Examensarbete (del 2)

Examensarbete (del 2)

för grundlärarexamen inriktning F–3 Avancerad nivå

Hur elever uttrycker matematiska resonemang vid problemlösning och vad de själva säger

Problemlösning ur ett elevperspektiv för elever i årskurs 3

Författare: Olivia Sahlins Handledare: Lotta Wedman Examinator: Helena Eriksson

Ämne: Pedagogiskt arbete, inriktning matematik Kurskod: PG2069/APG246

Poäng: 15 hp

Examinationsdatum: 210328

Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA.

Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet.

Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet.

Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access.

Jag medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):

Ja ☒ Nej ☐

Abstract:

Elever i grundskolan stöter på problemlösning i matematikämnet och skall därför utveckla flera förmågor för att ha möjligheten att anpassa lösningsstrategier till varje problem. Syftet med studien är att ur ett elevperspektiv undersöka hur elever med hjälp av matematiska resonemang löser två problemlösningsuppgifter. Genom en semistrukturerad intervju med klassläraren justerades två uppgifter som sedan användes i studien. Därefter observerades tre grupper om tre elever från årskurs 3 innan en semistrukturerad gruppintervju tog vid med eleverna. Empirin från studien har sedan analyserats med hjälp av ett analysverktyg som baserats på Lithner (2008) samt Bergqvist, Lithner och Sumpters (2008) tidigare forskning om matematiska resonemang. Resultatet i studien visar att elever använder sig av kreativa resonemang i stor utsträckning vid lösandet av problemlösningsuppgifter och att det behövs kunskap för att avgöra vilken typ av uppgift som löses. Resultatet visar också att eleverna själva säger att de gynnas av att förklara hur de tänkt och att lyssna på andra. Utöver detta visar resultatet även att eleverna använder olika representationsformer för att lösa uppgifterna. En slutsats är att det finns vissa skillnader mellan vad som syns i observationen och i gruppintervjun. En andra slutsats är att det krävs en definition av begreppet ansträngning för att göra en precis analys. En tredje slutsats är att eleverna tycker att det är jobbigt att testa sig fram.

Nyckelord:

Problemlösning, problemlösningsuppgifter, matematiska problem, kreativa resonemang, imitativa resonemang, matematiska resonemang, elevperspektiv.

Innehållsförteckning

1. INLEDNING 1

2. BAKGRUND 2

2.1PROBLEMLÖSNING I STYRDOKUMENT 2

2.2MATEMATIKUPPGIFTER 4

2.2.1MATEMATISKA PROBLEM 4

2.2.2RUTINUPPGIFTER 5

2.3MATEMATISKA RESONEMANG 6

2.4SAMMANFATTNING 7

3. TIDIGARE FORSKNING 8

3.1PROBLEMLÖSNING 8

3.2ANGREPPSSÄTT VID PROBLEMLÖSNING 8

3.2.1KREATIVA RESONEMANG 9

3.2.2IMITATIVA RESONEMANG 10

3.2.3REPRESENTATIONERS ROLL VID PROBLEMLÖSNING 10

3.3LÄRARENS ROLL 10

3.4SAMMANFATTNING AV TIDIGARE FORSKNING 11

4. SYFTE 12

5. TEORETISKT RAMVERK 12

6. METOD 14

6.1VAL AV METOD 14

6.1.1URVAL 15

6.1.2UPPGIFTER 16

6.2INTERVJU MED KLASSLÄRAREN 18

6.3OBSERVATION 19

6.4GRUPPINTERVJU MED ELEVERNA 20

6.5ANALYS 20

6.6VALIDITET, GENERALISERBARHET OCH RELIABILITET 21

6.7ETISKA ASPEKTER 22

7. RESULTAT 23

7.1INTERVJU MED KLASSLÄRAREN 23

7.2OBSERVATION 25

7.2.1OBSERVATION AV PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER 25

7.2.2OBSERVATION AV KREATIVA RESONEMANG 28

7.2.3OBSERVATION AV IMITATIVA RESONEMANG 29

7.3GRUPPINTERVJU 31

7.3.1GRUPPINTERVJU OM UPPGIFTERNA 31

7.3.2KREATIVA RESONEMANG I GRUPPINTERVJUN 32

7.3.3IMITATIVA RESONEMANG I GRUPPINTERVJUN 34

7.4JÄMFÖRELSER 35

7.4.1UPPGIFTERNA 35

7.4.2OBSERVATION OCH GRUPPINTERVJU MED ELEVERNA 36

7.5SAMMANFATTNING AV RESULTAT 38

8. DISKUSSION 39

8.1METODDISKUSSION 39

8.2 RESULTATDISKUSSION 41

9. SLUTSATSER 44

REFERENSLISTA 45

BILAGA 1MISSIVBREV VÅRDNADSHAVARE

BILAGA 2MISSIVBREV LÄRARE

BILAGA 3INTERVJUPROTOKOLL LÄRARE

BILAGA 4OBSERVATIONSSCHEMA

BILAGA 5INTERVJUPROTOKOLL ELEVER

1. Inledning

Skolinspektionen (2009 s.11–12) lyfter att elever inte får tillräckligt omfattande undervisning i matematikämnet och därför inte ges förutsättningar att utveckla diverse kompetenser som de egentligen skall. En kompetens som är svår att uppnå är problemlösningsförmågan (Skolinspektionen 2009 s.11–12). Detta betyder att elever inte besitter kunskap om att lösa uppgifter bortom rutinuppgifter utan att ha en given lösningsmetod. Karlsson Wirebring, Lithner, Jonsson, Liljekvist, Norqvist och Nyberg (2015 s.12) belyser det faktum att elever som har en djupare förståelse för matematikämnet har större möjlighet att lyckas senare i livet. Detta är fortfarande aktuellt då det inte finns någon forskning som ännu bevisar motsatsen.

Enligt 1 kap. §4 i Skollagen (SFS 2010:800) skall skolor i samverkan med elevernas hem utveckla kreativa, kompetenta och ansvarskännande medmänniskor. För att eleverna skall få dessa möjligheter behöver lärare lägga upp undervisning som gynnar dessa förmågor och kompetenser hos eleverna. Skolverket (2019) baserar läroplanen på Skollagen, vilket betyder att lärare därför skall förhålla sig till dessa styrdokument. Skolverket (2017 s.5) menar att elever inte ska fokusera på att lösa problem med den metod som anses vara korrekt, utan snarare utforska olika lösningsmetoder. Eleverna skall även reflektera över fördelar och nackdelar med de lösningsmetoder de använt (Skolverket 2017 s.5). Enligt ämnesplanen för matematik sammanfattas detta med att undervisningen skall bidra till elevernas kunskapsutveckling där reflektion och värdering ingår när det kommer till val av strategier, metod och resultat (Skolverket 2019 s.54).

Vad som framkommit under min verksamhetsförlagda utbildning (VFU) är även där att elever har svårt att jobba med problemlösningsuppgifter i matematik när tillvägagångssätt inte är synligt. Jag upplever att det uppstår förvirring när eleverna inte vet vilken strategi de ska använda eller var de ska börja. Bergqvist, Lithner och Sumpter (2008 s.10) visar i en studie att när eleverna inte visste vilken strategi de skulle använda sig av vände eleverna sig till den som intervjuade för att få en ledtråd. Det finns alltså belägg i undersökningar att elever emellanåt har svårt med angreppssätt vid problemlösning (Bergqvist m.fl. 2008 s.2). Enligt Jäder, Lithner och Sidenvall (2020 s.1123) påpekar Kaur (2010), Mullis m.fl. (2012) samt Stein m.fl. (2007) att elever spenderar mycket tid att lära sig matematik och lösa uppgifter främst i läromedel. En tanke som väcktes under VFU är just om elever får en falsk trygghet för att matematikboken används flitigt och att svårigheter i problemlösning uppstår av den anledningen. Taflin (2007 s.63) påpekar att elever inte tränas för att välja metod när läroböcker i många fall anger lösningsmetoden. Matematikböcker är vanligtvis uppdelade i kapitel där det finns en beskrivning inför varje område eller att lärare har en genomgång. Jag upplever att strukturen i läromedlen liknar varandra, vilket gör att eleverna mekaniskt nöter in räknesätt och strategier i det matematiska området som kapitlet eller sidorna behandlar. Jag anser att det under lektionerna lämnas ytterst lite utrymme till eleverna att prova sig fram och tänka

bortom det område som berörs under lektionen. Detta kan leda till konsekvenser för att elever kan uppleva att det endast finns ett korrekt sätt att lösa en uppgift om de inte får träna att lösa uppgifter på fler sätt (Taflin 2007 s.63).

