Under introduktionsövningen samlades hela klassen efter övningen för att diskutera hur det hade gått, vilka svårigheter eleverna hade stött på och hur de kunde ha gjort annorlunda. Under dessa samtal blev det korta svar från eleverna, men i vissa fall tog grupperna med sig dessa frågor och diskuterade sinsemellan i sina grupper.
Under de resterande övningarna fanns det ingen riktigt tydlig reflektionsdel, när eleverna kände att de hade löst problemet gick de vidare. Vid vissa stationer efterfrågades en optimal lösning, vid dessa stationer blev det en naturligare reflektionsdel då de fick fundera över den lösning som de genomfört. De kunde till och med gå tillbaka till fas två för att ge sig på ett nytt försök för att förbättra den första lösningen. När lektionen var slut så samlades alla grupper och pedagogerna ställde frågor kring hur det hade gått, om det var svårt/lätt, vad som var svårt/lätt och om de varit ett roligt sätt arbeta på.
Intervjuanalys
Under intervjuerna som utfördes med två pedagoger från Navet, förklarar de sitt arbetssätt och sina attityder när det gäller problemlösning. De poängterar att samtalet, multimodaliteten och glädjen är viktiga aspekter i lärandet och de utgår ifrån dessa i planering och genomförande:
Det är viktigt att de har förstått problemet såklart. Innan vi börjar så har jag alla praktiska material framför mig och då pratar vi om olika idéer så vi har någon teori att följa. Vi testar fram olika strategier som vi testar, funkar det inte så lägger vi undan materialet och börjar om. Då testar vi andra teorier och bakar ihop det med andra idéer tills vi löst det. Pedagog 2
Detta citat visar tydligt på hur Navets arbetssätt kopplas till Polyas fyra faser och hur samtalen och diskussionerna är det som står i centrum och hur pedagogerna jobbar med praktiskt material.
Fas 1 – Förstå problemet
I arbetet med att förstå problemen önskar pedagog 1 att det endast ska räcka med att förklara instruktioner, men att de ofta visar själva hur övningar ska gå till:
Ja, det är klart vi presenterar och ofta visar vi och pratar, ord, begrepp som de ska förstå, men oftast visar vi helt enkelt. Vi har nog visat mer idag än vi gjorde för några år sen. Det ska egentligen räcka med ord, att förklara saker, eftersom vi inte vill visa för mycket hur man gör.
Pedagog 1
Av citatet ovan syns det tydligt hur pedagogerna vill att eleverna tillsammans ska skapa sin egen förståelse och göra problemen till sina egna och själva komma på hur de ska kunna lösas, men att vissa klasser behöver mer hjälp med tanke på elevernas förförståelse och hur vana de är att jobba på detta sätt. I arbetet med att förstå problemet lyfter båda pedagogerna att det är eleverna som måste komma till tals och att alla ska lyssna på varandra. Eleverna ska få säga det de vill säga högt inom gruppen för att lära sig att formulera och använda nödvändiga begrepp, samt att de ska få ta del av varandras tankar.
Fas 2 – Skapa en plan
I skapandet av planen tar pedagogerna en mer passiv roll till en början för att ge eleverna en chans att själva skapa en plan. Om denna plan uteblir så är pedagogerna framme för att förklara problemet och göra eleverna uppmärksamma på viktiga begrepp eller formuleringar, pedagogerna vill inte ge svar på tal, utan det är viktigt att det är eleverna som själva ska utveckla sin plan:
...fånga upp det som varje elev säger så att alla känner att de löst problemen tillsammans. Pedagog 2
Som pedagog 2 ovan nämner så är det viktigt att alla elever ska få vara delaktiga och vara en del av gruppen.
Fas 3 – Genomföra planen
I det inledande citatet av pedagog 2 ovan förklarades arbetsprocessen på ett utförligt sätt. Det visar på hur arbetet går fram och tillbaka mellan de olika faserna om en adekvat lösning inte uppstår. Att misslyckas med en lösning behöver inte vara ett nederlag utan även ett misslyckande kan ge lärdomar inför nästa försök:
Det blir visuellt tydligt att det inte är omöjligt att tänka om och tänka om. Ingen som känner sig dum att det var “mitt fel” och stöttar dem fram på det sättet. För mig är det en stöttning att lyfta fram deras idéer, det som funkar lyfter vi upp och det som inte funkar tar vi bort, så hjälps vi åt hur vi kan göra istället.
