En kvantitativ undersökning av SABR-modellen

Examensarbete

Maria Sjöstrand 2010-06-28 Ämne: Matematik Nivå: C

En kvantitativ undersökning av SABR-

modellen

En kvantitativ undersökning av SABR-modellen

A quantitative examination of the SABR-model

Författare: Maria Sjöstrand

Sammanfattning

För att prissätta optioner är val av modell en viktig fråga. I denna kandidatuppsats beskrivs både Black & Scholes modell och SABR-modellen. Förstnämnda modell är enklare än SABR-modellen men bygger på antaganden som inte stämmer överens med verkligheten. Den ger heller inte någon explicit formel för den implicita volatiliteten och predikterar inte heller på ett korrekt sätt fenomenet volatility smile vilket observeras på marknaden.

Syftet med uppsatsen är att utvärdera prestandan hos SABR-modellen och

användarvänligheten, samt att undersöka lite av teorin bakom modellen och vissa av dess egenskaper. Till grund för beräkningarna ligger datamaterial hämtat från Nasdaq OMX Nordic.

Enligt mina beräkningar är resultatet att SABR-modellen endast presterar marginellt bättre än Black & Scholes-modellen. Dock kan även små förbättringar spela stor roll i dessa sammanhang.

Nyckelord

Option, Black & Scholes modell, SABR-modellen, volatility smile, implicit volatilitet.

En kvantitativ undersökning av SABR-modellen

A quantitative examination of the SABR-model

Författare: Maria Sjöstrand

Abstract

In order to price options the choice of model is an important issue. In this bachelor thesis both the Black & Schole model and the SABR-model is described. The first model is simpler than the SABR-model but relies on assumptions that are not consistent with reality. Further, the Black & Scholes model does not give an explicit formula for the implicit volatility, neither does it correctly predict the phenomena volatility smile which is observed in the marketplace.

The aim of this thesis is to evaluate the performance of the SABR-model and its user friendliness. Further, some of the theory behind the model is examined. The

calculations are based on data from Nasdaq OMX Nordic.

The result, according to my calculations, is that the SABR-model only performs slightly better than the Black & Schole model. However, even small improvements can be important in these contexts.

Keywords

Option, Black & Scholes model, SABR-model, volatility smile, implicit volatility.

Innehåll

1 Introduktion 2

1.1 Syfte och metod . . . 3

1.2 Avgränsning . . . 3

2 Black & Scholes 5 2.1 Teori . . . 5

2.2 Historisk och implicit volatilitet . . . 9

2.3 Volatility smile . . . 10

2.4 Chance’s approximation . . . 11

3 SABR-modellen 14 3.1 Bakgrund . . . 14

3.2 SABR-modellen . . . 16

3.3 Informell härledning av den implicita volatiliteten . . . 19

3.4 Parameterskattning . . . 21

4 Resultat 28 5 Diskussion 29 5.1 Elektroniska källor . . . 32

6 Appendix 33 6.1 Härledning av Brenner-Subrahmanyahs formel . . . 33

6.2 Itôs lemma . . . 34

7 Bilaga 36 7.1 Parameterskattning i Mathematica . . . 36

Kapitel 1

Introduktion

Optioner ger möjlighet att tjäna pengar både då börsen går upp och ner. En köpop- tion ger innehavaren rätten, men inte skyldigheten, att vid ett framtida förutbestämt datum, lösendagen, köpa den underliggande tillgången till ett givet pris, lösen- priset. En säljoption ger innehavaren rätten att istället sälja den underliggande till- gången enligt samma villkor. Det finns alltid två parter när det gäller en option, ut- ställaren och innehavaren. Innehavaren har ingen skyldighet att använda optionen, dock har utställaren skyldighet att köpa eller sälja den underliggande tillgången, beroende på om det är sälj- respektive köpoption, om innehavaren beslutar sig för att lösa in sin option. Innehavaren betalar utställaren en premie för denna rätt.

Det finns två typer av optioner, europeiska och amerikanska. En europeisk op- tion kan endast användas på lösendagen medan en amerikansk kan lösas in när som helst fram till lösendagen. En option har en så kallad hävstångseffekt vilket innebär att, givet en korrekt marknadstro, kan avkastningen från en option bli större än om investeringen hade gjorts direkt i den underliggande tillgången. Den underliggande tillgången kan vara till exempel aktier, valuta, råvaror och så vidare. I denna upp- sats kommer jag dock bara att fokusera på aktieoptioner.

I Sverige sker handeln med optioner på Stockholmsbörsen. Samtliga aktieop- tioner på den svenska marknaden är av amerikansk typ. Optioner handlas i kon- trakt, där ett kontrakt motsvarar 100 optioner. Normalt sett är 10 det minsta antal kontrakt man kan köpa, dock finns det undantag från denna regel vilket främst gäller för optioner med en hög omsättning. Optionskontrakten är standardiserade med avseende på underliggande vara, mängd, löptid och lösenpris. Inlösendatum är normalt lagd till den tredje fredagen i respektive slutmånad. En stor del av han- deln med optioner sker på andrahandsmarknaden och det är främst denna handel jag kommer att beakta i denna uppsats.

Premien som innehavaren av optionen betalar till utställaren är lika med optio- nens pris. Frågan hur man sätter detta pris är vad denna uppsats kommer att handla om. Det finns många olika prissättningsmodeller för optioner. Naturligtvis vill man ha en modell som sätter så korrekta priser som möjligt men den ska också vara nå- gorlunda lätt och tidseffektiv att implementera. Hur en option prissätts beror på om

det är en europeisk eller amerikansk option. En option av europeisk typ är lättare att prissätta då denna bara kan användas på inlösendagen. När det gäller en amerikan- sk option måste man dock ta med i beräkningen att den kan lösas in vilken dag som helst vilket gör värderingen mer komplicerad. Men om den underliggande aktien inte ger någon utdelning är det aldrig optimalt att lösa in en amerikansk köpoption i förtid¹varför värdet på optionen är detsamma som för en europeisk köpoption.

1.1 Syfte och metod

Denna uppsats handlar om Black & Scholes modell för att prissätta europeiska köpoptioner samt prissättning under SABR-modellen av europeiska köpoption- er. Första delen av uppsatsen utgörs av teori där matematik vävs samman med ekonomi för att skapa ett sammanhang mellan teorin och verkligheten och för att öka förståelsen för hur optioner värderas. Därefter går jag igenom lite av teorin bakom SABR-modellen samt hur den används för att prissätta optioner och sedan används detta till att göra beräkningar på verklig optionsdata. Med hjälp av dessa beräkningar görs slutligen en jämförelse mellan Black & Scholes modell och SABR- modellen för att se hur nära de teoretiska värdena hamnar de verkliga. Det görs även en utvärdering av användarvänligheten hos SABR-modellen.

Black & Scholes är enklare än SABR-modellen men empirin har visat att först- nämnda modell inte ger helt korrekta resultat. Därför är det intressant att ställa de båda modellerna mot varandra och se om den mer komplicerade SABR-modellen ger bättre resultat.

Syftet är att visa hur de båda modellerna faktiskt används i verkligheten, det vill säga hur man använder data i formlerna för att få fram användbara resultat samt att, baserat på samma data, undersöka vissa egenskaper hos SABR-modellen för att få en bättre förståelse för dess styrkor och svagheter. Resultaten här kommer främst att illustreras med hjälp av figurer ritade i Mathematica.