Sammanfattningsvis går det att konstatera att elever inte utvecklar sin problemlösningsförmåga i tillräckligt hög grad och att eleverna har svårt att jobba när det inte finns ett förutbestämt tillvägagångssätt. När jag läst tidigare forskning upplevs många forskare lägga fokus på vikten av att läraren skall anpassa undervisningen för eleverna, när det egentligen är enklare att diskutera med eleverna som sitter på svaren till aktuella anpassningar. Detta är anledningen till att jag vill studera problemlösning utifrån ett elevperspektiv. Ett syfte med elevperspektivet är att jag vill låta elever få mer plats i forskning för att med hjälp av dem få en djupare förståelse för svårigheter och användande av olika strategier.

Cameron, Loesing, Rorvig och Chval (2010 s.489) menar att det är möjligt att vidga förståelsen för lärare genom att studera elever och hur inlärning av matematik ser ut för just eleverna.

2. Bakgrund

I bakgrunden förtydligas diverse begrepp som anknyter till problemlösning inom matematikämnet där ett exempel på problemlösningsuppgift ges. Detta definieras genom hur styrdokument knyter an till problemlösning, vad som skiljer en problemlösningsuppgift från en rutinuppgift och matematiska resonemang samt dess inverkan på matematisk problemlösning.

2.1 Problemlösning i styrdokument

Enligt Skolverket (2019 s.54–56) skall undervisningen anpassas så att intresse och förtroende för matematikämnet skapas där eleverna formas till en kritiskt granskande individ som kan välja och använda metod eller strategi samt utvärdera resultat. Skolinspektionen (2009 s.8) skriver som nämnts i 1 Inledning att problemlösningsförmågan inte ges förutsättningar att utvecklas i klassrummet.

Detta kan bero på att lärare inte upplever att de besitter kompetens att utveckla eleverna inom detta område (Skolinspektionen 2009 s.8). Det Skolinspektionen (2009 s.22) efterfrågar är att lärare undervisar mer omfattande och varierat utifrån läroplanen. I läroplanen för matematik 1–3 står till exempel följande:

Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet. (Skolverket 2019 s.59).

Detta ställer krav på att lärare undervisar så omfattade och varierat som Skolinspektionen nämner för att tillåta eleverna att välja och använda tillvägagångssätt.

Enligt Juter (2014 s.1–2) och Skolinspektionen (2009 s.11–12) finns det sex kompentensmål som ingår i matematik för grundskolan, vilka lyder och definieras på följande sätt:

• problemlösning – att eleven tar sig an en uppgift där det inte finns en given metod för att lösa uppgiften de ställs inför.

• resonemang – elever skall kunna argumentera matematiskt om begrepp och procedurer i olika situationer. Resonemanget förs logiskt i form av exempelvis bevisföring.

• procedurhantering – elever skall kunna lösa uppgifter som anses vara rutinuppgifter utifrån en metod de anser lämplig för situation med eller utan hjälpmedel.

• representation – att eleverna kan förstå ett värde av något och kan byta ut det mot ett tal, till exempel att en bild av tolv äpplen kan ersättas med talet 12.

• samband – att eleverna kan se att det finns ett samband mellan olika räknesätt, de kan räkna 4 multiplicerat med 3 istället för att addera 4 tre gånger.

• kommunikation – elever skall kunna kommunicera med hjälp av att använda symboler, termer, ord, bilder eller liknande.

Skolverket (2019 s.54–55) skriver explicit om problemlösning, resonemang och samband som mål för årskurs 1–3 i läroplanen. Kommunikationskompetensen kopplas ihop med matematikens uttrycksformer, representationskompetensen beskrivs som att koppla matematiken till vardagliga situationer och procedurkompetensen kopplas ihop med att lösa rutinuppgifter (Skolverket 2019 s.54–55). Dessa sex kompetenser är något som utvecklas i samband med varandra och för att utveckla matematiskt tänkande anses problemlösningen vara viktigast att fokusera på (Juter 2014 s.1).

Eftersom problemlösning är en viktig kompetens och utgör en central del i matematikämnet skall den prioriteras i undervisningen (Skolverket 2017 s.6).

Skolverket (2017 s.25–26) anser att elever skall utveckla problemlösningsförmågan på ett bredare plan, vilket betyder att eleverna skall få möjligheten att utveckla många strategier. Skolverket (2017 s.7) skriver också att vid problemlösning skall elever använda matematiska resonemang, begrepp, olika metoder och strategier samt analysera om lösningen är rimlig i relation till uppgiften som presenterats för dem. Det handlar också om att förstå att en problemlösningsuppgift kan lösas på olika sätt och att eleverna har förmågan att lösa uppgifter enskilt och tillsammans med andra i par eller grupp (Skolverket 2017 s.7).

När eleverna tränar på att lösa uppgifter med olika metoder bygger de en tilltro.

Definitionen av att känna tilltro till den egna förmågan är att elever vågar prova sig fram till en metod och lösning (Skolverket 2017 s.5). De skall själva och

tillsammans med andra våga använda sig av olika metoder och sedan reflektera över lösningen matematiskt. Elever med tilltro till sin förmåga kan reflektera över fördelar och nackdelar med valda metoder (Skolverket 2017 s.5).

2.2 Matematikuppgifter

Det finns två typer av uppgifter, den ena är rutinuppgifter som oftast behandlas i läromedel, den andra är matematiska problem där det i förhand inte finns någon given metod (Lithner 2015 s.36; Marchis 2013 s.33). Skolinspektionen (2009 s.7) skriver att matematisk problemlösning handlar om att eleverna inte blir presenterade en lösning utan att de istället skall prova sig fram till en lösning. Det som anses vara ett problem för en elev kan vara en rutinuppgift för någon annan (Skolverket 2017 s.7). Nedan kommer nu de två typerna av uppgifter förklaras närmre.

2.2.1 Matematiska problem

En typ av uppgift beskrivs vara matematiska problem eller så kallad problemlösning. Hagland, Hedrén och Taflin (2008 s.27) menar att det vid problemlösning krävs en viss ansträngning för att lösa uppgiften. Taflin (2007 s.36) tillägger att ett problem behöver en lösning av en individ eller grupp. Definitionen av ett matematiskt problem som kommer användas i studien är en uppgift där lösningsmetoden inte är given, där en individ eller en grupp behöver söka en lösning och att det krävs en ansträngning för att lösa uppgiften. Skillnaden mellan problem och rutinuppgifter förklaras som att elever vid problemlösning inte har en given metod associeras rutinuppgifter ofta med läromedelsundervisning (Lithner 2015 s.37). Matematiska problem stöter vi på i vardagen där uträkningar av olika typer sker och för elever i årskurs 1–3 skall problemlösningen förankras i verkligheten (Skolverket 2017 s.26). Foshay och Kirkley (2003 s.11) styrker det som Skolverket (2017) skriver, att problemlösning undervisas bäst i en kontext som går att koppla till verkligheten. Exempel på hur matematik kan kopplas till verkligheten är genom matlagning, handling, planering av tillställning, husköp och så vidare (Kalchman 2009 s.532). Matematiken ligger även till grund för många yrken (Lindquist, Philpot, Mullis och Cotter 2019 s.13).

För att titta närmre på problemlösning så kan en problemlösningsuppgift se ut på följande vis:

Ett mönster läggs med hjälp av plattor, mörka och ljusa. Så här ser mönstret ut:

Fig 1. Fig 2.

a) Hur många ljusa plattor går det åt till figur 5?

b) Hur kan du förenkla uträkningen? (Hagland m.fl. 2008 s.105–106).