Pedagog 2
Pedagog 1 lyfter även vikten av kommunikation under denna fas och säger att det är de enda egentliga riktlinjer han brukar ge som stöttning:
Vi säger att de ska lyssna på varandra givetvis. Det är det viktigaste övningen, kommunikation och samarbete. Att de ska kunna förklara och lyssna.
Pedagog 1
Fas 4 – Reflektion
Under reflektionsdelen så brukar klasserna samlas och diskutera hur det har gått, om något varit svårt och talat om hur lektionen varit. Ordet brukar gå fritt om någon vill säga något om deras lösningar eller problem, men det är inget som påtvingas. Ibland sitter grupperna och diskuterar lösningar för att ta reda på om det kunde lösas på ett annat sätt, men det är inte något som görs med alla på ett metodiskt sätt:
Det är lite olika faktiskt. Idag så samlades vi och frågade hur övningen har vart, reflektion om lärandet och fråga om det var roligt och sånna saker.
Pedagog 1
Detta citat visar hur reflektionsdelen ibland faller bort och det är inte något de fokuserar på under lektionerna.
Lärarnas reflektioner
Klasslärarna uttryckte i sina reflektioner att arbetssättet var intressant och att det fungerade bra i alla grupper, upplägget var väl genomtänkt och att pedagogerna som höll i undervisningspassen var engagerade. Att jobba med kroppen var något som en lärare tyckte var inspirerande och att det var annorlunda gentemot den vanliga klassrumsundervisningen.
Samtliga lärare uttryckte att det fanns vissa elever i vissa grupper som inte deltog fullt ut. Detta kunde bero på att de inte förstod uppgifterna, eller att de helt enkelt var mer tillbakadragna och inte tog så mycket plats även i vanliga fall.
Lärarna tyckte att arbetssättet var givande och kunde tänka sig att jobba på liknande sätt i framtiden, idéer föddes till framtida lektioner då de skulle gå igenom vissa av begreppen som presenterats under dagen. En av lärarna tog även tid till sig och diskuterade lektionerna med sin klass och gav eleverna chansen att reflektera över arbetet.
Sammanfattande slutsats
Vi kan i resultatet tydligt se att lektionernas upplägg och uppgifternas utformning fick eleverna att samtala om matematik och tillsammans finna en gemensam förståelse för problemen, för att kunna gå vidare och skapa en plan samt genomföra den. Upplägget med en lättare uppgift samt en uppföljande svårare uppgift bidrog till att alla elever kunde delta i processen och samtidigt utmanas. De uppgifter som krävde en optimal lösning bidrog även till att eleverna var tvungna att reflektera kring uppgifterna. Reflektionsdelen var annars något som föll bort till viss del under arbetets gång. Det fastslås även av intervjuerna då Pedagog 1 säger att denna del inte är något som de fokuserar på.
Intervjuerna visar på de mål som Navet-pedagogerna strävar mot i sitt arbete, vilket är att eleverna ska utmanas i sitt matematiska tänkande och tvingas att prata om matematik. Det läggs även stor vikt vid att eleverna ska arbeta med hela kroppen och att eleverna ska känna en glädje inför arbetet. Det faktum att eleverna måste diskutera inom gruppen för att förstå och lösa uppgifterna bidrar till att de tillsammans måste skapa en gemensam förståelse och skapa en gemensam plan att sedan utföra. Detta korrelerar med Polyas faser i hur problemlösning bör bedrivas, enligt honom.
Navets arbetssätt stärker elevernas arbete med problemlösning genom ovan nämnda delar genom metoderna de har för att bedriva en problemlösande matematikundervisning.
DISKUSSION
I kommande diskussionsdel kommer resultaten av observationerna och intervjuerna att diskuteras i förhållande till den, ovan nämnda, tidigare forskningen och till det teoretiska ramverk som denna studie utgår ifrån. Vi diskuterar även metoden för studien, ger förslag på didaktiska konsekvenser och framtida forskning.
Resultatdiskussion
Denna studie visar att Navet kan hjälpa klasser med problemlösning och att deras arbetssätt korrelerar till Polyas faser, som i sin tur stärker elevernas problemlösarförmågor. De undervisar genom ett sociokulturellt perspektiv där lärandet uppstår i grupp genom samtalen och interaktionen mellan deltagarna. Detta är något som Roger Säljö (2000) utifrån det sociokulturella lärandeperspektivet menar är betydelsefullt för hur elever lär sig. Även Karatas och Baki (2013) lyfter samtalen som en viktig del i problemlösning, där de i sin studie kom fram till att de elever som diskuterade strategier och begrepp sinsemellan hade en större benägenhet att finna lämpliga lösningsstrategier till problemen. Även Brennan et al. (2010) menar att språket står i fokus inom problemlösning, genom att diskutera och använda ett språk kopplat till matematiken kommer eleverna att bli skickligare problemlösare.
Upplägget av lektionerna och Navets arbetssätt förespråkas av Mogari och Lupahla (2013) där eleverna i en studie måste testa sina kreativa färdigheter i att finna lösningar samt att förstå problemen. De uppgifterna eleverna fick under lektionen kom inte med några lösningsförslag eller procedurer som eleverna skulle utgå ifrån utan eleverna var tvungna att med hjälp av praktiskt material och varandra förstå problemen och skapa en plan. Vi anser att avsaknaden av papper och penna är något som utmanar eleverna att finna lösningar på nya sätt och inte bara använda sig av algebraiska strategier, som Mogari och Lupahla menar är en vanlig lösningsstrategi som inte nödvändigtvis alltid är den bästa. Denna undervisningsform utmanar eleverna att finna nya sätt och det tvingar dem att tänka i andra banor än vad de är vana vid från sin vanliga klassrumsundervisning.
När det kommer till pedagogernas hjälp under lektionerna i vår studie så uttryckte de i intervjuerna att de gärna tar en passivare roll och låter eleverna försöka själva för att förstå problemen och komma på en lösning. Detta gick i många fall bra då uppgifterna låg inom elevernas proximala utvecklingszon, där pedagogerna endast behövde komma in och förklara eventuella begrepp eller upprepa frågan om eleverna missat väsentlig information i läsningen. O’Shea och Leavy (2013) såg i sin studie hur de lärare som lyckats inkorporera Polyas faser i undervisningen kunde ta ett steg tillbaka då de såg att eleverna blev säkrare på att genomföra problemlösningar med de verktyg som de hade. I de lektioner som Navet har blir det dock omvänt, att pedagogerna tog ett steg tillbaka för att ge eleverna utrymme att utveckla sina förmågor att förstå, skapa sin plan och genomföra den tillsammans och inte få rätt svar eller strategi levererat till dem av pedagoger. Att arbeta i enlighet med begreppet ”scaffolding”, som flera tidigare studier (Brennan et al. 2010; O’Shea och Leavy 2013 och Mogari och Lupahla 2013) samt Säljö (2014, s. 305) förordar, framhåller att eleverna måste ges chansen att lyckas genom att pedagogerna ställer rätt sorters frågor till eleverna så att de själva kan klara uppgifterna, istället för att ge dem de rätta svaren eller strategierna. Även Polya (2014, s. 13) poängterar att det är viktigt att eleverna själva måste komma på sin plan. Eleverna måste ges chansen att klara uppgifterna själva.
Två studier (O’Shea & Leavy 2013 & Sokolowski, Li & Willson 2015) samt Polya (2014, ss. 33–36) själv poängterar att dessa faser inte nödvändigtvis ska följas i en linjär ordning, utan det
är viktigt att eleverna kan röra sig mellan de olika faserna för att förstå, skapa en lösning, lösa samt reflektera över problemen. Detta var något som syntes under arbetets gång i vår studie då eleverna använde sig mycket av testa-och-försöka-strategier, eller heuristiska strategier som de även kallas. Det ledde till att eleverna försökte förstå problemen genom att lösa dem, och om det misslyckades fick de gå mellan faserna för att en förståelse och en strategi skulle infinna sig. Om dessa försök inte gav resultat så frågade de till slut en pedagog som hjälpte dem i denna process, vilket stycket ovan berör kring hur denna hjälp utformades. Även när en uppgift var löst så finns en poäng i att reflektera över uppgiften, för att sedan se om den går att lösa på ett mer effektivt sätt.
Reflektionsdelen lyste dock stark med sin frånvaro under dessa lektioner då eleverna sällan uppmanades att reflektera över lösningar och problem, vissa grupper gjorde detta självmant under arbetets gång och kunde då förfina sina lösningar. Flera studier (Leong et al. 2012) lyfter vikten av reflektion för att ta del av varandras lösningar och föra en diskussion om dessa. Hensberry och Jacobbe (2012) använde sig av loggböcker för att få eleverna att fundera över sitt arbete, vilket i sin tur gav eleverna en naturlig väg att föra resonemang över sitt arbete. Leong et al. (2012) menar på att denna fas är viktig för alla elever och inte minst de begåvade eleverna som har lätt för problemlösning. Genom att utveckla reflektionsdelen kan även dessa elever få en utmaning när de ska sätta in det de gjort i andra kontexter.
Vissa av uppgifterna hade en optimal lösning, vilket tvingade eleverna att reflektera över sin lösning och förfina den, men andra uppgifter hade kunnat diskuteras bättre och haft en tydligare reflektionsdel. När det är tio olika stationer vill eleverna hinna med så många olika som möjligt och de stannar inte upp för att reflektera över det som de gjort. Detta är något Polya (2014, ss. 14–15) menar är dåligt för eleverna, då eleverna missar en viktig del i lärandet. En av klasslärarna tog sig dock tid att prata med klassen efter lektionen, vilket var bra, men att ha ett mer systematiskt tillvägagångsätt är att föredra för att få ut så mycket som möjligt av den fjärde fasen.
Klasslärarna upplevde att alla elever inte var lika delaktiga under uppgifterna och problemlösandet. De var däremot där och tog del av alla diskussioner och de har förhoppningsvis fått med sig något av språket och tänkandet i upplägget. Den sociokulturella lärandeteorin (Säljö 2000, s.111) menar på att eleverna lär sig i gruppen och genom diskussioner. Om det då är några som bara är med och lyssnar får dessa elever inte med sig lika mycket som de elever som är drivande i arbetet, men de får ändå med sig något från gruppens arbete såsom ett språk, begrepp och ett tänkande. Polya (2014, s. 130) framhåller även att det går att lära sig heuristik och problemlösning genom att ha en iakttagande roll i arbetet. Förhoppningsvis kan de mer tillbakadragna elever vara mer delaktiga och drivande vid ett, eventuellt, framtida tillfälle då de är lite mer vana vid arbetssättet och kan på så vis bidra mer i gruppen.
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att Navets arbetsmetoder hjälper eleverna i att utveckla deras problemlösarförmåga utifrån George Polyas fyra faser. Deras kreativa och sociokulturella tillvägagångssätt mot undervisningen kräver att eleverna jobbar utifrån Polyas faser under samtalande former. Navet-pedagogernas kompetenser och erfarenheter inom arbetssättet bidrar även med att nivån på uppgifterna passar grupperna och på detta vis utmanas eleverna i sin proximala utvecklingszon. Pedagogernas stöd till eleverna, eller ”scaffolding” som det benämns i pedagogiska sammanhang, försöker alltid att vara så begränsat som möjligt så att eleverna själva ska utmanas, utvecklas men ändå lyckas i sina problemlösningar. Även uppgifterna bidrog till att eleverna utvecklade en förtrogenhet mot Polyas fyra faser. Uppgifter
där eleverna var tvungna att finna en optimal lösning bidrog till att grupperna var tvungna att reflektera och förfina sina lösningar. Textuppgifter med tillhörande praktiskt material, utan någon given procedur eller förklaring, utmanade eleverna att använda alla sina sinnen i problemlösningarna. De var framförallt tvungna att diskutera uppgifterna för att skapa en gemensam förståelse, för att sedan skapa en gemensam plan som de sedan gemensamt fick genomföra. Ledorden i denna form av undervisning blir då att grupperna måste tillsammans lösa uppgifterna gemensamt genom att samtala och prata matematik.
