Slutsats

7 Motsvarar den exakta lösningen till den styrande differentialekvationen.

8 Linjär approximation av den exakta Cm- faktorn.

9 Cm-faktor helt baserad på en approximativ beräkning av andra ordningens moment via traditionell förstoringsfaktor.

24

25

Källförteckning

Skriftliga källor

EN 1993-1-1. Eurocode 3: Design of steel structures - part 1-1: General rules and rules for buildings. (2005). European Committee for Standartisation.

Heyden, S., Dahlblom, O., Olsson, A., & Sandberg, G. (2011). Introduktion till strukturmekaniken. Lund: Studentlitteratur.

Höglund, T. (2006). Modul 6 Stabilitet för balkar och stänger. Stockholm: Kunliga Tekniska Högskolan.

Lindner, J., Kuhlmann, U., & Jörg, F. (2017). Initial bow imperfections e_0 for the verification of Flexural Buckling According to Eurocode 3 Part 1-1- additional considerations.

Muratagic, D. (2010). Verifiering av interaktionsformlers gränser i Eurokod 3.

Norlin, B. (2003). Dimensionering av stålkonstruktioner enligt Eurocode 3, föreläsningar &

tal.

Sarvell, F. (2012). Verifiering av interaktionsformlers gränser för balkpelare i Eurokod 3 En fallstudie av balkpelare med godtyckliga last- och randvillkor. Stockholm.

Muntliga källor

Norlin, Bert. Universitetslektor på Institutionen för byggvetenskap, bro- och stålbyggnad, återkommande samtal och granskningar under vårterminen 2018.

26

27

Bilaga - Beräkningsexempel

I följande exempel beräknas normalkraftsbärförmågan för tvärsnittet HEA 280 då ett elastiskt brottkriterium enligt (6.2) och ett plastiskt brottkriterium enligt (6.31) i SS-EN-1993-1-1 används. Balkpelaren kan bara böjknäcka i veka riktningen och är fast inspänd med en normalkraft verkande i den fria änden.

Tvärsnittets sträckgräns och balkpelarens längd är olika för det elastiska och det plastiska fallet. Detta är för att samma tvärsnittsprofil skall kunna användas tillsammans med båda brottkriterierna samt för att anpassa så att slankhetstalet λ, som är ett mått på en tryckt pelares benägenhet att knäcka, i båda fallen blir lika med ett.

I denna bilaga används Eurokodens numrering av ekvationer hämtade från denna standard.

Tvärsnittsdata HEA 280

Stålets E-modul E = 210 GPa Partialkoefficient γ_M1 = 1,0

Profilbredd b = 280 mm Profilhöjd h = 270 mm Livtjocklek t_w = 8,0 mm Flänstjocklek t_f= 13,0 mm Hålkälsradie R = 24 mm Tvärsnittsarea A = 9726 mm² Tröghetsmoment I_z = 47,63 ∗ 10⁶ mm⁴ Elastiskt böjmotstånd W_z,el = 340 ∗ 10³ mm³ Plastiskt böjmotstånd W_z,pl = 518 ∗ 10³ mm³

Elastiskt brottkriterium enligt SS-EN-1993-1-1 (6.2)

Tvärsnittsklassning

Flytspänning f_y = 620 MPa

28

Roten ur kvoten mellan referensflytspänningen och aktuell flytspänning

ε = √235 MPa

f_y = 0,616

Slankhet hos flänsplåten som utsätts för tryck

c_f=

Gränser för tryckt fläns enligt Tabell 5.2 SS-EN-1993-1-1

(

Slankhet hos livplåten under antagande att hela livplåten är tryckt

c_w =h − 2 t_f− 2R

𝑡_𝑤 = 24,5

Gränser för tryckt livplåt enligt Tabell 5.2 SS-EN-1993-1-1

(

Tvärsnittet tillhör alltså tvärsnittsklass 3.

