. Dock framgår det tydligt att ytan är konvex och därmed finns inte problemet att det före-ligger flera lokala minimipunkter.
Eftersom z, x ochσSABRdefinieras som funktioner beroende av bland annat
β är det enkelt att ändra värdet på denna. Jag har gjort tre olika skattningar på
parametrarna för β lika med noll, en halv samt ett. Då beta är lika med ett blir
det skattade värdet på ny lika med noll, vilket ger Black & Scholes-modellen och därmed får man exakt de värden på volatiliteten som redan räknats fram under denna modell. Därmed kommer jag inte i nedanstående figurer och beräkningar att behandla fallet då beta är lika med ett.
Enligt Hagan et al. förändras värdet på volvol och rho inte nämnvärt över tiden utan beständigheten i en kalibrering varar upp till en månad. Därefter bör en ny parameterskattning göras. För att undersöka detta påstående har jag gjort parame-terskattningar baserade även på nionde dagens data.
För att kunna utvärdera och jämföra de båda modellerna har jag börjat med att räkna ut den implicita volatiliteten enligt respektive modells formel baserat på gårdagens data. Därefter har jag använt denna till att räkna ut optionspriset idag. Dessa beräkningar är gjorda i Excel. Nedan presenteras diagram över felet i pris-sättningen uttryckt i procent dag för dag. I diagram 3.6 till 3.9 är beta lika med noll, medan beta i diagram 3.10 till 3.13 är lika med en halv, allt annat är lika. Inlösen-priset på optionerna är i tur och ordning lika med 70, 75, 80 och 85. Vidare är från och med dag tio även felet baserat på den andra parameterskattningen medtaget och betecknas SABR2. Samtliga diagram är ritade i Mathematica.
För att kunna avgöra när respektive option är in-the-money eller out-of-the-money har aktiepriset plottats dag för dag i diagram 3.14.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -15 -10 -5 5 Fel i procent SABR SABR2 BS
Figur 3.6: Diagram över felet dag för dag, K=70.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -20 -10 10 20 Fel i procent SABR SABR2 BS
Figur 3.7: Diagram över felet dag för dag, K=75.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -20 -10 10 20 30 40 Fel i procent SABR SABR2 BS
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -50 -25 25 50 75 100 125 Fel i procent SABR SABR2 BS
Figur 3.9: Diagram över felet dag för dag, K=85.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -15 -10 -5 5 Fel i procent SABR SABR2 BS
Figur 3.10: Diagram över felet dag för dag, K=70.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -20 -10 10 20 Fel i procent SABR SABR2 BS
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -20 -10 10 20 30 40 Fel i procent SABR SABR2 BS
Figur 3.12: Diagram över felet dag för dag, K=80.
2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid -50 -25 25 50 75 100 Fel i procent SABR SABR2 BS
Figur 3.13: Diagram över felet dag för dag, K=85.
5 10 15 20 Tid 74
76 78 Aktiepris
Kapitel 4
Resultat
Som framgår av figur 3.6 till 3.13 ger beta lika med noll och beta lika med en halv så gott som identiska resultat. Vidare bidrar en andra parameterskattning med mycket lite till att minska felet i prissättningen vilket är i linje med vad Hagan et al. påstår om kalibreringens beständighet.
Utifrån figur 3.14 som visar hur aktiepriset fluktuerat under mätperioden kan man se att optionen med lösenpris 70 hela tiden varit in-the-money eftersom ak-tiepriset inte någon gång sjunkit under 70, optionen med lösenpris 75 har från dag 6 till dag 18 varit in-the-money medan optionerna med lösenpris 80 respektive 85 varit out-of-the-money under hela perioden. Tittar man på felet i prissättning för de olika lösenpriserna framgår det tydligt att felet är som minst då K=70, ökar något då K=75 och är relativt stort för de båda andra lösenpriserna, vilket är ett väntat mönster eftersom osäkerheten kring prissättningen blir större här. Då optionen är out-of-the-money har den endast ett tidsvärde vilket gör att osäkerheten ökar.
Sammanfattningsvis prissätter båda modellerna optionerna som bäst då de är in-the-money och felet ökar snabbt ju längre out-of-the-money de kommer.
Ett annat mönster som tydligt framgår är att SABR-modellen i nästan samtliga fall överprissätter optionerna mer än Black & Scholes-modellen medan SABR-modellen underprissätter mindre än Black & Scholes-SABR-modellen.