1.2 Avgränsning

I denna uppsats kommer jag endast att titta på köpoptioner då dessa är enklare att räkna på eftersom de kan behandlas som europeiska optioner. Vidare kommer jag

1Antag att en viss amerikansk köpoption är in-the-money, det vill säga aktiepriset är högre än lösenpriset. Om innehavaren av denna option planerar att behålla den underliggande aktien längre än återstående löptid för optionen är det inte optimalt att lösa in optionen. Den bästa strategin i detta läge är att behålla optionen fram till lösendagen och på så vis tjäna ytterligare ränta på de pengar som ska användas för att köpa de underliggande aktierna med. Dessutom skyddar man sig emot att aktiepriset faller under lösenpriset under den tid som är kvar av löptiden. Om optionsinnehavaren däremot vill sälja den underliggande aktien är det optimala att istället sälja optionen till någon som vill behålla aktien. En sådan investerare måste finnas eftersom det faktum att aktiepriset stigit tyder på en ökad efterfrågan på aktien i fråga. Detta innebär att priset på optionen kommer att vara större än dess ”inneboende” värde och därmed tjänar innehavaren mer på att sälja optionen än att lösa in den. Se Hull [8, s. 211 ff].

bara att titta på data för Ericsson B aktieoptioner på Stockholmsbörsen då dessa är de optioner som det handlas mest med vilket medför att de är relativt likvida.

Data för optionspriser är hämtad dagligen under mars månad 2010 från Nasdaq OMX Nordic. Då det för vissa lösenpriser förekommit låg eller ingen handel alls har jag valt att endast räknat på de optioner med ett lösenpris som varit mest likvida under perioden. Inlösendag för de optioner jag har använt mig av är 16:e april i år.

Anledningen till att jag inte tagit med data för april månad är att det då förekommer en utdelning i den underliggande aktien.

Räntan som används i beräkningarna är densamma som räntan för SSVX med tre månaders löptid och är hämtad från Riksbanken. Även om räntan har varierat något under den period jag studerat har jag använt samma värde på räntan i samtliga beräkningar då detta är ett av antagandena i Black & Scholes modell. Dock finns det formler där hänsyn tas till variabel ränta, se till exempel [7, s.102]. Om räntan är deterministisk är det triviala förändringar i formlerna men om räntan däremot är stokastisk blir förändringarna mer komplicerade.

Slutligen kommer jag huvudsakligen begränsa mig till att titta på SABR-model- len så som den är presenterad av Hagan et al i [8].

Kapitel 2

Black & Scholes

2.1 Teori

I början av 1970-talet presenterades Black Scholes modell, vilken gjorde det en- klare att räkna ut en options teoretiska pris. Sedan dess har andra mer avancerade och förbättrade modeller presenterats. Trots detta fungerar Black Scholes-modellen fortfarande som en måttstock på marknaden idag varför en förståelse för denna är ett första steg till att sätta sig in i hur optioner prissätts. Nedan presenteras de fem faktorer som påverkar optionspriset samt i vilken riktning dessa faktorer påverkar priset på en köpoption.

1. Nuvarande aktiepris, S (t) = S_t. Vinsten för en köpoption är skillnaden mellan aktiepriset och lösenpriset vilket innebär att värdet på en köpoption ökar om aktiepriset stiger och minskar om aktiepriset sjunker. Värdet på en köpoption på lösendagen vid tiden T är

M ax(ST − K, 0)

därS_T betecknar rådande aktiepris och K står för optionens lösenpris.

Värdet på en köpoption innan lösendagen ges av följande formel (se till ex- empel [13]):

e^{r(T −t)}E_6Q[max(S_T − K, 0) |ℑt]

Här betecknarE_6Q det förväntade värdet av köpoptionen givet den tillgäng- liga informationen vid tidpunkten t. Denna information kan till exempel ut- göras av historiskt aktiepris.6Q betecknar ett riskneutralt mått, vilket är ett konstruerat sannolikhetsmått där samtliga formler och väntevärden uttrycks med hjälp av detta. Under det riskneutrala måttet är den förväntade avkast- ningen hos den underliggande aktien vid en given tidpunkt lika med den riskfria räntan.

2. Optionens lösenpris K, det vill säga det pris optionen ger innehavaren rätten att köpa den underliggande aktien till. För en köpoption gäller att värdet minskar med ökande lösenpris.

3. Löptiden T. Längre löptid ger högre pris på en köpoption eftersom san- nolikheten att den underliggande tillgången är värd mer än lösenpriset på lösendagen ökar över tiden.

4. Volatilitetσ. Volatiliteten är ett statistiskt mått på osäkerhet. När det gäller aktier är volatiliteten ett mått på osäkerheten kring framtida fluktuationer i aktiepriset. Då volatiliteten stiger ökar chansen att aktiepriset ska stiga men även risken att det ska minska. Detta innebär att en hög volatilitet för en aktie innebär en högre risk. För en option är det däremot annorlunda. För in- nehavaren av en köpoption gäller att vinsten ökar med ett stigande aktiepris medan förlusten är begränsad till priset som betalats för optionen. Det med- för att priset på en köpoption stiger med ökad volatilitet.

5. Riskfria räntan r. Då räntan ökar tenderar även investerarnas förväntningar på avkastning på aktiemarknaden att stiga medan nuvärdet av framtida kon- tantflöden till optionsinnehavaren minskar. Tillsammans ger dessa båda ef- fekter att värdet på en köpoption ökar. Detta resonemang grundar sig dock på att räntan är den enda variabel som ändras medan övriga förblir samma som innan. Skulle en ränteförändring leda till att någon eller några variabler ändras kan påverkan på optionsvärdet bli en annan.

En sjätte faktor som påverkar optionspriset är förväntade utdelningar hos den underliggande aktien under optionens löptid, men då jag använder mig av data där det inte förekommer några utdelningar beaktar jag inte denna faktor och använder en formel där den underliggande aktien inte ger någon utdelning.

Vidare grundar sig Black & Scholes modell på en rad viktiga antaganden vilka presenteras nedan.

1. Den underliggande tillgångens pris följer en geometrisk brownsk rörelse¹ där den förväntade avkastningenµ och volatiliteten σ båda är konstanta.

2. Det är tillåtet att ta korta positioner i den underliggande tillgången. Att ta en kort position innebär att man lånar den underliggande tillgången och sedan säljer denna direkt.

3. Det förekommer inga transaktionskostnader eller skatter.

4. Det finns inga arbitragemöjligheter.

1En geometrisk Brownsk rörelse är en tidskontinuerlig stokastisk process som ofta används för att beskriva fluktuationer i aktiepris och där logaritmen för den slumpmässigt varierande processen är en Wienerprocess (se fotnot 3 för en förklaring av Wienerprocess).

5. Det går att låna till den riskfria räntan, r, vilken antas vara konstant under optionen löptid.

6. Handeln i underliggande tillgång är kontinuerlig.

En annan viktig aspekt i teorin är antagandet om hur aktiepriset rör sig. Om den naturliga logaritmen för en variabel är normalfördelad innebär detta att vari- abeln själv har en lognormal sannolikhetsfördelning. I Black & Scholes modell görs antagandet att avkastningen från en aktie är normalfördelad vilket medför att aktiepriset vid en given tidpunkt följer en lognormal sannolikhetsfördelning.

Den klassiska härledningen av Black & Scholes differentialekvation grundar sig på att konstruera en riskfri portfölj som består av en position i optionen och en position i den underliggande tillgången, vilken i denna uppsats är synonym med en aktie. Att konstruera en riskfri portfölj är möjligt då både optionspriset och ak- tiepriset påverkas av samma typ av osäkerhet, nämligen fluktuationer i aktiepriset.

Under ett kort tidsintervall är priset på optionen perfekt korrelerat med priset på den underliggande aktien vilket medför, givet en korrekt konstruerad portfölj, att vinsten på den ena positionen alltid exakt motsvaras av förlusten hos den andra po- sitionen. På så vis är det totala värdet hos portföljen vid slutet av det korta tidsin- tervallet känt med säkerhet. Värt att notera är dock att portföljen endast är riskfri under en infinitesimalt liten tidsperiod och för att den ska förbli riskfri måste posi- tionerna i optionen och aktien hela tiden justeras.