I denna uppgift anser Hagland m.fl. (2008 s.105) att problemlösningsuppgiften utvecklar elevens kunskaper och förståelse om begrepp som naturliga tal, proportionalitet, tabeller, mönster, area, variabelbegrepp samt formler. Ett exempel på metod att lösa uppgiften på är att använda sig av visuella representationsformer, där ett exempel är att bygga med klossar, vilket anses vara en metod goda problemlösare använder sig av (Edens & Potter 2010 s.194). För att koppla denna uppgift till verkligheten skulle det kunna vara att lägga plattor runt en plantering eller anlägga en uteplats.

Den problemlösningsuppgift som ovan angivits som ett exempel förbättrar diverse kunskaper om vissa begrepp inom matematiken så som Hagland m.fl. (2008) skriver. Utöver detta utvecklar problemlösningsuppgifter också andra förmågor som gynnar fler ämnesområden och användningsområden. Generellt skriver Malmer (2002 s.192) att problemlösning utvecklar följande förmågor och kunskaper:

• läsförståelse

• logisk och analytisk förmåga

• kreativitet

• kritiskt tänkande

• argumentation och resonemangsförmåga

2.2.2 Rutinuppgifter

Rutinuppgifter är den andra formen av uppgifter där elever tidigare mött liknande uppgifter och redan har en metod för lösning (Jäder, Sidenvall & Sumpter 2017 s.762; Taflin 2007 s.31; Lithner 2015 s.37). Lithner (2015 s.37) tillägger att eleven kan lösa uppgiften genom att bli hjälpt av en lärare eller en bok. Hagland m.fl. (2008 s.27) tillägger dessutom att arbete med rutinuppgifter kan anses vara färdighetsträning. Om lärare vill att eleverna skall bli goda problemlösare behöver eleverna lösa andra uppgifter än rutinuppgifter för att få en djupare förståelse av matematik (Jäder m.fl. 2017 s.774). Taflin (2007 s.113) menar dock att rutinlösning

av vissa delmoment i problemlösningsuppgifter kan vara en strategi för att slutligen lösa ett problem. Hughes, Monaghan, Shingadia och Vaughn (2006 s.91) lyfter det faktum att det är upp till individen vad som är av problemlösningskaraktär eller rutinuppgift.

Rutinuppgifter kan kopplas samman med rote learning eller mekaniskt lärande, fritt översatt. Mekaniskt lärande beskrivs vara att elever jobbar in ett räknesätt eller en metod utan att förstå konsekvensen av resultatet och dess innebörd, vilket betyder att den djupare förståelsen för matematiken uteblir (Cambridge Dictionary u.å.).

Dessa områdesspecifika baskunskaper är dock grunden till matematiken i tidigt lärande (Calderón-Tena 2016 s.109). Mekaniskt lärande är inte med som mål i LGR11, vilket i sig inte är problematiskt. Används det till större del i klassrummet får elever svårt att utveckla kompetenser som problemlösning och begreppsmässig förståelse, vilket slutligen leder till att inlärningssvårigheter uppstår (Lithner 2015 s.38–39). Lithner (2015 s.43) förtydligar att när mekaniskt lärande är fokus i lärandet så utvecklas inga förmågor och en djupare förståelse av matematiken uteblir. Lärare måste därför anpassa undervisningen för att stimulera, väcka intresse och finna en nyfikenhet hos eleverna för att tillgodose elevernas behov i matematik.

2.3 Matematiska resonemang

Resonemangsförmågan är en viktig del av matematiken, vilket inkluderar att förstå sina medmänniskors metoder, använda matematiska argument för att förklara sin egen metod och veta vad ett matematiskt bevis är (Marchis 2013 s.34). Lindquist m.fl. (2019 s.24) förklarar att matematiskt resonemang innebär att resonemanget sker logiskt och systematiskt. Lithners (2006 s.4) och Bergqvists m.fl. (2008 s.2) definition av resonemang är det som används i studien, de beskriver att resonemang är en rad tankar som blir ett påstående som slutligen når slutsatser. Jäder (2019 s.15) anser att när elever drar en slutsats samspelar flera förmågor tillsammans. Eleverna kan förklara och bevisa matematiskt, utforska samt ta till sig ny kunskap genom att resonera (Jäder 2019 s.15). Resonemang är ett steg till att utveckla en säkerhet när det gäller att komma fram till ett svar eller en lösning vid arbete med problemlösning. Resonemangsförmågan kan i sig hjälpa fram till ett svar, vara ett sätt att förklara hur tankegångarna gått eller båda sätten kombinerat (Lithner 2012 s.39).

Resonemangen kan delas in i olika typer där en av dessa är kreativt resonemang.

Bergqvist m.fl. (2008 s.3) menar att kreativitet handlar om förståelse, att vara flexibel och modig. Kreativa resonemang handlar om att konstruera en metod och resonera om varför den metod eller det tillvägagångssätt som individerna väljer kan lösa uppgiften (Lithner 2015 s.40; Teledahl & Olsson 2020 s.2; Bergqvist m.fl.

2008 s.2). Bergqvist m.fl. (2008 s.3) anser att ett kreativt resonemang främst består av fyra huvuddelar. En huvuddel är att ett nytt sätt för individen skapas, vilket beskrivs som att individen är modig. Den andra huvuddelen är flexibilitet, vilket är

när individen kan anpassa sig till den situation som denne befinner sig i. En tredje del är rimlighet, att resonemanget skall stötta strategins trovärdighet. Den sista delen handlar också om att resonemanget skall vila på matematisk grund (Bergqvist m.fl. 2008 s.3).

En annan form av resonemang är imitativt resonemang. Jäder m.fl. (2017 s.762) menar att imitativa resonemang kan vara något som tas direkt från minnet där individen anger ett svar som de har memorerat. Ett annat alternativ är att individerna använder sig av ett imitativt resonemang genom ett inarbetat tillvägagångssätt för att resonera (Jäder m.fl. 2017 s.762). Bergqvist m.fl. (2008 s.2) tillägger att imitativt resonemang handlar om att det inte kräver skapande av en ny metod. Fördelen med imitativt resonemang är att elever kan lösa många rutinuppgifter snabbt men där nackdelen är att resonemanget inte gynnar problemlösningsförmågan (Jäder m.fl.

2017 s.773). Vid det mekaniska lärandet används den imitativa resonemangsformen där det handlar om att lösa uppgifter som anses vara rutin (Lithner 2015 s.41–42).

Sammanfattningsvis upplevs rutinuppgifter inte lämna utrymme att använda det kreativa resonemanget på samma sätt som det imitativa. Att använda det imitativa resonemanget vid problemlösning kan vara ett sätt att ta sig an problemet innan eleverna eventuellt växlar över till det kreativa resonemanget. Tolkningen av resonemangen kopplas nödvändigtvis inte ihop med en specifik uppgift utan det handlar egentligen om elevernas förståelse av uppgiften och hur de med tidigare erfarenheter tar sig an uppgiften men även vilka möjligheter uppgiften ger eleverna.

2.4 Sammanfattning

Problemlösning utgör en stor och central del i läroplanen och bör därför prioriteras.

I problemlösning ingår flertalet olika förmågor, vilka tillsammans utgör möjligheter till att vara en god problemlösare. Definitionen av problemlösning i denna studie är att elever skall lösa en uppgift där det inte finns en given metod och att det krävs en ansträngning för att lösa den. Resonemang delas i denna studie in i kreativa och imitativa resonemang. För att lösa uppgifter kan eleverna använda sig av imitativa resonemang där de löser uppgifter med metoder de memorerat, imitativa resonemang associeras ibland med rutinuppgifter. Rutinuppgifter och mekaniskt lärande har en koppling när ett räknesätt eller metod nöts in, vilket leder till att eleverna inte får en djupare kunskap. Mekaniskt lärande är i sig inte problematiskt men om det får allt för stort fokus så kan det uppstå matematiska inlärningssvårigheter då vare sig förmågor eller en djupare förståelse för matematiken utvecklas. Om det imitativa resonemanget inte är möjligt att använda kan det kreativa resonemanget användas där eleverna konstruerar en metod. Ett kreativt resonemang kan förklara varför eleverna kom fram till svaret eller varför deras tillvägagångssätt kommer att lösa uppgiften. Här skapas mod hos eleverna när de skapar en lösningsmetod med hjälp av kreativa resonemang.

