Självständigt arbete
Att utveckla räkneflyt
i huvudräkning
inom talområdet 11-20
i addition och subtraktion
Författare: Els-Marie Therén,
Monica Wahlsten
Abstrakt
Området för studien är valt utifrån att vi i vår verksamhet som lärare har uppmärksammat elevers svårigheter i huvudräkning. Syftet med interventionsstudien är att undersöka hur räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion kan utvecklas för elever i SUM genom strukturerad undervisning utifrån Wendick-modellen. I studien deltar tre elever i årskurs 4 och två elever i årskurs 7. Metoder som används är huvudräkningstest och intervjuer före samt efter studien. Även loggbok förs under studien. Intensivundervisningen som är vid 4-5 tillfällen i veckan, under 5 veckor utgår från en strukturerad arbetsgång en-till-en. Under studien uppmärksammas betydelsen av att utgå från elevens förkunskaper, att utveckla elevens taluppfattning och hållbara huvudräkningsstrategier. Resultatet indikerar på att räkneflyt behöver mycket tid för att utvecklas och att strukturerad intensivundervisning under kortare tid har större effekt på räkneflyt hos yngre elever än äldre. En positiv påverkan av intensivundervisning som uppmärksammas är att elevernas motivation ökade under studiens gång.
Nyckelord
Automatisera, huvudräkning, huvudräkningsstrategier, intensivundervisning, räkneflyt, SUM och Wendickmodellen.
Abstract
In our employment as teachers have notices student’s difficulty in mental calculation. This is the starting point for our chosen field of study."The goal with the intervention study is to explore how students in SEM in year 4 and 7 can develop counting fluency in mental calculation within the number span 11-20 in addition and subtraction, through structured intense instruction. In the study three students from year 4 are taking part, and two from year 7. The methods used are mental calculation tests and interviews before and after the study. A journal was also kept during the study.The intense
instruction is 4-5 occasions per week, during 5 weeks, and proceeds from the students’ advance knowledge, to develop the students’ number sense and sustainable mental calculation strategies. Our results indicates that counting fluency needs a lot of time to develop and that structured intense education during a shorter period has a larger effect on the counting fluency on younger students, than with older. A positive effect of the intense education that is acknowledged is that the students’ motivation increased during the span of the study.
Keywords
Innehåll
1.Inledning ____________________________________________________________ 4 1.1 Centrala begrepp ... 5 2. Syfte _______________________________________________________________ 6 2.1 Frågeställningar ... 6 3. Bakgrund ___________________________________________________________ 6 3.1 Wendick-modellen ... 6 3.2 SUM ... 7 3.3 Intensivundervisning ... 7 3.4 Interventionsstudier i specialpedagogik ... 8 3.5 Taluppfattning ... 8 3.5.1 Aritmetik ... 9 3.5.2 Aritmetikens utveckling ... 9 3.5.3 Aritmetiken i styrdokumenten ... 10 3.5.4 Huvudräkning ... 11 3.5.5 Automatisera ... 12 3.5.6 Räkneflyt ... 12 3.5.7 Huvudräkningsstrategier ... 123.5.8 Kritiska aspekter i lärande av taluppfattning ... 14
4. Teori ______________________________________________________________ 15 4.1 Yttre och inre operationer ... 15
4.2 Proximala utvecklingszonen ... 15
4.3 Matematisk kompetens ... 16
5. Metod _____________________________________________________________ 18 5.1 Urval ... 18
5.2 Tillvägagångsätt ... 19
5.3 Arbetsgång för arbetet med eleverna ... 19
5.4 Analysmetod ... 21
5.5 Reliabilitet och validitet ... 21
5.6 Forskningsetiska principer ... 21
6. Resultat och Analys __________________________________________________ 22 6.1 Resultat och analys - AG 3 ... 22
6.2 Resultat och analys - Yttre operationer ... 24
6.3 Resultat och analys – Inre operationer ... 25
6.4 Resultat och analys - Proximala utvecklingszonen ... 26
6.5 Resultat och analys - Begreppslig förståelse ... 27
6.6 Resultat och analys - Procedurellt flyt ... 28
6.7 Resultat och analys - Strategisk kompetens ... 29
6.8 Resultat och analys - Adaptivt resonemang ... 30
6.9. Resultat och analys - Produktivt syn- och förhållningssätt ... 30
7.1 Resultatdiskussion ... 33 7.2 Metoddiskussion ... 34 7.3 Fortsatt forskning ... 36 Referenser ____________________________________________________________ 37 Bilagor _______________________________________________________________ I Bilaga A – Wendickmodellen ... I Bilaga B –Diagnos AG3 ... III Bilaga C - Missivbrev ... IV Bilaga D - Intervjufrågor före interventionen ... V Bilaga E – Diagnos AG1 ... VI Bilaga F - Intervjufrågor efter interventionen ... VII Bilaga G - Triader ... IX
1.Inledning
Arithmetic By Carl SandbergArithmetic is where numbers fly like pigeons in and out of your head. Arithmetic’s tells you how many you loose or win if you know how many you had before you lost or won.
Arithmetic is seven eleven all good children go to heaven- or five six bundle of sticks.
Arithmetic is numbers you squeeze from your head to your hand to your pencil to your paper till you get the answer.
Arithmetic is where the answer is right and everything is nice And you can look out of the window and see the blue sky- Or the answer is wrong and you have to start all over again and see how it comes out this time.
If you take a number and double it and double it again
and double it a few times more, the number gets bigger and bigger, and goes higher and higher and only arithmetic can tell you what the number is when you decide to quit doubling.
Arithmetic is where you have to multiply- and you carry the multiplication table in your head and hope you wont lose it.[…]
(Dowker, 2005, förord)
De fyra räknesätten är som dikten ovan antyder en källa till så väl äventyr och självförtroende som huvudbry och oro för många barn. Att lära sig olika tabeller och strategier kan först kännas omöjligt, men när de väl fastnat ger det barnet en känsla av styrka och kompetens.
När vi själva gick på låg- och mellanstadiet talades det inte om huvudräkningsstrategier såsom 10-kompisar, dubblor, talens grannar, sambandet mellan addition och subtraktion utan det var att lära sig mekaniskt utantill. De flesta uträkningarna av större tal gjordes sedan med papper och penna. Räknemetoderna för de olika räknesätten tränades det ordentligt på, ofta var det sida upp och sida ner. Huvudräkningsuppgifterna i en standardalgoritm löstes då med egna strategier som till exempel fingerräkning, gärna under bänken. När vi ser till vår egen erfarenhet av huvudräkning i skolan utvecklade en av oss ett ”prickningssätt” där utgångspunkten var hur prickarna var avbildade på en tärning. När 9 + 7 vid algoritmräkning av talet 459 + 397 skulle räknas ut gjordes prickar bredvid uppställningen enligt tärningsmönstret för 4 och 3. Oftast gjordes dessa prickar nästan osynligt, det fick ju inte visas att huvudräkning var ett bekymmer. Därför var muntliga huvudräkningstest en källa till obehag och nervositet under mellanstadiet. Inte förrän efter flera år som lärare kunde nya strategier utvecklas.
huvudräkning kan det bli svårt att lösa dessa typer av uppgifter. Vi har i vår verksamhet uppmärksammat elever i matematiksvårigheter som har svårt med huvudräkning och ofta använder fingerräkning, ett steg i taget som strategi. Strategin är tidskrävande, belastar arbetsminnet och tar fokus från uppgiften. När väl huvudräkningsuppgiften är löst har eleven glömt nästa moment i uträkningen.
Även i vardagslivet träffar vi på både vuxna och ungdomar som har stora svårigheter med att göra enkla uträkningar i huvudet. I affärer ursäktar sig expediter ibland med att ”jag är så dålig på huvudräkning” om det är någon uträkning som måste göras utan datorn, när något inte stämmer.
Huvudräkning är en kunskap som är viktig att ha med sig i livet och inte bara något som ska kunnas i skolan.Hur kan vi stödja elever så att de inte får dessa svårigheter i vuxenlivet? Hur kan vi hjälpa elever som fastnat i ohållbara strategier? Som sitter med fingrarna under bänken och skäms för att de inte kan räkna ut enkla tal såsom åtta adderat med fem, i huvudet.
1.1 Centrala begrepp
Under denna rubrik förklaras begreppen kort, för att senare i texten fördjupas. Begrepp som är centrala för vårt arbete är: automatisera, huvudräkning, huvudräkningsstrategier, intensivundervisning, räkneflyt, SUM och Wendickmodellen.
