Det är möjligt att dra flera slutsatser av resultatet. En första slutsats är att uppgifterna gav eleverna goda möjligheter till att vara kreativa och lösa dem på fler sätt där den första uppgiften ses som en problemlösningsuppgift för någon grupp medan den andra uppgiften är för samtliga. En andra slutsats är att många av eleverna kan ses vara goda problemlösare för att de utstrålar mod när de går in i uppgifter och provar sig fram utan att veta om de faktiskt kommer att lösa uppgiften. Eleverna är även medvetna om att de kan lösa uppgifterna på fler sätt, har mod och är flexibla till uppgiften som presenteras för dem. En tredje slutsats är att eleverna i stor utsträckning använder sig av kreativt resonemang när de löser uppgifterna. En fjärde slutsats är att eleverna använder olika representationsformer för att lösa uppgifterna som de ställdes inför. En femte slutsats är att eleverna använder sig av
det imitativa resonemanget om de upplever att uppgifterna känns bekanta och inte kräver någon större ansträngning. En sjätte slutsats är att eleverna vid intervjun säger att de lär sig av varandra genom att förklara och att de ibland även lättare förstår sina egna tankar. En sjunde slutsats som kan dras av resultatet är att uppgifter inte behöver vara svåra för att vara problemlösningsuppgifter enligt eleverna.
8. Diskussion
I följande avsnitt diskuteras vald metod och resultat. Under metoddiskussion problematiseras den metod som använts för att utföra studien och resultatet från studien diskuteras i resultatdiskussionen utifrån det analysverktyg som använts, baserats på Lithner (2008) och Bergqvist m.fl. (2008). Syftet och problemställningarna i denna studie grundades i det egna intresset om problemlösning och hur eleverna faktiskt löste uppgifter för att utveckla kunskapen till det kommande verksamma yrkeslivet som lärare. Elevperspektivet som denna studie har tagit är relativt osynligt i forskning, vilket gjorde att det kändes extra viktigt att lyfta hur och vad eleverna uttrycker för att forskning som är gjord ur ett lärarperspektiv inte överröstar eleverna. Studien har bidragit till nya kunskaper som är viktiga att ha med som snart nyexaminerad lärare i ett så pass komplext yrke som det idag innebär. Denna studie är inte bara viktig för nyexaminerade utan kan även ses som en viktig del för redan yrkesverksamma i fortsatt undervisning inom matematikämnet.
8.1 Metoddiskussion
Vid metoddiskussionen som följer nedan diskuteras sådant som kan ha påverkat studien i en positiv eller negativ bemärkelse.
För att söka svar på studiens syfte och frågeställningar och öka kunskapen om hur elever använder sig av resonemang för att lösa problemlösningsuppgifter valdes två uppgifter ut och designen baserades på tre olika empiriska undersökningar för datainsamling. Den första empiriska insamlingsmetoden var en intervju med klassläraren för att avgöra om nivån för de utvalda uppgifterna var lagom, den andra var en observation av elever vid problemlösning och den sista en gruppintervju med de deltagande eleverna. Att kombinera dessa tre metoder har skapat möjlighet för djupare förståelse även om det har lett till en utmaning att analysera den stora mängd empiri som kombinationen resulterade i. Kombinationen av metoderna kan ses som en form av fallstudie (Forskningsstrategier u.å). Att ha tre metoder för insamling av empiri var från början inte planerat utan en intervju med klassläraren beslutades vara lämpligt för att fastställa lämpligheten att använda uppgifterna i studien utifrån ett etiskt perspektiv. Svårigheten med kombinationen av metoderna har främst legat i analysarbetet på grund av att analysverktyget var svårt att tillämpa på det som eleverna sa vid intervjun. Verktyget verkade lämpa sig mer för
observationen. Fördelen av att kombinera metoderna har gjort att validiteten och reliabiliteten har ökat.
