M ATEMATISK
PROBLEMLÖSNING MED
N AVET S CIENCE C ENTER
– KOPPLAT TILL G EORGE P OLYAS FYRA FASER
Avancerad Pedagogiskt arbete
Johannes Butros Linus Carlsson 2019-LÄR4-6-A53
Program: Grundlärarutbildning med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4–6 Svensk titel: Matematisk problemlösning med Navet Science Center – Kopplat till George Polyas fyra faser
Engelsk titel: Mathematical problem solving with Navet Science Center – Linked to George Polya’s four phases
Utgivningsår: 2019
Författare: Johannes Butros och Linus Carlsson Handledare: Marie Fahlén
Examinator: Marcus Agnafors
Nyckelord: Matematisk problemlösning, Polyas fyra faser, Navet Science Center, mellanstadiet
_________________________________________________________________
Sammanfattning
I LGR 11 (2018) betonas att problemlösning ska vara en central del av matematikundervisningen. Tidigare forskning (Lithner 2008; Boesen 2009) har lyft fram att problemlösning inte ges utrymme i klassrumsundervisningen. Denna studie undersöker hur Navets pedagoger arbetar med problemlösning och hur det kopplas till Polyas fyra faser. Vi har också genomfört observationer under lektioner ledda av Navets pedagoger. Dessutom har intervjuer genomförts med Navets pedagoger för att studera deras arbetssätt.
Studiens syfte är att undersöka om Navets Science Center kan stärka elevers problemlösningsförmågor genom att utgå från Polyas faser i problemlösningsundervisningen hos årskurserna 4–6. Om så är fallet, på vilket sätt kan det stärka dessa förmågor?
Denna studie är grundad på kvalitativa semistrukturerade intervjuer och observationer i utomhusundervisning med ändamål att besvara vårt syfte. Urvalet består av två pedagoger från Navet Science Center med en matematisk utbildning och fyra klasser med 69 elever som deltar i en observation samt klasslärare som reflekterar kring resultatet av besöken från Navet.
Studiens resultat visar att Navet kan hjälpa skolor i arbetet med problemlösning med hjälp av sitt arbetssätt, och sina resurser och erfarenheter. Det diskussionsdrivna arbetssättet får eleverna att prata om matematik och lösa problemen tillsammans i en anda av interaktion mellan eleverna och med lärarna. Upplägget på uppgifterna bidrar till att eleverna utmanas i förhållande till Polyas fyra faser, att de förstår problem, skapar en plan, genomför planen och att de reflekterar.
Förord
George Polya fångade vår uppmärksamhet och intresse när vi skrev ett tidigare examensarbete under vår utbildning på Högskolan i Borås, vi ville fördjupa oss och utforska denna individs idéer och tankar ytterligare och här är resultatet. Vi har även märkt att matematikutbildningen i svensk grundskola oftast utgår ifrån färdighetsträning och rutinuppgifter vilket vi tror kan stjälpa elevers lust och kreativitet inom matematiken. Vi hoppas därför att detta arbete kommer att läsas av någon annan än examinator och handledare och faktiskt ge en tankeställare för framtida eller praktiserande matematiklärare.
Vi vill tacka Navet Science Center för hjälp och medverkan i denna studie samt vår handledare Marie Fahlén för all respons, tid och stöd som har gjort detta arbete möjligt.
INNEHÅLL
INLEDNING ... 1
Syfte och frågeställningar ... 2
BAKGRUND ... 3
Navet Science Center ... 3
Vad är problemlösning? ... 4
Heuristiska strategier ... 4
Tidigare forskning ... 4
TEORETISKT RAMVERK ... 7
Ett sociokulturellt perspektiv på elevers lärande... 7
George Polyas fyra faser... 8
METOD ... 10
Urval ... 10
Genomförande ... 10
Kvalitativa intervjuer ... 11
Observation ... 11
Analysmetod ... 12
Validitet och reliabilitet... 12
Etiska aspekter ... 12
RESULTAT OCH ANALYS ... 14
Observationsanalys ... 14
Fas 1 – Förstå problemet ... 14
Fas 2 – Skapa en plan ... 14
Fas 3 – Genomföra planen ... 14
Fas 4 – Reflektion ... 15
Intervjuanalys ... 15
Fas 1 – Förstå problemet ... 15
Fas 2 – Skapa en plan ... 16
Fas 3 – Genomföra planen ... 16
Fas 4 – Reflektion ... 16
Lärarnas reflektioner ... 16
Sammanfattande slutsats ... 17
DISKUSSION ... 18
Resultatdiskussion ... 18
Didaktiska konsekvenser ... 21
Vidare forskning ... 22
REFERENSER
BILAGOR
INLEDNING
Att problemlösning ska vara en central del av matematikundervisningen är något som Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Lgr 11) (2018, ss. 55–56) förespråkar genom att det inkluderas både i det centrala innehållet och i ämnets syfte. Trots detta faktum så har Lithner (2008, ss 255–256) noterat att problemlösning inte bedrivs ute i skolpraktikerna i den utsträckning som krävs för att tillgodose behoven. Boesen (2009, s. 31) bygger vidare på denna tes och ser att matematiklärare testar sina elever utifrån rutinuppgifter, såsom algoritmer, eller annan färdighetsträning och inte fokuserar på problemlösning i den mån som läroplan och nationella prov förespråkar.
Problemlösning anses av National Council of Teachers of Mathematics1 Principles and standards for school mathematics NCTM (2000) vara ett bra sätt att lära matematik då eleverna får en djupare förståelse för matematik och att det går att koppla matematiken till den verkliga världen. Att arbeta med problem kan enligt Bal (2015, s. 1375) utveckla elevers förmåga att finna unika lösningar och strategier till att lösa problem, även i elevers dagliga liv, vilket är en nyttig egenskap i dagens samhälle. Dessutom får alla elever chansen att engagera sig i och lyckas i matematik, vilket kommer stärka eleverna och ge dem en positiv känsla för ämnet (Nieuwoudt 2015, s. 6).
Ovan nämnda referenser tar upp att problemlösning ska vara en del av matematikundervisningen enligt Skolverket, vilket ger eleverna möjligheter att finna en glädje och en nytta i matematikämnet. Trots detta faktum, så faller det ofta bort och därför behövs forskning om hur lärare kan inkorporera problemlösning i matematikundervisningen.
I denna studie undersöks hur Navet Science Center, som är en verksamhet som finansieras av Sjuhärads kommunalförbund för att arbeta med Borås Stad och kranskommunernas elever, arbetar med problemlösning och matematik ute i skolor för att stärka elevers problemlösarförmågor. Genom observationer och intervjuer kommer undervisningen att kritiskt studeras utifrån George Polyas teorier2 samt ett sociokulturellt lärandeperspektiv för att se om Navets arbetssätt stärker problemlösning inom matematikundervisningen. Vår hypotes är att de metoder Navet använder stärker elevernas arbete med problemlösning och kan ge lärare en värdefull inblick i hur arbetet med problemlösning kan bedrivas.
1 National Council of Teachers of Mathematics, eller NCTM som det förkortas, är en matematikutbildande organisation i Nordamerika med flera ledande forskare inom det matematiska fältet.
2 Pólya (2004, s. 5) beskriver problemlösning utifrån fyra faser: förstå problemet, skapa en plan, genomföra planen och kontrollera resultatet. Faserna beskrivs närmare under teoretiskt ramverk.
Syfte och frågeställningar
Syftet med detta arbete är att ta reda på om elevers arbete med problemlösning stärks med hjälp av Navet Science Centers metoder för att arbeta med problemlösning. För att besvara syftet tar vi hjälp av George Polyas (2004, s. 5) fyra faser i arbetet med problemlösning inom matematiken. Dessa faser kommer att fungera som ett analysverktyg tillsammans med den sociokulturella lärandeteorin. Arbetet kommer att fokusera på elever i årskurserna 4–6. För att besvara vårt syfte använder vi följande frågeställning:
• Får Navets metoder eleverna att arbeta med problemlösning utifrån George Polyas fyra faser?
• Bidrar Navets metoder till att eleverna arbetar utifrån ett sociokulturellt perspektiv där eleverna måste samtala, utmanas och reflektera över matematiken?