3. Tidigare forskning

I följande avsnitt presenteras tidigare forskning kring problemlösning, olika angreppssätt vid problemlösning följt av lärarens roll. Sökning av tidigare forskning har skett via Eric (Ebsco) och Google Scholar där endast engelska sökord använts vid sökningarna. För att hitta intressanta forskningsartiklar och avhandlingar har följande sökord använts: Problem solving, math, mathematics, early elementary, younger elementary, younger students, creative reasoning/thinking, student, teacher, teaching, routine assignment, teachers assessment, cognitive assessment/ability/skill/development, metacognition. Sökorden har utvecklats, gallrats ut och kombinerats på multipla sätt under sökningens gång för att göra sökningarna mer relevanta för önskade resultat. Relevanta artiklar har samtliga genomgått en sökning på Cabells blacklist för att säkerställa att artiklarna haft hög standard. Artiklarna har i sin tur gett förslag på relevanta vetenskapliga tidskrifter att fortsätta sökningen i.

3.1 Problemlösning

Att jobba med problemlösningsuppgifter som bygger och ökar intresse, motivation, självförtroende, tilltro samt uthållighet anses vara viktigt för elever (Foshay &

Kirkley 2003 s.12). För att elever ska ha möjligheter att bli goda problemlösare måste de få lösa uppgifter som inte är rutinuppgifter (Lithner 2015 s.46). Goda problemlösare anses förvandla problem till en mental bild baserat på uppgiften (Edens & Potter 2010 s.185). Edens och Potter (2010 s.194) skriver i sin artikel att elever som använde visuella representationsformer var goda problemlösare. Utöver detta skall eleverna kunna lösa uppgifter av problemlösningskaraktär där de behöver använda flera förmågor samtidigt (Marchis 2013 s.33). Om eleverna jobbar med uppgifter där det inte är möjligt för dem att använda sig av det imitativa resonemanget utvecklas också elevernas förmåga att lösa problemlösningsuppgifter (Jäder m.fl. 2020 s.1123). Elever med god matematisk förmåga löser problem på många olika sätt, medan elever som har en lägre eller en mer enligt normen matematisk förmåga ställs inför fler utmaningar vid problemlösning (Yayuk, Purwanto, Rahman As’ari & Subanji 2020 s.1291). I studien som Jäder m.fl. (2017 s.768) utfört säger en elev att denne väljer den enklaste vägen för att skapandet av ny metod gör eleven osäker. Detta gör att det går att anta att eleven i fråga inte klarar av att lösa problem på fler sätt än det enklaste. För att eleven skall bli en god problemlösare behöver denne lära sig fler metoder att lösa problem på.

3.2 Angreppssätt vid problemlösning

Vid problemlösning använder elever flera förmågor för att lösa uppgifter.

Problemlösning innefattar viktiga beståndsdelar för att en elev skall anses som en god problemlösare. Yayuk m.fl. (2020 s.1290) skriver om tre viktiga beståndsdelar för elever när det kommer till problemlösande:

• Flyt – att eleverna skall kunna uttrycka och använda matematiska idéer.

• Flexibla – eleverna skall kunna lösa problem på olika sätt.

• Modiga – elever skall kunna gå ifrån övriga och lösa problemet på sitt sätt, vilket kan tolkas som en form av tilltro till sin egen förmåga.

Dessa tre beståndsdelar definierar alltså vad som är viktigt för en god problemlösare. Nedan följer nu fler delar som enligt tidigare forskning anses vara viktiga vid problemlösning.

3.2.1 Kreativa resonemang

Resonemang som även nämns i 2.3 Matematiska resonemang är en viktig del av problemlösning. Lithner (2008 s.266) definierar kreativt resonemang som att skapa eller återskapa en metod, att motivera vald strategi och att argumenten skall baseras på matematiska grunder. Det kreativa tänkandet är en avgörande del i problemlösning för att det gäller att hitta nya vägar till lösning (Yayuk m.fl. 2020 s.1282). Studier visar att uppgifter som lyfter det kreativa tänkandet leder till att elever presterar bättre (Karlsson Wirebring m.fl. 2015 s.12). Till skillnad från problemlösningsuppgifter behöver inte det kreativa resonemanget innebära någon ansträngning för eleverna (Lithner 2006 s.6). Det kreativa resonemanget är istället ett effektivt verktyg för matematikinlärning (Teledahl & Olsson 2020 s.6). Det kreativa tänkandet kan hjälpa med att skapa förståelse av matematiska problem och denna typ av tänkande synliggörs när elever tar sig an problemlösning (Yayuk m.fl.

2020 s.1290). Yayuk m.fl. (2020 s.1291) menar att det är en balansgång vid kreativt tänkande mellan utvecklande av ny kunskap och att eleverna skall känna tilltro till den egna förmågan. Dessa två alternativ skall alterneras för att eleverna skall ligga i den proximala utvecklingszonen (Yayuk m.fl. 2020 s.1291). Även om dessa forskare har utfört sin studie i Indonesien så är forskningen värdefull även i Sverige för att det handlar om tänkande och tillvägagångssätt vid problemlösning.

Marchis (2013 s.37) skriver i sin observationsstudie att hälften av de deltagande kunde lösa problemlösningsuppgifterna som de ställdes inför och att en fjärdedel kunde redogöra genom matematiska argument varför resultatet stämde. Även om studien är utförd i Rumänien visar det hur viktigt det är för lärare att bryta sig loss från läromedelsundervisningen och lösa uppgifter som inte klassas som rutinuppgifter för att gynna elevernas utveckling. Lithner (2008 s.266) menar att kreativa resonemang inte är så synligt. Anledningen till detta framgår inte. Lithner (2006 s.13) problematiserar dock det faktum att elever kan försöka arbeta enligt ett sätt som eleverna förväntar sig att lärarna anser är korrekt. Huruvida detta kopplas samman lämnas osagt men kan vara en anledning till bristen av synligt kreativt resonemang.

3.2.2 Imitativa resonemang

Utöver det kreativa resonemanget finns även det imitativa resonemanget. Av imitativa resonemang finns två vanliga former, dels memorerat imitativt resonemang, dels algoritmiskt imitativt resonemang (Lithner 2008 s.258). Lithner (2008 s.258) menar att den memorerade formen består av att metoden som väljs baseras på ett svar som elever minns och att svaret endast skrivs ner. Alla lösningar av uppgifter som elever stöter på bygger delvis på att minnas metoder (Lithner 2008 s.258). Den algoritmiska formen består av att minnas ett tillvägagångssätt där svaret på uppgiften är exkluderat (Lithner 2008 s.259). Lithner (2008 s.259) menar att detta är en av de mest vanliga formerna av resonemang som används i skolan för lösning av uppgifter. Det finns inom denna form inget behov att skapa en ny metod för att lösa uppgifterna och att det enda som talar emot att eleverna skall lösa uppgiften handlar om slarvfel eller att eleverna minns fel (Lithner 2008 s.259).

3.2.3 Representationers roll vid problemlösning

Fennel och Rowan (2001 s.292) menar att representationsformer kan användas både av lärare och elever för att komma åt elevernas matematiska tänkande och stimulera inlärning. Vidare menar Fennel och Rowan (2001 s.289) att representationsformer är ett starkt verktyg vid tänkande samt att det är ett sätt att se matematiska likheter i uppgifter. Taflin (2007 s.63) tillägger att representationsformer är ett verktyg som elever kan ta hjälp av för att nå ett mål. Representationsformer utvecklar förståelse och förmåga att kommunicera där representationsformer kan hjälpa till att lösa problem samt förklara för andra (Fennel & Rowan 2001 s.289). Om elever får möjlighet att representera ett matematiskt problem som skapar mening hjälper det till att finna lösning och förståelse (Fennel & Rowan 2001 s.289). Edens och Potter (2010 s.194) förklarar i sin studie att elever som använder mer visuella metoder i form av ritande, har lättare att lösa de matematiska problem som de ställs inför.