Enligt punkt ett ovan antas alltså aktiepriset, S, följa formeln

dS = µS dt + σS dz (2.1)

där z är en Wienerprocess² En klassisk härledning av priset på en köpoption är enligt följande. Antag att priset på en köpoption på S är c där c måste vara en funktion av S och tiden t, det vill säga c = c (t, S (t)). Vid löptiden t = T är optionsprisetc (T, S (T )) = max (S (T ) − K, 0). Skulle så inte vara fallet så är arbitrage möjligt. Om till exempelS (T ) < K och c (T, S (T )) < S (T )−K skulle man kunna köpa en option för prisetc (T, S (T )), med den köpa en aktie för priset K, för att omedelbart sälja den till prisetS (T ). Man har då tjänat S (T ) − K − c (T, S (T )) helt riskfritt, det vill säga utnyttjat en arbitragemöjlighet. För t < T kan Itôs lemma användas (för en förklaring av Itôs lemma se appendix) vilket ger

dc = ∂c

∂SµS +∂c

∂t+ 1 2

∂²c

∂S²σ²S²



dt + ∂c

∂SσS dz (2.2)

där z är samma Wienerprocess som förekommer i (2.1). Denna kan elimineras genom att konstruera en portfölj som är kort en option och innehåller _∂S^∂c antal

2En Wienerprocess är en stokastisk process vilken ofta används i finansiella tillämpningar. En process z är en Wienerprocess om förändringen i z under ett tidsintervall,∆t, är ∆z = ε√∆t där ε är en standardiserad normalfördelning och förändringen av∆z under två olika tidsintervall ∆t är oberoende. För ett fixt t gäller det att W(t) är normalfördelad, väntevärdet är noll samt variansen är lika med σ²t.

aktier. Att inneha en kort position innebär att man är utställare av optionskontraket.

LåtΠ beteckna värdet på portföljen, vilket per definition är Π = −c + ∂c

∂SS (2.3)

Portföljens värdeförändring,dΠ, under tidsintervallet dt ges av dΠ = −dc + ∂c

∂SdS (2.4)

Genom att substituera in (2.1) och (2.2) i ovanstående erhålls följande:

dΠ = − ∂c

∂SµS + ∂c

∂t+1 2

∂²c

∂S²σ²S²



dt − ∂c

∂SσS dz + ∂c

∂SµS dt + ∂f c

∂SσS dz

= −∂c

∂tdt −1 2

∂²c

∂S²σ²S²dt

=



−∂c

∂t− 1 2

∂²c

∂S²σ²S



dt (2.5)

Givet att det inte förekommer några arbitragemöjligheter måste värdeförän- dringen hos portföljen vara lika med den riskfria räntan:

dΠ = rΠdt (2.6)

Genom att substituera in (2.3) och (2.5) i ovanstående erhålls



−∂c

∂t− 1 2

∂²c

∂S²σ²S

 dt = r



−c + ∂c

∂SS

 dt vilket är ekvivalent med

∂c

∂t+ rS∂c

∂S +1

2σ²S∂²c

∂S² = rc

Denna ekvation är Black & Scholes berömda differentialekvation. Dess lösning är beroende av randvillkoret. När det gäller en europeisk köpoption är c = max(S-K, 0) då t = T. För en komplett lösning av ovanstående ekvation se till exempel [7, s.

76 ff].

Lösningen blir Black & Scholes prisformel för en europeisk köpoption:

c (t, S_t) = S_tN (d₁) − Ke^{−r(T −t)}N (d₂) där

d1 = ln(St/K) + (r + σ²/2) · (T − t) σ√

T − t och

d2 = ln(S_t/K) + (r − σ²/2) · (T − t) σ√

T − t

N(x) står för den kumulativa fördelningsfunktionen för den standardiserade nor- malfördelningen,S_tär aktiepriset vid tidpunkten t, K står för lösenpriset, r är den riskfria räntan,σ betecknar aktieprisets volatilitet och T står för tiden kvar till in- lösen. Samtliga av dessa variabler är lätta att observera förutom volatiliteten. Men för att ha någon praktisk nytta av modellen är det dock väsentligt att känna till denna.

Kritik som riktats mot denna modell består bland annat av att många av an- tagandena är brisfälliga. Vidare har empiriska studier på modellens förmåga att estimera korrekta optionsvärden gjorts. I en studie redan från 1979 gjord av Mac- beth och Merville, se [10], jämfördes marknadspriserna för köpoptioner med de teoretiska priser som modellen gav. Resultatet av denna studie var att Black & Sc- holes prisformel tenderar att underprissätta in-the-money³ optioner och överpris- sätta out-of-the-money⁴optioner där optionerna hade en löptid som understeg 90 dagar.

2.2 Historisk och implicit volatilitet

Ett sätt att uppskatta volatiliteten är att titta på historisk data och utifrån denna försöka uppskatta den framtida volatiliteten. Prissätter man optioner baserat på historisk volatilitet antar man alltså att volatiliteten, under optionens löptid, kom- mer att anta samma värden som den antagit under en tidigare observerad period.

Därmed blir det framräknade priset korrekt endast då den framtida volatiliteten sammanfaller med den historiska. Men eftersom volatiliteten ofta fluktuerar är an- vändandet av historisk volatilitet en otillräcklig metod för att estimera den framtida volatiliteten.

Ett bättre alternativ till historisk volatilitet är implicit volatilitet. Implicit volati- litet är den volatilitet som marknaden använder för att prissätta en option. Genom att utgå från en prissättningsmodell som exempelvis Black Scholes modell är den implicita volatiliteten den volatilitet som ger samma pris som marknadspriset för optionen. Det är alltså den volatilitet som är underförstådd i marknadspriset och därmed ett mått på marknadens syn på volatilitetens storlek för en viss aktie. Denna metod förutsätter att det finns en välfungerande optionsmarknad.

Utgår man ifrån Black Scholes modell är priset på en köpoption en strängt växande funktion av den underliggande aktiens volatilitet. Övriga parametrar som behövs enligt modellen för att räkna fram det teoretiska optionspriset antas vara korrekt bestämda. Om så är fallet kan man räkna fram den implicita volatiliteten utifrån en options observerade marknadspris. Antag en europeisk köpoption vid tidpunkten t med tidenτ = T-t kvar till inlösen, där T, betecknar optionens löptid

3Då en köpoption är in-the-money betyder det att lösenpriset understiger rådande aktiepris.

4Out-of-the money innebär för en köpoption att lösenpriset överstiger nuvarande aktiepris.

och det observerade marknadspriset betecknas medc^m_t . Den enda okända faktorn är nu volatiliteten. Låtσˆt beteckna den implicita volatiliteten. Man kan nu ställa upp följande ekvation:

c^m_t = StN (d1) − Ke^−rτN (d2)

därd1 ochd2 är funktioner avSt,τ , ˆσt,K och r. Den implicita volatiliteten, eller i detta sammanhang mer korrekt den marknadsbaserade Black Scholes implicita volatiliteten, är alltså det värde påσˆ_tsom insatt i formeln ovan ger det teoretiska pris som överensstämmer med marknadspriset på köpoptionen.

