Sammanfattande resultat och analys

Resultat på AG3 visade på en ökning för eleverna i årskurs 4, medan eleverna i årskurs 7 hade lägre resultat på eftertest än förtest. Ökningen för årskurs 4 ligger mellan 7 och 22 poäng, medan elevernas resultat i årskurs 7 hade minskat med 2 respektive 1 poäng. På förtestet låg elevernas resultat mellan 20-32 poäng utav 48 möjliga, vilket kan indikera på att eleverna är i SUM inom detta specifika område.

Testerna gick på tid vilket kan vara en faktor som påverkade resultatet (Boaler, 2015). Eleverna i årskurs 4 ökade sitt resultat mer mellan testerna än eleverna i årskurs 7, vilket kan bero på att eleverna i årskurs 7 har svårare för att ersätta gamla inövade strategier med nya (Chinn & Ashcroft, 2008). Utifrån både Kilpatrick et al.(2001) och McIntosh (2009) kan det tolkas som att eleverna i årskurs 4 är på god väg att uppnå procedurellt flyt. Detta kan vara en följd av att intensivundervisningen har haft god effekt (McIntosh, 2009; Butterworth & Yeo, 2012). Eleverna i årskurs 4 upplevde subtraktionsuppgifterna som svårare i början av interventionen, vilket Chinn (2012) och Kilpatrick et al. (2001)

menar är en vanlig uppfattning, medan det i slutet inte var någon större skillnad på räknesätten eftersom eleverna hade ökat sin förståelse för sambandet mellan räknesätten (Kilpatrick et al., 2001). Utifrån Kilpatrick et al. (2001) och McIntosh (2009) beskrivning har eleverna i årskurs 7 ännu inte uppnått flyt. Eleverna kunde lösa uppgifterna med visst flyt direkt efter träningen, men efter en tid eller när uppgifterna var blandade från olika tal blev det svårt, vilket kan bero på att eleverna använt olämpliga procedurer under längre tid. Eleverna har ändå utvecklat viss förståelse för nya strategier, men är inte tillräckligt säkra för att lämna de gamla (Kilpatrick et al. 2001).

Eleverna i årskurs 4 använde några stycken strategier före interventionen och fler efter. De använde strategierna mer flexibelt efter interventionen, vilket visar att de har utvecklat sin strategiska kompetens. Beräkningarna har blivit mer effektiva eftersom eleverna använde den strategin som passade uppgiften bäst, precis som Kilpatrick et al. (2001) beskriver. Eleverna i årskurs 7 använde fingerräkning före interventionen. Under interventionen lärde sig eleverna några nya strategier, varav en var dubblorna, som de övergeneraliserade och använde även där den inte var hållbar. Eleverna har tagit till sig strategin, men vet ännu inte när den ska användas. Genom att eleverna gick tillbaka till fingerräkning visade det att eleverna inte var säkra på den nya strategin (Kilpatrick et al., 2001). Det kan bero på att eleverna har lärt sig några få strategier i nybörjarundervisningen som de fortfarande använder på högstadiet och att det är svårt att ersätta de gamla strategierna med nya (Chinn & Ashcroft, 2008). Eftersom eleverna använt fingerräkningen i flera år kan inlärning med förståelse vara mindre effektiv (Kilpatrick et al., 2001).