Därför behöver lärare i sin undervisning ge eleverna möjlighet att utveckla denna metod. Det är också viktigt att eleverna även får utveckla sina matematiska kunskaper för att skapa en förmåga att förstå vad problemet de ställs inför behandlar samt vad de skall göra med den informationen de har. De skall kunna bryta ner informationen från problemet till att de själva skall förstå och kunna använda ett verbalt, estetiskt eller symboliskt tillvägagångssätt (Edens & Potter 2010 s.194).

Edens och Potter (2010 s.195) problematiserar även att svårigheter vid problemlösning kan handla om att eleverna besitter en låg matematisk kunskap.

3.3 Lärarens roll

Baserat på det som skrivs om vad som är viktigt för elevernas lärande är det upp till lärare att skapa lärandetillfällen som gynnar elevernas kompetensutveckling. När eleverna introduceras till en problemlösningsuppgift där det finns fler svar och sätt att lösa uppgiften på behöver lärare ha kunskapen att sätta sig in i elevernas

lösningar (Chapman 2015 s.24). Chapman (2015 s.31) menar att lärare måste ha bred kunskap om problemlösning för att hjälpa eleverna bli goda problemlösare.

Lärare måste undervisa med hjälp av olika typer av problem för att utveckla eleverna, där problemen ibland också har öppen lösning (Chapman 2015 s.24). Att ett problem har öppen lösning betyder att det finns multipla svar och inte bara multipla sätt att lösa uppgiften på. I studien som Fyfe och Brown (2020 s.39) har utfört har de kommit fram till att lärares förväntningar på eleverna har betydelse för elevernas förmåga att lösa en problemlösningsuppgift. Detta betyder att lärare kan påverka elevers möjligheter att lyckas. Att ställa frågor eller att komma med förslag till strategi guidar eleverna kognitivt om det görs före eller efter eleverna börjat eller har löst en uppgift (Fyfe & Brown 2020 s.39). Det är viktigt för lärare att de använder sig av matematiska resonemang tidigt i åldrarna och förklarar för eleverna, för att utveckla deras kunskaper (Marchis 2013 s.37). Jäder m.fl. (2017 s.774) anser att det är viktigt att eleverna får det stöd de behöver och att de inte blir lämnade för att själva försöka få en förståelse av problemet. Teledahl och Olsson (2020 s.5) lyfter i sin studie ett exempel på hur läraren med hjälp av elevers kreativa resonemang kan stödja elevernas tankesätt genom att matematiskt förklara för att uppnå djupare förståelse. Yayuk m.fl. (2020 s.1283) påstår dock att lärares motivation och kunnande till att lära ut ett kreativt tänkande ofta saknas.

3.4 Sammanfattning av tidigare forskning

För att sammanfatta den tidigare forskningen så utvecklar eleverna flertalet kunskaper och förmågor vid problemlösning. En god problemlösare har haft möjlighet att lösa olika typer av problem, kan använda flera förmågor samtidigt, kan lösa uppgifter på flera sätt, har flyt och är flexibel samt har mod att lösa uppgifter som denne på förhand inte är säker på att lösa. En god problemlösare kan även lösa ett problem på flera sätt och bryter ner informationen i problemet på de sätt de är bekväma med. Om elever får möjligheten att representera problemet exempelvis visuellt kan det hjälpa dem att lösa problemet de ställs inför. Att koppla problemlösning till verklighetsbaserade situationer skapar mening och motivation för eleverna att lösa uppgifterna samt en förståelse för vad matematik kan användas till. Dessa problemlösningsuppgifter behöver dessutom vara varierade för att utveckla en djupare förståelse. Uppgifter är endast ett matematiskt problem utifrån individen som löser den. Vid lösningen av problemlösningsuppgifter kan eleverna använda sig av kreativa och imitativa resonemang för att underlätta lösningsprocessen. Ett imitativt resonemang innebär att svaret endast skrivs ner och metoden är känd sedan innan. Ett kreativt resonemang däremot innebär att eleverna löser en uppgift genom att skapa eller återskapa en metod och att resonemangen vilar på matematisk grund. Det kreativa tänkandet anses vara en avgörande del i problemlösning där elever skapar och hittar nya vägar till lösning. Utöver detta så har läraren en implicit roll i elevernas möjligheter att lyckas. Lärare har en påverkan som är viktig att ta i beaktande även om studien i sig tar ett elevperspektiv.

4. Syfte

Syftet i denna studie är att utifrån ett elevperspektiv undersöka hur elever med hjälp av matematiska resonemang löser två problemlösningsuppgifter.

• Vad avgör om en uppgift behandlas som en problemlösningsuppgift eller en rutinuppgift i lärares samtal om uppgifter, i elevers arbete med dem och i elevernas samtal om detta arbete?

• Hur uttrycker eleverna kreativt och imitativt resonemang vid problemlösning och vad säger de själva?

5. Teoretiskt ramverk

Studien baseras på Lithners (2008) ramverk om kreativa och imitativa resonemang som även återges i Bergqvist m.fl. (2008). Det teoretiska avsnittet avser förklara det synsätt som kommer anammas under studien vid insamling, bearbetning, analys och presentation av empiri.

När en lösning på en uppgift inte är given är det intressant att studera elevernas resonemang kring den valda metoden, varför deras metod skall lösa problemet och slutligen varför metoden löste problemet är intressant enligt det kreativa resonemanget (Bergqvist m.fl. 2008 s.2). Lithner (2008 s.266) lyfter att kreativa resonemang inte är så synliga, vilket kan innebära att det inte är en fokuspunkt vid lektioner till exempel. För denna studie innebär det att ett kreativt resonemang uppfyller något eller några av dessa kriterier:

1. En bortglömd metod rekonstrueras eller en ny metod används, vilket beskrivs som mod.

2. Eleverna skall anpassa sig till situationen genom att vara flexibel.

3. Resonemanget skall vara rimligt genom att eleverna resonerar för och varför metoden kommer fungera.

4. Resonemangen skall vara baserade på en matematisk grund (Bergqvist m.fl.

2008 s.3).

Att konstruera eller rekonstruera en metod innebär att eleverna inte har en tydlig metod att lösa uppgiften på men kunskap för att konstruera en metod som löser uppgiften (Lithner 2008 s.266). Silver (1997) återgiven i Lithner (2008 s.267) menar att flexibilitet handlar om att ha en djupare kunskap inom matematiska områden och kunna anpassa dessa kunskaper till olika situationer. Flexibiliteten får inte hindras av att eleverna blir fixerade inom resonemanget (Lithner 2008 s.268;

Bergqvist m.fl. 2008 s.3). Ett resonemangs rimlighet räcker inte med rena gissningar eller intuition (Bergqvist 2008 s.3). Lithner (2008 s.266) och Bergqvist m.fl. (2008 s.3) menar att om resonemangen är matematiskt grundande så bygger resonemangen på komponenter som finns i uppgiften.

Det imitativa resonemanget används i en större utsträckning jämfört med det kreativa resonemanget (Bergqvist m.fl. 2008 s.4; Lithner 2008 s.266). Imitativt resonemang bygger på att det inte finns någon djupare förståelse för ett område.

Bergqvist m.fl. (2008 s.4) och Lithner (2008 s.258) förklarar att vid imitativa resonemang finns två vanliga former, vid den memorerade formen väljs strategin genom att minnas ett svar och strategin består främst av att endast skriva ned ett svar. Den andra formen av vanligt imitativt resonemang är algoritmiskt där elever minns ett tillvägagångssätt och inte svaret (Lithner 2008 s.258). Imitativa resonemang kan också vara att eleverna stöttas eller påverkas av en lärare för att komma fram till svaret eller väljer strategi baserat på att en del i uppgiften känns igen (Bergqvist m.fl. 2008 s.4).