Det blev ganska snabbt naturligt för mig att det var årskurs 3 jag ville fokusera på av den anledningen att de kommit längst kunskapsmässigt i relation till min utbildning, vilket kunde leda till bättre utslag för studien. Urvalet till studien föll ganska direkt på en skola där jag sedan innan känner klassläraren för att kunna hålla koll på eventuella smittspridningar på grund av rådande omständigheter. Den första delen av studien blev naturlig gällande urvalet då klassläraren var den som undervisade eleverna i matematik och kunde prata om elevernas förutsättningar allra bäst. Vad gäller eleverna så var responsen god från både vårdnadshavare och elever, vilket gjorde att urvalet var stort till studien. Alla elever som lämnat in samtyckesblanketterna fick delta i studien genom att antingen deltaga och göra både observation och gruppintervju eller utföra uppgifterna med klassläraren och lämna in resultatet. Dessa resultat har inte lagts med för att eleverna löst det på motsvarande sätt som grupperna. Anledningen till att inte alla blev indelade i grupper var att det skulle bli allt för mycket empiri att analysera. Om tid funnits hade det vart önskvärt att få observera och intervjua fler av de som lämnat in samtyckesblanketten för att kunna se fler likheter och skillnader mellan grupperna. Resultatet från studien är endast vad dessa tre grupper presenterar, vilket betyder att resultatet eventuellt har en lägre generaliserbart då elever använder sig av matematiskt resonemang och löser problem på olika sätt. På grund av att studien kan anses vara en fallstudie så blir generaliserbarheten högre (Forskningsstrategier u.å.).
Det som innebar en svårighet vid analysen av studien var att analysverktyget eventuellt inte var optimalt utformat för att analysera både intervju och observation. Om analysverktyget hade skapats i förväg innan studien var igång hade det eventuellt varit enklare att utforma observationspunkter och intervjufrågor utifrån kriterierna i analysverktyget för att få bättre underlag till analysen. Analysverktyget har också uppmärksammat att det finns vissa olikheter mellan vad eleverna uttrycker och vad som uppfattades genom en observation som syns vid avsnittet 7.4
Jämförelser. Dalen (2015 s.18) skriver att den som utför studien kan lägga in egna
värderingar i det insamlade materialet, vilket kan vara en anledning till att dessa avvikelser uppstår. Även om jag under analysen har tänkt på att vara objektiv så är detta ofrånkomligt (Elvstrand m.fl. 2019 s.236–237).
Min roll som deltagande observatör innebar en del utmaningar. Det blev en utmaning att vara alert och ta in det som eleverna uttryckte kring uppgifterna och skriva ner det samtidigt som jag stöttade eleverna för att de skulle få en bättre förståelse. Emellanåt upplevde jag att jag fick gå utanför min förväntade tanke på hur jag skulle agera i den observatörsroll som jag hade planerat. Samtidigt som jag skrev reflektioner och viktiga saker som eleverna sa så skulle jag också försöka motivera dem att försöka vidare, läsa uppgiften igen och försöka förstå uppgiften.
Ett alternativ till att en deltagande observatörsroll hade exempelvis varit att haft en passiv observatörsroll men eftersom elever var inblandade kändes det oetiskt att ta den rollen. Ett annat alternativ hade kunnat vara att jag endast hade spelat in, men detta kunde också ha resulterat i att jag tappat viktiga detaljer som inte antecknades. Vad gäller intervjun så går reflektionerna till att efter lösningen av uppgifterna så hade eleverna relativt lågt fokus och frågorna skulle eventuellt ha kortats ner lite för att jag i efterhand upplever att några av frågorna kanske inte var relevanta för studien. Hade jag istället valt att lägga in en paus mellan observation och intervju kunde det ha inneburit att eleverna glömt bort viktig information till intervjun. Det blev en nackdel att inte ha en förstudie för att justera detta i förhand.
8.2 Resultatdiskussion
Under resultatdiskussionen diskuteras det resultat som samlats in under studien där mina egna reflektioner synliggörs. Först besvaras frågeställningarna till studien innan jag övergår till att diskutera intressanta aspekter av studien. Syftet med studien har varit att utifrån ett elevperspektiv undersöka hur elever med hjälp av matematiska resonemang löser två problemlösningsuppgifter. Frågeställningarna som använts till studien blev följande: ”Vad avgör om en uppgift behandlas som en problemlösningsuppgift eller en rutinuppgift i lärares samtal om uppgifter, i elevers arbete med dem och i elevernas samtal om detta arbete?” samt ”Hur uttrycker eleverna kreativt och imitativt resonemang vid problemlösning och vad säger de själva?”.