Undervisningen som var en till en, bestod till en del av samtal utifrån det talområde eleverna behövde träna. Eleverna fick omedelbar bekräftelse och korrigering av felaktiga strategier vilket även kan ha varit utvecklande för den begreppsliga förmågan (Lundberg & Sterner, 2009). Eftersom talområdet 0-10 inte var befäst hos tre av eleverna, började undervisningen där, innan talområdet 11-20 påbörjades (Kilpatrick et al., 2001). Vidare bestod innehållet i undervisningen av talens uppbyggnad, sambandet mellan räknesätten, vidareutveckling av elevernas huvudräkningsstrategier, inlärning av nya strategier och när de bäst kan användas (Kilpatrick et al., 2001; Lundberg & Sterner, 2009). Denna inlärning kan ses som det Vygotskij, (2010) menar ett utvecklingsrum där eleverna interagerade med lärare, vilket möjliggör olika utvecklingsprocesser hos eleverna. Eleverna i årskurs 4 använde sig självständigt och flexibelt av strategierna, däremot visade eleverna i årskurs 7 endast förmågan att använda strategierna i samarbete. Vygotskij (2010) menar att elevens förmåga att övergå från något de kan göra i samarbete till något de kan göra självständigt sammanfaller med elevens närmaste utvecklingszon.

Genom arbetet med triaderna och Wenndicklistorna visade eleverna att de utvecklat sin begreppsliga förståelse för talens uppbyggnad och sambandet mellan räknesätten, som McIntosh (2009) diskuterar. Eleverna visade större svårigheter vid uppgifterna i subtraktion än i addition i början av interventionen än i slutet. Eleverna i årskurs 4 utvecklade huvudräkningen till att bli mer effektiv genom att välja den mest effektiva metoden. Eleverna i åk 7 visade viss begreppslig förståelse, men den är inte fullt utvecklad.

Eleverna i årskurs 4 och 7 har visat ett adaptivt resonemang genom förståelse för öppna utsagor och kan lösa dessa uppgifter lika bra som vid traditionellt sätt, exempel 5+7=_.

Eleverna i årskurs 4 visade också adaptivt resonemang genom att kunna välja lämplig strategi vid uträkningarna, vilket eleverna i årskurs 7 ännu inte kan.

Utifrån våra intervjuer och loggböcker visade eleverna exempel på Produktivt syn- och förhållningssätt genom deras upplevelse att undervisningen varit rolig och lärorik. De uttryckte att de lärt sig fler sätt att tänka. De reflekterade även över nyttan av att kunna huvudräkning och glädjen av att ha blivit bättre på huvudräkning. Några elever insåg också vikten av att träffas ofta för att nå goda resultat precis som Magne (1998), McIntosh (2009) och Fälth (2013) lyfter fram. Eleverna fick omedelbar respons vilket kan ha påverkat självförtroendet inom detta område i positiv riktning (Kilpatricket et al., 2001;McIntosh, 2009).

7. Diskussion

I följande avsnitt diskuteras denna studies resultat och metod. Avsnittet avslutas med förslag på fortsatt forskning.

7.1 Resultatdiskussion

Studiens syfte var att undersöka hur räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion kan utvecklas för elever i SUM genom strukturerad intensivundervisning utifrån Wendick-modellen.

Vi sökte svar på vilka huvudräkningsstrategier eleverna använde och hur materialet Wendickmodellen kan hjälpa eleverna att utveckla räkneflyt i huvudräkning. Resultatet i vår studie indikerar på att det är av betydelse att undervisningen ligger på rätt nivå. Forskning (e.g Anghileri, 2012, Baroody et al., 2009, Chinn & Ashcroft, 2008, Kilpatrick et al., 2001, McIntosh, 2009) pekar på att det är av betydelse att börja undervisningen där eleven befinner sig och därefter hjälpa eleven att utveckla sina strategier. Även om vår studie innefattade talområdet 11-20 utgick vi ifrån elevernas förkunskaper, som för några elever var talområdet 0-10, och började vår undervisning där.Vi kan dock vi se att det kanske gick för fort fram, vi hade behövt stanna och automatisera de lägre talområdena under längre tid.