Premien på en option sätts huvudsakligen utifrån dess intrinsic value och tids- värdet. Intrinsic value, som fritt översatt betyder inneboende värde, är skillnaden mellan den underliggande aktiens nuvarande kurs och optionens lösenpris. Ak- tiepriset och lösenpriset är alltså de enda variabler som kan påverka optionens in- trinsic value. Tidsvärdet representerar tiden kvar till inlösen. Den implicita volatili- teten är den faktor som mest signifikant påverkar tidsvärdet. Optioner med hög volatilitet har högre premie än de optioner som har lägre volatilitet. Fluktuationer i den implicita volatiliteten bestämmer hur mycket tidsvärdet påverkar optionens pris. Varje listad option har en unik känslighet inför förändringar i den implicita volatiliteten. De optioner som är mest känsliga för förändringar är de som har ett lösenpris som är nära rådande aktiekurs. Då aktiepriset fluktuerar och tiden går förändras optionens känslighet. Som nämnts tidigare ger en längre löptid ett hö- gre pris på en köpoption. Ett effektivt sätt att analysera implicit volatilitet, som används av investerare, är att rita upp diagram över den implicita volatiliteten. Då den implicita volatiliteten förändras över tiden kan det vara informativt att plotta volatiliteten dag för dag. Implicita volatiliteten tenderar att röra sig i cykler. Peri- oder av hög volatilitet följs av perioder av låg volatilitet. Genom att studera ovan nämnda diagram kan man få en uppfattning om när optionen är relativt dyr och när den är relativ billig i förhållande till volatiliteten. Detta kan vara en hjälp på vägen till att hitta överprissatta respektive underprissatta optioner. Denna metod förutsät- ter naturligtvis att det finns en andrahandsmarknad för optionerna och att denna är likvid, det vill säga att det när som helst går att köpa eller sälja en viss option.

2.3 Volatility smile

I Black Scholes-modellen antas att volatiliteten är konstant. Detta innebär att om man plottar implicit volatilitet mot lösenpris skulle detta generera en horisontell linje parallell med x-axeln. I verkligheten observeras dock ett annat beteende, det så kallade volatility smile. Nyss nämnda plot resulterar alltså inte i en rät linje utan antar en form som liknar ett leende. Detta mönster har observerats under en län- gre tid och beroende på den underliggande tillgången antar leendet olika former.

Då det gäller aktieoptioner fanns inte detta fenomen innan aktiekraschen i USA 1987. Sedan dess uppvisas ett mönster som för aktieoptioner ibland refereras till som volatility skew istället för volatility smile, eftersom leendet som uppstår här är

skevt. För det mesta, dock inte alltid, är ordet skevhet reserverat för lutningen på den funktion man får fram då man plottar volatiliteten som en funktion av lösen- priset och ordet leende för dess kurvatur. Figuren nedan illustrerar hur det kan se ut.

72 74 76 78 80 82 84 Inlösenpris

0.18 0.19 0.21 0.22 0.23

Implicit volatilitet

Figur 2.1: Volatility smile för Ericsson B-optioner 19 mars 2010.

Figuren är baserad på data från en typisk handelsdag (typiskt är antalet likvida optioner på Stockholmsbörsen för Ericsson B bara fyra stycken under den studer- ade perioden) och uppvisar ett mönster som påminner om ett något skevt leende. En möjlig förklaring till detta fenomen, som fått visst stöd från empirin, är att traders är rädda för en ny krasch liknande den som inträffade 1987 och prissätter därför optioner annorlunda nu än man gjorde innan kraschen.

2.4 Chance’s approximation

För att kunna prissätta en option korrekt krävs det att man kan ta reda på den implicita volatiliteten. Utgår man ifrån Black & Scholes modell finns det dock ingen explicit formel förσ. Däremot finns det olika approximativa formler. Jag har valt att använda mig av en modifikation av Chance’s approximation (se [5] för en mer detaljerad beskrivning av Chance’s approximation) eftersom denna empiriskt har visar sig ge de mest korrekta resultaten bland andra explicita approximationer.

För att använda sig av denna formel behöver man först en formel för att ta reda på den implicita volatiliteten för en option som har ett lösenpris som överensstämmer med rådande aktiekurs, det vill säga optionen är at-the-money. För detta ändamål används den så kallade Brenner-Subrahmanyah-formeln:

σatm(t) = c_atm(t)√ 2π S√

T − t

därc_atm(t) betecknar priset på en at-the-money köpoption vid tiden t. Skattningen avσ_atmuppdateras med tiden varför den kan ses som en funktion av tiden. För en

härledning av denna formel se appendix.

Det första steget för att finna den implicita volatiliteten för en viss option är att finna ett startvärde att utgå ifrån. I Chance’s approximation utgörs detta startvärde av den implicita volatilitet man får fram från Brenner-Subrahmanyahs formel för en at-the-money-option.

Enligt modellen är det korrekta priset på en köpoption lika med priset på en at-the-money- köpoption,c_atm, plus en skillnad i priset,∆c, som beror på skillnad i lösenpris och volatilitet enligt följande formel:

c = c_atm+ ∆c.

För att använda denna modell behövs alltså även värdet på en option som är at- the-money samt priset på optionen av intresse. Runt at-the-money-optionen gör Chance sedan en Taylorutveckling där både volatiliteten och lösenpriset hos den aktuella optionen tillåts variera.

∆c_atm = ∂c_atm

∂K (∆K) +1 2

∂²c_atm

∂K² (∆K)²+∂c_atm

∂σ (∆σ) + 1

2

∂²c_atm

∂σ² (∆σ)²+∂²c_atm

∂σ∂K (∆σ∆K)

där K betecknar lösenpriset och σ volatiliteten. Chance löser sedan denna ekva- tion och får på så vis fram en skattning på den implicita volatiliteten för optionen i fråga. Därefter används numeriska värden för att visa att denna approximation ger någorlunda korrekta värden på volatiliteten för optioner som inte är för långt ifrån att vara at-the-money. Författarna till artikeln ”An Improved Approach to Comput- ing Implied Volatility”, se [4], gör en modifikation av Chance’s modell och visar genom att utgå ifrån samma siffror som Chance använde sig av, att deras metod ger mer korrekta resultat. Chance utgår ifrån en at-the-money-option och hans Tay- lorutveckling är i två variabler, lösenpris och volatilitet. I ovan nämnda artikel ut- går författarna istället ifrån den implicita volatiliteten för en at-the-money-option, använder denna för att prissätta optionen av intresse (med hjälp av Black & Scholes prisformel för en köpoption) och får på så vis fram en utgångspunkt för optionens värde. Därefter görs en Taylorutveckling där volatiliteten är den enda variabeln.

Detta ger följande ekvation:

∆c_atm= ∂catm

∂σ (∆σ) +1 2

∂²catm

∂σ² (∆σ)²

Denna ekvation är en vanlig andragradsekvation och kan enkelt lösas genom att tillämpa pq-formeln. Här är det den största roten som är av intresse då det empiriskt visat sig att denna ger mest korrekta resultat. Första- och andraderivatan (vilka brukar gå under namnen vega respektive vomma) ges av följande ekvationer:

∂catm

∂σ = S_t√

T − t n (d1)

∂catm

∂σ² = ^{S√T −t n(d}_σ ^1)d1d2

Här står n(x) för den standardiserade normalfördelningens täthetsfunktion, n (x) = 1

√2πexp



−x² 2



, −∞ < x < ∞.

Modifieringen av Chance’s modell är alltså inte bara enklare utan ger bättre re- sultat. En nackdel med denna metod är dock att man måste veta priset på en at- the-money-option för att få ett värde att utgå ifrån. För att få fram detta pris på en at-the-money-option har jag för var dag approximerat lösenpris som en funktion av optionspris med en avtagande andragradskurva då den visat sig passa bäst. Utifrån denna funktion har jag sedan räknat fram priset på en at-the-money-option. Jag har alltså anpassat en ny kurva varje dag utifrån aktuell marknadsdata för att hamna så nära det korrekta värdet som möjligt. För att beräkna återstående löptid för varje option har jag dividerat antalet handelsdagar kvar till inlösen med 253 vilket är lika med totala antalet handelsdagar 2010 enligt Finansinspektionens hemsida.