Den första frågeställningen om hur det synliggörs att en uppgift är en problemlösningsuppgift eller rutinuppgift besvaras genom att det finns en betydande skillnad mellan vad eleverna själva säger i intervjun mot vad som synliggörs vid observationen. Skillnaderna kan bero på att min definition av begrepp skiljer sig från elevernas definition eller att de glömt hur de agerat. Det är endast den tredje gruppen som uttrycker några svårigheter kring den första uppgiften vid intervjun i 7.3.1 Gruppintervju om uppgifterna, vilket leder till att den betraktas som en problemlösningsuppgift för den gruppen. De övriga grupperna anser inte att den första uppgiften var av problemlösningskaraktär för dem. Baserat på vad de faktiskt uttrycker vid observationen så är egentligen båda uppgifterna problemlösningsuppgifter i olika utsträckning för eleverna, vilket klassläraren också antog att det skulle vara, vilket syns under 7.1 Intervju med klassläraren. Detta tyder på att eleverna inte har en förståelse för vad ett matematiskt problem innebär, vilket kan diskuteras om eleverna ens behöver veta. Lärare behöver förmedla vikten av att våga testa sig fram vid problemlösning, när det är okej att testa och när de ska följa specifika metoder. Enligt Hughes m.fl. (2006 s.91) är det upp till individen vad som är av problemlösningskaraktär. Här behöver det dock förtydligas att lärare måste kunna definiera vad som blir en problemlösningsuppgift utifrån elevens lösning. Detta betyder att om en person skall kunna avgöra vilken
karaktär en uppgift har för en individ krävs kunskap och en definition av vad ett matematiskt problem innebär.
Den andra frågeställningen om hur eleverna uttrycker kreativa och imitativa resonemang vid problemlösning och vad de säger kan besvaras med att eleverna i stor utsträckning använder sig av kreativa resonemang och att det är möjligt att se båda typer av resonemang. Detta då eleverna kan lösa imitativt och sedan förklara med hjälp av kreativa resonemang, vilket kan ses i 7.3.2 Kreativa resonemang i
gruppintervjun där det eleverna säger kan tolkas som att de använt kreativa
resonemang. Resonemangen är matematiskt grundade då de bygger på komponenter i uppgiften (Lithner 2008 s.266; Bergqvist m.fl. 2008 s.3). Lithner (2008 s.266) skriver att kreativa resonemang inte är så synliga medan Yayuk m.fl. (2020 s.1290) skriver att kreativa resonemang synliggörs vid analysen, vilket i denna studie sker i avsnitt 7.2.2 Observation av kreativa resonemang då eleverna använder sig av kreativa resonemang när de löser uppgifterna. Eleverna säger att de lär sig av varandra när de får förklara och emellanåt förstår sina egna tankar bättre. De är dock inte medvetna om att de för resonemang på matematisk grund. Dessa individer kan ses som kritiskt granskande elever enligt Skolverket (2019 s.54–56) då de valt metoder och sedan granskat dessa. Eleverna kan använda ett imitativt resonemang samtidigt som de använder sig av ett kreativt resonemang. Detta då eleverna i grupp 1 inte behövde konstruera en ny metod för att lösa den första uppgiften utan endast behövde skriva ner ett svar och sedan förklarade varför lösningen var korrekt genom resonemang på matematisk grund. En slutsats som gjordes av resultatet i 7.4.2 Observation och gruppintervju med eleverna är att det finns skillnader mellan observationen och intervjun, vilket eventuellt kan bero på att egna åsikter gjorts vid analysen av observationen även om detta försökt undvikas. Det kan också bero på att eleverna missuppfattat någon fråga eller begrepp vid intervjun, saknar förståelse för vissa begrepp, förväntat sig att jag vill höra ett visst svar eller att de inte är medvetna om vad de gjorde vid observationen. Det kan vara intressant att diskutera huruvida en uppgift faktiskt kan vara en problemlösningsuppgift även fast den är lätt att lösa. Enligt elevernas resonemang som beskrivs i 7.3.1 Gruppintervju om uppgifterna behöver inte en uppgift vara svår för att vara en problemlösningsuppgift, vilket kan ge lärare förståelse att matematiska problem inte behöver vara svåra. Problemen behöver istället utveckla och fördjupa elevernas matematiska förmågor. I 7.2.3 Observation av imitativa
resonemang skriver jag att eleverna i grupp 1 upplevs lösa första uppgiften i
huvudet utan att föra några resonemang med varandra innan. Detta kan relateras till att Lithner (2008 s.258), Jäder m.fl. (2017 s.762) och Taflin (2007 s.31) menar att det sker ett imitativt resonemang där eleverna har en metod som löser problemet. Detta är dock inte självklart utan kan också vara ett tecken på att det tyst sker en mindre ansträngning för eleverna. Eventuellt kan det vara något liknande Lithner (2008 s.266) menar med att det är svårt att se kreativa resonemang. Hagland m.fl. (2008 s.27) ansåg som tidigare nämns att det krävs en viss ansträngning för att lösa
en problemlösningsuppgift. Vad är egentligen definitionen av viss ansträngning? Det måste ju finnas grader av ansträngning och olika svårighetsgrader på uppgifter. Det är svårt att avgöra och bestämma om eller att eleverna gjorde en ansträngning när de tyst löste uppgiften i huvudet, vilket eleverna egentligen endast själva skulle kunna svara på. Jag upplever att eleverna inte är medvetna om när de anstränger sig. Detta betyder att det kan finnas vissa osäkerheter i analysen av resultatet som beror på min tolkning.