Automatisera innebär att tal delas upp och sätts ihop för att bli mer välbekanta och därmed lättare att beräkna (Boaler, 2011) och att talfakta1 övas och befästs (Bentley & Bentley, 2011).
Huvudräkning innebär att matematiska beräkningar utförs ”i huvudet”. En mängd data hålls i huvudet för att snabbt kunna ge svar på vissa beräkningar (Löwing & Kilborn, 2012).
Huvudräkningsstrategier innebär att kunna använda känd talfakta och relationer mellan tal för att resonera sig fram till svaret på okända talfakta (Baroody, Bajwa & Eiland, 2009).
Intensivundervisning innebär att en elev får stöd av en behörig matematiklärare under en period av 10-11 veckor, 30 minuter per dag, fyra dagar i veckan (Lundqvist, Nilsson, Schenz & Sterner, 2011). Uppföljning och utvärdering av resultatet ska göras kontinuerligt och arbetet ska vara grundat på beprövad erfarenhet och forskning (Torgesen et al., 2001).
Räkneflyt innebär automatiserad talfakta med beräkningar som memorerats i långtidsminnet och där svaren kan anges snabbt (Dowker, 2005).
Särskilda Utbildningsbehov i Matematik (SUM). Definitionen av SUM, som vi valt att använda utgår ifrån Silfver, Sjöberg och Bagger (2013), vilken innebär att särskilt utbildningsbehov i matematik kan omfatta alla elever någon gång under skoltiden.
Behoven kan kvarstå under en kortare eller längre period och innehålla så väl generella svårigheter som något specifikt område inom ämnet (Bagger & Roos, 2014).
Wendick-modellen är ett strukturerat träningsmaterial för att utveckla räkneflyt i aritmetik (Wendick, 2014).
2. Syfte
Syftet med interventionsstudien är att undersöka hur räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion kan utvecklas för elever i SUM genom strukturerad intensivundervisning utifrån Wendick-modellen.
2.1 Frågeställningar
• Vilka huvudräkningsstrategier i addition och subtraktion använder eleverna före och efter strukturerad intensivundervisning?
• Hur kan Wendick-modellen hjälpa eleverna att utveckla räkneflyt i huvudräkning?
3. Bakgrund
Bakgrunden inleds med en beskrivning av Wendick-modellen. Därefter följer en fördjupad förklaring av begreppet SUM, intensivundervisning, vad en interventionsstudie innebär, taluppfattning och till sist kritiska aspekter i lärande av taluppfattning.
3.1 Wendick-modellen
Wendick-modellens har tidigare endast funnits för lästräning, men sedan ett år tillbaka även för aritmetikträning i matematik. Författarna till materialet är Gunnel Wendick, specialpedagog och Ing-Lis Klackenmo, lågstadielärare. Materialet Räkneflyt finns inom tre delar, Addition och Subtraktion i talområdet 0-10, Addition och Subtraktion i talområdet 11-20 samt Multiplikation och Division tabeller 1-10. Vi använder oss av Addition och Subtraktion i talområdet 11-20 ( bilaga A). Det främsta syftet i materialet är att eleverna ska automatisera sin tabellkunskap, men författarna betonar att träningen i syfte att automatisera, inte bör ske förrän eleven utvecklat förståelse och strategier för att beräkna talen. I materialet finns 20 grundläggande små steg, som eleven bör ha förståelse för innan tabellträningen. Materialet är i form av arbetsblad med uppgifter från en tabell i taget. På en sida är det 36 uppgifter i addition och på andra sidan lika många i subtraktion. Räknesätten tas upp parallellt med syfte att stärka sambanden mellan dem. Uppgifterna är utformade på både traditionellt sätt och som öppna utsagor2
Eleven ska behärska en tabell innan nästa påbörjas, för att skapa en stabil grund. Det finns också arbetsblad med blandade uppgifter från olika tabeller och hänvisning till datorspel, som passar för det aktuella talområdet. Wendick-modellen är kopplat till Läroplanen för grundskolan, Lgr 11 och till Skolverkets forskningsbaserade diagnosmaterial Diamant (Wendick, 2014).
3.2 SUM
Som tidigare nämnts så används begreppet SUM, Särskilda Utbildningsbehov i Matematik, i denna studie utifrån definitionen att särskilt utbildningsbehov i matematik kan omfatta alla elever någon gång under skoltiden. Behoven kan kvarstå under en kortare eller längre period och innehålla så väl generella svårigheter som något specifikt område inom ämnet (Bagger & Roos, 2014). Ett annat sätt att se på SUM, är med betydelsen att en elev beräknas att inte uppnå utbildningsmålen som anges i läroplanen (Engström & Magne, 2006).
Anledningen till att en elev inte uppnår målen i matematik och då anses vara i matematiksvårigheter kan ha medicinskt/neurologiska, psykologiska, sociologiska eller didaktiska orsaker (Engström, 2003). Elever i matematiksvårigheter kan ha problem med att befästa tal i huvudet eller gör mer fel i uträkningar. Svårigheterna kan bero på kognitiva svårigheter, brist på användande av aritmetik eller lågt självförtroende (Berch & Mazzocco, 2009). Orsaken läggs ofta på eleven och inte lika mycket på undervisningen eller miljön (Ekström & Magne, 2006, Lundberg & Sterner, 2009). Det kan vara så att skolan brister i att uppmärksamma elevers särskilda behov i matematik (Jess, Skott & Hansen, 2011). Även skolans syn på elever i matematiksvårigheter är av betydelse. Lägger skolan problemet hos eleven med svårigheter eller ser skolan att förändringar i elevens miljö kan stödja eleven som är i svårigheter (Sjöberg, 2006). Andra hinder för matematikinlärning kan vara bristande arbetsminne, koncentration, känslomässiga orsaker, hemförhållande och läs- och skrivsvårigheter (Sjöberg, 2003).
3.3 Intensivundervisning
dess främsta syfte är att ge eleverna en möjlighet att upptäcka mönster eller relationer eller för att säkerställa resonerande strategier blir automatiskt.
3.4 Interventionsstudier i specialpedagogik
En interventionsstudie grundar sig på teorier om hur det går att utveckla en specifik förmåga och hur den förmågan kan utvecklas bland elever i svårigheter. Många interventionsstudier har visat positiva resultat när det gäller att utveckla läsförmågan. Flera interventionsstudier karaktäriseras av att innefatta tre olika delar, intensiv, specifik och individualiserad (Fälth, 2013). I vår studie innebär intensiv att eleverna tränade vid 3-5 tillfällen i veckan under 5 veckor. Specifik innebär att fokus var huvudräkning inom talområdet 11-20 och individualiserad innebär en till en undervisning. Interventioner med elever som behöver träna extra på något område inom aritmetik har visat sig effektfulla även om interventionen inte har varit så omfattande (Dowker, 2005). Det optimala är om eleven får träna några uppgifter i taget, en stund varje dag och då beskriva vilka strategier som används (Löwing & Kilborn, 2010). Hastighet eller utantillkunskap bör inte betonas i det inledande skedet (McIntosh, 2009). Lärarens respons är också viktig under interventionen. (Löwing & Kilborn, 2010). Interventionen är mer lyckosam om den genomförs genom en till en undervisning eller i små grupper och under en begränsad period. Även motivationsstimulerande faktorer spelar en viktig roll vid en interventionsstudie. En motivationshöjande faktor är när pedagogen förklarar varför ett moment tränas och hur de olika delarna i träningen hör ihop för att målet för träningen ska nås. Träningen bör därför av eleven upplevas motiverande, omväxlande och meningsfull (Fälth, 2013). Det är viktigt att elever inte lämnas att utforma sina strategier själva, eftersom det är mycket svårt att ersätta de gamla med nya. Utvecklingsbara strategier bör tränas tidigt för att underlätta elevernas procedurkunskaper (Chinn & Ashcroft, 2008).
3.5 Taluppfattning
3.5.1 Aritmetik
Aritmetik är den del av matematiken där fokus ligger på räkneoperationer inom addition, subtraktion, multiplikation och division (Kiselman & Mouwitz, 2008). Kännetecken hos de aritmetiska operationerna är de olika räknelagarna. De räknelagar som är av betydelse för vår studie är de i addition och subtraktion. För addition är det kommutativa lagen, m + n = n + m och associativa lagen, (m + n) + p = m + (n + p) (Kilpatrick, 2001). De grundläggande begreppen inom subtraktion är att lägga till, ta bort och jämföra (Löwing & Kilborn, 2012). Grunden i matematiken i skolan är att skapa en förståelse för tal och siffror. Att eleverna utvecklar en säkerhet i beräkningar i aritmetik är en grund för vidare utbildning i matematik (Kilpatrick et al, 2001; Löwing & Kilborn, 2012). Aritmetisk förmåga är inte en enhetlig förmåga utan bygger på många olika delar som fakta om hur man använder tal, procedurer och begrepp. Faktakunskaper kan omfatta fakta om hur man delar upp talen vid additions- eller multiplikationsuppgifter eller olika benämningar på arbetssätt. Procedurkunskaper kan innehålla både skriftliga, muntliga eller laborativa tillvägagångsätt. Begreppskunskaper är en ännu större kategori och innefattar från brist på förståelse för olika begrepp till kunskaper om räknelagarna (Dowker, 2005).
3.5.2 Aritmetikens utveckling
Begreppet taluppfattning har i den svenska skolan utvecklats från att gå från ren huvudräkning till att omfatta både tals användning och begrepp. Matematikern KP Nordlund (1910) ansåg att eleverna först bör göras förtrogna med begreppen tal och antal för att förstå matematik. Matematik är inte bara en mekanisk färdighet i behandling av siffror utan han menade att när siffror används innan talbegreppet är klarlagt hindras utvecklingen av huvudräkningen. Enligt Nordlund ska huvudräkning användas företrädelsevis när uppgifterna ligger inom området 1- 100, föregå sifferräkning och vara grundläggande för den senare eftersom sifferräkning kräver längre tid och är mindre instruktiv än huvudräkning. Nordlund (1910) menar att huvudräkning inte förekommer i de flesta skolor och varnar för denna försummelse eftersom det är huvudräkning som folk använder mest vid torghandel, i salubodar och hem.
År 1882 kom boken Aritmetiska genvägar av Johan Lind. Där skriver han om snabbräkning, användande av genvägar och hur räknaren kan dela upp tal, så att de med lätthet kan behandlas i huvudet (Malmer, 2009). Larsson (1950) skriver i sin bok Sifferleken och snabbräkningens grunder att han utvecklat en mindre vanlig skicklighet i huvudräkning och en intensiv lust att räkna. Han menar att det vanliga är att betrakta siffror som främmande och det blir därför svårare att handskas med dem. Räknearbetet blir då något tungt och mörkt. I boken ges olika knep, som att behandla siffror och tal som kära vänner för att räknandet i huvudet ska bli som en lek (a.a.).
som inte ställer så stora krav på minnesförmågan vilket inte behövs i den skriftliga räkningen. Barnen bör lära sig ett visst förfaringsätt, en så kallad normalmetod, men när de behärskar denna kan de få hitta egna genvägar. En klar taluppfattning kan inte uppnås om barnen inte får använda särskilda åskådningsmedel (konkret material) som träklotsar i olika former, stenar, stickor, knappar, kastanjer och fingrar. Fingerräkningsmetoden är dock ej rekommenderad vid huvudräkning när förståelsen är befäst. Övningarna startas med talområdet 1 -10 och ska fortsätta tills barnet når fram till mekanisk färdighet som att veta resultatet utan att fundera, därefter går man vidare till nästa talområde (a.a). KG Jonson (1879–1981) matematikdidaktiker, anser att huvudräkning inte övas i folkskolorna, utan bara skriftlig räkning. Då kommer sig barnen inte för att använda huvudräkning eller får tilltro till att våga lösa enkla uppgifter i huvudet (Malmer 2009).
3.5.3 Aritmetiken i styrdokumenten
Går vi framåt i tiden kan man i Lgr 69 läsa ”eftersom man i samhället i allt större utsträckning använder maskinella hjälpmedel för numerisk räkning bör skolan lägga stor vikt vid huvudräkning och överslagsräkning” (Skolöverstyrelsen, 1969). Enligt kursplanen för matematik i Lgr80 (Skolöverstyrelsen,1980) ska eleverna genom undervisningen förvärva säkerhet i numerisk räkning, med och utan hjälpmedel. Färdigheter i huvudräkning och överslagsräkning ska förvärvas. Talbegreppet byggs upp under lågstadiet och eleverna ska uppnå säkerhet i additions- och subtraktionsalgoritmerna genom väl inövade additions- och subtraktionstabeller upp till talet 18 (Skolöverstyrelsen, 1980). I kommentarmaterialet till Lgr80 står att en orsak till att huvudräkning försummas många gånger beror på den stora bundenheten till läromedlet i skolan (Skolöverstyrelsen, 1980). I Lpo94 står det under mål att uppnå i grundskolan att eleverna ska behärska grundläggande matematiskt tänkande och kunna tillämpa det i vardagslivet. I Kursplaner och betygskriterier (Skolverket, 2000) är ämnets syfte i grundskolan att eleverna ska utveckla sådana matematiska kunskaper att de kan fatta välgrundade beslut i vardagslivet. Ett av målen som eleverna ska ha uppnått i slutet av det femte skolåret är att kunna räkna med naturliga tal – i huvudet, med hjälp av skriftliga metoder och med miniräknare. Målet som eleverna ska ha uppnått i slutet av nionde skolåret är att ha goda färdigheter i att kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga räknemetoder, och med tekniska hjälpmedel.
anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar och lösa enkla rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med tillfredställande resultat (Skolverket, 2011). Även under taluppfattning och tals användning i det centrala innehållet för årskurs 7-9, finns huvudräkning med som ett moment. ”Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder och digitalteknik. Metodernas användning i olika situationer” (Skolverket, 2011). För att nå kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 9 ska eleven kunna välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med tillfredställande resultat (Skolverket, 2011).
3.5.4 Huvudräkning
3.5.5 Automatisera
Automatisering bör nås genom förståelsen av taluppfattning och strategier (Boaler, 2015). Faserna där grunderna läggs och där de övas och befäst, bör inte blandas ihop. Snabbhet, precision och memorering av tabellkunskaper ska uppmuntras men först när eleverna har effektiva metoder för att beräkna dessa uppgifter i huvudet (McIntosh, 2009). Det är viktigt att träna tabellerna för att automatisera, men för att lyckas bör eleverna få möjlighet att upptäcka mönster och samband samt att undervisningen utgår från elevens tidigare kunskap (Baroody et al., 2009). Det är praktiskt att ha en viss talfaktakunskap i minnet, men när elever fokuserar på att lära sig tabeller utantill memorerar de ofta fakta utan förståelse, vilket gör att de har lättare att göra fel. Att testa om talfakta har automatiserats, görs ofta genom att eleven ska hinna med ett antal uppgifter på en viss tid. Detta kan stressa många elever och leda till blockeringar i arbetsminnet som gör att eleven kommer ihåg talen sämre. Tester på tid kan även leda till matematikängslan som kan bli livslångt och få elever att välja bort matematiken trots att de har andra matematiska förmågor. Det finns även en missuppfattning om att duktiga elever i matematik är snabba i huvudräkning, vilket kan leda till att långsamma elever med hög matematisk förmåga kan tro att de inte är bra på matematik. Talfakta är en mycket liten del av matematiken, men de som inte kan plocka fram talfakta snabbt kan tro att de inte kan lyckas med matematik (Boaler, 2015).
3.5.6 Räkneflyt
Räkneflyt kan ses som matematikens motsvarighet till läsflyt. Läsflyt innebär att eleven har automatiserad avkodning så att läsningen går snabbt och felfritt (Lundberg & Herrlin, 2007). Räkneflyt är en följd av automatiserad tabellkunskap. Det räcker inte med att eleven förstår hur de ska tänka vid uträkningar i addition och subtraktion utan tabellerna behöver vara automatiserade för att kunna räkna med flyt (Bentley & Bentley, 2011). Baroody et al. (2009) menar att flyt föregås av de tre faserna räknestrategier, tankestrategier och producera svaret. Elever som har svårt att lösa grundläggande huvudräkningsuppgifter i addition och subtraktion på 10 till 15 sekunder, har inte automatiserat kunskaperna. När elever befäst sina minneskunskaper bör de kunna svara på 2 till 3 sekunder (McIntosh, 2009). Enkla operationer som 8+7 bör befästas i långtidsminnet, annars kommer liknande räkneoperationer överbelasta arbetsminnet vid problemlösning (Lundberg & Sterner, 2012). Löwing & Kilborn (2012) menar att den stora satsningen på förståelse utan färdighet är den viktigaste förklaringen till att eleverna saknar flyt i sitt räknande. Följderna av denna brist på flyt ser de som den största förklaringen till de problem i matematik som idag kan iakttas på högstadiet och gymnasiet.
3.5.7 Huvudräkningsstrategier
just den eleven. Undervisningen bör innehålla hur och varför det är på ett visst sätt och skapa en balans. Den bör utgå från samma grund och bygga upp en förståelse av varje process och begrepp (Chinn & Ashcroft, 2008). SUM-elever är inte hjälpta av mekanisk inlärning utan behöver enkla räknestrategier som en grund för mer avancerade uträkningar (Butterworth & Yeo, 2012; Chinn, 2012).
Här presenteras exempel på huvudräkningsstrategier
Huvudräkningsstrategi Kommentar
Uppåträkning eller nedåträkning med ett steg i taget: 0,1,2 eller 3
Mcintosh (2009) Löwing & Kilborn (2012)
Effektivt och säkert upp till tre steg, därefter uppstår lätt felräkningar.
Tiokamrater
Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), McIntosh (2009) Anghileri (2008), (Kilpatrick et al, 2001)
De termer som tillsammans är 10. 9 + 1, 8 + 2, 7 + 3, 6+4, 5+5 Dubblor
Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), McIntosh (2009), (Kilpatrick et al, 2001)
5+5, 6+6, 7+7
En färdighet som barn utvecklar tidigt, oberoende av språk och kultur.
Nära dubbelt
Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), Mcintosh (2009) (Kilpatrick et al, 2001)
6+7, 8+9, 7+8. Om eleven behärskar dubblorna, utnyttjas dessa för att räkna ut nära dubbelt som är 1 eller 2 steg från en dubbla. 7 + 6 = 6 + 6 + 1 eller 7 + 6 = 7+7-1.
Gå via 10.
Mcintosh (2009), Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), (Kilpatrick et al, 2001)
När eleven kan tiokamraterna upp till tio och kan addera och subtrahera dessa, används kunskaperna till att addera och subtrahera tal över 10.
8 + 5 räknas då 8+ 2 =10, 10+3=13 15 – 6 räknas då 15 – 5 =10, 10-1= 9 Göra om subtraktion till en addition
Butterworth & Yeo (2012), Chinn (2012), Mcintosh (2009), Anghileri (2008), (Kilpatrick et al, 2001)
Hur mycket är 16 – 9? Ändras till; Hur mycket behövs för att 9 ska bli 16? Förståelse för sambandet mellan räknesätten.
Kommutativitet
Chinn (2012), Anghileri (2008), (Kilpatrick et al, 2001
2 + 9 ändras till 9 + 2
Nära tal
Butterworth & Yeo (2012)
9-8. Räkna ett steg framåt eller bakåt.
2009). Det är av stor betydelse med en god grund av faktakunskaper som ska förstås i en kontext och att kunna organisera kunskapen så att den kan användas för att utveckla förståelse för sambandet mellan räknesätten istället för att se beräkningarna som oberoende procedurer (Anghileri, 2008; Ma, 2010). Det är av vikt att visa uppgifter på olika sätt och inte bara ett standardsätt. Genom att eleven får diskutera olika strategier, lösningar och resultat utvecklas kunskap om den inbördes relationen mellan tal (Anghileri, 2008). Det är då av betydelse att arbeta med addition och subtraktion samtidigt för att eleverna ska upptäcka sambanden. En vanlig uppfattning är att subtraktion är svårare än addition. Det kan överbryggas genom att behandla båda räknesätten samtidigt (Chinn, 2012; Kilpatrick et al, 2001). Då bör uppgifterna skrivas som öppna utsagor, så att eleven utvecklar förståelse för att de hör ihop (Chinn & Ashcroft, 2008).
3.5.8 Kritiska aspekter i lärande av taluppfattning
En del elever utvecklar endast några få elementära strategier i nybörjarundervisningen och håller sedan fast vid dessa. De lägger få talfakta i långtidsminnet och behöver fortfarande på högstadiet räkna på tallinjen med hjälp av fingrarna inom både små och stora talområden (Lundberg & Sterner, 2012). Elever måste känna valfrihet i hur de räknar ut en uppgift, så att de använder strategier som är befästa. Samtidigt är det betydelsefullt att uppmärksamma och stödja elever som fastnar i omständliga och icke utvecklingsbara strategier. Många elever använder endast metoden att räkna uppåt vid addition och räkna neråt vid subtraktion. Fingrarna används ofta vilket gör att det är lätt att tappa bort sig och är tidskrävande. Ett fel som kan uppstå vid ett steg i taget är att svaret blir ett för mycket eller ett för lite. Det kan bero på att eleven tappar bort sig eller räknar det tal som de utgår ifrån. Exempel: Hur mycket är 4+9? 4,5,6,7,8,9,10,11,12. Det är 12. Hur mycket är 13-6? 13,12,11,10,9,8. Det är 8 (McIntosh, 2009). Det kan även bli missförstånd när en elev använder tallinje och eleven räknar på talen och inte mellan talen (Anghileri, 2012) eller brist på uppmärksamhet om summan eller differensen är korrekt (Chinn, 2012). Vidare kan det bli missuppfattningar när strategin nästan dubblorna används. Vid uppgiften 7+8= kan strategin 7+7+1 eller 8+8-1 användas. Om eleven inte har förstått strategin kan den felaktigt användas 7+7-1 eller 8+8+1 (Baroody, et al., 2009).
En kritisk aspekt är att de elever som riskerar att inte befästa de grundläggande talkombinationerna i de lägre åldrarna inte upptäcks. Därför är det av betydelse att eleverna får stöd tidigt, så att svårigheter senare i aritmetiken förebyggs (Baroody et al., 2009). Lärare måste vara medvetna om vilka missuppfattningar eleverna kan ha och hjälpa dem att rätta till dem. Missuppfattningar som lärare inte lyckas förhindra tidigt är mycket svårare att rätta till längre upp i årskurserna och kan bli ett hinder för vidare inlärning i matematik (Ojose, 2015). Boaler (2015) menar att elever som är lågpresterande inte är det på grund av att de inte kan, utan de har tidigt lärt sig metoder utantill, istället för att för att utveckla förståelse för att flexibelt hantera tal.
norm är när det diskuteras vad som räknas som en bra matematisk lösning på problemet. Vilka normer som råder beror både på läraren och gruppen, men det är lärarens matematiska kunskaper och värderingar som styr vilka normer som ska gälla. Ges det i undervisningen tillfällen att samtala, elev-elev eller elev- lärare, och analysera matematiskt innehåll eller är det mer fokus på en procedur med rätt svar. Om det är ett tillåtande klimat i gruppen kan missuppfattningar vara en bra utgångspunkt för lärarledda diskussioner om olika sätt att tänka kring en uppgift (Yackel & Cobb, 1996).
4. Teori
I följande avsnitt presenteras de tre teorier som tillsammans bildat det begreppsliga ramverk som har varit grund i analysen.
4.1 Yttre och inre operationer
Vygotskij (2010) har genom studier på 1920-talet funnit fyra grundläggande utvecklingsstadier när det gäller tankeoperationer hos barn: Det primitiva stadiet eller det så kallade naturliga stadiet, där tanken hos barnet uppstår i dess spontana tankeförlopp det vill säga uppträder i den form som den skapats. Nästa stadium är den naiva psykologins stadium som kopplas till den omedelbara erfarenheten ett barn har när det till exempel gäller de fysiska egenskaperna hos ett föremål, som objekt och verktyg. De påföljande stadierna är de yttre tecknens stadium och inåtväxandets stadium. Dessa två stadier kan kopplas till den aritmetiska utvecklingen där barnet först räknar på fingrarna vilket benämns yttre operationer. I det fjärde stadiet, inåtväxandets stadium använder barnet sig av det logiska minnet, gör inre operationer som ger ett inre samband vid till exempel huvudräkning (Vygotskij, 2010). Eftersom de två stadierna, det yttre tecknets stadium samt inåtväxandets stadium är de som kan kopplas till den aritmetiska utvecklingen är det dessa två stadier som används vid analysen i detta arbete.
4.2 Proximala utvecklingszonen
kan lösa på egen hand och den nivå som barnet kan uppnå tillsammans med andra som bestämmer den närmaste utvecklingszonen. Inlärning bör komma före utveckling eftersom inlärning väcker till liv och sätter igång de funktioner som befinner sig inom den närmaste utvecklingszonen (a.a).
Om undervisningen faller utanför den närmaste utvecklingszonen är den resultatlös, oavsett om undervisningen är för lätt eller för svår. Det är bara mellan den lägsta och den högsta tröskeln som inlärning kan vara fruktbärande vilket är elevens närmaste utvecklingszon. I skolan lär sig inte eleven sådant som den redan kan göra på egen hand, utan sådant som eleven ännu inte kan, men som den har möjlighet att lära sig i samarbete med läraren. Det grundläggande för inlärning är att eleven lär sig något nytt. Därför är också den närmaste utvecklingszonen, som bestämmer detta område av möjliga övergångar som barnet kan göra, det viktigaste momentet mellan inlärning och utveckling. Det som på ett stadium vid en given ålder ligger inom den närmaste utvecklingszonen förverkligas och övergår till den aktuella utvecklingens nivå på ett efterföljande stadium. Det eleven idag kan göra i samarbete kommer det imorgon att kunna göra självständigt. Därför verkar det troligt att inlärning och utveckling i skolan står i samma relation till varandra som den närmaste utvecklingszonen och den aktuella utvecklingsnivån. Om skolundervisningen är sund krävs det i varje skolämne lite mera av eleven än vad eleven kan. Pedagogiken börjar alltid från det som ännu inte mognat hos eleven. Endast då kan inlärningsprocessen väcka liv i utvecklingsprocesserna som ligger inom den närmaste utvecklingszonen. Inlärningen är alltså bara bra när den kommer före utvecklingen. Då väcker den till liv och stimulerar en hel rad funktioner som befinner sig på ett mognadsstadium och ligger inom den närmaste utvecklingszonen. Det är inlärningens viktigaste roll för utveckling. Undervisningen får inte vara för svår eller för lätt, då hamnar man utanför zonen (Vygotskij, 2010).
4.3 Matematisk kompetens
Det finns olika beskrivningar av vad matematisk kompetens är. En beskrivning är utifrån Niss, (2002) som beskriver åtta sammanflätade delar som tillsammans bildar
matematiskt kompetens. Delarna är tankegångskompetens,
problembehandlingskompetens, modelleringskompetens, resonemangskompetens, representationskompetens, symbol- och formalismkompetens, kommunikationskompetens och hjälpmedelskompetens (a.a). En annan beskrivning, som också är den vi valt att använda i vår studie är Kilpatrick et al. (2001) som beskriver fem inbördes beroende sammanflätade delar som bildar matematisk kompetens. Anledningen till valet av Kilpatrick et al. (2001) är att alla delarna kunde appliceras på vår analys, vilket inte hade varit fallet om vi använt Niss (2002) beskrivning.
Begreppslig förståelse innebär att inlärning av kunskap ska bygga på förståelse och utvecklas till en grund där ny kunskap kan tillägnas. Kunskaperna ska vara väl förtrogna, lätt plockas fram ur minnet och kunna användas flexibelt. Det kan vara att kunna använda olika matematiska representationer, metoder, begrepp och procedurer med förståelse för olika samband och veta när de bäst kan användas. Begreppslig förståelse ger eleven självförtroende och en bas för att utveckla nya nivåer av förståelse (Kilpatrick et al., 2001).
Procedurellt flyt avser kunskap om procedurer, kunskap om, när och hur procedurerna används på rätt sätt, och skicklighet i att utföra dem på ett flexibelt, noggrant och effektivt sätt. Det stödjer även en analys av likheter och skillnader mellan beräkningsmetoder. Metoder som kan vara skriftlig räkning, huvudräkning, räkning med tekniska hjälpmedel och konkret material. Elever bör bli säkra på beräkning av enkla heltal i de fyra räknesätten utan hjälpmedel på ett effektivt, flexibelt och säkert sätt och ha kunskap om vägar för att uppskatta om svaret är rätt. Elever bör få insikt i matematiska mönster och hur enkla tal kan generaliseras till högre tal. Det är viktigt att beräkningsprocedurerna blir effektiva, används rätt och att uträkningen blir korrekt. Det kan tränas, vilket gör att elever kan uppnå flyt i räknandet. Elever bör även kunna använda procedurer flexibelt, vilket innebär att det behövs flera olika huvudräkningsstrategier för att talen ska lösas så enkelt som möjligt. Procedurer bör läras in med förståelse och inte endast utantill för att eleven ska kunna generalisera och använda dem till uträkning av större tal. Om inte flyt utvecklas får elever svårt att fördjupa förståelsen av matematiken och att lösa matematiska problem. Därför behöver elever tid för träning i att befästa dessa kunskaper och kunna tillägna sig de andra delarna av matematisk kompetens. Om elever har använt olämpliga procedurer i flera år, kan inlärning som betonar förståelse vara mindre effektiv. När elever lär nya och bättre sätt att beräkna, lämnas de gamla inte helt förrän nya är befästa. För detta behövs det tid. Därför gör tidig inlärning med förståelse lärandet mer effektivt. Vidare bör procedurerna kopplas till verkliga problem, för att inte bara vara något som görs i skolan på matematiklektionerna (Kilpatrick et al., 2001).
Strategisk kompentens innebär att eleven utvecklar strategier för att lösa icke rutinmässiga problem, vilket bygger på förståelse av problemets innehåll samt kunskap i att lösa rutinmässiga problem. Elever tränar oftast tillrättalagda problem i skolan, vilket gör att det blir svårt att lösa vardagliga problem utanför skolan. Eleverna behöver träna både på att formulera egna problem som att lösa problem. De behöver en variation av lösningsstrategier, såväl som att kunna komma fram till vilken strategi som ska användas för ett specifikt problem. Det är stödjande förbindelser mellan strategisk kompetens, begreppslig förståelse och procedurellt flyt. Eleven måste förstå problemet och ha ett flyt i beräknandet. Strategisk kompetens ingår i varje steg i att utveckla flyt i en beräkning. Först kanske eleven behöver konkret material, för att sedan lära sig att ersätta med mer kortfattade och effektiva beräkningar än de som tidigare varit till hjälp för att förstå. Elever utvecklar sitt räkneflyt när de använder strategisk kompetens för att välja bland effektiva beräkningar. De lär sig också att lösa utmanande problem genom att de kan lösa procedurer lätt och att erfarenhet av problemlösning hjälper dem att skaffa nya begrepp och färdigheter (Kilpatrick et al., 2001).
visa resonemangförmåga när tre villkor är uppfyllda. När de har en tillräcklig kunskapsbas, när uppgiften är förståelig och motiverande, när sammanhanget är bekant och bekvämt. Med hjälp av olika representationer kan även yngre elever visa avancerade resonerande förmågor (Kilpatrick et al., 2001).
Produktivt syn- och förhållningssätt innebär en strävan att se mening i matematiken, uppfatta det som både givande och nyttigt, att tro på att ansträngning att lära matematik lönar sig och att tro på sig själv som matematiskt kunnig. Detta kräver att elever ofta får möjlighet att uppleva fördelarna med att vara uthållig. Denna del utvecklas parallellt med de andra delarna i flätan och är stödjande i utvecklingen. Om elever har tilltro till sin förmåga att kunna matematik och använder det för att lösa problem kommer deras förmåga att utveckla procedurellt flyt och adaptivt resonemang öka. Klassrumsnormer är här av betydelse. Om elever känner sig trygga och vågar dela med sig av sina tankar ökar chansen för utveckling (Kilpatrick et al., 2001).
Det är en utmaning för lärare i alla stadier att se till att alla elever utvecklar kunskaper i samtliga delar i flätan och inte bara i en eller två. För att utveckla matematisk kompetens måste elever få tid att lösa problem, resonera, utveckla förståelse, färdighetsträna och att utveckla ny kunskap utifrån sina förkunskaper (Kilpatrick et al., 2001).
5. Metod
Forskningsansatsen vi har valt är kvalitativ och i form av en interventionsstudie, med fokus på huvudräkning. En interventionsstudie kan karaktäriseras av att innefatta tre olika delar: intensiv, specifik och individualiserad (Fälth, 2013)
.
Undervisningen har utgått från varje elev, där hänsyn tagits till elevens förkunskaper och användbara strategier. Syftet med interventionsstudien är att undersöka hur räkneflyt i huvudräkning inom talområdet 11-20 i addition och subtraktion kan utvecklas för elever i SUM genom strukturerad intensivundervisning utifrån Wendick-modellen. En anledning till det valda talområdet är att elever i SUM på låg- och mellanstadiet ofta visar svårigheter med just det talområdet. En annan anledning är Skolverkets, (2011) kunskapskrav för årskurs 3, där eleverna ska kunna använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten inom talområdet 0-20.5.1 Urval
5.2 Tillvägagångsätt
Studien inleddes med enskilda elevintervjuer (bilaga D) med syfte att undersöka vilka huvudräkningsstrategier eleverna använde före studien. Även AG1 (bilaga E), som testar talområdet 0-10 i addition och subtraktion genomfördes för att få veta om eleverna befäst det talområdet. Intervjuerna utgjorde en grund för vilka strategier som sedan användes i studien. En av oss arbetade med eleverna i årskurs 4 och den andra med eleverna i årskurs 7. Eftersom en av oss var ny för eleverna användes en stund innan intervjun till att lära känna varandra. Materialet och arbetsgång för lektionerna presenterades också för eleverna. Dagen efter påbörjades undervisning av huvudräkningsstrategierna och arbetet med Wendick-modellen. Huvudräkningsstrategierna som presenterades var Uppåträkning eller nedåträkning med ett steg i taget: 0,1,2 och 3, Tiokamrater, Dubblor, Nära dubbelt, Gå via 10, Göra om subtraktion till en addition, Kommutativitet och Nära tal. Studien genomfördes som en till en undervisning under 5 veckor, cirka 20 minuter vid 3-5 tillfällen per vecka. Eleverna i årskurs 4 hade 19 tillfällen planerade, varav 2 användes till intervjuer. Eleverna var sjuka vid några dagar så till slut blev det mellan 17-18 tillfällen. Eleverna i årskurs 7 hade 20 tillfällen inplanerade. Det blev 17 respektive 19 träffar varav 2 tillfällen användes för intervjuer före och efter studien. Efter varje lektionstillfälle fördes loggbok där det dokumenterades vad vi arbetat med, hur det hade gått och elev- och lärarreflektioner. Studien avslutades med att eleverna enskilt åter gjorde diamantdiagnosen AG3 med påföljande intervju (bilaga F). Nedan presenteras arbetsgången närmare.
5.3 Arbetsgång för arbetet med eleverna
uppmuntra elevers träning av huvudräkning, då programmen ofta är utformade så att eleverna märker att det lönar sig att träna (Anghileri, 2012). Ett nytt tal påbörjades inte förrän det aktuella talet var befäst. Eftersom tre av eleverna inte hade befäst talområdet upp till tio, fick det repeteras först.
Fig. 1: Triader används för uppdelning av tal
Exempel på arbetsgång, här med talet 11
• Triader användes för att dela upp talet i alla kombinationer (bilaga G). Eleven hade tillgång till klossar som stöd och för att konkretisera och koppla till
siffrorna i triaderna. När triaderna var ifyllda fick eleven muntligt förtydliga vad som kunde utläsas ur triaderna till exempel 4 + 7 = 11, 7 + 4 = 11, 11 – 4 = 7, 11 – 7 = 4.
• Huvudräkningsstrategier diskuterades och tränades kontinuerligt.
Följande strategier togs upp. Referenser till strategierna på sidan 8-9 • 6 + 6, dubblor upp till 9 + 9
• 6 + 7 nästan dubblor • 8 + 5 = 8 + 2 + 3, gå via 10 • 9 – 8, nära tal
• 14 – 6= 14 – 4 – 2, gå via 10
• Göra om subtraktion till en addition ,16 – 9 = ändras till hur mycket behövs för att 9 ska bli 16?
• Träning på Wendick- lista 11, först addition och sedan subtraktion. Träningen varierades mellan muntlig och skriftlig träning. Under träningen samtalade vi även om strategier
• Datorprogrammet Elevspel.se och Winnetkakort3 där det aktuella talet tränades.
3 Winnetkakort är rektangulära kort som är klippta i ena hörnet.På ena sidan står en uppgift och på andra sidan svaret. Korten kan användas både vid individuellträning eller träning i par av aktuellt område.
4 7
5.4 Analysmetod
I analysen användes Vygotskijs (2010) teorier kring proximala utvecklingszonen, yttre och inre operationer och Kilpatrick et al. (2001) fem delar i matematisk kompetens. Även den teoretiska bakgrunden taluppfattning användes som analysverktyg. Testresultaten för AG3 före och efter interventionen rättades och jämfördes. Antal rätt, fel och antal uppgifter eleverna inte hann med på 3 minuter sammanställdes i ett stapeldiagram. Ett genomsnitt räknades ut på hur många sekunder eleverna använde per uppgift. Intervjuerna före och efter interventionen spelades in och transkriberades. Eftersom de flesta frågor var samma på intervjuerna före och efter interventionen kunde svaren jämföras. De frågor som tillkom i intervjuerna efter interventionen innehöll elevernas tankar kring studien och materialet. Dokumentationen i loggboken lästes igenom och för studien intressanta noteringar markerades. Innehållet från intervjuer och loggböcker används i resultat och analys.
5.5 Reliabilitet och validitet
För att denna undersökning skulle ha så hög reliabilitet som möjligt förbereddes undersökningen väl genom att det formulerades klara och tydliga instruktioner för studien. Eftersom det var två personer som skulle samarbeta kring uppgiften och själva genomföra en interventionsstudie, behövdes tydliga rutiner skapas för vad som skulle göras och hur det skulle göras under undersökningens gång. För att få så hög validitet i undersökningen som möjligt behövde frågeställningarna reflekteras över så att de verkligen gav svar på det som var tänkt att undersöka. Under studiens gång kontrollerades så mycket som möjligt att informationen som samlas in var giltig och sann genom att diskussioner fördes om hur och på vilket sätt intervjuerna genomförts och hur arbetet fortskred med eleverna i interventionsstudien så att planen följdes (Eliasson, 2013). Eftersom vi själva genomförde interventionen var det av betydelse att vara så objektiva som möjligt i redovisningen. För att undersökningen skulle få så hög validitet som möjligt reflekterade vi över om frågeställningarna verkligen skulle ge svar på det som var tänkt att undersökas. Under studiens gång fördes diskussioner om hur intervjuerna genomförts och hur arbetet med eleverna fortskred så att vi följde den uppgjorda planen. Vi förde även loggbok där anteckningar gjordes efter varje undervisningstillfälle.
5.6 Forskningsetiska principer
Morrow, 2011). Hänsyn har tagits till individskyddskravet, som innebär människors rätt till skydd mot insyn i sina livsförhållanden genom att alla uppgifter kring elevens identitet behandlades konfidentiellt. Vidare följde vi som forskare God Forskningssed och Etikprövningslagen (Vetenskapsrådet, 2011). Enligt vetenskapsrådet har forskare en viktigt del i det etiska förhållningssättet. Alderson & Morrow (2011) skriver att vid forskning om och med barn är det viktigt att beakta maktförhållandet mellan oss forskare som vuxna och eleven som barn. Rollen som både forskare och lärare är i det här fallet speciell och elevens behov måste beaktas. Frågor som forskare kan ställas inför i en studie med barn kan vara om föräldrar kan vara med om eleven önskar, om studien utförs på en plats med lugn och ro, om eleven vill att deras namn ska användas i studien eller om eleven berättar något för forskaren i förtroende men forskaren anser att förtroendet måste brytas (Alderson & Morrow, 2011). Reflektion över genomförandet av forskningen bör ske kontinuerligt och sanningen inte förvrängas. I studien var det viktigt att endast titta på de resultat som kommit fram i undersökningen och inte väga in andra aspekter, så som egna åsikter (Vetenskapsrådet, 2011).
6. Resultat och Analys
I följande avsnitt presenteras först resultatet av diagnosen AG3 i form av ett diagram. Därefter analyseras resultatet av AG3, intervjuer och loggböcker utifrån Vygotskijs (2010) proximala utvecklingszon, yttre och inre operationer och Kilpatrick et al. (2001) fem delar i matematisk kompetens. Dessa begrepp används som rubriker där resultatet i varje del följs av analys. Vygotskijs (2010) yttre och inre operationer samstämmer till viss del med Kilpatrick et. al. (2001) matematiska kompetenser. De yttre och inre operationerna kan ses ur ett mer övergripande perspektiv av barns utveckling av tankeoperationer, medan matematisk kompetens är riktat till matematiskt tänkande. Avslutningsvis ges en sammanfattning av resultat och analys.
6.1 Resultat och analys - AG 3
Resultat
Figur 1 Diagram över elevernas resultat av AG3 före och efter interventionen.
Elev 1 och 2 hade färre fel på eftertestet än på förtestet. Den genomsnittliga tiden per uppgift på eftertestet var: Elev 1- 4,2 sek, elev 2- 4,2 sek, elev 3- 4,6 sek, elev 4- 7,5 sek och elev 5-6,4 sek.
Analys
Resultatet för eleverna i årskurs 4, visade en ökning vilket kan vara en effekt av intensivundervisningen. Undervisningen har varit kontinuerlig, strukturerad och under korta arbetspass (McIntosh, 2009, Butterworth & Yeo, 2012). Varje moment har övats och repeterats en till en efter elevens behov, vilket Lundberg & Sterner (2009) menar är betydelsefullt för SUM-elever.
förkunskaper ökar kan huvudräkningen bli ett problem för allt fler elever eftersom dessa elever kommer att sakna flyt i sitt räknande.
6.2 Resultat och analys - Yttre operationer
Resultat
Vid intervjun före interventionen använde två av eleverna i årskurs 4 strategin uppåträkning eller nedåträkning med hjälp av fingrarna vid subtraktionsuppgifterna. Vid frågan om vad de tänkte om huvudräkning svarade två elever ”att man inte ska räkna på fingrarna, men det gör jag” (elev årskurs 4), ”man ska räkna med huvudet, eller att man inte ska räkna med fingrarna” (elev årskurs 4). Under intervjuerna skrevs uppgifterna ner, så att eleven kunde se uppgiften och inte bara höra. Vid ett tillfälle skrevs inte uppgiften ner utan eleven fick den muntligt. Det blev då svårt för eleven att lösa uppgiften, men när den visades skriftligt, kunde eleven lösa den. Klossar användes vid uppdelning av tal i triaderna. En elev i årskurs 4 tar i början hjälp av tidigare gjorda uppgifter på stencilen, vilket upphör sista veckan.
Under större delen av uppgifterna vid förtestet uppmärksammades att båda eleverna i åk 7 använde fingrarna. Eleverna sa även själva under intervjuerna att de använde fingrarna på både för- och eftertestet. En elev i årskurs 7 använde fingrarna då och då fram till lektion 11, då det arbetades med talet 12. Den andra eleven i årskurs 7 använde fingrarna ofta i början, för att sedan använda dem i allt mindre utsträckning. Eleven försökte använda andra strategier, men behövde då tänka högt. Exempelvis vid uppgiften 6+5 tänkte han 5+5=10, sedan 5+6=11. En elev i årskurs 7 använde i början triaderna som hjälp när han skulle arbeta med stencilen.
Analys
Resultatet kan kopplas till Vygotskijs (2010) yttre operationer genom att eleverna använde fingerräkning. Vid förtestet och i intervjun före interventionen noterades att två elever använde fingrarna. En elev behövde visuellt stöd i form av skrivna uppgifter. Även behov av auditivt stöd uppmärksammades, då en elev löste uppgifter genom att säga dem högt. Detta kan kopplas till Baroody et al. (2009) tre faser för att tillägna sig huvudräkning, där den första, som benämns som räknestrategier, är när eleven är i behov av objekt eller verbal räkning.
6.3 Resultat och analys – Inre operationer
Resultat
Vid intervjun före och efter interventionen fick eleverna berätta hur de räknade ut sex olika uppgifter. Eleverna i årskurs 4 använde fyra olika hållbara strategier före interventionen. Det var 6+7 (en elev använder strategierna upp över 10, två elever använder nästan dubbelt) 8+5 (två elever använde upp över 10, en elev använde nästan dubbelt), 9-8, (två elever använde nära tal, en elev kunde inte lösa uppgiften) 5+7 (två elever använde nästan dubblor, en elev använde upp över 10), 12-5 (en elev såg sambandet med det tidigare talet 5+7, två elever hade ohållbara strategier som att räkna ett steg i taget) och 14-6 (ingen av eleverna använde någon hållbar strategi). Efter interventionen använde eleverna fem hållbara strategier. 6+7 (de tre eleverna använde nära dubbelt), 8+5 (de tre eleverna använde upp över 10), 9-8 (de tre eleverna använde nära tal), 5+7 (två elever använde upp till 10, en elev använde nästan dubbelt), 12-5 (två elever såg sambandet med förra talet och en elev ändrade subtraktionen till addition) 14-6 (en elev kunde det bara, två elever ändrade subtraktionen till addition). De elever som före interventionen använde fingrarna vid huvudräkning gjorde det inte efter och strategierna användes effektivare efter interventionen. En elev använde nästan dubbelt på alla additionsuppgifter och försökte även använda det på subtraktionsuppgifterna på intervjun före, men på intervjun efter använde eleven nästan dubbelt där det passade och mer automatiserat, men även upp över 10 och ändra subtraktion till addition. På de inspelade intervjuerna svarade eleverna snabbare på uppgifterna efter interventionen än före. Vid frågan om eleverna använde någon annan strategi efter interventionen än före uttryckte en elev årskurs 4 ”jag räknar inte på fingrarna längre”. Under interventionen blev eleverna mer och mer flexibla i sina uträkningar. Det visade de genom att använda strategierna där de passade bäst och att de såg sambandet mellan räknesätten. Två av eleverna i årskurs 4 uttryckte att triaderna och Wendicklistorna har varit bra, både vad det gäller förståelsen för tal som hör ihop och sambandet mellan räknesätten. ”Triaderna var bra, man ser vilka som hör ihop och då kan man säga plus och minus och vet hela det gänget” (elev årskurs 4), ”Minus är lättare än plus, när man jobbar med dessa papper de är ju samma” (elev årskurs 4). Vid arbetet med Wendicklistor uppmärksammades en elev som i början ofta tittade på de uppgifter som gjorts längre upp på pappret för att få hjälp. De sista veckorna gjorde eleven inte det.
försökte använda inre operationer genom att försöka skapa inre bilder av triaderna, men samtidigt ökade antalet felaktiga svar. På 4 av 6 uppgifter gavs först felaktiga svar, därefter försökte eleven lösa uppgiften 7+5 genom att använda dubblorna 7+7-5 för att sedan återgå till fingerräkning för att kunna lösa uppgifterna.
Eleverna i årskurs 7 försökte utgå ifrån dubblorna, en ny strategi som de lärt sig under studien. Eftersom eleverna inte var helt säkra på hur strategin skulle användas eller när den fungerade effektivt så övergeneraliserades strategin genom att användas på flera av uppgifterna.
Analys
Utifrån intervjuerna efter interventionen kan vi se att alla eleverna i årskurs 4 använder inre operationer i stället för yttre operationer i större utsträckning än före interventionen. De var mer flexibla i sina uträkningar genom att fler huvudräkningsstrategier användes. Eleverna i årskurs 7 försökte använda inre operationer, men hade även efter interventionen behov av att använda yttre operationer i form av fingerräkning. Däremot visar de vilja att resonera sig fram till svaret på uppgifterna. Utifrån Baroodys et al. (2009) tre faser för inlärning av huvudräkning är eleverna i årskurs 7 på väg in i den andra fasen, Tankestrategier. Eleverna i årskurs 7 arbetar mindre flexibelt med tal och enkla operationer än eleverna i årskurs 4. Anghileri (2012) och Berch & Mazzocco, (2009) menar att elever med god taluppfattning kan arbeta flexibelt med tal och att kunna använda tidigare kunskaper till nya moment. Hit har dock inte eleverna i årskurs 7 kommit. Intervjuerna visar att eleverna i årskurs 4 har utvecklat sin taluppfattning mer än eleverna i årskurs 7.
6.4 Resultat och analys - Proximala utvecklingszonen
Resultat
En elev i årskurs 4 hade inte automatiserat talområdet 0-10, utifrån AG1. Under intervjun före interventionen visade eleverna i årskurs 4 att de kunde använda strategierna dubblor, tiokamrater och fingrar. Under interventionen, i samarbetet med läraren, visade eleverna förståelse för sambandet mellan räknesätten, och även vilken strategi som passar bäst för den givna uppgiften . I AG 3 och intervjun efter interventionen använde eleverna sig av de strategier de hade tidigare och de nya som de utvecklat. Strategierna användes också effektivare efter interventionen. Eleverna i årskurs 7 hade inte automatiserat talområdet 0-10, utifrån AG 1. Under intervjun före interventionen klarade eleverna att lösa uppgifterna, men strategin de använde var fingerräkning, ett steg i taget, vilket var tidskrävande. Under interventionen, i samarbete och samtal mellan lärare och elev, visade eleverna att de förstod sambandet mellan räknesätten, dubblor, nära dubblor och tiokamrater. På AG3 och intervjun efter interventionen återgick en av eleverna till största delen till fingerräkningen. Den andra eleven försökte ”se” triaderna i huvudet och genom dem lösa uppgifterna, vilket ledde till mycket gissningar.
Analys
utvecklingsprocesser (Vygotskij, 2010). Därefter följde undervisning i form av vidareutveckling av elevernas hållbara strategier och inlärning av nya. Detta lärande skapade det som Vygotskij (2010) menar ett utvecklingsrum där eleverna interagerade med lärare, vilket möjliggjorde utveckling hos eleverna.
Resultatet hos eleverna i årskurs 4 indikerar på att undervisningen har lett till lärande och utveckling genom att eleverna efter interventionen använde fler stategier och att strategierna användes mera effektivt. Vygotskij (2010) menar att undervisning som ligger mellan den lägsta och högsta tröskeln, leder till inlärning.
Eleverna i årskurs 7 visade under interventionen att lärande av strategier hade skett, men de hade ännu inte utvecklat förmågan att självständigt använda strategierna som de kunde använda i samarbete. Vi kan tolka resultatet utifrån Vygotskij (2010) som att undervisningen har lett till lärande och stimulerat utvecklingsprocesser inom den närmaste utvecklingszonen .
6.5 Resultat och analys - Begreppslig förståelse
Resultat
En till en undervisningen bestod av samtal med eleverna om tals uppbyggnad, samband mellan räknesätten, procedurer, olika huvudräkningsstrategier och när de bäst kan användas (Kilpatrick et al., 2001; Lundberg & Sterner, 2009). Eleverna fick även omedelbar bekräftelse och korrigering av felaktiga strategier (Lundberg & Sterner, 2009).
Talområdet 0-10, testades före interventionens start vilket visade att en av eleverna i åk 4 inte helt hade automatiserat talområdet. Talområdet tränades vid några tillfällen och repeterades emellanåt under interventionen så att eleven var helt säker på det.
Triaderna, där talet delades upp i olika kombinationer, upplevdes positivt av eleverna. En elev uttryckte att ” Triaderna var bra, man ser vilka som hör ihop och då kan man säga plus och minus och vet hela det gänget” (elev årskurs 4).
I intervjuerna hade vi olika uppgifter där eleverna fick visa hur de räknade ut före och efter interventionen. För att få syn på om eleverna kunde upptäcka sambandet mellan räknesätten hade vi först 5+7= och därefter 12-5. En elev i årskurs 4 uttryckte sambandet redan i intervjun före interventionen, en elev uttryckte det endast i intervjun efter interventionen och en elev nämnde inte sambandet vid det tillfället men uttryckte det under interventionen. Den eleven som visade förståelse för sambandet i eftertestet, uppmärksammade sambandet redan första veckan av interventionen vid arbetet med Wendicklistorna och uttryckte ”Minus är lättare än plus, när man jobbar med dessa papper de är ju samma” (elev årskurs 4). Wendicklistorna är till stor del uppbyggda av öppna utsagor. Till en början upplevde eleverna det svårt, men efter en tid uttryckte en elev ”Kan vi inte ha papper med bara sådana här tal i klassen [öppna utsagor] då blir jag nog bäst” (elev åk 4). En annan elev ”Det var lite jobbigt med papperna, men jag har lärt mig på det, att plus och minus är likadana” (elev årskurs 4).
representationsform för att bilda par till talet 10. Vid ett tillfälle frågade en elev i årskurs 7 om han kunde använda 3 kort istället för 2 för att bilda talet 10 exempelvis genom att lägga 2+3+5. Efter några lektioner gick arbetet vidare med talområdet 11-20. Efter tredje lektionen med talet 11 uttryckte en elev i årskurs 7 att han bara ”såg” vad det skulle vara vid uppgiften 5+_= 11 eftersom eleven såg triaderna i minnet. En elev i årskurs 7 kunde lösa uppgifterna för talet 12 med flyt efter träningen med triader, wendicklistor och elevspel.se, men när det användes vanliga spelkort för att bilda par av talet 12 blev det svårare. En elev i årskurs 7 uttryckte ” Tal med dubblor är lättare att räkna ut” Den andra eleven i årskurs 7 kom efter ett tag på att det gick snabbt att dela upp talen i triader systematiskt 13+0, 12+1, 11+2 och så vidare.
Analys
Eftersom undervisningen var en till en kan den ha varit utvecklande för den begreppsliga förståelsen. Det fanns möjlighet till omedelbar bekräftelse och korrigering av felaktiga strategier och vägledning av hållbara strategier (Lundberg & Sterner, 2009). Eftersom tre av eleverna inte befäst talområdet 0-10 var det av betydelse att undervisningen började där, så att en grund lades för talområdet 11-20 (Kilpatrick et al., 2001). Genom arbetet med triaderna och Wendick-listorna visade eleverna i åk 4 och 7 att de utvecklat sin begreppsliga förståelse för talens uppbyggnad och sambandet mellan räknesätten (McIntosh, 2009). Under interventionen började eleverna använda nya strategier vilket kan ha utvecklat självförtroendet som kan leda till nya nivåer av förståelse i den begreppsliga förmågan (Kilpatrick et al., 2001). Eleverna i årskurs 4 utvecklade huvudräkningen till att bli mer effektiv genom att först inspektera uppgiften och sedan välja den metod som var mest effektiv för tillfället och som belastar arbetsminnet minst. Detta visar att eleverna har utvecklat sin taluppfattning och är på väg att få säkerhet i att använda räknelagar och regler (Löwing & Kilborn, 2009). En elev i årskurs 7 visar begreppslig förståelse då eleven vill använda tre kort i stället för två för att bilda talet 10 och genom systematiserad uppdelning av tal. Den andra eleven i årskurs 7 löste uppgifterna för talet 12 med flyt under träningen, men i en annan representationsform såg eleven inte de kombinationer som tidigare löstes med flyt. Det indikerar på att den begreppsliga förståelsen inte är fullt utvecklad (Kilpatrick et al., 2001).
6.6 Resultat och analys - Procedurellt flyt
Resultat
eleverna följande genomsnittlig tid per uppgift på eftertestet. Elev 1- 4,2 sek, elev 2 - 4,2 sek, elev 3- 4,6 sek, elev 4- 7,5 sek och elev 5-6,4 sek.
Analys
Utifrån både Kilpatrick et al. (2001) och McIntosh (2009) kan det tolkas som att eleverna i årskurs 4 är på god väg att uppnå procedurellt flyt. De utvecklade sina tidigare strategier, såg sambandet mellan räknesätten och blev mer flexibla och effektiva i sina uträkningar (Kilpatrick, 2001). Eleverna löser uppgifterna på ungefär 4 sekunder, medan McIntosh (2009) menar att uppgifterna ska lösas på 2-3 sekunder för att var automatiserat. Eleverna hade i början svårare för subtraktionsuppgifterna än additionsuppgifterna, vilket enligt Chinn (2012); Kilpatrick et al. (2001) är en vanlig uppfattning. Men när eleverna förstod sambanden mellan räknesätten blev de säkrare även på subtraktion (Kilpatrick et al., 2001).
Eleverna i årskurs 7 har ännu inte uppnått flyt utifrån Kilpatrick et al. (2001) eller McIntosh (2009). De kan lösa uppgifterna med visst flyt direkt efter träningen, men när det gått en tid eller när uppgifterna är blandade från olika tal blir det svårt. Om eleverna har använt olämpliga procedurer under flera år kan inlärningen med förståelse vara mindre effektiv. Eleverna har ändå utvecklat viss förståelse för nya strategier, men är inte tillräckligt säkra för att lämna de gamla (Kilpatrick et al., 2001). Det kan också vara så att faserna där grunderna läggs och där de övas och befästs har blandats ihop under interventionen (McIntosh, 2009). Utifrån Baroody at al.(2009) tre faser Räknestrategier, Tankestrategier och Producera svaret kan vi tolka att eleverna i årskurs 4 är i den tredje fasen där de håller på att befästa strategierna i långtidsminnet medan eleverna i årskurs 7 ännu befinner sig i den andra fasen.
6.7 Resultat och analys - Strategisk kompetens
Resultat