Bärförmåga med hänsyn till normalkraft och momentkapacitet

Tvärsnittets normalkraftsbärförmåga N_Rd = ^Afy

γM1 = 6,03 ∗ 10³ kN (6.10) Tvärsnittets elastiska momentbärförmåga

M_z,Rd =^{Wz,el fy}

γM1 = 211 kNm (6.14)

29

Slankheten

Då slankheten λ har bestämts till värdet 1 för både den elastiska och plastiska analysen uttrycks längden L₁ via parametrarna: slankheten λ, elasticitetsmodulen E, tröghetsmomentet I_z och normalkraftsbärförmågan N_Rd.

L₁ =^π

2λ√_N^EIz

Rk = 2,02 m Kritisk knäckninglast

Den kritiska knäckningslasten beräknas N_cr,z =^π2EIz

L_cr² = 6,03 ∗ 10³ kN där L_cr= 2L₁

Bärförmåga för knäckning enligt SS-EN 1993-1-1 6.3.1.1 & 6.3.1.2

Brottvillkoret

N_Ed

Nb,Rd≤ 1,0 (6.46) där normalkraftskapaciteten för knäckning är

N_b,Rd =^χAfy

γM1 (6.47) Reduktionsfaktorn χ kan antingen avläsas ur Figur 6.4 eller beräknas enligt formeln

χ = ¹

Φ+√Φ²−λ² (6.49) där hjälpparametern Φ skrivs som

Φ = 0,5[1 + α(λ − 0,2) + λ²]

30

Då (6.49) används avläses imperfektionsparametern α i Tabell 6.1 utifrån villkoren i Tabell 6.2.

31

Då flytspänningen f_y = 620 MPa inte finns med i Tabell 6.2 används värdet för S 460 och knäckningskurva a används vilket ger α = 0,21.

Φ = 1,08 insatt i (6.49) ger χ = 0,67

Normalkraftskapaciteten för knäckning (6.47) blir N_b,Rd = 4,01 ∗ 10³ kN

32

Bärförmågan enligt andra ordningens teori

Då bärförmågan kontrolleras utifrån andra ordningens teori måste enligt Eurocode 3

balkpelaren förses med två imperfektioner för att analysen skall bli relevant. Imperfektionerna är en initiallutning enligt (5.5) och en initialkrokighet enligt Tabell 5.1 i EN 1993-1-1.

∅ = ∅₀α_hα_m (5.5) där ∅₀ = ¹

200

α_h = ²

√h men ²

3 ≤ α_h ≤ 1,0 och i detta fall är h = L₁ α_m = √0,5 (1 + ¹

m) där m är antalet pelare i rad.

Uttrycket (5.5) ger ∅ = ¹

200∗ 1 ∗ 1 = ¹

200

Enligt Tabell 5.1 blir initialkrokigheten enligt elastisk analys e₀ = ^L1

300= 6,74 mm Initiallutningen och initialkrokigheten läggs på som fiktiva laster som verkar åt olika håll enligt Figur 5.4 SS-EN 1993-1-1.

33

Den fiktiva horisontalkraften vid den fria änden blir då F = ∅N_Ed+^4NEde0

L1 = N_Ed[ ¹

200+ 4 ¹

300] = 0,0183N_Ed kN och den fiktiva jämnt utbredda lasten i motsatt riktning blir

q =8N_Ede₀

L²₁ = 0,0132 N_Ed kN m

Det dimensionerande momentet vid den fasta inspänningen kan skrivas som andra ordningens moment av jämnt utbredda fiktiva lasten q subtraherat från andra ordningens moment av den fiktiva punktlasten F i pelarens fria ände:

M_z,Ed = F L₁C_m,approx 1 −N_Ed

N_cr

− qL₁L₁ 2

C_m,d 1 −N_Ed

N_cr

och där C_m.approx beräknas med uttrycket (4.42) för punktlast med β = 1 i avsnitt 4.2 tidigare i denna rapport och där C_m,d är en C_m-faktor hämtad från examensarbetet Muratagic (2010) enligt Tabell B.

34

Tabell B: Faktorn C_m,d

Med Ψ = 1 motsvarar detta en jämnt utbredd last:

C_m,d = 1 − 0,382N_Ed

där den enda okända parametern är andra ordningens normalkraftsbärförmåga, N_Ed:

N_Ed

Detta löses förslagsvis med något beräkningsprogram N_Ed = 3,37 ∗ 10³ kN

Kvoten mellan andra ordningens normalkraftsbärförmåga och första ordningens normalkraftsbärförmåga kan skrivas

N₂

N1 = ^NEd

N_b,Rd= ^3,37∗103

4.01∗10³ = 0,840

Andra ordningens beräkning gav alltså en lägre bärförmåga.