Forskning (e.g. Anghileri, 2012,Chinn & Ashcroft, 2008) visar att förståelse och flyt i grundläggande taluppfattning är lika viktiga, men under studien har vi blivit ännu mer övertygade om att effektiva huvudräkningsstrategier som bygger på förståelse är av stor betydelse. Det innebär att räkneflyt är inget som utvecklas snabbt utan ett arbete som behöver tid. Utifrån resultaten i vår studie kan vi se att eleverna i årskurs 4 är på god väg att utveckla räkneflyt. De hade sedan tidigare några hållbara strategier som de under interventionen utvecklade och använde på ett mer flexibelt och effektivt sätt. Eleverna i årskurs 7 använde till största delen fingerräkning före interventionen. Efter interventionen försökte eleverna använda nya strategier, men de var inte befästa utan eleverna återgick till fingerräkning. Att de nya strategierna inte var befästa kan bero på att eleverna var äldre och hade befäst fingerräkningen under så lång tid att det behövs längre tid för att befästa det nya.

På vår frågeställning om hur Wendick-modellen kan hjälpa eleverna att få räkneflyt tänker vi att eftersom materialet är väldigt strukturerat och går stegvis fram är det passande och motiverande för många elever. En av elevernas resultat ökade väldigt

mycket från förtest till eftertestet på AG3, där vi tänker att motivationen kan vara av betydelse för resultatet. Genom arbetet med Wendick-modellen blev eleverna uppmärksammade på sambandet mellan räknesätten och subtraktion upplevdes inte svårare än addition efter ett tag (Chinn, 2012; Kilpatrick et al., 2001). Det som måste betonas innan arbetet med listorna är att kartlägga elevernas förkunskaper både vad gäller talområde och huvudräkningsstrategier. I studien uppmärksammade vi elever som inte hade utvecklat hållbara strategier, utan lärde sig det aktuella talet i Wendicklistan utantill, vilket senare visade sig vid repetition av talet. Risken för utantillinlärning bör därför uppmärksammas vid arbete med Wendick-modellen om elevens förkunskaper ej är befästa.

Vi anser att intensivundervisning en till en är en bra arbetsform. Eleverna blir motiverade eftersom de får omedelbar respons av lärare och att korrigering av missuppfattningar kan göras direkt. I resultatet på AG3 visade eleverna i årskurs 4 en stor ökning, vilket delvis kan bero på att undervisningen varit en till en, kontinuerlig, strukturerad och med korta arbetspass. Men för att eleverna skulle utveckla räkneflyt hade det behövts mer tid än vi hade i studien. Tiden för studien var för kort, med för få undervisningstillfällen för att eleverna i årskurs 7 skulle få möjlighet att uppvisa ett positivt resultat. Tidpunkten på läsåret, de sista veckorna på vårterminen när undervisningen bryts av andra aktiviteter kan även ha påverkat resultatet.

Huvudräkning i talområdet upp till 20 är en viktig grund för mer avancerad matematik, men är även av betydelse för självförtroendet. Vår studie är för liten att generalisera men det finns indikationer på behovet av tidiga insatser i skolan eller som Chinn & Ashcroft, (2008, sid. 82, egen översättning) uttrycker det att ”interventionen bör starta innan den behövs”.

7.2 Metoddiskussion

Studien utformades som en kvalitativ fallstudie för att kunna besvara studiens syfte och frågeställningar. Fallstudien innehöll flera olika delar; tester, intervjuer och intervention. Urvalet av elever har skett utifrån resultatet på skolverkets diamantdiagnos AG3. Således har studiens syfte varit att undersöka hur SUM- elever kan utveckla räkneflyt. Genom elevintervjuerna har syftet att undersöka elevernas huvudräkningsstrategier fokuserats och genom interventionsstudien och arbetet med Wendick-listorna har även frågeställningen om hur Wendick-modellen kan hjälpa elever att utveckla räkneflyt i huvudräkning besvarats.