Ytterligare en intressant sak att diskutera är hur klassläraren förutspådde hur eleverna skulle lösa uppgifterna. Klassläraren hade en ganska korrekt bild av hur eleverna skulle prestera under studien, både gällande tillvägagångssätt och användningen av resonemang. Detta betyder att klassläraren hade förmågan att sätta sig in i hur eleverna skulle lösa problemet och visar därmed kunskap om problemlösning (Chapman 2015 s.24) och professionellt kunnande om sina elever, vilket är viktigt vid bedömningsarbete.
Under 7.3.3 Imitativa resonemang i gruppintervjun skriver jag att eleverna uttrycker att de vet hur de ska gå tillväga när de löser den första uppgiften men inte den andra uppgiften. Om eleverna blir för bekväma med en metod kan de fastna i en falsk trygghet och bli osäker på andra metoder som kan lösa den uppgift de ställs inför. Uppgifterna bör anpassas så att eleverna inte skall kunna använda det imitativa resonemanget för att istället utveckla problemlösningsförmågan (Jäder m.fl. 2020 s.1123). Eftersom Skolverket (2017 s.25–26) anser att elever skall få möjligheten att utveckla många strategier behöver eleverna därför utmanas och läraren får inte bli för bekväm utan bör istället fundera över vad eleverna behöver för att utvecklas vidare. Anledningen till att detta är viktigt är att det till slut kan bli ett mekaniskt lärande för eleverna för att de vet hur de ska lösa uppgifterna. Detta kan i sin tur leda till att inlärningen av andra förmågor avstannar, vilket i värsta fall kan leda till inlärningssvårigheter (Lithner 2015 s.38–39). Det är alltså av värde att eleverna får lösa problemlösningsuppgifter som bygger och ökar intresse, motivation, självförtroende, tilltro och uthållning (Foshay & Kirkley 2003 s.12). Ett annat intressant resultat att titta närmre på är användningen av representationsformer. Det blev tydligt att eleverna representerade främst den andra uppgiften på ett sätt som skapade mening för dem för att kunna lösa den. Representationen kunde se ut på flera sätt och upplevdes anpassas efter elevernas tankesätt, vilket kännetecknar en god problemlösare (Edens & Potter 2010 s.194). Fennel och Rowan (2001 s.289) påstår också att eleverna med hjälp av representationer får enklare att använda sig av matematiska resonemang. Detta upplevdes vara fallet i studien då eleverna med materialet framför sig kunde representera med olika material, resonera med de andra i gruppen och slutligen lösa problemet. Edens och Potter (2010 s.194) menar att elever som visuellt representerar ett problem får lättare att lösa problemet, vilket i denna studie kan anses stämma då eleverna representerade uppgiften på sina sätt.
För att kunna avgöra om en uppgift är ett problem för en elev krävs det kunskap om tidigare forskning om vad som definierar ett problem. Dessutom krävs en analys över vad som utgör problem i uppgiften samt kännedom om eleverna. Detta innebär att läraren måste kunna gå in och bedöma om en uppgift är av problemlösningskaraktär för eleven. Vad gäller den andra frågeställningen synliggörs det kreativa resonemanget i stor utsträckning och det är möjligt att se båda typer av resonemang när eleverna löser uppgifter. Dock behövs det förtydligande av begreppet ansträngning för att kunna vara mer precis med analysen vid lösandet av uppgifterna. Dessutom är det viktigt att notera att uppgifter kan vara problemlösningsuppgifter även om de inte är svåra, vilket gör att fokus bör ligga på innehållet i uppgifterna. Det är viktigt att utmana alla elever för att utveckla olika förmågor och för att de representerar problem olika, vilket betyder att det krävs att lärare varierar sin undervisning för att fördjupa de matematiska förmågorna och förståelsen hos eleverna om de ska lyckas senare i livet.