För att räkna fram ett värde på den implicita volatiliteten utifrån given mark- nadsdata har jag utfört två beräkningar. Dels har jag implementerat ovanstående formler i Excel och på så sätt fått fram värden på volatiliteten och dels har jag använt mig av ekvationslösaren Solver i Excel. Anledningen till att jag gjort två beräkningar är för att se vilken metod som ger bäst resultat. Skillnaderna är små men Solver ger något bättre resultat varför värdena på volatiliteten som fås fram med hjälp av denna används vid jämförelsen mellan Black & Scholes-modellen och SABR-modellen. Anledningen till att jag ändå väljer att redovisa Chance’s ap- proximation är för att den ger en uppfattning om den bakomliggande matematiska teorin för den implicita volatiliteten och hur de olika variablerna påverkar. Den- na förståelse får man inte genom att endast använda Solver. Vidare ger Chance’s metod resultat som ligger väldigt nära de resultat som Solver ger.

Kapitel 3

SABR-modellen

3.1 Bakgrund

Innan SABR-modellen presenteras ges en kort bakgrund till vissa matematiska och ekonomiska begrepp som förekommer i modellen samt en översiktlig jämförelse med Black & Scholes modell.

Ett forwardkontrakt är en överenskommelse mellan två parter att den ena vid ett framtida datum ska köpa en viss tillgång av den andra för ett visst pris, kallat for- wardpriset. Denna typ av kontrakt, är till skillnad från optioner, bindande för båda parter. Vidare förekommer det inga pengaflöden innan leveransdagen när det gäller ett forwardkontrakt medan premien för en option betalas direkt. Slutligen sätts for- wardpriset individuellt för varje kontrakt, det vill säga priset på ett forwardkontrakt är inte standardiserat som det är för optioner. Ett forwardkontrakt är på vissa sätt lättare att värdera än ett optionskontrakt eftersom all risk kan elimineras genom att i början av kontraktet sätta upp en hedge. Vidare behövs inget antagande göras om fördelningen på tillgångspriset förutsatt att räntan är deterministisk. Det finns olika sätt att härleda en formel för forwardpriset. Nedan följer en härledning där argu- mentet som används grundar sig på arbitrage. Antag att tidpunkten då kontraktet skrivs betecknas med t och att tillgångspriset vid denna tidpunkt är S(t) samt att forwardpriset betecknas med F(t). Vidare antas att räntan är konstant under kon- traktets löptid. Målet är att finna ett samband mellan S(t) och F(t) som gör att priset på forwardkontraktet värderas på ett sätt som är rättvist för båda parter. Beakta först parten som ska leverera tillgången vid löptidens slut, T. Vid tidpunkten t vet han inte vad tillgången kommer att kosta vid tiden T. Detta spelar dock ingen roll efter- som han kan hålla sin del av avtalet genom att låna ett belopp motsvarande S(t) då kontraktet ingås, köpa tillgången och betala tillbaka lånet vid löptidens slut med pengarna som då erhålls av den andra parten, betecknade med F. Eftersom räntan antas vara konstant kommer detta lån att kostaS (t) e^{r(T −t)}. Priset på forwardkon- traktet måste därför ges av:

F = S (t) e^{r(T −t)}

Om ovanstående formel inte skulle hålla skulle det var möjligt att göra en riskfri vinst på transaktionen. För en vidare diskussion se [7, s. 99 ff].

En enkel och vanligt förekommande modell för aktiepriset är följande:

dS = rS dt + σS dW (3.1)

Det diskonterade¹aktiepriset ges av:

Sˆ_t= e^−rtS_t

För att få fram en formel för d ˆS används Itôs lemma (se appendix) för dS = adt + bdW , där

a (S, t) = rS b (S, t) = σS och

G (S, t) = e^−rtS ger

d ˆS = d e^−rtS
= G(S, t) = ∂G

∂t + ∂G

∂Sa +1 2

∂²G

∂S²b²



dt +∂G

∂Sb dW

= −re^−rtS + e^−rtrS + 0
dt + e^−rtσ S dW = e^−rtσ S dW = σ ˆS dW För ett forwardkontrakt gäller på samma sätt som ovan att det diskonterade priset är

Fˆ_t= e^{r(T −t)}S_t

OmS_tuppfyller (3.1) så gäller med snarlika beräkningar som för ˆS följande d ˆF = σ ˆF dW

I Black & Scholes-modellen är σ en konstant medan den i SABR-modellen är stokastisk. Vidare byts ˆF ut mot ˆF^β, därβ är en parameter mellan 0 och 1.

1Värdet på ett pengaflöde är beroende av när det inträffar, vilket kommer an på att värdet av pengar minskar över tiden till följd av inflation samt att man kan tjäna ränta på de pengar man har idag. Diskontering innebär att man räknar ut vad en framtida betalningsström är värd idag baserat på ett visst avkastningskrav, exempelvis den riskfria räntan.

3.2 SABR-modellen

För att hantera volatility smile och volatility skew används vanligen någon lokal volatilitets-modell². Dock har det visa sig att marknaden beter sig i motsats till vad dessa predikterar. Enligt modellerna ska leendena skifta till högre priser då priset på den underliggande tillgången minskar och då priset på den underliggande ökar ska leendena skifta till lägre priser. Men empiriska studier har alltså visat att marknaden beter sig på motsatt vis. För att överkomma detta problem har SABR- modellen utvecklats, vilket är en stokastisk volatilitetsmodell. Volatiliteten är nu inte som för Black & Scholes modell en konstant, utan en stokastisk process. Denna modell är utvecklad av Patrick S. Hagan, Deep Kumar, Andrew S. Lesniewski och Diana E. Woodward. Nedanstående är hämtat från deras artikel ”Managing smile risk”, se [8].

Namnet SABR står för Stokastisk Alfa Beta Rho, vilket refererar till model- lens parametrar. Enligt denna modell satisfieras värdet på ett forwardkontrakt av följande ekvationer:

d ˆF = ˆα ˆF^βdW₁ , ˆF (0) = f d ˆα = v ˆα dW₂ , ˆα (0) = α

F betecknar det diskonterade forwardpriset och dWˆ ₁ ochdW₂ är två beroende brownska rörelser

dW₁dW₂ = ρ dt,

vilket betyder attW₁ochW₂ är korrelerade med korrelationskoefficientenρ.

Med hjälp av dessa formler kan man sedan ta reda på värdet av en europeisk option. Utifrån dessa priser kan man även få fram en explicit formel för den im- plicita volatiliteten som en funktion av dagens (t = 0) forwardpris f = ˆF (0) samt lösenpriset K. Här är det ingen inskränkning att sättat = 0. Volatiliteten betraktas som en stokastisk variabel. Detta antagande grundas på observationen att de flesta marknader genomgår både relativt lugna perioder och relativt kaotiska perioder.

Den implicita volatiliteten ges av följande formler:

σSABR(K, f ) = ^α

(f K)^(1−β)/2

1+^(1−β)2₂₄ ln²(_K^f)+^(1−β)4₁₉₂₀ ln⁴(_K^f)+...·_x(z)^z

· 1 +h

(1−β)² 24 α²

(f K)^1−β +¹₄ ^ρβνα

(f K)^(1−β)/2+ ^2−3ρ₂₄²ν²i

T + ... där

z = ν

α(f K)^(1−β)/2ln f K



2I en lokal volatilitetsmodell betraktas volatiliteten som en funktion av priset på den underlig- gande tillgången samt återstående löptid.

ochx (z) definieras som

x (z) = ln

p1 − 2ρz + z²+ z − ρ 1 − ρ

!

För specialfallet då K = f, det vill säga optionen är at-the-money, reduceras formeln för implicit volatilitet till

σ_atm = σ_SABR(f, f )

= α

f^(1−β) 1 +

"

(1 − β)² 24 · α²

f^(2−2β) + 1 4

ρβαν

f^(1−β) +2 − 3ρ² 24 ν²

# T + ...

!

SABR-modellen är, jämfört med andra stokastiska volatilitetsmodeller, relativt enkel.

Modellen tar hänsyn till dynamiken bakom de implicita volatilitetskurvorna som observeras på marknaden på ett sätt som gör att man med hjälp av denna effektivt kan hantera ”smile-risk” på marknader där varje tillgång bara har en inlösendag.