Att många faktorer kan påverka när en interventionstudie ska genomföras med elever. Antalet elever begränsades till 5 stycken beror främst på den begränsning av tid att genomföra studien som vi hade att förhålla oss till. Sjukdom, lov och enskilda elevers ledigheter kunde också medverka till att antalet träningstillfällen minskades och i sin tur påverka resultatet. När det gäller urvalet av eleverna var två elever kända och 3 elever var okända av oss. Detta faktum kan också ha påverkat studien och resultatet genom att det tar tid att bygga relationer. Denna påverkan på studien och resultat kan vara både i positiv och negativ bemärkelse. Medvetet eller omedvetet kan kraven som ställs på eleverna vara olika om eleverna var kända eller okända. Våra dubbla roller som både forskare och lärare blir här väldigt speciell och att enbart se studien utifrån forskarens perspektiv blir svårt, kravet på objektivitet kan därför diskuteras. Vid en interventionsstudie som pågår 3-4 gånger i veckan under 5 veckor lär elev och

lärare/forskare känna varandra ganska väl och även det kan påverka objektiviteten genom lärarens vilja att eleven ska gå framåt och lyckas i sin träning medan forskaren eftersträvar objektivitet. Tidpunkten för vår studie som vi hade att förhålla oss till var under maj månad till och med första veckan i juni innan skolorna slutade inför sommaren.

Tillvägagångsättet vid studien har varit tester i helklass före studien och enskilt efter. Intervjuer enskilt före och efter studien och loggboksskrivande under hela studien. Loggbok fördes för att stärka validiteten. I loggboken noterade vi efter varje lektion vad vi hade arbetat med, men även intressanta citat som eleverna uttryckte. Eftersom noteringarna ibland skedde i anslutning till lektionen medan vid andra tillfällen kunde inte noteringarna skrivas ner förrän nästa dag kan detta ha påverkat resultatet av vad vi kom ihåg och vad som noterades.

Som arbetsmaterial använde vi Wenndick-listor, triader, elevspel.se och klossar. Vilken typ av material och hur materialet användes kan påverka resultatet. Triader och klossar användes för att skapa förståelse och Wendick-listorna för att befästa talen. Eleverna i årskurs 7 använde inte klossar lika mycket som eleverna i årskurs 4 som ofta på eget initiativ ville använda dem när ett nytt tal påbörjades. Detta kan ha påverkat elevernas förståelse för uppdelning av tal genom att eleverna i årskurs 4 visade större flexibilitet i användandet av huvudräkningsstrategierna vid eftertestet än eleverna i årskurs 7.

Wendick-modellen var ett nytt material för oss och vi kunde tillsammans gått igenom materialet mer noggrant innan vi startade interventionen. En av oss hade gjort en pilotstudie och hade något mer kunskap om materialet. Detta visar kommunikationens betydelse när flera forskare utför en studie. I Wendick-modellen tränas inte strategier, men materialet betonar vikten av förkunskaper och förståelse för tal innan färdighetsträning startar. Att befästa hållbara strategier anser vi vara av mycket stor betydelse och även att det vore en fördel om materialet gav exempel på strategier. När eleverna utvecklat hållbara strategier ger Wendick-modellen möjlighet att utveckla förståelsen av tal genom öppna utsagor och sambandet mellan räknesätten. Listorna är uppbyggda med ett tal i taget vilket innebär att eleverna kan titta på tidigare gjorda uppgifter. Det kan innebära träning utan förståelse, men eftersom uppgifterna till största delen är öppna utsagor anser vi att risken inte är så stor. Några elever utnyttjade detta i början men efter ett tag lade de själva över tidigare gjorda uppgifter. Vi kommer att använda Wendick-modellen i vår verksamhet men kommer då inte gå så fort fram som i studien utan utifrån elevens förkunskaper lägga mer tid på förståelse och stategier. I våra förberedelser inför studien förutsatte vi att alla eleverna hade befäst huvudräkning i addition och subtraktion inom talområdet 0-10, något som visade sig vara fel. Efter förtestet men innan studien påbörjades hade vi dock bestämt att vi skulle låta eleverna göra Diamantdiagnosen AG1 för att försäkra oss om att eleverna behärskade detta talområdet. Eftersom vårt syfte med studien var att se om eleverna kunde utveckla räkneflyt inom talområdet 11-20, kände vi press av att hinna med så många tal som möjligt, vilket kanske avspeglade sig i resultatet. Eftersom eleverna i årskurs 7 varken hann befästa talområdet 0-10 eller strategier ledde det till inlärning utan befäst förståelse.