Lithner (2008 s.258–259) anser att om resonemangen är imitativa skall något av följande kriterier uppfyllas:

1. Svaret blir endast nedskrivet.

2. Eleverna använder en redan bekant metod som löser hela uppgiften.

3. Det är endast slarvfel som leder till att svaret är fel.

Lithner (2008 s.258) menar att den strategi som många elever använder sig av endast kräver att eleverna skriver ner ett svar utan vidare förklaring. Att använda en redan bekant metod kan betyda att eleverna redan vet både svar och tillvägagångssätt för att lösa uppgiften, vilket innebär att det inte finns anledning för eleverna att skapa en ny metod. Slarvfel beror på att eleverna inte följer det schema som metoden de skulle använda sig av förutsätter (Lithner 2008 s.259).

De kreativa och imitativa resonemangen kommer synliggöras genom analyser av insamlad empiri. För att uppgifterna skall anses vara problemlösningsuppgifter behöver uppgifterna uppfylla något eller några kriterier. Det första kriteriet är att uppgifterna bjuder in till att elever provar sig fram till ett svar. Det andra kriteriet är att problemet inte har någon angiven metod för lösning. Det tredje är att det ska krävas en ansträngning för att lösa uppgiften. Det fjärde kriteriet är att uppgiften skall kunna lösas på olika sätt. Slutligen innebär det femte kriteriet att uppgiften är en problemlösningsuppgift baserat på individen som löser uppgiften (Lithner 2008 s.257; Yayuk m.fl. 2020 s.1290; Skolverket 2017 s.5–7; Hagland m.fl. 2008 s.27;

Lithner 2015 s.36; Marchis 2013 s.33). Om uppgifterna som har framställts är problemlösningsuppgifter ges alltså svar på vid insamling av empiri och analysen som sker i anslutning till insamlingen.

Till analysen kommer följande analysverktyg att användas, vilket är uppbyggt på bakgrund, tidigare forskning och det teoretiska perspektivet:

Tabell 1

Kriterier för problemlösningsuppgifter

1 Uppgifterna bjuder in till att elever provar sig fram 2 Ingen given metod för lösning är synlig

3 Ansträngning behövs för att lösa uppgifterna 4 Uppgifterna kan lösas på olika sätt

5 Uppgifterna är en problemlösningsuppgift baserat på individen Kriterier för kreativa resonemang

6 Elever visar mod genom att konstruera ny eller rekonstruera en bortglömd metod 7 Eleverna anpassar sig till uppgiften genom att vara flexibla

8 Eleverna resonerar varför metoden har eller kommer lösa uppgiften 9 Resonemangen är baserade på matematisk grund

Kriterier för imitativa resonemang 10 Svaret blir endast nedskrivet

11 Eleverna använder en redan bekant metod som löser uppgiften 12 Slarvfel är det som leder till att uppgifterna blir fel

6. Metod

Syftet i studien är att utifrån ett elevperspektiv undersöka hur elever med hjälp av matematiska resonemang löser två problemlösningsuppgifter. Frågeställningarna är följande: ” Vad avgör om en uppgift behandlas som en problemlösningsuppgift eller en rutinuppgift i lärares samtal om uppgifter, i elevers arbete med dem och i elevernas samtal om detta arbete?” samt ”Hur uttrycker eleverna kreativt och imitativt resonemang vid problemlösning och vad säger de själva?”. För att få svar på studiens syfte och frågeställningar har studien följt strukturen:

1. Intervju med klassläraren om framtagning av uppgifter.

2. Observation av elever i mindre grupp när de löser två problemlösningsuppgifter.

3. Gruppintervju i direkt anslutning till observationen.

4. Analys av empiri från observation och intervju.

I metodavsnittet redovisas motiveringar och ställningstaganden för valet av metod, urval samt hur databearbetningen skett där både fördelar och nackdelar avvägs.

Utöver detta har även de etiska aspekter som behöver tas i beaktande beskrivits och motiverats.

6.1 Val av metod

Det finns två grupper av metoder, kvalitativa och kvantitativa metoder. I följande studie har en kvalitativ metod använts då frågeställningarna är svåra att mäta i siffror. Studien har handlat om huruvida uppgifter är rutin eller problemlösningsuppgifter för eleverna och hur eleverna uttrycker kreativa och imitativa resonemang passar kvalitativa metoder som istället fokuserar på skeende

(Eliasson 2018 s.27; Widerberg 2011 s.15). Widerberg (2011 s.15) förtydligar också att en kvalitativ studie handlar om skeendets innebörd där möjlighet finns att utforska och lära sig av andra, i detta fall att lära av eleverna själva. Inom kvalitativa studier finns olika former av tillvägagångssätt där observationer och intervjuer är de vanligaste formerna (Eliasson 2018 s.22), vilka båda har använts i denna studie.

För att klargöra ett skeende används observation medan intervju används för att synliggöra förståelsen av ett skeende (Widerberg 2011 s.17).

En av de största fördelarna med en kvalitativ metod är att den är flexibel (Eliasson 2018 s.27), vilket i detta fall betyder att studien anpassats för att likna en lektionssituation så som eleverna är vana vid. En kvalitativ metod har möjliggjort att gå in mer på djupet (Eliasson 2018 s.21) där förståelsen hos informanten undersöks (Widerberg 2011 s.16). Larsen (2018 s.36) menar att en fördel med kvalitativ metod är att det sällan är någon som drar sig undan vid intervju eller observation, vilket gör bortfallet mindre. Det är även möjligt att enkelt reda ut missförstånd och möjligheten för följdfrågor finns (Larsen 2018 s.36). Larsen (2018 s.36) menar att detta underlättar för den som utför studien kan få en djupare förståelse samt att validiteten ökar på grund av detta. Kombinationen av dessa metoder utgör en fallstudie för att få en helhetssyn och ökar generaliserbarheten (Forskningsstrategier u.å.).

Några nackdelar med kvalitativ metod är att det är svårt att generalisera resultaten, det tar mer tid att bearbeta resultaten i undersökningen samt att informanten kan känna en svårighet i att vara ärlig när det ej är anonymt (Larsen 2018 s.37). Utöver detta anser Larsen (2018 s.37) både att metoden och den som utför studien kan påverka intervjuresultatet. Vid analysen av kvalitativa metoder sker en tolkning av empirin, vilket innebär att den som utför studien kan lägga in egna värderingar i det insamlade materialet, något som ses som en nackdel (Dalen 2015 s.18). Elvstrand, Högberg och Nordvall (2019 s.236–237) menar att detta är ofrånkomligt.

Att gruppintervjuerna genomförts efter observationen motiveras bland annat med hjälp av Widerberg (2011 s.129) som menar att om observationen görs i en kontext som är normal för eleverna så görs intervjuerna med fördel efter observationen. En fördel med intervjun efter observation är att det finns möjlighet att konkretisera situationer som hänt under observationen (Widerberg 2011 s.129). Widerberg (2011 s.129–130) menar också att av etiska skäl är det bra med intervju efter observationen för att personer som deltagit i observationen skall ha möjlighet att förklara. Dessutom finns det teoretiska skäl, för att elevernas förståelse av eget agerande är grunden för analysen.

6.1.1 Urval

För att den kvalitativa studien inte skulle bli för stor riktade sig undersökningen endast till en klass i årskurs 3 och klassläraren. Detta för att eleverna snart genomför

nationellt prov i matematik där problemlösningsförmågan testas hos eleverna. Det är även eleverna i årskurs 3 som är äldst i relation till min utbildning och därför generellt skall ha kommit längre i sin matematiska utveckling, vilket kan leda till att studien får bättre utslag. Studien har baserats på tre grupper om tre elever som observerats vid lösandet av två problemlösningsuppgifter och därefter deltagit i en gruppintervju. Under rådande världssituation med Covid-19 har studien utförts på en skola där klassläraren för mig är känd sedan innan för att göra det möjligt att ha kontroll på smittspridningen. Urvalet av elever har skett i samråd med klassläraren efter att samtycke lämnats från potentiella informanter och deras vårdnadshavare.

