Syftet med denna studie var att, med inspiration av variationsteorin, ge en bild av vad tre läromedel erbjuder elever att lära om bråk. För att ge en bild av vad läromedlen erbjuder elever att lära om bråk undersöktes vilka lärandeobjekt som förekommer i läromedlen samt genom vilka variationsmönster några kritiska aspekter behandlas. I resultatdiskussionen diskuteras resultatet med avseende att besvara studiens syfte och elevers rätt till läromedel.
6.2.1 Lärandeobjekt i läromedlen
Resultatet visar på flera likheter över vilka lärandeobjekt som behandlas i läromedlen, men även en del skillnader i såväl omfång som innehåll. I en läromedelsstyrd undervisning innebär det att elever som undervisas genom Koll på matematik går miste om sju lärandeobjekt som identifierats i Singma matematik. Två av dessa lärandeobjekt berör beräkningar med tal i bråkform, vilka beskrivs i tidigare forskning (Jigyel & Afamasaga- Fuata’i, 2007; Mack, 1993; Skolverket, 2013) som grundläggande kunskaper inom mer avancerade matematiska områden som ekvationer och algebra. Om elever saknar grundläggande kunskaper inom tal i bråkform när de lämnar grundskolan, äventyras också elevers möjligheter att fullfölja matematikundervisningen på gymnasieskolan (Skolverket, 2013). Därför är det av särskild vikt att lärare bör känna till vilka lärandeobjekt som behandlas och inte behandlas i olika läromedel, för att i sin tur också vara medvetna om vad elever ges möjlighet att lära om bråk. Däremot föreslår Bezuk och Cramer (1989) att operationer med bråk bör försenas tills att koncept och idéer om bråk är fast etablerade. Således bör arbetet med operationer introduceras först under mellanstadiet, för att ge den tid som krävs för utvecklandet av koncept och idéer om bråk. Jag tror att ovanstående på något sätt också synliggör hur läromedel bråkar med bråk. Personerna bakom läromedlen är tvingade till att avgöra vilka lärandeobjekt som ska utgöra den undervisning som skapar bäst möjligheter för elever att lära bråk i en läromedelsstyrd undervisning, även om kursplaner ger vägledning. De tre läromedel som ingår i denna analys har valt något olika lärandeobjekt i hur läromedlen behandlar bråk, vilket är intressant.
Mestadels berör läromedlen lärandeobjekt om att dela in objekt i en halv, en tredjedel och en fjärdedel, snarare än att dela in objekt i tre fjärdedelar eller två tredjedelar. I tidigare forskning (Kullberg & Runesson, 2013; Ball, 1993) konstateras elevers visade svårigheter för att förstå uppgifter som involverar icke stambråk, alltså tal i bråkform som utgörs av täljare större än ett. Möjligen förklaras det faktum att elever har betydligt svårare för
34
uppgifter som involverar icke stambråk i vilken utsträckning icke stambråk respektive stambråk behandlas i läromedlen. Denna svårighet beskrivs enligt tidigare forskning (Kullberg & Runesson, 2013) som påtaglig i uppgifter där en helhet ska delas in i flera lika stora delar, exempelvis $
( av 28, då en sådan uppgift kräver att helheten både delas in i fyra lika stora delar samt en multiplikation av de lika stora delarna. Därför är det glädjande att både Singma matematik och Koll på matematik, i sina lärandeobjekt om att dela in olika antal objekt i tredje- och fjärdedelar, involverar såväl stambråk som icke stambråk. Därigenom skapas också goda möjligheter för elever att förstå bråk som del av ett antal.
I den tidigare forskning som lyfts fram synliggörs elevers svårigheter för lärandeobjekten jämförelse och storleksordning av tal i bråkform (Gómez & Dartnell, 2018; Meert et al., 2010; Rinne et al., 2017). Denna svårighet om hur tal i bråkform ska tolkas på ett korrekt sätt, beror på att elever övergeneraliserar kunskaper om de naturliga talen när de bedömer storleken på ett tal i bråkform (Deringöl, 2019). Mot denna bakgrund behöver läromedlen skapa tillfällen där bråk också behandlas som tal i bråkform för att elever ska kunna bestämma eller jämföra tal i bråkforms storlek. Även om samtliga analyserade läromedel behandlar lärandeobjekt om att skriva och uttrycka tal i bråkform uteblir detta lärandeobjekt i läroboken Favorit matematik 2A. Istället behandlas exempelvis lärandeobjekten dela i halvor, dela i fjärdedelar och dela i tredjedelar genom att uttrycka antal lika stora delar som en figur är delad i eller genom att ”måla en fjärdedel” av en figur. Däremot ges elever möjlighet att skriva och uttrycka tal i bråkform i uppföljaren till
Favorit matematik 2A.
Trots det vore det intressant att lyssna till läromedelsförfattarnas resonemang kring varför tal i bråkform och således lärandeobjekt om att skriva och uttrycka tal i bråkform inte förekommer i Favorit matematik 2A. Därtill är det välkänt att tal i bråkform är uttryck som förekommer i formler och i termer till ekvationer och ekvationssystem (Skolverket, 2013). Även Yang och Wu (2010), Behr et al. (1984) och Cramer et al. (2002) understryker att andra matematiska områden förutsätter grundläggande kunskaper om bråk. Vidare föreslår Bezuk & Cramer (1989) att undervisningen på lågstadiet bör stanna vid bråk och tal i bråkform om åttondelar. Resultatet visar att Koll på matematik är det läromedel som i sina lärandeobjekt ligger närmast denna rekommendation.
35
6.2.2 Variationsmönster av kritiska aspekter
De kritiska aspekter som behandlas genom flest variationsmönster är täljaren och
nämnarens funktion, vilket också är två kritiska aspekter som återkommer vid flertalet
tillfällen i tidigare forskning (Rinne et al. 2017; Kullenberg & Runesson, 2013; Deringöl, 2019, Meert et al. 2010; Gómez & Dartnell, 2018). Täljaren och nämnarens funktion beskrivs som centrala aspekter för flera lärandeobjekt och kan förklara dess överrepresentation i läromedlen. Däremot innebär en frekvent repetition inte nödvändigtvis att elever ges bättre möjligheter att lära bråk. Bezuk och Cramer (1989) menar att en sådan repetition tyder på att bråk inte undervisas på ett bra sätt i någon årskurs.
Om täljare och nämnare var ett glädjeämne gällande i vilken utsträckning de behandlas i läromedlen, är likvärdiga bråk ett sorgeämne. För att elever ska kunna ta sig an lärandeobjekt och kunskapskrav om att jämföra och storleksordna tal i bråkform behöver läromedlen skapa fler tillfällen där elever ges möjlighet att urskilja det faktum att olika tal i bråkform kan representera samma tal. Vikten av att undervisningen berör denna aspekt finns även beskriven i forskning (Drageryd et al., 2012: Başürk, 2016).I Koll på matematik identifierades aldrig något tillfälle där variationsmönstren behandlade likvärdiga bråk. Däremot erbjuder alla tre läromedlen elever att urskilja nämnarens funktion genom samtliga variationsmönster. Både Singma matematik och Favorit matematik erbjuder elever att urskilja även täljarens funktion genom samtliga variationsmönster. Singma matematik skapar också goda förutsättningar att öka elevers förståelse för att alla delar i ett bråk måste vara lika stora genom att synliggöra aspekten med hjälp av samtliga variationsmönster.
Vidare har kontrast som variationsmönster identifierats i större utsträckning vid introduktion av ett lärandeobjekt eller en kritisk aspekt och har således påträffats fler gånger i läroböcker ämnade för årskurs 2 än årskurs 3. Detta överensstämmer med vad Lo (2012) och Marton (2015) beskriver som den mest fördelaktiga turordningen av variationsmönstrens användning: Kontrast – Generalisering – Fusion. Kontrast används ofta för att introducera någonting nytt och kan därför ses som en förklaring till varför kontrast inte påträffats i lika stor utsträckning i slutet av kapitlen eller i årskurs 3 läroböcker. Generalisering visade sig vara det variationsmönster som behandlar de kritiska aspekterna i störst utsträckning medan fusion ofta tillämpades först efter kontrast och generalisering. I figur 11, 12 och 13 illustreras vad många skulle anse som utopi inom variationsteori, nämligen tre sammanhängande uppgifter, vilka behandlas genom
36
variationsmönstren: Kontrast – Generalisering – Fusion. Även om denna struktur sammanfattar variationsmönstrens generaliserade förekomst, är det en något förfinad avspegling av hur bråk behandlas i samtliga analyserade läroböcker.
Som tidigare nämnts behandlar både Singma matematik och Koll på matematik lärandeobjekt om att dela in olika antal objekt i tredje- och fjärdedelar genom en variation av såväl stambråk som icke stambråk. Mot denna bakgrund framstår, framförallt Singma
matematik, som ett läromedel vilken behandlar täljaren och nämnarens funktion på ett
sådant sätt som forskning (Kullberg & Runesson, 2013) beskriver särskilt viktigt. För att elever ska kunna förstå täljaren och nämnarens funktion föreslår Kullberg och Runesson (2013) att elever lär sig skilja mellan antalet grupper som hela bör delas upp i och antalet inom varje grupp samt skilja mellan mängden enheter och mängden objekt i varje enhet.
6.2.3 Elevers rätt till läromedel
Resultatet visar att det finns läromedel som behandlar bråk i stor omfattning, vilket erbjuder elever goda möjligheter att lära bråk. Trots det minskar lärares tillgång till läromedel. Istället tvingas lärare, i allt större utsträckning, skapa sitt eget undervisningsmaterial (SVT, 2021). Mot den bakgrunden är det möjligt att fundera över vilka konsekvenser en sådan utveckling kan bidra till. Dels blir undervisningsmaterialet inte lika bra, då lärare kan tvingas skapa sitt undervisningsmaterial under en viss tidsbegränsning, dels tar det tid som lärare kan ägna åt att förbereda sin undervisning. Dessutom finns en risk att ojämlikheten ökar i den mån skolor som behöver satsa allra mest på läromedel också är de skolor som satsar allra minst på läromedel. Förtillfället finns heller ingen juridiskt tydligt uttryckt rätt för elever att få läromedel, vilket är något som undersöks i en statlig utredning. Utredningen leds av den tidigare utbildningsministern Gustav Fridolin (SVT, 2021). Mot denna bakgrund går det ifrågasätta huruvida svensk skola faktiskt erbjuder vad läroplanen beskriver som en likvärdig utbildning (Skolverket, 2019). Däremot kvarstår det faktum att lärares professionella kunskap står i undervisningens centrum. Inget läromedel kan ersätta den interaktion som uppstår mellan lärare och elev i olika undervisningssekvenser. Läromedel bör snarare betraktas som ett komplement till lärares undervisning.
37
6.2.4 Slutord resultatdiskussion
Avslutningsvis behandlar de tre läromedel som analyserats såväl lärandeobjekt som kritiska aspekter som forskning beskriver avgörande för elevers förståelse för bråk. Framförallt gäller det täljaren och nämnarens funktion och till viss del även likadelning. Däremot förekommer lärandeobjekt som viss forskning (Bezuk & Cramer, 1989; Wantanabe, 2001) föreslår bör introduceras först under mellanstadiet. Det rör sig om bland annat addition och subtraktion med bråk eller tal i bråkform.
Både Singma matematik och Favorit matematik och till viss del även Koll på matematik följer ett liknande upplägg genom att synliggöra den kritiska aspekten likadelning i samband med att bråk introduceras. Denna aspekt tränas genom flera variationsmönster i läromedlen, vilken forskning (Karlsson & Kilborn, 2015) anser vara nödvändigt för att lära bråk som del av en helhet. Om elever ska kunna ta sig an andra aspekter av bråk, exempelvis bråk som del av ett antal, är en sådan introduktion av att alla delar i ett bråk måste vara lika stora nödvändig. Av resultatet framgår att elever framförallt ges möjlighet att lära bråk genom att en irrelevant aspekt varierar samtidigt som en fokuserad aspekt hålls invariant. I ett första stadie erbjuder läromedlen tillfällen att urskilja täljaren och nämnarens funktion genom lärandeobjekt om bråk som en del av en helhet och i ett nästa stadie om bråk som del av ett antal. Däremellan ges elever möjlighet att jämföra och storleksordna bråk eller tal i bråkform, placera bråk eller tal i bråkform på tallinjen samt beräkningar med bråk och tal i bråkform.
Även om läromedlen behandlar bråk i varierad utsträckning, är inte nödvändigtvis de läromedel som behandlar bråk i störst omfattning också de läromedel som erbjuder elever störst möjligheter att lära bråk (Bezuk & Cramer, 1989). Forskning visar att kvalitén på läromedlen är den faktor vilken påverkar elevers lärande och möjligheter att prestera i matematik (Fan et al., 2013; Reys et al., 2004). Fem av sex analyserade läroböcker har valt att placera undervisningen om bråk i slutet av läroboken, vilket resulterar i att området blir mindre uppmärksammat av lärare. Även om lärare följer samtliga kapitel och lektioner i läroboken, ges mindre uppmärksamhet och tid åt lektionerna i slutet av läroboken, framförallt om lärare vet att det kommer att repeteras nästa år (Alajmi, 2012). Mot den bakgrunden finns det risk för att ett sådant upplägg också påverkar elevers möjligheter att lära bråk. Hur kommer det sig då att bråk ofta placeras i slutet av undervisningen? Möjligtvis kan det finnas en förklaring i Wantanabe’s (2001) argumentation för att bråk bör introduceras först i årskurs 4: (1) grundskolans läroplaner innehåller redan för många
38
ämnen, och (2) bråk-konceptet kanske inte är utvecklingsmässigt lämpligt för elever i de tidigare skolåren.