Intensivträningen var eleverna mycket positiva till och de upplevde att de lärde sig. Vi fick också en känsla av att arbetssättet motiverade eleverna att arbeta med matematik. Vi uppmärksammade att lärarens engagemang betydde väldigt mycket för eleverna.

Flera av eleverna ville ha omedelbar respons om talen var rätt efter varje löst uppgift. Om vi vid något tillfälle då eleven arbetade med listorna behövde hämta något material och eleven inte fick omedelbar respons tappade eleven lätt fokus.

När vi reflekterar över vår egen roll som speciallärare i interventionen är vi nöjda med materialet och arbetsgången. Tiden för interventionen var troligtvis för kort för att eleverna skulle utveckla räkneflyt, materialet var nytt och vi upplevde press på att komma någon vart med listorna. Eftersom eleverna fick göra tester på tid är det viktigt att ha i åtanke som Boaler, (2015) menar att tidspress kan vara stressande och blockera arbetsminnet. Ur ett specialpedagogiskt perspektiv bör vi inte enbart fokusera på tiden utan vilka strategier eleven använder. Det kan vara så att eleven har svårt med finmotoriken, vilket kan underlättas om testet görs muntligt eller om läraren är elevens sekreterare vid det tillfället.

Utifrån studien kan vi sammanfatta att tidiga insatser i huvudräkning är av betydelse så att elever inte riskerar att befästa ineffektiva strategier och missuppfattningar. För att elever ska ha möjlighet att utveckla räkneflyt som håller över tid bör undervisningen utgå från elevens förkunskaper, utveckla förståelse för tal och effektiva huvudräkningsstrategier. Arbetet med att utveckla räkneflyt måste få ta tid för att bli befäst. Undervisningen kan med fördel vara intensiv, en till en och utgå från ett strukturerat material såsom Wendick-modellen. För hållbara kunskaper behövs även kontinuerlig repetition.

7.3 Fortsatt forskning

Det hade varit spännande att fortsätta med denna forskning under längre tid och med repetition efter några månader, för att ta reda på om eleverna då utvecklat hållbara strategier och räkneflyt. Vi tycker att det även skulle vara intressant att utforska andra metoder för att utveckla huvudräkningsstrategier och räkneflyt. En annan infallsvinkel vore att studera hur det arbetas med huvudräkning i addition och subtraktion på mellanstadiet eftersom vi upplever att det där är ett ”glömt” område.

Referenser

Alderson, Priscilla & Morrow,Virginia (2011). The Ethics of Research with Children and young people. a practical handbook.2^nd ed.Los Angeles, [Calif]: SAGE.

Anghileri, Julia (2008). Developing Number Sense:progression in the middle years. London: Continuum.

Anghileri, Julia (2012). Teaching number sense. London: Continuum.

Bagger, Anette & Roos, Helena (2014). How research conceptualises the student in need of special education in mathematics. Artikel presenterad på Madif - konferensen i Sverige 2014 (i tryck).

Baroody, Arthur J., Bajwa, Neet Priya & Eiland, Michael (2009). Why can´t Johnny Remember the basic facts. Development Disabilities Research Review vol.15 s. 69-79. Bentley, Per Olof & Bentley, Christine (2011). “Det beror på hur man

räknar!”:matematikdidaktik för grundlärare. 1.uppl. Stockholm: Liber.

Berch, Daniel B. & Mazzocco, Michéle M.M. (red) (2009). Why is math so hard for some children? the nature and origins of mathematical learning difficulties and disabilities. Baltimore, Md.: Paul H. Brookes Pub.Co.