Även om SABR-modellen ger något bättre resultat ger figurerna inte belägg för att påstå att SABR-modellen skulle prestera mycket bättre än Black & Scholes-modellen. För att vara mer exakt är SABR-modellen bättre i drygt 55 procent av fallen enligt beräkningar på de värden som figurerna baseras på, vilket är en marginell skillnad. Här har hänsyn tagits till hur stort felet är hos respektive mod-ell.
Kapitel 5
Diskussion
SABR-modellen är, jämfört med Black & Scholes-modellen, en relativt ny modell för att prissätta optioner. Modellen grundar sig inte i lika hög grad på verklighets-främmande antaganden, som exempelvis att det inte förekommer några skatter eller transaktionskostnader och dess formler är mer komplexa. Vidare tar modellen hän-syn till fenomenet volatility smile som observeras på marknaden. Trots detta ly-ckas jag inte med mina beräkningar visa att SABR skulle prestera mycket bättre än Black & Scholes-modellen. Nedan följer lite tankar om varför samt möjliga felkällor.
Det hade förmodligen blivit en större diskrepans mellan de olika modellerna om volatiliteten enligt Black & Scholes-modellen inte uppdaterats varje dag. An-ledningen till att jag inte räknat fram en volatilitet och sedan använt denna under en period längre än en dag är för att eftersom empirin visat att antagandet om konstant volatilitet inte stämmer så ser jag ingen anledning till att ändå göra det. Särskilt inte när det är så lätt att räkna ut en ny volatilitet. Vidare tycker jag det var intressant att testa huruvida SABR-modellen skulle lyckas bättre trots att Black & Scholes volatiliteten uppdateras varje dag. Resultatet blev att SABR var något bättre i sin prediktion även om det inte skilde mycket. Dock är det värt att notera att även en liten förbättring kan ha stor betydelse i dessa sammanhang.
Andra felkällor kan vara att ett annat forwardpris än det teoretiska jag använt mig av skulle ha använts i stället. Man kan ju tänka sig att det finns en viss skillnad mellan det teoretiska och det verkliga forwardpriset som kan bero på till exempel transaktionskostnader och att markanden inte är så effektiv som teorin antar. Vidare har en konstant ränta antagits under perioden vilket dock inte stämmer helt med verkligheten varför man skulle kunna tänkas använda en formel där hänsyn tas till en variabel ränta för att förbättra resultatet något. Det är även möjligt att det finns ett mer optimalt värde på beta.
Vidare grundas beräkningarna på ett relativt litet datamaterial vilket bidrar till att resultatet kan vara något missvisande. Man kan naturligtvis även ifrågasätta parameterskattningen. Det är mycket möjligt att det finns andra mer korrekta och effektiva sätt.
Ett annat sätt att få bättre resultat från SABR-modellen skulle kunna vara att vikta optionspriserna i förhållande till volymen med vilken de handlas, det vill säga de optioner som det handlas mycket med skulle bidra mer till parameterskattningen är de med låg handel i. Det skulle även vara intressant att korrigera modellen så som exempelvis Oblój föreslagit för att se om detta skulle bidra till en ökad precision hos modellen.
Eftersom volatiliteten som används för att räkna ut dagens optionspris baseras på gårdagens stängningskurs hade det förmodligen varit mer korrekt att använda dagens öppningskurs för den underliggande aktien istället för stängningskursen eftersom aktiekursen fluktuerar något under dagen, särskilt för ett företag som Er-icsson som har ett stort nyhetsflöde och en stor omsättning.
Tillsammans skulle ovanstående förslag till förbättringar kunna leda till bättre resultat än de som jag kommit fram till i denna uppsats.
Sammanfattningsvis erbjuder SABR-modellen ett intressant alternativ till Black & Scholes-modellen. Givet att man har ett datamaterial är parametrarna förhållan-devis enkla att skatta och inskrivna i ett datorprogram är formlerna lätthanterliga. Med datorns hjälp är det även lätt att utvärdera vissa av modellens egenskaper genom att rita figurer. Dock är det flera frågor angående dessa figurer som kvarstår. Exempelvis vore det intressant att fördjupa sig mer i hur rho och volvol påverkar den implicita volatiliteten och varför motsvarande 3Dplot ser ut som den gör. En annan intressant fråga är varför SABR underprissätter med mindre fel och över-prissätter med mer fel än Black & Scholes-modellen.