Under SABR-modellen ges priset på en europeisk köpoption direkt av Black &

Scholes prisformel enligt

cSABR= f N (d1) − Ke^−rTN (d2) där

d1,2= log

f K



±¹₂σ_SABR² T σ_SABR√

T

F och α är stokastiska variabler medan parametrarna β, ρ och ν inte är det. Alfaˆ är inte lika med volatiliteten men det finns dock ett starkt samband mellan denna parameter och at-the-money volatiliteten.ν är ett mått på volatilitetens volatilitet, volvol. Parameternβ ∈ [0, 1] anses beskriva fördelningen på värdet hos den un- derliggande varan. Det finns tre specialfall att notera. Delsβ = 1 och ν = 0, vilket representerar en lognormal modell (Black & Scholes modell), delsβ = 0,5 och ν

= 0 vilket står för en CIR-fördelning (se [13, s. 151 ff] för en beskrivning av CIR- fördelning) och slutligenβ = 0 och ν = 0 vilket representerar en normalfördelad modell. Tar man bort villkoretν = 0 blir det andra (krångligare) fördelningar. Ett värde på beta som ligger nära 1 betyder att man tror att då marknaden går upp eller ner påverkas inte nivån på ATM-volatiliteten (ATM = At The Money) särskilt mycket.β ≪ 1 indikerar att då marknaden rör på sig ändras ATM-volatiliteten i motsatt riktning. Ju närmare 0 beta är desto mer påtagligt blir detta fenomen. Val av beta kan antingen ske baserat på historisk data eller utifrån ett antagande om hur marknaden fungerar. När beta har valts betraktas denna som en konstant efter- som det är osannolikt att fördelningen för en viss underliggande tillgång skulle förändras över tiden (eller det blir helt enkelt lättare så). Författarna poängterar att kvalitén av modellens prediktioner är god oavsett vad beta väljs till.

Både beta och rho påverkar volatilitetsleendena på likartade sätt eftersom båda parametrarna bidrar till att skevheten lutar nedåt då lösenpriset varierar.

Optioner med lösenpriser som ligger långt ifrån rådande forwardpris handlas mindre än optioner vars lösenpris överensstämmer eller ligger nära nuvarande for- wardpris vilket medför att det är svårt att få fram ett korrekt värde på implicita volatiliteten.

De tre parametrarnaα, ρ och ν har olika effekter på volatilitetskurvan. α kon- trollerar huvudsakligen höjden på kurvan, ρ kontrollerar kurvans skevhet och ν påverkar hur mycket leende kurvan uppvisar. Eftersom parametrarna har helt olika roller tenderar de anpassade värdena på dessa parametrar att vara stabila även då det förekommer mycket marknadsbrus. Generellt kan man säga att det på de flesta marknader förekommer ett tydligt och starkt leende för optioner med kort löptid.

Detta avtar då tiden till inlösen ökar vilket innebär att volvol är stor för kortdat- erade optioner och mindre för långdaterade optioner oberoende av underliggande tillgång. Då det gäller korrelationen finns inget tydligt mönster.

Då kalibrering av parametrarna i modellen är gjord finns enligt Hagan et al. en god överensstämmelse mellan marknadens beteende och modellens prediktioner.

SABR-modellen förutsäger även att då forwardpriset varierar skiftar den implicita volatilitetskurvan i samma riktning och lika mycket som priset. Denna förutsägelse stämmer väl överens med hur det ser ut på marknaden menar författarna.

De formler som presenterats ovan utgör huvuddelen av prissättning av eu- ropeiska optioner under SABR-modellen. Formlerna kan tyckas vara komplicerade men som författarna skriver så är formlerna explicita och innehåller endast elemen- tära funktioner. Vidare behövs en viss komplexitet för att prissättningen ska bli så korrekt som möjligt. Författarna nämner som exempel att om sista raden i formeln förσ_SABR(f, K) skulle uteslutas skulle detta kunna resultera i ett relativt fel som i vissa fall kan bli större än tre procent. Denna felterm kan verka liten men den är tillräckligt stor för att behövas för en korrekt prissättning. Enligt författarna är dock de uteslutna termerna ”+...” mycket mindre. Därmed har termer av högre ordning inte tagits med då författarna menar att den ökade precision som de skulle bidra med är överflödig.

Kritik som framförts mot modellen är att SABR-modellen är en kontinuerlig modell, det vill säga det förekommer inga hopp. Emiriskt har det visat sig att det kan vara mer troligt att en modell som tillåter hopp är mer realistisk. För en diskus- sion kring detta se [6]. Modellen bygger även till stor del på parameterskattning vilket innebär att resultaten är väldigt beroende på hur dessa skattas.

Dock tycks det råda konsensus om att beräkningarna som ligger till grund för modellen är korrekta sånär som på mindre fel. Det finns andra artiklar där man kommit fram till liknande resultat gällande den implicita volatiliteten som Hagan et al.

Berestycki et al. visar i sin artikel, se [1], att den implicita volatiliteten ges av en partiell differentialekvation (närmare bestämt en kvasilinjär parabolisk differ- entialekvation där begynnelsevärdet ges av en första ordningens Hamilton-Jacobi ekvation). Denna differentialekvation löses i vissa specialfall och täcker ett mer

generellt fall än SABR-modellen. Värt att notera är att Berestycki et al. använder en helt annan teknik för härledningen av den implicita volatiliteten än vad Hagan et al. gör. Formeln för den implicita volatiliteten skiljer sig också något åt från Hagan et al. då0 < β < 1.

I artikeln ”Fine-Tune Your Smile – Correction to Hagan et al” visar Oblój rim- ligheten i att Berestycki har rätt och ger både ett teoretiskt och numeriskt argument för detta. Det teoretiska argumentet består av att Oblój påvisar att gränsvärdet av den implicita volatiliteten i Hagans fall dåβ → 1 inte överensstämmer med den implicita volatiliteten dåβ = 1. Numeriskt visar han att om Hagans formel för implicit volatilitet används kan negativa optionspriser erhållas.

3.3 Informell härledning av den implicita volatiliteten

En stringent härledning av den implicita volatiliteten ligger utanför ramen för den- na uppsats. Nedan skisserar jag dock i stora drag hur härledningen går till. Den intresserade läsaren hänvisas till [8] för en detaljerad härledning.

I härledningen använder författarna sig av pertuberingsteknik, vilket i detta fall innebär att

α → εα och ν → εν, där ε ≪ 1 i gränsövergången. Detta ger alltså att optionspriset räknas ut för små värden påα och ν. Efter att ha fått fram ett resultat ersättsǫα med α och ǫν med ν för att få svaret uttryckt i termer av de ursprungliga variablerna.

För att härleda en formel för den implicita volatiliteten härleds först en formel för optionspriset. Ett första steg är att skriva upp optionspriset som ett väntevärde.

Här väljs räntan, r, till noll för att förenkla beräkningarna något. Detta väntevärde kan skrivas som en integral innehållande täthetsfunktionen för F. Här utnyttjas att täthetsfunktionen ges av en partiell differentialekvation, närmare bestämt Fokker- Planck-ekvationen (Kolmogorovs framåtekvation). Efter långa beräkningar nås slut- ligen följande delresultat:

c (t, f, α) = max (f − K, 0) + (f − K) 4√π

Z _∞

x2 2t−ε²θ

e^−q

q^3/2dq (3.2) där

ε²θ = log

 εαz

f − KpB (0) B (εαz)



+ log xI^1/2(εν z) z

! +1

4ε²ρναb₁z². (3.3) Här är

B (εαz) = C (f ) I (ς) =p1 − 2ρς + ς² b₁ = B^′(εαz₀) /B (εαz₀)

där funktionenC förklaras nedan.

Ovanstående är ett uttryck för priset på en köpoption. Då detta är en komplicer- ad formel vilken är svår att använda i praktiken är målet att utifrån denna formel få fram ett uttryck för den implicita volatiliteten. Ett första steg för att göra detta är att titta på följande enkla modell som utgörs av en Brownsk rörelse (där aktiepriset antas vara normalfördelat):

d ˆF = σNdW

Här ärσ_N inte stokastisk utan en konstant. Genom att sättaC (f ) = 1, εα = σ_N ochν = 0 i (3.2) och (3.3) samt lösa integralen fås en formel för priset på en europeisk köpoption under den normalfördelade modellen. Detta uttryck sätts lika med (3.2) vilket resulterar i en formel förσN som en funktion avf, K, ν och α.

Här ärα inte stokastisk utan betecknar initialvärdet på volatiliteten. Nästa steg är att härleda ett uttryck för den implicita volatiliteten enligt Black & Scholes (log- normalfördelade) modell:

d ˆF = σ_BF dWˆ

Detta görs genom att sätta deras prisformel för en europeisk köpoption lika med prisformeln under den normalfördelade modellen som nämns ovan. Detta resulterar i ett samband mellanσ_Nochσ_B, därσ_Bbetecknar den implicita volatiliteten under Black & Scholes modell. Det slutliga målet är att ta fram en explicit formel förσ_B och detta uppnås genom att sätta uttrycket förσN som togs fram genom att utgå från den normalfördelade modellen lika med formeln förσ_N som togs fram genom att utgå från Black & Scholes (lognormalfördelade) modell.

Utgångspunkten för ovanstående härledning är följande:

d ˆF = εˆαC ˆF dW₁ d ˆα = εν ˆαdW₂ där

dW₁dW₂= ρdt

Här är C en allmän funktion av ˆF . Beroende på vad C ˆF

väljs till får man olika specialfall.

1. C ˆF

= ˆF^β 2. C ˆF

= 1, ν = 0 ger dF = σ_NdW 3. C ˆF

= ˆF , ν = 0 ger dF = σ_BF dWˆ

1. är SABR-modellen, 2. är en Brownsk rörelse därσ_N är konstant och 3. är Black

& Scholes modell därσ_Bär konstant.

I härledningen harC ˆF

använts genomgående vilket gör den giltig även i generella fall, inte enbart specialfalletC ˆF

= ˆF^β.

3.4 Parameterskattning

För att kunna använda modellen i praktiken måste parametrarna skattas. Beta väljs oftast till 0, 0.5 eller 1 beroende på vilken fördelning man tror att den underlig- gande tillgången följer. I denna uppsats kommer jag att göra tre olika parameter- skattningar där beta i tur och ordning sätts till ovanstående värden. Enligt Hagan et al. är prediktionsförmågan hos modellen god oavsett val av beta. Jag har hämtat inspiration från [3] när det gäller att rita figurer över hur parametrarna påverkar volatiliteten. Skillnaden mellan [3] och min uppsats är att jag försöker gå lite dju- pare in på matematiken bakom figurerna.

Figur 3.1 ger en uppfattning om hur volatiliteten påverkas av beta, vilken tycks stödja påståendet att olika värden på beta då övriga variabler hålls konstanta ger likartade resultat. Störst är skillnaden då optionen är djupt in-the-money och djupt out-of-the-money. Runt at-the-money spelar värdet på beta mindre roll eftersom olika värden på beta här ger snarlika värden på volatiliteten.

50 60 70 80 90

0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.21

beta=1 beta=0.5 beta=0

Figur 3.1: Betas inverkan på den implicita volatiliteten.

I figur 3.2 och 3.3 illustreras hur volvol och rho påverkar den implicita volatiliteten som en funktion av inlösenpriset då övriga variabler hålls konstanta.

I figur 3.2 ser man tydligt att ett högre värde på volvol resulterar i en starkare krökning. Positiva värden på rho ger ett smile medan att negativt värde ger ett skevt leende. Figur 3.4 visar en tredimensionell plot över parametrarnas inverkan på volatiliteten.

50 60 70 80 90 100 110Inlösenpris 0.175

0.225 0.25 0.275 0.3 Volatilitet

volvol=2 volvol=1 volvol=0.5

Figur 3.2: Volvols inverkan på den implicita volatiliteten.

50 60 70 80 90 100 110Inlösenpris 0.15

0.25 0.3 0.35 Volatilitet

rho=0.5 rho=0 rho=-0.5

Figur 3.3: Rhos inverkan på den implicita volatiliteten.

Enligt figur 3.4 verkar det som att då ρ > 0 ökar svängningarna med volvol medan svängningarna minskar med volvol dåρ < 0. På samma sätt verkar svängningar- na öka med rho dåν > 0. Detta tycks även vara konsistent med övriga figurer. Fig- ur 3.4 är dock inte helt enkel att förklara med rena matematiska argument. Det är rimligt att tro att den implicita volatiliteten, av både matematiska och ekonomiska skäl, kan förklaras avE[α · f^β−1], V ar[F (t)] eller möjligen E[log F (t)]. Men så tycks inte vara fallet.

Från figurerna tycks det även verka som att då lösenpriset ligger nära rådande aktiepris ger olika värden på volvol ungefär samma värden på volatiliteten då rho hålls konstant vilket också är sant då volvol hålls konstant och rho varierar. Detta kan tyda på att modellen inte är så känslig för olika parametervärden då optionen är i närheten av att vara at-the-money. Det är när optionen är djupt in-the-money eller out-of-the-money som olika parametervärden ger märkbart olika resultat.

0.20.4

0.60.8 1 Ny

-0.5 0

0.5 Rho 0.2

0.25 0.3 Volatiliteten0.35

0.20.4

0.60.8 1 Ny

Figur 3.4: 3Dplot över volvols och rhos inverkan på volatiliteten.

När det gäller alfa finns följande samband:

α = σ_{AT M} · f^1−β

I beräkningarna har jag dock inte använt at-the-money volatiliteten för att räkna ut alfa utan istället har jag använt volatiliteten som jag fått fram med hjälp av Black &

Scholes modell för respektive lösenpris. Anledningen till detta är att det helt enkelt ger bättre resultat.

Ett sätt att göra kalibreringen på är att utgå från en dags data och skatta parame- trarna utifrån denna. Jag har valt att använda data från den första mars. Skattningen är gjord i Mathematica. Jag definierar en funktion som beror på rho och ny och är lika med summan av de kvadrerade värdena av differensen mellan volatiliteten enligt SABR-modellen respektive Black & Scholes-modellen, det vill säga en form av minsta kvadratmetoden. För att hitta de värdena på rho och ny som minimerar felet används den inbyggda funktionen Minimize. Påν och ρ är följande begrän- sningar satta:

−1 ≤ ρ ≤ 1 och

0 < ν < 10

I bilagan finns beräkningarna över parameterskattningen bifogade. Nedanstående figur visar felet som funktion av rho och volvol då beta är lika med en halv. Snarlika figurer erhålls då beta är lika med noll respektive ett.

-0.5 0

Rho 0.5 0.2

0.4 0.6

0.8 1

Ny 0

0.001 0.002 0.003 Felet

-0.5 0 Rho 0.5

Figur 3.5: 3Dplot över felet.

Här framgår ingen tydlig minimipunkt vilket kan bero dels på att skattningen är baserad på få datavärden men figuren kan även vara något vilseledande. Dock framgår det tydligt att ytan är konvex och därmed finns inte problemet att det före- ligger flera lokala minimipunkter.

Eftersom z, x ochσ_SABRdefinieras som funktioner beroende av bland annat β är det enkelt att ändra värdet på denna. Jag har gjort tre olika skattningar på parametrarna för β lika med noll, en halv samt ett. Då beta är lika med ett blir det skattade värdet på ny lika med noll, vilket ger Black & Scholes-modellen och därmed får man exakt de värden på volatiliteten som redan räknats fram under denna modell. Därmed kommer jag inte i nedanstående figurer och beräkningar att behandla fallet då beta är lika med ett.