Boaler, Jo (2011). Elefanten I klassrummet: att hjälpa elever till ett lustfyllt lärande i matematik.1.uppl. Stockholm: Liber.

Boaler, Jo (2015). Fluency Without Fear: Research Evidence on the Best Ways to Learn Math Facts Youcubed: Stanford University.

Tillgänglig på Internet:

http://www.youcubed.org/wpcontent/uploads/2015/03/FluencyWithoutFear-2015.pdf. Butterworth, Brian & Yeo, Dorian (2012). Dyskalkyli:att hjälpa elever med specifika matemaiksvårigheter. 1 utg. Stockholm: Natur & kultur.

Chinn, Stephen J. (2012). The trouble with maths:a practical guide to helping learners with numeracy difficulties. 2 ed. New York: Routledge.

Chinn, Stephen J. & Ashcroft, J.Richard (2007). Mathematics for dyslexics:inkluding dyscaculia. 3 ed. Chichester: John Wiley & Sons Ltd.

Dowker, Ann (2005). Individual differences in arithmetic: implications for psychology, neuroscience and education.Hove: Psychology.

Engström, Arne (2003). Specialpedagogiska frågeställningar i matematik: en

introduktion. Ny, omarb. uppl. Örebro: Pedagogiska instutitionen, Örebro universitet. Engström,Arne & Magne, Olof (2006). Medelsta-matematik.3, Eleverna räknar. Örebro:Pedagogiska instutitionen, Örebro universtitet.

Fälth, Linda (2013). The use of interventions for promoting reading development among struggling readers.Diss. (sammanfattning) Växjö: Linnéuniversitetet, 2013.

Hermerén, Göran (2011) God forskningssed. Stockholm: Vetenskapsrådet.

Jess, Kristine, Skott, Jeppe & Hansen, Hans Christian (2011). Matematik för lärare. My, Elever med särskilda behov. Malmö: Gleerups.

Kilpatrick, Jeremy, Swafford, Jane & Finell, Bradford (red.) (2001). Adding it up: helping children learn mathematics. Washington, D:C.: National Academy Press. Kiselman, Christer O. & Mouwitz, Lars (2008). Matematiktermer för skolan. 1. uppl. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM) Göteborgs universitet. Larsson i Dala, Nils (1950). Sifferleken och snabbräkningens grunder. Askeröd: Författarens förlag.

Lundberg, Ingvar & Herrlin, Katarina (2007). God läsutveckling kartläggning och övningar. utök. uppl. Stockholm: Natur och kultur.

Lundberg, Ingvar & Sterner, Görel (2009). Dyskalkyli finns det?: aktuell forskning om svårigheter att förstå och använda tal. Göteborgs: nationellt centrum för

matematikutbildning, Göteborgs universitet. Tillgänglig på Internet:

http://ncm.gu.se/media/ncm/dokument/dyskalkyli_finns_det.pdf.

Lundberg, Ingvar & Sterner, Görel (2012). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i matematik. Göteborg: Nationellt centrum för matematik, Göteborgs universitet Tillgänglig på Internet: http://ncm.gu.se/node/468.

Lundqvist, Pernilla, Nilsson, Berit, Schenz, Eva-Gun & Sterner, Görel (2011). Intensivundervisning. Göteborg: NCM, Nämnaren 1:44-50.

Läroplan för grundskolan, förskoleklass och fritidshemmet 2011. (2011). Stockholm: Skolverket.

Tillgänglig på Internet: http:// www.skolverket.se/publikationer?id=2575.

Löwing, Madeleine. & Kilborn, Wiggo. (2010). Baskunskaper i matematik: för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur.

Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2012). Huvudräkning - en inkörsport till matematiken.Lund: studentlitteratur.

Ma, Liping (2010). Knowing and teaching elementary mathematics: teachers´

understanding of fundamental mathematics in China and United States. Anniversery ed. New York: Routledge.

Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med