Efter inlämningen av samtyckesblanketter skapades gruppsammansättningen i samråd med klasslärararen där hänsyn togs till att eleverna skulle känna sig trygga med gruppmedlemmarna. Enligt Larsen (2018 s.124) är detta icke- sannolikhetsurval, vilket betyder att informanterna ej slumpmässigt valts ut att delta i studien. Graden av icke-sannolikhetsurval blir självselektion eftersom möjliga informanter har lämnat samtycke att delta i studien (Larsen 2018 s.125).

6.1.2 Uppgifter

Utöver urval av informanter så har även ett urval av matematiska problemuppgifter skett. De två uppgifter som studien baserats på togs fram innan intervjun med klassläraren. Framtagning av uppgifter skedde med målet att alla elever skulle kunna arbeta med uppgifterna samtidigt som uppgifterna skulle utmana eleverna och ge dem utrymme att välja metod som passar uppgiften. Uppgifterna behövde därför tillåta att eleverna fick utrymme att välja metod som passade till uppgiften.

Vid intervjun med klassläraren diskuterades det om uppgifterna gav eleverna dessa förutsättningar och höll en lagom nivå.

Den första uppgiften valdes för att eleverna skulle få komma igång med tänkandet.

Uppgiften är hämtad från Favorit matematik - Tankenötter 2A (Vehmas 2015 s.44):

Dela in fältet i fyra delar med raka linjer. Summan av talen ska vara samma i alla delarna.

a) b)

c)

I denna uppgift behöver eleverna förstå begrepp som summa och raka linjer.

Eleverna behöver kunskap om att begreppet summa innebär att de skall addera tal för att dela in siffrorna i fyra fält. Har eleverna inte förståelse för att en summa betyder addition kan det innebära att eleverna väljer att använda andra räknesätt för att försöka lösa uppgiften eller ha svårt att förstå vad uppgiften vill att de ska göra.

Sedan behöver eleverna också förstå vad en rak linje är, eleverna kanske har uppfattningen att en rak linje innebär att den antingen är vågrät eller lodrät och om den är diagonal så är linjen ”sned”. Det kan uppstå problem om eleverna inte har koll på dessa begrepp. En annan eventuell missuppfattning som eleverna kan göra är att de tror att de måste dra fyra linjer och glömmer bort att det ska vara fyra fält.

Här är förhoppningen att eleverna tillsammans skall uppmärksamma varandras misstag. Uppgiften inger möjlighet att lösa på fler sätt: att rita linjer, addera tal för att hitta summan, eller om eleverna kommit långt i sitt tänkande och lösande kan talen adderas och sedan divideras med fyra för att få fram summan i fälten. Dessa är några möjliga sätt som eleverna kan lösa uppgifterna på och det är sätt som gör att eleverna kan vara flexibla i lösandet så som ett kreativt resonemang förutsätter.

Förhoppningen är också att eleverna när de provat sin metod kan förklara baserat på matematisk grund varför deras metod fungerat, vilket även det är en del av det kreativa resonemanget.

Den andra uppgiften är enligt min egen bedömning mer krävande för eleverna i jämförelse med den första uppgiften. Därför kändes det relevant att ha en uppgift att komma igång med för att problemlösningen inte skulle upplevas vara jobbig.

Den kan eventuellt upplevas svårare för att uppgiften endast är en textuppgift och inte erbjuder något visuellt stöd utan eleverna måste själva skapa en representation.

Denna uppgift är hämtad från Favorit matematik - Tankenötter 3A (Nyrhinen 2016 s.31):

I källaren står 34 fulla flaskor saft. En del av dem är literflaskor, resten halvlitersflaskor. Sammanlagt rymmer flaskorna i källaren 29 liter. Hur många halvlitersflaskor finns det i källaren?

I den andra uppgiften så behöver eleverna uppmärksamma att det inte är samma antal flaskor som liter och förstå att det går två halvlitrar på en liter. Svaret blir inte självklart för eleverna utan det krävs att eleverna funderar över vad som står i texten och tänker till vad uppgiften vill ha svar på. I denna uppgift har eleverna större

möjligheter till att lösa uppgiften på flertalet sätt, vilket kan innebära olika representationsformer och tillvägagångssätt. Eleverna behöver inte endast använda ett räknesätt, möjligheterna är många för eleverna att lösa uppgifterna. När det är specificerat hur många flaskor och vad flaskorna rymmer är inte svaret öppet utan det är bara lösningarna som är öppna, vilket gör att det endast finns ett rätt svar för uppgiften medan det finns multipla lösningsmöjligheter. Precis som den första uppgiften ger den andra uppgiften möjlighet till att vara flexibel, vilket ett kreativt resonemang förutsätter samt att de vid lösningen har möjlighet att förklara på matematisk grund varför lösningen fungerar.

Vid lösning av båda uppgifterna kommer eleverna att få möjlighet att använda olika material för att uppmuntras till kreativitet i lösningen. Motiveringen till detta är att om elever får möjlighet att skapa mening genom att representera ett problem så kan de hitta en lösning till uppgiften (Fennel & Rowan 2001 s.289). Material som kommer finnas är vitt papper, rutat papper, linjal, blyertspennor, färgpennor, små kuber som kan byggas ihop, kapsyler och markörer. Materialet som eleverna får möjlighet att använda kan hjälpa eleverna att lösa uppgiften och skapa nya lösningar för eleverna, vilket är en del av det kreativa resonemanget. Enligt Hagland m.fl.

(2008 s.105) är uppgifter olika till karaktären och behandlar olika begrepp, vilket kan skapa möjligheter att se likheter och skillnader i resonemangen mellan de två uppgifterna.

6.2 Intervju med klassläraren

För att eliminera fallgropar gällande uppgifterna har en intervju med klassläraren använts i undersökningen. Intervjuns syfte var främst att besluta om de två valda problemlösningsuppgifterna som tagits fram innan intervjun passade de medverkande elevernas kunskapsnivåer. Syftet var även att undersöka hur klasslärararen såg på elevernas matematiska kunskaper, förmågor och möjligheter att lösa uppgifterna. Klassläraren medverkade i en semistrukturerad intervju för att uppmärksamma eventuella svagheter och förbättringsmöjligheter med de utvalda uppgifterna. Den semistrukturerade intervjun hade några förutbestämda frågor där några följdfrågor tillkom för att få en möjlighet till djupare förståelse (Eliasson, 2018, s. 26; Larsen, 2018, s. 139). Ljudupptagning användes till stöd för anteckningarna och samtycke lämnades till det (Eliasson 2018 s.24–25).

Informationsbrev och samtyckesblankett som gått ut till klassläraren finns i Bilaga 2 och frågorna till intervjun presenteras i sin helhet i Bilaga 3.

I samråd med klassläraren beslutades det under intervjun att uppgifterna som valts ut på förhand var väl anpassade till eleverna som deltog i studien och att det var uppgifterna som studien skulle baseras på. Under intervjun gjordes inga ändringar på uppgifterna som tagits fram mer än att ta bort några deluppgifter för att studien inte skulle bli allt för stor gällande tid och omfattning. Av det som framkom vid intervjun ansåg klassläraren att uppgifterna bjöd in till att eleverna kunde och hade

möjlighet att lösa dem på olika sätt. Klassläraren trodde också att många elever skulle kunna förklara hur de hade tänkt istället för att bara skriva ner ett svar. I övrigt presenteras resultaten från förstudien i resultatdelen.

6.3 Observation

Efter att intervjun med klassläraren avklarats och att samtycket inkommit från vårdnadshavare och elever skedde insamlingen av empiri med hjälp av problemlösningsuppgifterna samt observationsschemat. Observationen var öppen till karaktären, vilket innebär att informanterna i förväg visste om att studien skulle genomföras (Larsen 2018 s.149; Vetenskapsrådet 2017 s.27). Det finns olika former av observation och vid denna studie användes en semistrukturerad observation, vilket innebär att ett observationsschema följts vid observationen men om oförutsedda handlingar inträffat har observatörsrollen varit flexibel för att kunna stötta eleverna (Larsen 2018 s.151). Observationen skedde i en miljö där iakttagelser antecknats för att ha ett underlag till analysen (Eliasson 2018 s.22).

