Problemformulering och lösningsskisser

5.3 Problem 3 ”Glass”

För den som är något bekant med elementär kombinatorik är följande problem tämligen trivialt. Emellertid är det en rejäl utmaning för den som ännu inte har haft förmånen att stifta denna bekantskap. För gruppen elever i grundskolan och i gymnasiet är problemet definitivt ett problem även i Shoenfelds och Lithners mening (Shoenfeld, 1992, Lithner, 2001) vilket följande exempel visar:

5.3.1 Problemformulering och lösningsskisser Lisa ska köpa lösglass i strut.

a) Hon tänker handla två kulor och det finns fyra smaker att välja mellan. Hur många glasskombinationer är möjliga?

b) Antag nu att antalet smaker kan varieras och inte längre nödvändigtvis är fyra. Undersök sambandet mellan antalet glasskombinationer och antalet olika smaker.

c) Antag att Lisa ska köpa tre kulor glass och antalet smaker får du bestämma själv. Undersök sambandet mellan antalet

glasskombinationer och antalet olika smaker.

I en version av problemet fick eleverna följande tilläggsinformation: Det är inte tillåtet att köpa två kulor med samma smak och det spelar ingen roll i

68

viken ordning man köper kulorna; alltså: Om man till exempel köper jordgubb som kula 1 och vanilj som kula 2, så är det samma kombination som vanilj som kula 1 och jordgubb som kula 2.

Lösningsskisser: Utan tilläggsinformationen kan problemet tolkas på fyra olika sätt:

(i) Det är tillåtet att köpa glass med båda kulorna av samma sort, och ordningen mellan kulorna är väsentlig.

(ii) Det är inte tillåtet att köpa glass med båda kulorna av samma sort, och ordningen mellan kulorna är väsentlig.

(iii) Det är inte tillåtet att köpa glass med båda kulorna av samma sort, och ordningen mellan kulorna är ovesäntlig. (Tolkningen ekvivalent med att erhålla tilläggsinformationen)

(iv) Det är tillåtet att köpa glass med båda kulorna av samma sort, och ordningen mellan kulorna är ovesäntlig.

Vi antar att antalet smaker är n

Tolkning enligt (i) För varje val av första kulan kan vi välja den andra kulan på n sätt. Enligt multiplikationsprincipen blir antalet möjligheter n·n

= n² sätt .

Tolkning enligt (ii) För varje val av första kulan kan vi välja andra kulan på n-1 sätt. Enligt multiplikationsprincipen blir antalet möjligheter n·(n-1) = sätt .

Tolkning enligt (iii): På samma sätt som i föregående fall, men nu ska vanilj-jordgubb uppfattas som samma glass som jordgubb-vanilj. Vi måste därför dividera resutatet i enligt (ii) med 2 för att inte räkna glassarna två gånger. Alltså får vi n(n-1)/2 sätt .

Tolkning enligt (iv). Två likadana kulor kan väljas på n sätt och två olika kulor på som sagt, n(n-1)/2 sätt. Totalt ger detta n + n(n-1)/2

möjligheter.

69

5.3.2 Apriorianalys

1. Samla in matematisk information/ förstå problemet:

TYDLIG: Eleven förstår problemets natur inklusive vitsen med

tilläggsinformationen direkt. Om tilläggsinformationen inte givits, måste eleven inse att flera fall förekommer och sedan uttala att hon väljer ett av dem.

DIFFUS: Eleven behöver hjälp med att förstå tilläggsinformationen, men förstår den och varför den behövs efter att fått den förklarad för sig. Om inte denna har givits förutsätter hon någonting extra utan att kommentera det på något sätt

2a) Logiskt tänkande/ användning av det matematiska symbolspråket:

TYDLIG: Eleven resonerar ”kombinatoriskt” och betecknar storheter med bokstanssymboler exempelvis: n kulor och m smaker. (Detta är knappast aktuellt i denna undersökning)

2b) Förmåga till generalisering:

TYDLIG: Att gå från fyra till n smaker, utan svårighet och utan mellansteg.

DIFFUS: Att klara av samma sak men med stöd av att först ha räknat på en del specialfall eller fått lite hjälp på traven.

2c) Förmåga att korta ned matematiska resonemang:

TYDLIG: Eleven resonerar i generella termer och föredrar att behandla n smaker först och att sedan betrakta fallet 4 smaker som ett specialfall.

2d) Förmåga till flexibilitet i mentala processer:

Med tilläggsinformationen är det svårt att tänka sig att denna förmåga ska aktualiseras. Utan denna extra information, skulle eleven få flera

tolkningsmöjligheter. Om hon kan röra sig fritt mellan de tre olika möjliga tolkningarna och jämföra resultaten är det tecken på flexibelt tänkande.

Fanns det dessutom möjlighet till att välja fler glasskulor, kan flexibilitet i tanken avslöjas på olika sätt.

TYDLIG: Eleven ser alternativa tolkningar av problemet utan att därvid ge uttryck för frustration utan snarare ser det som en utmaning att fundera över vad de kan leda till.

DIFFUS: Eleven inser att problemet inte är entydigt lösbart med den information som givits, vilket upplevs irriterande och möjligtvis också paralyserande.

2e) Strävan efter klarhet, enkelhet och elegans:

Se punkt 2a ovan.

70

2f) Förmågan att resonera i omvänd riktning:

Här måste vi tänka oss en mer avancerad problemställning när fler kulor än två kan väljas. Säg att vi har 3 kulor och 4 smaker. En talangfull elev kan bestämma sig för att istället beräkna antalet möjligheter för den smak hon inte väljer. Alltså fyra möjligheter.

Vore det istället 5 smaker, skulle hon alltså välja bort 2 smaker och nu återförs problemet på det enklare problemet med 2 kulor.

3. Förmågan att minnas matematisk information:

Eleven jämför situationen med till exempel handskakningsproblemet, där det ju också var frågan om ”parbildning”. Formeln n(n-1)/2 kommer väl till pass även här. Elisabet Mellroth noterade också denna koppling mellan strukturen i dessa båda problem. När elvaårige Markus just tagit del av frågeställningen i glassproblemet utbrast han glatt: ”Det är ju precis samma som handskakningsproblemet.”(Mellroth, 2009)

Skulle det dock bli fråga om fler kulor än två, måste ett kombinatoriskt resonemang anläggas. I det läget kan denna parbildningsmodell snarare stå som ett hinder än en hjälp. Det matematiska minnet, om det inte används rätt, kan i ett sådant fall ha rent kontrapositiv verkan. Exempel på detta kommer att visas.

5.3.3. Utfall av glassproblemet. Analys av skriftliga resultat från