9. Slutsatser
För mig är det viktigt med relationerna till eleverna och att faktiskt ta in vad eleverna uttrycker. Forskning sker till ofta ur ett lärarperspektiv och elevernas röst kommer i skymundan. Hur eleverna lär sig bäst och vad eleverna upplever uttrycker eleverna många gånger bäst själva, vilket är anledningen till att denna studie har tagit ett elevperspektiv. En slutsats som kan dras är att det är skillnad mellan vad eleverna gör vid observationen och vad de faktiskt säger vid gruppintervjun. Där skillnaderna kan bero på att jag och eleverna definierar begrepp olika, att de glömt eller inte är medvetna om sitt agerande. En andra slutsats är att det krävs förtydligande av begreppet ansträngning för att göra en precis bedömning gällande definition av uppgifter för eleverna. En tredje slutsats som kan göras i denna studie är att eleverna uttrycker att det faktiskt är jobbigt att testa sig fram, vilket betyder att stöttning krävs via undervisning som sedan skall underlätta vid problemlösning. För lärare bidrar denna studie med ökad kunskap om hur eleverna resonerar vid problemlösning och hur eleverna själva ser på sin förmåga att lösa problem. Det är för eleverna vi lärare skall vidareutveckla både undervisningen och eleverna själva enligt deras förutsättningar. Därför vore det intressant med vidare forskning om hur lärare lägger upp undervisning av problemlösning, vilka problem de väljer och varför, för att utveckla elevernas förmågor. Detta då det riktas stort fokus på att skolan skall hålla en hög kvalitet i undervisningen (Skolverket 2019 s.15).
Referenslista
Bergqvist, T., Lithner, J. & Sumpter, L. (2008). Upper secondary students’ task reasoning. International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 39(1), 1–12. doi: 10.1080/002070390701464675
Björkdahl Ordell, S. (2007). Vad är det som styr vilka etiska regler som finns? I: Dimenäs, J. (red.). (2007). Lära till lärare – att utveckla läraryrket, vetenskapligt
förhållningssätt och vetenskaplig metodik. Stockholm: Liber.
Calderón-Tena, O, C. (2016). Mathematical development: the role of broad cognitive processes. Educational Psychology in Practice, 32(2), 107–121. doi:10.1080/02667363.2015.1114468
Cambridge Dictionary (u.å). Rote learning. I: Cambridge Dictionary. Hämtad 2021, 4 januari från:
https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/rote?q=rote+learning
Cameron, M., Loesing, J., Rorvig, V. & Chval, B, K. (2010). Using student work to learn about teaching. Teaching Children Mathematics, 15(8), 488–493. doi:10.5951/TCM.15.8.0488
Chapman, O. (2015). Mathematics teachers´ knowledge for teaching problem solving. LUMAT International Journal on Math Science and Technology
Education, 3(1), 19-36. doi:10.31129/lumat.v3i1.1049
Dalen, M. (2015). Intervju som metod. (2:a uppl.). Malmö: Gleerups.
Edens, K. & Potter, E. (2010). How students ”unpack” the structure of a word problem: graphic representations and problem solving. School Science and
Mathematics, 108(5), 184–196. doi:10.1111/j.1949-8594.2008.tb17827.x
Eliasson, A. (2018). Kvantitativ metod från början. (4:e uppl.). Lund: Studentlitteratur.
Elvstrand, H., Högberg, R. & Nordvall, H. (2019). Analysarbete inom fältforskning. I: Fejes, A. & Thornberg, R. (red.). (2019). Handbok i kvalitativ analys. (3:e uppl.). Stockholm: Liber.
Fejes, A. & Thornberg, R. (2019). Kvalitativ forskning och kvalitativ analys. I: Fejes, A. & Thornberg, R. (red.). (2019). Handbok i kvalitativ analys. (3:e uppl.). Stockholm: Liber.
Fennel, F. & Rowan, T. (2001). Representation: an important process for teaching and learning mathematics. Teaching Children Mathematics, 7(5), 288–292. doi: