Detta examensarbete har undersökt hur de fem matematikförmågorna i grundskolan förhåller sig till tre utvalda läroböcker, från erkända läromedelsförlag, i matematik för elever i åk 9 samt till uppgif-terna i det nationella provet för åk 9. Vidare undersöktes i vilken utsträckning läromedlen tränar ele-verna inför att skriva det nationella provet, beroende av vilken svårighetsnivå eleele-verna väljer att lösa uppgifter på. Den primära analysen visar att för samtliga tre läromedel är både begrepps- och me-todförmågan kraftigt överrepresenterade i uppgifterna, samtidigt som resonemangsförmågan är kraftigt underrepresenterad, vilket nästan ligger i linje med motsvarande förmågepoängprofiler er-hållna från bedömningsanvisningarna till uppgifterna i det nationella provet. De relativa skillnaderna i hur förmågorna representeras av läromedlen kontra det nationella provet är dock, i flera avseen-den, förhållandevis stora. En djupgående analys av datamaterialet visar vidare att olika svårighetsni-våer i läromedlen tränar förmågor på olika kunskapsnisvårighetsni-våer – ju högre svårighetsgrad, desto högre komplexitet på uppgifterna. Gällande kunskapsområden visar analysen även att TAL är överrepre-senterad i Prio och Z-boken, i motsats till Mondo där ALG är överrepreöverrepre-senterad och TAL istället är något underrepresenterad. En jämförelse av förmågornas representation i läromedlen med det nat-ionella provet visar slutligen att Mondo ger störst mål- och kunskapsuppfyllelse och förutsättningar att skriva ett godtagbart resultat på det nationella provet, givet att uppgifter på flera (eller alla) svå-righetsnivåer räknas, men inget av läromedlen ger egentligen eleven någon tillfredsställande förbe-redelse. Slutsatsen blir därför att tryckta läromedel i matematik för elever i åk 9 sannolikt brister i att representera de fem matematikförmågorna i uppgifterna, att döma av när de matchas relativt med det nationella provet. Konsekvensen för eleven blir då att om enbart läromedlet används som trä-ning inför att skriva det nationella provet är det i sig rimligen ofullständigt, om målsättträ-ningen är att uppnå höga kvalitativa förmågepoäng (dvs maximera lärandet) – en insats krävs därför från läraren.
Resultatdiskussion
En läromedelsanalys av matematikböcker för åk 5 som genomfördes av Lundström (2011), utifrån ett tidigare kompetensramverk, demonstrerar att procedurhanteringskompetensen är utan tvekan förekommande i flest uppgifter av alla. Detta innebär att om eleven är helt utlämnad till att enbart lösa uppgifter i läroboken nekas den sina rättigheter att utveckla alla matematiska kompetenser/för-mågor, enligt Lgr 11. Lundström (2011) förespråkar därför att matematikläraren aktivt och reflektivt engagerar sig i matematikundervisningen och satsar på att hitta utmanande och utvecklande uppgif-ter, och ev omformulerar och anpassar dem, för att ingen kompetens/förmåga ska minska i bety-delse. Resultaten erhållna från nuvarande studie visar även dem att metodförmågan visserligen ges stort utrymme, men att begreppsförmågan ändå är överlägset störst. I paritet med analysen gjord av Lundström (2011) står även ett betydligt mindre utrymme åt resonemangs- och
32
kommunikationsförmågan, vilket gör aktuell studie tillförlitlig. Vidare tyder resultaten på att de ana-lyserade läroböckerna för åk 9 prioriterar kunskapsområdena olika och därmed skiljer sig i utforman-det av uppgifter. Prio innehåller högst relativ frekvens av uppgifter som testar begrepps- och metod-förmågan (beräkna, förenkla, utveckla etc) i TAL och ALG (t ex: addition, subtraktion, multiplikation och division av bråk; algebraiska uttryck; multiplicera uttryck i parenteser; faktorisera uttryck och ekvationslösning) samt GEO (t ex: symmetri; likformighet; kongruens; längd-, area- och volymskala; likformiga trianglar; topptriangelsatsen och Pythagoras sats). Mondo innehåller högst relativ fre-kvens av uppgifter som testar begrepps- och metodförmågan (beräkna, förenkla, utveckla etc) i ALG (t ex parentesuttryck; faktorisera uttryck; algebraiska uttryck med nämnare; ekvationer med näm-nare, parenteser och förhållande; olikheter; kvadratrötter och andragradsekvationer) i GEO (t ex: omkrets, area och volym; klot; Pythagoras sats; likformighet; kongruens; likformiga trianglar; topptri-angelsatsen och längd-, area- och volymskala) och i SAN (t ex: sannolikhet, komplementhändelser, sannolikhet ur statistik, kombinatorik, permutationer, stam–blad-diagram och lådagram). Z-boken innehåller högst relativ frekvens av uppgifter som testar begrepps- och metodförmågan (beräkna, förenkla, utveckla etc) i framförallt TAL (t ex: talmängder, negativa tal, potenser; små tal och tiopo-tenser).