35

Plastiskt brottkriterium enligt SS-EN-1993-1-1 (6.31)

Tvärsnittsklassning

Flytspänning f_y = 275 MPa

Roten ur kvoten mellan referensflytspänningen och aktuell flytspänning

ε = √235 MPa

f_y = 0,924

Slankhet hos flänsplåten som utsätts för tryck

c_f=

Gränser för tryckt fläns enligt Tabell 5.2 SS-EN-1993-1-1

(

Slankhet hos livplåten under antagande att hela livplåten är tryckt

c_w =h − 2 t_f− 2R

𝑡_𝑤 = 24,5

Gränser för tryckt livplåt enligt Tabell 5.2 SS-EN-1993-1-1 (

Tvärsnittet tillhör alltså tvärsnittsklass 2.

Plastisk normalkraftsbärförmåga och momentkapacitet

Tvärsnittets plastiska normalkraftsbärförmåga N_pl,Rd = ^Afy

γM1= 2,67 ∗ 10³ kN (6.6)

36

Bärförmåga för knäckning enligt SS-EN 1993-1-1 avsnitten 6.3.1.1 & 6.3.1.2

Den beräknas på samma sätt som vid den elastiska analysen med den enda skillnaden att knäckningskurva c väljs i Tabell 6.2 eftersom flytspänningen nu är f_y = 275 MPa. Detta ger α = 0,49 i Tabell 6.1. Hjälpparametern Φ beräknas till Φ = 1,20 vilket ger reduktionsfaktorn χ = 0,54. Bärförmågan för knäckning ger vid plastisk analys:

N_b,Rd =^χAfy

γM1 = 1,44 ∗ 10³ kN (6.47) Bärförmågan enligt andra ordningens teori

Den beräknas på samma sätt som vid den elastiska analysen med den enda skillnaden att knäckningskurva c enligt ovan valts i Tabell 6.2 vilket ger en annan initialkrokighet, e_o =

L₂

150= 20,3 mm, vid avläsning i Tabell 5.1 för plastisk analys.

Den fiktiva horisontalkraften enligt Figur 5.4 vid den fria änden blir då F = ∅N_Ed+^4NEde0

L₂ = N_Ed[ ¹

200+ 4 ¹

150] = 0,0317N_Ed kN

och den fiktiva jämnt utbredda lasten i motsatt riktning enligt Figur 5.4 blir q =^8NEde0

L₂² = 0,0176 N_Ed ^kN

m

37

Liksom vid den elastiska analysen skrivs det dimensionerande momentet vid den fasta inspänningen som andra ordningens moment för den jämnt utbredda fiktiva lasten q

subtraherad från andra ordningens moment av den fiktiva punktlasten F i pelarens fria ände:

M_z,Ed = F L₂^Cm,approx

N_pl,Rd är kvoten mellan yttre normalkraft och plastisk normalkraftskapacitet.

a =^{A−2 b tf}

där den enda okända parametern är andra ordningens normalkraftsbärförmåga, N_Ed:

NEd

M_N,z,Rd=1424.50 om _2674.65^NEd ≤0.251

M_N,z,Rd=1424.50[1−(

38

Kvoten mellan andra ordningens normalkraftsbärförmåga och första ordningens normalkraftsbärförmåga kan skrivas

N₂

N1 = ^NEd

Nb,Rd= ^1,67∗103

1,44∗10³ = 1,16 Kontroll av n ger

n = N_Ed

N_pl,Rd= 1,67 ∗ 10³

2,67 ∗ 10³ = 0,625 > 0,251

och alltså valdes det undre uttrycket i nämnaren vid beräkningen.

Denna gång gav andra ordningens beräkning en större bärförmåga än första ordningens beräkning. Bärförmågan enligt andra ordningen är denna gång cirka 16 % större än enligt första ordningen.

In document Cm-faktorer för böjd och tryckt stång: Lösning av nya elementarfall (Page 32-48)