I vilken utsträckning ska då respektive matematikförmåga tränas? Ska de värderas lika mycket, eller ska någon/några prioriteras över andra? Det går nog inte att ge ett tillfredsställande svar på dessa frågor, utan det beror på kontexten. Åsikterna går nog även isär när det gäller i vilken omfattning re-spektive kunskapsområde ska behandlas. Det är dock viktigt att komma ihåg att förmågorna överlap-par varandra. Uppenbarligen har läromedelsförfattarna sina egna föreställningar om vilka förmågor som respektive uppgift huvudsakligen ska lyfta, under förutsättning att de tar hänsyn till och följer det centrala innehållet ur kursplanen till matematik i Lgr 11. Men vilka riktlinjer finns då att följa vid konstruktion av uppgifter i matematikboken? Resultaten från analysen visar att den relativa fördel-ningen av förmågor är ungefär densamma mellan läroböckerna. Ändå skiljer de sig åt, främst i hur
35
uppgifterna är formulerade – praktiskt taget ingen uppgift var identisk mellan någon av läroböck-erna. Vidare var Mondo det läromedel som närmast matchade det nationella provet – uppgifterna delade flera gemensamma drag och påminde mycket om varandra. Ingen av läroböckerna hade dock en förmågepoängprofil som matchade det nationella provet tillfredsställande. Dessutom var lärome-delsuppgifterna överlag inte lika omfattande och redovisningskrävande. Eftersom provbetyget på det nationella provet i matematik numera utgör ett av de viktigaste betygsunderlagen för en elev i åk 9 inom ämnet kanske läromedelsförfattarna borde överväga att konstruera uppgifter som baseras på uppgifterna i det nationella provet, eller åtminstone utgå ifrån delar av det? Av logiska skäl kan dock inte uppgifterna i matematikboken testa alla förmågor samtidigt, i lika hög utsträckning och på alla kvalitativa kunskapsnivåer. Det vore orealistiskt att enbart konstruera rika, öppna, uppgifter som kräver omfattande redovisning från elevens sida – även enklare rutinuppgifter är viktiga för variation och för att stegvis bygga upp matematikkunskaperna. Först då kan eleven stimuleras till att angripa större, svårare och mer utmanande matematiska problem. Det är dock viktigt att lösning av rutin-uppgifter inte sker på bekostad av lösning av matematiska problem, utan att eleverna hela tiden ut-manas i sina föreställningar om matematik. Samtidigt kan en matematikuppgift som uppfattas som en enkel rutinuppgift för en elev uppfattas som ett svårt problem för en annan, trots att båda går i t ex åk 9. Vidare finns det flera fördelar med att utveckla svaren i facit och göra dem mer omfattande och förklarande, mot bakgrund av att eleven ofta är hänvisad till facit när ingen kamrat eller lärare finns att rådfråga. Ur läromedelsanalysen framgår det slutligen att omfattningen av begrepps- och metodförmågan riskerar i förlängningen att överskugga problemlösnings-, resonemangs- och kom-munikationsförmågan. Här ringer en varningsklocka som skickar ut signaler till läromedelsförfattarna att försöka korrigera denna skeva fördelning av förmågor i läroböckerna. Eftersom elevens svar lo-giskt bygger på vad som faktiskt efterfrågas är ett förslag att kanske öka inslaget av uppgifter som i formuleringen förtydligar och trycker på att eleven måste:
1) Konstruera ett eget problem och därefter lösa det (lyfter problemlösningsförmågan). 2) Ge förslag, motivera, argumentera om för-/nackdelar etc (lyfter resonemangsförmågan). 3) Redovisa lösningen fullständigt, t ex med bilder etc (lyfter kommunikationsförmågan). Under läromedelsanalysen granskades även kapitelavsnittens inledande teoridel med exempellös-ningar översiktligt. Det allmänna intrycket var att dessa sannolikt ger eleven en tillräckligt stabil grund att stå på, särskilt vid lösning av uppgifter på E-nivå och en del på C-nivå, givet att eleven fak-tiskt refererar till och resonerar kring teorin. Men hur kan dessa centrala delar i en matematikbok då göras mer attraktiva för eleven? Och hur kan de extra aktiviteterna i läroböckerna göras mer intres-seväckande? Här faller ett avgörande ansvar på undervisande matematiklärare att inkludera fler ar-betssätt än att enbart räkna uppgifter i läroboken enskilt, eller i par. Undervisningens utformning måste även kretsa kring att föra samtal i helklass om teoretiska delar, kopplat till kunskapskraven, samt genomföra laborationer, undersökningar och problemlösningar i grupp och diskutera utfall där processerna tillika produkterna ibland kan se olika ut. Läromedlen bestod av liknande tema- och för-djupningsavsnitt (oftast utan facit), fast i olika omfång, vilket komplicerade en jämförande analys. Hos t ex Mondo kunde dessa uppskattas ta ca en vecka för eleverna att genomföra – en svår uppgift för läraren att klämma in i en redan stram matematikplanering med begränsad lektionstid. Men om dessa moment inte ingår i en lektionsplanering innebär det ett missat lärandetillfälle för eleven, vil-ket påverkar utvecklingen av matematikkunskaperna negativt och i förlängningen kanske resultatet på det nationella provet. Sammantaget upplevs nog en modern matematikbok i dagens skola som mer utmanande än en förlegad som var i bruk under tidigare läroplaner, dvs uppgifterna idag rym-mer en annan dimension än förut och kräver rym-mer tankekraft och kreativitet att lösa. En digitalisering av det nationella provet kommer antagligen kräva en digitalisering av läroboken, helt eller delvis, vil-ket sätter ytterligare press på läromedelsförfattarna att kontinuerligt uppdatera materialet och även
36
anpassa det till elevernas olika förutsättningar till lärande (med hänsyn till olika svårigheter, funkt-ionsnedsättningar etc). I förlängningen är det användaren, dvs lärarna och eleverna, som ska upp-leva läroboken som meningsfull – har lärarna då en roll i att upplysa läromedelsförlagen om vad som ev saknas? Det är även frestande att spekulera om lärobokens betydelse i NO-ämnena på högstadiet – har den en betydande/avgörande roll när eleven skriver det nationella ämnesprovet för åk 9? För denna studie behöver fler nationella prov analyseras – det räcker inte enbart med ett. Det största hindret här är dock att sekretessen ännu inte har släppts på prov skrivna senare läsår, givet att de följer Lgr 11, men detta kan givetvis förändras med tiden. Som påpekats tidigare räknar för-modligen eleven på fler än ett spår i matematikboken. Det är dock svårt att förutsäga hur många svårighetsnivåer som kan anses tillräckliga att uppnå. En elev som räknar på högsta spåret, som främst lyfter kunskaper på A-nivå, har troligtvis redan motsvarande kunskaper på E- och C-nivå. De allra flesta elever förväntas dock börja på det lägsta spåret, för att sedan avancera till högre. Det är dock viktigt att poängtera att även om det nationella provet innehåller både bredd och variation, för att eleven ska få möjlighet att redovisa sina matematikkunskaper ur flera synvinklar, testas för-mågorna på ett urval av det centrala innehållet i Lgr 11. Det går heller aldrig i förväg att förut-säga/förutsätta vilka uppgifter som faktiskt kommer på ett nationellt prov – läraren kan dock låta eleverna öva på tidigare, icke-sekretessbelagda, prov. Vidare, en uppföljande studie skulle t ex kunna testa hur de analyserade läromedlen verkligen förhåller sig till klassrumspraktiken – vilka förmågor lär sig eleverna egentligen utveckla när de räknar i matematikboken? Detta skulle kräva ett urval av elever i åk 9 och en dokumentation över vilka spår de räknar på, vilka uppgifter de löser och på vilket sätt, för att kartlägga vilka kvalitativa förmågor som faktiskt utvecklas. Dessutom måste elevernas användning av facit kartläggas – används det på rätt sätt? Senare korreleras resultaten på lektion-erna med resultaten på det skrivna nationella provet. Fortsatt forskning skulle vidare kunna inklu-dera en analys av äldre, utgångna, matematikläromedel för att peka på historiska likheter och skill-nader. En utmaning då är att dessa troligen följer en tidigare läroplan, där kompetens-/förmågemå-len inte definierats ännu, vilket komplicerar en jämförelse med moderna läroböcker. En annan given uppföljning är analys av digitala matematikläromedel. Slutligen, analysen beskriven i detta examens-arbete är begränsad till matematikläromedel för åk 9 vilket innebär att det saknas kunskap om i vil-ken uträckning läroböcker för åk 7–8 behandlar förmågor och kunskapsområden. Det är därför högst relevant att expandera studien till att även inkludera dessa från motsvarande läromedelsförlag.