BAKGRUND
Under stycket Bakgrund beskrivs Navet Science Center och den verksamhet som de bedriver, vad problemlösning är, en förklaring av heuristiska strategier samt tidigare forskning inom området. I nästa kapitel behandlas den teoretiska ram som studien utgår ifrån, Polyas fyra faser samt det sociokulturella lärandeperspektivet, närmare.
Navet Science Center
Navet är ett Science Center3 (fortsättningsvis benämnt som ”Navet”) i Borås som funnits sedan 2003 i deras nuvarande lokaler. Undervisningen sker antingen på plats i Navets lokaler eller som i den här studien då Navets pedagoger åker ut till skolorna för att bedriva utomhusmatematik på skolans skolgård, skolskog eller annan utemiljö runt skolorna. På Navet arbetar 20 personer varav tio personer är pedagoger med olika grader av utbildning.
Navet bedriver en verksamhet där besökarna uppmanas att använda alla sina sinnen när de utforskar naturvetenskap, teknik och matematik. Navet lägger en stor vikt vid att skapa en positiv bild av kunskap och lärande där alla vuxna runt barn och elever ska vara engagerade och nyfikna. Navet är organiserat så att arbete i grupp och diskussioner ska gynna arbetet och de har ett sociokulturellt perspektiv på lärandet. Lärandet sker tillsammans i grupper där nyfikenhet, diskussioner och experimenterande står i centrum.
Lokalerna är 4750m² stora och befinner sig i centrala Borås. Lokalerna är uppdelade i olika avdelningar som behandlar olika teman, det finns en matematikavdelning, rymd och fysik, hållbar utveckling, vattenavdelning, kemi och så vidare. Dessa teman är riktade mot olika årskurser och är förankrade i Lgr 11 (2018). Klasserna som kommer för att ha matematik får välja mellan olika teman som är skapade från det centrala innehållet i läroplanen och får även med sig en låda med uppföljningsuppgifter som täcker temat för besöket. De har även problemlösning utomhus med klasser, då åker Navets pedagoger till skolorna eller så kommer klasserna till Ramsulan, ett område en bit utanför Borås, för att ha utomhusmatematik.
Materialet i de olika utställningarna är mycket plockmaterial och praktiska uppgifter, Navet tror på att eleverna lär bäst genom att använda alla sina sinnen och därför är det viktigt med ett material som går att utforska med alla sinnen. Detta material är eget konstruerat i Navets lokaler av Navets mekaniker, men saker såsom spel, program och annan teknik köps in. Navet tog emot 22 418 elever och 2 417 lärare år 2017 (Navet, 2017).
Finansieringen sker genom verksamhetsstöd och bidrag där Sjuhärads Kommunalförbund är huvudfinansiär. Boråsregionens avtalskommuner står för en tredjedel av finansieringen och för dessa pengar får alla skolor inom dessa kommuner möjligheten att komma till Navet och ta del av deras teman. Navet får även in pengar genom försäljning av kompetensutveckling, design, föreläsningar, försäljning av utställningar och experimentstationer och även besökande som kommer på helger och lov som betalar en entréavgift för att utforska Navets lokaler (Navet, 2017).
Anledningen till att vi väljer att använda oss av Navet i denna studie är att vi under vår högskoleutbildning har besökt Navet för att se hur de bedriver sin verksamhet, en verksamhet som korrelerar med den sortens undervisning som förespråkas av högskolans pedagoger och av aktuell forskning. Navet finansieras även av Sjuhärads kommunalförbund för att alla skolor
3 Science Center, eller Vetenskapscentrum som det kallas på svenska, är en inrättning som har till syfte att utveckla och stimulera barn och ungdomars förståelse och intresse för teknik, matematik och naturvetenskap.
inom dessa kommuner ska få möjligheten att använda sig av Navet i sin undervisning, därför anser vi att det är relevant att använda oss av Navet i denna studie.
Vad är problemlösning?
I denna studie undersöks problemlösning inom ämnet matematik. Problemlösning innebär att eleverna löser matematiska problem, vilket skiljer sig från rutinuppgifter. Enligt George Polya (2014 s.171) är problem en rutinuppgift om det kan lösas genom att endast sätta in data utan eftertanke. Hagland, Hedrén och Taflin (2005, ss. 27–28) förklarar vidare att problem kräver ansträngning och att problemet inte ska ha en given procedur på förhand för att kunna lösas. De förklarar också att ett problem för en elev kan vara en rutinuppgift för en annan. Därför kan problem och rutinproblem vara olika beroende på kunskapsnivån hos eleverna. Polya (2014 s.171) förklarar vidare att rutinproblem ej ger några möjligheter för eleverna att använda sitt matematiska omdöme eller uppfinningsrikedom. Rutinproblem har ända en plats i undervisningen, när det kommer till färdighetsträning inom matematiken, men att endast utgå ifrån det är oförlåtligt, enligt Polya:
Routine problems, even many routine problems, may be necessary in teaching mathematics but to make the students do no other kind is inexcusable. Teaching the mechanical performance of routine mathematical operations and nothing else is well under the level of the cookbook because kitchen recipes do leave something to the imagination and judgement of the cook but mathematical recipes do not.
George Polya (2014, s. 172)
Heuristiska strategier
Heuristiska strategier är något som George Polya (2014) bygger problemlösning runt. Det är strategier som eleverna kan använda sig av för att förstå sig på och lösa ett problem. Det kan vara att rita bilder, gissa och försöka, använda sig av figurer, bryta ned problemet i sina beståndsdelar eller använda sig av andra liknande problem, om det första problemet verkar olösligt. Heuristik är ett adjektiv och betyder ”tjäna för att upptäcka”, i denna kontext är de strategier som används för att upptäcka, förstå och lösa matematiska problem (Polya 2014, s.
113).
Tidigare forskning
Karatas och Baki (2013) menar att en lärandemiljö som tillåter eleverna att gå igenom Polyas faser kan stärka elevernas förmågor inom problemlösning. Studien bestod av två klasser som båda låg på samma nivå och som undervisades av samma lärare i en skola i Turkiet. En klass fick en undervisning som fokuserade på Polyas fyra faser, medan den andra klassen, kontrollgruppen, hade en undervisning som utgick från Turkiets matematiska läroplan.
Resultaten visade på att experimentgruppens deltagare hade en större repertoar av strategier när de skulle förstå problemen, de använde sig utav former, tabeller och diagram. Även i val av strategier för problemlösningen hade experimentgruppen ett bättre resultat då de diskuterade sina strategier för att komma fram till en lösning, vilket kontrollgruppen inte gjorde. I utförandedelen märktes inga stora skillnader mellan de olika grupperna, men eftersom experimentgruppen var bättre på att reflektera och se tillbaka så fick de ett bättre resultat än kontrollgruppen.
Mogari och Lupahla (2013) testade en klass i Namibia på deras problemlösarförmågor i ett test bestående av sju icke-rutinuppgifter. De fann att eleverna hade stora svårigheter att lösa dessa
problem på ett kreativt sätt när de inte gavs en lösningsstrategi. Dessa elever hade lätt för rutinuppgifter där de känner igen procedurerna som de tränat och kan utföra dessa utan några svårigheter men hade svårt att koppla ihop dessa procedurer till nya problem och sätta in dem i en ny kontext. Mogari och Lupahla (2013, s. 103–104) rekommenderar därför lärare att fokusera undervisningen på att förstå procedurer och processerna vid problemlösning snarare än att endast få rätt svar till problemet. Författarna menar att skolan bör fokusera mer på icke- rutinuppgifter i undervisningen för att fostra kreativa utövare av matematik. De såg också i sin studie att algebraiska lösningar var de som användes mest av deltagarna, men gav inte nödvändigtvis bäst resultat. En större repertoar av strategier behövs för att eleverna ska få chansen att finna lämpliga lösningar.
I en irländsk fallstudie utförd av O’Shea och Leavy (2013) undersöker forskarna om socio- konstruktivistisk problemlösning kan genomföras utifrån Polyas faser och heuristiska strategier och vilka eventuella fördelar eller nackdelar som detta ger. Anledningen till att dessa strategier bör användas lyfter även NCTM (2000) i tillvägagångssättet som de heuristiska strategierna används. Eleverna måste förstå problemet, skapa sin plan, utföra planen och reflektera. Under detta arbete är det viktigt av att kunna gå fram och tillbaka mellan dessa faser och då är heuristiska strategier ett lämpligt verktyg. Det är så styrdokument och den forskning som vi uppmärksammar i denna studie, lyfter hur problemlösning bör bedrivas i skolorna.
Resultat från O’Shea och Leavys (2013) studie blev olika för de fem lärarna och en lärare som lyckades applicera dessa faser i sin undervisning på ett lyckat sätt förklarar att hennes undervisning både blev roligare och skapade spänning för eleverna, när de själva fick lära sig att lösa problem på ett icke rutinmässigt sätt. Lärarens del i arbetet var inte att presentera lösningar, utan presentera ett problem som eleverna ska finna en lösning på och sedan stötta genom att ställa frågor som leder in eleverna i rätt banor. När dessa faser och strategier befästs i klassrummet och undervisningen märkte även läraren att det inte behövdes mycket stöttning i arbetet, eleverna blev självständiga problemlösare med många samtal om matematik och problemlösning som efterföljder.
Lärarna fann i O’Shea och Leavys (2013, s. 314) undersökning att de heuristiska strategierna var effektiva i arbetet med problemlösning och att Polyas (2014) fyra stadier av problemlösning genom heuristiska strategier var ovärderliga. Det är dock viktigt att vara medveten om stadierna och att det inte är en linjär process, utan eleverna måste gå mellan de olika stadierna för att finna de rätta strategierna och genomförandet för just den problemlösning som de arbetar med.
De lägger även stor vikt vid den fjärde fasen där eleverna tillsammans ska reflektera över arbetet, det är här de kan lära sig om varandras olika lösningar, diskutera sätt att göra lösningar effektivare och bättre samt att verkligen förstå problemlösning på djupet.
En studie (Brennan, Rule, Walmsley & Swanson 2010) undersökte elever under en problemlösning där de skulle “tänka-högt” medan de löste ett problem. De visar på hur ett språk kopplat till problemlösningen kan hjälpa eleverna i sina lösningar. Detta är något som även Säljö (2000) visar på, att det finns en koppling mellan språket och en förståelse. Forskarna noterade dock att endast ett rikt språk inte nödvändigtvis gav eleverna en möjlighet att lösa problemen, men de var till stor hjälp om eleverna kunde verbalisera processen då det hjälpte dem förstå problemen. De elever som inte klarade uppgifterna förvirrade sig i processen och hamnade ofta på sidospår som inte tog dem vidare. Här är det viktigt att lärarna ger stöd till dessa elever för att leda in dem på rätt spår genom att ställa rätt typ av frågor. Det är även viktigt för lärarna att hjälpa de lite mer passiva eleverna, för att få igång deras samtal och tankar. Detta
stöd, ”scaffolding”, ett begrepp som Säljö (2014, s. 305) använder och som han beskriver som att det är viktigt för att eleverna ska göra kunskapen till sin egen med hjälp av en lärare eller mer kunnig kamrat.
I Lee, Yeo och Hongs (2014) artikel uppmanas eleverna till att använda sig av Polyas faser i problemlösning genom en modell som forskarna skapat. Denna modell är till för att uppmuntra eleverna att följa faserna stegvist, genom att läsa och förstå problemen och kunna identifiera den information som ges och behöver hittas. Genom denna modell ska eleverna också kunna utforma en plan genom att bestämma metoder, strategier/heuristik som är lämpliga för ett effektivt tillvägagångsätt. Polyas faser ska även uppmana eleverna att se tillbaka till sina lösningar för att avgöra om deras svar har ett sammanhang med problemet. Slutligen reflekterar de över sina processer och ta del av strategierna de använt för att kunna lösa liknande problem i framtiden. Genom användning av denna modell blev eleverna självständigare och säkrare i att använda strategier för att lösa problemen, denna självständighet gav även eleverna ett bättre självförtroende. Eleverna hade lättare att navigera sig under problemlösningen när de använde sig av denna modell.
Sokolowski, Li och Willson (2015) lyfter Polyas heuristiska strategier och poängterar hans fyra faser, precis som de ovan nämnda forskarna. De tar upp betydelsen av Polyas fyra faser som ett hjälpmedel för att kunna fullfölja processen med att lyckas med problemlösningar i matematiken. Det är detsamma som när de ovannämnda artiklarna nämner att de heuristiska strategierna är ett hjälpmedel för att finna strategier och att det med hjälp av faserna går att skapa en strukturerad arbetsprocess inom problemlösningen. Polya (2014) nämner att faserna fyller ett syfte när man använder dem, men att de inte behöver följas helt och hållet stegvist i en viss ordning, utan att det går att hitta andra vägar att hitta fram till lösningar med hjälp av faserna.
Ovan nämnda studier visar på att de heuristiska strategierna och George Polyas faser är till stor hjälp i problemlösningar och att de är ett viktigt verktyg för lärare och elever när de tar sig an problem inom matematiken. Hensberry och Jacobbe (2012) undersökte i en studie hur dessa faser kunde implementeras i undervisningen med hjälp av loggböcker där eleverna alltid går igenom en rad frågor som de skriver ner i sina böcker. Dessa frågor var direkt kopplade till de fyra faserna och fick eleverna att gå igenom denna process vid varje problemlösning. Studien, som endast pågick under fyra dagar, visade att eleverna inte nödvändigtvis blev bättre på att lösa problemen som de fick under denna korta tid, men att reflektera över uppgifterna och gå igenom alla faserna gav rikare lösningsstrategier vilket i förlängningen kan ge eleverna en större möjlighet att utveckla sina problemlösarförmågor i framtiden (Hensberry & Jacobbe 2012, s.
82).
Ytterligare en studie som fokuserade på den fjärde fasen utfördes av Leong, Toh, Tay, Quek och Dindyal (2012 s. 366–368) kom fram till att denna fas ofta blir negligerad i klassrummen, men att det finns mycket där att hämta. De undersökte en elev med extraordinära matematiska förmågor och denna elevs arbete utifrån de fyra faserna. De såg, vilket även eleven uttryckte, att den fjärde fasen kunde lära mycket om reflektionerna gick vidare från att endast undersöka svaret och dess rimlighet till att utforskade alternativa lösningar, förlänga lösningen bortom endast problemet och generalisera till andra problem eller matematiska situationer. Värt att tillägga är att denna studie utgick ifrån en mycket begåvad elev, men det är viktigt att komma ihåg att även de starka eleverna ska utmanas i skolan och denna fas kan göra mycket för att utveckla och utmana dessa elever.
TEORETISKT RAMVERK
Detta kapitel behandlar det sociokulturella perspektivet på elevers lärande samt George Polyas fyra faser inom problemlösning. Det sociokulturella lärandeperspektivet är den teorin som denna studie utgår ifrån tillsammans med George Polyas fyra faser, som dessutom är analysverktyget utifrån de observationer och intervjuer som utförts.
Ett sociokulturellt perspektiv på elevers lärande
I denna studie ser vi på lärandet genom ett sociokulturellt perspektiv där eleverna arbetar med problemlösning i grupper och lär sig tillsammans med hjälp av samtal och diskussioner. Säljö (2000, ss. 66–67) beskriver att detta perspektiv visar på hur lärandet sker genom lek och samspel och att det uppstår genom att uppmärksamma, beskriva och agera tillsammans. Att lära sig problemlösning och matematik är i många fall som att lära sig ett nytt språk och då är kommunikationen och språkanvändningen grundläggande, det är genom att diskutera och prata om begrepp och företeelser som eleven blir delaktiga i dem och kan lära sig. Säljö (2000, s.
111) beskriver denna process närmare och förklarar hur tänkandet och språket hänger ihop.
Genom att upprätta en gemensam förståelse och diskutera kring denna förståelse så utvecklas den i gruppen. Tänkandet är då delat mellan deltagarna och alla har ett utsatt mål, att lösa de uppgifter som finns, på så vis hör språket och diskussionerna ihop för att skapa ett tänkande och en förståelse.
Den proximala utvecklingszonen är ett av de mest kända begrepp som utvecklingspsykologen Lev Vygotskij myntade och som är relevant för denna studie. Detta begrepp handlar om vilken nivå som uppgifter och arbete bör ligga på för att eleverna ska få ut det mesta från undervisningen. Det ska inte vara för enkelt, då riskerar eleverna att inte utmanas, men det får heller inte vara för svårt så att eleverna inte har någon chans att lyckas lösa uppgifterna. Under denna lärandeprocess är det även viktigt med rätt stöd, vilket kan komma från en lärare eller en kamrat som är mer kunnig. Detta stöd ska heller inte ge direkta svar på tal, utan det kan visa sig i frågor som leder in eleven på rätt tankebanor och riktar fokus mot det som är viktigt att tänka på, detta stöd kallas inom pedagogiken för scaffolding som Wood, Bruner och Ross (1976 s.
90) först myntade. Allt eftersom arbetet fortskrider bör detta stöd minskas så att eleverna till slut kan lösa problemen på egen hand för att sedan ge eleverna mer utmanande problem (Säljö 2014, ss. 305–306).
Även Polya (2014, s. 1) är inne på samma spår och lyfter vikten av att läraren måste finnas tillgänglig som stöd, men om eleverna får för mycket hjälp under processen kommer de inte finna något nytt att lära sig. Därför krävs det av läraren att hitta rätt balans. En av de viktigaste uppgifterna hos en lärare är att hjälpa sina elever. Denna uppgift är inte helt lätt, eftersom det kräver tid, övning och hängivenhet. Eleverna borde, enligt Polya, få möjligheter att förvärva så mycket självständigt arbete som möjligt, men om eleverna gör det utan någon stöttning kommer de inte att göra några framsteg alls.
George Polyas fyra faser
En teori som ofta används inom problemlösning är George Polyas fyra faser (Pólya, 2014).
Dessa faser beskrevs första gången i boken How to solve it (1945) och har sålts i fler än en miljon exemplar. I detta arbete utgår vi ifrån den senaste upplagan som släpptes 2014. De fyra faserna redogör för hur problemlösningsuppgifter kan handskas stegvist i klassrummet. Polyas fyra faser består av:
• Att förstå problemet,
• Skapa en plan,
• Genomföra planen och,
• Reflektera/kontrollera resultaten.
George Polya (2014) förklarar att dessa faser är sammanhängande, att de går ihop med varandra när man ska utgå från dessa faser. Syftet med Polyas fyra faser är främst för att ge eleverna hjälp med problemlösningsprocessen. Det är först och främst viktigt att få en inblick om elevernas upplevelser och kunskaper inom problemlösning, men också att försöka skapa en förståelse för elevernas tankegångar som sedan ska kunna leda till att stödja eleverna i att finna en förståelse för problemlösning.
Den första fasen, att förstå problemet, innebär att eleverna ska skapa en förståelse för vad problemet innefattar och vad som efterfrågas att lösa. Det är självklart att det blir fel svar om man inte förstår problemet eller inte känner någon lust för att lösa det. Det är därför vår uppgift som lärare att undvika sådana situationer och attityder inom problemlösning. Polya (2014, s. 6) framhåller att om eleven inte förstår uppgiften eller lösningen på problemet är det inte alltid elevens fel, utan läraren måste välja varsamt vad det är för problem och vilken svårighetsgrad problemet befinner sig på, att det varken är för lätt eller för svårt. Polya (2014, ss. 6–7) förklarar vidare att det är viktigt att förstå begreppen i själva problemet. Detta sker genom att läraren ställer relevanta frågor som: ”Vad ska vi räkna ut? Vad är det som är okänt?” etc. Det är frågor som leder till att läraren lyckas få fram en tankeprocess hos eleverna.
I den andra fasen, skapa en plan, ska eleverna skapa sig en relevant plan för att möjligtvis kunna lösa problemen. Eleverna ska med hjälp av sina förkunskaper kunna hitta olika metoder för att skapa en plan för att lösa problemet. Det kan exempelvis vara att de gissar och checkar av, ritar, arbeta baklänges etc. Polya (2014, ss. 8–9) menar at läraren inte ska ge eleverna alltför mycket information eller ställa frågor som kan leda till svaren i uppgifterna. Polya (2014) förklarar att det blir svårt att skapa en plan om man inte har lite förkunskaper inom området, samt att bra idéer är baserade på tidigare erfarenheter. Eleverna ska försöka arbeta med att utforma en plan för att lösa problem och därför är det viktigt att de undersöker detaljerna i själva problemet, och att de ställer rätt frågor för att kunna komma fram till svaren (Polya 2014, ss. 9–10).
Den tredje fasen, genomföra planen, handlar om att eleverna ska utföra sin plan som de gjort utifrån den andra fasen. Denna fas kräver egentligen bara tålamod om den föregående fasen utförts på ett rimligt sätt. Den största faran i denna fas är att eleverna glömmer bort sin plan, vilket sker oftare om planen har getts till eleverna än om eleverna faktiskt kommit på planen själva. Har eleven själv funnit en plan som denne tror fungerar kommer eleven inte att glömma bort planen. Läraren måste i denna fas se till att eleverna följer sina steg i planen och bör ställa frågor som gör att eleverna reflekterar över de steg som de utför. Om planen som eleverna har skapat inte har lett till ett rimligt svar måste de gå tillbaka och välja en annan plan, metod/strategi, och testa igen (Polya 2014, ss. 12–13).
Slutligen så befinner eleverna sig i den fjärde fasen, reflektera/kontrollera resultatet, som innebär att eleverna ska kontrollera resultatet och reflektera över arbetet. Polya (2014, ss. 14–
15) ansåg att denna fas ofta är bristfällig i undervisningen då de flesta eleverna går vidare till nästa uppgift, istället för att kontrollera vad de egentligen har gjort. De missar då ett viktigt lärandetillfälle i arbetet, istället för att se tillbaka och ompröva alla steg som gav ett svar på problemet. Det går alltid att förbättra lösningar genom att se problemet från olika infallsvinklar och en duktig lärare ska intressera sina elever till att utveckla sin förståelse och förmåga att se lösningar på problemen. Polya nämner även att den fjärde fasen är betydelsefull då eleverna får tillfället att kontrollera sina metoder och kunna lära sig att sedan ha användning av dem till liknande problem.
Anledningen till att denna studie utgår ifrån dessa faser och strategier är att en stor del av forskningsfältet nämner George Polyas How to solve it (2014) eller de uppföljare som vidareutvecklat hans teorier. Även Lgr 11 (2018) utgår ifrån dessa faser i hur matematikundervisningen ska formas när det kommer till problemlösning. I denna studie analyseras arbetet utifrån de fyra faserna där elevernas arbete och pedagogernas instruktioner undersöks i förhållande till dessa faser.
METOD
För att undersöka syftet väljer vi att utföra en kvalitativ studie där vi använder oss av observationer och intervjuer. Detta val av metod ger oss möjligheterna att sätta oss in den sociala verkligheten. Syftet bakom valet är att söka förstå hur människor tänker och höra deras beskrivningar om hur de upplever ett visst problem, samtidigt som vi lyssnar och sedan analyserar det vi hört (Christofferssen & Johannessen 2015, s. 15).
För att denna metod ska ge oss en ökad förståelse inom området problemlösning, är det därför viktigt att söka upp personer som är kunniga och arbetar mycket inom detta område. Därför har vi tagit kontakt med pedagoger på Navet som kan öka vår förståelse kring deras arbetssätt inom problemlösning, och att genom att utföra en semistrukturerad intervju söka ta reda på hur de undervisar och varför de gör på detta sätt. Intervjuerna utgår från en intervjuguide i linje med en semistrukturerad intervjumetod. En kvalitativ studie kan bidra till en ökad förståelse kring respondenternas uppfattning och erfarenheter inom området, men också att det ger en djupare förståelse för vad som sker under problemlösningarna för att stärka elevernas förståelse (Christofferssen & Johannessen 2015, ss. 15–16).
Vi utförde även åtta observationer av fyra olika klasser som hade utomhusmatematik med Navets pedagoger. Christofferssen och Johannessen (2015, s. 66) framhåller att observationer är en lämplig metod när en forskare vill ha direkt tillgång till det som undersöks, vilket i detta fall är om Navets pedagoger kan stärka elevers problemlösarförmåga utifrån Polyas fyra faser.
Urval
Urvalet i denna studie består av totalt fyra klasser som går i årskurs 4–5 på två olika skolor i Borås. Två klasser går i årskurs 5 och består av 14 respektive 16 elever. Skolan är belägen en bit utanför Borås Stad. De andra klasserna går i årskurs 4 och består av 16 och 23 elever och skolan ligger centralt i Borås. Christofferssen och Johannessen (2015, s. 55) beskriver olika sorters urval, det urval vi har valt är ett homogent urval som ska svara på studiens syfte och därför är eleverna valda utifrån en viss åldersgrupp, årskurs 4–5. Vi valde även detta urval ur ett bekvämlighetsperspektiv då vi kände dessa klasser och deras klasslärare från vår verksamhetsförlagda utbildning. Vi har även inkluderat fyra pedagoger från Navet som har undervisat matematik i både lägre och högre årskurser i skolan, och därför kommer vi få en inblick på hur problemlösning ser ut i mellanstadiet.
Genomförande
Denna studies resultat grundas på kvalitativa undersökningsmetoder, vilket är intervjuer med Navets pedagoger och observationer med elever i fyra olika klasser. Analysen kommer att kopplas med observationerna, intervjuerna, tidigare forskning och det teoretiska ramverket.
Informanterna på skolorna kontaktades via mail. Navets pedagoger stämde vi möte med över telefon för att kunna presentera studiens syfte och förklara upplägget och be om deras medverkan.
Innan intervjuerna genomfördes presenterade vi vårt arbete och syftet med vår studie. Detta för att ge pedagogerna en förståelse för vad arbetet handlar om. Pedagogerna intervjuades separat med frågor (se bilaga 2) som var kopplade till Polyas fyra faser, dessa intervjuer spelades in och transkriberades. Därefter analyserades och färgkodades svaren så att de skulle svara på
studiens syfte. Frågorna från intervjun var ämnade att besvara vilket arbetssätt pedagogerna har när de arbetar med problemlösning samt vad syftet är med deras lektioner.
Pedagogerna som intervjuades fick välja var intervjuerna skulle ske och de föreslog att vi skulle intervjua dem på Navet. Intervjuerna transkriberades och analyserades genom att koda svaren utifrån vad som kan kopplas till Polyas fyra faser. En viktig del med transkriberingen, enligt Fejes och Thornberg (2017, s. 203), är att under processen inte missa något som kunde ha varit användbart i analysen och förklarar att olika åhörare kan uppfatta intervjuerna på olika sätt, därför satt vi tillsammans och lyssnade på intervjuerna.
Den första observationen genomfördes i årskurs 5 i den skola som befann sig utanför Borås Stad. Vi introducerade oss för klassen om vilka vi är och informerade eleverna om vad syftet är med vår studie samt att vi inte kommer att stötta eleverna under aktiviteterna som utfördes på deras skolgård. Detsamma gjorde vi med den andra skolan som befann sig inom Borås Stad, där aktiviteterna utfördes i deras skolskog som befann sig i närheten av skolan. Elevernas klasslärare var närvarande under lektionerna och fick med sig ett reflektionsblad (se bilaga 3) med några frågor om vad de tyckte om Navets upplägg, vilket vi senare också analyserade i vårt arbete.
Fördelningen av arbetet mellan oss har gått till så att vi under observationerna observerade olika grupper utifrån ett observationsschema (se bilaga 1) och förde ner anteckningar och gjorde en första analys enskilt. Vid nästa steg jämförde vi våra anteckningar samt upptäckter och analyserade dessa tillsammans. Intervjuerna utfördes gemensamt och transkriberades och analyserades likaså. Skrivandet av samtliga delar har skett tillsammans och båda studenterna har ett gemensamt ansvar över samtlig text.
Kvalitativa intervjuer
Insamlingen av empirin på intervjuerna har gjorts via en semistrukturerad intervju med Navet där två pedagoger har deltagit. Semistrukturerad intervju innebär att frågorna är i stort sätt öppna, vilket betyder att det inte finns några formulerade svarsalternativ. De som intervjuas formulerar svaren med sina egna ord och vi som ställer frågorna har ingen inverkan på hur de svarar, men också att svaren visar på hur respondenterna har uppfattat våra frågor (Christofferssen och Johannessen 2018, s. 85). Christofferssen och Johannessen (2018, s. 83) förklarar att intervjuer är en flexibel metod som kan användas nästan överallt och gör det möjligt att undersöka frågor i detalj.
Intervjuerna bestod av öppna frågor som skulle besvara studiens syfte, vilket resulterade till att vissa följdfrågor behövde ställas. Vi ansåg under processen att respondenterna svarade tydligt och genomförande mot studiens syfte.
Observation
Studien innefattar även observationer som gjorts ute på två skolor med fyra klasser från årskurs 4–5. Vi har varit med ute på skolgårdar och grusplaner när pedagogerna från Navet har utfört de fysiska problemlösningsuppgifterna. Observationer är, enligt Christofferssen och Johannessen (2018, s. 66), en lämplig metod om man vill ha direkt tillgång till det man undersöker, exempelvis interaktioner mellan elever och pedagoger. Denna metod, till skillnad från enbart intervjuer, ger möjligheter till information som inte alltid tydligt framkommer i
intervjuer och observationer möjliggör också att forskaren kan se på något bekant med nya ögon, vilket kan stärka känslan och upplevelsen i forskningen.
Analysmetod
Analysmetoden som används i detta arbete är en tematisk analys där observationsscheman och intervjuer analyseras utifrån Polyas fyra faser (som beskrivits under teoretisk ram), således blir dessa faser även ett analysverktyg. Christofferssen och Johannessen (2015, s. 106) förklarar att analysarbetet går ut på att dela upp data i bitar eller element där målet är att visa ett mönster i empirin som kan svara på syftet av studien. I denna studies fall lyfts de fyra faserna från observationerna och intervjuerna, där elevernas agerande och pedagogernas svar sätts i relation till faserna. En sådan sorts analys, som fokuserar på teman, benämns som tematisk analys (Fejes och Thornberg 2017, s. 244).
Intervjumaterialet och observationsanteckningarna analyserades genom att de färgkodades utifrån Polyas faser (2014, s. 5). När vi satt och analyserade materialet såg vi på uttalanden i intervjuerna samt observationer från observationerna som direkt korrelerade med faserna och då färgkodades för att finna mönster i empirin. De olika teman vi såg var de fyra faserna i förhållande till elevernas arbetssätt och pedagogernas upplägg på lektionerna.
Validitet och reliabilitet
Validitet är ett begrepp för att beskriva kvalitet inom forskning och handlar om ett instruments förmåga att mäta det som det är avsett att mäta (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström 2013, s. 105). I denna studies fall handlar det om de observationer och intervjuer som genomförts kan besvara studiens syfte. Fejes och Thornberg (2017, ss. 257–258) har fyra frågor som kan ställas vid en kvalitativ undersökning för att försäkra sig om en god validitet: “Är forskningsfrågan lämpad för kvalitativ forskning?”; ”Passar de valda datainsamlings- och analysmetoder som använts med studiens syfte och frågeställningar?”; ”Hur väl besvarar resultatet forskningsfrågan?”. Svarar resultatet på andra frågor än studiens forskningsfråga, “glider”
resultatet bort från forskningsfrågan?”. Dessa frågor beaktades i utformningen av studien för att ge den en hög grad validitet.
Reliabiliteten handlar om hur tillförlitliga data är, enligt Christoffersen och Johanessen (2015, ss. 21–22). Reliabiliteten kan testas genom att återupprepa försök och låta olika forskare undersöka samma fenomen. I denna studie är det fyra klasser som observeras av två observatörer för att ge studien ett större urval och möjlighet att återupprepa försöken. Som två observatörer observerade och tolkade vi även data, oberoende av varandra, för att söka ge studien en högre grad av reliabilitet.
Etiska aspekter
Eleverna som deltagit under observationerna har sina identiteter skyddade och deras skolor nämns inte i studien. De har blivit informerade genom ett missivbrev (se bilaga 4) som vi skickat ut i förhand som förklarar studiens syfte och genomförande. I vår studie kommer vi inte att nämna några deltagare från observationerna, utan enbart från intervjuerna. Vi har bestämt att skydda identiteterna hos pedagogerna på Navet, så att pedagogerna namnges som Pedagog 1 och Pedagog 2. Enligt Vetenskapsrådet (2002) framhålls individskyddskravet och att de fyra huvudkraven ska efterföljas vid forskning. De fyra huvudkraven är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.
Informationskravet innebär att forskaren har som krav att informera de berörda om den aktuella forskningsuppgiftens syfte. De ska även bli informerade om vilka roller de har i studierna, samt att informera att det är frivilligt att delta i forskningen (Vetenskapsrådet 2002). Vi har här använt missivbrevet (se bilaga 4) för att tydliggöra syftet och vad forskningen kommer att belysa i vårt arbete.
Samtyckeskravet handlar om att deltagarna har rätt att själva bestämma över sitt medverkande, vilket även innebär att vi som utför studien har fått deltagarnas samtycke från föräldrar/vårdnadshavare, eftersom de som vi observerar i studien är under 15 år. Deltagarna ska kunna avbryta sin medverkan utan att det medföljer några negativa följder för dem. De får då inte utsättas för påtryckning eller påverkan för att fortsätta medverkandet (Vetenskapsrådet 2002). Detta krav har uppfyllts genom att låta eleverna och deras vårdnadshavare skriva på och godkänna sin medverkan i studien genom det utskickade missivbrevet.
Konfidentialitetskravet innebär att de uppgifter som lämnas av deltagarna ska behandlas konfidentiellt och de som är obehöriga inte kan ta del av dem. Vi som utför studien har även tystnadsplikt, vilket innebär att vi inte får dela ut information om de deltagande till obehöriga personer (Vetenskapsrådet 2002). Observationerna antecknades enbart utan några namn angivna och intervjuerna spelades in för sedan att sedan transkriberas, därefter raderades inspelningarna.
Nyttjandekravet handlar om material som insamlats endast får användas för forskningsändamål och inte icke-vetenskapliga syften. Personuppgifter som samlats in får inte heller lånas ut till obehöriga (Vetenskapsrådet 2002). Resultatet av våra deltagare har med deras svar endast använts för sammanställning och varit anonymt i vår studie, varken namn eller plats namnges i undersökningen.
RESULTAT OCH ANALYS
I den kommande resultatdelen analyseras observationerna, intervjuerna samt klasslärarnas reflektioner. Observationerna och intervjuerna analyseras, som beskrivits ovan, utifrån Polyas fyra faser och klasslärarnas reflektioner ger en bild av hur arbetet togs emot från dem och hur de kan tänka sig att fortsätta arbeta med matematik på detta sätt. Observationsschemat (se bilaga 1), intervjufrågorna till Navets pedagoger (se bilaga 2) och reflektionsfrågorna till klassernas lärare (se bilaga 3) finns att tillgå i bilagorna.
Observationsanalys
De fyra klasserna som observerades under studien visade flera exempel på hur Polyas faser används så eleverna kan lösa problemen. Undervisningen skedde utomhus med två pedagoger från Navet Science Center i ledande roll. Klasserna delades in i grupper om 3–5 elever, beroende på storleken av klasserna.
Inledningsvis presenterade pedagogerna första uppgiften, vilket var en gemensam uppgift, där alla gjorde samma övning. En slags uppvärmning inför kommande uppgifter. Resten av lektionen fick eleverna, i sina grupper, välja olika stationer där ett problem fanns att lösa tillsammans. I vissa uppgifter fanns en progression i svårighetsgrad, där den första uppgiften var till för att lättare förstå problemet och den andra uppgiften utmanade elevernas problemlösarförmåga.
Det som kan konstateras utifrån observationerna är att uppgifterna kräver diskussioner, skapande av strategier samt eftertanke.
Fas 1 – Förstå problemet
Uppgifterna som eleverna fick av pedagogerna låg, i de flesta fall, inom deras proximala utvecklingszon vilket innebar att det krävdes en ansträngning från eleverna att förstå problemen och lösa dem. Eleverna var tvungna att läsa instruktioner noggrant samt diskutera sinsemellan för att skapa en förståelse för problemet. Uppkom det svårigheter för grupperna i denna fas fanns pedagogerna tillgängliga som stöd. I många fall räckte det att pedagogerna endast var där för att lyssna till eleverna när de läste frågan på nytt, och uppmärksammade vissa begrepp som eleverna hade svårt att ta till sig. I vissa fall fick pedagogerna ställa frågor till eleverna för att få in deras tankebanor mot rätt riktning.
Fas 2 – Skapa en plan
I skapandet av en plan för att lösa problemet, som de nu förstod sig på, krävdes även här en diskussion inom gruppen. Här märktes det att grupperna arbetade på olika sätt och använde sig av varierande strategier. Vissa grupper ville ta det i tur och ordning och faktiskt skapa en plan att sedan genomföra, medan andra grupper testade sig fram och gick mellan tredje och andra fasen för att finna en lämplig strategi. Även under denna fas fanns pedagogerna tillgängliga för stöttning, men gav inga direkta svar på hur eleverna bör lösa problemet utan gav små tips för att leda in eleverna på rätt spår till en lösningsstrategi.
Fas 3 – Genomföra planen
Eleverna som genomförde sina skapade planer fick i många fall gå tillbaka till fas två för att revidera och ändra om i planerna om inte en lyckad lösning uppstod. Många grupper använde sig av heuristiska strategier genom att testa, misslyckas och ändra om. I detta arbete var det
viktigt att eleverna samtalade och utvärderade arbetet hela tiden, för att se om planen faktiskt kunde lösa problemen.
Fas 4 – Reflektion
Under introduktionsövningen samlades hela klassen efter övningen för att diskutera hur det hade gått, vilka svårigheter eleverna hade stött på och hur de kunde ha gjort annorlunda. Under dessa samtal blev det korta svar från eleverna, men i vissa fall tog grupperna med sig dessa frågor och diskuterade sinsemellan i sina grupper.
Under de resterande övningarna fanns det ingen riktigt tydlig reflektionsdel, när eleverna kände att de hade löst problemet gick de vidare. Vid vissa stationer efterfrågades en optimal lösning, vid dessa stationer blev det en naturligare reflektionsdel då de fick fundera över den lösning som de genomfört. De kunde till och med gå tillbaka till fas två för att ge sig på ett nytt försök för att förbättra den första lösningen. När lektionen var slut så samlades alla grupper och pedagogerna ställde frågor kring hur det hade gått, om det var svårt/lätt, vad som var svårt/lätt och om de varit ett roligt sätt arbeta på.
Intervjuanalys
Under intervjuerna som utfördes med två pedagoger från Navet, förklarar de sitt arbetssätt och sina attityder när det gäller problemlösning. De poängterar att samtalet, multimodaliteten och glädjen är viktiga aspekter i lärandet och de utgår ifrån dessa i planering och genomförande:
Det är viktigt att de har förstått problemet såklart. Innan vi börjar så har jag alla praktiska material framför mig och då pratar vi om olika idéer så vi har någon teori att följa. Vi testar fram olika strategier som vi testar, funkar det inte så lägger vi undan materialet och börjar om. Då testar vi andra teorier och bakar ihop det med andra idéer tills vi löst det.
Pedagog 2
Detta citat visar tydligt på hur Navets arbetssätt kopplas till Polyas fyra faser och hur samtalen och diskussionerna är det som står i centrum och hur pedagogerna jobbar med praktiskt material.
Fas 1 – Förstå problemet
I arbetet med att förstå problemen önskar pedagog 1 att det endast ska räcka med att förklara instruktioner, men att de ofta visar själva hur övningar ska gå till:
Ja, det är klart vi presenterar och ofta visar vi och pratar, ord, begrepp som de ska förstå, men oftast visar vi helt enkelt. Vi har nog visat mer idag än vi gjorde för några år sen. Det ska egentligen räcka med ord, att förklara saker, eftersom vi inte vill visa för mycket hur man gör.
Pedagog 1
Av citatet ovan syns det tydligt hur pedagogerna vill att eleverna tillsammans ska skapa sin egen förståelse och göra problemen till sina egna och själva komma på hur de ska kunna lösas, men att vissa klasser behöver mer hjälp med tanke på elevernas förförståelse och hur vana de är att jobba på detta sätt. I arbetet med att förstå problemet lyfter båda pedagogerna att det är eleverna som måste komma till tals och att alla ska lyssna på varandra. Eleverna ska få säga det de vill säga högt inom gruppen för att lära sig att formulera och använda nödvändiga begrepp, samt att de ska få ta del av varandras tankar.
Fas 2 – Skapa en plan
I skapandet av planen tar pedagogerna en mer passiv roll till en början för att ge eleverna en chans att själva skapa en plan. Om denna plan uteblir så är pedagogerna framme för att förklara problemet och göra eleverna uppmärksamma på viktiga begrepp eller formuleringar, pedagogerna vill inte ge svar på tal, utan det är viktigt att det är eleverna som själva ska utveckla sin plan:
...fånga upp det som varje elev säger så att alla känner att de löst problemen tillsammans.
Pedagog 2
Som pedagog 2 ovan nämner så är det viktigt att alla elever ska få vara delaktiga och vara en del av gruppen.
Fas 3 – Genomföra planen
I det inledande citatet av pedagog 2 ovan förklarades arbetsprocessen på ett utförligt sätt. Det visar på hur arbetet går fram och tillbaka mellan de olika faserna om en adekvat lösning inte uppstår. Att misslyckas med en lösning behöver inte vara ett nederlag utan även ett misslyckande kan ge lärdomar inför nästa försök:
Det blir visuellt tydligt att det inte är omöjligt att tänka om och tänka om. Ingen som känner sig dum att det var “mitt fel” och stöttar dem fram på det sättet. För mig är det en stöttning att lyfta fram deras idéer, det som funkar lyfter vi upp och det som inte funkar tar vi bort, så hjälps vi åt hur vi kan göra istället.
Pedagog 2
Pedagog 1 lyfter även vikten av kommunikation under denna fas och säger att det är de enda egentliga riktlinjer han brukar ge som stöttning:
Vi säger att de ska lyssna på varandra givetvis. Det är det viktigaste övningen, kommunikation och samarbete. Att de ska kunna förklara och lyssna.
Pedagog 1
Fas 4 – Reflektion
Under reflektionsdelen så brukar klasserna samlas och diskutera hur det har gått, om något varit svårt och talat om hur lektionen varit. Ordet brukar gå fritt om någon vill säga något om deras lösningar eller problem, men det är inget som påtvingas. Ibland sitter grupperna och diskuterar lösningar för att ta reda på om det kunde lösas på ett annat sätt, men det är inte något som görs med alla på ett metodiskt sätt:
Det är lite olika faktiskt. Idag så samlades vi och frågade hur övningen har vart, reflektion om lärandet och fråga om det var roligt och sånna saker.
Pedagog 1
Detta citat visar hur reflektionsdelen ibland faller bort och det är inte något de fokuserar på under lektionerna.
Lärarnas reflektioner
Klasslärarna uttryckte i sina reflektioner att arbetssättet var intressant och att det fungerade bra i alla grupper, upplägget var väl genomtänkt och att pedagogerna som höll i undervisningspassen var engagerade. Att jobba med kroppen var något som en lärare tyckte var inspirerande och att det var annorlunda gentemot den vanliga klassrumsundervisningen.
Samtliga lärare uttryckte att det fanns vissa elever i vissa grupper som inte deltog fullt ut. Detta kunde bero på att de inte förstod uppgifterna, eller att de helt enkelt var mer tillbakadragna och inte tog så mycket plats även i vanliga fall.
Lärarna tyckte att arbetssättet var givande och kunde tänka sig att jobba på liknande sätt i framtiden, idéer föddes till framtida lektioner då de skulle gå igenom vissa av begreppen som presenterats under dagen. En av lärarna tog även tid till sig och diskuterade lektionerna med sin klass och gav eleverna chansen att reflektera över arbetet.
Sammanfattande slutsats
Vi kan i resultatet tydligt se att lektionernas upplägg och uppgifternas utformning fick eleverna att samtala om matematik och tillsammans finna en gemensam förståelse för problemen, för att kunna gå vidare och skapa en plan samt genomföra den. Upplägget med en lättare uppgift samt en uppföljande svårare uppgift bidrog till att alla elever kunde delta i processen och samtidigt utmanas. De uppgifter som krävde en optimal lösning bidrog även till att eleverna var tvungna att reflektera kring uppgifterna. Reflektionsdelen var annars något som föll bort till viss del under arbetets gång. Det fastslås även av intervjuerna då Pedagog 1 säger att denna del inte är något som de fokuserar på.
Intervjuerna visar på de mål som Navet-pedagogerna strävar mot i sitt arbete, vilket är att eleverna ska utmanas i sitt matematiska tänkande och tvingas att prata om matematik. Det läggs även stor vikt vid att eleverna ska arbeta med hela kroppen och att eleverna ska känna en glädje inför arbetet. Det faktum att eleverna måste diskutera inom gruppen för att förstå och lösa uppgifterna bidrar till att de tillsammans måste skapa en gemensam förståelse och skapa en gemensam plan att sedan utföra. Detta korrelerar med Polyas faser i hur problemlösning bör bedrivas, enligt honom.
Navets arbetssätt stärker elevernas arbete med problemlösning genom ovan nämnda delar genom metoderna de har för att bedriva en problemlösande matematikundervisning.
DISKUSSION
I kommande diskussionsdel kommer resultaten av observationerna och intervjuerna att diskuteras i förhållande till den, ovan nämnda, tidigare forskningen och till det teoretiska ramverk som denna studie utgår ifrån. Vi diskuterar även metoden för studien, ger förslag på didaktiska konsekvenser och framtida forskning.
Resultatdiskussion
Denna studie visar att Navet kan hjälpa klasser med problemlösning och att deras arbetssätt korrelerar till Polyas faser, som i sin tur stärker elevernas problemlösarförmågor. De undervisar genom ett sociokulturellt perspektiv där lärandet uppstår i grupp genom samtalen och interaktionen mellan deltagarna. Detta är något som Roger Säljö (2000) utifrån det sociokulturella lärandeperspektivet menar är betydelsefullt för hur elever lär sig. Även Karatas och Baki (2013) lyfter samtalen som en viktig del i problemlösning, där de i sin studie kom fram till att de elever som diskuterade strategier och begrepp sinsemellan hade en större benägenhet att finna lämpliga lösningsstrategier till problemen. Även Brennan et al. (2010) menar att språket står i fokus inom problemlösning, genom att diskutera och använda ett språk kopplat till matematiken kommer eleverna att bli skickligare problemlösare.
Upplägget av lektionerna och Navets arbetssätt förespråkas av Mogari och Lupahla (2013) där eleverna i en studie måste testa sina kreativa färdigheter i att finna lösningar samt att förstå problemen. De uppgifterna eleverna fick under lektionen kom inte med några lösningsförslag eller procedurer som eleverna skulle utgå ifrån utan eleverna var tvungna att med hjälp av praktiskt material och varandra förstå problemen och skapa en plan. Vi anser att avsaknaden av papper och penna är något som utmanar eleverna att finna lösningar på nya sätt och inte bara använda sig av algebraiska strategier, som Mogari och Lupahla menar är en vanlig lösningsstrategi som inte nödvändigtvis alltid är den bästa. Denna undervisningsform utmanar eleverna att finna nya sätt och det tvingar dem att tänka i andra banor än vad de är vana vid från sin vanliga klassrumsundervisning.
När det kommer till pedagogernas hjälp under lektionerna i vår studie så uttryckte de i intervjuerna att de gärna tar en passivare roll och låter eleverna försöka själva för att förstå problemen och komma på en lösning. Detta gick i många fall bra då uppgifterna låg inom elevernas proximala utvecklingszon, där pedagogerna endast behövde komma in och förklara eventuella begrepp eller upprepa frågan om eleverna missat väsentlig information i läsningen.
O’Shea och Leavy (2013) såg i sin studie hur de lärare som lyckats inkorporera Polyas faser i undervisningen kunde ta ett steg tillbaka då de såg att eleverna blev säkrare på att genomföra problemlösningar med de verktyg som de hade. I de lektioner som Navet har blir det dock omvänt, att pedagogerna tog ett steg tillbaka för att ge eleverna utrymme att utveckla sina förmågor att förstå, skapa sin plan och genomföra den tillsammans och inte få rätt svar eller strategi levererat till dem av pedagoger. Att arbeta i enlighet med begreppet ”scaffolding”, som flera tidigare studier (Brennan et al. 2010; O’Shea och Leavy 2013 och Mogari och Lupahla 2013) samt Säljö (2014, s. 305) förordar, framhåller att eleverna måste ges chansen att lyckas genom att pedagogerna ställer rätt sorters frågor till eleverna så att de själva kan klara uppgifterna, istället för att ge dem de rätta svaren eller strategierna. Även Polya (2014, s. 13) poängterar att det är viktigt att eleverna själva måste komma på sin plan. Eleverna måste ges chansen att klara uppgifterna själva.