Enligt Hagan et al. förändras värdet på volvol och rho inte nämnvärt över tiden utan beständigheten i en kalibrering varar upp till en månad. Därefter bör en ny parameterskattning göras. För att undersöka detta påstående har jag gjort parame- terskattningar baserade även på nionde dagens data.

För att kunna utvärdera och jämföra de båda modellerna har jag börjat med att räkna ut den implicita volatiliteten enligt respektive modells formel baserat på gårdagens data. Därefter har jag använt denna till att räkna ut optionspriset idag.

Dessa beräkningar är gjorda i Excel. Nedan presenteras diagram över felet i pris- sättningen uttryckt i procent dag för dag. I diagram 3.6 till 3.9 är beta lika med noll, medan beta i diagram 3.10 till 3.13 är lika med en halv, allt annat är lika. Inlösen- priset på optionerna är i tur och ordning lika med 70, 75, 80 och 85. Vidare är från och med dag tio även felet baserat på den andra parameterskattningen medtaget och betecknas SABR2. Samtliga diagram är ritade i Mathematica.

För att kunna avgöra när respektive option är in-the-money eller out-of-the- money har aktiepriset plottats dag för dag i diagram 3.14.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-15 -10 -5 5 Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.6: Diagram över felet dag för dag, K=70.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-20 -10 10 20 Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.7: Diagram över felet dag för dag, K=75.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-20 -10 10 20 30 40 Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.8: Diagram över felet dag för dag, K=80.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-50 -25 25 50 75 100 125 Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.9: Diagram över felet dag för dag, K=85.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-15 -10 -5 5 Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.10: Diagram över felet dag för dag, K=70.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-20 -10 10 20

Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.11: Diagram över felet dag för dag, K=75.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-20 -10 10 20 30 40

Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.12: Diagram över felet dag för dag, K=80.

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 Tid

-50 -25 25 50 75 100

Fel i procent

SABR SABR2 BS

Figur 3.13: Diagram över felet dag för dag, K=85.

5 10 15 20 Tid

74 76 78 Aktiepris

Figur 3.14: Fluktuationer i aktiepriset under perioden.

Kapitel 4

Resultat

Som framgår av figur 3.6 till 3.13 ger beta lika med noll och beta lika med en halv så gott som identiska resultat. Vidare bidrar en andra parameterskattning med mycket lite till att minska felet i prissättningen vilket är i linje med vad Hagan et al. påstår om kalibreringens beständighet.

Utifrån figur 3.14 som visar hur aktiepriset fluktuerat under mätperioden kan man se att optionen med lösenpris 70 hela tiden varit in-the-money eftersom ak- tiepriset inte någon gång sjunkit under 70, optionen med lösenpris 75 har från dag 6 till dag 18 varit in-the-money medan optionerna med lösenpris 80 respektive 85 varit out-of-the-money under hela perioden. Tittar man på felet i prissättning för de olika lösenpriserna framgår det tydligt att felet är som minst då K=70, ökar något då K=75 och är relativt stort för de båda andra lösenpriserna, vilket är ett väntat mönster eftersom osäkerheten kring prissättningen blir större här. Då optionen är out-of-the-money har den endast ett tidsvärde vilket gör att osäkerheten ökar.

Sammanfattningsvis prissätter båda modellerna optionerna som bäst då de är in-the-money och felet ökar snabbt ju längre out-of-the-money de kommer.

Ett annat mönster som tydligt framgår är att SABR-modellen i nästan samtliga fall överprissätter optionerna mer än Black & Scholes-modellen medan SABR- modellen underprissätter mindre än Black & Scholes-modellen.

Även om SABR-modellen ger något bättre resultat ger figurerna inte belägg för att påstå att SABR-modellen skulle prestera mycket bättre än Black & Scholes- modellen. För att vara mer exakt är SABR-modellen bättre i drygt 55 procent av fallen enligt beräkningar på de värden som figurerna baseras på, vilket är en marginell skillnad. Här har hänsyn tagits till hur stort felet är hos respektive mod- ell.

Kapitel 5

Diskussion

SABR-modellen är, jämfört med Black & Scholes-modellen, en relativt ny modell för att prissätta optioner. Modellen grundar sig inte i lika hög grad på verklighets- främmande antaganden, som exempelvis att det inte förekommer några skatter eller transaktionskostnader och dess formler är mer komplexa. Vidare tar modellen hän- syn till fenomenet volatility smile som observeras på marknaden. Trots detta ly- ckas jag inte med mina beräkningar visa att SABR skulle prestera mycket bättre än Black & Scholes-modellen. Nedan följer lite tankar om varför samt möjliga felkällor.

Det hade förmodligen blivit en större diskrepans mellan de olika modellerna om volatiliteten enligt Black & Scholes-modellen inte uppdaterats varje dag. An- ledningen till att jag inte räknat fram en volatilitet och sedan använt denna under en period längre än en dag är för att eftersom empirin visat att antagandet om konstant volatilitet inte stämmer så ser jag ingen anledning till att ändå göra det. Särskilt inte när det är så lätt att räkna ut en ny volatilitet. Vidare tycker jag det var intressant att testa huruvida SABR-modellen skulle lyckas bättre trots att Black & Scholes volatiliteten uppdateras varje dag. Resultatet blev att SABR var något bättre i sin prediktion även om det inte skilde mycket. Dock är det värt att notera att även en liten förbättring kan ha stor betydelse i dessa sammanhang.

Andra felkällor kan vara att ett annat forwardpris än det teoretiska jag använt mig av skulle ha använts i stället. Man kan ju tänka sig att det finns en viss skillnad mellan det teoretiska och det verkliga forwardpriset som kan bero på till exempel transaktionskostnader och att markanden inte är så effektiv som teorin antar. Vidare har en konstant ränta antagits under perioden vilket dock inte stämmer helt med verkligheten varför man skulle kunna tänkas använda en formel där hänsyn tas till en variabel ränta för att förbättra resultatet något. Det är även möjligt att det finns ett mer optimalt värde på beta.

Vidare grundas beräkningarna på ett relativt litet datamaterial vilket bidrar till att resultatet kan vara något missvisande. Man kan naturligtvis även ifrågasätta parameterskattningen. Det är mycket möjligt att det finns andra mer korrekta och effektiva sätt.

Ett annat sätt att få bättre resultat från SABR-modellen skulle kunna vara att vikta optionspriserna i förhållande till volymen med vilken de handlas, det vill säga de optioner som det handlas mycket med skulle bidra mer till parameterskattningen är de med låg handel i. Det skulle även vara intressant att korrigera modellen så som exempelvis Oblój föreslagit för att se om detta skulle bidra till en ökad precision hos modellen.

Eftersom volatiliteten som används för att räkna ut dagens optionspris baseras på gårdagens stängningskurs hade det förmodligen varit mer korrekt att använda dagens öppningskurs för den underliggande aktien istället för stängningskursen eftersom aktiekursen fluktuerar något under dagen, särskilt för ett företag som Er- icsson som har ett stort nyhetsflöde och en stor omsättning.

Tillsammans skulle ovanstående förslag till förbättringar kunna leda till bättre resultat än de som jag kommit fram till i denna uppsats.

Sammanfattningsvis erbjuder SABR-modellen ett intressant alternativ till Black

& Scholes-modellen. Givet att man har ett datamaterial är parametrarna förhållan- devis enkla att skatta och inskrivna i ett datorprogram är formlerna lätthanterliga.

Med datorns hjälp är det även lätt att utvärdera vissa av modellens egenskaper genom att rita figurer. Dock är det flera frågor angående dessa figurer som kvarstår.

Exempelvis vore det intressant att fördjupa sig mer i hur rho och volvol påverkar den implicita volatiliteten och varför motsvarande 3Dplot ser ut som den gör. En annan intressant fråga är varför SABR underprissätter med mindre fel och över- prissätter med mer fel än Black & Scholes-modellen.