Metoddiskussion
Den största utmaningen i denna studie har obestridligt varit svårigheten att tolka, analysera och kon-kretisera varje förmågas innebörd i relation till det kunskapsområde som uppgiften anknyter till, för att därefter tilldela ett visst antal kvalitativa förmågepoäng. Resultaten och slutsatserna i detta exa-mensarbete utgår från en forskares objektiva tolkning, oberoende av andra parter, och visar att be-greppsförmågan testas i exceptionellt många uppgifter. Orsaken kan bero på skillnader i uppfattning om vilka kriterier en utvärderad uppgift uppfyller för att testa en viss förmåga – ibland kan skillnaden mellan olika förmågor, på olika kunskapsnivåer, upplevas hårfin. Dessutom tenderar t ex begrepps- och metodförmågan samt resonemangs- och kommunikationsförmågan följas åt och gå in i
varandra, dvs när en förmågepoäng ges för begreppsförmågan ges motsvarande även för metodför-mågan och vice versa. Begreppens, och även metodernas, centrala betydelse inom matematikens värld gestaltas även tydligt i läromedlens inledande teoridel och avslutande del för varje kapitel, där begrepp, metoder och formler sammanfattas i uppslag, listor, tankekartor etc.
Målsättningen var att utföra analysen likvärdigt och rättvist – i största möjliga utsträckning. Men det går givetvis aldrig att garantera en fullständigt systematisk operationalisering, även om den som ut-för analysen upplever ett ökat flyt med tiden. Självklart kan tillut-förlitligheten alltid ut-förbättras genom
37
att återgå till vissa (eller alla) uppgifter och upprepa analysen en gång, men det finns även en tidsa-spekt att ta hänsyn till. Om fler forskare däremot upprepade försöket skulle utfallet rimligtvis blivit annorlunda, eftersom validiteten och reliabiliteten ökar när materialet analyseras metodiskt ur flera olika synvinklar – med alternativa tolkningar. Detta gäller särskilt indikationen av de kvalitativa för-mågepoängen. Ett möjligt upplägg skulle då kunna bestå av att alla uppgifter utvärderas av minst två forskare en gång, därefter analyserar de varandras tolkningar för att uppnå en högre grad av sam-stämmighet. I detta examensarbete användes främst exempel från läroböcker och det nationella provet som stöd till tolkningarna, jämte Lgr 11, kommentarmaterial etc – ingen åtkomst till ev lärar-handledningar fanns till förfogande. Tolkningsstöden skulle i framtiden även kunna kompletteras och styrkas med utdrag från kunskapskraven i Lgr 11, efter en viss omarbetning och konkretisering som anknyter till det centrala innehållet, för att reflektera över respektive förmågas kvalitativa skillnader. För respektive läromedel analyserades ett mycket stort antal uppgifter, vilket totalt motsvarade näs-tan samtliga (dvs inget slumpmässigt antal). Främsta skälet är att ett större statistiskt underlag under datainsamlingen leder till att en högre tillförlitlighet i analysmetoden då går att uppnå, vilket styrker resultaten och legitimerar dragna slutsatser, givet att metoden utförts på ett korrekt sätt. Vidare, när den kvalitativa förmågepoängen överlappade mellan flera kunskapsområden krävdes en jämn poängfördelning – följden blir annars en viktning av datamaterialet, vilket inte är avsikten. Avslut-ningsvis, med anledning av att det totala uppgiftsantalet varierade mellan olika läromedel, valdes att datamaterialet över kvalitativa förmågepoäng skulle presenteras i relativ frekvens (i procent) vilket rättfärdigar och förenklar direkta jämförelser av olika kategorier. Detta krävdes även för att relatera andelen kvalitativa förmågepoäng i läromedlens olika svårighetsnivåer till de i det nationella provet.
Källförteckning
Bergqvist, Ewa; Bergqvist, Tomas; Boesen, Jesper; Helenius, Ola; Lithner, Johan; Palm, Torulf & Palm-berg, Björn (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet – Grundsko-lan våren 2009. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universi-tet.
Boesen, Jesper (2006). Assessing mathematical creativity: Comparing national and teacher-made tests explaining differences and examining impact (Doctoral thesis, Umeå University, Department of Mathematics, 34). Umeå: Umeå University.
http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:144670/FULLTEXT01.pdf
Boesen, Jesper; Helenius, Ola; Bergqvist, Ewa; Bergqvist, Tomas; Lithner, Johan; Palm, Torulf & Palm-berg, Björn (2014). Developing mathematical competence: From the intended to the enacted curric-ulum. The Journal of Mathematical Behavior, 33, 72–87.