Klassrumsaktiviteter och praktiker där problemlösning utgör en integrerad del av matematikunder-visningen, dvs inte lärs ut som ett separat kunskapsområde, anses av vissa inom matematikdidaktik-forskningen vara kärnan i att framgångsrikt maximera matematiklärandet hos eleven (Cai & Lester, 2010). Sidenvall (2919) pekar i sin doktorsavhandling på att det överdrivna utantillärandet av proce-durer och räknandet av rutinuppgifter, utan någon tydlig koppling till djupare matematisk förståelse, hämmar elevens matematiklärande – ämnet upplevs därmed som svårt. Om eleven istället får ägna mer tid åt problemlösning, med stöd av undervisande lärare, kan matematikkunskaperna utvecklas. Sidenvall (2019) utförde vidare en läromedelsanalys av internationella matematikböcker från 12 län-der, inklusive Sverige, på högre skolnivåer. Den uppvisade stora likheter när uppgifternas utformning grupperades. En typisk lärobok bestod till 80 % av rutinuppgifter, medan problemlösningsuppgifter enbart utgjorde 20 %. Detta betyder att även andra faktorer spelar in som kan förklara varför svenska elever, ur ett internationellt perspektiv, generellt presterar sämre i matematik. Ett vanligt upplägg är dessutom att läromedelsförfattarna väljer att konstruera problemlösningsuppgifter på den högsta kunskapsnivån och dessutom placera dessa i slutet av varje avsnitt/kapitel. Följden blir då att lejonparten av eleverna inte får möjlighet att utmana sig själva till att konstruera egna lös-ningsprocedurer för att knäcka koden. Studien som beskrivs i aktuellt examensarbete bekräftar verk-ligen att läromedlen diskriminerar problemlösningsförmågan genom att dess totala andel (obero-ende av kunskapsnivå) förekommer inom ett spann av 14–29 %, bero(obero-ende på lärobok, men att den generellt ges större utrymme i uppgifter på den högsta kunskapsnivån kontra lägre. Det är dock vik-tigt att notera att problemlösningsförmågan faktiskt även förekommer på lägre kunskapsnivåer, om än i begränsad omfattning. Även problemlösning som kunskapsområde ges inte heller nämnvärt med utrymme i något av läromedlen, men variationerna är förhållandevis stora. Gällande den övriga andelen uppgifter (71–86 %, beroende på läromedel) kan dock inte dessa klassas som rena rutinupp-gifter, dvs där det räcker att eleven huvudsakligen använder sin metodförmåga, eftersom dessa även innehåller inslag av först och främst begreppsförmågan.
Läromedelsanalysen av Sidenvall (2019) avslöjade att omkring 75 % av uppgifterna i en svensk mate-matikbok karaktäriserades som fullt lösningsbara enbart genom att eleven imiterar ett exempel, där algoritmen/proceduren demonstreras. Resterande 25 % av uppgifterna krävde åtminstone någon grad av matematiskt grundade resonemang för att vara lösningsbara. Dessa uppgifter klassades dessutom av läromedelsförfattarna som komplexa. I en studie på gymnasienivå, där uppdraget var att ta reda på vilken typ av matematiskt resonemang som eleven använder för att lösa uppgifter i
33
matematikboken, visar Sidenvall et al. (2015) vidare att 84 % av de analyserade uppgifterna enbart krävde ett läroboksanvisat imitativt resonemang (dvs kopiera lösningsalgoritmen från ett exempel) från elevens sida. Men trots att dessa, samt inledande teoridelar, fanns lättillgängliga användes de knappt av eleverna. Nästan samtliga uppgifter som eleverna misslyckades med att lösa hade dock ett motsvarande färdigt exempel. Eleverna visade även föga intresse att lösa komplexa uppgifter, och inga försök alls gjordes på den högsta svårighetsgraden – de föredrog istället att lösa lättare uppgif-ter. Dessutom var ingen elev sysselsatt med olika typer av utforskande aktiviteter i läroboken. Resul-taten visade även att kreativa matematiska resonemang fördes i en mycket begränsad omfattning, eller inte alls. Det var inte heller någon självklarhet att eleverna använde kreativa resonemang till uppgifter som faktiskt krävde det – istället konsulterades en kamrat eller läraren. En lösning kunde då nås, eftersom hjälparen redan löst uppgiften korrekt, men innebar samtidigt ett förlorat lärande-tillfälle avseende kreativa matematiska resonemang. Uppenbarligen var även läroboksanvisade imi-tativa resonemang vanligare hos elever som satt och räknade själv. En överraskande observation var att facit var en integrerad del i elevernas strategi att hitta algoritmer som kunde leda fram till en lös-ning, eller verifiera ett svar. Av undersökningen drog författarna slutsatsen att läromedelsförlagen måste inkludera fler uppgifter vars lösning kräver kreativa matematiska resonemang, fast formule-rade på en lägre kunskapsnivå (dvs lägre svårighetsgrad). I aktuellt examensarbete gjordes ingen in-delning av läromedelsuppgifter efter vilka av de två huvudsakliga matematiska resonemangstyperna som krävs för en lösning, enligt ovan. Istället indikerades förekomst av resonemangsförmåga under uppgiftsanalysen, och vilken kvalitativ kunskapsnivå den testades på under en möjlig elevlösningssi-tuation. Vidare uppvisar resonemangsförmågan stora likheter med kompetensen kreativt matema-tiskt resonemang, dvs det är svårt för eleven att lösa uppgiften enbart genom att kopiera en exem-pelalgoritm. Slutligen, läromedelsanalysen i aktuellt examensarbete är samstämmig med tidigare forskning (Sidenvall, 2019; Sidenvall et al., 2015). Det är därför rimligt att anta att resonemangsför-mågan i svenska matematikläromedel sannolikt försummas, i olika utsträckning, oberoende av kun-skapsnivå och kunskapsområde. Läromedelsförlagen och deras författare behöver även reflektera över hur facit kan utvecklas och stödja eleven mer effektivt i processen att lösa matematikuppgifter, eftersom det tydligen är populärt att förlita sig på facit. Detta fenomen är i stark kontrast till inle-dande teoridel med exempel, som kanske även behöver korrigeras för att värderas högre av eleven. Boesen et al. (2018) analyserade uppgifterna i några nationella prov i matematik för åk 9, som varit offentligt tillgängliga sedan starten år 1995, och visade att de faktiskt lyckas testa alla matematiska kompetenser (definierade enligt ett tidigare kompetensramverk) i någorlunda hög utsträckning. Forskarna anmärkte dock på att uppgifterna i det nationella provet i flera avseenden misslyckas med att förena kompetenserna med kompetensrelaterade aktiviteter (tolka, använda och värdera), ef-tersom dessa kompletterar bilden av vad det egentligen innebär när en elev är matematiskt kunnig – nästan ingen uppgift testade den sista kompetensrelaterade aktiviteten (att värdera kompetensen), dvs elevens förmåga att reflektera över vald matematikkompetens under lösningsprocessen. Vidare visade resultaten att procedurhanterings- och kommunikationskompetensen hör till de överlägset mest förekommande i uppgifterna. För procedurhanterings- och resonemangskompetensen låg fo-kus mestadels på den andra kompetensrelaterade aktiviteten (att använda kompetensen), vilket in-nebär att eleven sällan ställs inför situationer som kräver tolkning och värdering över vald metod och fört resonemang. Denna smala föreställning om matematisk kunskap missgynnar matematikläran-det, argumenterar Boesen et al. (2018). I nuvarande begränsade examensarbete gjordes inga försök att identifiera kompetensrelaterade aktiviteter. Däremot visade analysen att kommunikationsför-mågan totalt testas i avsevärt mindre utsträckning i läromedlen (18–24 %, beroende på lärobok) kontra det nationella provet (54 %), oberoende av kunskapsnivå. Orsaken är troligtvis kopplad till hur klassifikationen av matematikförmågorna operationaliserades under själva uppgiftsanalysen.
34
Denna är i sig baserad på hur läromedelsuppgifterna faktiskt är formulerade, dvs vad som efterfrå-gas i svaret – vilken omfattning på redovisningen (processen) krävs av eleven för en löst uppgift (pro-dukten)? Uppgifterna i läromedlen kräver dessutom oftast inte en fullständig redovisning av svaret, till skillnad från det nationella provet. Ett undantag är dock Mondo som under ett kapitel om pro-blemlösning faktiskt begär att eleven först ska välja lämplig propro-blemlösningsstrategi och sedan redo-visa lösningarna tydligt, strukturerat och rationellt. Även Z-boken utgör ett undantag som, till vissa uppgifter, föreslår att eleven t ex ritar en bild för att underlätta lösningsprocessen. Sammantaget in-dikerar denna läromedelsanalys att uppgiftsformulering, eller en allmän uppmaning till eleven i bör-jan av varje kapitel/avsnitt, kan vara avgörande för att utveckla kommunikationsförmågan. Ansvaret faller på läromedelsförfattarna att överväga hur uppgifter kan utformas för att eleven ska kunna ut-veckla sin kommunikationsförmåga, t ex genom att uttryckligen begära redovisning av tankegång muntligt, skriftligt eller med konkreta hjälpmedel (bilder, symboler etc) antingen individuellt eller tillsammans med en kamrat.
Lärarnas Riksförbund (2012) genomförde för några år sedan en undersökning om hur lärarna kan på-verka val och inköp av läromedel eftersom en grundläggande idé med en decentraliserad, mål- och resultatstyrd, skola är att inflytandet över undervisningens utformning och upplägg ska utgå ifrån lärarprofessionen och eleverna. I rapporten framgick huvudsakligen att: a) majoriteten av lärarna anser sig styra över läromedelsvalen själva, b) autonomin ökar med skolnivån och c) Ma-/NO-lärarna upplever sig ha mindre makt att styra över läromedelsvalen i jämförelse med andra ämneslärare. Vi-dare fastslogs att det är i första hand de ekonomiska ramarna som begränsar urvalet, och de har större påverkan i grundskolan än på gymnasiet. Rapporten avslöjade även att lärarna efterfrågar först och främst nya läroböcker i sitt ämne och därefter ny digital program-/hårdvara (t ex licenser, datorer, surfplattor etc). En fängslande aspekt var att matematiklärarna efterfrågar nya läroböcker och ny digital programvara i minst utsträckning, och att skillnaden var signifikant gentemot andra ämneslärare. Resultaten och slutsatserna av detta examensarbete understryker, för matematiklära-rens del, vikten av att utvärdera lärobokens mål- och kunskapsuppfyllelse och kanske utgå ifrån i vil-ken utsträckning den generellt kan träna eleverna inför att skriva det nationella provet genom att matcha innehållen mot varandra. Vidare krävs en insats från läraren/arbetslaget att införskaffa läro-böcker som nyligen är uppdaterade och innehåller bl a ett kapitel om programmering (vilket enbart en av läroböckerna gjorde), för att svara på den senaste revisionen av Lgr 11 och kursplanen i mate-matik, samt överväga en helt eller delvis övergång till digitala och interaktiva läromedel. Annars ris-kerar vissa matematikförmågor, eller kunskapsområden, att överskuggas av andra. Slutligen antyder läromedelsanalysen att betydelsen av valfria gruppuppgifter och aktiviteter av undersökande/prak-tisk karaktär inte ska underskattas, utan inkluderas i undervisningen, eftersom dessa är rika och lyf-ter fram flera matematikförmågor samtidigt och på olika kunskapsnivåer. Detta gäller särskilt reso-nemangs- och kommunikationsförmågan.