Litteraturförteckning
[1] Berestycki H., Busca J., Florent I. Computing the Implied Volatility in Stochastic Volatility Models. Com. Pure Appl. Math., pp. 1353-1371, 2004. [2] Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal
of Political Economy, Vol.81, pp. 637-59, 1973.
[3] Boqvist A., Sigurjonsson F. Utvärdering av SABR – Genom en fallstudie av indexoptioner. Stockholms universitet. 2006.
[4] Chambers D. R., Nawalkha S. K. An Improved
Approach to Computing Implied Volatility. 2001.
http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1336730
[5] Chance D. M., A Generalized Simple Formula to Compute the Implied Volatility. The Financial Review, Vol.31, pp. 859-867, 1996.
[6] Cont R., Tankov P. Financial Modeling with Jump Process. Chapman & Hall, 2010.
[7] Dewynne J., Howison S., Wilmott P. The mathematics of financial derivatives. Cambridge University Press, 1995.
[8] Hagan P. S., Kumar D., Lesniewski A. S., Woodward D. E. Managing Smile Risk. Wilmott Magazine, pp. 84-108, 2002.
[9] Hull J. C. Options, Futures, and Other Derivatives Seventh Edition. Prentice-Hall, Inc., 2008.
[10] MacBeth J., Merville L. An empirical examination of the Black & Scholes call option pricing model. Journal of finance No.34, pp 1173-1186, 1979. [11] Oblój J. Fine-Tune Your Smile – Correction to Hagan et al. Imperial College
London, 2008.
[12] Protter E. P. Stochastic Interation and Differential Equations. Springer, 2005. [13] Shreve S. E. Stochastic Calculus for Finance II – Continuous Time Models.
5.1 Elektroniska källor
[14] Kohler J. Implied Volatility: Buy Low and Sell High,
http://www.investopedia.com/articles/optioninvestor/08/implied-volatility.asp
[15] Nasdaq OMX Nordic,
http://www.nasdaqomxnordic.com/optionsandfutures/microsite?Instrument=SSE101, 2010
[16] Sveriges Riksbank,
Kapitel 6
Appendix
6.1 Härledning av Brenner-Subrahmanyahs formel
Nedan följer en härledning av Brenner-Subrahmanyahs formel. Inspiration till den-na har hämtats från [5].
Taylorutvecklingen av den kumulativa normalfördelningen är
N (x) = 1 2 + 1 √ 2π x −x 3 6 + x5 40 + ...
Denna substitueras in i Black & Scholes prisformel vilket ger:
c0 ≈ S0 1 2+ ln (S0/K) + rT + ˜σ2/2 √ 2π · ˜σ − ˜K 1 2 + ln (S0/K) + rT − ˜σ2/2 √ 2π · ˜σ Här är ˜K = Ke−rTochσ = σ˜ √
T . Notera även att endast de två första termerna i
Taylorutvecklingen har tagits med. Ovanstående formel kan skrivas om som
˜ σ2 S0 2 + ˜ K 2 ! + ˜σ S0 √ 2π 2 − K˜ √ 2π 2 − C0 √ 2π ! + S0(ln (S0/K) + rT ) − ˜K (ln (S0/K) + rT ) ≈ 0
som är ekvivalent med
˜
σ2S0+ ˜K+ ˜σ√
2πS0− ˜K − 2C0
+ 2S0− ˜K(ln (S0/K) + rT ) ≈ 0
Genom att manipulera med ˜K = Ke−rTfår man fram attrT = lnK/ ˜Kvilket insatt i ovanstående formel ger:
˜
σ2S0+ ˜K+ ˜σ√
2πS0− ˜K − 2C0
som är en vanlig andragradsekvation, vars största rot ges av ˜ σ ≈ − √ 2πS0− ˜K − 2C0 2S0+ ˜K + v u u u u t π 2 S0− ˜K − 2C0 2 S0+ ˜K2 − 2S0− ˜KlnS0/ ˜K S0+ ˜K
Sätter man nuS0= ˜K, det vill säga optionen är at-the-money reduceras ovanstående
uttryck till
˜
σ ≈√2π · Sc0
0
vilket är Brenner-Subrahmanyahs formel.