Utöver att löpande anteckningar fördes vid observationen har även ljudupptagning använts för att inte gå miste om viktig information.

Utöver att observationen haft en semistrukturerad form så kan observatören inta olika roller vid en observation. I denna studie har en deltagande observatörsroll använts, vilket i denna studie betyder att eleverna stöttats vid eventuella oklarheter på de sätt som eleverna behövde. Huvuduppgiften att anteckna vid observationen har skett utöver stöttningen (Eliasson 2018 s.23; Larsen 2018 s.148).För att stötta anteckningarna som gjorts vid observationen har även inspelning av ljud använts för att höja validiteten och reliabiliteten i studien. Vid en deltagande observation kan observatören få möjlighet till förståelse för tolkningar som eleverna gör (Larsen 2018 s.148). Stensmo (2002 s.116) tillägger att vid en deltagande observation vill den som observerar synliggöra vad som händer inifrån, vilket leder till en djupare förståelse. Den stöttande observatörsrollen som intogs var en lärarroll för att eleverna skulle känna sig mer bekväma med situationen som de ställdes inför och formades mer till ett lärandetillfälle än att de skulle känna sig studerade. Eleverna lämnades inte själva för att försöka få en förståelse av problemet (Jäder m.fl. 2017 s.774), utan det var viktigt att eleverna skulle känna att de stöttades med det de behövde. Stöttningen har inneburit att hjälpa eleverna vidare med frågor som ”Vad vet ni?”, ”Vad ska ni ta reda på?”, ”Hur kan ni göra det?”. Detta gjordes för att eleverna skulle få en möjlighet att utveckla de tankar som de hade, utöver detta så fanns även möjligheten att läsa uppgifterna för eleverna. Att eleverna eventuellt upplevde situationen som mer bekväm när de stöttades i lösandet kan även innebära att det blir mer etiskt försvarbart att eleverna deltar i studier. Anledningen till detta är att de är vana vid lärare i sin vardag men inte att det är någon som utfört en studie eller forskat på dem.

Observationsschemat som följts under studien är bifogad som Bilaga 4 och är uppbyggd för att underlätta analysen. Med hjälp av punkter som: ”Hur motiverar eleverna svaret de kommit fram till?” var avsikten att besvara vilken form av resonemang som eleverna använde sig av, vilket kan kopplas både till teoretiskt perspektiv och tidigare forskning. I sin tur skall detta leda till att besvara frågeställningarna för studien. Andra punkter som använts i studien är: ”Vad provar eleverna att lösa uppgiften på för sätt?” och ”Hur anpassar sig eleverna till uppgiften?” för att besvara om eleverna var goda problemlösare baserat på tidigare forskning. För att se samtliga observationspunkter i studien se bifogad Bilaga 4.

6.4 Gruppintervju med eleverna

I direkt anslutning till observationen tog en gruppintervju med informanterna vid.

Intervjuer gjorda med grupper kan emellanåt vara mer upplysande än enskilda intervjuer för att resonemang ofta sker (Eliasson 2018 s.24). Larsen (2018 s.141) beskriver att informanterna vid en gruppintervju kan känna sig mer avslappnade att prata när ett naturligt samspel är möjligt samt att individen ges utrymme att fundera när andra pratar. Även vid intervjun har löpande anteckningar förts i ett särskilt intervjuprotokoll och ljudupptagning har använts även här med samtycke till detta (Eliasson 2018 s.24–25). Anteckningarna har använts som ett extra sätt att analysera det som eleverna sagt för att koppla till studiens syfte och frågeställningar samt för att öka validiteten och reliabiliteten i studien.

Gruppintervjun med eleverna har precis som intervjun med klassläraren skett i en semistrukturerad intervjuform. Intervjun hade förutbestämda öppna frågor där några följdfrågor uppstod, vilket är en fördel med semistrukturerad form (Eliasson 2018 s.26; Larsen 2018 s.139). En intervjuform som är ostrukturerad kräver större skicklighet utav den som intervjuar (Eliasson 2018 s.26), vilket är en anledning till att formen inte kändes aktuell. Dalen (2015 s.34) anser också att ur ett elevperspektiv kan eleverna känna sig mindre bekväma vid ostrukturerade intervjuer. Intervjuprotokollet byggdes upp på tidigare forskning och det teoretiska perspektiv som använts i studien för att kunna besvara syfte och frågeställningar.

Med hjälp av frågor som exempelvis: ”Kände ni att ni kunde förklara varför er metod var bra att använda? Varför?” var syftet att synliggöra elevernas matematiska resonemang som både teoretiskt perspektiv och tidigare forskning bygger på, vilket även kan kopplas till studiens frågeställningar och syfte. För att exempelvis få svar om elevernas uppfattning om problemlösningsuppgift eller rutinuppgift ställdes följande fråga: ”Visste ni direkt hur ni skulle göra för att lösa uppgifterna?”

Intervjuprotokollet finns att se i sin helhet i Bilaga 5.

6.5 Analys

Fejes och Thornberg (2019 s.25) menar att vid en kvalitativ studie så används teorin som ett hjälpmedel i insamling och analys av empiri. Metoden som använts för

analys är en deduktiv metod med utgångspunkt i det teoretiska perspektivet för att undersöka hur elever använder olika former av resonemang.

Fejes och Thornberg (2019 s.35) anser att vid en kvalitativ analys sker tolkning av empiri. Fejes och Thornberg (2019 s.36) nämner att det finns många olika tillvägagångssätt för att utföra analysen och inga strikta regler. I denna studie har jag använt mig av Kvales (Fejes & Thornberg 2019 s.38) metod ad hoc, vilket innebär att jag har kombinerat två analysmetoder. De metoderna jag använt mig av är att ha gjort sammanställningar av intervju och observation samt att hittat mönster från den insamlade empirin.

Analysen av lärarintervjun fokuserar på hur klasslärararen ser på elevernas matematiska kunskaper, förmågor och möjligheter att lösa de uppgifter som de ställs inför. Sedan har analysen även fokuserat på hur klassläraren upplever de utvalda uppgifterna till studien. Intresset ligger i att undersöka om klassläraren anser att uppgifterna kommer vara problemlösningsuppgifter eller rutinuppgifter för eleverna. Vidare analyseras också vad klassläraren upplever att eleverna kommer att använda för representationer och tillvägagångssätt vid lösandet av uppgifterna. Slutligen analyseras det vad klassläraren upplever att eleverna kommer att använda sig för form av matematiskt resonemang där det handlar om kreativt resonemang, imitativt resonemang eller en kombination av båda.

Analysen av observationen har skett i tre olika stadier med hjälp av det analysverktyg som tagits fram i avsnitt 5 Teoretiskt ramverk. Först har analysen av observationen haft fokus att undersöka om uppgifterna som eleverna ställts inför upplevts vara problemlösningsuppgifter baserat på det teoretiska ramverket i Tabell 2. Sedan har analysen gått vidare till att studera hur eleverna använder sig av kreativt resonemang när de löser uppgifterna, vilket synliggörs genom vad eleverna uttrycker i Tabell 3. Slutligen fokuserar analysen på hur eleverna använder sig av imitativt resonemang vid lösning av uppgifterna i Tabell 4.

Analysen av gruppintervjun med eleverna sker även den med hjälp av analysverktyget där frågorna i intervjuprotokollet numrerats för att synliggöra hur de hör samman. Även i intervjun har analysen skett i tre stadier på samma sätt som det skett vid analysen av observationen. När analysen av observation och gruppintervjun sammanställts undersöks likheter och skillnader mellan metoderna.

6.6 Validitet, generaliserbarhet och reliabilitet

För att diskutera kvaliteten av en studie hamnar några begrepp i fokus, vilka är validitet, generaliserbarhet och reliabilitet. Thornberg och Fejes (2019 s.275) menar att validitet är ett begrepp för att beskriva kvaliteten på det som undersöks. Validitet handlar också om att studien undersöker det som avses och att välja metod som passar för att undersöka detta ligger i fokus (Thornberg & Fejes 2019 s.275).