Boesen, Jesper; Lithner, Johan & Palm, Torulf (2018). Assessing mathematical competencies: An analysis of Swedish national mathematics tests. Scandinavian Journal of Educational Research, 62(1), 109–124.
Cai, Jinfa & Lester, Frank (2010). Why is teaching with problem solving important to student learn-ing? NCTM – National Council of Teachers of Mathematics.
Cederqvist, Katarina; Larsson, Stefan & Gustafsson, Patrik (2014). Prio Matematik 9 Grundbok. Stock-holm: Sanoma Utbildning.
38
Gustafson, Lisa; Johansson, Olle Nyhlén & Persson, Jan (2017). Mondo Matematik 9 Elevbok. Malmö: Gleerups Utbildning.
Helenius, Ola (2006). Kompetenser och matematik. Nämnaren, (3), 11–15.
Kilpatrick, Jeremy; Swafford, Jane & Findell, Bradford (2001). Adding it up – Helping children learn mathematics. Washington DC: National Academies Press.
Lindblom, Jenny & Wigestam, Anna (2016). Matematik med fem förmågor – Att planera, undervisa och bedöma. Stockholm: Natur & Kultur.
Lundström, Per-Åke (2011). Läromedel som stöd eller hinder. Nämnaren, (4), 38–41.
Lärarnas Riksförbund (2012). Makten över läromedlen – Lärarnas möjlighet att styra över läromedlen i undervisningen. Stockholm: Lärarnas Riksförbund.
NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. NCTM – National Council of Teach-ers of Mathematics.
Niss, Mogens & Højgaard, Tomas (2011). Competencies and Mathematical Learning (KOM) – Ideas and inspiration for the development of mathematics teaching and learning in Denmark. IMFUFA tekst (485).
PRIM-gruppen (2019). Institutionen för matematikämnets och naturvetenskapsämnenas didaktik, Stockholms universitet.
https://www.su.se/primgruppen/matematik/%C3%A5rskurs-9/tidigare-prov
Ryve, Andreas (2006). Vad är kunskap i matematik? Nämnaren, (2), 7–9.
Sidenvall, Johan (2019). Lösa problem – Om elevers förutsättningar att lösa problem och hur lärare kan stödja processen (Doktorsavhandling, Umeå universitet, Institutionen för naturvetenskapernas och matematikens didaktik, 33). Umeå: Umeå universitet.
http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:1303310/FULLTEXT01.pdf
Sidenvall, Johan; Lithner, Johan & Jäder, Jonas (2015). Students' reasoning in mathematics textbook task solving. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 46(4), 533– 552.
Skolinspektionen (2009). Undervisningen i matematik – Utbildningens innehåll och ändamålsenlig-het. Kvalitetsgranskning – Rapport 2009:5. Stockholm: Skolinspektionen.
Skolverket (2012). Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik – Del 1. Stockholm: Skolver-ket.
Skolverket (2013). Kommentarmaterial till kunskapskraven i matematik – Del 2. Stockholm: Skolver-ket.
Skolverket (2017). Kommentarmaterial till kursplanen i matematik – Reviderad 2017. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2018). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 – Reviderad 2018. 5 Uppl. Stockholm: Norstedts Juridik.
Skolverket (2019a). Nationella prov i grundskolan.
39 Skolverket (2019b). Svenska elever bättre i PISA.
https://www.skolverket.se/om-oss/press/pressmeddelanden/pressmeddelanden/2016-12-06-svenska-elever-battre-i-pisa
Skolvärlden (2015). ”Matematikundervisningen är alltför styrd av läroboken". Publicerad: 6 maj 2013. Text: Ekström, Anna (gymnasieminister, fd generaldirektör för Skolverket).
https://skolvarlden.se/artiklar/matematikundervisningen-ar-alltfor-styrd-av-laroboken
Skolvärlden (2017a). Nationella proven styr allt fler lärares undervisning. Publicerad: 3 februari 2017. Text: Olsson, Emma.
https://skolvarlden.se/artiklar/nationella-proven-styr-allt-fler-larares-undervisning
Skolvärlden (2017b). Regeringen: Alla nationella prov ska digitaliseras. Publicerad: 29 juni 2017. Text: Hedman, Emil.
https://skolvarlden.se/artiklar/regeringen-nationella-proven-ska-digitaliseras
Skolvärlden (2017c). Nu blir nationella proven mer styrande. Publicerad: 15 november 2017. Text: Larsson, Åsa.
https://skolvarlden.se/artiklar/nu-blir-nationella-proven-mer-styrande
Undvall, Lennart; Johnson, Kristina & Welén, Conny (2013). Matematikboken Z. 4 Uppl. Stockholm: Liber.
UR (2012). Bedömning av matematiska förmågor. Föreläsare: Berggren, Per & Lindroth, Maria. UR Samtiden – Matematik i kubik. Sverige: Utbildningsradion.
https://urskola.se/Produkter/168907-UR-Samtiden-Matematik-i-kubik-Bedomning-av-matematiska-formagor
Vetenskapsrådet (2011). God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Österholm, Magnus; Bergqvist, Tomas; Liljekvist, Yvonne & Bommel, Jorryt van (2016). Utvärdering av Matematiklyftets resultat – Slutrapport (oktober 2016). Umeå: Institutionen för naturvetenskap-ernas och matematikens didaktik & Umeå forskningscentrum för matematikdidaktik (UFM), Umeå universitet.
40
Bilagor
41
Bilaga 1
Bilaga 1. Bedömningsmatris över visade förmågor. Exempeluppgifter med förklaringar hämtade från Lindblom & Wigestam (2016, s 23–34). F, Förmågor (Lgr 11); P, Problemlösning; B, Begrepp; M, Metod; R, Resonemang; K, Kommunikation.
F Matematikuppgift Bedömning av matematikförmågor (Lgr 11).
E-nivåpoäng C-nivåpoäng A-nivåpoäng
P
Emil, Anton och Samira gjorde tillsammans 14 mål i fotbollscupen. Emil gjorde 2 mål fler än Anton och Samira gjorde dubbelt så många mål som Anton. Hur många mål gjorde var och en? Lös med ekvation.
EP = Påbörjad lös-ning, t ex prövning med rimlig fördel-ning av antal mål mellan barnen. CP = Utvecklad lös-ning, t ex korrekt uppställd ekvat-ionslösning och på-börjad lösning av ekvationen. CK = Redovisar hela lösningen tydligt med korrekt enhet.
AP = Löser hela uppgiften med korrekt svar.
B
En kvadrat är inskriven i en cirkel. Cirkelns diameter är 4 cm. Hur mycket större är cir-kelns area än kvadratens area? Räkna med: π ≈ 3.
EB = Beräknar arean av cirkeln, eller kvadraten.
CB = Beräknar arean av både cir-keln och kvadraten.
AB = Jämför de två areorna och löser uppgiften fullständigt. AK = Svarar kor-rekt: 4 cm2. Korrekt enhet används i hela redovisningen. M
Ställ upp och räkna ut: 3,4 ∙ 61,05.
EM = Använder en godtagbar metod för multiplikation som är möjlig att följa. EM = Genomför visad metod med korrekt svar: 207,57.
R
I en påse är det röda, vita och blå kulor. Sannolikheten att ta en röd kula är 1/4 och sannolikheten att ta en blå kula är 1/3. Ge två olika för-slag på hur många kulor av varje färg det kan vara i på-sen. CR = För ett godtag-bart resonemang underbyggt med beräkningar om proportioner. Ett korrekt alternativ valt, t ex 6 röda, 8 blå och 10 vita. AP = Löser hela problemet med korrekt svar och ger förslag på två olika al-ternativ.
K
En dag får eleverna välja mellan korv, biffar eller kött-bullar. Till det får de välja mellan potatis eller spagetti. Rita ett träddiagram och skriv ut de möjliga kombinat-ionerna. Skriv antalet kombi-nationer som en multiplikat-ion.
EK = Visar förståelse för ett träddiagram. ER = Har förståelse för att var och en av köttalternativen ska kombineras med både potatis och spagetti.
CK = Genomför multiplikationen 2 ∙ 3 och får det kor-rekta svaret: 6.
42
Bilaga 2
Bilaga 2. Utdrag av utvalda provuppgifter och tillhörande bedömningsanvisningar från det nationella ämnesprovet i mate-matik för åk 9 läsår 2012/2013 (PRIM-gruppen, 2019) för att exemplifiera olika förmågeindikationer. Maxpoäng är utsatt till höger om respektive uppgift. Markering med ett kryss i matrisen innebär att motsvarande kvalitativ förmågepoäng upp-nåtts, enligt de kvalitativa kunskapsnivåerna i kunskapskraven (Lgr 11). Förmågor: P, Problemlösning; B, Begrepp; M, Me-tod; R, Resonemang; K, Kommunikation. Kvalitativ förmågepoäng på kunskapsnivå: E, E-poäng; C, C-poäng; A, A-poäng.