Två studier (O’Shea & Leavy 2013 & Sokolowski, Li & Willson 2015) samt Polya (2014, ss.
33–36) själv poängterar att dessa faser inte nödvändigtvis ska följas i en linjär ordning, utan det
är viktigt att eleverna kan röra sig mellan de olika faserna för att förstå, skapa en lösning, lösa samt reflektera över problemen. Detta var något som syntes under arbetets gång i vår studie då eleverna använde sig mycket av testa-och-försöka-strategier, eller heuristiska strategier som de även kallas. Det ledde till att eleverna försökte förstå problemen genom att lösa dem, och om det misslyckades fick de gå mellan faserna för att en förståelse och en strategi skulle infinna sig. Om dessa försök inte gav resultat så frågade de till slut en pedagog som hjälpte dem i denna process, vilket stycket ovan berör kring hur denna hjälp utformades. Även när en uppgift var löst så finns en poäng i att reflektera över uppgiften, för att sedan se om den går att lösa på ett mer effektivt sätt.
Reflektionsdelen lyste dock stark med sin frånvaro under dessa lektioner då eleverna sällan uppmanades att reflektera över lösningar och problem, vissa grupper gjorde detta självmant under arbetets gång och kunde då förfina sina lösningar. Flera studier (Leong et al. 2012) lyfter vikten av reflektion för att ta del av varandras lösningar och föra en diskussion om dessa.
Hensberry och Jacobbe (2012) använde sig av loggböcker för att få eleverna att fundera över sitt arbete, vilket i sin tur gav eleverna en naturlig väg att föra resonemang över sitt arbete.
Leong et al. (2012) menar på att denna fas är viktig för alla elever och inte minst de begåvade eleverna som har lätt för problemlösning. Genom att utveckla reflektionsdelen kan även dessa elever få en utmaning när de ska sätta in det de gjort i andra kontexter.
Vissa av uppgifterna hade en optimal lösning, vilket tvingade eleverna att reflektera över sin lösning och förfina den, men andra uppgifter hade kunnat diskuteras bättre och haft en tydligare reflektionsdel. När det är tio olika stationer vill eleverna hinna med så många olika som möjligt och de stannar inte upp för att reflektera över det som de gjort. Detta är något Polya (2014, ss.
14–15) menar är dåligt för eleverna, då eleverna missar en viktig del i lärandet. En av klasslärarna tog sig dock tid att prata med klassen efter lektionen, vilket var bra, men att ha ett mer systematiskt tillvägagångsätt är att föredra för att få ut så mycket som möjligt av den fjärde fasen.
Klasslärarna upplevde att alla elever inte var lika delaktiga under uppgifterna och problemlösandet. De var däremot där och tog del av alla diskussioner och de har förhoppningsvis fått med sig något av språket och tänkandet i upplägget. Den sociokulturella lärandeteorin (Säljö 2000, s.111) menar på att eleverna lär sig i gruppen och genom diskussioner. Om det då är några som bara är med och lyssnar får dessa elever inte med sig lika mycket som de elever som är drivande i arbetet, men de får ändå med sig något från gruppens arbete såsom ett språk, begrepp och ett tänkande. Polya (2014, s. 130) framhåller även att det går att lära sig heuristik och problemlösning genom att ha en iakttagande roll i arbetet.
Förhoppningsvis kan de mer tillbakadragna elever vara mer delaktiga och drivande vid ett, eventuellt, framtida tillfälle då de är lite mer vana vid arbetssättet och kan på så vis bidra mer i gruppen.
Sammanfattningsvis kan vi konstatera att Navets arbetsmetoder hjälper eleverna i att utveckla deras problemlösarförmåga utifrån George Polyas fyra faser. Deras kreativa och sociokulturella tillvägagångssätt mot undervisningen kräver att eleverna jobbar utifrån Polyas faser under samtalande former. Navet-pedagogernas kompetenser och erfarenheter inom arbetssättet bidrar även med att nivån på uppgifterna passar grupperna och på detta vis utmanas eleverna i sin proximala utvecklingszon. Pedagogernas stöd till eleverna, eller ”scaffolding” som det benämns i pedagogiska sammanhang, försöker alltid att vara så begränsat som möjligt så att eleverna själva ska utmanas, utvecklas men ändå lyckas i sina problemlösningar. Även uppgifterna bidrog till att eleverna utvecklade en förtrogenhet mot Polyas fyra faser. Uppgifter
där eleverna var tvungna att finna en optimal lösning bidrog till att grupperna var tvungna att reflektera och förfina sina lösningar. Textuppgifter med tillhörande praktiskt material, utan någon given procedur eller förklaring, utmanade eleverna att använda alla sina sinnen i problemlösningarna. De var framförallt tvungna att diskutera uppgifterna för att skapa en gemensam förståelse, för att sedan skapa en gemensam plan som de sedan gemensamt fick genomföra. Ledorden i denna form av undervisning blir då att grupperna måste tillsammans lösa uppgifterna gemensamt genom att samtala och prata matematik.
Metoddiskussion
I vår studie använde vi oss av kvalitativa undersökningssätt genom att intervjua två pedagoger från Navet och observera två klasser från två skolor samt insamlade reflektioner från elevernas klasslärare (enkätundersökning). Studien utgår från Navet-pedagogernas åsikter, erfarenheter och arbetssätt inom problemlösningsundervisning. Denna metod användes eftersom tidsramen inte gjorde det möjligt för oss att utföra andra metoder för att undersöka andra arbetssätt inom problemlösning. Enligt Christofferssen och Johannessen (2018, ss. 15–16) är kvalitativa metoder mer flexibla och tillåter högre grad av spontanitet samt anpassning i interaktioner mellan forskare och deltagare. Därför uteslöts den kvantitativa metoden, eftersom undersökningen skulle studera problemlösning i helhet och inte individuellt hos eleverna och pedagogerna.
Observationerna som genomfördes gav oss empiri för att få svar på studiens syfte. Under observationerna följde vi som observatörer ett observationsschema (se bilaga 1) där Polyas fyra faser står i fokus. När eleverna arbetade utifrån de olika faserna fördes detta ner i ett schema för att sedan analyseras. Christofferssen och Johannessen (2018, s. 67) menar att observationer är en bra kvalitativ metod att använda sig av för att se hur elever lär sig strategier och hur de lär sig av varandra. Vi kan inte se någon anledning till att vi skulle ha använt någon annan metod bortsett från de vi har använt oss av.
Frågeställningen besvaras även utifrån intervjuerna med pedagogerna från Navet, vilka är semistrukturerade. Intervjun består av bland annat öppna frågor som är till hjälp för att besvara studiens frågeställning. De är även tolkningsbara för pedagogerna så de kan känna sig avslappnade med att besvara frågorna. Kontakten mellan intervjuarna och pedagogerna har försiggått under en tidigare period innan studierna, vilket kändes mer avslappnat för båda parterna. Bearbetningen av det som besvarats av pedagogerna har transkriberats och färgkodats för att ge ett tydligare resultat för oss till analysdelen, vilket har lett till att frågeställningen bevarats med ett tydligt sammanhang. Navet har fler pedagoger som är ute på skolor och undervisar, därför hade det varit bra om vi kunde intervjua fler pedagoger för att stärka arbetets validitet. Resultatet kunde ha varit mer generaliserbara om urvalet hos Navet hade varit större, men som tidigare nämnt har tidsramen varit alldeles för kort för ett sådant urval så vi fick intervjua de som var tillgängliga. Hade tidsramen varit längre kunde vi även använts oss av reflektioner från eleverna för att få deras individuella synpunkter på hur deras arbetssätt inom problemlösning fungerar. Intervjuer av klasslärarna hade även varit intressant. Det som vi har med är klasslärarnas, korta, reflektioner som kan stärka deras synpunkter på hur Navet arbetar och om de själva kan tänka sig arbeta på Navets arbetssätt.
Ett bekvämlighetsurval är, enligt Christofferssen och Johannessen (2015, s. 57), det slags urval som är det minst önskvärda, men eftersom klasserna var rätt årskurs utifrån vårt syfte och klasserna hade en bra storlek för lektionernas utformning så passade urvalet bra mot studiens syfte. Eleverna hade även jobbat olika mycket med problemlösning, vilket kunde ge intressanta