Metoddiskussion
I vår studie använde vi oss av kvalitativa undersökningssätt genom att intervjua två pedagoger från Navet och observera två klasser från två skolor samt insamlade reflektioner från elevernas klasslärare (enkätundersökning). Studien utgår från Navet-pedagogernas åsikter, erfarenheter och arbetssätt inom problemlösningsundervisning. Denna metod användes eftersom tidsramen inte gjorde det möjligt för oss att utföra andra metoder för att undersöka andra arbetssätt inom problemlösning. Enligt Christofferssen och Johannessen (2018, ss. 15–16) är kvalitativa metoder mer flexibla och tillåter högre grad av spontanitet samt anpassning i interaktioner mellan forskare och deltagare. Därför uteslöts den kvantitativa metoden, eftersom undersökningen skulle studera problemlösning i helhet och inte individuellt hos eleverna och pedagogerna.
Observationerna som genomfördes gav oss empiri för att få svar på studiens syfte. Under observationerna följde vi som observatörer ett observationsschema (se bilaga 1) där Polyas fyra faser står i fokus. När eleverna arbetade utifrån de olika faserna fördes detta ner i ett schema för att sedan analyseras. Christofferssen och Johannessen (2018, s. 67) menar att observationer är en bra kvalitativ metod att använda sig av för att se hur elever lär sig strategier och hur de lär sig av varandra. Vi kan inte se någon anledning till att vi skulle ha använt någon annan metod bortsett från de vi har använt oss av.
Frågeställningen besvaras även utifrån intervjuerna med pedagogerna från Navet, vilka är semistrukturerade. Intervjun består av bland annat öppna frågor som är till hjälp för att besvara studiens frågeställning. De är även tolkningsbara för pedagogerna så de kan känna sig avslappnade med att besvara frågorna. Kontakten mellan intervjuarna och pedagogerna har försiggått under en tidigare period innan studierna, vilket kändes mer avslappnat för båda parterna. Bearbetningen av det som besvarats av pedagogerna har transkriberats och färgkodats för att ge ett tydligare resultat för oss till analysdelen, vilket har lett till att frågeställningen bevarats med ett tydligt sammanhang. Navet har fler pedagoger som är ute på skolor och undervisar, därför hade det varit bra om vi kunde intervjua fler pedagoger för att stärka arbetets validitet. Resultatet kunde ha varit mer generaliserbara om urvalet hos Navet hade varit större, men som tidigare nämnt har tidsramen varit alldeles för kort för ett sådant urval så vi fick intervjua de som var tillgängliga. Hade tidsramen varit längre kunde vi även använts oss av reflektioner från eleverna för att få deras individuella synpunkter på hur deras arbetssätt inom problemlösning fungerar. Intervjuer av klasslärarna hade även varit intressant. Det som vi har med är klasslärarnas, korta, reflektioner som kan stärka deras synpunkter på hur Navet arbetar och om de själva kan tänka sig arbeta på Navets arbetssätt.
Ett bekvämlighetsurval är, enligt Christofferssen och Johannessen (2015, s. 57), det slags urval som är det minst önskvärda, men eftersom klasserna var rätt årskurs utifrån vårt syfte och klasserna hade en bra storlek för lektionernas utformning så passade urvalet bra mot studiens syfte. Eleverna hade även jobbat olika mycket med problemlösning, vilket kunde ge intressanta
resultat. Ytterligare en orsak till detta urval är den tidsram vi hade att utgå ifrån, vi hade inte mycket tid för att använda oss utav ett slumpmässigt urval där kontakter hade behövt knytas till nya grupper och lärare. Studien kunde ha inkluderat deltagare från skolor som vi inte har haft